Losungen ausgewahlter Aufgaben978-3-322-94097... · 2017. 8. 29. · 704 Losungen ausgewahlter Aufgaben der Norm von B(X, F), also beziiglich der Supremumsnorm, gegen AEB(X, F). Das

Losungen ausgewahlter Aufgaben

Aufgaben zu Nr. 109

4. Sei a=b:=1, n>2 und fn(x):=O fUr XE [0, ~ - ~J, :=nx+ 1 - ~ fUr XE (~-~, ~J, := 1 2 n 2 2 n 2

flir XE (~, 1] (Zeichnung!). (fn) ist eine Cauchyfolge, besitzt aber keinen Grenzwert (alles bezug-lich der angegebenen Norm). Mit A 81.1 sieht man namlich, daB eine Grenzfunktion f auf

[0, ~ - 0] verschwinden und auf [~, 1] gleich 1 sein muBte, und dies fUr jedes hinreichend kleine 0>0. Das ist aber ein Widerspruch zur Stetigkeit von f

5. Sei gnE Up [f], gn-+g. Dann ist IIgn -flloSp fUr alle n. Wegen Satz 109.4 strebt IIgn - fll-> Ilg - fll, also ist auch IIg - flloS p, d. h. gE Up [fl·

7. Sei UF:={xERP:llx-xolI

Losungen ausgewahlter Aufgaben 703

ist. Daraus ergibt sich

IIr'-/o'li ~ L (1110'1111/0-/11)"11/0'11=11/0'1111/0'1111/0-/11 L (1110'1111/0-/11)" n=t n=O

11/0-/11 11/-'12 1 -11/0 '1111/0 -III 0 I·

Aufgaben zu Nr. 111

4. Da M gleichstetig und I/(a) I ~ p., ist, muB M nach A 106.5 normbeschrankt und wegen Satz 111.7 somit eine kompakte Teilmenge von C[a, b] sein. Da die Abbildung 1>-> S :/dx von M nach R stetig ist, ergibt sich die Behauptung nun aus Satz 111.9.

6. I(s):=g(s) + -s g(t)dt. 8 ~ '/2 7 0

8. 1m FaIle, daB die Voraussetzungen (I) oder (II) erfUIlt sind, ist in dem Hinweis das Notige bereits gesagt. Sei (III) erfUIlt und x v E K fUr 1 ~ 1J ~ n - 1. Fur 1J ~ n - 1 ist dann

IIx,.+,·- xvII = IIA xv- A Xv_ ,II ~qllxv -Xv- ,II

=qIIAxv_' -Axv_211~q21Ixv_' -xv-211~'" ~qVllx, -xoll.

Daraus folgt

IIxn-x, II ~ Ilxn -Xn- til + Ilxn -, -xn-211 + ... + IIx2 -xtll ~(qn-' + qn-2 + ... + q) Ilx, -xoll

1_ qn-' q =q Ilx, -xoll ~ --llx, -xOIl=r3,

1-q 1-q

also Xn E K. Da nun der Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes in Wirklichkeit nur erfordert, daB die Iterationsfolge uberhaupt existiert, ist die Fixpunktbehauptung bewiesen. - Die Feh-lerabschatzung erfordert keinen neuen Beweis.

9. a) ist trivial. - b) wird wie im reellen FaIle (F = R) bewiesen (s. A 14.11); dasselbe gilt fUr c) (s. Beweis des Satzes 103.1). - d) (An) sei eine Cauchyfolge in R(X, F), zu beliebig gewahltem E>O gebe es also ein no, so daB fUr m, n>no stets IIAm-AnllocA x (XEX) wird eine Abbildung A von X nach F definiert. LaBt man in der obigen Abschatzung IIAmx-Anxll < E den Index n gegen CfJ gehen, so erhalt man IIAmx-A xII ~ E fUr aIle m>no und aIle x E X, also ist auch

IIAm-Alln = supIIAmx-Axll~E fUr m>no. XEX

Daraus folgt erstens, daB A - Am, also auch A = (A - Am) + Am ZU R (X, F) gehort, und zweitens, daB (An) bezuglich der Supremumsnorm gegen A konvergiert. - e) Mit Satz 111.2 ergibt sich so fort, daB Cb(X, F) ein linearer Raum ist. Die Folge der AnECh(X, F) strebe nun bezuglich

704 Losungen ausgewahlter Aufgaben

der Norm von B(X, F), also beziiglich der Supremumsnorm, gegen AEB(X, F). Das bedeutet nach c), daB (An) gleichmaBig auf X gegen A konvergiert. Genau wie im Beweis des Satzes 111.12 sieht man nun, daB A auf X stetig sein muB. Also liegt A in Ch(X, F), und somit ist Cb(X, F) ein abgeschlossener Unterraum von B(X, F). 1st Fein Banachraum, so ist B(X, F) nach d) ebenfalls ein Banachraum; dann muB aber Cb(X, F) als abgeschlossener Unterraum von B(X, F) auch ein Banachraum sein.

10. Die Existenz von II A 1100 fo!gt aus Satz 111.9, aUes andere aus Aufgabe ge, wei! im vorliegenden FaUe C(X,F) = Cb(X,F) ist.

Aufgaben zu Nr.112

7. b) Sei en:=(O, ... ,0,1,0, ... ), wobei 1 an der n-ten Stelle steht. Dann ist A (nen)=en, also IIA -'enll = IInenll =n lIenll =n.

11. Ware A unbeschrankt, so gabe es eine Folge (xn) mit IIxnll = 1 und IIA xnll ..... ex). Sie miiBte eine Teilfolge (xnJ enthalten, so daB (A xnJ konvergiert, also beschrankt ist - in Widerspruch zu IIA xnJ ..... ex).

12. I: (E, II·II,) ..... (E, 1I·lb) ist stetig, da aus IIxn-xlI, ..... O stets IIIxn-Ixlb= IIxn-xlb ..... O folgt. Also ist I beschrankt: III x1l2';; 'Y2l1xll" d.h. IIxlb.;; 'Y2I1xll,. Ebenso beweist man die Ungleichung 1', IIxll, .;; IIx1l2' - Die Umkehrung ist trivial.

Aufgaben zu Nr.113

1. a) Sei (g, .,,)E R2 beliebig, xn ..... g, Yn ..... .". Dann strebt

f(xm Yn) = (x~ + y~)eXnYn ..... (g2 + .,,2)e~" = f(g, .,,).

Ganz entsprechend werden b) und c) behandelt.

2. Man braucht nur nach dem Vorbild der Aufgabe 1 zu zeigen, daB jede Komponentenfunk-tion in den Punkten des Definitionsbereichs stetig ist. Beispiel a): Sei (g, .,,)E R2 beliebig, xn ..... g, Yn ..... .". Dann strebt

also strebt f(xm Yn) ..... f(g, .,,).

4. b) Sei xn:= lin, Yn:= 11 VII (man rUcke also auf der Parabel Y= VX gegen den Nullpunkt). Dann strebt f(xm Yn) ..... 1/2 =J. f(O, 0).

Aufgaben zu Nr. 114

(~ 2 2) (' 0 ') 1. a) o 1 ; (3,2). b) 3 1 0 ; (4,4,3). 111

c) G _~); (6,4). d) (-1 2) o 0 ; (4,0).

Losungen ausgewiihlter Aufgaben 705

b) G 1 ~ ~).


Aufgabe zu Nr. 118

1

x 8 -+-3 9 20 50 -x+-27 81

1

x 15 -+-4 16

1 1 flir -""'X""'-, 4 2

1 3 17 51 32 x + 64 flir -""'X""'-, 2 4 3·153 7·153 --x+---4·128 16·128

3 flir "4""'X"'" 1.

Aufgabe zu Nr. 119

Flir n=21 bzw. n=21-1 (/= 1,2, ... ) ist

also

nl2 (X2)2k - 1

"" ( 1)k-I-,:--:-,-_ /::1 (2 k - 1 )! nl2 (X2)2k-2

"" ( 1)k-1 -'---''--_ /::1 (2 k - 2)! 2x

bzw.

(n - 1 )/2 (x2)2k - 1

"" ( 1)k-1 L -'-(2--,.k'--_-1-c"")!

(n+ 1)/2 (X2)2k-2 I ( 1)k - 1 -C..--'---_ k~1 (2k-2)!

2x


Aufgaben zu Nr.126

1. III,,;;; I/-/d + 1/11,,;;;h+ 1/11; mit Satz 126.4 folgt/EL(1). Aus I/nl,,;;;l/n-/1 + 1/1,,;;;h+ III folgt nun mit Satz 126.1 der Rest der Behauptung.

2. Da I beschrankt ist, liegen aIle konstanten Funktionen in L (1). Die Behauptung folgt nun unmittelbar aus Aufgabe 1.

3. Fur aIle n;;;.no und aIle xEI ist I/n(x)-/(x)I,,;;;1. Die Behauptung folgt nun aus Aufgabe 2.

Aufgaben zu Nr. 129

3. Es ist IgEM(1) nach Satz 129.3 und I/gl,,;;; IIgll"" III. Nach Satz 129.2 ist also IgEL(1).

4. IEM(1)nB(1) ~ III,,;;; 11/11"" ~ IEL(1) (nach Satz 129.2; beachte, daB aufeinem beschrank-ten Intervall aIle konstanten Funktionen L-integrierbar sind).

5. Konstruiere eine Folge von Funktionen I~ mit folgenden Eigenschaften: In (x):= I(x) auf ei-nem kompakten Intervall In,fn(x):=O flir xEI\In,fn-+1 fast uberall auf I. Wende nun die Sat-ze 129.1 und 129.5 an.

Aufgaben zu Nr.130

2. Z. B. I n := [;k - 1, n; 1 - 1 J. wobei k die eindeutig bestimmte Zahl aus No mit 2k ,,;;;n 1 annehmen. Es sei 1/p + 1/ q = 1. Da I beschrankt ist, liegt die Funktion g = 1 in L q (1). N ach Satz 130.2 gehort also I = I g zu V (1).

4. Nach Satz 129.5 ist I zunachst meBbar. Aus Il/n(x)I-I/(x)ll,,;;; I/n(x)-l(x)1 folgt, daB (1/ni) gleichmaBig auf I gegen III konvergiert. Dann konvergiert aber auch (1/nIP) gleichmaBig auf I gegen I/IP (benutze, daB die Funktion tP auf I gleichmiiBig stetig ist; vgl. A 103.13). Nach A 126.3 ist also IEU(1). Da offenbar lin-liP gleichmaBig auf I gegen 0 strebt, ergibt eine nochmalige Anwendung von A 126.3, daB II/n-/llp-+O konvergiert.

Aufgaben zu Nr.131

2. Wahle in der Definition der absoluten Stetigkeit E = 1 und bestimme ein zugehOriges 13 > O. Sei Meine naturliche Zahl >(b-a)/13 und Zo eine aquidistante Zerlegung von [a, bj in M Teilintervalle (die Lange eines Teilintervalls von Zo ist dann


chen, wollen wir im folgenden auch "ausgeartete" Intervalle := te] zulassen. Es ist I ('Yk - 'Yk) < 0 und somit I IF( 'Yk) - F( 'Yk)1 < E. Da die Intervalle < F( 'Yk), F( 'Yk) > (k = 1, 2, ... ) die Bildmenge F(N) iiberdecken, folgt nun, daB F(N) eine Nullmenge ist.

6. Sei I L-integrierbar auf 1:= [a. b), F(x):= J~/(t)dt (a,;;; x,;;; b) und E>O. Nach A 129.7 gibt es Funktionen g. hEL(l) mit

I=g+h. Ig(t)I,;;;M ftir alle tEl und J: Ih(t)ldt

Uisungen ausgewlihlter Aufgaben 709

6. 1st f monoton und n ~ 1, so gibt es ein gE [ - 'IT, 'IT], so daB gilt:

J" J~ J" sinng 'IT an = f(x)cosnxdx=f(-'lT) cosnxdx+f('IT) cosnxdx=(f(-'lT)-f('IT)]--· -'11' -1T e n

Daraus folgt sofort die Behauptung tiber (an), und die tiber (bn) beweist man entsprechend.

7. 'lTan=J" f(x)cOSnxdx=.!(f(X)SinnX]~,,-.!J" f'(x)sinnxdx -'1t' n n -'11'

= -.! J" f'(x)sinnxdx; n _"

wegen Satz 134.2d strebt also nan->O. Istp>1, so hat man

1J" 1 1J" 'lTan= -- f'(x)sinnxdx=2"[f'(x)cosnx]~"-2" f"(x)cosnxdx n -'11' n n -'1T

1J"f" dx = - 2" (x)cosnx = .... n _"

Die Behauptung tiber (nP an) folgt dann wieder aus Satz 134.2d. Die Aussage tiber (nP bn) sieht man ganz entsprechend ein.

Aufgaben zu Nr. 135

1 h 1-2sin(I/2) . 1· d did 1 . 1 d • (I) = . -> 0 fUr 1->0 (zwelma 1ge Anwen ung er Rege von e 'Hosplta 0 er 2/sm(t/2)

Potenzreihenentwicklung).

2. Sei g(/):=f(x+I) +f(x-t)-2s(x), h die Funktion aus Aufgabe 1. Dann ist

g(t) Dn(t) dt = g(t)Dn(t)dt + g(t)h(t)sin(2n+ 1) - dt. J" J" J" t o 0 0 2 Da h nach Aufgabe 1 auf [0, 'IT] stetig ist, folgt aus dem Satz von Riemann-Lebesgue, daB

J" t g(t)h(t)sin(2n+ 1) - dt->O o 2

strebt fUr n-> ex). Daraus ergibt sich die erste, auf Satz 135.1 beztigliche Behauptung. Die zweite folgt entsprechend.

Aufgaben zu Nr. 136

1. Eine Lipschitz-stetige Funktion ist nach Satz 91.4 von beschrlinkter Variation.

2. Verfahre wie beim Beweis der Aussage von Satz 136.3 tiber sttickweise beschrlinkt differen-zierbare Funktionen.


Aufgaben zu Nr. 138

1. cos a x ist gerade, also sind aIle bn = 0, und es ist

2 J~ (-1Y 2asina'IT an = - cosaxcosnxdx = -- 2 2'

'IT 0 'IT a -n

7. Entwickle die 2'IT-periodische ungerade Funktion

1 cosx fUr XE(O, 'IT),

j(x):= -cosx fUr XE( -'IT, 0), j(x + 2 'IT) =j(x), o fUr x=o, ±'IT,

"h "h j) 8 ~ n . 2 In 1 re Founerrel e: (x = - L..., --2 -SIn nx. 'lTn~14n-1

'IT CD (-1Y -1 (-1y+1 ) 8. j(x) = - + L 2 cosnx + sinnx . 4 n~1 'lTn n

Aufgaben zu Nr. 141

1. Satz 141.1 => Satz 141.3: 1st UEU orthogonal zu (uo, Uh U2, ... ), so ist U = I (ul Uk) Uk = IO·Uk=O. Die Umkehrung wurde schon in Nr. 141 bewiesen. k~O

2. Es gelte Satz 141.3. Dann gilt, wie in Nr. 141 bewiesen wurde, auch Satz 141.1. Also gibt es

zu-jedem jEL2 undjedem E>O ein n mit Ik - ktO (II Uk) Uk II


Sei g das eindeutig bestimmte Element aus L 2 mit

0':= (ao, a" a2, ... ) =A g und

Dann ist

Die zweite Aussage wird am einfachsten wie die zweite Aussage in Aufgabe 2 bewiesen.

Aufgaben zu Nr. 143

1. Benutze Satz 143.4.

2. Benutze Satz 143.4.

4. Nach Satz 142.4 gibt es eine 271"-periodische U-Funktion f mit

f(t) - I (-ansinnt+bncosnt). n=t

Mit Satz 143.4 folgt

r x 00 ( cos n x - 1 sin n x) Fo(x):= J 0 f(t)dt = n~' an n + bn -n- .

Wegen der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ist L an (1/n) konvergent, und somit ist auch

~ (an bn .) F(x):= L -cosnx+-smnx n=1 n n

auf R vorhanden. Die restlichen Behauptungen erhalt man aus Satz 131.1.

Aufgaben zu Nr. 146

3. a) C, x cos (lnx) + C2 xsin(lnx). c) C, x 2 + C2 x 2 lnx + C3 xcos(lnx) + C4 x sin (In x).

4. Aus (140.3) mit f = 1 und der Darstellung (140.7) des Poissonschen Kerns erhiilt man

- dt=1; 1 J" 1-r2 271" _" 1-2rcos(t-


Aufgaben zu Nr. 155

1. Sei bE U,(a). Dann ist I>:=E-d(b, a»O, und aus XE Us (b) folgt

d(x, a)~d(x, b)+d(b, a)+d(b, a)=E.

Somit gilt Us(b)e U,(a), also ist U,(a) offen. - Sei c aus dem Komplement von U,[a), also d(c, a»E. Dann ist I>:=d(c, a)-E>O, und aus XE Us (c) folgt

E=d(c, a)-I>~d(c, x)+d(x, a)-I>+d(x, a)-I>=d(x, a).

Somit liegt auch Us(c) in dem Komp1ement von U,[a), dieses Komplement ist also offen, und daher muB U, [a) abgeschlossen sein (einen anderen Beweis kann man mit Hilfe von A 154.1 in Verbindung mit Satz 155.7d flihren).

2. E bestehe aus mindestens zwei Punkten und werde mit der diskreten Metrik versehen. Dann ist Ut (a) = {a} abgeschlossen, also = Ut (a), wahrend Uda) = E# U t (a) ist.

3. Die diskreten Raume.

5. Zu aE G\A gibt es U, V E U (a) mit U e G und V nA = 0. Dann ist Un Veine in G\A liegen-de Umgebung von a, und somit ist G\A offen.

6. Sei a ein Beriihrungspunkt von A \ G. Dann enthalt jede Umgebung von a einen Punkt, der zu A, aber nicht zu G gehort. Also ist jedenfalIs aEA =A. Ware aE G, so gabe es, im Wider-spruch zu dem eben FestgestelIten, eine Umgebung von a, deren Punkte aIle in G liegen. Also ist a ¢ G, insgesamt daher a E A \ G. Infolgedessen ist A \ G abgeschlossen.

7. D sei der Durchschnitt alIer abgeschlossenen Obermengen von M. Da M abgeschlossen und :::>M ist, muB DeM sein. Es ist aber auch Me D. Jede Umgebung von aEM schneidet namlich M, erst recht also jedes abgeschlossene A :::> M. Somit gehort a zu jedem derartigen A und des-halb auch zu D. Insgesamt ist also M = D.

8. G sei die Vereinigung alIer offenen Teilmengen von M. Da M offen und eM ist, muB MeG sein. Es ist aber auch GeM. Ein aE G gehort namlich zu einer offenen Menge GoeM, und da Go eine (offene) Umgebung von a ist, muB a ein innerer Punkt von M sein, also zu M gehoren. Insgesamt ist also M = G.

9. Die Gleichung oM = M n (E\M) ist trivial. Die Abgeschlossenheit von oM folgt nun sofort mit Hilfe der Satze 155.4 und 155.5b.

11. Sei aEM und au irgendein Punkt aus UnM (UEU(a». Dann ist (au) ein M-wertiges Netz auf ..1:= U(a), das gegen a konvergiert. - Sei nun a Grenzwert eines M-wertigen Netzes (aa) auf irgendeiner gerichteten Menge ..1. Dann gibt es zu jedem U E U (a) ein a aE U, also ist UnM#0 und somit aEM.

12. Folgt aus Aufgabe 11 in Verbindung mit Satz 155.4.

Aufgaben zu Nr. 156

3. Sei A eX relativ abgeschlossen und A die AbschlieBung von A in E. Dann ist A abgeschlos-sen, und man sieht leicht, daB A = An X ist. - Nun habe A die Form A = M n X, M abge-schlossen. aE X sei ein relativer Beriihrungspunkt von A, jede relative Umgebung von a schnei-


de also A. Dann schneidet sie auch M, erst recht wird also M vonjeder Umgebung von a ge-schnitten. a ist daher Beriihrungspunkt von M und somit ein Element von M, muB also auch zu A gehoren. - Einen zweiten Beweis erhalt man, wenn man beachtet, daB eine Teilmenge A von X genau dann relativ abgeschlossen ist, wenn X\A relativ offen ist; man braucht dann nur noch den Satz 156.1 und die Morganschen Komplementierungsregeln heranzuziehen.

Aufgaben zu Nr. 157

1. Jede Cauchyfolge (an) enthalt eine konvergente Teilfolge. Deren Grenzwert ist auch Grenz-wert von (an).

3. 0 und alle endlichen Teilmengen (beachte, daB alle Teilmengen, auch die einpunktigen, of-fen sind).

