ZusammenfassungIn der geophysikalischen Reichsaufnahme sind weite GebieteDeutschlands mit der Drehwaage vermessen worden. In die-sem Beitrag wird gezeigt, wie aus diesen Daten unter Benut-zung der geostatistischen Integration, Differentiation undVerknüpfung schrittweise das Störpotential T und seineersten drei partiellen Ableitungen nach der Höhe z bestimmtwerden können, und zwar unter der Annahme, dass T im lo-kalen Bereich als eine schwachstationäre Zufallsfunktion an-gesehen werden kann. Dass dies möglich ist, wird an einemTestbeispiel zur lokalen Geoidbestimmung demonstriert.Neben der relativ langwierigen Geoidbestimmung aus denKrümmungsgrößen gibt es davon unabhängig einen kurzenWeg, der von den Horizontalgradienten der Schwere über TZ

zu T und damit zum Quasigeoid führt. Eingegangen wird aufProbleme der relativen und absoluten Orientierung, insbeson-dere auf Modelldeformationen und auf die Glättungskom-pensation, aber auch auf die sinnvolle Anordnung von Mess-stellen für weitere Stützwerte und Gradienten. Die Ergebnisseder geostatistischen Vorhersage werden geologisch interpre-tiert. Dieser Beitrag wurde auch auf der INTERGEO 2001 inMenz/Knospe (2001) zur Diskussion gestellt.

SSuummmmaarryyThe German National Geophysical Survey in the 1930th pro-vided data from torsion balance measurements over wideareas in northern Germany and other areas. In this paper weshow, how to use geostatistical integration, differentiationand transformations to determine gradually the disturbingpotential T and its first three partial derivatives with respect toz on the assumption that T within the local area can be re-garded as a weak-stationary random function. This is demon-strated at an example for local geoid determination. Apartfrom the relatively lengthy geoid determination from the cur-vature there is an independent short way that leads from thehorizontal gradients of gravity over TZ to T and to the quasi-geoid. We also deal with problems of relative and absoluteorientation, model deformations and the smoothing compen-sation, in addition with the suitable arrangement of additionalmeasuring points. The results of the geostatistical predictionare interpreted in geological context. This contribution waspresented on the INTERGEO 2001 (Menz/Knospe 2001).

1 Einführung

In der geophysikalischen Reichsaufnahme, die in den1930er Jahren durchgeführt worden ist, sind weite Ge-

biete Deutschlands mit der Drehwaage (Graf 1967) ver-messen worden. Ergebnisse dieser Messungen liegen alsKarten der Horizontalgradienten der Schwere und alsKarten der so genannten Krümmungsgrößen der Niveau-flächen des Schwerepotentials vor. In dem folgenden Bei-trag wird gezeigt, wie aus diesen Daten unter Benutzungder geostatistischen Integration, Differentiation und Ver-knüpfung schrittweise das Schwerepotential W (genauerdas Störpotential T) und seine ersten drei partiellen Ab-leitungen nach der Höhe z bestimmt werden können. DenZugang dazu lieferte ein in Haalck (1950) vorgestelltesKonzept. Dieses Konzept wurde von uns aufgegriffen,und zwar unter der Annahme, dass T im lokalen Bereichals eine schwachstationäre Zufallsfunktion angesehenwerden kann. Unter dieser Annahme ist es möglich, mitden von uns entwickelten geostatistischen Verfahren dasHaalcksche Konzept zu realisieren, was an einem Testbei-spiel zur lokalen Geoidbestimmung demonstriert werdensoll.

2 Ausgangsdaten für das Testbeispiel und ihreBereitstellung für die maschinelle Bearbeitung

Für die Bearbeitung des Testbeispiels sind die Horizontal-schweregradienten und Krümmungsgrößen der Niveau-flächen von ca. 1000 Drehwaage-Messstellen aus einer14 x 18 km2 großen Region Norddeutschlands, das Gebiet»Verden an der Aller«, benutzt worden. In Menz (2000b)werden die Karten der Horizontalschweregradienten undKrümmungsgrößen dieses Untersuchungsfeldes gezeigt.Die Daten stammen aus der Geophysikalischen Reichs-aufnahme und wurden von der BEB Erdgas und ErdölGmbH Hannover und dem Institut für Geophysik derFU Berlin zur Verfügung gestellt.

Der erste Bearbeitungsschritt besteht in der Digitalisie-rung der Gradienten und Krümmungsgrößen. Die aus derDigitalisierung erhaltenen Werte werden in Sätzen derStruktur

(1)

zusammengefasst und als Daten-Files für die weiterenBerechnungen bereitgestellt. Dabei ist T∆ die Differenzder 2. partiellen Ableitungen in y und x

. (2)YY XXT T T∆ = −

ZX ZY XYx, y, T T T 2T, , ,∆−

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Lokale Bestimmung des Geoids aus terrestrischen Gradiometermessungen unter Nutzunggeostatistischer Methoden

Joachim Menz und Steffen Knospe

Die Koordinaten x, y, z beziehen sich auf ein verebnetesrechtwinkliges geodätisches Koordinatensystem, in demx nach Nord und y nach Ost zeigen. In Bezug auf die x-y-Ebene dieses Koordinatensystems sollen die zu be-stimmenden Höhenanomalien ζ hier als Höhenlinien desQuasigeoids dargestellt werden. In Wirklichkeit geben sieden Abstand vom Niveauellipsoid, der gekrümmten Be-zugsfläche, an. Der Übergang vom natürlichen (lotrich-tungsgebundenen) Koordinatensystem, in dem mit derDrehwaage gemessen wird, zum o. g. x, y, z Auswerte-system ist zulässig, weil die Messwerte 2. Ableitungenvon W sind, und 2. Ableitungen sind invariant gegenVerschiebungen und Neigungen des Koordinatensystems.Wegen dieser Invarianz werden für die absolute Orientie-rung der aus Drehwaagemessungen ermittelten lokalenSchwankungen des Quasigeoids in größeren AbständenStützwerte gebraucht.

