1

Linien und Flächen der konstanten Energie

Konstante Energie1D: Punkte2D: Linien3D: Flächen

Fermi-Fläche und die erste Brillouin-Zone für Kupfer

K

X

2

Fermi-Energie und Fläche

Fermi-Energie: „Die höchste Energie, die ein Elektron bei T=0 annimmt“.

Lage der Fermi-Energie im Bänderschema (Energieband-Diagramm) bestimmt viele

optische, elektrische und magnetische Eigenschaften

von Werkstoffen.

Fermi-Energie: 2 – 12 eV

3

Fermi-FunktionWahrscheinlichkeit der Besetzung einer bestimmten Energieebene

1exp

1

TkEE

EF

B

F

Die Fermi-Dirac-Verteilung:

9 9.2 9.4 9.6 9.8 10 10.2 10.4 10.6 10.8 110

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

E (eV)

F(E

)

T 0K

9 9.2 9.4 9.6 9.8 10 10.2 10.4 10.6 10.8 110

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

E (eV)

F(E

)

T = 1000K

Tk

EEEF

EE

B

F

F

exp

: Boltzmann

4

Zustandsdichte

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

Elektron im 3D-Potentialtopf (Elektronengas)

22

22222

2

22

22n

mannn

maE zyxn

…

Sphäre

nx, ny, nz > 0

2123

22

3

2332

3233

2

4

3

2

3

4

8

1

Ema

dE

dEZ

Eam

n

Anzahl der Energie-ebenen mit E En

Zustandsdichte

(DOS)

334

813

34 0,,; rVnnnrV zyx

5

AnzahldichteAnzahl der Elektronen pro

Energieeinheit

1exp

2

22

2123

22

TkEE

EmVEFEZEN

B

F

Wieviel Elektronen mit der Energie gibt es im Bereich (E,E+dE) ?

Pauli: 2e pro Energie

dEENdN

6

Definition der Fermi-Energie

EZENEFEET F 2;1;0

Energien aller Elektronen im System liegen unter EF

23

22

23

2322

2323

220

2123

220

32

23

2

3

2

22

V

N

mE

EmV

N

EmV

dEEmV

dEEZN

F

F

F

EE FF

7

0.7 eV

Bänderschema

(a) Metalle mit einem Valenzelektron (Li, Na, K, Rb, Cs, Fr)

(b) Metalle mit 2 Valenz-elektronen (Be, Mg, Ca, Sr, Ba, Ra)

(c) Reine (intrinsische) Halbleiter

(d) Isolatoren

5.3 eV

Diamant

Germanium

3s

3p

Magnesium

8

Beispiele

-1 -0.5 0 0.50

100

200

300

400

500

600

Energy (Ry = 13.6eV)

DO

S

Zustandsdichte für Elektronengas

V.Sechovsky and L.Havela, Magnetism of ternary intermetallic compounds of Uranium in Handbook of Magnetic Materials, Vol. 11, Ed. by K.H.J. Bushow, 1998, Elsevier

2123

22

3 2

4 FEEma

EZ

9

Weitere BeispieleURhGe: Pnma, a=6.855Å, b=4.327Å, c=7.501ÅU 4c (0.996, 1/4, 0.204)Rh 4c (0.218, 1/4, 0.573)Ge 4c (0.811, 1/4, 0.590)

UIrGe: Pnma, a=6.830Å, b=4.291Å, c=7.562ÅU 4c (0, 1/4, 0.702)Ir 4c (0.226, 1/4, 0.076)Ge 4c (0.343, 1/4, 0.422)

UNiGe: Pnma, a=7.007Å, b=4.237Å, c=7.207ÅU 4c (0.9942, 1/4, 0.2005)Ni 4c (0.2103, 1/4, 0.5871)Ge 4c (0.816, 1/4, 0.586)

10

Geschwindigkeit eines Elektrons

Gruppengeschwindigkeit

dk

dEE

dk

d

dk

d

dk

dvg

12

Stark gebundene Elektronen

km

km

vkm

E g

2

2

1;

2

22

2Elektronengas

01

;konst. dk

dEvE g

11

Beschleunigung eines Elektrons

1

2

22

2

2

2

2

2

1

11

1

dk

Edm

maFFdk

Eda

Fdt

dp

dt

dkkp

dt

dk

dk

Ed

dt

dva g

Effektive Masse: