390 Anhang.

unberiicksichtigt bleiben, so hat man lediglich

"2 = "4 = "6' also -7.1e3 = ;,.le2 = ;,

zu fordern, woraus ebenfalls wieder E y'

.Ie = E' r-als Langen- und DurchbiegungsmaBstab sowie

"6 = ;,.le2

als MaBstab fiir sonstige eingepragte Krafte hervorgehen. In diesem FaIle braucht also eine Gleichheit der Querdehnungszahlen nicht gefordert zu werden.

Anhang.

Vermischte Aufgaben.

1. Allgemeine Schnittlasten. Fur einen an einem Ende ein­gespannten und am anderen Ende freien Viertelkreisbogentrager be­

/

.4

/

/ /

/

+z I I I I I I I I )----------

Abb.A 1.1

stimme man die Schnittlasten infolge einer gleichmaBigen Belastung qo (Abb. A 1.1).

Losung. Vor der eigentlichen Losung dieser Aujgabe seien kurz dieRelationen zwischen denSchnitt­lasten und der iiufJeren Belastung eines beliebig belasteten riiumlich gekrummten Stabes hergeleitet. Wir betrachten hierfiir das in Abb. A 1.2 dargesteIlte Stab­element, das kontinuierlich durch Streckenlasten q(s) bzw.Strecken­momente m(s) belastet sei. O(s) bzw. ill1 (s) seien die Schnittkraft·

bzw. Schnittmomentenvektoren, und es ergeben sich die Gleichgewichtsbedingungen

und

dO liS+q(S)=O

dill1 ds -ds X (- 0 (s)) +-d-ds -? X (q(s) ds) + m(s)ds = 0

s ~

(1)

bzw. mit ds = t ds [t = Tangenten-Einheitsvektor]

dill1 (dS)2 ds t X 0 + dBds - -2-' t X q + mds = 0

und nach Streichung des mit (dS)2 behafteten Terms als ein von hiiherer Ordnung kleines Glied

(2)

Ordnet man jedem Punkte der Raumkurve drei orthogonale Richt~ngen durch die drei Einheitsvektoren t = e., n = en und 0 = Cc (s. a. Aufg. 6 der Ubungen zu § 2)

Vermischte Aufgaben. 391

zu, so lassen sich die Schnittlastvektoren ,0 und \m durch ihre Komponenten in diesen drei Richtungen in der Form

,0 = (0 e;) e< + (0 e~) e~ + (,0 ee) e, = Q •. ee +Q~ e~ +Q, ec (3) bzw.

\m = (\m e.) ee + (\m e~) e~ + ('In c,) c, = M< c. + M~ e~ + M, c, (4)

darstellen, wobei Q. die Langskraft, Q~ und Q, die Querkrafte, M~ das Torsions­moment und M~ bzw. Me die Biegemomente bedeuten. Denkt man sich in (1) und (2) die Schnittlastvektoren im Sinne von (3) und (4) dargestellt, so folgt z. B. aus (1), da die von Punkt zu Punkt der Raumkurve in ihrenRichtungen veranderlichen Einheitsvektoren ce' e~ und e, nunmehr mit zu differenzieren sind

dQe dQ~ dQ, dee de~ de, dB e< + dB e~ + dB e, +Q<dS +Q~dS +Qi;dB = -q. e<-q~ e~-q, e,

und unter Beachtung der FRENET­schen Formeln, wonach

de, , --=-xe ds ~

sind!, wobei k bzw. x die Kriim­mung und Windung der Raumkurve bedeuten.

= -q<e< -q~e~ -q,ei;'

woraus nach Komponentenvergleich2

hervorgehen. Analog erhalt man aus (4)

'I (s)ds

Abb. A 1.2.

dM. dM~ -d-- kM =-m" --d +kM,-xM.=-rn +Q.,

8 r; ..- 8 ..- ~ Yj'"

dMi; -+xM =-m -Q . ds ~ C ~

(6)

Wir betrachten nun die vorgelegte Aufgabe. Die GIeichung der kreisbogenfbrmigen

Systemlinie lautet mit rp = i im xyz-System (Abb. A 1.3)

r(rp) = {x(rp); y(rp); z(rp)} = R {cosrp; sinrp; O}

1 Siehe z. B. R. ROTHE: Hbhere Mathematik Bd. 2, § 28. 2 Fiir gerade Stabe mit ebener Belastung in der g -~-Ebene gehen hier­

aus mit k=x=O sowie mit q<=q~=O, Q<=Q~=O, M.=MI;=O, m<=m~=ml;=O, M~=-M, Qi;=-Q. qi;=-q die GIn. (10.12) bzw. (10.13) hervor.

392 Anhang.

und ~s folgen fiir die Einheitsvektoren c€, e~ und e, nach den Formeln der Aufg. 6 der Ubungen zu § 2

dr 1 dr . e =t=- =- -= r-smm' cosmo 0 1

!; ds Edrp \ 'ro y-, J,

dt/ds dt/drp e" = n = Idt/dsl = Idt/drpl = -{COSrp; sinrp; O},

e: = t X n = {O; 0; I} = ez.

JI/ X

/

Abb.AL3

I Aus (i5a) und (5c) folgen dann k = R ,und Y. = 0, so daB (6a-c) und (7a-c) mit

, ,d drp dId , SOWle mIt d 8 = d8 . di = R d rp die Form

dQ. dQ~ aq; - Q~ = 0, aq; + Q; = 0,

dMi; ----M =0 d rp ~ ,

(8a-c)

(!la-c)

annehmen. Aus (Sa-c) folgen nach Integration unter Beachtung der Randbedin· gung £1 (0) = 0, Qc = qoErp, Q, = Q~ = 0, und schlieBlich folgt damit aus (9a-c)

dM; dM~. dM, d;p - M ~ = 0, d;p + JvI I; = qo R2 rp , d;p = O.

'Yiihrend aus der dritten Gleichung unter Beachtung der Randbedingung dM

M. (0) = 0 sofort M > ~ 0 hervorgeht, erhalt man mit M = -d 1;, welches sich " ~ rp

aus der ersten Gleichung ergibt. aus der zweiten Gleichung

d2 M; d rp2 + ivII; = qo R2 rp. (10)

Die allgemeine Losung von (10) setzt sich zusammen aus der Losung der homo· gcnen Gleichung, wofiir sich nach (14.2) bzw. (14.3)

Mf = C1 cosrp + C2 sin rp

Vermischte Aufgaben. 393

ergibt und einem partikularen Integral. Dieses folgt aus (10) mit dem Ansatz .ill; = A rp, der in (10) eingesetzt, schlieBlich A = qo R2 liefert, zu

M; = qo R2 rp. Insgesamt hat man also

M. = qo R2 rp + C1 cos rp + C2 sinrp (11 a) und damit

dM. M = -d- = qo R2 - C1 sinrp + C2 cosrp. (11 b)

~ rp

Aus den Randbedingungen M.(O) = jlf~(O) = 0 folgen C1 = 0, C2 = - qo R2, und damit verbleiben

Mr; = qo R2 (rp - sinrp), M~ = qo R2 (1 - cosrp).

2. Schwerge\\richtsmauer. Auf eine Mauer (Raumgewicht y) mit vpranderlicher Breite b (z) und der Hohe H wirkt gemaB Abb. A 2.1 eine

--t-\1 ,/ I \ z

LbCz): \ 1 11\ I . : I I

H

/ /

Abb. A 2.1

1\11, r-I \

I . \ I \ ,

I \ dV \ Z

/ [J / I L.. _______ _

N(zj Q(zj ~!1(zj

.-\bb. A 2.2

linear anwachsende Belastung. Man bestimme b (z) so, daB an keiner Stelle der Mauer Zugspannungen auftreten konnen.

Gegeben: H = 10 m; Po = 1 t/m2; y = 2,2 t/m3. Losung. Aus den Gleichgewichtsbedingungen fur das skizzierte abgeschnit­

tene Mauerstuek der Abb. A2.2, von dem wir einen 1 m breiten Streifen betracht(,ll, ergeben sieh fur die Sehnittlasten N(z) und M (z)

z z N(z)=G(z)=y J dV=y J b(C)·I·dC

c=o ("=0 M(z) = Po ZH " 6H'

1 . b3 (z) so daB man mit F(z) = 1 . b (z) und J(z) = --1-2- fur rlie Normalspanllungen

az(Y, z) die Beziehung

N(z) M(z) I r z 2PoZ3 ] az (y, z) = - F (z) - J (z) . y = - b(Z) Yell b (e) dC + H b2 (z) Y

erhiilt [+ ~ Zugsp.] . C

Hieraus ersieht man, daB fUr positive y der Klammerausdruck auf jeden Fall positiv und damit die auftretende Normalspannung eine Druckspannung wird. Dem­gegeniiber konnte fiir negative y der Klammerausdruck negativ werden, so daB Zugspannungen zu erwarten waren. Die groBten Zugspannungen wiirden demnach

an der linken 'Vandflache, d. h. fiir y = - b~) auftreten und

394 Anhang.

az (_ b (2Z) , ) 1 [p Z3 z ] Z =b(z) H~(z)-YcLb(C)dC (1)

betragen. Zugspannungsfrei bleibt die Mauer somit nur dann, welln der Verlauf b(z) so gewiihlt wird, daB der Klammerausdruck der G1. (I) gerade verschwindet, d. h. wenn also b (z) der lntegralgleichung

Z 3 J b(C)dC = ~ _z_ (2) '=0 yH b (z)

gelltigt. Durch Differentiation der GJ. (2) nach z erhiHt man die Differentialgleichung

(3)

fUr die eine partikuliire Lasung durch den Ansatz b(z)= Cz gewonnen werden kann. lndem man diesen in (3) einftihrt, erhiilt man eine Gleichung ftir die bisher willktir­liche Konstante C, ftir die sich schlieBlich

ergibt. Die Lasung lautet demnach

C = V2Po yH

I~

b(z) = 1/2 Po z, yH

und ftir die Spannungen folgt nunmehr:

y[ lf2Yii ] az(Y, z) = -"2 z+ VTo y ,

(4)

(5)

woraus az (b ~) , z) = - y z und az (-b ~) , z) = 0 hervorgehen. Die graBte

Druckspannung ergibt sich demnach im rechten WandfuBpunkt (z = H) und be­triigt I aroin 1= yH = 22 tjm2 = 2,2 kg/cm 2• Die erforderliche FuBbreite der Wand folgt aus (4) zu

1/2 PoH bmax = b(H) = v-y- = 3,018 m.

3. Relativbewegung. Dber einen FluB der Breite a mit parabo­

lischem Geschwindigkeitsprofii Vp(Y)=Vo[I-(2aY rJ (Abb. A 3.1)

solI ein Boot unter einem konstanten Winkel LX zur Stromrichtung mit der Eigengeschwindigkeit Vr so gesteuert werden, daB es genau gegeniiber der Abfahrtsstelle landet. Man bestimme LX, die Fahrzeit T sowie die Bahnkurve des Bootes.

Gegeben: Vo = 1,5 m/sek; Vr = 2 m/sek; a = 200 m.

Losung: Die Absolutgeschwindigkeit tl des Bootes setzt sich zusammen aus der Wassergeschwindigkeit (Ftihrungsgeschwindigkeit) tlF (Y) = VF (y) ex und der Eigengeschwindigkeit (Relativgeschwindigkeit) tlr = Vr cos G< ex + vr BinG< ey des Bootes, so daB man demnach

tl = [VF(Y) + Vr cos G<] ex + Vr sin G< ey = {VF(Y) + Vr cos G<; Vr sin G<} (1)

erhiilt. Die Bahnkurve des Bootes ist damit durch die Differentialgleichung

dr . d t = r = {x; y} = \.J = {v F (y) + Vr cos G<; Vr sin G<} , (2)

Vermischte Aufgaben. 395

d. h. durch die Komponentengleichungen

. dx dx dy . dx x = ([t = dY. ([t = Y dY = VF(Y) + Vr cos a< , (3a)

. dy . Y = ([t = Vr sm a< (3b)

beschrieben. Integration von (3b) liefert unter Beriicksichtigung der Anfangs­

bedingung y(t = 0) = - i y = y(t) = vrsina<· t - i, !4a)

wahrend aus (3a) und (3b)

~= VF(y) +.Vr cos a< =ct a<+ VF.(Y) =ct a<+~[I_(2y)2J d y y g Vr sm a< g Vr sm a< a

und nach Integration bei Beachtung der Anfangsbedingung x (Y = - i) = 0

fiir die Bahnkurve

x(y)=- 1+-'- ctga<+--.- 2+3 -'- - -a [ 2 YJ Vo a [ (2 Y) (2 Y)3] 2 a Vr 6 sma< a a

(4b)

hervorgeht. Der Kurswinkel a< ermittelt sich nun aus der Forderung, daB das Boot

genau am gegeniiberliegenden Ufer ankommen solI, also aus x (y = + i-) = 0 zu

cosa< = -? :: = -t, d. h. a< = 120°, so daB wir hiermit schliel3lich aus (4a)

V (2 VO)2 a y(t) = Vr 1 - _. - . t - -3 Vr 2

und fiir die Bahnkurve (Abb. A 3.1)

y

Abb.A3.1

Vo a [2 y (2 Y)3] x(Y)=Vr ·6Vl-(~.::r a- a

erhalten. Die Fahrtdauer T folgt mit (5a) aus

a y(t= T) ="2 zu

(5a)

(5b)

396 Anhang.

4. Zweiachsiger Spannungszustand. Zwischen zwei starren W-an­den ist eine Scheibe eingeklemmt (Abb. A 4.1). Man ermittle den Span­nungs- und Verzerrungszustand der Scheibe

a) fiir die skizzierte Belastung Po' b) fiir den Falleiner gleichmaBigen Erwarmungder Scheibe umDo[OC].

Welche Dehnungen treten in den Richtungen A und B auf?

Abb. ,\4.1

ergeben.

/

Gegeben: Po = 100 kg/cm2, Do = 50D C,

Elastizitatsmodul E = 2,1 .106 kg/cm2, Warmeausdehnungszahl eX = 0,000012,

v = 0,3.

I,osung. Fall a. Aus dem HOoKEschen Gesetz folgen

1 ex = ]jj [ax - v ay] = 0 , ax = v ay ,

1 1- v2

ey = ]jj [ay - vax] = --r ay ,

so daB sich mit der Randbedingung ay = -- PI) schlieBIich

ax = -. v Po = - 30 kg/cm2,

1 -v2

€y = -~E-Po = -4,33.10-5

Fall b. Hier erhalt man mit del' Randbedingung (Jy = 0 aus dem durch den Aus­druck fur die Temperaturdehnung erganzten HOoKEschen Gesetz

1 ax • Ex= Jij[ax -v ay] + Oi {}o = E +Oi{}O = 0, d. h. ax = -E Oi {}o = -1,26 tjcm2,

Zur Berechnung der Dehnungen in den Richtungen A und B mussen zunachst die Normalspannungen aA und aB ermittelt werden, die man aus den Trans­formationsformeln de~ zweiachsigen Spannungszustandes gewinnt. Hiernach sind

(Abb. A4.2)

rp

• -\bb. A 4.2

a('1') = ax sin2 '1' + aycos2 '1'

und speziell

aA = a('1' = 60°) = {(3 ax + ay),

(JB = a('1' = 60° + 90°) = a('1' = 150°)

1 = 4" (ax + 3 ay) .

Man erhalt also:

Falla: (Jx=-Vpo, ay=-po.

1 3v + I a A = 4" (- 3 v Po - Po) = - ~-4- Po ,

Vermischte Aufgaben. :3!);

I . :~ + v a B = "4 ( - v Po - 3 Po) c= - -4-- Po

und damit aus dem HOoKEschen Gesetz 1 pIp (l - 1,2)

I'A=E(aA-1'aR)=-4~[31'+l-1'(3+1')]=-"4 () E =-1,OH3.1O-·,

/~ I .~-.7:'~ ~-.-.~

I A \ .

t-x,x \" I .J ~. -. +/

Abb. A :;.1

1 Po • 3Po(1-1'2 ) e = -(a -va )=--[3+1'-1'(31'+1)]=-- ----=31' = -3 25.10- 5

B E B A 4E 4 E A ' .

Fall b: ax == -E:x{}o, ay = O.

5. Kurbeltrieb. Das in Abb. A 5.1 dargestellte System besteht aus einer im Punkte C drehbar ge­lagerten Stange BC (Lange a), die im Punkte B gelenkig mit der StangeAB (Lange l), die am Ende A cine horizontale Verschieblichkeit besitzt, verbundenist. Manermittle die Polkurve fur die Stange AB so­wie fiir konstante Winkelgeschwin­digkeitwden vom PunkteA zuruck­gelegten Wegxundseine Geschwin­digkeit x als Funktion von cr.

tp-o I

* Abb. A:).2

398 Anhang.

Losung. (Abb. A 5.2). Die Lage des Momentanzentrums ist charakterisiert durch den Schnittpunkt der Lote, die auf den bekannten Bahntangenten der beiden Punkte A und B errichtet werden. Wegen der Horizontalverschieblichkeit des Punktes A handelt es sich hierfiir um eine Senkrechte, wahrend das Lot, errichtet auf der Bahntangente von B immer durch den Lagerpunkt 0 hindurchgehen mull. Fiir verschiedene Lagen ep bzw. () ermittelt man sich die Schnittpunkte 0 der iiber o hinaus verlangerten Geraden BO mit den inA errichteten Senkrechten, womit man eine Punktreihe erhalt, deren Vervollstandigung zu einem Kurvenzug als die Polkurve bezeichnet wird.

Durch Abgreifen aus der Zeichnung gewinnt man x = x(ep) unmittelbar, wah­rend man zur Ermittlung der Geschwindigkeit x(ep) zunachst OB = e(ep) und OA = beep) abgreifen mull. Man erhalt dann

• roa beep) Ix(ep)I=--) .b(ep)=roa-( ).

c(ep e rp

Die Werte x(ep) und x(ep) sind in Abb. A 5.3 graphisch dargestellt.

Abb.A5.3

6. Ebene Bewegung eines Stabes. Ein Stab konstanten Quer­schnittes vom Gewicht G und der Lange l wird, lotrecht auf einer Schneide gelagert, sich selbst iiberlassen, so daB er in der in Abb. A 6.1 dargestell­ten Weise abkippt. Man ermittle den Winkel 'PO' bei dem sich der Stab von der Schneide lost und den daraufhin sich ergebenden Bewegungs­zustand des Stabes.

Losung. Die Bewegung lauft in zwei Phasen ab:

1. Drehung um A,

2. Ablosung von A und freie Bewegung des Stabes.

Vermischte Aufgaben. 399

Vor der Ablosung handelt es sich urn eine reine Drehbewegung urn den Punkt A G 12

(Abb. A 6.2), und man hat mit 8A = g "3 aus dem Arbeitssatz

8 A . 2 G I d h' VGl Voc-3 -g---- . Trp = '2"(l-cosrp), . . rp= 8A(1-cosrpJ= -1-(l-cosrp)='P(rp).

Fiir die AuflagerkriiJte folgt aus dem Schwerpunktsatz und dem Drallsatz

also

und

l. 13g 3 - N ( rp) + G cos rp = m 2" rp2 = m "2 I (1 - cos rp) = 2" G (1 - cos rp) ,

/), ;:/'/ / /

I I I

I

97~/' /

I, I

I I

/ G I

Abb. AB.l Abb.A6.2

G N (rp) = 2" (5 cos rp - 3)

R iLl" G 12 .. (rp) . - = Os rp = - - rp

2 g 12 bzw. mit

Cl" G I . o m= -Slnm A r 2 -r , d. h. .. Gl. a g . rp = 28 Slllrp = 2" TSlllrp,

A

G13g. G. R(rp) = g' 6" 2" T Slll rp = '4 Slllrp .

Ein AblOsen des Stabes vom Punkte A tritt fiir

G 3 N(rp = rpo) = 0 = 2" (5 cosrpo- 3) = 0, d.h. cosrpo = 5' rpo = 53,1 0

ein. Von dieser Lage an, die wir mit t = 0 bezeichnen wollen, findet nunmehr eine freie Bewegung des Stabes mit den Anfangswerten

. V3 g ( 3) V6fi Wo= rp(f{Jo) = I 1- 5 = 5 T' Xso = ~Sinrpo = f Vl- cos2 rpo = l~ I,

l V6(J12 V-3-Vo = Wo . 2" = '5 T "4 = 10 g l ,

statt (Abb. A 6.3).

400 Anhang.

Es liefern: 1. Der Drallsatz fJ. q; = 0: rp = C1 t + C2 und die zugehorigell Anfangs­

bcdingungen: rp (t = 0) = rpo = C2 ,

. (t - 0) - . -1/6 g C V6Y rp - - 'Po - 5" T = l' also rp = 5" T t + <Po •

2. Der Schwerpunktsatz m 'is = 0 , m y,=-mg:

und die hierzu gehorigen Anfangsbedingungell:

y

x. (t = 0) = 0,4 l = C4 , y.(t = 0) = 1~ l = Os'

. 0 . -! C Ys(t= )=-voslnrpo=-vo·-;:-= " .l

Gleichung der Bahnkurve:

Mit x. (t) = Vo t cosrpo + x.o , (1)

·Ys(t)= Y.o-votsinrpo-ft2 (2)

erhiilt man aus (1)

Abb • .'1.6.3 t _ ;t •• - x.o - ,

Vo cosrpo (3

welches in (2) eingesetzt

g (x, - X'O)2 Y8 = y. (x.) = Y80 - (xs - x.o) tg <po - -2 2 a

Vo cos <po bzw.

y. = ~ 64 (xs) _ 125 (X8)2 l 54 -I:- 27 I 27 l

ergibt. Auch den Drehwinkel rp kann man in Abhiingigkeit von x darstellen, wellll man (3) beachtet:

.~ V~ ft+ .. ~ .. + V~ f ::;;;.': ~ .. + V~ f V;O.4~ 10 g l . 5"

= 0 927 + 10 [X8 - 0 4J • . 3 I " 10 (X8) rp = 3" T - 0,40(1 .

Vermischte Aufgaben. 401

7. Bewegung eines Reifens auf rauher Unterlage. Ein Kreisring (Masse m, Radius a) wird auf einer rauhen Unterlage (Gleitreibungs­koeffizient f1) mit den Anfangsgeschwindigkeiten Wo und Vo in Bewegung gesetzt (Abb. A 7.1). Welche BeziehungmuB zwischen Vo undwo bestehen, damit der Ring schlieBlich wieder in seine Ausgangslage von selbst zuruck­kehren kann, und nach welcher Zeit ist dieses der Fall ?

Gegeben: Wo = 5 sek-1 ; Vo = 3 m/sek; a = I m; f1 = 0,1.

Losung. Grundsatzlioh keiten gegeben:

sind fiir den Reifen drei Anfangsbewegungsmiiglich-

t'o a) Wo < - U' b) wo=-~,

a Vo

c) wo>-u. Da nur im Falle c) auf Grund der anfanglichen Winkelgeschwindigkeit eine

Verziigerung des Bewegungszustandes eintritt (nur dann wirkt die Reibungs­kraft wie in Abb. A 7.2 eingezcichnet!), kiinnen wir uns auf diesen Fall bE"­schranken.

x,x,x Abb.A 7.1 Abb. A 7.2

Der durch Fall 0) gegebene Bewegungszustand selbst umfaBt zwei Phasen der Bewegung:

I. Kombiniertes RoUen und Gleiten des Reifens auf der Unterlage. II. Reines RoUen (und zwar Zuriickrollen, wofiir eine bestimmte Beziehung

zwischen roo und Vo bestehen mull !).

I. Beweyunysphase. Schwerpunkts- und Drallsatz liefern (Abb. A 7.2).

rn ?isI = - R = - f1, rn g, d. h. f.Ly

XsI = - 2" t2 + C1 t + C2 ,

rn as if I = M = R . a = f.L rn g a ,

Aus den Anfangsbedingungen

xsdt = 0) = 0,

'Pdt = 0) = 0.-

d. h.

XsI (t = 0) = Vo .­

(PI (t = 0) = - Wo folgen

C1 = Vo , C2 = 0 .- C3 = - Wo , C4 = 0,

80 daB sich schlieBlich

t f1, Y /2 Xsl = Vo - 2" ' XSI = Vo - f.L g t ,

'PI = - 0)0 t + ~ g t2 .- PI = - Wo + f1, g t _a a

Szabo. ~[echanik. :1. Auf!. :26

402 Anhang.

ergeben. Insbesondere folgt fur die Umkehrlage t = to [XSI (to) = 0]

Vo to=-

p,g bzw.

V 2 o Xso = 2 p,g'

und wenn in dieser noeh ljJ(to) < 0 ist, also die Gleiehung

~ Wo + p, g to = - Wo + ~ < 0 bzw. a a

Vo wo>a-

besteht, kann der Reifen auf jeden Fall in seine Ausgangslage zUrUekgelangen.

Nur fur Wo > ~ ist also eine Ruckkehr des, Rei/ens in die Ausgangslage moglich. a

(1m vorliegenden Falle [vo = 3 misek, a = 1 m, Wo = 5 sek- 1] ist 5 > ~ = 3,

der Reifen kehrt also zuruek.)

Die II. Bewegungsphase (reines Rollen) beginnt zur Zeit t1 , die sieh aus der Roll­bedingung

zu

a <PI (11) = XSI (tl) , d. h. - Wo a + '" g tl = Vo - p, g t1

t _ w-,-;o ~a_+-,--v--,-o 1- 2p,g

ergibt. Die Anfangswerte dieser Bewegung sindl

p, g 2 1 [2 (Wo a - VO)2J X,I (tIl = Vo t1 - 2 tl = 2 P, g Vo - 2 '

. 1 XsI (t1) = Vo - '" g 11 = - '2 (wo a - vol ,

• XsI (It) 1 ( vo) CPI (IIl = -'-- = -- Wo --a 2 a '

und da hierbei (die Haftreibung des reinen Rollens bewirkt keinen Energieverzehr) eine gleiehftirmige Bewegung vorliegt, hat man

Xm = Xsr (It) . t + Cs , wobei Cs aus der Anfangsbedingung

X SlI (t = t1) = Xu (It) zu Cs = - XSI (It) . t1 + X'I (t1)

folgt, so daB man letztlieh

Xoll (t) = XoI (It) [t - tl] + XsI (t1)

erhalt. Die Zeit t2 , die bis zur Ruekkehr des Reifens vergangen ist, ermittelt sich damit aus

zu

t2 = t1- ~SI(l1) = _1_ (a wo+ vo)2 = 8,16 sek. XsI (It) 4 p, g a Wo - Vo

1 Fur X81(it) s: 0 wiirde bis zur Ruekkehr des Reifens in die Ausgangslage die Bewegungsphase II (reines Rollen) uberhaupt nieht auftreten. Dies ware also fur

o (woa - VO)2 Vo Vii - 2 s: 0, also Wo ~ 3 a-' der Fall, was jedoeh fur unsere Zahlen-

werte nieht zutrifft.

Vermischte Aufgaben. 403

8. Erhaltung des Drehimpulses. Auf der in Abb. A 8.1 darge­steliten, zunachst ruhenden reibungsfrei im Punkte 0 um eine lotrechte Achse drehbar gelagerten Scheibe (Tragheitsmoment e) steht im Ab­stande a yom Drehzentrum ein Mann (Masse m). Um welchen Winkel­verdreht sich die Scheibe, wenn der Mann auf einem konzentrischen Kreise auf der Scheibe einmal herumgelaufen ist. Man nehme die Masse des Mannes als punktformig konzen­triert an.

Losung. Da auf das System hinsichtlich der Dreh­achse keine auBeren Momente einwirken, muB der Drehimpuls D = 1: ele Wle = const = 0 sein (da der Impuls fiir die Anfangslage Null ist!). Mit eM = m a2

hat man damit e W + m a2 WM = 0 ,

Abb.AS.1 d. h. nach Integration hinsichtlich der Zeit

ecp +m a2 cpM= const = 0 (wegen CPM (cp = 0) = 0)

bzw. m a2

rp = --gCPM'

e

Wenn der Mann einmal herumgelaufen ist, hat er den Winkel CPM = 2 Jr "zuriick­gelegt" und damit folgt fUr die zugehorige Verdrehung der Scheibe

2 Jr m a2

CP=--g-.

9. Reine Biegung eines stark gekriimmten Stabes. Ein kreisformig gekriimmter Stab mit rechteckigem Querschnitt wird durch ein Biege­moment gemaB Abb. A 9.1 belastet. Man bestimme den Verlauf der Biegespannungen.

Losung. Wir betrachten zunachst verallgemeinernd einen Stab mit belie­biger, jedoch zur z-Achse symmetri­scher Querschnittsflache F, von dem wir ein Element herausschneiden. R sei hierbei der Radius der kreisformig gekriimmten Schwerachse und r der Radius der neutralen Faser, Schwer­achse und neutrale Faser fallen hier im Gegensatz zum geraden Stab nicht zusammen (Abb. A 9.2).

Ebenso wie beim geraden Stab be- Abb. A 9.1

b

h i

l

dingt die Ermittlung des Spannungs-verlaufes zunachst eine Annahme hinsichtlich der Dehnungen der einzelnen Balken­fasern. Sie werden in Analogie zum geraden Stab durch die BERNOULLIsche Hypothese des Ebenbleibens der Querschnitte festgelegt: Die Momentenbelastung erzeuge am Element eine reine gegenseitige Querschnittsverdrehung 15dcp zweier benachbarter Querschnitte. In diesem FaIle erfahrt eine in der Hohe z iiber der neutralen Faser (Spannungs-Nullinie) liegende Stabfaser die Verlangerung - z 15 d cP, so daB ihre Dehnung

z15dcp e(Z) = - ds(z) = (1\

2(\*

404 Anhang.

ist. Nach dem HOoKEschen Gesetz entspricht dieser Dehnung die Normalspannung

a(z) = E e (z) = _ E tJdq; _z_. (2) dq; r +z

Zur Ermittlung von tJ:; sowie der Lage Zo der Spannungs·Nullinie stehen die

Gleichgewichtsbedingungen fur das Stabelement zur Verfugung. Es ergeben sieh

I. aus der Gleichgewichtsbedingung hinsichtlich derin Tangentenrichtungwirken. den Krafte

j a(Z)dF = _ E tJdq; j'_z_dF = 0, dq; r+z

(F) (l!') und

d.h. j _Z_dF=O r+z

(F)

(3)

2. aus der Gleichgewichtsbedingung hinsichtlich der um die y.Achse drehenden Momente

M + f a(z) z dF = 0, (.F)

d. h. mit (2)

EtJdq; j~dF = M. dq; r + z

(F)

Beachtet man hierin noch die Umformung

j ~dF=j[- r+z +zJdF=-rj-Z dF+jZdF, r+z r z r+z

(F) (F) (F) (F)

also wegen (3)

j~dF = +j'zdF= +zoF, r+z .

(F) (F)

so erhalt man schlieBlich aus (4a) EtJdq; =~

dq; zoF und damit fur die - nicht line are - Spannungsverteilung nach (2)

M Z a(z) = --'-­

Fzo r + z mit den Extremwerten an den Randern (Abb. A 9.3)

. M Zl 1 mIn a = a(z = Zl) = --,- --, i Zo r+Zl

max a = a (z = Z2) = - ~ ~ = ~ _1_Z_21_. J . FzOr+Z2 F zor-lz21

(4a)

(4 b)

(5)

(6a, b)

Die Ermittlung der Spannungen reduziert sich also letztlich auf die Bestimmung von Zo bzw. r aus (3). Fiihrt man in (3) an Stelle von z die vom FIachenschwerpunktS aus ziihlende Ordinate z ein (Abb. A 9.2). so hat man wegen z = zo + z, r + Z = R + z aus (3)

d.h.

j _._Z_dF= r(z+z~) dF= r zdF_ +:<oJ dF_ =0. r+z . R+z . R+z R+z .

~ ~ ~ ~

Zo =

j zdF R+z

(F)

f'~ . R+z

(F)

j ·z + R dF - RJ~ R+z R+z

(F) (F) = R _ F (7)

j /:z J -!:z (F) (F)

Vermischte Aufgaben. 405

bzw. r = R - Zo = - ( dF

" R+Z-

(7 a)

(F)

Wir betrachten nun das Beispiel der Abb. A 9.1 und erhalten mit]l' = b . h sowie d F = b . d"Z aus (7) nach Integration

h h Zo = R - 1 + hit. R bzw. r = R - Zo = 1 + h/2 R . (8}

In ' I n co---~~--= 1 - h/2 R 1 - h/2 R

z

y

r

. ___ lL _\ bb. A 9.2

Fur ·den Fall schwach gekrummter Stiibe (x = 2'~ « 1) liiBt sich der in (8)

auftretende Logarithmus gemiiB

1 +x 2: X 2k+1 In--=2 ---I-x 2k+1

k=O h

in eine Reihe entwickeln, so daB man fur x = 2 R« 1

(d. h. sehr schwache Anfangskrummung) hieraus die Niiherung

In 1 + x "'" 2 (x + X3

) = !: +.!. (!:)3 I-x 3 R 12 R

und damit aus (8)

Abb. A 9.3

h l' 1 ~ [ 1 (h )2J 1 (h) Zo"'" R -!: I (!:)3 = R I - -l-..!. (!:)2 "'" R I - I + 12 R = 12k R R + 12 R 1 , 12 R

bzw.

r = R - Zo = R [1 - 112 (~rJ findet. AbschlieBend sei noch erwiihnt, daB fUr Stiibe mit Kreis- bzw. Trapezquer­schnitt nach Abb. 9.4

406 Anhang.

herVorgehen.

_____ Jl ____ L Abb.A9.4

10. Rakete. Eine Rakete mit kontinuierlichem Auspuff steigt senk­recht nach oben. Die Auspuffgeschwindigkeit Vr relativ zur Rakete und die sekundliche Auspuffmasse p. seien zeitlich konstant. Man stelle im luftleeren Raume fiir konstante Erdbeschleunigung g die Bewegungs­gleichung auf und integriere sie fiir den Fall, daB die Anfangsgeschwindig­keit am Erdboden Null ist. In welcher Hohe befindet sich die Rakete nach t = 10, 30, 50 sek, wenn je Sekunde 1 % der Anfangsmasse von Rakete und Treibstoff ausgestoBen wird und Vr = 2000 mjsek ist 1

Lijsung. 1m Gegensatz zur Aufgabe 4 der "Ubungen zu §§ 19-22 wollen wir hier die gesamte aus Rakete und Treibstoff zur Zeit t = 0 bestehende Masse als abge­schlossenes System ansehen, 80 daB wir, um die BewegungsgroBe ID (t) dieses Ge­samtsystems zur Zeit t angeben zu konnen, den Bewegungszust&nd jedes einzelnen zur Zeit T (T ;£ t) ausgestoBenen Teilchens verfolgen miissen. Dem Nachteil der da­mit verbundenen etwas umstandlicheren Darstellung der BewegungsgroBe steht dann jedoch der Vorteil gegeniiber, aus ihr (im Gegensatz zu der oben genannten Aufgabe) die Bewegungsgleichung aus einem formalen DifferentiationsprozeB her­leiten zu konnen.

1st m (t) = mo - m (t) die zur Zeit t noch vorhandene Masse von Rakete und Treibstoff, also m(t) die bis zur Zeit t bereits ausgestoBene Treibstoffmenge, so ist die BewegungsgroBe IDl (t) der Rakete, wenn ihre Geschwindigkeit mit b (t) bezeich­net wird, in der Form

IDl (t) = m (t) b (t) (1) darstellbar.

Zu dieserBewegungsgroBe sind nunmehr noch die Anteile aller bis zur Zeit t

ausgestoBenen Treibstoffteilchen dm (T) = ~~ d T hinzuzufiigen. Wird die zur

Zeit t vorliegende Geschwindigkeit eines solchen zur Zeit T ausgestoBenen Treib­stoffteilchens mit ii (t, T) bezeichnet, so folgt fiir die BewegungsgroBe

dID2(t) = a;: b(t, T) aT,

Vermisehte Aufgaben. 407

so daB schlieBlieh fiir den Gesamtimpllis aller Treibswffelemente naeh Summation t

~h(t) = J~~ u(l, r)dr (2) T=O

hervorgeht. Der Gesamtimpuls des zur Zeit t = 0 abgeschlossenen Systems lautet dm dm

dann unter Beaehtung von a:; = - a:;

so daB man aus (20.7) mit U (t, r = I) = 0 (t) + Dr

d dm _ do dm 'dm ilu [ t] t ;It m(t) 0 (t) ~1 a:; tJ (t, r)dr = m(t) at - TtDr ~jo a;:;. Tt dT = .\l' (3)

erhiHt. Bevor wir auf die vorliegende Aufgabe eingehen, betraehten wir noeh einmal kurz den Fall des Raketenwagens. Vnter Besehriinkung auf die Horizontalkompo­nente der G1. (3) gewinIlt man mit

D=VCx, u=vex, Dr=-VrCx und .\l'=-c:;eLFsv2ex

t dv dm j·dm ilv Cw

m(t) at + Ttvr - a:;. Tt dT = -2 eL F S v2 .

T=O

(4)

Hierbei ist v (t, r) als Horizontalkomponente der Geschwindigkeit eines zur Zeit ausgestoBenen Treibstoffteilchens aufzufassen. Sie ist, wenn man den EinfluB der Luftreibung auf diese Teilchen vernaehliissigt, konstant und gleieh der Anfangs­gesehwindigkeit wiihrend des AusswBens, also

v(t, r) = v(r) - Vr,

so daB ~~ = 0 ist. Einsetzen in (4) liefert dann in der Tat

dv dm Cw 0

m (t) - + - Vr = - - n F s v" dt dt 2 "L '

dm was wegen m(t) = mo - pt also Tt = -!t mit der Differentialgleichung des

Raketenwagens identisch ist.

Nun zur vorliegenden Aufgabe: Vnter Beschriinkung auf die Vertikalkomponente von (3) erhiilt man mit

o = vez, ii = VCz, Dr = - Vr Cz sowie mit der (auf das Gesamtsystem) einwirkenden Sehwerkraft Sf = - mo g ez schlieBlich

t

m (t) -+ -Vr- ---·-dr = -mog dv dm Jdm ilF dt dt dT ilt '

(5) T=O

wobei v (t, r) die lotrechte Geschwindigkeit zur Zeit t eines zur Zeit r ausgestoBenen Treibswffelementes ist. Diese Geschwindigkeit setzt sich zusammen aus der zur Zeit T vorliegenden Anfangsgeschwindigkeit V(T) - Vr und aus der Gesehwindigkeits­steigerung, die sich bis zur Zeit t (also wahrend t - r Sekunden) infolge des freien Falles des ausgestoBenen Teilchens ergibt. Demnach folgt

v(t, r)=v(r)-vr-g(t-r).

408 Anhallg.

d. h. 00 iii = ~g

und man erhiiJt hiermit schlieBlich aus (5) dv dm

m(i) Tt + Ttvr = ~mo g ~ g[m(t),- ?no] = ~rn(t) g,

d. h. mit m (i) = mo ~ ft t

d v ft Vr -= ~g+ . dt [ft ] mo 1 ~ ;n;;t

Die der Anfangshedingung v(t = 0) = 0 angepaBte Losung dieser Differential­gleichung lautet

v = ~ g t ~ Vr In [1 ~ ::0 tJ = :: '

und nach nochmaliger Integration erhiHt man mit Beachtung der Anfangsbedingung z (t = 0) = 0 fur die SteighOhe der Rakete

z (t) = Vr mo ·{(1 _ L t) In (1 _ L t) + L t} ~ J!... t2 • P, mo mo mo 2

Fur die vorgegebenen Zahlenwerte (vr = 2000 m!sek, p, = 0,01 mol erhiilt man hieraus fUr die SteighOhe nach t = 10, 30, 50 sek die Werte z (10 sek) = 0,54 km, z (30 sek) = 5,65 km und z (50 sek) = 18,4 km.

11. Potential anziehender Massen. Man zeige, daB die Komponenten der gemaB (21.34) gegebenen Massenanziehungskraft durch einfache Differentiationsprozesse aus einer skalaren Ortsfunktion gewonnen wprden k6nnen.

LUsung. Fur die in den Punkten PI (x; y; z) und P 2 (; ; 'Y} ; n konzentrierten Masseu m1 = 1 und m 2 = m (Ahb. A 11.1) gilt wegen

r = l'(x ~ ;)2 + (y - t})2 + (z ~ C)2 = V:-:-:­nach (21.34):

t {(X ~;) Sl'= ~rm~= ~rm ---' r3 . V-. . -.3'

(y~'Y)) I-a;

V· .. = {oox (rrm); o~ (rrrtl

rm = Gradient von -r- = grad f/J . (1)

)Ian nennt

Abb.All.l f/J = rm (2) r

das Potential des Gravitations/eldes, das wiederum wegen r r r

j Sfdr: =-Tm j'tdr: = ~Tmj'dr = Tm[~JT = rm = f/J (3) r3 r 2 r = r

als die von der Anziehungskraft Sl' an der Masse Eins beim Transport aus dem Un­endlichen in die Entfernung r geleistete Arbeit gedeutet werden kann_ Fur das Vo­lumeneIement dV der Diehte (! gilt dementsprechend:

df/J = Te dV = Te (;, t}, C)d;d'Y}dC

r V(X-;j2+(Y-t})2+(Z-C)2' (4)

Ais Beispiel bereehnen wir das Potential einer homogenen K ugelschale vom Radius R und der Dicke dR (Abh. A 11.2). 'Vir fuhren sog. Kugelkoordinaten R

Vermischte Aufgaben.

IJ und 'I' (Abb. 11.3) ein und erhalten dann fUr das Volumenelement rl V = 2:rR sinfJRdfJdR, so daB sich nach (4) fur die Kugelschale mit

z

409

.; = R sin fJ cos '1', 'YJ = R sin fJ sin 'I' , C = R cos fJ ,

x=y = O, Z=Z m,,1+-------. "

d tfJ = T e 2 :r R2 d RJ ' sin {) d {) Y R2 + Z2 - 2 R z cos it

6=0

ergibt. Die Substitution R2 + Z2 - 2R z cos {) = u2

liefert nach Transformation der Grenzen Iz+BI

dtfJ = Te2~RdR f du

u=lz-BI

= 27rTeRdR (Iz + RI-Iz - RI)· z

Wir konnen ohne Einschrankung z ~ 0 an· twhmen und erhalten

dtfJ = {4:rTeR2

: R fur

47rTe RdR fur

z

Abb,AIL2

z ~ R, (5)

z ~ R. Also: AufJerhalb der Kugelschale wird die Masse so angezogen, als ob die gesamte

Schnlenmusse 47rI}R2dR im Mittelpunkt vereinigt ware; im Innern erfahrt dagegen

z.C

I dR \ 0:> ........

2

/ /

Abb, All,3

die ,l!as8e (wegen d tfJ= const) keine Anziehung1J Bei z = R macht d,:e Kraft

dKz = 1z(dtfJ) einen Sprung vom Betrage 47rTedR!

1 In der Elektrizitatslehre, wo fur die elektrische Ladung dasselbe Gesetz wie fur anzie hende Massen gilt, erklart man hiermit das Phanomen des F ARADEYSchen Kiifigs.

410 Anhang.

12. Rentabilitiit der Kohlenforderung. Der Heizwert von 1 kg

Steinkohle betragt Q = 7000 k~;l (1 kcal = 427 kg m). Wie tief darf die

Kohle gelagert sein, wenn die gegen die Erdanziehung geleistete F6rder­arbeit nicht schon gr6Ber 1st als der Heizwert der Kohle 1 Erdradius a = 6370 km; man rechne mit der konstanten mittleren Erddichte e.

Losung. Die Kohle befindet sich innerhalb der Erdkugel in der gesuehten Tiefe x = a-z. Urn Formel (5) der vorangehenden Aufgabe zu verwerten, zerlegen wir die Kugel in eine Kugel vom Radius z und in eine Hohlkugel mit den Radien z und R; fiir die Kugelliegt die Kohle "auBerhalb", fiir die Hohlkugel "innerhalb". so daB wir unter Beaehtung der Definition des Sehwerepotentials (als Arbeitsdifferenz)

f/J = 4 Jl r (.!.j} R2 d R + faR dR _ .!. fa R2 dR) = Heizwery de~ (! z a Masscnemhelt

o z 0

fordern miissen. Da die Masse von 1 kg offenbar l: g (g = Erdbeschleunigung) ist, erhalten wir

.!. f/J = 4 Jl r (! (~+ a2 __ ~ _ a2 ) = Q = 4 Jl a 2 (! .!. £. [1 _ (~)2J g g 3 2 2 3 3 2g a

= ~ a3 ;r () .!. . ~ [1 - (-=-)2J = M ~ [1 - (-=-)2J ' 3 -~ ga a 2ga a

wobei j)[ die Erdmasse bedeutet. Wegen (21.37) folgt hieraus

z = a V 1 - ~ ~ = 1586 km bzw. x = a - z = 4"ti4 km.

13. Die Bahn eines kiinstlichen Erdsatelliten. Man bestimme die Bahn eines Erdsatelliten von der Masse m, der sich widerstandsfrei im Schwerefeld der Erde (Masse M) bewegt.

Losung. Die Losung des Problems erfolgt unter Voraussetzung von M > 'Ill,

nnd IT I sei so besehrankt, daB der Sehwerpunkt des Systems praktisch im Erd­mittelpunkt liegt. Dann bewegt sich die Masse m im Gravitationsfeld der Erde, die sieh in bezug auf den Sehwerpunkt des Systems in Ruhe befindet. GemaB

m y

Abb. A13.1 fiihren wir Koordinaten ein. Aus der Bedingung, daB der Korper sieh wider­

standsfrei hewegt, folgert man aus der Differential­gleiehung fiir die Tangentialbesehleunignng - s. (21.27) -

ber =.!. dd (r2q,) = 0: r t

r2 q, = const = C . (l ) rp Eine massebehaftete Kugel vertirsacht; (siehe An-

·~f:-:--L....--"------~::-,::::x- hang, Aufgabe 11) dieselben Massenkriifte wie

Abb. A 13.1 ein im Zentrum der Kugel mit derselben Masse behafteter Punkt, und somit liefert der Schwer-punktsatz fiir die Masse m (Abb. A 13.1):

.. dx dx. mO dx Mm 1 mx = m!it = m dcp cP = T2 dcp = -r-----:{2 coscp,

.. diJ di,· mCdiJ Mm. J Illy = m --- =1f/. - 'P = ---- = -r--smcp d t d rp r2 d rp ,/,2 •

(2)

Vermischte Aufgaben. 411

Mit x = T cos tp, y = T sin tp (Abb. A 13.1), also

:i; = T cos tp - T ~ sin tp , if = T sin tp + T ~ cos tp

erhiilt man nach Integration der G1. (2) hinsichtlich tp durch Gleichsetzen:

r costp - T~ sintp = -r ~ sintp + A, (3)

Tsintp + Tip costp = M rCcostp +B. (4)

Multiplikation der G1. (3) mit - sin tp und der G1. (4) mit cos tp liefert nach Addition der Gleichungen:

c (15) T =~r~M~---------------'

-c - A sintp + B costp

G1. (5) ist die allgemeine Gleichung der Kegelschnitte in Polarkoordinaten. Mit To = - Vo COSIXO ' Torfo = - Vo SinlXo (Abb. A 13.1) und r M = g R2 (R = Erd­radius) errechnen wir die Konstanten zu

ro g (!!..)2 A ~ . = - vocos(ao + tpo) -. Slll'Po'

t·o SlnlXo

. roy(:r B = - 1"0 8111(ao + tpo) + . 0 cos 'Po'

Vo slnlXo

Urn die Gleichung (5) auf die Normalform (21.24) r = 1 P zu bringen, wahlen + e costp wir tpo so, daB

A = [1'0 cos(xo + 'Po) + ro y (~r sin <1'0 "\ = 0 Vo SllllXO J

wird. Wir erhalten l" 1 sin2IXo ~ 'Po = arc tg "2 [ .. T Y (RjT )2J .

Slll2X _ 0 0 o 'v~ _

( 6)

., 'Vi) • <)

11 = g ( ~ r sm" Xo

e = [ til 2 sinlXo sin (lXo + 'Po) - cos 'To]. TO y TO)

(7)

und (8)

und die Gleichung fur T = T(tp) lautet:

r = 1 +-[-- 1J~2 sinxo sin(IXo + <l'ol - cos <1'0] cos (f To g (R/Tol .

(B)

Das zugehOrige Koordinatensystem hat hierbei die in Abb. 21.9 darge:rtellte Lagc. Gl. (9) Hefert

fur e > 1 Hyperbeln, fur e = 0 Kreise, fur e = 1 Parabeln, fUr -1 < e· < 0 Ellipsen, fUr 0 < e < 1 Ellipsen. fUr e = - 1 Geraden.

e < -1 bedingt in GJ. (7) Y < 0 (AbstoBung) und liefert Hyperbeln.

412 Anhang.

Beispiel. Ein Satellit habe in einer Hohe ho = 960 km die zum Fahrstrahl senkrechte Geschwindigkeit I \)0 I = 25930 km/h. Wie graB ist seine groBte Geschwin­digkeit und wie lange dauert ein Umlauf?

Aus G1. (6) folgt wegen ao = ~, daB rpo = 0 ist. Aus GJ. (7) erreclmet man

E = - 0,0486 und tiber die Beziehung E = VI - (~r (vg1. § 21.6) erhalt man

I . dF 2nab b = 0,9999 a ~ a. Aus G1. (1) fo gert man r2 rp = 2-d ' woraus T = --

t rot"o nach Integration hervorgeht. Es wird T=96,2min. Weiterwird t"max=V(rp= cr)

To km h R =vo =28500-h .Aus(9)folgt min=r(rp=cr)- = 280km. r(rp=n)

14. Hochklettern an einem Seil. Urn eine kreiszylindrische Rolle von del' Masse m und dem Radius a ist ein Seil gelegt, an dessen Enden sich zwei Manner von gleicher Masse jJ[ festhalten. Was geschieht in diesem ruhenden System, wenn del' eine Mann mit der Relativgeschwin­digkeit v am Seil hochzuklettern beginnt?

Losung. Da ein Drehmoment ausiibende auBere Krafte nicht vorhanden sind (von Reibung wird abgesehen), muB der Gesamtdrall des Systems wegen des an­fanglichen Ruhezustandes Null sein:

m "2 a2 W + ~il:f u a + M a (u - v) = O.

Hierbei ist u = a w die absolute Geschwindigkeit, mit der der zweite Mann hoch­gezogen wird. Man erhaIt: v

u=--­m

2+2111

Fur m = 0 (masselose Rolle) folgt u = v/2, d. h. beide Manner bewegen sich mit der gleichen (absoluten) Geschwindigkeit aufwarts, aber der eine muB mit der doppelten Geschwindigkeit am Seil hinaufturnen, wahrend der andere (am Seil} ruht!

15. Bewegung im Erdinnern. Man denke sich die Pole del' Erde durch eine geradlinige Rohre verbunden und untersuche, welche Be­wegung eine mit del' Anfangsgeschwindigkeit Null in diese Rohre hinein­fallende Masse m ausfiihrt.

Gegeben: Erdradius a = 6370 km,

mittlere Erddichte e = 551.7 kg se4 k2 . , m

Losung. Die Masse m befinde sich in einer Entfernung z vom Erdmittelpunkt. Sie besitzt dort das Potential (s. Aufgaben 11 und 12, Anhang)

z a

IP=4nr 12 (+.f li2dR+/ RdR)=2nr(J(a2-'~). o z

Die Bewegungsgleichung lautet also

Kz = m dIP = _ 4 n r 12 m z = __ w2 m z = m z·· d h z·· + w2 Z = 0, dz 3 ' ...

deren den Bedingungen z (0) = a, Z (0) = 0 geniigende Losung z = a cos w t ist. Sie stellt eine harmonische Schwingung urn den Erdmittelpunkt dar mit der Fre-

l~nr12 . quenz OJ = V-3-= 1,23·lO-3 sek-1,derSchwmgungsdauerT = 2:7/w = Ih25' 12"

und der Maximalgeschwindigkeit im Erdmittelpunkt Vmax = wa = 28200 km/h.

Namen- und Sachverzeichnis.

AbschuBwinkel 238. Achse, freie 232. Ahnlichkeit der Krafte 379. Ahnlichkeit, geometrische 379. -, kinematische 379. -, mechanische 379. '-, sta.tische 379, 386. -, zeitliche 379. Ahnlichkeitsgesetz 379, 382 ff. -, Newtonsches 379ff. - von BERTRAND 381. Ahnlichkeitsmechanik 378 ff. Anderung, lokale 344. -, konvektive 345. -. substantielle 345. Amplitude 227, 292. Aperiodischer Grenzfall :~05. Arbeit 239. Arbeitssatz 238. ARCHIMEDES 4, 28, 40. -. Prinzip von 350. ARISTOTELES 2. ATHEN 269. Auflager 53. - -krafte 53, 55, 173. Auftrieb 350. AusfluB aus GefaBen 351. Axiome. N ewtonsche 217ff. Axiom, BOLTZMANNsches 220ff.

BACON 3. Bahnkurve 201ff. Balken 54ff., 69, 82. - auf nachgiebiger Unterlage 130ff.,

160ff. - -bettungszahl 131. --biegung 91. - -biegung, schiefe 117, 158. -, brettformiger 114. Ballistisches Pendel 325. - Problem 268. Befestigungsschraube 261. Beharrungsprinzip 7. BENEDETTI 5. BERGER 319. BERNOULLI, DANIELL 8, 346, 347. -, JACOB 7, 90, 225. -, JOHANN 7. -sche Gleichung 346ff.

BERNOULLIsche Hypothese 91. Beschleunigung 204, 210. -, absolute 213. --, Coriolis- .207, 213,272. -, Erd- 216. -, Fuhrungs- 207, 213, 272. -, Normal- 205ff. -. Radial- 243. -, Relativ- 207, 213, 272. -, Tangential- 205ff. -, Winkel- 208. -, Zentripetal- 208, 272. Beschleunigungsvektor 204. Bewegung, allgemeine (krummlinige )203. -, Dreh- 210.

ebene 210, 230, 233. , freie 246.

-, gefUhrte 246. -, gradlinige 202 -, instationare 347. -, Relativ- 212, 247, 272. - starrer Korper 209. -, stationare 347. -, translatorische 209. Bewegungsgleichungen des starren K6r-

pers 230. - der Hydrodynamik 345. Bewegungs-groBe 216. --widerstande 251, 301. Biegemoment 69. -, reduziertes 187, 198. Biegespannungen 93ff., 145. 150. Biegung und Druck bzw. Zug 125, 159. Biegung, reine 92. - stark gekrummter Stabe 403. Binormalvektor 26, 270. Bodendruck 130. Bogenelement 25. BOLTZMANN 220, 235. BREDTsche Formeln 139. Bruckenschwingung 337 ff. Bruckenwaage 173.

CARNoTsche Gleichung 354. CAuCHYsche KennzahI 385. -sches Modellgesetz 385. CAVALIERI 28. CGS-System 234. CORIOLIS 207.

414 Namen- und Sachverzeichnis_

Coriolis-beschleunigung 207, 213, 272. --kraft 247, 273. COUETTE 360. - -striimung 360. COULOMB 90. -sche Reibungsgesetze 257. CREMONA 177. -scher KriiftepJan 177, 192. CULMANNSche Hilfsgerade 55, 62.

Dampfung 301. -, geschwindigkeitsproportionaie 303ff. -, schwache 306. -, starke 304. Dampfungskonstante 302. D'ALEMBERT 8,242. Dauerbruch 83. Deformation 80ff. Deformationsarbeit 293. Dehnung 82. DE SAINT-VENANT 8,86,87,91,319 356. -, Prinzip von 116. ' -sche Torsion 138. DESCARTES 241. Determinanten 16. Deviations-moment 228. - -widerstand 249. Dichte 65, 216. DIJKSTERHUIS 3. Drall 220. Drallsatz 220 ff. Drehachse 209. Drehimpuls 220. -, Erhaltung des 340. Drehrnornent 46. -, Arbeit des 232. Drehpol 210. Drehsinn 41. Drehung 209. - urn eine feste Achse 231. - urn eine freie Achse 232. Drehzahl 208. Dreigelenktrager 172, 189. Drillung 136, 143. Druck 2!l, 37. - auf Rohrwande 353. - -energie 347. -, Fliissigkeits- 343. --hOhe 347. -, kinetischer 231. --rnittelpunkt 349. --verteilung, hydrostatische 151, 349. Durchbiegung 105ff., 184, 198. Durchhang 192 ff. Dyn 234. Dynarne 50ff. Dynarnik 3, 199 ff.

Eigenfrequenz 292, 295ff. -, erste 296, 299 ff. Eigenwertgleichung 168.

