Link: Vielfache

g.g.T und k.g.V

So kannst du beide schnell berechnen.

Grösster gemeinsamer Teiler

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Was sind Teiler?Stell dir vor, du wärst Turnlehrerin und hast 24 Schülerinnen vor dir.

Was für verschiedene Mannschaften könntest du bilden?

Gruppen 1 2 3 4 6 8 12 24

Anzahl pro Gruppe

24 12 8 6 4 3 2 1

Das sind Teiler!Nun kennst du alle Teiler der Zahl 24.

Das sind: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

1 und 24 sind keine echten Teiler.

1 2 3 4 6 Hier kannst du aufhören, es kommen keine neuen Teiler mehr.36 18 12 9 6

Darstellung:

T36 =

T36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

1 2 3 4 6 Hier kannst du aufhören, es kommen keine neuen Teiler mehr.36 18 12 9 6

Gemeinsame Teiler

1 2 3 4 6

36 18 12 9 6

Nun wollen wir die Teiler von zwei Zahlen anschauen.

T36

1 2 3 4

24 12 8 6

T24

Es gibt gemeinsame Teiler!

Das sind: 1, 2, 3, 4, 6 und 12.

Der grösste gemeinsame TeilerMit der Wertetabelle kannst du nun leicht den grössten gemeinsamen

Teiler bestimmen. Hier ist es die Zahl 12.

Aber es gibt noch eine andere, schnellere Methode.

Die Primfaktoren-Zerlegung !

Nun musst du aber erst mal wissen, was Primzahlen sind.

PrimzahlenDas sind Zahlen, die eigentlich nicht teilbar sind.

Man kann sie nur durch 1 oder sich selber teilen.

Welches sind also Primzahlen???

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Wenn du diese Zahlen als Turnlehrerin hättest, gäbe es nie gleiche Mannschaften.

Kannst du die Reihe bis 100 fortsetzen?

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

PrimfaktorenzerlegungMit dieser Technik, in der du nur durch Primzahlen teilst, kannst du schnell

den g.g.T. bestimmen.

36 24

: 2 18

3

9

: 3

: 2

: 3

1

: 2 12

3

6

: 3

: 2

: 2

1

Hast du es kapiert? Nun noch die gemeinsamen Zahlen multiplizieren, und du hast den g.g.T.

2 x 2 x 3 = 12. Das ist der g.g.T. von 36 und 24. Nun übe….

Was sind Vielfache?Du kennst sie schon lange unter dem Begriff: Reihen oder 1x1

Schreibweise: V12 = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84…….

Im Gegensatz zu den Teilern sind Vielfache unendlich.

Deshalb braucht es eine Begrenzung: Die Grundmenge

Die GrundmengeSie definiert den Bereich der Zahlen, die gültig sind.

Beispiel:

V24 / Grundmenge G 200 - 400

Das heisst, es müssen Zahlen von 200 bis 400 sein.

Lösung:

216, 240, 264, 288, 312, 336, 360, 384

Gemeinsame VielfacheWenn man 2 Vielfachenmengen erstellt, gibt es gemeinsame Vielfache.

V12 = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84…….

V18 = 18, 36, 54, 72, 90, 108…….

Die Zahlen 36 und 72 sind gemeinsame Vielfache (Schnittmenge)

Nun kann diese Reihe auch weitergeführt werden.

V12 V18 = 36, 72, 108, 144, 180….. (also die 36er-Reihe)

Das k.g.V.Das bedeutet: das kleinste gemeinsame Vielfache..

V12 = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84…….

V18 = 18, 36, 54, 72, 90, 108…….

Hier ist es also die Zahl 36.

Das ist die erste gemeinsame Zahl der beiden Reihen.

Diese Zahl heisst nun: das kleinste gemeinsame Vielfache

Berechnung mit PrimfaktorenMit dieser Technik, in der du nur durch Primzahlen teilst, kannst du schnell

auch das k.g.V. bestimmen.

36 24

: 2 18

3

9

: 3

: 2

: 3

1

: 2 12

3

6

: 3

: 2

: 2

1

Uns interessieren nun die nicht gemeinsamen Primfaktoren.

Das sind die hellblauen Zahlen :3 und :2

Berechnung mit PrimfaktorenMit dieser Technik, in der du nur durch Primzahlen teilst, kannst du schnell

auch das k.g.V. bestimmen.

36 24

18

3

9

: 3

1

12

3

6

: 2

1

Der Unterschied: Wir multiplizieren die nicht gemeinsamen übers Kreuz.

2 x 36 = 3 x 24 Das gibt beide Male 72. 72 ist also das k.g.V.

AnwendenNun heisst es üben…

Mit der Zeit kannst du es dann sehr schnell!

Viel Erfolg!