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Märkte und PreiseMengenpolitik im Monopol
Harald Wiese
UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University
WS 2013
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 1 / 44
Gliederung der Vorlesung
Einführung
Spieltheorie
Ein wenig Mathematik
Preispolitik im Monopol
Preiswettbewerb und Kostenwettbewerb
Mengenpolitik im MonopolMengenwettbewerb und Kostenwettbewerb
Innovationswettbewerb
Varianten-, Standort- und Qualitätswettbewerb
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 2 / 44
Überblick �Mengenpolitik im Monopol�
Die inverse Nachfragefunktion
Das lineare Modell
Nochmals: Preiselastizität der Nachfrage
Der Grenzerlös
Der Gewinn
Mengenpolitik bei einheitlichem Preis
Monopolmacht und Monopolgewinn
Preisdiskriminierung ersten Grades
Preisdiskriminierung dritten Grades
Wohlfahrt
Mengen- und Gewinnsteuern
Unternehmenspolitische Schlussfolgerungen
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 3 / 44
Die inverse NachfragefunktionHerleitung I
p
X
p
X
( )Xp
( )pX
Nachfragefunktion
Inverse Nachfragefunktion
Nachfragefunktion X (p)Die abgesetzte Menge hängt vom Preis ab.Inverse Nachfragefunktion p (X )p (X ) ist Preis, bei dem die Menge X abgesetzt werden kann
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 4 / 44
Die inverse NachfragefunktionHerleitung II
ProblemBestimmen Sie die inverse Nachfragefunktion für X (p) = 100� 2p.
ProblemBestätigen Sie, dass der Durchschnittserlös gleich dem Preis ist (derErlös ist R (X ) = p (X )X).
ProblemWie nennt man p (0) , wie X (0)?
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 5 / 44
Das lineare Modelleine Aufgabe
ProblemNehmen Sie die lineare inverse Nachfragefunktion p (X ) = a� bX ,a, b > 0, an und bestimmen Sie
1 die Steigung der inversen Nachfragekurve2 die Steigung des Grenzerlöses dR (X ) /dX3 die Sättigungsmenge und4 den Prohibitivpreis
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 6 / 44
Das lineare Modelldie Lösung
1 dp/dX = �b2 Erlös: R (X )= p (X )X = aX � bX 2Grenzerlös: dR (X ) /dX= a� 2bX .Steigung: �2b
3 Sättigungsmenge: a/b4 a ist der Prohibitivpreis
X
p
a
ba
( )Xp
1b
MR1
b2
ba2
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 7 / 44
Nochmals: Preiselastizität der Nachfrage
X
p
p∆
p∆
p∆
Nachfrage reagiert überhaupt nicht
Nachfrage reagiert bedingt
Nachfrage wird beliebig hoch
εX ,p =dXXdpp
=dXdppX
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 8 / 44
Nochmals: Preiselastizität der Nachfrage
ProblemBerechnen Sie die Preiselastizität der Nachfrage für die lineareNachfragefunktion p (X ) = a� bX! Bei welchem Preis und beiwelcher Menge ist die Elastizität gleich �1? Bei welchem Preisbeträgt sie null?
Unelastische Nachfrage
jεX ,p j < 1
Elastische NachfragejεX ,p j > 1
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Nochmals: Preiselastizität der Nachfrage
X
p
elastischerBereich
unelastischerBereich
b
a
b
a
2
2a
a
0=pX ,ε
∞=pX,ε
1=pX ,ε
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 10 / 44
Nachfragefunktion und ErlösDie Amoroso-Robinson-Relation
lautet bei inverser Nachfragefunktion
MR = p�1+
1εX ,p
�= p
�1� 1
jεX ,p j
�.
ProblemLeiten Sie die obige Amoroso-Robinson-Relation, dieses Mal durchAusklammern von p, her!
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 11 / 44
Nachfragefunktion und Erlös
p
MR
R
X
a
2a
b
a
2 b
a
1=pX,ε
( )Xp
Wenn die Elastizität betragsmäßig 1 ist, folgt auf eine einprozentigeErhöhung der Ausbringungsmenge eine einprozentige Reduzierung deserzielbaren Preises. Der Erlös ändert sich dann nicht.
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 12 / 44
Der Grenzerlös I
MR := dRdX ist aus zwei Teilen zusammengesetzt:
Zum einen erfährt der Monopolist eine Erlössteigerung aus demAngebot einer zusätzlichen Einheit um den Preis dieser Einheit(p > 0).Zum anderen muss er eine Erlöseinbuße in Kauf nehmen, weil dieAbnehmer �bei negativ geneigter Marktnachfrage �nicht bereitsind, das erhöhte Angebot zum alten Preis abzunehmen.Erlöseinbuße = Produkt von
Preisabschlag für die Absatzerhöhung dpdX und
Zahl der bisher verkauften Einheiten X
Also: Grenzerlös ist
MR = p+ XdpdX.