3 Geostatistische Modellannahmen

Die aus der Digitalisierung hervorgegangenen Daten (1)sind bei dem vorliegenden Abstand der Messstellen vonca. 400 m autokorreliert. Die Autokorrelation resultiertaus der Dichteverteilung im Untergrund und damit ausden Gravitationseinflüssen gemeinsamer Quellen. Dieserso genannte unregelmäßig-systematische Einfluss wirktmit rein zufälligen Störgrößen und regionalen Trends zu-sammen, was für eine Auswertung der Messungen unterstochastisch-deterministischen Modellannahmen spricht.In unserer Arbeit wird deshalb angenommen, dass dasSchwerepotential W(x,y) als ein schwach stationäres Zu-fallsfeld S(x,y) angesehen werden kann, dem zufälligeStörgrößen R und systematische Trends m(x,y) überlagertsein können

(3)

Das ist das Modell, das sowohl in der Ausgleichungsrech-nung bei der Kollokation (Moritz 1989) als auch in derGeostatistik beim Universal Kriging (UK) benutzt wird.Beide Verfahren liefern äquivalente Ergebnisse, wie inMenz/Pilz (1994) gezeigt worden ist, obwohl die Ablei-tung der Verfahren unterschiedlich ist. Die Bewertung dernun folgenden Betrachtungen können deshalb sowohlaus der Sicht der Geostatistik als auch aus der Sicht derAusgleichungsrechnung vorgenommen werden, für diemit der Bayesschen Kollokation in Menz/Pilz (1997) einrecht allgemeiner Rahmen definiert wird, der es gestattet,Co-Variablen und Gradienten einerseits sowie a priori-Kenntnisse über die Parameter der Trendfunktion ande-rerseits zu integrieren (Menz 1998, Menz 1999). Im Prin-zip wird der Messwertvektor dabei durch die beobach-teten Co-Variablen erweitert. Besonders günstig für dieVorhersage ist es, wenn diese funktional von dem zuuntersuchenden Merkmal abhängen, wie das zum Beispiel

bei gemessenen Gradienten und Krümmungen der Fall ist.Die globalen Kugelfunktionsmodelle könnten dabei z. B.als a priori Kenntnisse des Trends herangezogen werden.

4 Haalcksches Konzept zur Auswertung vonDrehwaagemessungen

Durch Drehwaagemessungen werden die Horizontalgra-dienten der Schwere WZX, WZY und die Krümmungsgrö-ßen W∆ = WYY – WXX, 2WXY des Schwerepotentials W be-stimmt. In Haalck (1950) wird ein Konzept vorgelegt, dasangibt, wie aus diesen Messgrößen ein vollständiges Bildüber die lokalen Schwankungen des Schwerefeldes abge-leitet werden kann. In Abb. 1 wird das Haalcksche Kon-zept in Form eines Ablaufschemas vorgestellt, dass durchIntegration, Differentiation und Verknüpfung zu den ge-suchten Größen des Störpotentials T, TZ, TZZ und TZZZ

führt.Zur Ableitung des Konzeptes wird der Störpotential-

unterschied zwischen zwei benachbarten Punkten P(x,y)und P(x0,y0) der Bezugsebene durch eine Taylor-Entwick-lung angegeben:

(4)

Dabei können beim vorliegenden Messpunktabstand dieGlieder höherer Ordnung in (4) und in den aus (4) gebil-deten ersten und zweiten partiellen Ableitungen ver-nachlässigt werden:

(5)

. (6)

Die Formeln (4) bis (6) gestatten es, auf dem Wege dernumerischen Integration über die auf der rechten Seiteangegebenen Größen die auf der linken Seite stehendenzu berechnen. Für diese numerische Integration, die nunim Unterschied zu Haalck unter geostatistischen Modell-annahmen durchgeführt werden soll, wird das in Menz(1991) vorgestellte so genannte Gradienten-Kriging ein-gesetzt, bei dem das Ergebnis der Integration, wie gefor-dert, wegunabhängig ist. Stehen Stützwerte zur Verfü-gung, dann ist damit auch die Einordnung der lokalenSchwankungen in regionale Bezugssysteme möglich.

In Haalck (1950) wird davon ausgegangen, dass dieNormalfeldkorrekturen (Militzer/Weber 1984, Torge 2001)bereits in den Messwerten berücksichtigt worden sind, sodass die reduzierten Größen dem Störpotential T entspre-chen und die Laplacesche Differentialgleichung

(7)

erfüllen. Die partiellen Ableitungen von (7) ergeben:

XX YY ZZT T T 0+ + =

ZZ ZZ 0 XZZ 0 0 YZZ 0 0T =T | T | (x-x ) +T | (y-y )+ ...+�

X X 0 XX 0 0 XY 0 0T =T | T | (x-x ) + T | (y-y )+ ...+

0 X 0 0 Y 0 0T =T| T | (x-x ) + T | (y-y )+ ...+

W(x,y) = S(x,y) + m(x,y) + R .

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(8)

(9)

. (10)

Mit den partiellen Ableitungen der Krümmungsgrößen–T∆ und 2TXY

(11)

(12)

lassen sich die Beziehungen (8) und (9) in

(13)

(14)

umformen. Addiert man zu (7) auf beiden Seiten TXX bzw.TYY, dann erhält man schließlich

(15)

. (16)

Damit sind alle Formeln zur Berechnung von T und sei-ner ersten bis dritten partiellen Ableitungen zusammen-gestellt worden. Sie entsprechen dem in Haalck (1950)angegebenen Konzept zur Auswertung der Drehwaage-messungen, das hier nach dem Ablaufschema in Abb. 1abgearbeitet wird. Die Höhenanomalien ζ werden schließ-lich nach dem erweiterten Theorem von Bruns berechnet.Im Normalpotential U werden die Punkte P der Erdedurch die Modellpunkte Q mit UQ = TP, φQ = φP, λQ = λP

dargestellt. Nach dem Theorem von Bruns ergibt sich derAbstand zwischen P und Q mit der Normalschwere γ in Qaus

(17)P QU U T-

−= =ζ

γ γ

YY ZZ

1T (T T )

2 ∆= − −

XX ZZ

1T (T T )

2 ∆= − +

YZZ Y XXYT T 2T∆= − −

XZZ X XYYT T 2T∆= −

Y XXY YYY XYY-T T T ; 2T∆ = −

X XXX XYY XXY-T T T ; 2T ,∆ = −

ZZZ XXZ YYZT T T= − −

YZZ XXY YYYT T T ,= − −

XZZ XXX YYXT T T ,= − −

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Abb. 1: Modifiziertes Haalcksches Kon-zept als Ablaufschema

hypothesenfrei. Die Größe ζ, die als Höhenanomalie be-zeichnet wird, beschreibt die Schwankungen des Quasi-geoids in Bezug auf das Niveauellipsoid U0 = W0, und dieFläche aller Punkte Q definiert das Telluroid. Das Tellu-roid oder genauer Molodenskij-Telluroid ist ein Modellder Erdoberfläche im Normalpotential, und das Quasi-geoid die Bezugsfläche für die hypothesenfreien Normal-höhen Hn:

, (18)

wobei die mittlere Normalschwere zwischen dem Tel-luroid und dem Ellipsoid ist und CP die geopotentielleKote W0 – WP. Mit Hn und ζ ergibt sich die ellipsoidischeHöhe h hypothesenfrei:

. (19)

Durch GPS-levelling sind in dem Testgebiet Stützwertefür die Höhenanomalie bestimmt worden, die zur abso-luten Orientierung des aus den Drehwaagemessungen ab-geleiteten lokalen Quasigeoids benutzt worden sind.

5 Geostatistische Bearbeitung

Für die geostatistische Bearbeitung wurde an unserem In-stitut entwickelte Software eingesetzt, die unter einereinheitlichen Oberfläche als Programmpaket SAFARI zurVerfügung steht (Röttig et al. 2000). Nach dem Ablauf-schema (Abb. 1) führt die Digitalisierung der Horizontal-gradienten und Krümmungsgrößen zu den Datensät-zen (1).

5.1 Elimination der Störgrößen

Drehwaagemessungen sind empfindlich und störanfällig.Bei der Berechnung der Geländereduktion werden durchunzutreffende Dichteannahmen weitere Fehler einge-führt. Deshalb ist zunächst eine Auto- und Kreuz-Korre-lationsanalyse der in (1) aufgeführten Messwerte not-wendig, die hier wie in Menz (1994a, b) und Hillmann(1997) angegeben durchgeführt worden ist. Im Ergebniserhält man Aussagen zu den Varianzen des Störgrößen-und Signalanteils in den Messwerten und zur Reichweiteihrer Nachbarschaftsbeeinflussung. Auf der Basis dieserAngaben wurde über eine Prädiktionsfilterung, d. h.durch Ordinary Kriging, einerseits der störgrößenfreieVerlauf der Messwerte an den Messstellen selbst vorher-gesagt. Diese annähernd (d. h. bis auf Restfehler von 5 %)störgrößenfreien Messwerte sollen im Weiteren als Da-tensätze (1a) bezeichnet werden. Andererseits wurdenaber auch die störgrößenfreien Merkmalswerte an denPunkten eines Quadratnetzes der Maschenweite 250 m

vorhergesagt. Diese auf ein regelmäßiges Netz (Grid)übertragenen Werte mit den Koordinaten der Gitterpunk-te x, y bilden die Datensätze (1b). Sowohl auf der Basisder Datensätze (1a) als auch auf der Basis der Datensätze(1b) erfolgt die weitere geostatistische Auswertung nachAbb. 1.

5.2 Geostatistische Differentiation

Der erste Bearbeitungsschritt ist die Differentiation derMerkmalswerte in (1a) bzw. (1b). Über die partiellen Ab-leitungen nach x bzw. y ergeben sich daraus die in Rei-he 5 der Abb. 1 aufgeführten 3. Ableitungen des Stör-potentials. Die partiellen Ableitungen werden über geo-statistisch vorhergesagte Hilfspunkte auf der Basis vonDifferenzenquotienten geschätzt. In Abb. 2 wird die An-ordnung der Hilfspunkte für die Vorhersage in Grids undLattice gezeigt, wobei zur Unterscheidung der BegriffLattice eingeführt worden ist. Den Mittelpunkten der Ma-schen des Grids, den Knoten der Lattice, wird dabei dieAbleitung zugeordnet.

Bei der Bildung der partiellen Ableitungen an den Mess-punkten werden die Hilfspunkte in einer Vierernachbar-schaft zu den Messpunkten angeordnet. Mit der Größedes Längenelementes für den Abstand der Hilfspunkte(125 m in Abb. 2) wächst der Glättungseffekt in den Ab-leitungen.

5.3 Geostatistische Verknüpfung

Der zweite Bearbeitungsschritt ist die Verknüpfung dergeostatistisch ermittelten 3. Ableitungen nach den in Rei-he 6 der Abb. 1 aufgeführten Beziehungen (10), (13) und(14). Nach (10) wird TZZZ ermittelt, die dritte partielle Ab-leitung des Störpotentials nach z, siehe Abb. 3. Die Ein-heit der dritten Ableitungen ist Eötvös/Meter Em–1 unddie der zweiten Ableitungen Eötvös mit 1E = 10–9s2.

nh H= + z

g Q 0Un0Q0PP U1111HdU(UU)(WW)C òggggFachbeiträge Menz/Knospe, Lokale Bestimmung des Geoids aus terrestrischen Gradiometermessungen

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Abb. 2: Grid und Lattice mit Hilfspunkten für die Diffe-rentiation, dargestellt am Beispiel einer Netzmasche imGrid

5.4 Geostatistische Integrationen

Zur Vorbereitung des dritten Bearbeitungsschrittes wer-den auf der Basis der Daten aus den Verknüpfungen (13)und (14) die Parameter der Kovarianzfunktion, die für diegeostatistische Integration durch Gradienten-Kriging ge-braucht werden, erneut geschätzt und mit den umgerech-neten Parametern aus den benachbarten Reihen in Abb. 1verglichen. Sie können dabei weiter präzisiert werden.Diese interaktive Arbeitsweise, die auch in den weiterenBearbeitungsschritten praktiziert worden ist, lässt fehler-hafte Modellannahmen besser erkennen als eine ge-schlossene Lösung.

Zur Vorhersage der gesuchten Größe TZZ in Reihe 8 derAbb. 1 wird das von uns entwickelte und untersuchteGradienten-Kriging (Menz 1991, 1994b, 1998, Röttig1997) benutzt. Das Ergebnis der Vorhersage von TZZ zeigtAbb. 4.

In der weiteren Bearbeitung wird TZZ mit T∆ nach (15)und (16) verknüpft (Reihe 9, Abb. 1). Aus den so erhalte-nen Größen TXX und TYY lässt sich mit den störgrößen-freien Daten TXY über erneut präzisierte Modellparameterdurch Gradienten-Kriging TX und TY ableiten (Reihe 11,Abb. 1).

Im letzten Bearbeitungsschritt führt schließlich diegeostatistische Integration mit erneut präzisierten Mo-dellparametern zum gesuchten Störpotential T, aus demnach (17) die Höhenanomalie ζ abgeleitet werden kann.In Abb. 5 wird die aus den Krümmungsgrößen in dereben dargestellten Art und Weise bestimmte Höhenano-malie für das Testgebiet gezeigt.

5.5 Unabhängige Geoidbestimmung über dieHorizontalgradienten der Schwere

Nach dem Ablaufschema in Abb. 1 links führt Gradien-ten-Kriging der Horizontalgradienten der Schwere zu dervierten gesuchten Größe TZ, die in Abb. 6 zu sehen ist.Von Bian sind Verfahren weiterentwickelt worden, die es

gestatten, die lokalen Geoidundulationen aus TZ auf zweiunterschiedlichen Wegen zu bestimmen (Menz/Bian1997a, b).

Der eine Weg ist die planare Lösung des StokesschenRandwertproblems im Raumbereich. Unter Benutzungdieser Lösung erhält man aus TZ nach Abb. 6 für ζ die inAbb. 7 angegebene Darstellung. Der zweite Weg benutztdie Spektralzerlegung des Schwerepotentials T. Im Unter-schied zur diskreten Fourier-Transformation basiert das

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Abb. 5: Höhenanomalie ζ in mm aus Krümmungsgrößen

Abb. 4: TZZ in E aus KrümmungsgrößenAbb. 3: TZZZ in Em–1 aus Horizontalgradienten

Abb. 6: TZ in mGal aus Horizontalgradienten

Verfahren von Bian auf einer kontinuierlichen analyti-schen Darstellung der Fourier-Reihe.

In Menz (2000b, Abb. 18) wird gezeigt, wie die lokalenGeoidundulationen aussehen, die mit dieser Methode ausTZ nach Abb. 6 ermittelt werden können. Die gute Über-einstimmung der auf unterschiedlichen Wegen aus TZ ab-geleiteten Darstellungen zeigt, dass beide Verfahren zueinem zuverlässigen Ergebnis führen.

Diese über TZ aus den gemessenen Horizontalgradien-ten der Schwere auf einem unabhängigen kurzen Wegabgeleiteten Geoidundulationen in Abb. 7 können denin Abb. 5 angegebenen Geoidundulationen gegenüberge-stellt werden, die aus den gemessenen Krümmungsgrö-ßen über einen relativ langen Weg abgeleitet wordensind. Der Vergleich zeigt eine recht gute Übereinstim-mung.

6 Zur Anordnung der Messstellen für dieabsolute Orientierung

Aus der obigen Auswertung von Drehwaagemessungenlässt sich ein Bild über die lokale Ausbildung der Geoid-undulationen ableiten, das für die optimale Anordnungweiterer Messstellen zur Geoidbestimmung genutzt wer-den kann. Es lässt sich beispielsweise unter Nutzung derD-Optimalität zeigen (Wälder 1997), dass Stützwerte wieallgemein üblich an den Extremstellen

(20)

gemessen werden sollten und Gradienten an den so ge-nannten »Wendestellen«

. (21)

Bei der Messstellenplanung für GPS-levelling, das zur Er-mittlung von Höhenanomalien ζ nach

(22)

aus den Differenzen zwischen den durch GPS bestimmtenellipsoidischen Höhen h und den aus Nivellements er-mittelten Normalhöhen Hn dient, handelt es sich umStützwerte für die absolute Orientierung, die nach (20)anzuordnen sind. Sollen dagegen über die Differenz zwi-schen Präzisions-Kreisel-Messungen und GPS-Azimutenazimutale Lotabweichungen festgestellt und zur absolu-ten Geoidbestimmung genutzt werden, dann handelt essich um eine Messstellenplanung für Gradienten, dienach (21) optimal ausgeführt werden kann.

Für die Messstellenplanung zur Erfassung von Flächentopografischer Ordnung, deren ungefährer Verlauf alsGridfile gegeben ist, wurde von Kolesnikov (1998) eineSoftware entwickelt. Sie berechnet unter Nutzung mor-phologischer Transformationen (wie Erosion, Dilatation,

Bildung morphologischer Gradienten) über Wasserschei-denalgorithmen die Kamm- und Tallinien und nimmt aufdieser Basis eine Messstellenplanung für Stützwerte undGradienten vor. In Abb. 7 sind neben Quasigeoidhöhendie nach Kolesnikov (1998) ermittelten Messstellen fürweitere Stützwerte und Gradienten ebenfalls dargestellt.

7 Relative und absolute Orientierung

Mit den in Menz (1991) und Menz/Pilz (1994, 1997) kon-zipierten und zum größten Teil in der Dissertation Röttig(1997) untersuchten geostatistischen Verfahren ist esmöglich, relative und absolute Messungen, wie zum Bei-spiel Gradienten und Stützwerte, gemeinsam zu verar-beiten. Stützwerte für die absolute Orientierung sind unsdankenswerter Weise sowohl von Prof. Torge, UniversitätHannover, als auch von Prof. Wittenburg, TU Bergakade-mie Freiberg, zur Verfügung gestellt worden. Dabei stam-men erstere aus dem EGG 96 (Denker/Torge 1998) undletztere aus GPS-levelling.

Aus den Differenzen zwischen diesen einerseits gravi-metrisch und andererseits geometrisch bestimmten Stütz-werten lässt sich der Störgrößeneinfluss abschätzen.Unter der Annahme, dass beide Verfahren den gleichenBeitrag zur Störgröße liefern, ergab die Auswertung fürdas Schwerepotential T bzw. die Höhenanomalie ζ eineStörgrößenvarianz von ca. (7 * 10–2 m2 s–2)2 bzw. (7 mm)2.Auf die Varianz des Signalanteils der gravimetrisch be-stimmten Stützwerte einerseits als auch der geometrischbestimmten andererseits lässt sich anhand der Residuenschließen, die bezüglich des linearen Trends im Testgebietermittelt worden sind. Sie lag bei den beiden voneinan-der unabhängigen Messverfahren in der gleichen Grö-ßenordnung von ca. (7 * 10–2 m2 s–2)2 bzw. (7 mm)2, womitauch die o. g. Annahme eine gewisse Berechtigung erhält.Die Analyse der Drehwaagemessungen führte übrigenszu einem ähnlichen Wert.

nhHzXXYYXY 0 zzzXY 0zzFachbeiträge Menz/Knospe, Lokale Bestimmung des Geoids aus terrestrischen Gradiometermessungen

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Abb. 7: ζ in mm aus TZ über eine planare Lösung desStokesschen Randwertproblems im Raumbereich, Angabezur Anordnung weiterer Messstellen, siehe Abschnitt 6

Für die Abnahme der Nachbarschaftsbeeinflussung(Autokorrelation) des Störpotentials T bzw. der Höhen-anomalie ζ auf 37 % (entspricht exp (-1)) wurde eineReichweite von ca. 5 km festgestellt. Schließlich sei da-rauf hingewiesen, dass am Anfang die Drehwaage-messungen (1) über Ordinary-Kriging mit einem Signalzu Rauschen-Verhältnis von 2,1; 1,1; 0,8; 1,0 (Hillmann1997) geglättet worden sind, um mit störgrößenfreienWerten (1a) bzw. (1b) die weitere Auswertung durch-führen zu können. Zur Konditionsverbesserung der Ko-varianzmatrizen für das Gradienten-Kriging mussten dieHauptdiagonalelemente für Gradienten um ca. 5 % er-höht werden, eine Regularisierung, die wie die Filterungeiner Störgröße interpretiert werden kann. Bezüglichweiterer Informationen zur Ableitung der Modellpara-meter sei auf die Dissertationen Hillmann (1997) undKnospe (2001) verwiesen.

Unter Benutzung der über GPS-levelling bestimmtenStützwerte, deren Störgrößenanteil an der Gesamtvarianzauf ca. 50 % eingeschätzt worden ist, erhält man für dasTestbeispiel den in Abb. 8 angegebenen Verlauf der Hö-henanomalien.

8 Vergleiche, Besonderheiten und Bewertungder Verfahrensweise

8.1 Vergleichbare Arbeiten

Im Unterschied zu unserer Arbeit folgen die meisten unsaus der Literatur bekannten Arbeiten zur Ableitung desGeoids aus Drehwaagemessungen (Seleny 1953, Mueller1960, Heineke 1978, Völgyesi 1998) dem in Eötvös(1906) vorgelegten Konzept. Danach werden die Dreh-waagemessstellen zu einem Dreiecksnetz vermascht, aufdessen Grundlage eine im Allgemeinen zweistufige Netz-ausgleichung gelöst wird. In der ersten Stufe werden ausden reduzierten und eventuell geglätteten Krümmungs-größen TXY, T∆, für die im Allgemeinen ein lineares Ver-

halten zwischen den benachbarten Messstellen i, k vo-rausgesetzt wird, ihre Lotabweichungsdifferenzen ∆ξik,∆ηik ermittelt. In der zweiten Stufe werden dann dieGeoidundulationen unter der gleichen Voraussetzungnach dem Prinzip des astronomischen Nivellements be-stimmt. Dabei wird nun das gradiometrisch verdichteteLotabweichungsnetz benutzt. Bezüglich näherer Einzel-heiten sei auf Heineke (1978) verwiesen, in der darüberhinaus weitere Lösungsverfahren untersucht wordensind.

In Hein (1981) wird gezeigt, dass die Kollokation diegeeignete Methode zur Auswertung von Drehwaagemes-sungen ist, vor allem dann, wenn zur Auswertung auchGravimeter- und Lotabweichungsmessungen mit heran-gezogen werden sollen. Nach Menz/Pilz (1994, 1997)entspricht die Kollokation der Ausgleichungsrechnungdem erweiterten universellen Kriging (Menz 1996) in derGeostatistik, so dass sich die Arbeiten von Hein mit denvon uns durchgeführten Arbeiten vergleichen lassen. Alslokales ebenes Kovarianzmodell für T wählte Hein das inReilly (1979) unter Benutzung der Besselfunktion aufge-stellte. Für die Vorhersage der Absolutwerte benutzte erdagegen globale Kugelfunktionsmodelle der Schwere-anomalien nach Tscherning/Rapp (1974) und nach Mo-ritz (1977). Bei der von Arabelos/Tscherning (1987)durchgeführten Kollokation mit Drehwaagemessungenaus einem Testgebiet in Südohio wird ebenfalls voneinem Kugelfunktionsmodell der Kovarianzfunktion aus-gegangen (Goad et al. 1984, Krarup/Tscherning 1984),bei dem die langwelligen Anteile bis zu Grad und Ord-nung 180 (Wenzel 1985) dem Trend zugeordnet und eli-miniert worden sind. Interessant ist in diesem Zusam-menhang die Feststellung, dass eine Variation in Gradund Ordnung nur einen geringfügigen Einfluss auf dieErgebnisse hat. Nicht untersucht wurde bisher, ob sich dieVorhersagen verbessern, wenn die langwelligen Anteileim Frequenzspektrum sinnvollerweise durch ihre Feh-lerkovarianzen berücksichtigt werden (Lehmann 2000).Interessant sind schließlich die in jüngster Zeit von Tóthet al. (2001) in zwei Testregionen Ungarns durchgeführ-ten Geoidbestimmungen aus Drehwaagemessungen, indenen Vergleiche zwischen den GBVP- und den Kolloka-tionslösungen angestellt worden sind. In Goltz (2001)werden in einem Testgebiet in Norddeutschland Verglei-che zwischen aus Drehwaagemessungen berechneten undgemessenen Schwerewerten angestellt. Es werden raster-basierte Auswertemethoden angewendet: die Methodevon Haalck, eine Berechnung mit Übertragungsfunk-tionen (basierend auf einer Spektralzerlegung und Fast-Fourier-Transformation, FFT) sowie ein Ansatz der Aus-gleichungsrechnung mit vermittelnden Beobachtungen.Für die vorangestellte Interpolation auf ein fingiertesMesspunktraster (vgl. (1b)) wird wie in unserer Arbeit eingeostatistischer Ansatz mit Störgrößenfilterung empfoh-len. Allerdings wird später gezeigt, dass der Übergang aufdieses regelmäßige Raster keine Genauigkeitssteigerunggegenüber einer Auswertung basierend auf dem unregel-

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Abb. 8: ζ in mm, auf der Basis von GPS-levelling-Stütz-werten orientiert

mäßigen Messpunktnetz (vgl. (1a)) bringt, wobei die Aus-wertung über Ausgleichung in Triangulationsnetzen unddurch Kollokation vorgenommen wird. Der eingesetzteKollokationsansatz liefert dabei im Mittel und in denExtrema etwas stärkere Abweichungen, wurde aber den-noch wegen der integrierten Störgrößenfilterung als fle-xibelste Methode zur Auswertung von Drehwaagemes-sungen empfohlen.

8.2 Besonderheiten und Bewertung

Im Unterschied zu unserer mehrstufigen geostatistischenLösung nach dem Ablaufschema in Abb. 1 führt die inHein (1981) vorgestellte Kollokation jeweils in einem ein-zigen Rechengang zur globalen, zur regionalen und zurlokalen Komponente des an den Punkten eines Grids zuprädizierenden Signalvektors

, (23)

mit der Geoidundulation N, den Lotabweichungskom-ponenten ξ und η und der Schwereänderung ∆g. Aus derAddition der in drei Schritten abgeleiteten Komponentenergibt sich die Gesamtwirkung. Um die Matrizen der zulösenden Gleichungssysteme in Grenzen zu halten, wer-den, wie hier beim lokalen Kriging, von Hein ebenfallsnur die Messwerte aus einem Einwirkungsbereich (EWB)zur Vorhersage herangezogen (lokale Kollokation). DerRadius des EWB richtet sich dabei nach dem ersten Null-durchgang der Kovarianzfunktion, die der entsprechen-den Messwertklasse zugeordnet ist. Die Nulldurchgängezeigt z. B. Abb. 9.

Die Kollokation berücksichtigt alle Datenklassen unddie Laplacesche Differentialgleichung (LDGl.) über dasKugelfunktionsmodell der Kovarianzfunktion in einergeschlossenen Lösung. Dagegen ist die von uns gewähltegeostatistische Lösung nach dem Ablaufschema in Abb. 1ein transparentes interaktives mehrstufiges Verfahren,bei dem man auf zwei voneinander unabhängigen Wegendas Schwerepotential bestimmten kann, und zwar aufkürzerem Weg aus den Horizontalgradienten der Schwe-re und auf längerem Weg aus den Krümmungsgrößen.Die letztere Methode kann als eine Alternative zur astro-gradiometrischen Ausgleichung nach Eötvös (1906) undHeineke (1978) angesehen werden.

Die LDGl. (7) wird von uns über (10) bei der Ableitungvon TZZZ, über (8), (9) und (10) bei der Ableitung von TZZ

und damit über (15), (16), (5) und (4) bei der Ableitungvon T berücksichtigt. Zur Ableitung von TZ wird sie nichtgebraucht. Sie findet aber wieder Berücksichtigung,wenn anschließend T aus TZ bestimmt wird.

Unter dem Aspekt, dass die LDGl. schon auf dieseWeise in den Auswertealgorithmus eingeht, ist das Ku-gelfunktionsmodell der Kovarianzfunktion nicht erfor-derlich. In unseren Untersuchungen wird für die Kovari-anzfunktion des Störpotentials T einfach ein isotropes

Gaußsches Modell angenommen, entsprechend differen-ziert und an die empirisch ermittelten Auto- und Kreuz-kovarianzen der Messwerte angepasst. Alternativ dazuwurden die Modellparameter nach dem Prinzip der Rück-wärtssteuerung (Menz 2000a, Menz/Kolesnikov 2002)bestimmt. Dabei besteht die Chance, diese Bestimmungauf jeder Bearbeitungsstufe erneut vorzunehmen, was zueiner allmählichen Stabilisierung der Modellparameterführt. Analog wurde auch TZ behandelt. Die Ableitungender Gaußschen Kovarianzfunktion zeigen schwingendeVerläufe (Abb. 9), wie sie für bandbegrenzte Merkmaletypisch sind. Sie können im Anfangsbereich wieder durchGaußsche Modelle approximiert und deren Parameter an-schließend umgerechnet werden. Diese Möglichkeit wur-de in Hillmann (1997) bei der Modellparameterbestim-mung durch Rückwärtssteuerung genutzt.

Bei der Anpassung der Modelle an die empirischen Ko-varianzfunktionen hat der Bearbeiter stets einen gewis-sen Spielraum. Er kann selbst unter Benutzung der Cross-Validation nicht erkennen, dass die theoretisch begrün-deten Kovarianzfunktions-Modelle für die Genauigkeitder Vorhersage besser sein sollen. Oft liefern einfachereModelle mit richtig angepassten Parametern genauereInterpolationen. Denn die zugrunde liegenden Gesetzmä-ßigkeiten, hier die LDGl. (7), finden in der Ausbildung derRealisierung der Merkmale und damit in den Messwerten,wenn sie wie hier in ausreichender Dichte vorliegen, ihregebührende Berücksichtigung. Von diesem Gesichtspunktausgehend, sind in unserer Arbeit nur einfache GaußscheKovarianzfunktions-Modelle benutzt worden.

Wenn die Messungen außerhalb des Untersuchungsbe-reiches nicht berücksichtigt werden, entstehen bei dergeostatistischen Bearbeitung nur Fehler am Modell-Rand, jedoch keine so genannten Restfehler, wie bei derLösung des geodetic boundary value problems (GBVP),bei dem die Integration über die geschlossene Randflächedurchzuführen ist. In Tóth et al. (2001) wird deshalb ge-zeigt, wie beim GBVP der Restfehler des bei der Integra-tion nicht erfassten Gebiets abgeschätzt und korrigiertwerden kann.

XXXYXZYYYZ(N, g, TTTTT) Ts,,,, x, h, DFachbeiträge Menz/Knospe, Lokale Bestimmung des Geoids aus terrestrischen Gradiometermessungen

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Abb. 9: Eindimensionale Gaußsche Kovarianzfunktion σ(x)von T und ihre ersten sechs Ableitungen nach x. Die Werteauf der Ordinatenachse verändern sich mit jeder Ableitungum den Faktor 10–2

In der Abb. 9 wird der Verlauf einer Gaußschen Ko-varianzfunktion σ(x) mit ihren ersten sechs Ableitungennach x in einem Vertikalschnitt gezeigt. Die Varianz σ(0)wurde dabei Eins gewählt. Die Werte auf der Ordinaten-achse ändern sich mit jeder Ableitung um den Faktor10–2. Durch die ersten sechs partiellen Ableitungen derKovarianzfunktion des Störpotentials T lassen sich alleAuto- und Kreuz-Kovarianzfunktionen für die partiellenAbleitungen des Störpotentials bis zur 3. Ordnung bilden.Auf die Vorzeichenregeln ist bei der Aufstellung derKriging-Gleichungssysteme sorgfältig zu achten.

Wenn die Messwerte aus unterschiedlichen Datenklas-sen stammen, die wie im vorliegenden Fall funktional zu-sammenhängen, dann sind die unbekannten Modellpara-meter für alle Datenklassen gleich, was bei ihrer Bestim-mung zu beachten ist. Ein neues Verfahren zur Ableitungder Modellparameter für derartige Fälle wird in Menz/Kolesnikov (2002) zur Diskussion gestellt.

Die Beschränkung der Modellanpassung auf einen be-grenzten Einwirkungsbereich EWB passt zum lokalenKriging, bei dem der Trend flexibel über den Mittelwertim EWB erfasst wird, der wie ein gleitendes Fenster beider Vorhersage von Gitterpunkt zu Gitterpunkt geführtwird. Wenn Stützwerte und Gradienten bzw. Co-Variablegleichzeitig verarbeitet werden, muss bei der Wahl derGröße des EWB auch auf das »Prinzip der vollständigenErfassung« geachtet werden (Menz 1994c, 1995). Stehennur Gradienten und keine Stützwerte zur Verfügung, isteine Simple-Kriging-Lösung mit dem ErwartungswertNull zu empfehlen. Noch günstiger ist, wenn die Erwar-tungswerte für das lokale Simple Kriging einem regiona-len Trendmodell entnommen werden können, weil aufdiese Art und Weise den Modelldeformationen gegenge-steuert werden kann.

Mit Modelldeformationen muss man z. B. rechnen,wenn mehrere geostatistische Integrationen, d. h. mehr-fache Vorhersagen durch Gradienten-Kriging, wie im Ab-laufschema von Abb. 1, aufeinander folgen. Ein Fehler inder Integrationskonstante bewirkt bei der sich anschlie-ßenden Integration eine lineare, danach eine quadrati-sche, dann eine kubische u. s. w. Deformation, die erstüber Absolutwerte erkannt und beseitigt werden kann.Hinzu kommen Glättungseffekte, wenn die Störgrößen-varianz der Gradienten oder das Linienelement für dienumerische Ableitung der Kovarianzfunktion zu groß ge-wählt worden sind. Sie können über eine Maßstabsände-rung der Kriginggewichte kompensiert werden, für derenBestimmung ein minimaler und ein maximaler Stützwertgünstig wäre. An dieser Stelle sei auch auf die Verfah-ren zur Glättungskompensation nach Olea/Pawlowsky(1996) verwiesen. In Knospe (2000, 2001) wird gezeigt,wie aus dem geologischen Modell des Untergrundes Aus-sagen über die zu erwartende Spannweite des Störpoten-tials T und seiner partiellen Ableitungen gemacht wer-den können. Diese Angaben können auch für die rich-tige Auswahl des Flächenelements zur Durchführung der numerischen Differentiation genutzt werden, die ja

nach dem Ablaufschema in Abb. 1 mehrfach durchzufüh-ren ist.

Eine besonders diffizile Angelegenheit ist die Auswahlder Störgrößenvarianz der Absolutwerte (Lehmann2000), die letztendlich gebraucht werden, um die relati-ven Undulationen an regionale und globale Modelle an-zuschließen.

8.3 Verifizierung mit Gravimetrischer Modellierung

Die gravimetrische Vorwärtsmodellierung bietet eineMöglichkeit zur Bestimmung der Spannweite der zu er-wartenden Schwere- und Höhenanomalien. Weiterhin er-gibt sich hiermit auch die Möglichkeit, ein Maß für dieStörgrößenvarianz zu finden, wenn es gelingt, Unsicher-heiten im geologischen und im Dichte-Modell zu bewer-ten. Dieser Ansatz zur Schätzung der Parameter derAutokovarianzfunktion ist von den oben beschriebenenDatenauswertungen unabhängig.

Eine Beschreibung des geologischen Untergrundes desTestgebietes findet sich in Knospe (2000) und soll hier zurBeschreibung des Dichtemodells in kurzer Form wieder-gegeben werden. Das hier aufgestellte geologische Mo-dell gründet sich auf Jaritz (1972, 1973) und Baldschuhnet al. (1996).

Das beschriebene Drehwaagemessgebiet liegt zwischenBremen und Hannover am Südrand der PompeckjschenScholle der Norddeutschen Tiefebene im Übergang zumNiedersächsischen Becken und zwar bei »Verden an derAller«. Die Anlage des Norddeutschen Beckens erfolgteals transtensives pull-apart-Becken (Betz et al. 1987) imOberrotliegenden (wegen der starken Aufheizung durchden intensiven Unterrotliegendvulkanismus erfolgte dieAbsenkung erst im Oberrotliegenden), was zu Subsidenzin Perm und Trias führte. Durch Halokinese wird eben-falls bis in die Oberkreide Subsidenz induziert. In Knospe(2000) konnte gezeigt werden, dass zur Aufstellung einesgravimetrischen Modells nur der geologische Komplexim Hangenden der tektonisch strukturierten Zechstein-basis relevant für die lokale Betrachtung des Schwere-feldes im Untersuchungsgebiet ist. Der Bereich der Litho-sphäre bis zur Verebnungsfläche des Grundgebirges ver-ursacht einen überregionalen Anteil im Störpotential,aber keine Undulation im Untersuchungsgebiet.

Im geologischen Komplex vom Zechstein bis zumQuartär sind Dichtekontraste durch Umlagerungen antektonischen Elementen und halokinetischen Strukturenzu erwarten, wodurch unterschiedliche Gesteine ver-schiedener Dichte in horizontale Nachbarschaft geraten.Wesentliches Charakteristikum sind die vier Salzstöcke,dargestellt als Grundrissskizze in Abb. 10, die in Nord-west-Südost-Richtung gestreckt und über Salzkissen teil-weise miteinander verbunden sind. Die mit der Halokine-se vorwiegend in der Oberkreide entstehenden Inver-sionsstrukturen und die den Salzstöcken vorgelagertenRandtröge, deren Sedimentmächtigkeiten deutlich erhöht

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sind, generieren einen sehr heterogenen geologischenKomplex mit kompliziert zu modellierendem Dichtemo-dell. Detaillierte Untersuchungen über zu erwartendeDichteunterschiede sind von Hermes (1986) gemachtworden und bilden die Grundlage für die durchgeführtengravimetrischen Modellierungen.