4. Alle Teilmengen, weil nur 0 und der gesamte Raum offen sind.

Aufgaben zu Nr. 158

6. f- I : Y ..... X ist nach Satz 158.4 genau dann stetig, wenn das Urbild jeder abgeschlossenen Menge A c X abgeschlossen ist. Dieses Urbild ist f(A). Nun ist A wegen Satz 157.3 kompakt, f(A) nach Satz 158.5 also ebenfalls kompakt und somit abgeschlossen (Satz 157.4).

7. Wird mit Hilfe des Satzes 158.2 ganz ahnlich bewiesen wie Satz 34.4: Aus x" ..... g folgt g(x,,) ..... gW und darausf(g(x,,)) ..... f(g(g)).

8. Sei gE Xo und Vo eine Yo-Umgebung von r,:= fo W = fW. Dann gibt es eine Y-Umgebung V von 1J mit Vo= Vn Yo. Zu V existiert eine X-Umgebung U von g, so daB f(U)c V ist. Uo:= UnXo ist eine Xo-Umgebung von g, und mit A 13.3b folgt

f(Uo)cf(U)nf(Xo)c Vn Yo= Vo.

Aufgaben zu Nr. 160

1. E sei zusammenhangend und AcE sowohl offen als auch abgeschlossen. Dann ist B:= E\A offen und E = A v B, A n B = 0. Es folgt, daB A oder B leer, also A = 0 oder = E sein muB. -Nun seien 0 und E die einzigen Teilmengen von E, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind. Dann kann es keine Darstellung E=A vB mit offenen, nichtleeren und disjunkten Men-gen A und B geben, weil A =E\B auch abgeschlossen und somit A =0 oder =E, in letzterem Falle aber B=0 sein mUBte.

4. Verfahre wie im Beweis des Hilfssatzes 160.6.

6. Benutze, daB zwischen zwei rationalen Zahlen stets eine irrationale Zahlliegt.

7. Die Intervalle (0, 1) und (2, 3) sind zwar offen in R, aber abgeschlossen in E.

8. Wegen Satz 153.1 ist die Behauptung trivial.

9. Sei Bn:=A 1 v ... vAn. Mit Hilfssatz 160.5 erkennt man, daBjedes Bn zusammenhiingend ist. Und da sich die Bn offen bar paarweise schneiden, folgt nun - wiederum kraft des genannten Hilfssatzes -, daB B1 vBz v ... = A1 vA z v ... zusammenhiingend ist.


Aufgaben zu Nr. 161

2. C sei eine Komponente von X und Xo ein beliebiger Punkt von C. Dann gibt es eine offene Kugel K urn xo, die in X liegt. Kist zusammenhiingend (Satz 161.3), und damit ist auch Cu K zusammenhangend (Hilfssatz 160.5). Es muB also CuK=C und damit KcC sein: C ist of-fen.

7. a) ist trivial.

b) Wir dUrfen A, J-l>0 annehmen. Offenbar ist (A+J-l)KcAK+J-lK. Wegen der Konvexitat von Kist aber auch

A J-l --K+--KcK, also A+J-l A+J-l

c) FUr n = 1 ist die Behauptung trivial. Angenommen, es sei n:;;. 2, und die Behauptung sei richtig flir n - 1. Wir dUrfen o. B. d. A. At. ... , An als positiv annehmen. Sei

n-I J-l:=An und

Ak . J-lk:=- fur k=1, ... ,n-1.

A

n-I Die J-lk sind positive Zahlen mit Summe 1; nach Induktionsvoraussetzung ist also 2: J-lk Xk E K.

k~1

Da A, J-l > 0 und A + J-l = 1 ist, folgt nun aus der Konvexitat von K die Beziehung

8. b) Sei K die konvexe HUIle von M und co(M) die Menge aller konvexen Kombinationen von Elementen aus M. Nach Aufgabe 7c ist co(M) cK. Urn die umgekehrte Inklusion (und da-mit die Behauptung) zu beweisen, genUgt es zu zeigen, daB co(M) konvex ist. Seien x:=A1xl + ... +Anxn' Y:=J-lIYI + ... +J-lmYm zwei konvexe Kombinationen von Elementen aus M und ex, {3 zwei nichtnegative Zahlen mit Summe 1. Dann sind aIle Zahlen exA}, (3J-lk nichtne-gativ, ihre Summe ist 1, und infolgedessen ist

Aufgaben zu Nr. 162

1. a) c/f(x,y)

ox2 c/f(x, y) 2

oyox = -8xy+12y,

o2f(x, y) 2 2 oy2 = -4x +24xy+ 12y ,

Losungen ausgewiihlter Aufgaben 715

b) Of~:Y) = (x2y+2x+y3)exy, 02~~;y) = (x2y2+4xy+y4+2)eY,

02f(x,y) = (x3y+3x2+xy3+3y2)exy, of(x,y) = (x3+ xy2+2y)eXY, oyox oy

c)

d)

02 f(x, y) 02f(x, y) (X4 + X2 y2 +4xy+ 2)eXY, (X3 y+ 3x2 + Xy3 + 3 y2)exy.

oy2 oxoy

of(x,y, z) . ax =xyzcos(x+y+z)+yzsm(x+y+z),

02f(x, y, z) . ox2 = -xyzsm(x+y+z)+2yzcos(x+y+z),

02f(x,y, z)

oyox

02f(x,y, z)

ozox

of(x,y, z)

oy

02f(x,y, z)

oxoy

02f(x,y, z) oy2

02f(x,y, z)

ozoy

of(x,y, z)

oz

(z-xyz)sin(x+ y+ z) + (x z+ y z) cos (x + y+ z),

(y- xyz)sin(x+ y+ z) + (xy+ yz)cos(x + y+ z),

xy zcos(x + y+ z) + x z sin (x + y+ z),

(z-xyz) sin (x + y+ z) + (xz+ y z) cos (x + y+ z),

- xyzsin(x + y+ z) + 2xzcos(x + y+ z),

(x-xyz)sin(x + y+ z) + (xy+xz)cos(x+ y+ z),

xyzcos(x+ y+ z) + xysin(x + y+ z),

02f(x, y, z) . oxoz = (y-xyz)sm(x+y+z)+(xy+yz)cos(x+y+z),

02f(x,y, z) (x -xy z) sin (x + y+ z) + (xy+xz)cos(x+ y+ z),

oyoz

02f(x,y, z) OZ2

of(x,y, z)

ax

of(x,y, z)

oy

of(x,y, z)

oz

- xyzsin(x+ y+ z) + 2xycos(x+ y+ z).

z

x eY 02f(x, y, z) Z oxoy

x eY 02f(x, y, z) Z2' oxoz

z 02f(x,y, z)

0, oyox

eY 02f(x, y, z) Z oy2

eY 02f(x, y, z) - Z2' oyoz

02f(x,y, z)

ozox

xeY 02f(x,y, z) xeY

z ozoy -7' xeY 02f(x,y, z) 2xeY


Aufgaben zu Nr. 164

1. Die Differenzierbarkeit ergibt sich in allen Fallen aus Satz 164.3.

a) f'(x,y)=(l, 1). b) I'(x,y, z)= (:!::,~, _ x;). z z z

d) f'(x) = (~x ) . \ 3x2

( -Sinx) c) f'(x) = . cosx

f) f' (x, y, z) = ( -:; 0 0) . vY2vY 2~

e) f'(x, y) = (~ 2~). 2VX

4. 1 sei in ~ differenzierbar. Mit

f'(~)= (~tt ... atP) und h:= (hh:pt) aqt·· ·aqp

ist dann

(!t(~+h)-/tW) (attht+ ... +atphp) (rt(h») : =!(~+h)-!W=f'(~h+r(h) = : + : , Iq(~+h)-Iq(~ aqtht + ... +aqphp rq(h)

wobei lim r(h) = 0, also auch lim rj(h) = 0 ist. Durch Komponentenvergleich erhalt man h_ ~H h_ ~H

lim rAh) = o. h~O IlhH

Es folgt, daB liW vorhanden und = (ajh ... , ajp) ist. Also gilt auch (164.16). Durchlauft man die Schliisse in umgekehrter Richtung, so erhalt man den zweiten Teil der Behauptung.

5. Es ist !(~+h)-!(~)=f'(~)h+ Hhll p (h) mit limp (h) = 0 (dabei ist h#O). Bestimme ,5>0 so, h~O

daB Hp(h)H~l fUr 0< Hhll


und somit

(1+h)U-1 cp'(1) = lim f(x) = af(x).

h~O h

Andererseits ist cp(t + h) - cp(t) = f(x + hx) - f(x), also

(0,

cp(1 + h) - cp(1) = hj'(x)x + r(hx) Ilxll Ilxll '

falls x=O,

falls xfO.

Infolgedessen haben wir

'(1) _ {O, falls x = 0, cp - j'(x) x, falls xfO.

Da aber j' (0) 0 = ° ist, gilt die Gleiehung cp'(1) = j'(x) x

aueh im FaIle x=O. Aus dieser und der obigen Darstellung von cp'(t) erhalten wir j'(x)x=af(x) fUr jedes x.

Aufgaben zu Nr. 165

1. dtp/dt= -2It3 +4t3•

3. dtp/dt=2t.

2. dtp/dt=2sinteos 2 t-sin3 t.

4. dtp/ dt = 4 e21•

'() 1 ( 2 1 2 2 2X) S.cp x,y = 22 2 2xy +2' XY-3' x y +x/y y y

6. tp'(x,y)=(2x+y- 2xy+ y2+ 2xy2, x-2y+2xy _x2+6y2+2x2y).

7. (fg)' (x, y) = e X +Y (sin (xy) + yeos (xy), sin (xy) +xeos (xy», (f/ g)' (x, y) = e -(x+Y)(yeos (xy) - sin (xy), xeos(xy) - sin (xy».

9. dV(O)/dt= -0,018 m 3/h.

Aufgaben zu Nr. 166

1. Richtungsableitung

a)

b)

2V2 1 -V3 2

Richtung GroBe des starks ten Anstiegs in t

G) (~) 1

718 Losungen ausgewiihlter Aufgaben

c)

d) 2e

V6 V3e

2. Sie sind senkrecht zur Richtung des stiirksten Anstiegs.

x2 y2 5. f(x, y) = 2: + "2 + C, C eine beliebige Konstante.

Aufgaben zu Nr. 167

2. Es ist (f-g), =/' -g' =0 auf G; aus Satz 167.5 folgt also f-g=c.

Aufgaben zu Nr. 168

1. Es ist

/,(xo+h) = (:~ (Xo+h»). Setze

0,..1,..1.

Dann ist

und

Die Abschiitzung (168.9) ist trivial.

2. Man wende fortlaufend Produktintegration an.

4 Xo ( • h . k 1 h2 . hk 1 k2 . 1 h3 . . e smyo+ smyo+ cosYo +"2 smyo+ cosYo -"2 smyo + 6" smyo

12 1 2 , 13 ) +"2h kcosyo - "2hk smyo - 6"k cos Yo .

5. 1,05 1,02 ~ 1,0510. Restgliedabschiitzung liefert 11,05 1•02 -1,05101

Aufgaben zu Nr.170

2. ~ = _ 4X3+2cosy ox cosz

oz 2xsiny oy=~


3. Das System wird jedenfalls von dem Tripel x=O, y= V875, Z= v475 befriedigt. Es ist y'= -3x/5y, z'=x/5z.

4. Das System wird gewiB von dem Quadrupel x=O, y= V1/10+1/12, U= 1/v'fO, V= 1/V12 gelost. Es ist ou/ox=5x/u, ou/oy=6y/u, ov/ox= -4x/v, ov/oy= -5y/v.

5. lluloy=O, ovloy= -1 an der Stelle (0, -1).

Aufgaben zu Nr.171

2. Z. B. G:= { (;) : -


1 t="2,1)=-1

e) t=1)=O t=O, 1)= 1 t=O, 1)=-1

5. a=b=c=20.

6. a=b=c=30.

7. x=2a/3, 1=2.

Aufgaben zu Nr. 174

Maximum

Minimum Maximum Maximum

-6

0 2/e 2/e

1. Maximum 1/4 in (1/2,1/2); kein Minimum.

2. Lokales Minimum 0 in (1,0); lokales Maximum 4/27 in (1/3,2/3); keine globalen Extre-ma.

3. Der Punkt kleinsten Abstandes hat naherungsweise die Koordinaten t = 1,44 und 1) = 0,36.

4.


Aufgaben zu Nr. 177

1. a) b)

(X2 -XI) ( -rsint) Geschwindigkeitsvektor 12-YI reost

Geschwindigkeit V(X2 -XI)' +(Y2 - YI)2

Weglange ~. (X2 - XI)2 + (Y2 _ YI)2 2'Tfr

4. a) asinh Xo . b) a-rr Vi +4-rr2 + i arsinh(2-rr). a

Aufgaben zu Nr. 178

6.6a. 7. ~ (10 VTIl -1). 27

1 3 8.1 +-In-.

2 2

Aufgaben zu Nr. 180

c)

2 (-rSin2t) rcos2t

2r

4'Tfr

c) 8a.

1. 1. 2. 24. 3. 2e-2. 5. --rr.

7. 36 Joule.

Aufgaben zu Nr. 181

d) e)

(-rsint) (r(~-cost)) reost rsmt

h

Vr2+h2 2rlsin~1 4'TfVr2+h2 16r

1. Das Integral iiber f sei wegunabhiingig, und y: [a, bj-->RP sei geschlossen: y(a)=y(b). Dann hat auch y- den Anfangspunkt yea) und den Endpunkt y(b), also ist

und somit

1st umgekehrt s,,f. dx = 0 fUr jedes geschlossene y und sind y" Y2 zwei Wege mit denselben Anfangs- und Endpunkten, so ist Yt EE> y 2- geschlossen, also

und somit r f-dx = r f-dx. J 1'1 J Y2

Der erste BeweisteillaBt sich iibrigens auch sehr rasch mit Hilfe der Satze 181.3 und 181.2 erle-digen.

y2 4.


1 7. q>(x,y, z) = - 2'

(n - 2)1""-

8. Das Vektorfeld besitzt eine Stammfunktion q>(x, y, z):= J ~ tf(t)dt.

Aufgaben zu Nr. 182

Aufgaben zu Nr. 183

1. Ja; q>(x,y)=6x2y+3x. 2. Nein. 3. Ja; q>(x,y)=x3y.

5. Nein.

6. Ja; q>(x,y, z)=x2/2- y2/2+xz-yz.

Aufgaben zu Nr.184

1. 2. 2.2. 3. 3 sinh 1- 2eosh 1 + ~ sinh 2 + ~.

Aufgaben zu Nr.185

1. O. 2. i bzw. 2i.

Aufgaben zu Nr.188

68 43 1 a) y=-+-x.

. 35 35

3. 1 bzw. 1 +i.

30 27 b) y=---x.

13 26

4. -'IT.

2 - 64 281 x ~ 2 • Y - 55 + 220 + 44 x .

km 6. n=17, also H::d7 6' h 'ah .

see· 10 Lie tJ re

Aufgaben zu Nr.190

lnx y3 1. Exakt; -+ x 2 + -= C.

y 3 2. Exakt; x 2 e" - x + y = c.

3. Exakt; x 3y2+y2+2yx-x=C. Die Losungen der Anfangswertprobleme sind die Funktio-nen

x l+x x 2 y(x):= - 1+x3 ± --3 + 32' l+x (l+x)


4. Nicht exakt. Integrierender Faktor z.B. 1/x2. Explizite Losung Y(X):=X2- Cx.

5. Nicht exakt. Integrierender Faktor z.B. 1/x2. Explizite Losung y(x):=x+ V C + Si:X . 6. Nicht exakt. Integrierender Faktor z. B. 1/y4. Implizite Losung Cy 3 + y2_X2=0. AuBerdem ist auch y (x) == 0 eine Losung.

Aufgaben zu Nr. 198

1. Sei Z:=Zt x ... x Zp eine Zerlegung von lund Z' eine Verfeinerung von Z. Man betrachte zuerst den Fall, daB Z' aus Z hervorgeht, indem man zu genau einem der Zj genau einen weite-ren Teilpunkt hinzufUgt, und schlieBe im ubrigen ganz entsprechend wie im Beweis des Hilfs-satzes 82.1.

Aufgaben zu Nr. 200

1. 25. 2. 7/12. 3. e4 _2e3 +e2• 4. 2. 5.4In(16/15). 6. 1T/48.

7. Am elementarsten laBt sich die Behauptung durch den Ruckgriff auf die Netzdefinition des Integrals beweisen.

8. L =.! J [f(X) + f(y)] d(x,y) = J f2j)+{(y) d(x,y).", J Id(x,y)=(b-a)2. 2 I f(y) f(x) I 2 (x) (y) I

Zur Abschatzung des Integranden wurde die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel benutzt:

9. Wegen der Monotonievoraussetzung ist in der letzten Gleichung fUr R-L (im "Hinweis") der Integrand .", O.

Aufgaben zu Nr. 201

1. Verfahre ganz ahnlich wie beim Beweis des Satzes 85.6. Ziehe zum Beweis der zweiten Be-hauptung den Satz 160.4 heran.

2. Verfahre wie beim Beweis des Satzes 104.4.

3. Es genugt, die Ungleichung fUr den Fall zu beweisen, daB B ein Intervall ist. Zu diesem Zweck kann man ganz ahnlich vorgehen wie beim Beweis der eindimensionalen HOider-schen Ungleichung (Satz 85.2).

4. Die Menge V der rationalen Zahlen in [0, 1] leistet das Gewunschte.

5. Es ist If = B u a B. Wende nun die Satze 201.2 und 201.6 an. 6. Nach Aufgabe 5 ist If lordan-meBbar. Da If auBerdem kompakt ist, muB f auf IfR-inte-grierbar sein. Ziehe nun Satz 201.7 heran. - Gegenbeispiel: B:=(O, 1], f(x):=1/x fUr xEB, :=0 fUr x=O.


Aufgaben zu Nr. 203

1. 3. 2. 2/3. 3. 40/3.

Aufgaben zu Nr. 204

3. g S~f(x,y)dxdy. 4. n g'f(x,y)dxdy. 5. Sb J::C~inxf(x,y)dydx. SIr VI-x' 6. oj f(x,y)dydx. vr=x 7. 64/15.

10. 1/24.

13. 1/24.

16. 32'll".

8. 1/4. 9. 1/12.

11. 6/55. 12. 2/3.

14. ab'Y'll". 15. 'll"/2.

17. l-cosl ~0,46.

Aufgaben zu Nr. 206

4. 3'll" a2• 5 2 2 • a.

1 ( 4) 3 14. 3" 'll"-3" R. 1

17. 32' 1

18. g'

2

21 ~ • 4

1 15. 3" 'll"abc(4- V2). 4 16. is'll".

23. Sei B die Kugel mit Radius R urn den Nullpunkt und Bo:= B\ {O}. Bo sei mit einer Masse angefUllt, deren Dichte das Reziproke des Abstandes vom Nullpunkt ist. Das Ergebnis der Aufgabe 20 wird man als die Masse von Bo interpretieren. Das Ergebnis der Aufgabe 21 wird man auffassen als die Masse des Raumes R3, wenn dieser mit einer Masse belegt ist, deren Dichte p(x,y, z)=1/(1 +X2+y2+Z2)3 ist.

24 2'll"a 3 'll"b R4 '-3- R +""4 . 71

25. 210'

26. Die Masse M in B ist genau dann endlich, wenn a> -3 und /3< -3 ist; in diesem Falle ist M=4'll" (_1 __ 1 ).

3+a 3+/3

( 3 3 3 ) 27. gR, gR, gR .


Aufgaben zu Nr. 207

1. 4. 2. 1. 3. 1. 3

4. i'IT.

5. O. 9. 24 'IT.

Aufgaben zu Nr. 208

15. 'IT.

Aufgaben zu Nr. 209

2. a) (1- x 2)i+ (2x z- x)k, b) (xcosy- 2x z)i- sinyj+ Z2 k,

c) (x 2e' - xy)i - 2xyeZ j + (y z- xeXY)k. x3 x2 y2

7. b=a. cp(x,y, z) = - + - y + - + ayz. 3 2 2

8. Die beiden Integrale in (209.5) haben den gemeinsamen Wert 'lTa 2 •

9. O.

Aufgaben zu Nr. 210

1. a) 2xyz-sinysinz,

8 ~ . 2 10. 24 'IT. 11. 135 'IT.


Aufgaben zu Nr. 211

1. a) O. b) 3.d •. 2. 3. c) 8.d1,2-4.d1,3-4.d2•3. d) 2.d1.2. 3'

2. a) 3.d1,2.3.4' b) -.d •. 2•3.4.

Aufgaben zu Nr. 212

2. a) dyi\dz. b) ydxi\dy+zdxi\dz. c) xexYdyi\dx+dxi\dz.

d) dx i\ dy.

3. a) O. b) (cosz-1+yz)dxi\dyi\dz.

5. 0, falls der Grad r von w ungerade ist, - 2 dw i\ d" falls r gerade ist.

Aufgaben zu Nr. 214

Aufgaben zu Nr. 220

1. Geht man wie bei dem Kugelbeispiel am Ende der Nr. 220 vor und benutzt man sinngemliB dieselben Bezeichnungen, so erhiilt man

U (P) = {- G ml z, wenn P im AuBenraum der Schale liegt, -21TpG(R~-RD, wenn P im massefreien Innenraum der Schale liegt.

Aufgaben zu Nr. 230

2. M sei relativ kompakt. Zu einer vorgegebenen Folge (xn) aus M existiert eine Folge (yn) aus M mit IIxn - Ynll < 11n. VoraussetzungsgemliB enthiilt (yn) eine konvergente Teilfolge (Yn.)' Ihr Grenzelementy muB in Mliegen, und offenbar strebt Xn.-+y. Also ist Mkompakt. Die Umkeh-rung ist trivial.

Aufgaben zu Nr. 231

11. Angenommen, f sei nicht abgeschlossen. Dann existieren Folgen (xn), (Yn), so daB gilt: Xn-+x,YnEf(xn) und Yn-+y, aber y¢f(x). Da f(x) abgeschlossen und y¢f(x) ist, gibt es offene Umgebungen V und W von f(x) mit j7 c W und y¢ W. Wegen der Oberhalbstetigkeit von f kann man zu Veine Umgebung Uvon x tinden, so daBf(u)c VfUr alle UE Uist. Fur n>no(U) liegen aIle Xn in U, also haben wir f(xn) c V fUr aIle n > no und somit erst recht Yn E V fUr aIle n > no. Dann muB aber y in V, urn so mehr also in W liegen, im Widerspruch zur Konstruktion von W.

Literaturverzeichnis

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[20] Zygmund, A.: Trigonometric series 1. Cambridge 1959

Lehrbticher der Analysis sind im Literaturverzeichnis des ersten Bandes aufgeftihrt.

Symbolverzeichnis

Symbole, die immer wiederkehren (wie of lox, hf(x)dx usw.), und solche, die bereits im Symbolverzeichnis des Teiles 1 erscheinen, wurden in dieses Verzeichnis nicht aufgenommen.

\S(a) 205 U(a) 203 B(X,F) 39 U, (f), U, [fl 13,206 (c) 13 ,8,,8* 440

c- L ak 155 IZI 440 CO(Xb ... ,xm) 604 (Z,O") 440

C(X) 35,233 C(x, F) 40 Lit, .djl •...• )r 525f. Cb(X,F) 39 Ojk 307 cm(G) 250 oM 219 div 521 00", o(tP, + ... + tPm ) 547, 549 dXj, df 532f. a (g, , ... ,gr)/o (Uh . .. , Ur) 541 F(X) 208 Of(T) 444 grad 273 Wf(x) 444 i,j, k 499 l(tP),l(S) 505f. IIAII 41 Jf{g) 260 IIA lice 39f. L(A) 590 [A] 51 L(/),L(a,b) 86, 582 An=*-A 42 L + (/)' L + (a, b) 85,582 axb 500 L2 125

fB 453 U(/) 106, 586 fl (if'n) 85 L(y), L(y, Z) 350 (fIg) 127 L(T) 360 Ill,IBI 439,453 52(E), E(E,F) 40 M 62, 219 reP) 12 if 219 LH(X1> ... ,Xm) 605 n meA) 587 M,+···+Mn, L Mk 611 M(/) 104, 586 k~'

IDl(q,p) 52 M,-M2 611 Ixl 270 R(/), R(B) 441,453 [Xo,Xt, ... ,Xr ] 545 rot 515

S(f,Z,T) 276 x·y 269

sign 305 Sr 545 YI EB ... EB Ym r l EB ... EB Tn 241 T(l) 84,447,582 tP 1\ 'P, W 1\ 1] 528, 531 0, O(a) 204 0", + ... + O"rn, tPI + ... + tPm 547f.

N amen- und Sachverzeichnis

Kursiv gedruckte Zahlen geben die Seiten an, auf denen die Lebensdaten der aufgefuhr-ten Personen zu finden sind.

Abbildung, beschrlinkte 39 -, beschrlinkte lineare 41 -, dehnungsbeschrlinkte 34 -, folgenstetige 231 -, gleichmliBig stetige 34, 235 -, Grenzwert einer 35 -, kontrahierende 34, 223 -,lineare 40f., 50f. -, Lipschitz-stetige 34 -, offene 232, 302 -, stetige 31, 230 Abbildungsnorm einer Matrix 56 Abel, N. H. 684, 696, 697 Abelsche Summe 160 abgeschlossene Hiille (AbschlieBung) 62, 219, 222 - Menge 33, 220, 222 abgeschlossener Quader 33 Ableitung 26lf., 33lf., 345, 687f., 690f. -, gemischte 249 -, hahere partielle 248 f. -, linksseitige 333 -, partielle 247 -, rechtsseitige 333 AbschlieBung 62, 219, 222 Abschnittsdeterminante 309 absolutstetige Funktion 113, 117 abzlihlbar additiv 590 affine Abbildung 490 d'Alembert, J. B. Ie Rond 118f., 684, 686ff., 689 Aigarotti 659 Allokation 630 alternierende r-Linearform 527 Aneinanderhlingen von Wegen 376 Anfangspunkt eines Weges 241 Antidifferentiation 661 Antiphon 640, 675 Aphel575 Approximation im quadratischen Mittel 130 Approximationssatz 602 - von Bernstein 66 ::- - WeierstraB 63, 66, 160 Aquipotentiallinie 418 liquivalente Normen 19, 45 (A 112.12) - Simplexe 546 f. Archimedes 437, 636, 640ff., 646, 647, 649, 650f.,

657,661,677 archimedische Spirale 357, 647 Aristoteles 640, 646, 647 Arithmetisierung der Analysis 685 ff., 693, 696

699 Astroide 366 A-summierbare Reihe 160ff. atomistische Geometrie 643, 664 Aufpunkt 563

Ausgleichsgerade 410 Ausgleichsparabel411 Ausgleichspolynom 411 liuBere Normale 521 liuBerer Punkt 218 liuGeres Differential 533 AuBeres einer Menge 219 liuBeres Produkt 528, 531 Auto 435 A-Verfahren 160

Banach,S. 16 Banachalgebra 23 Banachraum 16 Banachscher Fixpunktsatz 35, 39, 223 f. Barrow, 1. 65lf., 653 ff., 656, 660, 662, 664, 668, 672,

673 Basis 605 Basisumgebung 205 Becker, O. 634 Berkeley, G. 677ff. Bernoulli, Daniel 122,253,681,687,694 -,Jakob 150,570,675,681,683 -, Johann 150, 568, 570, 675, 677, 681, 683, 685 -, Nikolaus 681 Bernoullische Gleichung 253 Bernstein, S. N. 66 Bernsteinsche Polynome 66 beriihren 218 Beriihrungspunkt 218, 222 Beschleunigung 428 Beschleunigungsvektor 428 beschrlinkte Abbildung 39 - Foige 15 - lineare Abbildung 41 - Menge 15 Bessel, F. W. 130 Besselsche Gleichung 130, 131 - Ungleichung 130, 131 Bestapproximation 601 Betafunktion 491 Betrag eines Vektors 270 Bewegung 648, 697 Bildbereich einer r-Kette 548 binomische Reihe 661 f., 696 Birkhoff, G. 634 Bogen 241, 349 -, glatter 365 -, stiickweise glatter 365 Bogenkomponente 244 Bogenllinge 360, 363 f. bogenzusammenhlingende Menge 243 Bohme, J. 657 du Bois-Reymond, E. 592

730 Namen- und Sachverzeichnis

Bolzano, B. 689f., 691 Bonbon 511 Borel, E. 698 Brachistochrone 568 Breidert, W. 677 Brosowski, B. 59, 599 Brouwer, L. E. J. 593 Brouwerscher Fixpunktsatz 593 Budgetmenge 625 Burckhardt, J. 646 BV-Normalbereich 496, 498

Calculus 655, 659 ff., 670 ff. Cantor, G. 122, 698f. Carleson, L. 154 Clisar 645 Cauchy, A. L. 247, 688, 690ff., 695 f., 697, 698 Cauchyfolge, komponentenweise 19 - in metrischem Raum 212 - in normiertem Raum 16 Cauchynetz 216 Cauchyprodukt 25, 159 Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

347 Cauchysche Ableitungsformeln 402 - Abschlltzungsformel 402 - Integralformel 398 Cauchyscher Integralsatz 396 Cauchysches Integrabilitlltskriterium 336, 692 - Konvergenzkriterium 20, 690, 693 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung 270 Cavalieri, B. 468, 649 f. Cavalierisches Prinzip 649 Cavendish, H. 576 Cesaro, E. 155 characteristica universalis 670 charakteristisches Dreieck 654, 673, 676 Cicero 645 cm-Funktion 250, 257 C'-Normalbereich 517 Cornusche Spirale 358 Cosimo de' Medici 646 Cousin, P. 698 Cramer, G. 306 Cramersche Regel 306 C-summierbare Reihe 155, 159 C-Verfahren 155 Darbouxsche Integrale 443 Darstellungsmatrix 51 Debreu, G. 631 Dedekind, R. 698, 699f. Definitheitskriterium 309 dehnungsbeschrllnkte Abbildung 34 Dehnungsschranke 34 Demokrit 643, 669 Descartes, R. 67, 652, 655, 668 Determinante 304ff. Deutsch, F. 59, 599 dicht liegen 62, 22lf. Diderot, D. 682 Diffeomorphismus 301 Differential 675, 689, 691 -, lIuBeres 533 - einer Nullform 533 Differentialform, exakte 540 -, geschlossene 540 -, stetige 533 - der Klasse em 533

- vom Grade r 531 Differentialgleichung, exakte 416 - der Wlirmeleitung 562 - n-ter Ordnung 77 f. Differentialquotient 673, 689 f. differenzierbare Funktion 259,262,330,332,345 differenzierbarer Weg 353 Differenz von Teilmengen eines Vektorraumes

611 D-integrierbare Funktion 443 Dirichlet, P. G. Lejeune- 695 Dirichletsche Regel 138 Dirichletscher Kern 135 Divergenz eines Vektorfeldes 52lf., 560 Divergenzsatz 522, 561 dominantes Element 625 Don Quichotte 349 Drehimpuls 570 Dreiecksungleichung fur L-Integrale 91 - - R-Integrale 278, 280, 336, 447, 456 Durchlaufungssinn 374

Ecke 545 Einheitsmatrix 54 Einheitssimplex 545 Einstein, A. 246 Ellipse 357 f., 362 Ellipsenbogen 361 f. Ellipsengleichung 362 Ellipseninhalt 469, 491 Ellipsoidinhalt 469, 491 endlich additiv 590 endliche Durchschnittseigenschaft 229 Endpunkt eines Weges 241 Energiesatz 429 Entwicklungssatz fur holomorphe Funktionen

401 Epsilontik 697 Erdmasse 576 Erstausstattung 621 erster Hauptsatz der Differential- und Integral-

rechnung 117, 655, 674, 693 erste und letzte Verhllitnisse 664 f., 678 erweiterter Mittelwertsatz fUr mehrfache Integrale

460 Eudoxos 635, 636ff., 697, 700 Euklid 636, 638 f., 640, 646, 664, 700 euklidische Norm 271 Euler, L. 150, 174, 189, 195,247, 249, 491, 680,

681ff., 683ff., 685 f., 687, 689, 691 --Cauchyscher Polygonzug 69 f. --Fouriersche Formeln 124 --Lagrangesche Differentialgleichung 423, 425f. Eulersche Differentialgleichung 186 f. Eulerscher Multiplikator 418 - Satz fUr homogene Funktionen 266 Ii-Umgebung 14,206 exakte Differentialgleichung 416 Exhaustionsmethode 637, 639, 641, 650f., 664 Existenzsatz von Peano 69, 72, 75, 78, 617 - - Picard-Linde1of 67,75,78 Expansion des Weltalls 411 Exponentialfunktion in Banachalgebren 28, 344 Extremale 423 Extremum, globales 311 -,lokales 310 - mit Nebenbedingungen 319 Extremwertkriterium 312, 313 f.

Faltung 24 fast iiberall gleich 444 - - stetig 444 Fatou, P. 97 Feinheitsmaf3 einer Zerlegung 440 Fejer, L. 155 Fejerkern 156 de Fermat, P. 65 Iff., 654, 655 Fixpunkt einer Abbildung 34 - - Korrespondenz 614 Fixpunktsatz von Banach 35, 39, 223 f. - - Brouwer 593 - - Kakutani 614 - - Schauder, erster 606, zweiter 608 - - Weissinger 40 Flache 502, 541 Flacheninhalt 453 - einer Flache 505 - - Rotationsflache 511 - eines Flachenstiicks 506 - - - z=J(x,y) 51Of. Flachensatz 571 Flachenstiick 502 Fluente 663, 666 Fluf3dichte 559 Fluxion 663, 666, 678, 687 Fluxionsrechnung, Hauptaufgaben der 663 -, Kritik der 677 ff. Folge, beschrankte 15 -, fast konstante 215 -, konvergente 14,211 f. folgenstetige Abbildung 231 Fortsetzung, gerade 152 -, ungerade 152 Fourier, J. B. J. 3, 124,562,692, 694f. Fourierkoeffizienten 124 Fourierreihe 125, 126, 692, 695 Frechet, R. M. 331 Frechetsche Ableitung 331 Fredholm, I. 79 Fredholmsche Integralgleichung 79 Fredholmscher Integraloperator 79 Friedrich der Grof3e 669 Friedrich II (Staufer) 646 Fubini, G. 448 Funktion 685 ff., 694 f. -, absolutstetige 113, 117 -, differenzierbare 259, 262, 330, 332, 345 -, D-integrierbare 443 -,ganze 406 -, harmonische 524 -, holomorphe 347 -, homogene 266 -, implizit definierte 289 -, integrierbare 441 -, L-integrierbare 87, 582 -, logarithmisch konvexe 198 -, mef3bare 103 f., 586 -, offene 302 -, partiell differenzierbare 247 -, partielle 247 -, quadratisch integrierbare 125 -, R-integrierbare 277, 335, 441, 453 -, stetig differenzierbare 262, 332 -, stiickweise beschrankt differenzierbare 140 -, - Lipschitz-stetige 144 -, - monotone 140 -, - stetig differenzierbare 141

Namen- und Sachverzeichnis 731

-, - stetige 140 -, unstetige (im Sinne Eulers) 686 Funktionaldeterminante 310 Funktionalmatrix 260

Galilei, G. 617, 647ff., 651, 654, 657, 660, 685 Gammafunktion 195ff. ganze Funktion 406 Gauf3, C. F. 196f., 247, 658, 691 Gauf3scher Integralsatz im Raum 522, 558, 561 - - in der Ebene 498, 558 Gauf3sches Fehlerintegral 20Of., 491 Gebiet 244, 279 gemeinsame Verfeinerung 440 gemischte Ableitung 249 geradlinige T- Kette 547 Gesamtausstattung 629 Gesamtnachfragemenge 629 geschlossener Weg 384 Geschof3bahn 647 Geschwindigkeit 353 Geschwindigkeitsvektor 353 gewohnliche Differentialgleichung 119 Gibbon, E. 645 glatter Bogen 365 - Weg 365 Gleichgewicht, labiles 429 -, stabiles 429 gleichmaf3ige Konvergenz 697 - - einer Folge linearer Abbildungen 42 gleichmaf3ig stetige Abbildung 34, 235, 693, 698 gleichstetige Funktionenfamilie 235 Gleichung der schwingenden Saite 118 globales Extremum 311 Goethe, J. W. 669 Gradient 273, 275 Gradientenfeld 380 Grandi, G. 676, 683 Gravitationsfeld 380, 563, 565 Gravitationspotential 563 ff. Green, G. 498 Greensche Formeln 523 f. Greenscher Satz 498 Gregorius a Sancto Vincentio 651, 668 Gregory, J. 651, 660, 673, 682 Grenznutzen 272 Grenzproduktivitat 254 Grenzwertbegriff 639 f., 650, 663 ff., 691, 694, 696f. Grenzwert einer Abbildung 35 - - Folge 14,211,212 - eines Netzes 216 Gudermann, Chr. 697

Hahn, H. 342 --Banachscher Fortsetzungssatz 342 Halbnorm 207 Halbparameter einer Ellipse 575 Halley, E. 657, 677 f. Hamiltonsches Prinzip 432 Hankel, H. 690, 695 harmonische Funktion 524 harmonischer Oszillator 433 Haufungspunkt 35, 218, 222 Hausdorff, F. 212, 694 Hausdorffmetrik 230 Hausdorffraum 212 Hegel, G. W. F. 67, 559, 572 Heine, E. 698


v. Helmholtz, H. 617 Hermite, Ch. 84 Hertz, H. 495 Herzkurve 357 Hesse, L. 0.312 Hessesche Matrix 312 Hilbert, D. 592 Hippasos von Metapont 635, 636, 643, 697 Hobbes, Th. 651 Hllhenlinie 286 Hilldersche Ungleichung 107,460 holomorphe Funktion 347 homogene Funktion 266 de I'Hospital, G. F. A. 673 Hubble, E. P. 4J1 Hubblesche Konstante 411 Huxley, A. 659 Huygens, Ch. 568, 651, 668 Hypatia 645 Hyperebene 444

Identitiitssatz fiir holomorphe Funktionen 404 implizit definierte Funktion 289 indefinite Matrix 308 Indifferenzkurve 272 Indivisibeln 643, 648 f., 651, 664 Indivisibelnhypothese 643, 648 f., 664 ff. Infinitesimalbetrachtung 649, 653 f., 661, 664

672 f., 679 infinitesimale Gro/3e 648, 665, 676f., 679 f., 688 Inhalt, iiu/3erer (innerer) 455 - der p-dimensionalen Einheitskugel 469 - eines Intervalls 439 Inkrement 254 Innengebiet 367 Innenprodukt 127, 168, 269 innerer Punkt 218 Inneres einer Menge 219 Integrabilitatsbedingung 386 Integration einer Differentialform 541 f. Integrationsbereich 453 integrierbar 441, 453 integrierender Faktor 418 Intervall im RP 581 -, kompaktes 439 -, offenes 439 -,p-dimensionales 439, 581 Invarianz des Inhalts unter Kongruenz-

abbildungen 490 Inverse 26 invertierbares Element 26 Invertierbarkeitskriterium fiir Matrizen 306 irrationale Zahl 636, 697 ff. Isobare 288 Isochrone 568 isolierter Punkt 218 isometrisch 23 isoperimetrisehe Ungleichung 578 Isotherme 288 iteriertes Integral 448, 587

Jacobi, C. G. J. 247, 260 Jacobimatrix 260 Jordan, C. 353, 367 Jordanbogen 359, 365 -, rektifizierbarer 360 Jordandarstellung einer Jordankurve 361 - eines Bogens 359

Jordan-Inhalt 453 Jordankurve 361 -, rektifizierbare 361 Jordan-me/3bare Menge 453, 591 Jordansche Nullmenge 458 Jordanscher Kurvensatz 367 Jordanweg 353

Kantenlange 462 Kardioide 357 Katharina I 681 Keilprodukt 528 Kepler, J. 571 f., 647, 649, 650 Keplersche Gesetze 572 Kern 79 -, Illsender 81 -, n-fach iterierter 80 Kettenregel 267 ff., 672 f. kinetische Energie 428 v. Koch, H. 366 Kolumbus 647 kommensurabel 635 kompakte Menge 33, 227 kompakter Quader 33 - Wiirfel462 kompaktes Intervall 439 Komponente eines topologischen Raumes 238 Komponentenfunktion 46 Kompressionsmethode 644 Kongruenzabbildung 490 Konjugierte einer Funktion 64 konservatives Kraftfeld 427 Kontinuitlitsprinzip 676 kontrahierende Abbildung 34, 223 Kontraktionskonstante 34 konvergente Folge 14, 211 f. - Reihe 20, 693 konvergentes Netz 216 Konvergenz im quadratischen Mittel 163 Konvergenzradius 21 Konvergenzsatz fiir Potenzreihen 21 - von Beppo Levi 94, 583 - - Lebesgue 96,97,583 konvexe Hiille 245, 604 - Kombination 245 - Menge 242, 245 Kopernikus, N. 572 Korrespondenz 609 -, abgeschlossene 612 -, beschrankte 631 -, kompaktwertige 609 -, konvexwertige 611 -, oberhalbstetige 609 Kosinusreihe 126 Kreisbogen 361 f., 364 Kreisesatz 638 Kreisgleichung 362 Kreisinhalt 467 Kreislinie 361 f. Kreisperipherie 361 f. Kreuzprodukt 500f. kritische Stelle 311 Kroneckersymbol 307 Kugel, abgeschlossene 14, 206 -,offene 14,206 Kugelinhalt 468 f., 491 Kugelkoordinaten 489 -, Transformation auf 489 f., 494

-, verallgemeinerte 491 Kugeloberfliiche 503, 506 Kuhn, H. 59, 599 Kurve 241 - kOrzester Laufzeit 568 Kurvenintegral 374

