Vol, xvlI], 1967 fi09

L ineare Faser r / iume und kohi i ren te M o d u l g a r b e n iiber k o m p l e x e n Ri iumen

Vogk

~ERD F~SOIIER

Einleitung. 1st V ein holomorphes Vektorraumbfindel fiber einem komplexen Raum X mit der Strukturgarbe d e, so ist die Garbe S(V) der holomorphen Schnitte Yon V eine lokal freie Modulgarbe fiber X, d. h. zu jedem Punkt yon X gibt es eine Umgebung, fiber der S(V) isomorph zu O n ist, wobei n gleieh der Faserdimension yon V ist. Umgekehrt kann man zu jeder lokal freien Modulgarbe ~" fiber X eia holo- morphes Vektorraumbfindel R (.~) konstruieren, derart dab S (R (o~)) isomorph zu und R(S(V)) isomorph zu V is~. Dies ergibt die wohlbekannte ,;~'quivalenz zwischen holomorphen Vektorraumbiindeln ,und lokal /reien Modulgarben (vgl. [10], p. 255).

Zum Beispiel dann, wenn man Tangentialr/~ume an komplexe R/tume einfiihrt, erh/~lt man als VerMlgemeinerung yon holomorphen Vektorraumbfindeln sogenannte lineare Faserriiume [6], [9]. Diese sind definier~ ~ls holomorphe Faserr/tume mi~ einer holomorphen Vektorraumstruktur. Wie bei Vektorraumbiindeln sind die Fasern komplexe Vektorr/s ihre Dimension kann jedoch yon den Punkten der Basis ab- h/tngen. Lineare Faserr/~ume, die lokal lineare Unterr~ume eines trivialen linearen Faserraumes sind, werden darstdlbar genannt. Zu ]eder koh'~renten Modulgarbe fiber X kann man einen darstellbaren linearen Faserraum V (N) konstruieren, nnd es wird hier bewiesen, dab umgekehrt ffir jeden da,rstellbaren linearen Faserra, um L die Garbe F (L) der Linearformen koh/irent und V (F (L)) isomorph zu List. Im Gegensafz zu den Funktoren It und S sind die Funktoren Fund V kontravariant, man erh/~lt also einen

D,alitgtssatz. Die Kategorien tier darstellbaren linearen Faserriiume und tier koharen- ten M odulgarben iiber einem ]esten koq~plexen Raum sind dual.

~Venn L ein triviales Vektorraumbfindel ist, sind die Garben F(L) und S (L) iso. nmrph. Im allgemeinen kann iedoeh die Garbe S (L) der holomorphen Sehnitte in L gleich Null sein, ohne dab L nnr aus der Nullsehnittfl'gehe bestehL Ist speziell L ~ T (X) der Tangentialraum yon X, so ist F (T (X)) isomorph zur Garbe xD der PJaJ/schen Formen aufX und d~nfit T (X) isomorph zu V (xD).

Nach dem geweis des Dualit//tssatzes in Abschnit~ 2 werden in den Absehnitten 3 und 4 einige Anwendungen gegeben. Aus den dualen Ergebnissen fiber koh/~rente Mo- dulgarben tblgen sofort Aussagen fiber die globale Einbettbarkeit linearer ]?aserri~ume in Vek~orraumbiindel und triviale lineare ~aserr/~ume. Als Verallgemeinerung des

Ardfiv der Mathematik xvn l 40

610 G. F i s c i ~ ARCH. ~ATH.

entspreehenden Satzes fiber Vektorraumbiindel folgt, dab jeder darstellbare lineare Faser raum fiber einer Steinschen Ba~s'is wieder Steinsch ist (Satz 5).

Schliel3lich gilt ein Okasches Prinzip ffir lineare Faserr/~umc: H a t man einen linearen Unte r raum L cines Vektorraumbfindels V fiber einem Steinsehen R a u m X und cinch Automorphismus yon L, so 1/i, Bt sich dieser genau dann ho]omorph au f V fortsetzen, wenn eine stetige For tse tzung mSglieh ist.

