Loop-Quanten-Kosmologie

Max Camenzind – Würzburg SS2018

Planck-Epoche

Vorgänger Universum

Inhalt

• Quantisierung der Geometrie – Spin-Netzwerke

• LQC: Die Effektiven Friedmann-Gleichungen.

• Die Inflaton-Dynamik.

• Was ist die Slow-Roll-Bedingung?

• Warum überhaupt Inflation?

• Inflation in der Loop Quanten-Kosmologie:

• Quadratische Inflation.

• Starobinsky-Inflation.

• Fluktuationen aus der Inflationsepoche.

Der Raum ist auch gequantelt

Loop-Quanten-Gravitation Rovelli: https://www.youtube.com/watch?v=Mp4fpwl9loQ

Loop-Quanten-Gravitation LQG • In der Einstein-Theorie ist die Metrik g der Raum-

Zeit die Grundvariable, von der alle geometrischen Eigenschaften (wie Krümmung) abgeleitet werden.

• Diese eignet sich nicht zur Quantisierung!

• In der kanonischen Quantisierung von Ashtekar (1986) treten 3 „elektrische Felder“ Ea an die Stelle der Metrik von Hyperflächen t = const und ein su(2)-wertiges Vektorpotenzial A = Ai dxi, in Analogie zu einer SU(2) Yang-Mills Theorie. Dieses Potenzial beschreibt den Transport von Spin-1/2 Teilchen, so wie Gluonen den Transport von Quarks in der QCD beschreiben.

LQG Hilbert-Raum der Zustände

• Quantenmechanische Zustände der Loop-Quanten-Gravitationen sind jetzt Funktionen Y(A) vom Potenzial A.

• Da die Lie-Algebra su(2) kein kompakter Raum ist (Integration unendlich), geht man zu Holonomien (Parallel-Transport) über, die jetzt Elemente der Gruppe SU(2) sind. Damit werden die Zustände von LQG zu Wellenfunktionen auf der Gruppe SU(2) ~ S³.

• Die möglichen Zustände sind vollständig durch die Spins j charakterisiert Spin-Netzwerke.

QCD-Eichtheorie auf dem Gitter Gluonen vermitteln den Transport Holonomie

Gluonen in

Lie Algebra

der SU(3)

Transport

Linkvariable

= Holonomie

a

Wilson-Loop

Der Hilbertraum

der Geometrie-Zustände Die Lie-Algebra su(2) ist kein kompakter Raum.

Übergang zu Gruppenraum SU(2) via Holonomien.

SU(2) ~ S³ topologisch, d.h. g durch 3 Winkel gegeben.

L = # Links pro Knoten Produktgruppenraum

Die Zustände der Gravitation sind Wellenfunktionen Y(Ul)

von L (4) Gruppenelementen in SU(2) mit Skalarprodukt

Holonomien - Spin-Netzwerke

Zustände der Quanten-Geometrie sind durch beliebige

Graphen G (Knoten + Links) gegeben, deren Links

Gruppenelemente g der Holonomien SU(2) repräsentieren.

Nach dem Peter-Weyl Theorem werden diese Zustände

durch ihren Spin j gekennzeichnet (Drehimpuls).

Peter-Weyl Theorem

Peter-Weyl Theorem 1:

Die irreduziblen Darstellungsmatrizen Dj(g) für die

Gruppe SU(2) erfüllen die Orthogonalitätsrelation

Peter-Weyl Theorem 2:

Die Darstellungsmatrizen Dj(g)mn bilden eine vollständige

Basis der quadrat-integrablen Funktionen auf SU(2)

Harmonische Analyse auf SU(2)

LQG SU(2)-YM

Gauss

Impuls

Hamilton

Aia, Ea

i Operatoren auf Spin-Netzwerken

Operatoren & Zwangsbedingungen

p df/dt

Quanten-Geometrie Gravitation = Geometrie – Geometrie= Gravitation

Der Raum ist ein Netzwerk von Polyedern

als duales Netzwerk des Spin-Netzwerkes

Triangulation einer Fläche mit

Graph des dualen Spin-Netzwerks

Parkettierung eines Würfels mit

Graph des dualen Spin-Netzwerks

Parkettierung eines Würfels Volumen 0 ist unphysikalisch

a ~ Planck-Länge

Observablen eines Tetraeders

Wähle die 4 Vektoren

La (a=1,…,4): L3 = ½ e1 x e2

4 Normale mit Norm

= Fläche.

Closure Bedingung

C = L1 + L2 + L3 + L4 = 0

Diese La`s bestimmen

alle weiteren Eigen-

schaften des Tetraeders

Flächen: Aa = |La|

Volumen:

L1

L2

L3

L4

A1

e1

e2

e3

Polyeder-Theorem von Minkowski

„Ein Polyeder ist eindeutig bestimmt

durch seine Flächen und Normalen.“

Theorem von Minkowski (1897):

Wenn n1,…,nF nicht-koplanare Einheits-

vektoren sind und A1,…,AF positive Zahlen, so

dass die Closure Bedingung C=Sumi Aini = 0

gilt, dann gibt es ein konvexes

Polygon mit Normalen ni und

Flächen Ai.

Quantisierung der Geometrie

Gravitation ist Geometrie – Geometrie ist

Gravitation.

Ein Polyeder (Tetraeder) repräsentiert ein

bestimmtes Gravitationsfeld, das nun

quantisiert werden muss:

Die Normalen La werden zu Operatoren:

La = Aana Ea = 8pg LP² La .

mit E1 + E2 + E3 + E4 = 0 .

Diese 4 Vektoren La erfüllen die Drehimpuls-

Algebra, die aus der Hamilton-Dynamik des

Gravitationsfeldes hergeleitet wird.

Quantisierungs-Postulat LQG

Dies ist benfalls eine Realisierung der

Drehimpulsalgebra SU(2) für jeden La, als

Ausdruck der Symmetrie des Tetraeders.

Die Geometrie wird durch La bestimmt

bis auf Rotationen (= Eichtransformationen).

Körnigkeit der Quanten-Geometrie

Eigenwerte des Flächenoperators

Ein neuer Parameter

2ˆ( ) , 8 ( 1) ,pA j l j j jpgG GS

( ) 2 1Dim j j

j

2 2

2

( ) det( )

ˆ ˆ ( ) ( )i aj

a i j

A d h

d E E n n

S

S

S

S

, jG

:g Immirzi Parameter

Rovelli & Smolin 1995

Volumen-Spektrum Tetraeders

Zustände des

Tetraeders

mit gleichem

Spin j

j x j x j x j

Einheit Vol in

Planck-

Einheiten

8pL³Pg ~ 10-106

Kreise:

Numerik

Punkte: WKB-

Näherung Grafik: Eugenio Bianchi 2013

m

Spin-Netzwerk – Knoten, Links & j

Die einzelnen Knoten und Linien repräsentieren denkbar winzige Raumgebiete: Ein

Knoten entspricht einem Planck-Volumen (Kubik-Planck-Länge) und eine Linie einer

Planck-Fläche (Planck-Länge zum Quadrat). Doch mit Vielfachen dieser Einheiten lässt

sich jede Hülle 'ausmessen' - der Größe und Komplexität solcher Spin-Netzwerke sind

nach oben keine Grenzen gesetzt - um den Quantenzustand des gesamten Universums

abzubilden, würde man ein gigantisches Spin-Netz mit etwa 10184 Knoten benötigen.

Relationale Quantenmechanik

Verhalten müssen sich die Raumquanten nur relativ zu

ihren Artgenossen. Ein jedes hat eine endliche Zahl von

Verbindungen zu den anderen (sog. „Links“) - so, wie

ein Polyeder eine definierte Anzahl Grenzflächen hat.

Sofern man nicht vergisst, dass diese Quanten nicht im

Raum existieren (sondern ihn erst aufbauen), kann

man sie sich auch als Polyeder vorstellen. Die

Verbindungen können nun verschiedene diskrete

Stärkewerte annehmen, welche die lokale Krümmung

des Raumes auf Quantenebene angeben. Man kann sie

sich als verschiedene Größen der Polyederflächen

vorstellen.

Wo ist die Zeit geblieben?

Durch die Quantisierung auf Hyperflächen

t = const ist die Zeit entfallen. Damit wird

die von Einstein geforderte Einheit von

Raum und Zeit wieder zerstört!

Normalerweise beschreibt der Hamilton-

Operator H die Zeitentwicklung in der

Quantentheorie. Da H = 0 in LQG

(Hamilton-Constraint), haben wir ein

Problem, das bis heute nicht gelöst ist!

Zeit entsteht durch Übergänge zwischen Quantenzuständen

Auch die heutige Zeit ist physikalisch durch einen Quantenübergang im Caesium-133-Atom definiert!

E

ine

Se

kun

de

ist

das

9.1

92

.63

1.7

70

-fac

he

de

r P

eri

od

end

auer

(S

chw

ingu

ngs

dau

er)

de

r St

rah

lun

g, d

ie d

em

Üb

erg

ang

zwis

chen

de

n

be

iden

Hyp

erf

ein

stru

ktu

rniv

eau

s d

es

Gru

nd

zust

and

es d

es

Ato

ms

Cae

siu

m-1

33

en

tsp

rich

t.