Lacroix, S. F. 689 Lagrange, J. L. 423, 680, 681, 683, 687ff., 689, 693f. Lagrangesche Funktion 432 - Gleichungen 430, 433 - Multiplikatoren 320 - Multiplikatorenregel 320 Lagrangesches Restglied 688 Liinge des Kreisbogens 363 - einer Jordankurve 363 - eines Jordanbogens 360 - eines Weges 350, 354ff. Laplace, P. S. 11, 522 Laplaceoperator 522 Laplacesche Differentialgleichung 407, 562 f.,

565 Laplacescher Differentialausdruck (in Polar-,

Zylinder- und Kugelkoordinaten) 494 Laugwitz, D. 680 Lebesgue, H. 84 Lebesguesches Integrabilitiitskriterium 446, 455 - Integral 86, 582 - Mal3 587 Leibniz, G. W. 202, 568, 654, 655f., 668ff.,

676f., 680, 683, 685, 691, 693 Leibnizsches Kriterium 693 Lemma von Brosowski-Deutsch-Kuhn 599 - von Fatou 97 Lemniskate 490 Leonardo da Vinci 646 Leukipp 643 Levi, B. 94 U-Funktion 125 Lichtenberg, G. Chr. 701 LindelOf, E. 67 Iineare Abbildung 50 f. - Differentialgleichung n-ter Ordnung 78 - Hiille 605 - Systeme von Differentialgleichungen 75f., 344f. Linearform 343, 525 linsksseitig differenzierbar 333 Iinksseitige Ableitung 333 L-integrierbar 87, 582, 590 Liouville, J. 406 Lipschitzbedingung 67, 74f. Lipschitzkonstante 34 Lipschitz-stetige Abbildung 34 L 2 - Konvergenz 163 logarithmische Ableitung 190 logarithmisches Potential 385 logarithmisch konvexe Funktion 198 lokales Extremum 310 - - mit Nebenbedingungen 319 - Maximum 310 - - mit Nebenbedingungen 319 lokales Minimum 310 - - mit Nebenbedingungen 319 lokale Umkehrbarkeit 301 Lorenzo il magnifico 646 Lotoperator 601 l'-Norm 12 Ludwig XIV 668


Majorantenkriterium 21 Marcellus 641 Masse eines Bogens 390 f. - - FliichenstOcks 507 - - riiumlichen Bereichs 492 f. Mal3 einer Menge 587 Massendichte 390, 438 Massenkorper 564 Massenmittelpunkt 493 Matrix 51 Matrixalgebranorm 57 Matrixnorm 56 -, vertriigliche 57 maximale Orthogonalfolge 165 Maximum, glob ales 311 -, lokales 310 - mit Nebenbedingungen 319 Maximumprinzip 302, 404 Maximumsnorm II, 12, 36,40, 234 mechanische Methode 641 f. mehrfaches Integral 441 Menge, abgeschlossene 33, 220, 222 -, beschriinkte 15 -, bogenzusammenhiingende 243 -, Jordan-mel3bare 453, 591 -, kompakte 33, 227 -, konvexe 242, 245 -, mel3bare 587 -, offene 36, 219 -, relativ abgeschlossene 226 -, relativ kompakte 605 -, relativ offene 226 -, sternformige 245, 386 -, unzusammenhangende 236 - yom Mal3 0 444, 590 -, X-abgeschlossene 226 -, X-offene 226 -, zusammenhangende 236 mel3bare Funktion 103 f., 586 - Menge 587 Methode der ersten und letzten Verhaltnisse

664f. - - kleinsten Quadrate 408 f. Metrik, diskrete 210 -, erzeugte 224 -, induzierte 224 metrischer Raum, vollstandiger 212 Milnor, J. 599 Minimalfolge 602 Minimalfunktion 422 Minimum, glob ales 311 -, lokales 310 - mit Nebenbedingungen 319 Minimumprinzip 302, 407 Minkowskische Ungleichung 107 Mittelwertsatz fUr banachraumwertige Funktionen

337 f. - - mehrfache Integrale 456 - - - -, erweiterter 460 - - reellwertige Funktionen 276, 688 - - vektorwertige Funktionen 278, 280 mittlere Entfernung der Erde von der Sonne

576 - Sonnenentfernung eines Planeten 576 f. Moliere 647 Morera, G. 403 Multilinearform Yom Grade r 524 f. Multiplikationssatz fOr Determinantel! 308


Nachfragekorrespondenz 627 Nachfragemenge 625 nattirlich geordnetes r-Tupel 526 negativ definite Matrix 308 Neil, W. 366 Neilsche Parabel 366 Netz in topologischem Raum 215 -, konvergentes 216 Neumann, C. 26 Neumannsche Reihe 26, 44 Newton, H. 656, 658 Newton, I. 512, 567, 571 ff., 648, 651, 655, 656ff.,

668, 670f., 672, 674, 676, 678 f., 680, 682, 685, 688, 691,696

Newtonfolge 412 -, vereinfachte 412 N ewtonsches Kraftgesetz 428 - Potential 380 - Verfahren 412 - -, vereinfachtes 412ff. nicht iiberlappende Mengen 459 Nikaido, H. 631, 633 Niveaulinie 286 non-standard-analysis 680 Norm 11 Normalbereich beziiglich der x-Achse 470 - - - xy-Ebene 471 - - - y-Achse 471 Normale, auBere 521 Normaleneinheitsvektor 510 Normalenvektor 504 Normalgleichungen 409 f. Norm einer Iinearen Abbildung 41 normierte Algebra 23 normierter Raum 11 - -, vollstandiger 16 normiertes Element 13 Normkonvergenz 42 Nullform 525, 531 Nullmatrix 52 Nullmenge 444 -, lordansche 458 Nullstellensatz von Bolzano 689, 691 numerische Exzentrizitat 358, 575

Oberflachenintegral eines Skalarfeldes 507 - - Vektorfeldes 508 Obersumme 443 offene Abbildung 232, 302 - Menge 36, 219 - Uberdeckung 37 - Umgebung 220, 246 - Umgebung einer Menge 609 offenes Intervall 439 Omar 645 Ordinatenmenge 466 -, verallgemeinerte 467 Ores me, N. 649 orientiert, entgegen dem Uhrzeigersinn 362 -, im Uhrzeigersinn 362 -, negativ 362 -, positiv 362, 496, 498 orientierter Rand 547 ff. - Weg 241 orientiertes geradliniges r-Simplex 545 f. - r-Simplex 547 f. Orientierung 374 orthogonale Funktionen 127

- Vektoren 270 Orthogonalfolge 127 -, maximale 165 -, vollstandige 165 Orthogonalitatsrelationen 123 Orthonormalfolge 128 Oszillation 444

Paarvertauschung 544 Parallelogrammsatz 133, 602 Parameter 241 Parameterbereich 502, 541 Parameterdarstellung eines Bogens 241 - - F1achenstiicks 502 Parameterintegral 49, 101 ff., 459 Parameterwechsel, negativer 509 -, positiver 509 -, zulassiger 506 Parseval, M.-A. 167 Parsevalsche Gleichung 167, 170 - -, verallgemeinerte 169 Partialbruchzerlegung von ncotna 153 - - ncothan 151 partiell differenzierbare Funktion 247, 339 partielle Ableitung 247, 248 f., 339f. - Differentialgleichung 118 f. - Funktion 247 Pascal, B. 651, 654, 668, 673 Pauli, W. 408 p-dimensionales Intervall 439 Peano, G. 366, 700 Peanobogen 366 Peanokurve 366 Perihel575 Permanenzsatz des A-Verfahrens 160 - - C-Verfahrens 155 Peter der GroBe 669 n 363 Picard, E. 67 Planetenmasse 577 Platon 364, 646 f. Plutarch 437, 641, 645 Poisson, D. 162 Poissonsche Integraldarstellung 400 Poissonscher Kern 162 Poissonsches Integral 186, 187 Polarkoordinaten 182 -, Transformation auf 272, 485 f., 494 -, verallgemeinerte 491 Polarwinkel 182 polygonaler Weg 377 polygonal wegunabhangiges Integral 384 Polygonzug 242 -, achsenparalleler 244 -, einbeschriebener 350 Polynom in mehreren Veranderlichen 47 - mit variablen Koeffizienten 299 Pope, A. 657 positiv definite Matrix 308 Potential 380, 385, 427 Potentialgleichung 565 potentielle Energie 427 Potenzreihe 21, 27, 662, 687f., 693 -, formale 217 Praferenzordnung 622 -, konvexe 623, 624 -, monotone 623 -, stetige 623, 624

-, strikte 622 -, strikt konvexe 624 Preissystem 624 Preisvektor 624 Problem der Dido 577 f. Produktdarstellung von sin 1tX 190 Produktintegration 114 Produkt von Matrizen 54 Proportionenlehre 636 f., 700 Protagoras 581 punktetrennend 61 punktierte Umgebung 204 Punktprodukt 269 punktweise Konvergenz 42 Pythagoras 634f., 647, 657, 700

quadratische Form 308 quadratisch integrierbare Funktion 125 Quadratsummennorm 57 Quadratur 651 Quelle 560 Quellendichte 560 Quotientenkriterium 693

Radiusvektor 570 Rand einer Menge 219 Randpunkt 218 Randwertproblem 120 rationale Funktion von mehreren Veranderlichen 47 rationaler Punkt 442 Raum, chaotischer 210 -, diskreter 210 -, indiskreter 210 -, metrischer 206 -, normierter II -, topologischer 204 -, vollstandiger metrischer 212 -, - normierter 16 rechtsseitig differenzierbar 333 rechtsseitige Ableitung 333 Regressionsgerade 410 regulares Element 26 Reihe 20 -, absolut konvergente 21 -, konvergente 20 -, unbedingt konvergente 21 rektifizierbare Jordankurve 361 rektifizierbarer Jordanbogen 360 - Weg 350 relativ kompakte Menge 605 relative Topologie 225 - Umgebung 225 r- Flache 541 r- Flache in G 541 r-Form 531 Richtungsableitung 273 Richtungsvektor 272 Riemann, B. 118, 122, 695f. Riemannfolge 276, 335, 441 Riemann-integrierbar 277, 335, 441, 453 Riemannsche Summe 276, 335, 441, 693 Riemannscher Lokalisationssatz 136 Riemannsches Integrabilitatskriterium 446 - Integral 276[., 335, 441, 453, 696 - Netz 336, 441 Riemannsche s-Funktion 199 Riesz, F. 170 Rieszscher Darstellungssatz 170


R-Integral 277, 335, 441, 453 R-integrierbare Funktion 277, 280, 335, 441, 453 r-Kette 548 -, geradlinige 547 r-Linearform 524f. de Roberval, G. P. 650, 652 Rogers, C. A. 599 Rolle, M. 680 Rotation 515 -, Rechenregeln 515 Rotationsflache 511 rotationsfrei 516 r-Simplex, orientiertes 547 f. -, - geradliniges 545 f.

Salomo 363 Satz des Eudoxos 637 - iiber die Vertauschung der Integrationsreihen-

folge 450, 471, 584 - von Arzela 100 - - Arzehi-Ascoli 235 - - Beppo Levi 94, 583 - - Bolzano-Weierstral3 22 - - Carleson 154 - - Cavalieri 468 - - Dini 235 - - Euler fiir homogene Funktionen 266 - - Fejer 157, 159 - - Fubini 450, 583 - - Gale, Nikaido und Debreu 631 - - Heine-Borel 37, 698 - - Lebesgue 96, 97, 583 - - Liouville 406 - - Morera 403 - - Peano 69, 72, 75, 78, 617 - - Picard-Lindeliif 67,75,78 - - Pythagoras 132 - - Riemann-Lebesgue 132 - - Schwarz 251 - - Stone-Weierstral3 61, 63 f., 234, 599 - - Taylor fUr reellwertige Funktionen einer

vektoriellen Veranderlichen 282 - - Tonelli 587 - - Weierstral3 iiber trigonometrische Appro-

ximation 66, 159 Sauerstoffverbrauch 253 Schauder, J. P. 606 Schauderscher Fixpunktsatz, erster 606 - -, zweiter 608 Schneeball 511 Schnitt 700 Schopenhauer, A. 701 Schraubenlinie 355 f. Schwarzsche Ungleichung 128, 460 Schwerpunkt 493 schwingende Saite 118f., 174ff., 253, 686 f., 692 Schwingungen, gedampfte 179 ff. Senke 560 senkrechte Vektoren 270 Separationsansatz 119 separierter topologischer Raum 212 cr-additiv 590 Sinusreihe 126 Skalar II Skalarfeld 380 -, differenzierbares 380 -, stetiges 380 Skalarkorper II


Snell, W. 647 Sonnenmasse 576 Spaltensummennorm 57 Spurtopologie 225 Stammfunktion 380, 396, 417 Standarddarstellung einer alternierenden

r-Linearform 527 - - r-Form 532 stationiire Temperaturverteilung 562 sternformige Menge 245, 386 Sternkurve 366 Sternmittelpunkt 386 stetig differenzierbare Funktion 262, 332 stetige Abbildung 31, 230 - Differentialform 533 Stetigkeit der Metrik 217 Stetigkeitsbegriff 689 f., 691, 697 Stevin, S. 651 Stokes, G. G. 512 Stokesscher Integralsatz 512 f., 557 - Satz fiir r-Ketten 555 Stone, M. H. 59 Struik, D. J. 634 stiickweise beschriinkt differenzierbare Funktion

140 - glatter Bogen 365 - - Weg 365 . - Lipschitz-stetige Funktion 144 - monotone Funktion 140 - stetig differenzierbare Funktion 141 - - differenzierbarer Weg 355 - stetige Funktion 140 Substitutionsfunktion 516 Substitutionsregel 114, 478 Summe von Bogen 241 - - Korrespondenzen 611 - - Teilmengen eines Vektorraumes 611 - - Wegen 241 Superposition 122 Supremumsnorm 11, 39 symmetrische Matrix 308

Tangentenkonstruktion 652 ff., 660 Tangentenproblem 647, 652 -, inverses 674 Tangentialvektor 355 Tartaglia, N. 647 Tauschwirtschaft, reine 624 Tautochrone 568 Taylor, B. 688 Taylorformel erster Oidnung fUr die Ableitung

285 - zweiter Ordnung fUr vektorwertige Funktionen

einer vektoriellen Veriinderlichen 284 Taylorsche Reihe 688 Taylorscher Satz fUr reellwertige Funktionen einer

vektoriellen Veriinderlichen 282 - - mit Integralrestglied fUr reelle Funktionen

285 TeiIintervall einer Zerlegung 439 Teilpunkt einer Zerlegung 439 Temperaturverteilung 182 ff. Theophilos 645 Tonelli, L. 587 Topologie 204 -, chaotische 210 -, diskrete 210 -, erzeugte 225

-, indiskrete 210 -, induzierte 225 .-, metrische 206 -, natiirliche 205 -, relative 225 -, separierte 212 - der gleichmiiBigen Konvergenz auf allen kom-

pakten Teilmengen von X 208 - - gleichmiiBigen Konvergenz auf X 208 - - komponentenweisen Konvergenz 207 - - punktweisen Konvergenz auf X 209 topologischer Raum 204 - -, unzusammenhiingender 236, 239 - -, zusammenhiingender 236, 239 Torricelli, E. 65lf. totale Menge von Linearformen 343 Transformationssatz 544 Transformierte einer Differentialform 537 Transposition 544 Treppenfunktion 84, 447, 581 triangulum characteristicum 654, 673 trigonometrische Reihe 121, 687, 692, 694 f. trigonometrisches Polynom 65 Tschebyscheffsche Ungleichung 452 T-Transformierte 537

Oberdeckungssatz von Heine-Borel 37, 698 OberschuBnachfrage 629 OberschuBnachfragekorrespondenz 629 Ulam, S. 634 Umgebung 203 f., 206 -,offene 220, 246, 609 -, punktierte 204 -, relative 225 Umgebungsaxiome 203, 204 Umgebungsbasis 205 Umgebungsfilter 203, 204 Umkehrsatz 300 Umordnung, gerade (ungerade) 545 unbestimmtes Integral 110 f. unendliches Produkt 190, 194 unendlich kleine GroBe 648, 676f., 687 Unteralgebra einer normierten Algebra 28 Unterdeterminante 310 Unterraum 224, 226 - eines normierten Raumes 28 Untersumme 443 unvergleichbar kleine GroBe 676f. unzusammenhiingend 236, 239

Valerio, L. 651 Variable 696 f. Variationsnorm 12 Variationsrechnung 421 Varignon, P. 676 Vektorfeld 380 -, differenzierbares 380 -, stetiges 380 Vektorprodukt (Kreuzprodukt) 500f. Verbindungsstrecke 242 Verfeinerung einer Zerlegung 440 Vieta, F. 655 vollstiindiger metrischer Raum 212 - normierter Raum 16 Vollstiindigkeitssatz 165, 167, 170 Vollstiindigkeit von R 690 f., 693 f., 698 Voltaire 577, 658, 669, 680 Volterra, V. 82

Volterrasche Integralgleichung 82 Volterrascher Integraloperator 82 Volumen 453

Wallis, J. 651, 655, 662 Wallissches Produkt 194 van der Waals, J. D. 254 van der Waalssche Gleichung 254 Walras, L. 628 Walrasgleichgewicht 630 Walrassches Gesetz 628 f. Walter, J. 73 Warmeflufl 561 Warmeleitfahigkeit 561 Warmeleitung 561 f., 692 warmesuchende Korper 436 Weber, H. 700 Weg 241, 349, 356 -, differenzierbarer 353 -, geschlossener 384 -, glatter 365 -, inverser 241, 360 -, orientierter 241 -, polygonaler 377 -, rektifizierbarer 350 -, stiickweise glatter 365 -, stiickweise stetig differenzierbarer 355 -, umgekehrt durchlaufener 241 Wegintegral 369, 391, 496 - im Komplexen 393 Weglange 350, 354ff. Weglangenfunktion 352 Wegnahmesatz 637 wegunabhangiges Integral 382, 395 Weierstrafl, K. 59, 690, 696f., 698


Weierstraflscher Approximationssatz 63, 66, 160 - Doppelreihensatz 406 f. Wettbewerbsgleichgewicht 630, 632 Wettbewerbspreissystem 630 Widerstand 253 f. Winkelfunktionen, Definition der 364 Winkelgeschwindigkeit 434 Wirkungsintegral 432 Wirkungsverlauf von Medikamenten 318 Wiirfel, kompakter 462 Wurzelkriterium 21, 693

X-abgeschlossen 226 X-offen 226 X-Umgebung 225

Zeilensummennorm 56 Zemanek, J. 59 Zenon 640 Zentralkraft 570 Zentripetalbeschleunigung 435 Zentripetalkraft 434 Zerlegung eines Intervalls 439 Zerlegungsnullfolge 441 Zerlegungssatz 238, 475 zusammenhangend 236, 239 Zustandsgleichung von Gasen 254 zweiter Hauptsatz der Differential- und Integral-

rechnung 654f., 661, 693 Zwischenpunkt einer Zerlegung 440 Zwischenvektor einer Zerlegung 440 Zwischenwertsatz 237 Zykloide 356 Zykloidenpendel 568 Zylinderkoordinaten 488, 494 -, Transformation auf 488 f., 494

Mathematische Leitfaden

Herausgegeben von Prof. Dr. Dr. h.c. mult. G. Kothe t. Prof. Dr. K.-O. Bierstedt, Universitat-Gesamthochschule Paderborn, und Prof. Dr. G. Trautmann, Universitat Kaiserslautern

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Dieses Buch mbchte nicht nur ein theoreti -sches Gerust aufbauen (Lbsungsmetho-den, Existenz-, Eindeutigkeits- und Abhangigkeitssatze, Reihenentwicklun-gen, Eigenwert- und Stabilitatstheorie usw.), sondern auch eine Brucke zu den Anwendungen schlagen. Es ubt deshalb neben dem Lbsen auch das Aufstellen von Differentialgleichungen ein und zeigt detailliert , wie besonders wichtige Diffe-rentialgleichungen und Differentialglei-chungstypen aus konkreten naturwissen-schaftlichen Fragestellungen herauswach-sen und dann urngekehrt wieder helfen, die allerverschiedensten Probleme befrie-digend zu klaren. Dieses Ineinandergreifen von Theorie und Praxis wird an zahlreichen Beispielen und Aufgaben (mit Lbsungen) aus den Ingenieurwissenschaften, der Mechanik, Physik, Chemie, Biologie, Medizin und Wirtschaftswissenschaft sachlich verdeutlicht und historisch beleuchtet.

Von Prof. Dr. Harro Heuser, Universitat Karlsruhe

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(Mathematische Leitfaden)

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Losungen ausgewahlter Aufgaben978-3-322-94097... · 2017. 8. 29. · 704 Losungen ausgewahlter Aufgaben der Norm von B(X, F), also beziiglich der Supremumsnorm, gegen AEB(X, F). Das