1. Lineare Faserr~tume. Ein ]complexer Rawm (X, x(P), oder kurz X, wird stets im Sinne yon GRAUElVr [5] verstanden, d. h. die Strukturgarbe xO dar f nilpotente Ele- mente enthalten, nO sei die St rukturgarbe des C n. I s t U eine offene Menge in X und Ca eine Garbe fiber X, so bezeichnet (f(U) die Menge der Schnille yon (f fiber U und (flu die Beschriinkung von (f auf U. Die Elemente yon x(9(U) werden holomorphe ~'unk- tionen auf U genannt . Un tc r einer Modulgarbe iiber X verstehen wir eine Garbe yon x~-Moduln.

Ein holomorpher Faserraum iiber einem komple• t~aum X ist ein Paar (Y, T), bcstehend aus einem komplexen R a u m Y und einer holomorphen Abbi ldung T : Y --~ X. Zur Abkiirzung wird s ta t t (Y, z) meist nur Y geschrieben. Ffir einen P u n k t p ~ X be- zeichnet Yp die Fa~er yon Y fiber p (vgl. [7], 2.1) und ffir eine offene Menge U c X ist (Yu, vu) die Beschr~inkung yon (Y, z) auf U, d . h . der holomorphe Faser raum (T -1 (U), -c] T 1 (U)). 1st ( Y', T') ein weiterer holomorpher Faser raum fiber X, so heii3t eine holomorphe Abbildung ~: Y-->- Y' holomorphe Faserabbildung, wenn T ~ v'q0. Das Faserprodukt Y • x Y' ist wieder ein holomorpher Faser raum fiber X (vgl. [9], Exp. 10).

Definition 1. Ein linearer Faserraum 1) iiber dem komplexen Raum X ist ein Quin- tupel (L, ~, + , . , 0), bestehend aus einem holomorphen Faser raum (L, 2) und holo- morphen Faserabbi ldungen

+ : L • x L -~ L (Addition), �9 : (J • L --> L (Skalarmultiplikation),

0 : X -~ L (Nullschnitt)

derart, dab die den Vektor raumaxiomen entsprechenden Diagramme (vgl. z. B. [15]) kommutieren.

Zur Abkfirzung sehreiben wir meist L f(~r das Quintupel (L, 2, + , . , 0). I n [2] wurde gczeigt, dai] iede Faser L~ (p ~ X) cin komplexer Vektor raum (~ ist,

wobei n veto P u n k t p abh~ngt. Augerdem ist ffir jede na t f r l iche Zahl i die Menge {p e X : dim L~ >= i} analyt isch in X.

Definition 2. Sind zwei lineare Faserr'~ume L und L ' fiber X sowie eine holomorphe Faserabbi ldung ~: L ~ L' gegeben, so hei6t ~ Morphismus (linearer Faserriiume iiber X ) , wenn folgende Diagramme kommut ie ren :

L • + >L C x L >L

L ' • + + L ' C • >L'

1) Jeder lineare Faserraum ist ein ,,quasilinearer P~aum" im Sinnc yon [6]. Die Umkehrung gilt nicht, da L • xL nicht reduziert zu sein braueht, wenn L reduziert ist (vg]. [2], p. 106).

Vol. XVIII, 1967 Lineare Faserr~iume 611

Daraus folgt sofort, dab auch ~:(0 (X)) = O' (X). Ein Isomorphismus ~: L -~ L' ist also eine biho]omorphe F~serabbildung derart , dM~ ~ und ~ 1 Morphismen sind, und L c L ' ist ein linearer Unterraum, wenn die Inklusion L --> L ' ein Morphimus ist. Man beaehte, dal3 es hierf/ir im allgemeinen nicht genfigt, wenn Lp f/ir jeden P u n k t p c- X Un te rvek to r r aum yon L~I ist.

2. Die Garbe der Linearformen. Die Vektor r~umst ruktur des C n versieht den holo- morphen Faserraum (X • Cn., prx) (oder Mlgemeiner jedes holomorphe Vektorraum- bfindel fiber X) mit der S t ruktur eines linearen Faserraumes. Interessantere Beispiele for lineare F~serrSumc, bei denen die Dimension der Faser nieht mehr kons tan t zu sein br~ucht, erhSlt man wie folgt. Sind gl . . . . ,gm Linear/ormen auf X • C% d. h. homogene lineare Polynome aus xd)(X)[Sl . . . . . sn], so definiert das yon gl . . . . . gm erzeugte Ideal einen komplexen Unte r raum L yon X • C n. L • x L ist dann komplexer Unte r ranm von X • 0 n • @~ und wegen der Linearit '2t von gl . . . . ,gm folgt leicht, d,~13 die holomorphe Addit ion X • C n • @n _-> X • C neine holomorphe Addit ion L • x L - ~ L induziert, analog ffir Skalarmult ipl ikation und Nullschnitt . Dami t wird L linearer Un te r raum yon X • C n und man sagt, er wird als solcher erze~gt dutch die Linear-

/ormen gl . . . . . gin. Es wird nun bewiesen, dab sich jeder lineare Un te r r aum eines trivialen linearen

Faserr~umes lokal durch Lineartbrmen erzeugen l~tl]t.

Lemma 1. Is l L linearer Unterraum yon X • C% so gibt es zu jedem P u n k t p ~ X eine Umgebung U yon p und Linear/ormen gl . . . . . gm ~ xg2(U)[81 . . . . . #hi, die L u als linearen Unterraum von U • Cn erzeugen.

] ] e w e i s . Es sei U eine Umgebung yon p, die sich als komplexer Unte r r~um eines Polyzylinders W c C~ dureh in W holomorphe Funkt ionen ]1 . . . . . Jr erzengen l~ltt. Welter kSnnen wit annehmen, dab es einen Po]yzylinder Z um den Nul lpunkt des C~ und in W • holomorphe Funkt ionen h i , . . . , hm gibt, derar t dab d~s Ideal I yon L v n W • in W • durch die Funkt ionen {/e, h~} erzeugt wird.

D~ L u linearer Unte r raum yon U • ist, ha t man folgende kommuta t ive Dia- gramme (die senkreehten Pfeile bezeiehnen die Ink/usionen) :

C • ~ L~

C x I f x C n - - - > W x C ' , (c, x, s) ,-+ (x, c . s) ,

+ L u x g L v - - > Lu

w x e n x c n , w x e , , ,

])araus wird gefolgert, dab sich die Funkt ionen h~ durch ihre ,,linearen Anteile" er- setzen lasscn.

I m ersten Schrit t ergibt sich aus der Kommutat ivi t /~t von (.), dal3 endlich viele homogene Anteile der h z genfigen (vgl. hierzu den Satz yon CAR~AN in [I 8], p. 304).

4 0 *

6 1 2 G . FI$cHI~R ARCtt, MATII,

FaBt m a n /0 und h~ auch als ho lomorphe F u n k t i o n e n in C• W x Z au f (/o(c, x, s) �9 - - : /o(x) und h u ( c , x , s ) : = h~(x , s ) ) , so erzeugen {/0, h~} das Idea l I" yon CX x (Lv (~ W • Z) in (3 x W x Z. I s t h �9 {hg}, so is t die F u n k t i o n h', def inier t durch

h" (c, x, s) : = h(x , e �9 s), naeh (.) in I ' en tha l ten , d. h. es g ib t eine Dars te l lung

h" = ~ ~ 0 / 0 k ~ ~ t , t ~ ,

wobei q~0 u n d t@ ho lomorph in (3 X W X Z sind. I s t h = >~ h(") (wobei h (~) homogen in s vom Grade v ist), so gi l t andererse i t s

h" = ~ c~'h (') .

Da r0 = >~ c~ ~(~) a n d YJu = ~. c"'"(")~z ' ergibt sich

Durch Koeff iz ientenvergle ieh iblgt , dab h(") �9 I und nach [1] (vgl. auch [10], p. 85) ib lg t weiter, dab Z yon den homogenen P o l y n o m e n h 0') �9 ~(~(W)[sl . . . . . an] erzeugt wird. Es genugen sogar endhch v i d e davon, die von nun an mi t hi , hm bezeichnet werden sollen und m a n k a n n j e t z t Z = @t setzen.

Es b le ib t im zwei ten Schr i t t zu zeigen, dab die P o l y n o m e h~ l inear gew/s werden kSnnen. Dazu nehmen wir an, in e inem min imalen E rz e uge nde nsys t e m {10, hg} von I gebe es Po lynome h z m i t Gradshg > 1. Sei h eines d a v o n mi t m in ima lem Grad d > 1. Das P o l y n o m h+ m i t h + (x, 6", s") : = h (x, s ' -F s") is t d a n n nach (-F) en tha l t en

t H im Idea l I + yon Lu X ~]Lu in W x (3n X (3n, das erzeugt wird durch {1o, h~, h~, }, wobei

s") = ' ' , r " ' ~ " ) s"). /q(x, s', : /o(x), h#(x, s , : : hu(x, s') und h , (x, s , : = h~(x, W i r definieren g : : h + - - (h' -F h"). Da g in I + en tha l t en ist, gi l t

und da der Grad yon g sowohl in #' als auch in s" kle iner als d ist, k a n n man in �9 i i

(*) !P~, = ~ , = 0 setzen, falls Gradsh~ > 1. Da h(x, s ~e s) = 2~h(x, s), i s t g(x, s, s) = (2 ~ - - 2)h(x, s) ffir alle (x, s ) � 9 W x C n.

Se tz t man nun in ( . ) s ' ~ s" = s, so s ieht man , dab h sich bere i ts durch die 1o und die h~ vom Grade 1 dars te l len lgBt, im Wide r sp ruch zur vorausgese tz ten Minimal i tKt des Erzeugendensys tems .

Bezeichnet J das yon {1o} erzeugte Idea l in k6(W) , so definieren wir schlieBlich g~ : = hg -F J und L e m m a 1 i s t bewiesen.

Gleichzei t ig e n t n i m m t m a n dam Beweis, dal~ die L inear fo rmen h , einen l inearen

]?aserraum L c W X t~ n fiber W erzeugen, dessen , ,Besehr~nkung" au f den U n t e r r a u m U yon W mi t L v i ibe re ins t immt . Wei t e r k a n n m a n jede L inea r fo rm g~ als Morphismus U X (3n __> U x (3 be t rach ten . Die L inear fo rmen g~ . . . . ,gm zusammen ergeben d a n n einen Morphismus $: U x @~ --> U X C m und wir definieren K e r ~ : = L u als K e r n von ~. I s t also ~ dureh eine (m, n) -Matr ix ($~) m i t Koeff iz ienten aus x~V(U) gegeben, so wird das Idea l von K e r ~ in U x t~ n erzeugt dureh die L inear fo rmen

{~.~s~ + . . . . F ~ . ~ s ~ } , ~ = I . . . . , m .

Sind L und L ' l ineare Faserri~ume fiber e inem komplexen R a u m X , so bezeiehnen wir m i t I Iom (L, L ' ) die Garbe der Morph@men linearer ~Faserraume yon L nach L ' .

Vol. XVI] l, 1967 Lineare Faserriiume 613

t Iom(L, L ' ) ist eine Garbe yon xO-Moduln. Speziell sei F(L) : = I Iom (L, X • die Garbe der Linear[ormen auf L. I s t $ : L -+ L ' ein Morphismus und U c X eine offene Menge, so definiert F (~:) (U) : F (L') (U) --> F (L) (U), g ,--> g~:, einen Honmmorph i smus

F(~): F (L ' ) ~-> F(L).

Definition 3. Ein linearer Faser raum 2~ fiber X heigt darstellbar, wenn es zu jedem P u n k t p ~ X eine Umgebung U yon p gibt, so dab Lu i somorph zu einem linearen Unte r raum eines trivialen linearen Faserraumes U • C n ist 2).

Satz 1. Fib" einen darslellbaren lineare~ Faserraum L iiber dem komplexen g a u m X ist die Garbe F ( L ) der Linear/ormen eine ko]dirente Modulgarbe iiber X 3).

B e w e i s . Zu jedem P u n k t p von X erhiflt man aus Lemma 1 eine Umgebung U und

eine Sequenz

(8) 0 ~ Lu - - > U • C" - > U • C'~

und daraus dureh Anwendung von F die Sequenz F09

(l~ S) 0 ~ F (L)u <---- xr <F('~ xe '~ .

Die Ex~kthei t der Sequenz (FS) ergibt sich aus L e m m a 1 nach einer einfaehen Rech-

nung im Ring xd~(U)Is1 . . . . . sn].

Somit ist bewiesen, dug F ein kontravar ianter F u n k i e r yon der ](ategorie der dar- stellbaren linearen Faserriiume in die Kategorie der kohgrenten Modulgarben ist. Bei GROTHENDIECK [9] und GHA~rE~T [6] ist dim Kons t ruk t ion eines Funk to r s g ange- geben, der F umkehr t . Der Vollstgndigkeit wegen sei kurz angedeutet , wie m a n V

definieren kann. Bezeiehnet ~ : = x ~ die Strukturgarbe yon X, so sei V(Fn) : = (X• prx) ge-

setzt und ist cr 0 m --> ~'~ ein I tomomorphismus, so wird V (~) : X • C u --> X • C m Ms zu r162 dualer Morphismus (Transposition yon Matrizen) erhalten. Sind ~r und ~ ' kohS- rente Modulgarben fiber X und ist {U~} eine geeignete ] ]berdeckung yon X, dann gibt es zu jedem ~r : ~ CJg eine exakte Sequenz

0+_ ~ 6~' ~ ~'- ~"

and man definiert V (~a~) : = Ker V (r c Ui • Cn. Hu t man einen Homomorph i smus fl: ~ --, ~ ' und ist die l~berdeekung so gewghlt, dub es aueh zu jedem ~ eine exakte

Sequenz ' Ci <--@i 0 +-- ~i +-- n' ,~'

gibt, so gehSrt zu /~ : = fl] ~ naeh [12], p. 87 ein Homomorph i smus /~: ~ -+ (~'

derart, daU die Besehrgnkung yon V (fl~) eh~en Morphismus V (fl~): V ( ~ ) --~ V (.~) induziert. Dami t wird es mSglieh, die lq, gume V(C~) zu verhef ten: I s t U = U~ ~ U.t,

'~) Es licgt nahe, zu vermuten, dal] jeder lineare Faserraum darstellbar ist. Fiir den Fall, dal~ X reduziert und die Fascrdimension yon /~ konstant ist, wurde dies in [2] bewiesen.

Zusatz bei der Korrektur: Der allgemeinc ~all wurde inzwischen von D. PRILL bewicsen. Da- mit wird die Voraussctzung ,,darstellbar" in den folgenden Sgt.zen iiberfliissig.

a) Man vgl. hierzu auch [19], w 4.

614 G. FISCHEI~ ARCH. MATII,

so def inier t der I somorph i smus ~v: (Ni)s -> (fr einen I somorph i smus V (q~) : V (~J)v, -> --> V(.(~7~)v, fiber U und man erh/~lt als Quo t i en ten raum von [,.J V(.~r (vgl. dazu [9],

Exp . 11) den l inearen F~se r r aum V (~). Verf/ thrt m a n ebenso mi t N', so induzier t die Fami l i e {V (fl~)} einen Morphismus V (fl): V (.(#') -+ V (N).

Zusammenihssend e rg ib t sieh

Satz 2. Der kontravariante Funktor V und 8ein Inverses F vermitteln eine Dualitiit 4) zwischen der Kategorie der kohgrenten M odulgarben und der Kategorie der darsteUbaren 2) linearen Faserriiume iiber einem /esten komplexen R a u m X .

F('lr koh~ren te Modulgarben ~ , ~ ' und dars te] lbare l inearc Fase r r / tume L, L ' fiber X h a t m a n also folgende I somorph i smen : "

F(V(.~))~ ~ , tlom(V(.(r V(~'))~Hom((g ', ~) und

V ( F ( L ) ) ~ L , H o m ( F ( L ) , F ( L ' ) ) ~ _ t I o m ( L , L ' ) .

Die Ka tegor i e der da r s t e l lba ren ] inearen Faser r 'gume fiber e inem komplexen g a u m wird d a m i t zu einer abelschen Kategorie.

3. E inbc | tungen l inearcr Faserr i iume. Mit HiKe yon Satz 2 folgen u n m i t t e l b a r Aus- sagen fiber die E i n b e t t b a r k e i t da r s t e l lba re r l inearer ]~aserr/iume aus den dua len Sfitzen fiber kohs Modulgarben.

Satz 3. Ein darstellbarer linearer Faserraum iiber einem reduzierten, prq]ektiv algebra- ischen R a u m X isl isomorph zu einem linearen Unterraum eines Vektorraumbiindels iiber X .

Zum B e w e i s vgl. [21], n o 66 und [22], w 3.

Satz 4. Sei L ein darstellbarer Ill, eater Faserraum iiber einem Steinschen lcomplexen R a u m X der Dimension r u n d sei d : = s u p d i m Lp < oo. Dann ist L isomorph zu einem linearen Unterraum von X • C r-j d-J ~,~x

Der B e w e i s folgt uus [3], Corollar 4.7.

Satz 5. Ls.t L ein darslellbarer linearer Faserraum iiber einem Steinschen R a u m X , so ist L Steinsch 5).

B e w e i s . I s t die Fase rd imens ion yon L beschr'Xnkt, so folgt die B e h a u p t u n g d i r ek t aus Satz 4. Andernfa l ]s nehme man eine Ausseh6pihng X 1 c - . . c X)' c -.- yon X durch r e l a t i v k o m p a k t e Rungesche Teile. Aus Satz 4 tblgt dann, dag L x , fiir jedes v Ste inseh ist. Da wel ter (Lx, , Lx,~O ein Rungesches P a a r ist, folgt mi t I I i l fe yon [23], Satz 1.3, dal l L Steinseh ist.

L e m m a 2. Ist L linearer Unlerraum yon X x C n, so gibt es zu jedem Punkt p ~ X ei~Te Umgebung U derart, daft Lu isomorph zu einem linearen Unlerraum yon U / Lp ist.

4) Vgl. z.B. [13], p. 44. 5) Der entsprechende Satz fiber Vektorraumbfinde] ist in [20] und [11] entlmlten.

Vol. XVIII, 1967 Lineare Faserr~ume 615

B e w e i s . I s t (r = F(L), so ist L v isomorph zu dem Vektorraum ( r (zsv = maximMes Ideal von xOv) und as genfigt naeh Satz 2 zu zeigen, duis es eine Umgebnng U und einen Epimorphismus x0~1 --> Lay gibt, wobei r = dim Lp. Dies folgt aber aus dem Lemm~ von NAKAYAMA (vgl. [14]).

Lemma 3. Sind lineare Unterriiume L yon X • n und L ' yon X • 13n, sowie ein Morphismus ~ : L -~ L ' gegeben, so existicrt zu jedem P,unkt p a X eine Umgebun~ U

und ein 3 lorphismus ~ : U • C ~ -~ U X C ~' mit ~ I L u = ~ I Lu .

B e w e i s . ]:st ~ : = F(L) und ~ ' : -~ F(L') , so induziert F(~): rr (d einen (r -> top' Da der Modul xdS}~ ' fi'ei ist, gibt es einen Homo- Homomorphismus qpv:.

rnorphismus ~p derart, dab das Diagramm

o ~ ~r ~ x~'~'

0 <-- c~v <__ x r

kommut, iert (vg]. [12], p. 87). Da es zu ~p eine Umgebung U yon p und eJnen t lomo- morphismus c~: xgn~ -+ a-g~b gibt, der ~ induziert, kann man ~1: = V(~0) setzen, und das Lemma ist bewiesen.

Ein wiehtiges Beispie] eines ]inearen Faserraumes und der dualen koh~renten Modulgarbe liefern der Tangentialraum und die Garbe der Pfaffsehen Formen fiber einem komplexen Raum X. ~u wollen annehmen, daiS X in ehlen Po|yzylinder Z c C ~, mit Koordinaten xl, . . . , a'~, eingebet~et ist und das X definierende Ideal J e t , go(Z) dureh in Z holomorphe ]?unktionen /~ . . . . , /m erzeugt wird. Dureh g~v : = ~]a/~x~, + J ist eine (m, n)-Matrix (g~,) auf X holomorpher Funktionen be- st immt, die einen Morphismus q: X • C n --> X • 13m definiert und der Tangentialraum 2' (X) von X ist definiert als der Kern yon g, d. h. man hat eine exa,kte Sequenz

0 - + T(X) ~ X x 1 3 " ~> X X 13~.

Die duMe exakte Sequenz 0 ~ .(2 (X) +- xt~" <r (,,) x(r m

ergibt gerade die Deflnibion der Garbe der Pfaffsehen Formen x/2 als Kokern yon F(g) (vgl. [7], [9], Exp. 14). Somi$ ist

x D = F(T(X) ) = l t om(T(X) , X • 13) und 2'(X) = V(x-Q).

Um diese Dualils zu erhalt.en, hat man zu beaehgen, dais der Tangentialraum T (X) nieht reduziert zu sein braueht~, wenn X reduziert isg (vgl. hierzu aueh [16] und [17]). Als einfaehes Be/spiel hierftir wird in [17] der Raum X = {(x, y) ~ t32: x y =- 0} an- gegeben.

Weiger isg die Garbe Hom(xD, xd)) der Keime holomorpher Vekt.orfelder auf X (vgl. [7]) isomorph zur Garbe l I o m ( X • 13, T(X)), die in nattirlieher Weise isomorph zur Garbe holomorpher Sehnitte in T (X) isb.

4. Ein 0kasehes Prinzip. In Satz 4 wurde gezeigt, daiS sich ein darstellbarer linearer Faserraum L yon besehr/inkter Faserdimension fiber einem Steinsehen Raum X stets in einen trivialen linearen Faserraum V : = X X 13n einbetten l/liSt. Ist, m m ein

616 G. FISClIER ARCH. MATtt.

Automorphismus von L gegeben, so ents teht die Frage, wann sieh dieser zu einem Automorphismus yon V fortsetzen l/~Bt. Es soll gezeigt werden, dab dies aueh wenn V ein Vektorraumbfindel ist, bereits dann holomorph m6glich ist, wenn es stetig m6g- lieh ist. Dazu miissen wir vorausset, zcn, dab die Rhume L und X reduziert sin&

Ein stetiger (bzw. holomorpher) Automorphismus ~: L - + L eines linearen Faser- raumes L fiber X ist d~mn eine topologische (bzw. biholomorphe) Faserabbi ldung derart, dab ~v : Lp --> L v fiir jeden P u n k t p ~ X ein Vektorraumisomorphismus ist. Mit Autc(L) (bzw. Aut, , (L)) bezeielmen wir die Garbe der stetigen (bzw. ]~olomorphen) Automorphismen yon L. Diese sind Garben yon Gruppen fiber X und k6nnen als Strukturgarben von L i m Sinne yon OROTHENDIECK [8] aufgefaBt werden.

Satz 6. Sei L ein reduzierter linearer Ucderraum eines Velctorraumbiindels V iiber einem feduzierten Stein.sehen R a u m X und sei ~ : L --+ L ein holomorpher Automorphis-

mus. Gibt es einen stetiffen Automorphismus ~: V ~ V mit ~l L = ~, so ffibt es auch einen holomorphen A utomorphismus von V mit dieser Eigenscha/t.

B e w e i s . Es wird mit Hilfe von Lemma 2 und 3 gezeigt, dab sieh dieser Satz aus dem Haup t sa t z von [4] folgern 1/~Bt. Dazu definieren wir d ' c : = Aut, c(V), 5"co: = = Aut~ (V) und ]t~ : = Auto(L) . Weiter sei ~ c (bzw. -~-o,) die G~rbe der stetigen (bzw. holomorphen) Automorphismen von V, die L in sieh fiberfiihren und 3~'c (bzw. 2/fo~) die Garbe der stetigen (bzw. holomorphen) Automorphismen yon V, deren Be- schr~nkung auf L die Iden t i t s ist. ~4~, ~ (bzw. ,~o,) ist eine Garbe yon Normaltei lern in ~o~-c (bzw. J ~ ) und wir definieren ~;Lf, c : = ~ c / , ~ c . Es wird behauptet , dab ,;/t~ = ~ ,~. I s t ein Punkt, p ~ X, eine Umgebung U yon p und ein holomorpher Automorphismus ~2: Lu--> Lu gegeben, so ist zu zeigen, dab es eine Umgebung U' c U von p und einen holomorphen Automorphismus ~: Vu" ~ Vv" gibt, mi t

I L,,, = I Dies rolgt ]edooh Lemma e , , d a. Insgesamt ha t man also ein kommuta t ives Diagramm mit exakten Zeilen (die

senkrechten Pfeile bezeichnen die natfirlichen Inklusionen)

1 - + ~(', o, --~ J w - + ' ~ f w --> 1

4. 4 4 1 ---> ~ fc "-> ~ --> ~ --> 1

und daraus erh/ilt man das kommuta t ive Diagramm mit exakten Zeilen

1 ~ HO (X, :Z'o,) --> H ~ (X, fro,) --+ HO (X, .;/go,) --* H~ (X, .Yfo,) 4 4 4

1 -> H ~ (X, .)f,c) -> H ~ (X, "~c) ---> H ~ (X, Yt~c) --> H 1 (X, JT"c) �9

Es genfigt zu zeigen, dab die natfirliehe Abbildung ~, der Cohomologiemengen mit ausgezeiehnetem E]ement bijektiv ist und dazu, dab (,~('c, ~4"~ ,~) ein Okasches Paar ist (zu der benutz ten Terminologie vgl. [4]).

I s t p ein P u n k t von X, so definieren wir E (p) = GL (n, C) als Gruppe der Auto- morphismen yon V~, =- C n und Kc(p) (bzw. Ko,(p)) als diejenige Untergruppe yon E (p), dis ~us Elementen ? mit folgender Eigenschaft besteht : es gibt eine Umgebung U yon p und einen Sehnit t ~ c,)Y',c(U) (bzw. :X('~(U)) derar~, dab ~, ~-- ~[ V~. Is~b

Vol. XVIH, 1967 Lineare Faserrliume 617

K(p) • {y e E (p) : y I Lp ---- Idont i tS t} , so is t 1s (p) c Kc (p) c K (p). Aus L e m m a 2 folgt abe t leicht, dab K,o(p) ~ K(p ) , daher is t K o ( p ) = Kc(p) . D a ( Y c , .~'o~) ein zul~ssiges P a a r ist , folgL aus dem H a u p t s a t z yon [4], dab es ein Okasches P a a r ist , was zu zeigen blieb.

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Eiugegangcn am 23.2. 1967

Anschrift des Antors: Gerd Fischer Mathcmatisches Institut der Universits 8 Miinchen 13, Scheilingstral~e 2--8