Eigenwertproblern 8. Einachsiger Spannungszustand 86. EinfluBlinie 115. EinfluBzahl 115. Eingepragte Kraft 32. Einheitsvektor 9. Einspannrnornent 54, 73. Einspannung 54, 73. Einzelkraft 27, 30. Eisenbahnschiene 160. Elastischer Bereich 81, 83. Elastische Knickung 130. Elas'ische Linie 90 --., Differentialgleichung der 96 105. Elastizitatsrnodul 83. ' Elastizitatstheorie 80 ff. Elliptische Funktion 226. Elliptisches N orrnalintegral 226. Energiebilanz 273. Energie, kinetische 232. 293. -, potentielle 233, 293. -, Rotations- 233. -, Erhaltung der 233. -, Translations- 233. --verlust 307, 348. Erdbeschleunigung 65. Erg 234. Erregerkraft 308ff. Erregung, periodische 310. EULER 7, 90, 207, 262, 343. --Last 130. EULERSche Formel 210. - Turbinengleichung 374. - Differentiationsregel 345. - Bewegungsgleichungen 345. Exzentrische Beanspruchung 128, 159. EYTELWEIN 8, 264.

Fachwerke, ebene 174. Faden 36. Fallhiihe 237. Feder 137. Federkonstante 137, 293. -, resultierende. 300. Federrnasse, Beriicksichtigung der 295. Federn, hintereinander geschaltete 300. -, parallelgeschaltete 300. -, zusarnmengesetzte 300. Feld, konservatives 240. Festigkeitslehre 80. Fixierung, pJiitzliche 318 326. Flachen-geschwindigkeit 236, 243. - 'satz 236, 243. Flachentragheitsrnoment 95, 98. -, axiales 98. - fUr beliebige Achsen 102. -, invariante Beziehungen fUr 101 -, polares 99, 136. Flankenradius 260. Flansch 169.

Namen- und Sachverzeichnis. 415

Fliissigkeiten, ideale 343 ff. -, ziihe, viskose 342, 356ff. Fliissigkeitsdruck 343ft FOPPL, A. 8. FOUCAULTsche Pendelversuche 248. FOURIER-Reihe 311. FRANCIs-Turbine 373ff. Freie Achse 232. Freie Bewegungen 246. Freier Fall 2, 6, 213. Freiheitsgrad 209. Freileitung 194. Frequenz 208. -, Eigen- 295. -, Erreger- 314. -, Kreis- 292. FROUD Esche Kennzahl 384. Fiihrungs druck 271. -·kraft 247.

GALILEI 3, 5, 7, 26, 31, 89, 218, 227, 237, 245, 318, 378 •

.......sches Relativitatsprinzip 201. GAUSS 8. Gefiihrte Bewegung 246. Gegenwirkungsprinzip 29, 217. Gelenk 37, 54. --viereck 175. Geodiitische Hohe 347. Geradliniengesetz 94. Geradlinige Bewegung 202. Gesamtimpuls 220. Geschichtliche Bemerkungen 3 ff., 89 ff.,

241,244 ff., 287, 318 ff., 362ff., 378 ff. GeschoB-bahn 268 ff. --widerstand 253. Geschwindigkelt 202, 210. -, absolute 212. -, Fiihrungs- 207, 212. -, kritische 339. -, Relativ- 207, 212, 272. -, stationare 274. -, Umfangs- 208. -, Winkel- 208. Geschwindigkeits-hohe 347. --vektor 203, 346. Gestaltanderung 342. Gewicht 27, 215. -, spezifisches 27. Gleichgewicht 26, 54. Gleichgewichts-bedingung 33, 42, 45,53. - -system 32. Gleitlager 54. Gleitreibung 256. Gleitreibungs-gesetze 257. - -koeffizient 257. Gleitung 85. GRAMMEL 250. Gravitations-gesetz 244. - -konstante 244_

Grenzschichttheorie 358. Grund-gesetz, dynamisches 215. --krafte 381. --maBstabe 380. GUERICKE 7. GULDINSche Regeln 67. lIAACK 269. HXNER'r 269. Haftreibung 254. Haftreibungszahl 255. HAGEN 361, 363. HAGENBACH 361. HAGEN-POISEUILLEsches Gesetz 363. Halbschwingung 303. HAMEL 3, 8, 214. HAMILTON 8. Harmonische Schwingungen 227. Haupt-normalvektor 205. - -spannungen 88, 170. - -spannungsebenen 170. - -spannungstrajektorien 171. --triigheitsachsen 95, 102, 228. --tragheitsmomente 102, 228. Hebelgesetz 4, 40. HELMHOLTZ 241. HERON 4. HERTZ 319. HILBERT 218. Historische Bemerkungen s. Gcschicht-

Hche Bemerkungen. Hodograph 206. Hohlquerschnitte, diinnwandige 138. HOOKE 82, 89, 245. - sches Gesetz 82 ff. Horizontalzug 181. HUYGENS 7, 225, 245, 287, 318. Hydraulische Hohe 347. Hydrodynamik 345ff. Hydromechanik 342 ff. Hydrostatik 349. Hydrostatisches Paradox on 350. Impuls 220. -, Erhaltung des 236, 281, 321. -, Dreh- 220. Impulssatz 236, 352. Inkompressibilitiit 343. Inertialsystem 201, 219. Innere Spannungen 30. Instabilitatsproblem 82, 129. Instationare Bewegung 347. Isochronie des PendeIs 227. JACOBI 8, 226. JAHNKE-EMDE 226_ JOULE 234. KANT 1. KARMAN 8, 316. KAUDERER 316. KAUFMANN 348. Kavitation 348.

416 Namen- und Sachverzeichnis.

Kei! 259. KEPLER 7, 236, 244. - sche Gesetze 242. Kern 127. Kesselformel 133, 163. Ketten 36, 179. Kettenlinie 184. Kilopond 234. Kinematik 3, 199ff. Kinematische Bestimmtheit 175. Kinetik 3, 234. Kinetische Energie 232, 293. KmcHHoFF 91. Knick-last 129. - -linie 160. - -spannung 130. Knickung 129, 167. Knotenpunkt 37, 174. Knotenschnitt 190. Kompressionsperiode 321. Kontinuitatsgleichung 348. KOZENY 348. Kraft 26ff., 214. -, auBere 32. -, Auflager- 53. -, Druck- 37. --eck 34, 42, 185. -, eingepragte 32, 230. -, Einheit der 27. -, Einzel- 27. -, innere 32. ~, -kreuz 52. -, Langs- 69. -, Linienfliichtigkeit der 30. -, Massen- 27. -, Quer- 69. -, Reaktions- 32, 53, 230. -, Reibungs- 255ff. -, resultierende 33. -, Schein- 247. ~ -schraube 50. -, Schub- 156. -, Sei!- 181. -, Stab- 38, 57, 176. -, StoB- 238. --vektor 26. -, Zentral- 236, 243. -, Zentrifugal- 236. -, Zentripetal- 235. -, Zug- 37. Krafte-dreieck 36. --maBstab 36, 42. --paar 40ff. --parallelogramm 33. --plan 55. --polygon 34. --reduktion 32. - -system 32. - -zerlegung 32, 46, 56. --zusammensetzung 32, 39, 45, 49.

Kreis-bewegung 208. --frequenz 292. - -ringquerschnitt 137. --rohr, diinnes 162. --zylinderschale 133, 162 ff. Kreisel 249 f. --wirkung 248, 278. Kreissegmentschiitz 377 ff. Kritische Geschwindigkeit 339. - Last 129, 167ff. Kriimmung 90, 96, 205. Kriimmungsradius 90, 206. Kugelkoordinaten. Kupplung, Reibungs- 283. Kurbeltrieb 397.

LangenmaBstab 41. Langskraft 69. Lageplan 41, 177. Lagerreibung 263. Lagerreibungsradius 263. LAGRANGE 8. LAlIIEsche Konstante 89. Laminare Stromung 356. Lastebene 69, 143. Lasten, Schnitt- 71ff. Laufrad 266, 373. LEFSCHETZ 316. LEIBNIZ 7, 242. Leistung 233, 234. Leit-flachen 246. --kurven 246. --rad 373. LEONARDO DA VINCI 4. Linienfluchtigkeit der Kraft 30 ff. Linienintegral 239. Logarithmisches Dekrement 306.

MARIOTTE 90. Masse 65, 216, 234. -, reduzierte 229. -, schwere 65. -, trage 216. Massen-anziehungstheorie 242. --kraft 27. --mittelpunkt 64. --punkt 235. --tragheitsmoment 223, 228. MaBsysteme 234. MAYER 241. Mo LAOHLAN 316 Mechanische AhnIichkeit 379. Membranspannungszustand 164. MERSENNE 225. Metazentrum 366. MILNE-THOMSON 226. MINORSKI 316. Modell 378ff. - -gesetze, REYNOLD, FROUDE, CAUCHY

384ft. MOHR 8, 184.

Namen- und Sachverzeichnis. 417

MOHRscher Spannungskreis 86. -scher Tragheitskreis 104. -sches Verfahren 184ff., 198. Moment 43ff. -. Biege- 69. -, Dreh- 46. -, Einspann- 54, 73. - der Kreiselwirkung 249. - der RolIreibung 267. Momentanzentrum, Satz vom 210. Momentensatz 220 ff. Momentenvektor 43. MORIN, Reibungsgesetze von 257. NAVIER 8, 91. NEMORARIUS 4. Neutrale Achse 90, 93. NEWTON 4, 7, 82, 215ff., 242, 245, 301,

319, 343. -, Gegenwirkungsprinzip von 29. -sche Axiome 217. - sches Ahnlichkeitsgesetz 379 ff. -sches Grundgesetz 214ff., 235 .. -sche StoLlhypothese 322. -sches Widerstandsgesetz 251 f. Nichtlineare Schwingungen 315 ff. Nietteilung 156. Niettrager 154. Normalspannung 30. Normalvektor 25, 205, 270. Nullinie 119. Nutzarbeit 240. Oberflachenspannungen 30. Omega-Verfahren 130. OrthogonaJitatsrelationen 311. Ostabweichung 214. Parallelogrammaxiom 218. Parallelogrammgesetz 7. Peitsche 288. Pendel, ballistisches 325. -, hin und her schwingendes 226. -, mathematisches 225. -, physisches 223ff. -, uberschlagendes 226. -, Zykloiden- 287. PendelIange, reduzierte 224. Periode, Kompressions- 321. -, Restitutions- 321. Pferdestarke 234_ Phasen-verschiebung 292. - ·winkel 314. Pitot-Rohr 368. Platten 82, 114. PLUTARCH 246. POINSOT 8. -, Satz von 250. POISEUILLE 361. POISSON 8. -sche Querkontraktionszahl 84, 86. Pol 42.

Szab6, Mechanik, 3. Auf].

Pol, Dreh 210. --hodie 211. - -strahlen 42. Polares Flachentragheitsmoment 99. POLONcEAu·Tragcr 179. PONCELET 8, 356. Potential 408. - einer Kugelschale 408. Potentielle Energie 233. PRANDTL 8. Prinzip von DE SAINT·VENANT 116. Profile, dunnwandige 143. Proportionalitatsgrenze 83, 130.

Querdehnung 84. Querkontraktion 151. -, behinderte 114. Querkontraktionszahl 84. Querkraft 69. Querschnitte, zusammengesetzte dunn-

wandige 141.

Radial· beschleunigung 243. --ver~chiebung 134. Rakete 406. Raketenwagen 274. Randstorungslasten 163. RandstiirunFszustand 164. Reaktions krafte 32. --prinzip 217. - -stoLl 325, 334. Rechts-schraube 16. - ·system 15. REDTENBACHER 8. Reduzierte Biegemomente 187, 198. - Masse 229. - Pendellange 224. Reflexionsgesetz 324. Reibung 250ff. Reibungs-kegel 255, 287. - -koeffizient 255. - ·widerstand 254. --winkel 255. Reifen 401. Reine Biegung 92. Relativbewegung 212, 247, 272. Relativitatsprinzip, GALILEIsches 201. Resonanz 31Off. --fall 313. --schaubild 3:12. Restitutions-periode 321. --koeffizient 322. REYNOLDS 356, 363 ff. -sche Zahl 356, 364, 384. Reziproke Figuren 178. Reziprozi~atssatz von MAXWELL 116. Richtungskosinus 12. Ringspannung 133. RITTER 8, 177. -sche Schnittmethode 178, 191. Rollen, reines 265.

27

418 Narnen- und Sachverzeichnis.

Rollen von Radern 264. Rollkurve 211. Rollwiderstand 267. Rotation 209. - urn eine feste Achse 231. - urn eine freie Achse 232. Rotationskiirper 67. --oberflache 67. --volumen 68. RiickstoB 220.

SAINT-VENANT, DE 8, 86, 87, 91, 319, 356. -, Prinzip von 116. -sche Torsion 138. Satellit 244, 410. Saugrohr 376. Skalar 8. --produkt 13. Schalen 82. -, kreiszylindrische 133. Scheinkrafte 247. Schiefe Biegung 117. - Ebene 5, 258, 264. Schiene, unendlich lange 132. Schlankheitsgrad 130. SCHLICHTING 358. SchluBlinie 55, 188. Schmiegungsebene 205. Schrniegungskreis 90, 206. Schneidenlast 134. Schnitt-lasten 71 ff. - - -, allgemeine 390. - -prinzip 70, 172. Schraube 259. -, Befestigungs- 261. -, flachgangige 260. -, scharfgangige 260. Schraubenfeder, zylindrische 137, 293. Schraubenlinie 25, 270. Schubkurbeltrieb 397. Schub-spannungen, zugeordnete 120. - -durchsenkung 124ff., 157. --fluB 138. --kraft 156. --mittelpunkt 142. --modul 86. SchuBbahn 238. Schwergewichtsmauer 393. Schwerkraft 26. Schwerpunkt 62. -, Flachen- 64, 68. -, Linien- 64, 68. -, Volumen- 64. Schwerpunktssatz 219ff., 230 .. Schwingungen, erzwungene 308. -, -, nichtlineare 316.· -, freie 302ff. -, -, nichtlineare 316. -, harmonische 227, 291. -, Longitudinal- 293.

Schwingungen, selbsterregte 310. -, Transversal- 296ff. Schwingungs-dauer 225ff., 285ff. - - - nichtlinearer Schwingungen 340ff. - -mittelpunkt 225. Sei! 36, 179. --eck 41. --linie 185. --polygon 41, 55. --reibung 261. --rutsch 282. - -steifigkeit 263. Spannung 29. -, innere 30. -, Haupt- 88. -, Knick- 130. -, Normal- 30. --, Oberflachen- 30. -, Schub- oder Scher- 30. Spannungs-kreis, MOHRscher 87. - -tensor 30. - -trajektorien 88, 171. - -zustand, einachsiger 86. - -. zweiachsiger (ebener) 87. Spatprodukt 17. Spezifisches Gewicht 27. Stab 36. --knickung 90, 125ff. --krafte 38, 57, 176. --masse, Beriicksichtigung der 298. --polygon 42. -, raumlich gekriirnmter 390. --schwingung 294ff. STAMPFER 287. Starrer Kiirper 31. Statik 1, 3, 26, 171. - des starren Kiirpers 1. -, Ebene 53. - der Systeme 171. Stationare Bewegung 347. Statische Auslenkung 293, 328. - Bestimmtheit 32, 53, 80. - Unbestimmtheit 32, 70, 80. Statisches Moment 64ff. Stau-druck 351. - -hOhe 367. - -rohr 368. STEINER, Satz von 99, 146, 228. STEVIN 7, 31. STOKER 316. STOKES 363. StoB 238, 318ff. -, elastischer 323. -, gerader zentraler 321. --hypothese, NEWToNsche 322. --kraft 319. - -kraft, maximale 297. - --, mittlere 238. -, Langs- auf Trager 329_ - -normale 321.

Namen- und Sachverzeichnis. 419

StoB-mittelpunkt 324ft - -periode 321, 322. -, Reaktions- 325. -, schiefer exzentrischer 321, 324. -, schiefer zentraler 321, 324. -, unelastischer 323. - -zahl 322 ff. Strahlreaktion 353. Stromung 356. -, laminare 356. -, turbulente 356. Stromungswiderstand 364. Stromfaden 348. Stromlinie 136, 346. Tangentenvektor 22, 203. Tangential-kraft 46. - -spannung 133, 165. TETMAJER 130. TORRICELLI 351. Torsion 93, 135ff. - diinnwandiger Hohlquerschnitte 13S. -, freie 13S. - schmaler Rechteckquerschnitte 139. -, WOlbkraft- 138. Torsions-moment 71. - -schwingungen 332 ff. - -steifigkeit 138, 141. --winkel 135. Trager 69. Tragheits-ellipse 103, 145. --gesetz 217. - -kreis 104. - -momente 98, 146, 228. --momente, invariante Beziehungen

flir 101. --radius 99, 103, 147. Trajektorien -, Hauptspannungs- 171. -, Schubspannungs- 171. Translation, reine 215, 231. TREFFTZ 316. Triebrad 266. Trigonometrisches Polynom 310. Trockenreibung 302. Turbinengleichung 374. Turbulente Stromung 356, 364. TYCHO DE BRARE 7, 242.

Ubertragungs-gesetze 378, 3S1 ff. --maBstabe 379ff. Uhrpendel, Regulierung 285. U mfangsgeschwindigkeit 20S. Umkehrpunkt 203, 302. Umlaufs-zahl 208. --zeit 208.

V ARIGNON 31. Vektor 8. -, absoluter Betrag 9. -. Beschleunigungs- 204.

Vektor, Binormal- 26, 270. - -differentiation 20 ff. -, Einheits- 9, 10. -, Ireier 9, 44. -, gebundener 9. -, Geschwindigkeits- 136, 203. - ·gleichung 12. -, Kraft- 26. -, Iinienfliichtiger 9. -, Momenten- 43. -, Normal- 25, 205, 270. -,Orts- 12. - -produkt, auBeres 15, - --, inneres 13. -, Radius- 12. ---rechnung Sff. -, Tangenten- 22, 270. -, Verschiebungs- S1. -, Winkelgeschwindigkeits- 209. VergroBerungsfunktion 313. VerIusthOhe 348. Verschiebung 83. -, Radial- 134. Versetzungsmoment 45. Verwindung 136. Verwolbung 135, 138. -, behinderte 138. Viskosimeter 376. Volumendilatation 84.

WATT 234. WEISBACH 354. WEISSBACH S. Welle, abgesetzte 198. -, kreiszylindrische 170. Widerstands-moment 96. --ziffer 252. Winddruck 253. Winkel-beschleunigung 208. - -geschwindigkeit 208. WINKLER 130. Wirkungs-grad 240, 261. - -linie 31. WOHLER-Kurve 83. Wurf, schiefer 237. -, senkrechter 238_

Zahigkeit 356. -, kinematische 357. Zahigkeits-koeffizient 357. - -messung 376. Zentral-achse 50. --kraft 236, 243. Zentrifugal-kraft 236. - -moment 95, 100, 146. Zentripetal-beschleunigung 20S. - -kraft 235. Zugeordnete Schubspannungen 120. Zwangskriifte 32, 246. Zweiachsiger Spannungszustand S7, 396.

27*