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Leitidee Zufall Montag, den 14. Januar 200814.30 - 17.00 Uhr
1. Grundbegriffe und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung - Präsentation –
Zufallsgeräterelative Häufigkeit und WahrscheinlichkeitErgebnisse und EreignisseSummen- und Produktregelzweistufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme
2. Übungen
3. Simulationen in Excel
4. Mathematik interaktivSoftware zur Simulation; Zeichnen von Baumdiagrammen
Leitidee Zufall
Bildungsstandards BW
Klasse 10
Leitidee Zufall Leitidee Daten und Zufall
Die Schülerinnen und Schüler- werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus,- planen statistische Erhebungen,-sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar, auch unter Verwendung geeigneter Hilfsmittel (wie Software),- interpretieren Daten unter Verwendung von Kenngrößen,- reflektieren und bewerten Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren,- beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen,- bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten.
Bildungsstandards national
Mittlerer Bildungsabschluss
Leitidee Zufall
Zufallsgeräte, Zufallsversuch, Ergebnisse, relative Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit, Ereignis, Summenregel, sicheres Ereignis, unmögliches Ereignis, Gegenereignis
Zufallsgeräte
Einstufige Zufallsversuche
Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Bei vielen Zufallsversuchen (Ziehen einer Kugel aus einem Behälter, Werfen eines Würfels, …) lassen sich die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ergebnisse durch
- die Annahme gleicher Chancen (bedingt z. B. durch die Symmetrie der Zufallsgeräte) für die möglichen Ergebnisse
bestimmen.
Wie groß ist aber die Wahrscheinlichkeit mit dem Reißnagel „Seite“ zu werfen?
Hier müssen Sie ein Experiment durchführen.
Leitidee Zufall – Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Relative Häufigkeit... Anzahl „Bauchlage“ / Anzahl der Würfe
Anzahl der Würfe5 10 15 20 25 30 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Anzahl "Bauchlage"2 6 10 15 18 21 25 40 53 65 75 87 100 110 125
relative Häufigkeit "Bauchlage" 0,4 0,6 0,67 0,75 0,72 0,7 0,625 0,67 0,66 0,65 0,625 0,621 0,625 0,611 0,625
Das Experiment mit dem Reißnagel legt für die Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses folgende Definition nahe:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses=
relative Häufigkeit des Ergebnisses (n gegen unendlich)
------------------------------------------------------------------------------------------------
Die Definition
Anzahl der günstigen Fälle / Anzahl der möglichen Fälle
führt mit der Annahme der Gleichwahrscheinlichkeiten zum gleichen Ergebnis.
Leitidee Zufall – Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Leitidee Zufall
Beispiel
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine gerade Zahl zu ziehen?
Wir betrachten mehrere Ergebnisse.
Mehrere Ergebnisse bilden ein Ereignis.
6 3 1 2
5 1 2 1
1 2 3 4
Ergebnisse und Ereignisse
Leitidee Zufall
Summenregel
Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die das Ereignis bilden.
6 3 1 2
5 1 2 1
1 2 3 4
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „gerade Zahl“?günstige F/ mögliche F = 5/12
Wahrscheinlichkeiten fürErgebnis 2: Ergebnis 4: Ergebnis 6:
3/121/121/12
Ergebnisse und Ereignisse
Leitidee Zufall
Ergebnis: Ausgang eines Zufallsversuchs
Ein Ereignis setzt sich aus mehreren Ergebnissen zusammen.
Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet sich aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse.
Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1.
Das unmögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0 .
Alle ungünstigen Ergebnisse bilden das Gegenereignis.
Ist p die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, so ist die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ist (1- p).
Leitidee Zufall
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:
Die gewürfelte Zahl ist
a) geradeb) ungerade
c) eine Primzahld) eine Quadratzahle) kleiner als 5
f) größer als 2 und kleiner als 5
g) kleiner als 7
h) größer als 6
0,5
0,50,5
0,333…
0,333…0,666…
01
Leitidee Zufall
Zweistufige ZufallsversucheZweistufige Zufallsversuche,
Baumdiagramm, Pfadregel
Mögliche Ergebnisse:
aa, an, na, nn
P(aa) = 3/5 * 3/5 = 9/25
P(an) = 3/5 * 2/5 = 6/25
P(na) = 2/5 * 3/5 = 6/25
P(nn) = 2/5 * 2/5 = 4/25
2-mal Ziehen mit Zurücklegen
a n
a a a n n a n n
2/53/5
2/53/52/53/5
Leitidee Zufall
Produktregel:
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades im Baumdiagramm erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multipliziert.
Leitidee Zufall 2-mal Ziehen ohne Zurücklegen
Mögliche Ergebnisse:
aa, an, na, nn
P(aa) = 3/5 * 1/2 = 3/10
P(an) = 3/5 * 1/2 = 3/10
P(na) = 2/5 * 3/4 = 3/10
P(nn) = 2/5 * 1/4 = 1/10
a n
a a a n n a
2/53/5
1/43/41/21/2
n n
Leitidee Zufall
Die Todesstrafe in Zelophanien
Wer in Zelophanien zum Tode verurteilt wird, erhält eine letzte Chance.Mit verbundenen Augen darf er einen der drei Behälter wählen und aus diesem Behälter eine Kugel ziehen. Eine weiße Kugel rettet sein Leben.Wie groß sind die Überlebenschancen?
P(L) = 1/3*5/6 + 1/3*2/3 + 1/3*1/2 = 2/3
= 67%
Leitidee Zufall
Hölzchen
ziehen
Leitidee Zufall
Hölzchen
Ziehen
Lösung
Jemand bietet dir ein Würfelspiel an. Dazu sollen zwei Würfel gleichzeitig geworfen und die Augensumme gezählt werden. Du darfst dir vorher aussuchen, ob du mit der Augensumme 5, 6, 7, 8 oder mit allen anderen Augensummen gewinnen möchtest.
Begründe deine Wahl.
Ergebnisse und Ereignisse
1, 1
1, 2
1, 3
1, 4
1, 5
1, 6
2, 1
2, 2
2, 3
2, 4
2, 5
2, 6
3, 1
3, 2
3, 3
3, 4
3, 5
3, 6
4, 1
4, 2
4, 3
4, 4
4, 5
4, 6
5, 1
5, 2
5, 3
5, 4
5, 5
5, 6
6, 1
6, 2
6, 3
6, 4
6, 5
6, 6
1, 1
1, 2
1, 3
1, 4
1, 5
1, 6
2, 1
2, 2
2, 3
2, 4
2, 5
2, 6
3, 1
3, 2
3, 3
3, 4
3, 5
3, 6
4, 1
4, 2
4, 3
4, 4
4, 5
4, 6
5, 1
5, 2
5, 3
5, 4
5, 5
5, 6
6, 1
6, 2
6, 3
6, 4
6, 5
6, 6
Augensumme 2: 1,1
Augensumme 3 1,2 2,1
Augensumme 4 1,3 2,2 3,1
Augensumme 5 1,4 2,3 3,2 4,1
Augensumme 6 1,5 2,4 3,3 4,2 5,1
Augensumme 7 1,6 2,5 3,4 4,3 5,2 6,1
Augensumme 8 2,6 3,5 4,4 5,3 6,2
Augensumme 9 3,6 4,5 5,4 6,3
Augensumme 10 4,6 5,5 6,4
Augensumme 11 5,6 6,5
Augensumme 12 6,6
Wenn du eine gewöhnliche Münze sechsmal hintereinander wirfst, welche der folgende Ausgänge wirst du am wahrscheinlichsten nicht beobachten?
□ WZW ZWZ
□ WWZ ZWW
□ WWW WWW
□ ZZW ZWZ
□ Alle angegebenen Möglichkeiten sind gleich wahrscheinlich
Wenn du eine gewöhnliche Münze sechsmal hintereinander wirfst und die Folge
ZZZ ZZZ
beobachtest, was würdest du dann beim nächsten Wurf erwarten?
□ W
□ Z
□ beides ist gleich wahrscheinlich
Leitidee Zufall
Aufgabe 1
Leitidee Zufall
Aufgabe 1
Lösung
Leitidee Zufall
Aufgabe 2
Leitidee Zufall
Aufgabe 2
Lösung
r w
r w r w
2/31/3
2/31/32/31/3
Mit Zurücklegen
P(r,w) + P(w,r) = 1/3*2/3 + 2/3*1/3 = 4/9
r w
r w r w
2/31/3
7/114/118/113/11
Ohne Zurücklegen
P(r,w) + P(w,r) = 1/3*8/11 + 2/3*4/11 = 16/33
1; 1
2; 1
3; 1
4; 1
5; 1
6; 1
1; 3
2; 3
3; 3
4; 3
5; 3
6; 3
Jedes Ergebnis hat die Wahrscheinlichkeit 1/12.
P(Produkt größer als 10): 1/4
P(Summe mindestens 4): 5/6
Leitidee Zufall
Kombinatorik
Produktregel
Mit ihr bestimmt man die Anzahl der (günstigen) Fälle
Wie viele verschiedene Wege führen über die drei Flüsse?
Eine Münze wird 6mal geworfen
a*b*c
1,0,1,0,0,0
1,1,0,0,0,0
…
26 = 64
Leitidee Zufall
Kombinatorik
Produktregel
In einer Urne sind 5 Kugeln mit den Nummern 1 bis 5. Drei Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen.Wie viele Ergebnisse gibt es?
5*4*3 = 60
Produktregel der Kombinatorik
Besteht ein Zufallsexperiment aus r Stufen und haben die einzelnen Stufen n1, n2,... nr Ausgänge, so hat der Gesamtversuche n1*n2*...*nr mögliche Ausgänge.
Leitidee Zufall
Kombinatorik
Wie viele Möglichkeiten gibt es bei der 13er Wette?
313 = 1 594 323
TOTO
Produktregel
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
12 Richtige zu haben?
13*2 / 1 594 323 = 0,000 016 3
Leitidee Zufall
Kombinatorik
Produktregel
Das Geburtstagsproblem
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 15 Personen mindestens2 am gleichen Tag Geburtstag haben?
365*364*363*…*351/36515 = 0,747
1- 0,747 = 0,253
Leitidee Zufall
Kombinatorik
Bilder sammeln
Eine Schokoladencremefirma hatte aus Werbezwecken in jeden Glasdeckel ein Sammelbild eines berühmten Popstars gepackt.Die Serie bestand aus 30 verschiedenen Bildern.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach dem Kauf von 5 Gläsern mindestens ein Bild doppelt auftritt?
30*29*28*27*26/305 = 0,704
1 – 0,704 = 29,6%
Produktregel
Leitidee Zufall
Kombinatorik
Produktregel, Fakultät
In einer Schale befinden sich vier verschiedenfarbige Kugeln. Sie werden zu einer Kette aufgezogen.Wie viele Möglichkeiten gibt es?
(Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen)
4*3*2*1 = 4! = 24
Kombinatorik
Produktregel, Fakultät
Leitidee Zufall
Wie viele verschiedene Zahlen lassen sich aus den Ziffern 1, 2, 4, 6, 8 bilden?
5! = 5*4*3*2*1 = 120
Werden n Objekte der Reihe nach angeordnet, so hat man n*(n-1)*(n-2)*...*2*1 Möglichkeitendies zu tun.Es gibt n! Permutationen.
Kombinatorik
Produktregel, Fakultät, Permutationen
Leitidee Zufall
Aufgabe 8
Kombinatorik
Produktregel, Fakultät, Permutationen
Leitidee Zufall
Aufgabe 8
Lösung
Kombinatorik
Produktregel, Fakultät, Permutationen
Leitidee Zufall
Aufgabe 9
Kombinatorik
Produktregel, Fakultät, Permutationen
Leitidee Zufall
Aufgabe 9
Lösung