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Der Grenzerlös II
Grenzerlös und Elastizität (Amoroso-Robinson-Relation)
MR =dRdX
= p+ XdpdX
(Produktregel)
= p�1+
1εX ,p
�= p
�1� 1
jεX ,p j
�> 0 für jεX ,p j > 1.
Grenzerlös gleich Preis MR = p+ X � dpdX = p beidpdX = 0 horizontale (inverse) Nachfrage: MR = p + X �
dpdX=0= p
erste �kleine� Einheit, X = 0: MR = p + X=0� dpdX = p =
R (X )X
Preisdiskriminierung ersten Grades, MR = p + X=0� dpdX
� > siehe untenHarald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 14 / 44
Der Gewinn
De�nitionBei X � 0 und der inversen Nachfragefunktion p ist
Π(X )| {z }Gewinn
:= R(X )| {z }Erlös
� C(X )| {z }Kosten
= p (X )X � C (X )
der Monopolgewinn in Abhängigkeit von der Menge.
Linearer Fall:
Π(X ) = (a� bX )X � cX , X � ab,
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 15 / 44
Der GewinnDurchschnitts- und Grenzde�nition
Gewinn bei X̄ :
Π (X̄ )= p(X̄ )X̄ � C (X̄ )= [p(X̄ )� AC (X̄ )] X̄
=
X̄Z0
[MR (X )�MC (X )] dX
�F (gegebenenfalls)
C
D
E
A
X
p
c
a
( )XpMR
B
X
( )Xp
MCAC
F
G
H
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 16 / 44
Mengenpolitik bei einheitlichem Preis
Gegeben:
Inverse Preis-Absatz-Funktion des Monopolisten: p = p(X )Gesamtkosten: C (X )
Gewinn Π des Monopolisten:
Π(X ) = R(X )� C(X )= p(X )X � C(X ).
Notwendige Bedingung für das Gewinnmaximum:
dΠdX
=dRdX
� dCdX
!= 0
bzw.MR
!= MC
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 17 / 44
Mengenpolitik bei einheitlichem Preis
X
p
Nachfrage
MX
Mp
MR
MCAC
CournotPunkt
ProblemInverse Nachfragefunktion p (X ) = 27� X 2. Erlösmaximaler undgewinnmaximaler Preis für MC = 15?
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 18 / 44
Kluger Kopf:Antoine Augustin Cournot
Antoine Augustin Cournot(1801-1877) war ein französischerPhilosoph, Mathematiker undÖkonom.
In seinem Hauptwerk �Recherchessur les principes mathématiques dela théorie des richesses�, 1838,präsentiert Cournot wesentlicheElemente der Monopoltheorie(dieses Kapitel) und derOligopoltheorie (nächstes Kapitel).
Er�nder des Nash-Gleichgewichts
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 19 / 44
Mengenpolitik bei einheitlichem Preislineares Modell
M
B
D
E
FA
PCX X
Mp
p
c
a
( )XpMR
∞=pX ,ε
1, =pXε
0, =pXε
MX X
( )Xp
p
ca
ACMC =
MR
XM = XM (c, a, b) =
(12(a�c)b , c � a
0, c > a
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 20 / 44
Mengenpolitik bei einheitlichem Preisder maximale Gewinn
Gewinn( )MXAC
X
p
MX
Mp
MR
MCAC
Nachfrage
CournotPunkt
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 21 / 44
Mengenpolitik bei einheitlichem Preiskomparative Statik I
XM (a, b, c) = 12(a�c)b , wobei ∂XM
∂c < 0; ∂XM∂a > 0; ∂XM
∂b < 0,
pM (a, b, c) = 12 (a+ c), wobei
∂pM
∂c > 0; ∂pM
∂a > 0;∂pM
∂b = 0,
ΠM (a, b, c) = 14(a�c)2b , wobei ∂ΠM
∂c < 0; ∂ΠM
∂a > 0; ∂ΠM
∂b < 0.
Problem
Berechnen Sie ΠM (c) = 14(a�c)2b und auch dΠM
dc ! Hinweis: Siekönnen die Kettenregel verwenden!
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 22 / 44
Mengenpolitik bei einheitlichem Preiskomparative Statik I
Solution
dΠM
dc=
d�14(a�c)2b
�dc
=14b2(a� c) (�1)
= �a� c2b
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 23 / 44
Mengenpolitik bei einheitlichem PreisMaximierung Preis oder Menge
III
III IV
Π
Π
p
X
ACMC =MR
MX
Mp
( )pΠ
( )XΠ
Nachfrage
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 24 / 44
Alternative Ausdrücke für die Gewinnmaximierung
MC!= MR = p
�1� 1
jεX ,p j
�
p!=
jεX ,p jjεX ,p j � 1
MC
p�MCp
!=
1jεX ,p j
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 25 / 44
Monopolmacht und Monopolgewinn
vollkommene Konkurrenz:Die Gewinnmaximierungsregel lautet �Preis = Grenzkosten�Grund: Bei vollständiger Konkurrenz sind alle Unternehmen�klein� und haben keine Ein�uss auf den Preis. Die inverseNachfragekurve ist dann horizontal, also MR = p.
Monopol:Der optimale Preis liegt im Allgemeinen oberhalb derGrenzkosten.
De�nition (Lerner�scher Monopolgrad)p�MCp
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 26 / 44
Monopolmacht und Monopolgewinn
Lerner�scher Monopolgrad
vollständige Konkurrenz: p = MC und daher p�MCp = 0
Monopol: MC!= MR = p
�1� 1
jεX ,p j
�und daher
p�MCp
!=p�MRp
=
p� p�1� 1
jεX ,p j
�p
=1
jεX ,p j
Interpretation: Wenn die Nachfrage stark auf Preiserhöhungenreagiert, kann sich der Monopolist nur Preise nahe bei denGrenzkosten leisten.
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 27 / 44
Monopolmacht und Monopolgewinn
CournotPunkt
AC
MR
MC
( )Xp
XMX
p
Mp
p > MC aber AC�XM
�=C�XM
�XM
= pM
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 28 / 44
Preisdiskriminierung ersten Grades
Jeder Konsument zahlt entsprechend seiner Zahlungsbereitschaft:
MR = p+ X=0� dpdX
= p
Die Preissenkung infolge einer Mengenausdehnung betri¤t
nur den marginalen Konsumenten (den jeweils letztenKonsumenten),
nicht jedoch die inframarginalen Konsumenten (diejenigen mithöherer Zahlungsbereitschaft)
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 29 / 44
Preisdiskriminierung ersten GradesGrenzerlös
X
p
Nachfrage =Grenzerlös beiPreisdiskriminierung
MX
Mp
PCp
PCXGrenzerlös ohnePreisdiskriminierung
Grenzkosten
CournotPunkt
Produzentenrente
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 30 / 44
Preisdiskriminierung ersten GradesGewinnvergleich
M
B
D
E
FA
PCX X
Mp
p
c
a
( )XpMR
∞=pX ,ε
1, =pXε
0, =pXε
MX
Gewinn für nicht diskriminierenden (Cournot) Monopolisten: ABME= ABDGewinn für diskriminierenden Monopolisten: AFD
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 31 / 44
Preisdiskriminierung ersten GradesAufgabe
Ein Buchverkäufer kann ein Buch zu konstanten Grenzkosten von C= 8herstellen (keine Fixkosten), und 11 potentielle Käufer habenmaximale Zahlungsbereitschaften von C= 55, C= 50, C= 45, ... , C= 10 undC= 5. Bei einem Preis oberhalb ihrer Zahlungsbereitschaft kaufen sienicht.a) Welcher Preis maximiert den Gewinn des Buchverkäufers, fallsallen Konsumenten der gleiche Preis genannt werden muss? Wie vieleBücher werden abgesetzt? Wie hoch ist der Gewinn?b) Welche Preise wird der Buchverkäufer den Konsumenten nennen,falls er von jedem einen anderen Preis verlangen kann und dieZahlungsbereitschaften genau kennt? Wie viele Bücher werdenabgesetzt? Wie hoch ist der Gewinn?
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 32 / 44
Partielle Ableitungen
Bei einer Funktion mit mehreren Variablen, möchte man bisweilennach der einen oder anderen ableiten.Dazu hält man die übrigen Variablen konstant.Beispiel:
f (x1, x2) = x1x22
mit den partiellen Ableitungen
∂f (x1, x2)∂x1
= x22
∂f (x1, x2)∂x2
= 2x1x2
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 33 / 44
Preisdiskriminierung dritten Gradeszwei Märkte, eine Betriebsstätte I
Gewinn
Π (x1, x2) = p1 (x1) x1 + p2 (x2) x2 � C (x1 + x2) ,
Maximierungsbedingungen
∂Π (x1, x2)∂x1
= MR1 (x1)�MC (x1 + x2) != 0,
∂Π (x1, x2)∂x2
= MR2 (x2)�MC (x1 + x2) != 0.
MR1 (x1)!= MR2 (x2)
Nehmen Sie an, dass im Gegensatz zur Gleichheit MR1 < MR2gilt ...
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 34 / 44
Preisdiskriminierung dritten Gradeszwei Märkte, eine Betriebsstätte II
1x2x
1p
1MR2MR*1x*
2x
2p
*1p
*2p
Markt 1Markt 2
gesamte Absatzmenge
p
Wenn MC (x�1 + x�2 ) < MR1 (x
�1 ) = MR2 (x
�2 )
dann mehr produzieren
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 35 / 44
Preisdiskriminierung dritten Gradeszwei Märkte, eine Betriebsstätte III
MR1 (x�1 ) = MR2 (x�2 ) :
pM1
�1� 1
jε1j
�!= pM2
�1� 1
jε2j
�
jε1j > jε2j ) pM1 < pM2 .
also: inverse-Elastizitäten-Regel
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 36 / 44
Ein Markt, zwei Betriebsstätten
Gewinn
Π (x1, x2) = p (x1 + x2) (x1 + x2)� C1 (x1)� C2 (x2) .
Maximierungsbedingungen
∂Π (x1, x2)∂x1
= MR (x1 + x2)�MC1 (x1) != 0,
∂Π (x1, x2)∂x2
= MR (x1 + x2)�MC2 (x2) != 0.
MC1!= MC2
Nehmen Sie an, dass im Gegensatz zur Gleichheit MC1 < MC2gilt ...
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 37 / 44
Ein Markt, zwei Betriebsstätten
1x
p
2x
1MC
*1x*
2x
2MC
Betriebsstätte 1Betriebsstätte 2
gesamte Ausbringungsmenge
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 38 / 44
Mengen- und GewinnsteuernMengensteuer
verteuert die Produktion für jede Einheit um den Steuersatz tbewirkt eine Erhöhung der Grenzkosten MC auf MC + t
MR = a� 2bX != MC + t
) XM (t) =a�MC � t
2b) pM (t) = a� bXM (t)
=a+MC + t
2
Die Steuer wird demnach zur Hälfte überwälzt.
ProblemSkizzieren Sie!
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 39 / 44
Mengen- und GewinnsteuernGewinnsteuer I
Ein Teil des Gewinns wird an den Staat abgeführt.
Ist dieser Teil (Prozentsatz), τ , konstant, bleibt anstelle desVorsteuergewinns R (X )� C (X ) nur der Nachsteuergewinn
(1� τ) [R (X )� C (X )] .
=) keine Änderung der gewinnmaximalen Ausbringungsmenge alsFolge der Einführung einer Gewinnsteuer
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 40 / 44
Mengen- und GewinnsteuernGewinnsteuer II
( )XΠ
( ) ( )Xt Π−1
p
Mp
MX X
( )Xp
MCMR
( )XC( )XR
Mit dem Hammer auf das Gewinnmaximum schlagen ...
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 41 / 44
Unternehmenspolitische Schlussfolgerungen
1 Der Lerner�sche Monopolgrad (bzw. das Lerner-Maß) und deroptimale multiplikative Preisaufschlag des Monopolisten auf dieGrenzkosten fallen umso höher aus, je unelastischer dieMarktnachfrage ist.
2 Es ist denkbar, dass ein Monopolist über Marktmacht verfügt,jedoch keine Monopolgewinne realisieren kann.
3 Die Wettbewerbspolitik könnte sich verp�ichtet fühlen, gegenmonopolistisches Verhalten (�Missbrauch von Marktmacht�,�Kartellbildung�) vorzugehen. Das Monopolproblem besteht ausgesamtgesellschaftlicher Sicht darin, dass zu wenig produziertwird.
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 42 / 44
Weitere Übungen
Problem 1Nehmen Sie an, dass Preisdi¤erenzierung nicht möglich ist.Bestimmen Sie XM für p (X ) = 24� X und konstante Grenzkostenc = 2! Bestimmen Sie zudem XM für p (X ) = 1
X and konstanteStückkosten c!
Problem 2Auf dem ersten Teilmarkt gilt die inverse Nachfragefunktionp1 = 12� 4x1, auf dem zweiten Teilmarkt die inverseNachfragefunktion p2 = 8� 1
2x2. Die Grenzkosten betragen 4. Wiehoch sind die Preise auf den Teilmärkten? Bestätigt sich die inverseElastizitätenregel?
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 43 / 44
Weitere Übungen
Problem 3Ein Monopolist agiert auf einem Markt mit einer aggregiertenMarktnachfrage X (p) = 12� 1
2p. Die Kostenfunktion desUnternehmens sei C(X ) = X 2 + 2. Wie hoch ist der Gewinn desUnternehmers, wenn er Preisdiskriminierung ersten Grades betreibt?
Harald Wiese (UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University)Mengenpolitik im Monopol WS 2013 44 / 44