M 10.1

©Carina Mittermayer (2010)

In einem Kreis mit Radius gilt für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel :

Länge des Kreisbogens Fläche des Kreissektors

Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis ( ):

Umrechnungsformeln:

Besondere Werte:

Gradmaß

Bogenmaß

Kreissektoren und Bogenmaß

M 10.2

©Carina Mittermayer (2010)

Ist der Radius einer Kugel, so gilt:

Volumen:

Oberfläche:

Kugel

M 10.3

©Carina Mittermayer (2010)

Für beliebige Winkel gibt

der Sinus die -Koordinate:

der Kosinus die -Koordinate:

eines Punktes an, der unter auf dem Einheitskreis liegt.

Die Sinuswerte (bzw. Kosinuswerte ) haben für den spitzen Winkel sowie für die Winkel und denselben Betrag. Die Vorzeichen liefern die Quadranten:

Alle anderen Winkel lassen sich durch Addition und Subtraktion von Vielfachen von auf einen Winkel zwischen und zurückführen.

am Einheitskreis

am Einheitskreis

Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

M 10.4

©Carina Mittermayer (2010)

Eigenschaften:

Sinusfunktion Kosinusfunktion

periodisch mit der Periode

periodisch mit der Periode

Definitionsmenge

Wertemenge

punktsymmetrisch zum Ursprung achsensymmetrisch zur -Achse

Sinus- & Kosinusfunktion

im Gradmaß im Bogenmaß

M 10.5

©Carina Mittermayer (2010)

Durch die allgemeine Sinusfunktion lassen sich

beliebige sinusförmige Graphen beschreiben:

: Streckung/Stauchung in -Richtung (Amplitude)

b: Streckung/Stauchung in -Richtung

c: Verschiebung in -Richtung

d: Verschiebung in -Richtung

: Doppelter Ausschlag nach oben ( )

: Doppelte Periode ( )

: Verschiebung um

nach links

: Verschiebung um nach unten

Die allgemeine Sinusfunktion

M 10.6

©Carina Mittermayer (2010)

Lineares Wachstum Exponentielles Wachstum

Konstanter Zuwachs pro Zeiteinheit Konstanter Wachstumsfaktor in gleichen

(Zeit-) Schritten

Nimmt die Größe um zu, so wächst die Größe stets um einen festen Summanden .

Nimmt die Größe um zu, so wächst die Größe stets um einen festen Faktor .

Lineares und exponentielles Wachstum

M 10.7

©Carina Mittermayer (2010)

Funktionen der Form ( , , , ) heißen

Exponentialfunktionen. Die Konstante gibt den Wachstumsfaktor an. Die

Konstante gibt den Anfangswert der Funktion für an, also ist .

Spiegelt man den Graphen von an der -Achse,

so erhält man den Graphen von

und umgekehrt.

Exponentialfunktion

Für steigt der Graph Wachstum

Ist , so wird der Graph in -Richtung mit dem

Faktor gestreckt ) bzw. gestaucht (|b| ).

Ist , so wird der gestreckte/gestauchte Graph

zusätzlich an der -Achse gespiegelt.

Für fällt der Graph negatives Wachstum

Der Graph verläuft durch den Punkt .

Die -Achse ist Asymptote.

M 10.8

©Carina Mittermayer (2010)

Die eindeutige Lösung der (Exponential-)Gleichung (für , ,

) bezeichnet man als Logarithmus von zur Basis und schreibt

:

„Logarithmus“ ist ein Name für „Exponent zu einer bestimmten Basis“:

Rechenregeln:

(Produktregel)

(Quotientenregel)

(Potenzregel)

(Wechsel der Basis)

Logarithmus

M 10.9

©Carina Mittermayer (2010)

Bei einer Exponentialgleichung tritt die Unbekannte im Exponenten auf.

Es gibt verschiedene Arten von Exponentialgleichungen, für die es

unterschiedliche Lösungsstrategien gibt:

Logarithmieren Substitution Grafisch

Exponentialgleichungen, die in die Form gebracht werden können, löst man durch Logarithmieren:

Substitution: (

Lösung der quadratischen Gleichung und Resubstitution liefert das Ergebnis:

Exponentialgleichungen in denen die Unbekannte im Exponenten und in der Basis auftreten sind rechnerisch unlösbar.

Eine näherungsweise Lösung bietet das Zeichnen in einem Koordinatensystem:

Exponentialgleichungen

M 10.10

©Carina Mittermayer (2010)

Statistische Angaben über zwei Merkmale mit jeweils zwei

Merkmalsausprägungen stellt man üblicherweise in einer sog. Vierfeldertafel dar.

Diese kann Anzahlen oder auch Wahrscheinlichkeiten enthalten. Die

Wahrscheinlichkeiten findet man auch im zugehörigen Baumdiagramm.

Vierfeldertafel

1. Merkmal

( ) 2. Merkmal

( )

M 10.11

©Carina Mittermayer (2010)

ist die Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung, dass

eingetreten ist. Die möglichen Ergebnisse sind nur noch die Ergebnisse von .

Die günstigen Ergebnisse sind die Ergebnisse von , bei denen zusätzlich

eintritt.

1. Baumdiagramm 2. Baumdiagramm

Berechnung:

Bedingte Wahrscheinlichkeit

1. Merkmal ( ) 2. Merkmal ( ) 1. Merkmal ( ) 2. Merkmal ( )

M 10.12

©Carina Mittermayer (2010)

Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion im Unendlichen:

höchster vorkommende Exponent (hier )

gerade ungerade

Leitkoeffizient (hier )

„von links oben nach

rechts oben“ „von links unten nach

rechts oben“

„von links unten nach

rechts unten“ „von links oben

nach rechts unten“

Ganzrationale Funktionen

Polynom

ganzrationale Funktion

Grad Potenzfunktionen Koeffizienten

M 10.13

©Carina Mittermayer (2010)

Polynomdivision

M 10.14

©Carina Mittermayer (2010)

Eine ganzrationale Funktion -ten Grades hat höchstens Nullstellen.

Bestimmung der Nullstellen der Funktion

Faktorisierte Form: (doppelte Nullstelle bei )

Tritt in der vollständig faktorisierten Form eine Nullstelle

ungeradzahlig oft auf, wechselt bei das Vorzeichen,

geradzahlig oft auf, wechselt bei das Vorzeichen nicht.

Nullstellen einer ganzrationalen Funktion

Restliche Nullstellen durch Mitternachtsformel (bzw. Vieta) bestimmen

Schreibe Funktion als Produkt mit Restpolynom

Errate Nullstelle durch systematisches

Probieren (NST Teiler von )

Polynomdivision

falls Grad des Restpolynoms

M 10.15

©Carina Mittermayer (2010)

Achsensymmetrie zur -Achse Punktsymmetrie zum Ursprung

Gleich weit vom Nullpunkt entferte -Werte besitzen stets denselben Funktionswert.

Gleich weit vom Nullpunkt entfernte -Werte besitzen stets den betragmäßig

gleichen Funktionswert mit unterschiedlichem Vorzeichen.

Symmetrie von Funktionsgraphen

M 10.16

©Carina Mittermayer (2010)

Name Term Beispiel Graph

1 Lineare

Funktionen

2 Quadratische Funktionen

3 Ganzrationale

Funktionen

4 Gebrochen rationale

Funktionen

5 Exponential-funktionen

6 Winkel-

funktionen

Grundfunktionen

M 10.17

©Carina Mittermayer (2010)

Konvergenz Divergenz

Kommen die Funktionswerte einer Funktion für beliebig groß werdende -Werte einer Zahl beliebig nahe, so

nennt man den Grenzwert der Funktion für gegen unendlich ( ).

Die Gerade mit der Gleichung ist dann waagrechte Asymptote von

Funktionen, die keinen Grenzwert für bzw. besitzen,

bezeichnet man als divergent.

Verhalten im Unendlichen

M 10.18

©Carina Mittermayer (2010)

Ganzrationale Funktionen

und

Gebrochen rationale Funktionen

jedes Glied des Zählers und Nenners durch die höchste Nennerpotenz dividieren:

=

Strategien zum Untersuchen des Verhaltens im Unendlichen

vgl. 10.12

geht gegen

geht gegen größte Nennerpotenz

M 10.19

©Carina Mittermayer (2010)

Verschiebung von Funktionsgraphen

: Streckung/Stauchung in -Richtung

b: Streckung/Stauchung in -Richtung

Strecken (Stauchen) von Funktionsgraphen

c: Verschiebung in -Richtung

d: Verschiebung in -Richtung

Spiegelung an der -Achse

ist der an der -Achse gespiegelte Graph von

Spiegelung an der -Achse

ist der an der -Achse gespiegelte Graph von

Verschieben, Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen