Math. Ann. 208, 249--265 (1974) © by Springer-Verlag t974

Lokale Kerne und beschr nkte L6sungen ffir den -Operator auf q-konvexen Gebieten

Wolfgang Fischer und Ingo Lieb

Einleitung

Die von Ramirez und Henkin angegebenen holomorphen Integral- kerne haben die Aufstellung genauer Supremumsnorm- und H6lder- abschfitzungen flit die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen auf streng pseudokonvexen Gebieten erm/Sglicht. In dieser Arbeit zeigen wir, dab die dabei entwickelten Methoden zu ana!ogen Ergebnissen fiir q-kon- vexe Gebiete (in der Definition von Andreotti-Grauert) fiihren (Satz 6). Wesentlich ist hierfiir die Kerzmansche Idee, die gewiinschte Absch~it- zungen auf einen Fortsetzungssatz ftir beschr~inkte Cohomologieklassen zurtickzuftihren (Satz 5 dieser Arbeit); auf diese Weise braucht man nur in kleinen Umgebungen von Randpunkten des betrachteten Gebiets ex- plizite L6sungsformeln fiir die Cauchy-Riemannschen Differentialglei- chungen zu kennen. Wir geben solche LiSsungen durch Konstruktion ge- eigneter ~-geschlossener Cauchy-Fantappi~-Kerne ftir Differentialformen vom Typ (0, r) mit r > q an und sch~itzen dann die au ftretenden Integrale ab. Dabei begnfigen wir uns mit sup-Norm-Ungleichungen; es ist aber klar, daft die im streng pseudokonvexen Fall bekannten H61derabsch~itzungen auch ffir unsere L6sungen gelten.

§ 1. Cauchy-Fantappi~-Formeln

1. Wir fibernehmen in diesem Paragraphen im wesentlichen die Bezeichnungen aus [6], an die zun~ichst erinnert werden soil. W C •" x t12" = {(x, y) : x ~ tE", y ~ t12"} sei eine offene Menge; ~1 . . . . . ~" seien n n-tupel von Doppelformen auf 14t:

wobei der Typ von c~ nur von v abhfingen soil. Dann wird

250 W. Fischer und I. Lieb

gesetzt. Falls einige der a v iibereinstimmen, ffihren wir wieder die Bezeichnung

a l . = D ( ~ 1 . _ _ _ . ~ 1 , ~ , ~r~ Dk~ k.( . . . . ~') . . . . . . k l - m a l k r - m a l

ein (mit kl + ' " + k, = n). Unter

- - v v ~x ~ ~ 0~ x

ist natiirlich (~x~l~ . . . . . Oxen) zu verstehen, analog werden ~;, a~,y definiert. 2. Es seien nun f* ,g*: W~CY zwei zweimal stetig diffcrenzierbare

Abbildungen mit den Komponentenfunktionen f~ bzw. gL Wir setzen

f(x, y) = ~ f~(x, y) (x~-- yv), v = l

g(x, y) = ~ Or(x, y)(X~ -- y~), v

g, ( gl g~ G ~ g g ..... g

und nehmen an, dab F u n d G auf W noch definiert sind, d. h. f u n d g ohne Nullstellen.

YJ(f*) = D, ,~(F, Fy, F~) und

Y2(g*) = D I,~(G, Gy, G~)

seien die zu f * und g* gehOrigen Cauchy-FantappiO-Formen der Ordnung r + 1 ; dabei ist r + s + 1 = n. Es handelt sich also um doppelte Differentialformen auf Wvom Typ (0, s) = (0, n - r - 1) in x und vom Typ (0, r) in y. Der Zusammenhang zwischen O(f*) und Y2(g* ) wird durch den folgenden Satz von Koppelman gegeben:

Satz 1. Es gibt akm, bp~E¢~ mit O<_k <_r, O<_m<_s-1, O<__p<__r-1, O<__q<s, sodafl

O ( f * ) - O(g*) = ~ak,,,'~xO,,,,k,,_k,m,~_m_,(F,G, ty, Gy, Fx, Gx) O_<k<r O_<m_<s-1

+ E bpq'~,DL,,p,,-p-I,q.~-~(F,G, Fy, Gy, Fx, Gx)" O < p < = r - 1 O<,]<__s

Dieser Satz ist in [6] nur fiir den Fall bewiesen worden, in dem eine der beiden Formen holomorph von y abh~ingt; wir brauchen ihn jetzt aber allgemein.

Lokale Kerne und beschr~inkte LOsungen ffir den ~-Operator 251

Wir ben6tigen sp~iter noch die Gleichung

Ol , 1,k,r-k . . . . - m - 1( F, G, F r, G r, F x, Gx) l k+2 r+2

= E A ^ A a,,go, ^ o'e~n 3 k+ 3

r + m + 2

A ,X r + 3 r + m + 3

Diese Gleichung ergibt sich durch einfache Rechnungen aus der Defini- tion der linken Seite.

3. Beweis von Satz 1. Wir bestimmen die ak,,, bvq als L6sungen eines linearen Gleichungssystems. Die rechte Seite der Gleichung in Satz 1 liil3t sich unter Verwendung yon Satz 6 aus 1-6] (fiir dessen Beweis man am besten 1-4] vergleiche) in der folgenden Form schreiben:

ak,.{(--1)'+l Dl,k,,-k,,.+ l,.-m-x(F, Fy, Gy ,F:,' Gx) O<_k<_r O<<_m<<.s-1

F + ( -- 1) Dl.k.,--k,.,,,~-,.(F, r, Gr, I~, Gx)

+ kD1,1, l,k- i,.-k.,.,~- .,- 1( F, G, Fxy, F r , Gr, Fx, Gx) + ( r - k ) Di, i,l,g,.-k-1 .... -. ,- I(F, G, Gxr, Fy, Gr, Fx , Gx)}

+ ~ bpq{-Di.e+i..-v-l.q,~-q(V, Fr, Gy'F~'G~) O<=p<r-I O<=q<=s

+ D~,v,~-v,~,~-q(F, Fy, Gr, F~, G~) +(--1) '-1 qDl,l,l,p,r_p_l,q_l,s-q(F,G, Fxr, Fy, Gr, Fx, Gx)

+ ( - 1 ) r-1 ( s -q ) Oi.l.l,~,,._p-l,q.~-q-l(F, G, G,,r, Fr, Gr, F,,, Gx)} "

Es seien n u n . und fl gegeben; wir sammeln die Koeffizienten von

1) D1 .... _~,t~,~_t~(F, Fr, G r, F~, G~)

bzw. 2) Dl.l,l.~,.-~-l,t~,~-ts-l(F,G, Fxy, Fr, Gr, F~,Gx )

bzw. 3) D,, 1,1,~,,-~- a,e,~-t~- 1( F, G, Gxy, Fy, Gy, Fx, G~),

die in den obigen Summen auftreten. Es sind dies der Reihe nach

c,.+l l + (_ l ) . a~-b~_l , t~+b~ 1) ( - , j a,,e-

fiir O<~<_r, O~[l<-s; dabei ist a . j = 0 fiir (x ,2)¢[O,r]x[O,s-1] zu setzen und b.~ = 0 fiir (x, 2) ¢ 1-0, r - 1] x [0, s],

2) (c~+ 1)a.+l , t~+(-1) '-1 (fl+ 1)b..a+l,

3) ( r -c t )a :a+(- t) "-1 (s-fl)b:t~.

252 W. Fischer und I. Lieb

In 2) und 3) ist 0 < _ e < r - t , 0 < f l < s - t. Nun ist

O,,,,o,s,o(F, Fv, G r, Vx, Gx)= Q(f*),

D,,o.,.o.s(F, Fy, G,,, F~, Gx) = ~2(g*).

Es genfigt also, a,a und b~a als L6sungen des folgenden linearen Glei- chungssystems zu wiihlen:

I. ( - 1 ) r+l a, . s - t - br-l,~ = l ,

II. ( - t) r aoo + boo = - 1,

III. ( - 1) '+x a~.a_ 1 + ( - t)r a,a - b~_l,p+b~a=O

f f irO<a<r,O< fl<s,(a, fl)#(O,O),(r,s),

IV. (ct+ 1 )a~+ l , a+( -1 ) ~-~ (fl+ 1)b~,a+l=O,

V. ( r - a ) a , p + ( - 1 ) "-1 ( s - f l )b~p=O;

in IV undV ist O < a < r - l , O < f l < s - 1.

Hilfssatz. Das obige Gleichungssystem hat genau eine L6sun9.

Beweis. Nach Elimination der b,p mittels IV und V entsteht das folgende gquivalente System:

V" ' "r+'

O< c¢_< r, l < f l < s - - 1 ,

r - ~ r - ~ + l IX. 1 + - -S- - / a~° s a~-x '°=O

l _ < a < r ,

X. t + a~,s-1 - - a ~ + l , s - l = O 8

O N e < r - l ,

r - ~ c t+ l XI. s_-~a~p fl a~+x,~_l=0

0 _ < a _ < r - i , t = < f l ~ s - 1 .

Lokale Kerne und beschr~nkte L6sungen ftir den ~'-Operator 253

Aus VII, VIII und IX lassen sich die agp eindeutig bestimmen; sie sind alle von 0 verschieden. Es bleibt zu zeigen, daB auch VI, X und XI erfiillt sind.

Zu XI. Es sei/~ v t. Dann ist

ag+ l ,O a~+l ,O a~,o

as, 1 as, o ag, 1

r - ~ s + r - l - 7 r - 7

s + r - 7 + l (s-- 1)(t +7) ( s - t)(1 +~)

d. h. fiir/~ = 1 gilt XI. Falls f~ir/~ > 1 schon

a ~ + l , # _ 1 _ r - -0~ fl

a~a s - / ~ 7 + 1

bewiesen ist, so folgt hieraus und aus VIII und IX dic Aussage ffir ]~ + I"

a s + l , # _ ag+l,f l ag+l,/:~_ 1 . a~#

ag ,#+ l ag,#+ 1 ag+ 1,/~_ 1 a~#

r - 7 8 + t s - / ~ - I a + l

Zu X: Aus VIII folgt

a~,p _ ( f l + 7 ) ( s - [ 3 + r - 7 - 1 ) a g , ~ - i

ag+l,~ (l~+7+ 1)(s - ~ + r - 7 )

also sukzessive

ag, s - 1 1 .ql_ 7 g - - 7 ago

a s + 1,s_ 1 s+o~ s + r - - 7 - - I a~+l , 0

1 + 7 r - c t s + r + 7 - 1 s + 7 s + r - 7 - 1 r - 7

1 + 7 s + 7

Zu VI. Es ist

s - 1 ar # f i a~ 0 at, s - 1 = I - I " x x ~ • aoo

#=1 a r , # - i g= l a g - l , o

p = l ~ ~=l r + s - ~ aoo

= aoo, d.h. VI gilt.

a~+ 1,p- 1

(nach IX)

(nach VIII und IX)

Satz 1 ist bewiesen.

254 W. Fischer und I. Lieb

§ 2. Cauchy-Fantappi~-Formen auf streng q-konvexen Gebieten

In diesem Paragraphen wird eine lokale L6sung fiir die Cauchy- Riemannschen Differentialgleichungen ~-~= fl auf streng q-konvexen Gebieten konstruiert. Zur benutzten Technik vergleiche man [5] und [6].

1. Es seien gl(x, y) . . . . . g,(x, y) zweimal stetig differenzierbare, beziig- lich y holomorphe Funktionen auf einer offenen Menge W C t l; ~ x0;", q > 1 sei eine natiirliche Zahl; wir setzen (mi tc ~ IR)

/c(Yv - Y~) + g~(x, y) fiir v =< q - 1 h~(x, y) = IOn(x, y) fiir v >_- q

und nehmen an, dab

h(x, y) = ~ h~(x, y) (x~- y~) V = I

auf Wohne Nullstellen ist. Die zu den h~ geh6rige CF-Form der Ordnung r ist dann durch

~ , ( h * ) = ~ - ^ . - - ^ . . .

erkl~irt.

Hilfssatz 1. ~2,(h*) = 0 fiir r >_>_ q + 1 ; f2q(h*) ist "ffy-geschlossen.

Beweis. Fiir r_>_ q + 1 taucht in jedem Summanden yon f2,(h*) mindestens einmal ein Faktor Jygv = 0 auf. Es sei nun r = q und f2 = f2q(h*)

Nun ist

O'ff~ n {~2,"" ",~q} = {1 , . . . , q - - 1}

s~imtliche Faktoren der auftretenden Summanden sind ~y-geschlossen, also ist Oyf2 = 0.

Ferner ist q - - 1

v = l also

r,h^ =0 wegen der obigen Darstellung yon f~.

2. Wir ben6tigen noch einen Hilfssatz aus der linearen Algebra. Es sei S=(g~j)= diag(2~ . . . . . 2,) eine reelle Diagonalmatrix; A und B seien positive Zahlen mit

A < min(Aq . . . . . 2.) N max(12~l . . . . . I~.1) < B .

Lokale Kerne und beschr~inkte L6sungen ffir den T-Operator 255

Hilfssatz 2. Es gibt ein c > O, das nur yon A und B abhdngt, so daft ffir jede Matr ix T = (hl) ~ ~" ×" mit Ihij - 9i)l < c und jedes t ~ ~" - {0} gilt:

q - I

hijhtj > A ~ It,I 2 - B ~ It, I 2 . i=q i = I

i i , j = l

Der Beweis ist trivial. 3. Definition 1. Es sei X eine komplexe Mannigfaltigkeit. Eine

zweimal stetig differenzierbare Funktion q~ : X ~IR heiBt streng q-konvex (q ~ 1), wenn fiberall do 4= 0 ist und in jedem x E X die Levi-Matrix

~2(~

L ( , p ; x ) = : , .......

mindestens n - q + 1 positive Eigenwerte hat. Es sei ~o eine 3real stetige differenzierbare streng q-konvexe Funktion

auf einer offenen Menge U'CIE"; UC flU' sei ein relativ kompakter oftener Teil. Wir fiihren folgende Bezeichnungen ein:

Ba(xo) = {x e ~" "Ix - Xo[ < R}

(t ' l bezeichnet immer die euklidische Norm),

0q~ &o cp~- c3x~ ' ~o~ = ~y~ ,

L(~o; x)= (~ov~(x)).

Es gibt dann positive Zahlen A und B, so dab gilt: i) Ist x ~ U, so hat L(q~; x) mindestens n - q + 1 Eigenwerte 2 > A;

ii) alle Eigenwerte 2 yon L(qL x) erffillen IAI < B. Es sei Xo s U lest gew~ihlt. Nach einer unitSren Koordinatentransfor-

mation dtirfen wit L(cp; Xo) als Diagonalmatrix annehmen:

q~,~(Xo)= 0 ffir v+/~,

~o,~(Xo) = 2,

mit A < min(2q . . . . . .~,) < max(lJq I . . . . . 12,,I) < B. Wegen der gleichm~iBigen Stetigkeit der zweiten Ableitungen yon q~

auf U existiert nach Hilfssatz 2 ein (yon Xo unabh~ngiges) Ro > 0 mit:

i) B2Ro(Xo)CC U', ii) fiir x e B2Ro(Xo) und t elE" ist

n q--1

Z q~.~(x)t~F.>A ~ [ t . t2 -B Z ]t*] 2" v , g = l v=q v = l

256 W. Fischer und I. Lieb

Es seien nun x und y beliebige Punk te mit x ~ B2Ro(XO). Taylorent - wicklung von q~ um x liefert:

1 q~(y) = (p(x) - i q~,,(x) "(x,, - y,) + T ~ q)~u(x) (x~ - y,) (x u - Yt,)

V = 1 v,/~

- . =, 2 ~ , ~ov~(x) ( ~ - y~) (~, - y,)

+ ~ ~0,~(x) (x , , - Y0 (~, - Y~) + O(Ix -y13) . V,~t

Wir setzen

gv(X, y) = 2e~(x) - ~ ~o~.(x) (x. - y . ) , .=1

oIx, y) = ~ o,.{x, y) (x~ - y,,). V = I

D e m n a c h ist

Reg(x, y) = qg(x) - q~(y) + 2 ~°~r,(x) (x , - y~) (2u - Yu) + O([x - yl 3)

> q g ( x ) - q g ( y ) + A [ x ~ - y ~ 1 2 - B ~ I x , . - y d 2 - C l x - y l 3, v = q v = l

wobei die K o n s t a n t e C von x und y unabh~ingig gew~ihlt werden kann und auch gegeniiber ,,cg3-kleinen" St6rungen yon ~o invar iant ist.

Es sei nun

I (A + B) ( ~ - y~) + g~(x, y) fiir v < q h,.(x, y) = toy( x, y) ffir v > q ,

h(x, y) = ~ hv(x, y) .(x~ - Y0 v = l

q - - 1

= ( A + B ) ~., [ x ~ - y ~ 1 2 + g ( x , y ) . ~,'= 1

Es folgt:

Re h(x, y) >~ q~(x) - qo(y) + A Ix - yl 2 - C Ix - yl a .

Wir nehmen nun an, dab fiir Ix - Yl < 2Ro stets

A Ix - y[ 2 - C Ix - yl 3 > (A/2) Ix - yl 2

ist und setzen

A / 2 = a ; A + B = b .

D a m i t haben wir

Lokale Kerne und beschfiinkte L6sungen fiir den T-Operator 257

Hilfssatz 3. Es gibt Ro, a, b > 0 mit folgenden Eigenschaften: 1st B2Ro(Xo) irgendeine Kugel mit Mittelpunkt x o ~ U und werden die Koordi- naten geeignet gewdhtt, so geniigt die dutch

h(x, y) = ~ h~(x, y) (x,, - y~) V=I

mit /b (~ , , - ~,,) + g,,(x,y) fi~r v< q h,(x, y) = (g~(x, y) fiir v > q

und g~(x, Y) = 2q~(x) - ~ q~u(x) (x, - yu)

# = 1

erkldrte Funktion h der Abschdtzung

Re h(x, y) > alx - yl z ,

falls die Bedingungen x, y ~ B2Ro(Xo) und q~(y) < ~(x) erfiillt sind.

Nattirlich dfirfen wir a < 1 annehmen. 4. Wir ffihren nun - vgl. [5] - fiir die 1-konvexe Funktion

tp (x)= Ix -Xol 2 - 4R 2 ,

die den Rand der Kugel B2 Ro(Xo) definiert, die in Abschnitt 3 beschriebene Kons t rukt ion durch:

9~(x, y) = 2(2, ,- 2°),

a B ( x , y ) = ~ Bx g~ ( , y) (x,. - y,,) v = l

Es folgt leicht: Re gB(x, y) >= Ix - yl 2

ffir alte x und y mit Ix - x o l > lY -Xol. 5. Die h, werden mit 9~ verklebt. Es sei Z eine unendlich oft differenzierbare Funktion im ~", ftir die

gilt: i) o<x__< 1,

3-Ro, ii) X = 1 ffir tx - Xot < 4 ~ R o . iii) ;~ = 0 ff ir Ix - Xoi >= 5

Wir whhlen die Funkt ion X ein ffir alle real lest, so dal3 dz durch eine nur yon Ro abhhngige Konstante beschr~nkt ist.

Dann sei O~(x, y) = z(x) h,,(x, y) + (1 - z(x)) g~(x, y),

O(x, y) = ~ Or(x, y) (x,, - y~.) v = l

--- Z(x) h(x, y) + (1 - Z(x)) ff"(x, Y) .

258 W. Fischer und I. Lieb

Ferner sei n 2 = B 2 R o ( X O ) n { X E U' : q) (x)< 0} ,

n 1 = BRo(Xo)n {X ~ U' : q~(x) < 0}

W = H2 x H 1 .

Nach Hilfssatz 3 ergibt sich fiir 0:

Hilfssatz 4. Ffir alle (x, y) ~ 1~ mit ~p(y) < q~(x) oder Ix - Xot > ~Ro ist Re 0(x, y) > atx - yl 2.

6. Es sei Wo eine offene Umgebung der Menge {(x, y) ~ I~: q~0,)< ~o(x) oder l X - X o l > ~ R o } , auf der Re0 noch posit ivist . Ferner sei r > q ; fiJr die zu #* = (01 . . . . . ~ ) geh6rige CF-Form f2,(0* ) gilt nach Hilfssatz 1

J , a , (g*) = o .

W i r s e t z e n n o c h f 2 , ( x , y ) = ( - 1 ) ' - ' ( ~ 2 1 ) f 2 , ( O * ) .

Schliel31ich sei B,, der Bochner-Martinelli-Kern ffir (0, r - 1 ) - Formen (vgl. [6]). Nach Satz 1 gibt es Differentialformen A, und F, so dab auf Wo , . ~ = a . + L < + ~ . r ist, wobeiA, gemiil3 Satz 1 aus den 0~ und x~ - y ~ berechnet werden kann; F i s t ftir das folgende irrelevant.

Wir betrachten jetzt Teilgebiete yon H2, auf die der Stokessche Satz anwendbar ist. Genauer: R,e seien irgendwelche positiven Zahlen, fiir die gilt:

i) ~Ro < 2R < 2Ro, ii) auf BzR(Xo)C~ {xl~o(x) < - e} = :H~ ist der Stokessche Satz anwend-

bar, iii) OH; x H' 1 mit H; = {y ~ H 1 : q~(x) < - e} ist eine Teilmenge yon Wo.

Durch Einsetzen der obigen Darstellung des Bochner-Martinelli- Kerns in die Bochner-Martinelli-Formel fiir H~ x H; folgt

Satz 2. Ist 7 eine unendtich oft differenzierbare (0, r - 1)-Form auf R~, so gilt ffir jedes y ~ H' 1 die Darstellung

~'(y)= ( -- I)"("- *)/2 ;:(X) Af2rA /~ d x . ( 2 r c i ) " o u = 1

+ ( - 1)" I L~'(~) ̂ A,(~, y) ̂ /~ d~.

- s ^ , . . i x . , ) ^ A + Hi U = 1 1

Ftir den Beweis vergleiche man [6], Satz 13.

Lokale Kerne und beschriinkte L6sungen fiir den ~-Operator 259

7. Wir w~ihlen nun eine monotone Folge von Radien R,. mit lim Rv = R o und eine monotone Nullfolge e,,., so dab fiir

H~=B2R~(Xo)n{y:~o(y) < -e,,} und

H~ = {y ~ H 1 : q~(y) < - ~,.}

Satz 2 anwendbar ist. Ferner sei fl irgendeine ~-geschlossene (0, r)-Form auf H z mit beschr~inkten Koeffizienten. Nach [1] gibt es eine (0, r - l)- Form q auf//2 mit

Satz 2 und der Beweis von Satz 14 in [6] ergeben nun

mit

und

Satz 3. Die (0, r - 1)-Form

(_ 1).~.- 1~/2 ,, B,,,(x, y) A A

(2~z i)" n2 u = 1

(_ 1).<.-,~/2 Cv(y)=(-1)" I ~(x)^J.(x,y)A A dx. (2= i)" eH~ . = i

genhgt do" Gleichun#

Man beachte, dab a auf H~ definiert ist; dort besteht die im Satz be-

hauptete Gleichung. Der Beweis, dab die ~ samt allen Ableitungen auf H 1 lokal gleich-

m~iBig gegen eine Form { konvergieren, kann w0rtlich wie bei Hilfs- satz 7.4 aus [6] geftihrt werden, wenn man beriicksichtigt, dab auch im vorliegenden Fall "~,,Ar(x, y) in (H2 - H~ °) x H* wegen Satz 1 und Hilfs- satz 4 beschr~inkt ist, sofern H* CC H~ °.

§ 3. Supremumsnormabschiitzungen

1. Wir sch~itzen nun die in Satz 3 angegebene L6sung ~ yon 00t = fl ab, Die hier auftretenden Supremumsnormen seien wie in [6] definiert. In den Absch~tzungen treten verschiedene Konstanten auf, die wir mit dem gleichen Buchstaben K bezeichnen. So bezeichnete Konstanten h~ingen stets nur von den Gr613en Ro, A, B, einer unteren Schranke fiir d~o auf U und einer oberen Schranke fiir die D~o mit t/~l < 3 auf U ab, nicht von tp und ft. § 2, Nr. 3, zeigt, dab Ro seinerseits nur yon A, B und der oberen Schranke der Ableitungen yon ~o abh~ingt.

260 W. Fischer und I, Lieb

Fiir das Bochner-Mart inel l i - Integral 7 ist die Absch~itzung I~1 =< K I/~1 elementar. Es bleibt I~(Y)l <KI¢/I mit einer von v und y unabh~ingigen Kons tan ten K zu zeigen.

2. Bei festem y ~ H l k6nnen wir neue Koord ina ten 2u = 2'~, + i2~, /~ = 1 . . . . . n, im ~;" in folgender Weise w~ihlen (vgl. [5]):

i) x = ( x l . . . . . x.) und 2=(21 . . . . . 2,,) gehen durch Translation und unitiire Transformation auseinander hervor :

x 2 - y~ = ~ a~,2,(x), I I = l

ii) 8 - ~ (y) > 0 ' ~32~ ( y ) = 0 ' --02x ( y ) = 0 Jfir 2 = 2 . . . . . n.

&o Wir setzen noch p~. - . Es gilt dann

c~2 a

2 = 1 2 = 1

und Ix -Yl = 12(x)l. Nach Kons t ruk t ion von h ist

h(x, y) = 2 ~ (pa(x) (xz - ya) + O(Ix - y12), 2 = 1

also gilt in den 2 -Koord ina t en

h(x, y) = 2 ~ (p~(x) 2z(x) + O(12(x)t z) 2 = 1

und

Im h(x, y) = + ~. (~oi(x). 2z(x) --~x(x) . ~2(x)) + O(J2(x)lZ). 4 = 1

N u n ergibt die Taylor -Entwicklung von tp(x) um y sofort

q~(x) • 2a(x) = tpi(y) • 2a(x) + O(1212),

unter Berticksichtigung von ii) erh~ilt man damit

Im h(x, y) = 2tpi(y) " 2~(x) + O(12[2).

Es' gibt also Kons tan ten L, M > 0 mit

lIm h(x, Y)I >= L127t - MI21 z ;

die Kons tan ten hgngen von Ro, A, B, tD"g,l fiir tN = 2 ab. Im Verein mit der fiir tp(x)> (p(y) giiltigen Ungleichung

Re h(x, y) > alx - yl 2 = a1212

Lokale Kerne und beschrankte L6sungen fiir den ~Operator 261

folgt dann wie bei [5], S. 349,

]h(x,y)l>a(12P +lS~'l) ffir qg(x)>qg(y), x~n2 , y 6 n l ,

mit einer neuen Konstanten a > 0. 3. Es gibt positive Konstanten to, R* so, dab fiir y ~ H~ mit q~(y)~ - e, o

das FRichenstfick

F~ = F,,(y) = {x ~ 1t2 : Ix - Xol < 4Ro, q~(x) = - G, tx - Yl < R*}

in der Form

F~ = {x: 2'1 = L O G 22 . . . . . 2.)}

darstellbar ist. to und R* h~ingen von Round den Ableitungen von 9~ ab. Die fv und ihre ersten Ableitungen sind unabh~ingig von v und y be- schr~inkt; in ihre Schranken gehen nur die Ableitungen yon q~ ein.

Fiir x ~ F,, ist Z(x)= 1, also in den Bezeichnungen v o n § 2, Nr.4, ~,,= h~ und ~= h.

Setzt man in

f l (x) ^ A , (x , y) ^ A dxa Fv 2 = 1

ffir ,4, die sich aus § ! ergebende Summendarstellung ein, so erh~ilt man Integrale der Form

fa~h,~ k + 2 r+ 1 r + m + 1

r+m+2 1

mit O<_k <_r- 1, O < m ~ s = n - r - 1, f~=x~-y~, f = lx-yj2

Der Exponent yon h ist also mindestens 1. Die h~ und ihre ersten Ableitungen sind gleichm~iBig in y und v beschr~inkt; die Schranken h~ingen nur yon Ro, A, B, D"cp ffir l#l < 3 ab.

Es sei nun y ~ H 1 mit q~(y) > - e0- Wir ffihren in dem obigen Integral zun~ichst die 2-Koordinaten ein und substituieren dann ~ = f~(2~, 22 . . . . . 2,); das entspricht der Projektion auf die reelle Hyper- ebene 2~ = 0. Mit r = r(x) bezeichnen wir den Abstand von y in dieser Hyperebene. Dann haben wir

a~,~ 2~,(x) K K G , - Y, , I ~ < _ _ < _ _

I x - y l z 12(x)l z = 12(x)l = r und

I h l " - " +~+"~ > K(1212 + 1211)" 1212~-(1 +k+m,

K(r2t,-t~ +k +~, + rZt~-t2 +k+m)), 12~:t) •

262 W. Fischer und 1. Lieb

Damit ergibt sich (mit neuen Konstanten K' und K).

dx~<__ " dYc'~dYc'2""dYc'~ I ~(X) A'4r(X'y)A /~2 g't~lr<J-R'F2~Sn-l~r'in--31X~l~g]t~]" Fv =

(Zur Existenz des letzten Integrals vgl. [7].)

4. Ffir y e HI mit q~(y) ~ - ~o sind die in

j /3(x) ̂ Atx, y) A ~H~-Fv ),

auftretenden Nenner gleichmiiBig in y und v von Null weg beschr~inkt, die Z~thler und Fl~icheninhalte sind beschr~inkt, also ist das Integral durch KI/~I beschr~inkt.

Fiir y E H~ mit ~o(y) < - % und x e dH~ sind trivialerweise ebenfalls die Nenner von Null weg beschfiinkt; es ergibt sich wieder, dab das fiber dH~' erstreckte Integral durch K I/~1 beschrankt ist.

Es ist klar, dab die obigen Ergebnisse ffir jedes R < R o gfiltig sind. Wir fassen sie zusammen zu

Satz4. Es sei UCCIt~"; A , B , C , D seien positive Konstanten. ~p sei eine streng q-konvexe 3real stetig differenzierbare Funktion auf einer Umgebung U' yon U mit

i) C < inf Id~o(x)l, x6iU

ii) sup ID~o(x)l < D fiir I~1 < 3, xeU

iii) L(cp, x) hat in jedem x ~ U mindestens n - q + 1 Eigenwerte, die > A sind,

iv) ffir jedes x e U sind alle Eigenwerte yon L(cp, x) dem Betrage nach < B.

Dann gibt es eine nur yon A ,B , C, D abhdngige positive Zahl R o, so daft fiir jedes R mit 0 < R ~ R o und alle x o ~ U gilt:

Setzt man H[ := Ba(xo)C~ {cp(x) < 0}, H2~:= B2R(Xo)n {¢p(x) < 0}, und ist r > q, so gibt es zu jeder (0, r)-Form ~ auf H f mit ~ = 0 eine (0, r - 1)- Form c¢ auf H[ mit "~ = ~ auf H~ und

= T~ hiingt linear yon ~ ab. K hiingt nur yon A, B, C, Dab, nicht yon q~ und ~.

§ 4. Globale Konstmktion bescbr~nkter L6sungen

1. Die folgende Konstruktion geht im wesentlichen auf [5] zurfick und findet sich im 1-konvexen Fall bereits in [8]. Es sei X eine komplexe Mannigfaltigkeit und (V~)i, I eine l~berdeckung von X, derart, dab jedes Vi durch lokale Koordinaten z ") = (z~ ° . . . . . z~,°), deren Gfiltigkeitsbereich

Lokale Kerne und beschr~inkte L6sungen ffir den ~-Operator 263

eine Umgebung yon V~ ist, auf eine Kugel im {U" abgebildet wird. Ist fl eine auf einem offenen Teil H yon V i definierte (p, r)-Form, so definieren wir ]fll~ ) wie tiblich mittels der lokalen Koordinaten z C~). Ist nun G ein oftener Teil yon X, der nut endtich viete V i schneidet, so definieren wir

I/~IG = sup I/~l~nv, •

Die Aussage I/~IG <oo h~ingt nicht yon der speziellen Wahl der Uber- deckung und der lokalen Koordinaten ab; auf dem Vektorraum der auf G beschr~inkten Formen wird durch eine andere I3berdeckung mit anderen Koordinaten eine ~iquivalente Norm induziert.

2. Wir betrachten nun ein offenes Gebiet G CC X mit glattem streng q-konvexen Rand. Das bedeutet: Es gibt eine in X relativ kompakte Umgebung U von 0G und eine c~°°-Funktion ¢o:U~IR, so dal3 gilt:

G n U = {x ~ U:cp(x) <0} ; ~0 ist streng q-konvex in U.

G ist dann eine streng q-konvexe Mannigfaltigkeit im Sinne von I l l . Genau wie in [5], p. 317, beweist man

Satz 5. Zu G 9ibt es ein Gebiet G und eine Konstante K mit i) GCC (~CC X,

ii) Zu jeder (0, r)-Form fl auf G mit r ~ q und "{fl = 0 9ibt es eine (0, r - l)-Form t 1 auf G und eine (0, r)-Form fl auf G mit

/~[G= fl+ ~., 0~=0 und

I/~1~ ~ KI/~I~, trtlG ~K@G. 3. Die geometrische Seite der Kerzmanschen Konstruktion ist die-

selbe wie in [1], wie dort gilt also, dab der Einschr~inkungshomo- morphismus

H'(G, (.9) ~ Hr(G, (9)

ftir r > q bijektiv ist. Da der Dolbeault-Isomorphismus H'(G, 6) ~Z°, ' (G)/~A°, '-~(G) funktoriell ist, ist auch die Restriktion fiir die Dolbeault-Cohomologie

Z o,,(d)/'~Ao, , - , (~) ~ zo,'(G)/'OA °," - X(G )

ffir r>=q bijektiv. Ist ~6Z°'r(G) eine O-exakte Form, so ist das soeben konstruierte fi ~ Z~' r(G) also auch ~-exakt,/~ = ~/. Dann gilt fl = ~(t~ t G - t/).

Um die L6sung (t~lG)-r/ yon ~a= fl abzusch~itzen, geniigt es,

t~J I GIo < K lfllG zu beweisen. 4. Wir leiten nun unser Hauptergebnis mittels innerer elliptischer

Absch~itzungen her. Es sei (~ CC X ein relativ kompaktes Teilgebiet

264 w. Fischer und I. Lieb

einer komplexen Mannigfaltigkeit X und 9 sei der zu ~ beziJglich irgend- einer fest gew~ihlten hermitischen Metrik formal adjungierte Operator aufdem Raum L2((~) der quadratintegrablen cg~-Formen. II • II bezeichne die L2-Norm und I. [ wie bisher die sup-Norm. Es gilt die

,,EUiptische Absch~itzung": Zu jedem relativ kompakten Teil G CC (~ existiert eine Konstante K, so daft fiir jede (0, r)-Form c¢ • L2or(G) gilt:

Zum Beweis konstruiert man eine Parametrix ftir den komptexen Laplace-Beltrami-Operator und argumentiert dann wie in [ 5 ] . - Jetzt folgt

Satz 6. Es sei G ein streng q-konvexes relativ kompaktes Teilgebiet einer komplexen Mannigfaltigkeit X, G habe einen glatten cg3-Rand. Dann existiert eine Konstante K mit folgender Eigenschaft : Zu jeder "~-exakten (0, r)-Form /3 auf G mit r > q gibt es eine (0, r - 1)-Form ot auf G mit ~o~ =/3 und 1~1 _-< KI/31. K ist invariant unter c63-kleinen Stiirungen yon OG.

Beweis. Das Gebiet G 3 3 G sei wie in Satz 5 konstruiert. Wir w~ihlen zu/3 eine (0, r)-Form/~ auf G und eine (0, r - l)-Form q auf G mit

und I/~1~_-_ KI/31G, I~/1~ <KI/31G,

wobei K die in Satz 5 angegebene Konstante ist. Mit/3 ist auch/~ 0-exakt; auBerdem gilt

mit einer neuen Konstanten, die vom Volumen von d abh~ingt. Es sei nun & • L 2 o,,-I(G) die L~Ssung yon ~-~ =j~ mit ga = 0;dann ist

I]&ll~ < g ll/~ll~, wobei K vom Durchmesser von G abhiingt (vgl. [2, 3]). Auf Grund der obigen elliptischen Abschatzung wird

~_g31/~l~

<gl /31~.

Setzt man aufG e = a - t / , so ist also ~'e=/3 und

I~IG-< K 1/31~, q.e.d.

5. Bemerkung. Im llY kann man auf die innere elliptische Ab- schgtzung verzichten, indem man zeigt:

Lokale Kerne und beschr~inkte L6sungen ftir den ~Operator 265

Zu U CC V CC ~" existiert eine Konstante K, jfir die gilt: Zu jeder (0, r)-Form cte L2,(V) gibt es ein ~o e L~,(U) mit -~o = ~ct

auf U und l~olv =< K(II~II v + l~~'iv).

Dieser Satz geniigt natiirlich zum Beweis yon Satz 6 im ~2". Beweis: Wir w~ihlen eine cg°%Funktion X mit 0 < X N 1, X---1 in

einer e-Umgebung von U, ~ - 0 auBerhalb einer 2s-Umgebung yon U, deren Tr~iger in V enthalten ist. Fiir y e U ist dann nach der Bochner- Martinelli-Formel

~(y) = (z~) (y)

= c.r { k (Xe)A B.r(x, y)A /k~ dx~

- .[ Jx(z~) ^ B.,(x, y) ^ A dx~ + J~} . V v

Das Fl~ichenintegral ist O; man setze nun

~o = - c, , ~ J~(zo~) ̂ B,,(x, y) ^ A ,Ix,, ; V v

die Behauptung folgt durch triviale Absch~itzung des Integranden.

Literatur

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5. Kerzman,N. : H61der and LP-estimates for solutions of 0u = f i n strongly pseudoconvex domains. Comm. Pure Appl. Math. 24, 301--379 (1971)

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8. Range, R.M., Siu, Y.T.: Uniform Estimates for the q-Equation on Domains with Piecewise Smooth Strictly Pseudoconvex Boundaries. Math. Ann. 206, 325--354 (1973)

W. Fischer I. Lieb Fachsektion Mathematik der Universit~t Mathematisches Institut der Universit~it D-2800 Bremen 33 D-4400 Mtinster AchterstraBe Roxeler Str. 64 Bundesrepublik Deutschland Bundesrepublik Deutschland

(Eingegangen am 18. Oktober 1973)