Spin-Schäume Zeitentwicklung

Das Universum wächst wie ein

Seifenschaum

Auch die Zeit nimmt in der LQG einen diskreten Charakter

an; sie wird hier definiert durch die Abfolge diskreter Züge,

die das Netzwerk (den Raum) umordnen. Zeit fließt nicht

kontinuierlich, sondern ist nun diskret und 'hüpft' in kleinen

Intervallen - vergleichbar den in Zeitlupe sichtbaren

Einzelbildern eines (Zelluloid-)Films. Sie tickt gewissermaßen

wie eine Uhr, wobei jedes Ticken ungefähr einer Planck-Zeit

(10–43 Sekunden) entspricht.

Schwarz-Loch Entropie & LQG

• Bekenstein-Entropie eines Schwarzen Lochs

• SBH(A) = kB (A/4LP²) - A: Horizontfläche

Bekenstein- Entropie S

Spin-Netzwerk Schwarzes Loch

Das Wesen der LQG

Der Raum ist ein Spin-Netzwerk, in dem die

Knoten die elementaren Körnchen und die

Links ihre Beziehung zur Umgebung

darstellen, durch Spin j gegeben.

Der physikalische Raum setzt sich aus

Quanten zusammen, wie Teilchen Quanten

von Feldern (Photonen, Gluonen, …) sind.

Die Quanten des Gravitationsfeldes sind

Raumquanten, die körnigen Bestandteile des

Raumes – im Unterschied zu Stringtheorien.

Kritik an der LQG

LQG ist nicht exakt die Umsetzung der

Yang-Mills Quantisierung auf die

Gravitation nicht die Triaden, sondern

Krümmung wäre kanonischer Impuls!

LQG verletzt die lokale Lorentz-Invarianz.

LQG enthält keine fermionischen und

bosonischen Anregungen, die den Teilchen

im Standardmodell entsprechen. Flächen-

und Volumen-Operatoren können nicht die

einzigen Observablen einer Quantentheorie

der Gravitation sein.

Semiklassische Näherung

• Eine semiklassische Näherung in der Quanten-physik steht für eine Näherung an ein System, in der die niedrigste quantenmechanische Korrektur zur klassischen Behandlung des Systems betrachtet wird.

• Ashtekar und Bojowald haben 2001 die semiklassische Näherung der Loop-Quanten-Kosmologie berechnet (d.h. führende Korrekturen zur klassischen Theorie).

Effektive Friedmann-Gleichung:

Effektive Friedmann-Gleichung

Bounce: r(tB) = rcrit

H(tB) = 0 a(tB) = aB

rcrit = 0,41 MP/LP³

l² = 5,2 LP² b = g H

Was ist Inflation ?

• Die wesentliche Annahme der Inflations-modelle ist eine Zeitspanne im frühen Universum, in der sich der Kosmos im wesentlichen exponentiell ausdehnt.

• Mathematisch: Inflation ist beschleunigte Expansion:

Planck-Temperatur & Planck-Dichte

Die Planck-Temperatur wird erreicht, wie das Universum 32 Größenordnungen kleiner war, zur Zeit von etwa 10 Millionen Planck-Zeiten! Da erreichte die Dichte ebenfalls Planck-Dichte. Quanten-Gravitation spielt bereits in jener Zeit eine entscheidende Rolle.

Die Pioniere der Inflation

* 1947 * 1948 * 1948

Warum Inflation ?

• Das wichtigste Problem ist der Urknall selbst. Wie kann alles aus dem Nichts entstehen? Gab es doch etwas davor? Jede Singularität in einer physikalischen Theorie markiert die Grenze dieser Theorie!

• Das Horizont-Problem: Man beobachtet eine hochgradige Isotropie in der Materieverteilung und in der kosmischen Hintergrundstrahlung.

Das Horizont-Problem

Das Horizont-Problem CMB

Das Flachheits-Problem

• Der Bereich des heute sichtbaren Universums weist praktisch keine Krümmung auf, Wk ~ 0.

• Im Rahmen einer Standardexpansion ohne Inflation würde dies unmittelbar nach dem Urknall eine unglaublich genaue Abstimmung der Parameter verlangen, für die es im Rahmen der Standard-Kosmologie keine Erklärung gibt.

• Für den Fall einer inflationären Epoche wäre dies nur eine Konsequenz der ungeheuren Ausdehnung: aEnde/aBegin > 1030.

Das Eindeutigkeits-Problem

• Warum gibt es überhaupt ein Universum?

• Warum ist das Universum so, wie es ist? Wären die Wechselwirkungskonstanten wie Feinstrukturkonstante a und starke WW gs nur gering anders, hätte sich das Universum in eine völlig andere Richtung entwickelt!

• Dies ist eines der schwierigsten Probleme der Metaphysik, mit dem sich Physiker im Ruhestand gerne beschäftigen.

Postulat: Existenz des Inflatonfeldes

(µ, n = 0,1,2,3)

XXX

XXX

Das Feld ist homogen

Was ist die „Slow-Roll“ Bedingung ?

• Wird ein homogenes skalares Feld angenommen, so folgt aus dem Dichte-ausdruck

XXX

Slow-Roll und Quark-Gluon Plasma

1. Slow-Roll im flachen Potenzial

V

F Grafik: A. Linde

Umsetzung Feldenergie in Quark-Suppe

2. Expansion bremst ab Slow-Roll

V

F Grafik: A. Linde

Umsetzung Feldenergie in Quark-Suppe

Chaotic Inflation

Eternal Inflation

Linde 1983

Grafik: A. Linde

Friedmann-Gleichung:

Klein-Gordon-Gleichung:

Chaotische Inflation

Wie ein Oszillator mit Reibung:

Für große f ist der Hubble-Parameter groß, Reibung ist stark, f bleibt

nahezu konstant. die Friedmann-Gleichung hat eine einfache Lösung

Dynamik des Inflatonfeldes

Die Flächen mit konstanter Dichte sind Ellipsoide.

Slow-Roll ist ein Attraktor

Dissipation der Feldenergie

Phasenplot limitiert durch krit. Dichte Inflation ist ein Attraktor

Parameter der Inflation

Zustandsgleichung:

Slow-Roll-Parameter:

Dauer der Inflation:

Chaotische Inflation Loop-Kosmologie tB: Bounce Zeit; fB: Anfangswert des Inflatonfeldes

Grafik: Tao Zhu et al. 2017

Planck-Epoche universell

Übergang zu Slow-Roll

Chaotische Inflation Zustandsglg.

Bounce Planck-Epoche

Übergangs- phase

Slow-Roll

Grafik: Tao Zhu et al. 2017

Chaotische Inflation Slow-Roll

Grafik: Tao Zhu et al. 2017

Übergangs- phase

Slow-Roll

R²-Inflation in Loop-Kosmologie Starobinsky-Inflation

R²-Inflation Loop-Kosmologie

Grafik: Tao Zhu et al. 2017

Planck-Epoche universell

Übergang zu Slow-Roll

R²-Inflation Zustandsgleichung

Grafik: Tao Zhu et al. 2017

Übergang zu Slow-Roll

Planck-Epoche

R²-Inflation Slow-Roll

Grafik: Tao Zhu et al. 2017

Slow-Roll

Dauer der Inflation: Ninf = ln(aEnde/aT)

Sollwert = 60 - 70

Grafik: Tao Zhu et al. 2017

Was legt den Anfangswert des Feldes fest?

Inflation in Quanten-Kosmologie

Hubble-Radius - Fluktuationen entstehen innerhalb Horizont c/H

Fluktuationen entstehen in der Singularität

Fluktuationen entstehen im Vorgänger-Universum

Constraints an GWellen Planck Potenz-Inflation ausgeschlossen, R² möglich

Martin Rees zur Inflation • „Die Inflation sollte man möglicherweise gar nicht als

spezifische Theorie, sondern lieber als »Szenario« ansehen. Und in diesem allgemeineren Sinne ist die Inflation noch höchst lebendig: Es ist immer noch die beste Idee, die wir haben, um die Größe des Kosmos und die Eigenschaften der Fluktuationen der Hintergrundstrahlung zu erklären. Das Problem ist allerdings, dass wir keine solide Vorstellung der Physik bei den immensen Energien haben, bei denen die Inflation auftritt (sie ist eine Billion Mal höher als das, was wir mit Teilchenbeschleunigern erreichen können). Messungen der Eigenschaften der Fluktuationen liefern uns zwar Einschränkungen für diese Physik und könnten zu neuen Tests führen oder gar Indizien gegen die Inflation liefern. Aber noch ist die Inflation ein gutes Konzept und es lohnt sich, darauf zu setzen.“

Martin Rees zu Lage der Physik

• „Jede Vereinigung von Gravitation und Quantentheorie muss beispielsweise mit großer Wahrscheinlichkeit die Planck-Länge beinhalten – und diese ist zwanzig Größenordnungen kleiner als ein Atomkern. Auf dieser Längenskala könnte der leere Raum eine komplexe Struktur zeigen. Es könnte sich dabei um die Struktur handeln, die sich aus der String-Theorie ergibt. Oder aus der Quantenschleifengravitation. Oder aus etwas völlig anderem. Die Optimisten hoffen, dass irgendeine derartige Theorie eines Tages zu Glaubwürdigkeit gelangt, weil sie die bislang unerklärlichen Parameter des Standardmodells erklärt, oder weil neue kosmologische Beobachtungen das Vakuum nahe der Planck-Skala überprüfen können. Wir wissen aber weder welche, noch ob überhaupt eine der gegenwärtigen Ideen auf der richtigen Spur ist.“

Nächstes Semester 22.10.2018 300 Milliarden Sterne & Planeten