Aus den Arbeiten von Haalck (z. B. 1929) ist bekannt,dass sich in halokinetisch beeinflussten Gebieten mess-bare Störpotentiale ergeben. Die auch auf Grund dieserArbeiten verstärkt in den 1930er bis in die 1960er Jah-re durchgeführten Drehwaagemessungen sind auch imnorddeutschen Flachland zur Suche und Vermessung derdort vorhandenen Salzstöcke eingesetzt worden. Einequalitative Bestätigung des Zusammenhanges zeigt sichin der Gegenüberstellung der geologischen Skizze undder Ergebnisse der Auswertungen der Drehwaagemessun-gen. Die gravimetrischen Modellierungen liefern ein Maßfür die Spannweite der zu erwartenden Schwereanoma-lien. Die Ergebnisse der gravimetrischen Vorwärts-Mo-dellierung mit dem Programm GramPro (Knospe 2000)in geologischen Profilen sind in Abb. 11 dargestellt. Dashier dargestellte Profil 1 verläuft annähernd senkrechtzur Längsachse der Salzstrukturen (Abb. 10). Unter derAnnahme mittlerer plausibler Dichtewerte erzeugt derSalzstock »Verden« eine Schwereanomalie von maximal6 mGal.

Die mit den geostatistischen Verfahren aus den Gra-diometermessungen abgeleitete Schwereanomalie ist inForm und Lage fast identisch, die Amplitude ist mit ca.4 mGal aber kleiner. Diese Differenz ist ein Maß für dieden Gradiometermessungen aufgezwungene Glättung,wobei die Abweichungen von der in GramPro angenom-menen unendlichen Fortsetzung der Strukturen in derdritten Dimension einerseits und die Unsicherheit bezüg-lich der wahren Dichtverteilung andererseits der Interpre-tation Spielraum lassen.

In der Modellierung wurde mit verschiedenen Dichtewer-ten in einem plausiblen Rahmen gearbeitet, der die in derNatur vorhandene Variationsbreite der Dichte darstelltund damit ein Maß für die Unsicherheit (StörgrößenanteilMikrovariabilität) der gravimetrischen Messungen unddaraus abgeleiteten Größen ist. Die in diesem Fallbeispielermittelte Variationsbreite von ca. 3 mGal, siehe Abb. 11,ist im Verhältnis zu den berechneten Amplituden uner-wartet hoch.

Um die Unsicherheit bezüglich der Geometrie einzu-schränken, wurden Störkörperkonstellationen modelliert(Knospe 2000). Die modellierte Schwereanomalie beträgt7 bis 10 mGal, ist also größer, als in der Auswertung derGradiometerdaten und auch größer als in der Modellie-rung des geologischen Profils. Dies kann bestätigen, dasses sich bei der Differenz tatsächlich um den Glättungs-effekt handelt.

Letztendlich muss konstatiert werden, dass durch dieUnkenntnis der genauen Dichteverteilung im geologi-schen Modell und die unbestimmte Geometrie desselbeneine Ableitung der gesuchten Parameter für die Varia-tionsbreite der Schwereanomalien und für die zu erwar-tende Störgrößenvarianz nur mit großer Unsicherheit ge-lang.

9 Schlussbetrachtungen

Neben den Stützwerten des zu beschreibenden Merkmalswerden häufig auch Zusatzdaten (Co-Variablen) gewon-nen, die ebenfalls Informationen über das zu untersu-chende Merkmal enthalten und zwar insbesondere dann,wenn es sich um funktional abhängige Daten wie bei-spielsweise Ableitungen handelt. Für die geostatistische

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Abb. 11: 2D Schweremodellierung des geologischenProfils 1 (siehe Abb. 10)

Abb. 10: Geologische Skizze der Salinarstrukturen. Lagedes geologischen Profils, berechnete Schwereanomalien inmGal aus Abb. 6

Vorhersage auf der Basis derartiger Messwertklassen sindim Rahmen unserer Forschung Verfahren entwickelt wor-den, deren Eignungsnachweis bei der Auswertung derDrehwaagemessungen nach einem von Haalck (1950)vorgeschlagenen Konzept erbracht werden sollte. Dazuwurden über 1800 Drehwaagemessungen aus den Unter-suchungsgebieten Weddingstedt und Verden an der Allerherangezogen. In beiden Testgebieten konnte gezeigtwerden, dass die von uns entwickelten Verfahren zurgeostatistischen Integration, Differentiation und Ver-knüpfung funktionieren und zur Bearbeitung anspruchs-voller Aufgaben eingesetzt werden können. Wie dabeivorzugehen ist, wird hier im Testgebiet Verden an der Al-ler demonstriert.

Im Prinzip liefern die geostatistischen Verfahren ge-nau die gleichen Ergebnisse wie die völlig anders abge-leitete Kollokation. In der Arbeit wird der geostatistischeZugang mit alternativen Auswertemethoden verglichen.Der in Anlehnung an Haalck (1950) gewählte mehrstufi-ge Auswerteprozess liefert tiefere Einsichten bei derAbleitung der Modellparameter. Für die Ermittlung derParameter der Kovarianzfunktion sind von uns ebenfallsneue Verfahren entwickelt worden, die nach dem Prinzipder Rückwärtssteuerung arbeiten und die alle funktionalabhängigen Datenklassen berücksichtigen können (Menz2000 und Menz/Kolesnikov 2001). In der weiterführen-den Forschung sollte untersucht werden, ob sich durchden Einsatz dieser Verfahren die Ableitung der Modell-parameter vereinfachen lässt.

Schließlich sollte mit dem Beitrag zur terrestrischenGradiometrie auch darauf aufmerksam gemacht werden,dass es technologisch möglich ist, die Informationen ausder geophysikalischen Reichsaufnahme für die Geoid-bestimmung im lokalen Bereich zu aktivieren. Gradio-metrische Beobachtungen sind zusätzliche Datenklassen,aus denen unter entsprechenden Voraussetzungen Infor-mationen zur Verbesserung der Geoidbestimmung ab-geleitet werden können. Gegenwärtig konzentrieren sichdie Forschungsarbeiten auf die Bereitstellung gradiomet-rischer Beobachtungen durch Satellitenmissionen, wiez. B. GOCE. Für die gemeinsame Auswertung dieser undbereits vorhandener Beobachtungen aus anderen Daten-klassen könnte der Einsatz geostatistischer Methoden inErwägung gezogen werden.

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Dipl.-Geol. Steffen KnospeInstitut für Geotechnik und MarkscheidewesenTU ClausthalErzstraße 1838678 Clausthal-Zellerfeldsteffen.knospe@tu-clausthal.de

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