MARIN CHIRCIU - auxiliare.ro

MARIN CHIRCIU

Matematică algebră, geometrie

Clasa a XI-a

- pentru pregătirea la clasă și bacalaureat -

CUPRINS

Teste de evaluare iniţială ............................................................. 11 .... 222

ALGEBRĂCapitolul I. Elemente de calcul matriceal şi

sisteme de ecuaţii liniare ..................................... 15 1. Permutări .............................................................................................. 15 .... 222

1.1. Noţiunea de permutare, operaţii, proprietăţi ................................. 15 1.2. Produsul (compunerea) permutărilor ........................................... 15 1.3. Transpoziţii ................................................................................. 16 1.4. Inversiunile unei permutări. Semnul (signatura) unei permutări .. 16 1.5. Evaluare sumativă ....................................................................... 18

Probleme pregătitoare pentru bacalaureat ..................................... 19 .... 223 Test de autoevaluare....................................................................... 20

2. Matrice ................................................................................................... 22 .... 2232.1. Operaţii cu matrice ...................................................................... 22 2.2. Evaluare sumativă ....................................................................... 29


3. Determinanţi ...... .................................................................................... 36 .... 2253.1 Proprietăţi ale determinanţilor ...................................................... 36 3.2. Calculul determinantului de ordinul n .......................................... 37 3.3. Aplicaţii ....................................................................................... 38

3.4. Evaluare sumativă ....................................................................... 42 .... 226 Probleme pregătitoare pentru bacalaureat ..................................... 43 .... 227 Test de autoevaluare....................................................................... 49

4. Rangul unei matrice. Matrice inversabilă .............................................. 50 .... 2284.1. Etapele determinării inversei unei matrice ................................... 51 4.2. Ecuaţii matriceale ........................................................................ 52 4.3. Evaluare sumativă ....................................................................... 55 .... 229


5. Sisteme de ecuaţii liniare ...................................................................... 60 .... 2305.1. Regula lui Cramer ........................................................................ 61 5.2. Teorema lui KroneckerCapelli ................................................... 62 5.3. Teorema lui Rouché ..................................................................... 62 5.4. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare ....................................... 63 5.5. Sisteme de ecuaţii liniare omogene .............................................. 65 5.6. Metoda lui Gauss de rezolvare a sistemelor liniare ...................... 66 5.7. Evaluare sumativă ....................................................................... 71 .... 231

Enu

nţur

i

Sol

uţii


ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

Capitolul II. Limite de funcţii .................................................. 81 1. Noţiuni elementare despre mulţimi de puncte pe dreapta reală .............. 81 .... 232

1.1. Proprietăţile algebrice ale lui ................................................... 81

1.2. Proprietăţile de ordine ale lui ................................................... 81

1.3. Reprezentarea geometrică a lui ................................................ 82

2. Funcţii reale de variabilă reală .............................................................. 86 2.1. Funcţia polinomială ..................................................................... 86

2.2. Funcţia raţională .......................................................................... 86 2.3. Funcţia putere .............................................................................. 86 2.4. Funcţia exponenţială .................................................................... 86 2.5. Funcţia logaritmică ...................................................................... 87 2.6. Funcţiile trigonometrice şi inversele lor ....................................... 87

3. Limita unui şir utilizând vecinătăţi, proprietăţi. Şiruri convergente ....... 90 .... 232 3.1. Criterii suficiente de convergenţă ................................................ 90 3.2. Operaţii cu şiruri convergente ...................................................... 91 3.3. Calculul limitelor unor şiruri ....................................................... 91 3.4. Lema lui Stolz – Cesàro ............................................................... 92 3.5. Evaluare sumativă ....................................................................... 96 .... 233 Probleme pregătitoare pentru bacalaureat ..................................... 97 .... 233 4. Limite de funcţii ................................................................................... 98 .... 233

4.1. Limita unei funcţii într-un punct .................................................. 98 4.2. Limite laterale ............................................................................. 98 4.3. Operaţii cu limite de funcţii ......................................................... 99 4.4. Asimptotele graficului funcţiilor reale ......................................... 99 4.5. Calculul limitelor de funcţii ....................................................... 100

4.6. Limite remarcabile ..................................................................... 101 4.7. Evaluare sumativă ..................................................................... 106 .... 233 Test de autoevaluare..................................................................... 107

Capitolul III. Continuitate ..................................................... 108 1. Funcţii continue într-un punct ............................................................. 108

1.1. Continuitate laterală ................................................................... 108 1.2. Prelungirea prin continuitate a unei funcţii ................................ 108 1.3. Puncte de discontinuitate de speţa I şi speţa a II-a ..................... 109

2. Operaţii cu funcţii continue ................................................................. 109 .... 234 2.1. Funcţii cu proprietatea lui Darboux ........................................... 109 2.2. Inversarea funcţiilor continue .................................................... 109 2.3. Evaluare sumativă ..................................................................... 114 .... 234 Test de autoevaluare..................................................................... 115

7

Capitolul IV. Derivabilitate .................................................... 117 1. Derivata unei funcţii într-un punct ...................................................... 117 1.1. Derivate laterale ........................................................................ 117 2. Interpretarea geometrică a derivatelor laterale .................................... 117

2.1. Puncte remarcabile ale graficului unei funcţii ............................ 117 3. Operaţii cu funcţii derivabile. Derivatele unor funcţii uzuale .............. 119 .... 234

3.1. Reguli de derivare ..................................................................... 119 3.2. Derivarea funcţiilor inverse ....................................................... 120 3.3. Derivate de ordin superior ......................................................... 120 3.4. Evaluare sumativă ..................................................................... 128 .... 236 Test de autoevaluare .................................................................... 129

4. Proprietăţile funcţiilor derivabile ........................................................ 130 .... 236 4.1. Puncte de extrem. Teorema lui Fermat ...................................... 130 4.2. Teorema lui Rolle ...................................................................... 130 4.3. Teorema lui Lagrange ................................................................ 130 4.4. Teorema lui Cauchy ................................................................... 130 4.5. Teorema lui Darboux ................................................................. 131 4.6. Regula lui ’Hospital ................................................................. 131

5. Aplicaţii ale derivatelor în studiul variaţiei funcţiilor .......................... 147 5.1. Rolul primei derivate în studiul funcţiilor .................................. 147 5.2. Intervale de monotonie .............................................................. 147 5.3. Rolul derivatei a doua în studiul funcţiilor. Convexitatea şi concavitatea ...................................................................................... 147

6. Reprezentarea grafică a funcţiilor ....................................................... 148 6.1. Etapele reprezentării grafice ...................................................... 148

Probleme pregătitoare pentru bacalaureat ......................................... 151 .... 237 Test de autoevaluare ........................................................................... 155

PROBLEME RECAPITULATIVE ANALIZĂ MATEMATICĂ .............................................................. 156 ..... 239 MODELE DE TEZE SEMESTRIALE ........................................... 196 .... 268 SIMULARE BACALAUREAT ....................................................... 200 .... 270

PROBLEME PREGĂTITOARE PENTRU EXAMENUL DE BACALAUREAT. CONCURSUL DE ADMITERE ÎN ÎNVĂŢĂMÂNTUL SUPERIOR ŞI CONCURSURI ŞCOLARE ... 203 ..... 271 INDICAŢII, REZOLVĂRI, SOLUŢII ............................................. 222 Soluţii teste autoevaluare ................................................................. .... ...... 290

Bibliografie ............................................................................. 293

8

PROGRAMA ŞCOLARĂ PENTRU CLASA A XI-A MATEMATICĂ

aprobată prin Ordinul Ministrului Educaţiei şi Cercetării Nr. 3252/13.02.2006

TRUNCHI COMUN ŞI CURRICULUM DIFERENŢIAT - 4 ore

Competenţe specifice Conţinuturi 1. Identificarea unor situaţii practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic.

2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces.

3. Aplicarea algoritmilor de calcul în situaţii practice.

4. Rezolvarea unor ecuaţii şi sisteme utilizând algoritmi specifici.

5. Stabilirea unor condiţii de exis-tenţă şi/sau compatibilitate a unor sisteme şi identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora.

6. Optimizarea rezolvării unor pro-bleme sau situaţii-problemă prin alegerea unor strategii şi metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic).

Elemente de calcul matriceal şi sisteme de ecuaţii liniare

Permutări • Noţiunea de permutare, operaţii, proprietăţi. • Inversiuni, semnul unei permutări. Matrice • Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de matrice.

• Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea, înmulţirea unei matrice cu scalar, proprietăţi.

Determinanţi • Determinant de ordin n, proprietăţi. • Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi şi coliniaritatea a trei puncte în plan.

Sisteme de ecuaţii liniare

• Matrice inversabile din Mn(), n 4.

• Ecuaţii matriceale. • Sisteme liniare cu cel mult 4 necunoscute, sisteme de tip Cramer, rangul unei matrice.

• Studiul compatibilităţii şi rezolvarea sistemelor: proprietatea KronekerCapelli, proprietatea Rouché, metoda Gauss.

1. Caracterizarea unor şiruri şi func-ţii utilizând reprezentarea geo-metrică a unor cazuri particulare.

2. Interpretarea unor proprietăţi ale şirurilor şi ale altor funcţii cu aju-torul reprezentărilor grafice.

3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenţial în rezolvarea unor probleme şi modelarea unor procese.

4. Exprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăţi canti-tative şi calitative ale unei funcţii.

Elemente de analiză matematică Limite de funcţii • Noţiuni elementare despre mulţimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, veci-nătăţi, dreapta încheiată, simbolurile + şi −.

• Funcţii reale de variabilă reală: funcţia poli-nomială, funcţia raţională, funcţia putere, funcţia radical, funcţia exponenţială, funcţia logarit-mică, funcţii trigonometrice directe şi inverse.

• Limita unui şir utilizând vecinătăţi, proprie-tăţi.

• Şiruri convergente: intuitiv, comportarea valo-rilor unei funcţii cu grafic continuu când argu-mentul se apropie de o valoare dată, şiruri con-vergente: exemple semnificative:

(an)n, (na)n, ((l+l/n)n)n (fără demonstraţie),

9

Competenţe specifice Conţinuturi 5. Studierea unor funcţii din punct de vedere cantitativ şi calitativ utilizând diverse procedee: majorări, minorări pe un interval dat, proprie-tăţile algebrice şi de ordine ale mulţimii numerelor reale în studiul calitativ local, utilizarea reprezen-tării grafice a unei funcţii pentru verificarea unor rezultate şi pentru identificarea unor proprietăţi.

operaţii cu şiruri convergente, convergenţa şirurilor utilizând proprietatea Weierstrass. Numărul e; limita şirului ((l+un)

1/un)n;

un 0. • Limite de funcţii: interpretarea grafică a

limitei unei funcţii într-un punct utilizând vecinătăţi, calculul limitelor laterale.

• Calculul limitelor pentru funcţiile studiate; cazuri exceptate la calculul limitelor de funcţii: 0/0, /, − , 0·, 1, 0, 00.

• Asimptotele graficului funcţiilor studiate: asimptote verticale, oblice.

Explorarea unor proprietăţi cu caracter local şi/sau global ale unor funcţii utilizând continuitatea, derivabilitatea sau reprezentarea grafică.

Continuitate • Interpretarea grafică a continuităţii unei

funcţii, studiul continuităţii în puncte de pe dreapta reală pentru funcţiile studiate, operaţii cu funcţii continue.

• Semnul unei funcţii continue pe un interval de numere reale, proprietatea lui Darboux,

studiul existenţei soluţiilor unor ecuaţii în .

Derivabilitate • Tangenta la o curbă, derivata unei funcţii

într-un punct, funcţii derivabile, operaţii cu funcţii care admit derivată, calculul deri-vatelor de ordin I şi al II-lea pentru funcţiile studiate.

• Funcţii derivabile pe un interval: puncte de extrem ale unei funcţii, teorema lui Fermat, teorema Rolle, teorema Lagrange şi interpre-tarea lor geometrică, consecinţe ale teoremei lui Lagrange: derivata unei funcţii într-un punct.

• Regulile lui ’Hospital.

• Rolul derivatei I în studiul funcţiilor: puncte de extrem, monotonia funcţiilor.

• Rolul derivatei a II-a în studiul funcţiilor: concavitate, convexitate, puncte de inflexiune.

Reprezentarea grafică a funcţiilor • Rezolvarea grafică a ecuaţiilor, utilizarea

reprezentării grafice a funcţiilor în determi-narea numărului de soluţii ale unei ecuaţii.

• Reprezentarea grafică a funcţiilor. • Reprezentarea grafică a conicelor (cerc, elipsă,

hiperbolă, parabolă).

10

Competenţe specifice Conţinuturi NOTE:

• În introducerea noţiunilor de limită a unui şir într-un punct şi de şir convergent nu se vor introduce definiţiile cu şi nici teorema de convergenţă cu .

• Se utilizează exprimarea „proprietatea lui....”, „regula lui...”, pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în afara programei.

11

Teste de evaluare inițială

Testul 1 Pentru rezolvarea corectă a cerințelor din Partea I și din Partea a II-a se acordă 90 puncte. Din oficiu 10 puncte. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru efectiv: 50 minute. Partea I. Scrieți litera corespunzătoare răspunsului corect. (35 puncte)

5p 1. Partea întreagă a numărului 1

2 1 este egală cu:

A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 5p 2. Se consideră funcția f : , f (x) = x3 1. Valoarea (f f )(1) este

egală cu: A. 7 B. 1 C. 4 D. 2 5p 3. Mulțimea soluțiilor ecuației 32x + 2 3x 3 = 0 este: A. 0, 1 B. 1, 0 C. 0 D. Ecuația nu admite soluții. 5p 4. Valoarea maximă a funcției f : , f (x) = x2 + 5x 6, este:

A. 1 B. 1

4

C.

1

2 D.

1

4

5p 5. Domeniul maxim de definiție al funcției f : D , f (x) = 3

2log

3

x

x

,

este mulțimea: A. D = \ 3 B. D = (3, +) C. D = (, 2) (3, +)

D. D = (, 2 3, +)

5p 6. Mulțimea soluțiilor inecuației 3 22 7 1x este:

A. 2, 2 B. (, 2) (2, +)

C. (, 2 2, +) D. (2, 2)

5p 7. Se consideră funcția f : , f (x) = 10x + 1. Imaginea funcției f este

mulțimea: A. (, 1 B. (1, +) C. (, 1) D. 1, +)

Partea a II-a. La următoarele probleme se cer rezolvări complete. (55 puncte)

1. Se consideră funcția f : (0, +) , f (x) = 1 x +1

2

x

.

10p a) Studiați monotonia funcției f pe (0, +).

12

10p b) Determinați coordonatele punctului de intersecție al reprezentării grafice

a funcției f cu dreapta de ecuație y = x +3

2.

2. Într-un reper cartezian se consideră punctele A(1, 2), B(2, 2) și C(4, 6). 5p a) Determinați ecuația dreptei AB. 5p b) Determinați ecuația înălțimii duse din A în triunghiul ABC. 5p c) Calculați aria triunghiului ABC.

20p 3. Determinați m , astfel încât funcția f : , f (x) = (m2 2)x 3,

să fie strict descrescătoare.

Testul 2 Pentru rezolvarea corectă a cerințelor din Partea I și din Partea a II-a se acordă 90 puncte. Din oficiu 10 puncte. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru efectiv: 50 minute. Partea I. La următoarele probleme se cer rezolvări complete. (35 puncte)

5p 1. Calculați partea întreagă a numărului 1

3 2.

5p 2. Se consideră funcția f : , f (x) = x2 1. Calculați (f f ) (2).

5p 3. Rezolvați ecuația lg2 x 5lg x + 6 = 0. 5p 4. Determinați valoarea minimă a funcției f : , f (x) = 4x2 7x + 3.

5p 5. Precizați domeniul maxim de definiție al funcției f : D ,

f (x) = 2

1log

2

x

x

.

5p 6. Scrieți mulțimea soluțiilor inecuației 3 22 1x .

5p 7. Care este imaginea funcției f : , f (x) = 2x + 1?

Partea a II-a. La următoarele probleme se cer rezolvări complete. (55 puncte)

1. Se consideră funcția f : (0, +) , f (x) = 1 2x + 1

2

log x .

10p a) Studiați monotonia funcției f pe (0, +). 10p b) Determinați coordonatele punctului de intersecție al reprezentării grafice a

funcției f cu dreapta de ecuație y = 2x + 2. 2. Într-un reper cartezian se consideră punctele A(1, 2), B(2, 1) și C(3, 5). 5p a) Determinați ecuația dreptei AB. 5p b) Scrieți ecuația înălțimii duse din A în triunghiul ABC. 5p c) Calculați aria triunghiului ABC.

13

20p 3. Se consideră funcția f : , f (x) = (2m2 1)x + 1. Determinați

m , astfel încât funcția f să fie strict descrescătoare pe .

Testul 3 Pentru rezolvarea corectă a cerințelor din Partea I și din Partea a II-a se acordă 90 puncte. Din oficiu 10 puncte. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru efectiv: 50 minute. Partea I. La următoarele probleme se cer rezolvări complete. (35 puncte)

5p 1. Calculați partea întreagă a numărului 2

3 1.

5p 2. Se consideră funcția f : , f (x) = 2x2 3. Calculați (f f ) (2).

5p 3. Rezolvați ecuația 2lg2 x 3lg x + 1 = 0. 5p 4. Determinați valoarea minimă a funcției f : , f (x) = 5x2 8x + 4.

5p 5. Precizați domeniul maxim de definiție al funcției f : D ,

f (x) = 3

2log

3

x

x

.

5p 6. Scrieți mulțimea soluțiilor inecuației 3 23 2 1x .

5p 7. Care este imaginea funcției f : , f (x) = 3x 1?

Partea a II-a. La următoarele probleme se cer rezolvări complete. (55 puncte) 1. Se consideră funcția f : (0, +) , f (x) = 2 3x + 1

3

log x .

10p a) Studiați monotonia funcției f pe (0, +). 10p b) Determinați coordonatele punctului de intersecție al reprezentării grafice a

funcției f cu dreapta de ecuație y = 3x + 3. 2. Într-un reper cartezian se consideră punctele A(2, 3), B(3, 1) și C(5, 7). 5p a) Determinați ecuația dreptei AB. 5p b) Scrieți ecuația înălțimii duse din A în triunghiul ABC. 5p c) Calculați aria triunghiului ABC.

20p 3. Se consideră funcția f : , f (x) = (m2 3)x 2. Determinați m ,

astfel încât funcția f să fie strict crescătoare pe .

Testul 4 Pentru rezolvarea corectă a cerințelor din Partea I și din Partea a II-a se acordă 90 puncte. Din oficiu 10 puncte.

14

Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru efectiv: 50 minute. Partea I. Scrieți litera corespunzătoare răspunsului corect. (35 puncte)

5p 1. Ordonați crescător numerele: a = log51

5, b = 3

1

125, c = 5 2.

A. a b c B. b a c C. a c b D. c a b 5p 2. Se consideră funcția f : , f (x) = 4x 3. Valoarea f (f (1)) este

egală cu: A. 9 B. 19 C. 1 D. 2 5p 3. Soluția ecuației 5x+2 + 5x = 26 este:

A. 0 B. 1

2 C. 2 D. 1

5p 4. Funcția f : , f (x) = 2 x + 1:

A. este crescătoare B. este constantă C. nu este monotonă D. este strict descrescătoare 5p 5. Domeniul maxim de definiție al funcției

f : D , f (x) = 23log 1x x ,

este mulțimea:

A. D = B. D = (0, 1) C. D = (, 1) (1, +)

D. D = (1, 1)

5p 6. Numărul soluțiilor reale ale ecuației 3 3x = x este egal cu: A. 1 B. 2 C. 0 D. 3

5p 7. Imaginea funcției f : , f (x) = x2 + 1, este:

A. 1, +) B. C. 29

, 4

D.

29,

4

Partea a II-a. La următoarele probleme se cer rezolvări complete. (55 puncte) 1. Se consideră funcția f : , f (x) = 5x + 2x + 3.

10p a) Studiați monotonia funcției f pe .

10p b) Determinați coordonatele punctului de intersecție al reprezentării grafice a funcției f cu dreapta de ecuație y = 2x + 4.

2. Într-un reper cartezian se consideră punctele A(1, 1), B(2, 1) și C(3, 2). 5p a) Determinați ecuația dreptei BC. 5p b) Determinați ecuația mediatoarei segmentului BC. 5p c) Calculați aria triunghiului ABC. 20p 3. Se consideră funcția f : 2, +) 0, +), f (x) = x2 3x + 2. a) Demonstrați că funcția f este bijectivă. b) Determinați inversa funcției f.

15

Capitolul I. Elemente de calcul matriceal şi sisteme de ecuaţii liniare

1. Permutări

1.1. Noţiunea de permutare, operaţii, proprietăţi

Fie A = {1, 2, 3, …, n}. O funcţie bijectivă : A A se numeşte

permutare (substituţie) de gradul n. Se notează mulţimea tuturor permutărilor de gradul n cu Sn sau n, iar elementele din Sn le vom nota cu litere mici greceşti: , , , …, , , , , . O permutare de gradul n se reprezintă printr-un tablou de forma:

= 1 2 3 ...

(1) (2) (3) ... ( )

n

n

.

Numărul tuturor permutărilor de gradul n, adică numărul tuturor funcţii-lor bijective ale unei mulţimi cu n elemente în ea însăşi, este egal cu n!. Permutarea identică se notează cu e şi avem:

e = 1 2 3 ...

1 2 3 ...

n

n

.

1.2. Produsul (compunerea) permutărilor Fie A = {1, 2, 3, …, n}, iar şi , două permutări de gradul n, adică Sn, Sn. Permutarea , definită prin ( )(a) = ((a)), a A, se numeşte produsul (sau compunerea) permutărilor şi .

Dacă =1 2 3 ...

(1) (2) (3) ... ( )

n

n

şi =1 2 3 ...

(1) (2) (3) ... ( )

n

n

,

atunci = 1 2 3 ...

(1) (2) (3) ... ( )

n

n

.

Observaţie. Se mai scrie = ; operaţia de compunere a permutărilor se mai numeşte înmulţirea permutărilor.

Exemplu. Să considerăm permutările de gradul 3, =1 2 3

2 1 3

şi =1 2 3

3 1 2

.

16

Produsul este permutarea = 1 2 3

2 1 3

1 2 3

3 1 2

=1 2 3

3 2 1

,

iar este permutarea = 1 2 3

3 1 2

1 2 3

2 1 3

=1 2 3

1 3 2

.

Observăm că . Proprietăţile înmulţirii permutărilor 1. Înmulţirea permutărilor este asociativă, adică , , Sn, avem () = ().

2. Elementul neutru. Permutarea e =1 2 3 ...

1 2 3 ...

n

n

are proprietatea că

e = e = , Sn. 3. Orice permutare are o inversă, adică Sn, −1 Sn, astfel încât −1 = −1 = e. 4. Înmulţirea permutărilor nu este, în general, comutativă. 1.3. Transpoziţii Fie A = {1, 2, 3, …, n} şi i, j A, i j. Se numeşte transpoziţie, şi se

notează ij sau (ij), permutarea ij = (ij) = 1 2 3 ... ... ...

1 2 3 ... ... ...

i j n

j i n

.

Proprietăţi ale transpoziţiei 1. (ij) = (ji); 2. (ij) − 1 = (ij); 3. (ij) 2 = e.

Numărul tuturor transpoziţiilor de gradul n este egal cu 2nC .

1.4. Inversiunile unei permutări. Semnul (signatura) unei permutări Fie A = {1, 2, 3, …, n} şi M, submulţimea produsului cartezian A A, definită prin: M = {(i, j)1 i j n}. Dacă Sn este o permutare de gradul n, atunci o pereche ordonată (i, j) M se numeşte inversiune a permutării dacă (i) (j). Vom nota cu

m() numărul tuturor inversiunilor permutării . Avem: 0 m() 2nC .

Numărul () = (−1)m() se numeşte semnul (sau signatura) permutării .

17

Permutarea se numeşte pară dacă () = + 1, adică pentru m() par. Permutarea se numeşte impară dacă () = −1, adică pentru m() impar.

Exemplu. Fie permutarea = 1 2 3

3 1 2

.

Numărul de inversiuni al permutării este m() = 1 + 1 = 2. Semnul permutării este () = (−1) 2 = + 1, adică este permutare pară. Propoziţie. Orice transpoziţie este impară. Dacă ij = (ij), i j, atunci (ij) = − 1. Propoziţie. Dacă Sn este o permutare de gradul n, atunci semnul permutării este dat de formula:

1

( ) ( )( )

i j n

i j

i j

.

Propoziţie. Dacă şi sunt permutări de gradul n, atunci () = () (). Propoziţie. Orice permutare de gradul n, (n 2), este un produs de transpoziţii.

Exemplu. Considerăm permutarea = 1 2 3 4

3 4 1 2

şi o scriem ca produs de

transpoziţii. Avem (1) = 3; considerăm transpoziţia 13 şi facem produsul

1 = 13 · =1 2 3 4

3 2 1 4

1 2 3 4

3 4 1 2

=1 2 3 4

1 4 3 2

= 24.

Din 24 = 13 · rezultă = 1324. Consecinţe 1. Permutarea este pară dacă permutările şi au acelaşi semn. 2. Permutarea este impară dacă permutările şi au semne contrare. 3. Orice permutare pară este un produs al unui număr par de transpoziţii. 4. Orice permutare impară este un produs al unui număr impar de transpoziţii. Vom nota cu An mulţimea permutărilor pare de gradul n. 5. Dacă şi sunt permutări pare de gradul n, adică An, An, atunci

An şi −1 An. În plus, e An.

6. Numărul permutărilor pare de gradul n este !

2

n, adică An are

!

2

n elemente.

Exerciţii propuse

1. Fie permutările =1 2 3 4

3 1 4 2

, =1 2 3 4

2 3 4 1

. Calculaţi şi .

18

2. Fie permutarea =1 2 3 4

3 1 4 2

. Să se calculeze permutările: , 2, 3, …

şi să se determine cel mai mic număr natural nenul k, pentru care k = e. 3. Fie Sn. Să se arate că există un număr natural nenul p, astfel încât p = e.

4. Fie permutările =1 2 3 4

2 1 3 4

şi =1 2 3 4

1 2 4 3

. Să se arate că = .

5. Să se scrie numărul de inversiuni şi semnul fiecăreia dintre permutările: 1 2 3

3 2 1

; 1 2 3 4

2 1 4 3

; 1 2 3 4 5

3 5 4 1 2

; 1 2 3 4 5 6

2 4 1 3 6 5

.

6. Să se scrie toate transpoziţiile de gradul 3. 7. Să se scrie toate transpoziţiile de gradul 4.

8. Fie permutarea =1 2 3 4 5

5 3 4 2 1

. Să se scrie ca produs de transpoziţii.

9. Fie permutarea S2n, =1 2 3 4 ... 1 2 ... 2

1 3 5 7 ... 2 1 2 4 ... 2

n n n n

n n

.

Să se determine numărul de inversiuni ale permutării . Să se determine n, astfel încât să fie permutare pară.

10. Fie permutarea S2n, =1 2 3 ... 1 2 ... 2

2 4 6 ... 2 1 3 ... 2 1

n n n n

n n

.

Să se determine numărul de inversiuni ale permutării . Să se determine n, astfel încât să fie permutare pară.

11. Să se arate că orice permutare Sn este un produs de transpoziţii de forma (1 2); (1 3); …; (1 n).

1.5. Evaluare sumativă

Testul I

1. Fie permutările =1 2 3 4 5

5 3 1 2 4

şi =1 2 3 4 5

4 2 5 3 1

.

Să se calculeze şi . 2. Să se determine permutarea S6 care are numărul maxim de inversiuni.

3. Fie permutarea =1 2 3 4 5 6 7

2 4 3 7 6i j

. Să se determine i şi j, astfel

încât să fie: a) pară; b) impară.

19

4. Fie permutarea =1 2 3 4 5 6

6 4 2 5 3 1

. Să se scrie ca produs de

transpoziţii.

Testul II

1. Fie permutarea =1 2 3 4 5

3 2 5 1 4

.

a) Să se calculeze puterile: 1, 2, 3, …. b) Să se determine cel mai mic număr natural k 0, pentru care k = e.

2. Fie permutarea =1 2 3 4 5 6

2 6 4 1 3 5

. Să se determine:

a) numărul de inversiuni ale permutării − 1; b) signatura permutării − 1.

3. Să se scrie permutarea =1 2 3 4 5

3 4 5 2 1

ca produs de transpoziţii de

forma (1 k), unde k {2, 3, 4, 5}.

4. Fie permutarea S10, =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 3 5 7 9 2 4 6 8 10

.

Permutarea este pară sau impară?

Probleme pregătitoare pentru bacalaureat 1. Se consideră n *, mulţimea Sn a permutărilor de n elemente şi permutarea

identică 1 2 3 ...

1 2 3 ...

ne

n

.

a) Pentru n = 4 şi 1 2 3 4

3 2 4 1

S4, să se calculeze 4 .

b) Să se demonstreze că, pentru orice Sn, există p *, astfel încât p e .

c) Să se arate că, pentru n 3, există Sn, e, astfel încât n . (Bacalaureat 2008, M1, varianta 6)

2. Se consideră permutările e, S3, 1 2 3

1 2 3e

, 1 2 3

3 1 2

.

a) Să se rezolve ecuaţia 2008 x e , x S3.

20

b) Să se calculeze 3

( )S

m

, unde m() este numărul inversiunilor permutării

S3. c) Să se demonstreze că, oricare ar fi ordinea factorilor, produsul tuturor permutărilor din S3 este diferit de permutarea identică e S3.

(Bacalaureat 2008, M1, varianta 10) 3. În mulţimea S3 a permutărilor de 3 elemente se consideră permutarea

1 2 3

3 1 2

.

a) Să se verifice că permutarea este pară. b) Să se determine toate permutările x S3, astfel încât x = x. c) Pentru k fixat, să se determine toate permutările y S3, astfel încât

yk = . (Bacalaureat 2008, M1, varianta 25)

4. Se consideră permutarea S6, 1 2 3 4 5 6

2 4 5 3 6 1

.

a) Să se determine −1. b) Să se arate că permutările şi −1 au acelaşi număr de inversiuni. c) Să se arate că ecuaţia x4 = nu are soluţii în S6.

(Bacalaureat 2008, M1, varianta 52)

5. Fie permutarea 1 2 3 4 5

2 3 4 5 1

S5.

a) Să se determine mulţimea A = {nn *}.

b) Să se arate că toate elementele mulţimii A sunt permutări pare.

c) Să se găsească permutarea S5, astfel încât suma 5

1

( ) ( )k

k k

să ia

valoarea maximă. (Bacalaureat 2008, M1, varianta 80)

Test de autoevaluare I. Completaţi spațiile punctate astfel încât să obțineţi propoziții adevărate. (30 puncte)

10p 1. Produsul permutărilor 1 2 33 1 2

și 1 2 32 1 3

este permutarea .....

10p 2. Cel mai mic număr natural nenul k, pentru care k = e, unde

21

1 2 3 43 1 4 2

, este ...............

10p 3. Numărul de inversiuni al permutării 1 2 3 4 55 4 3 2 1

este ................

II. Încercuiţi răspunsul corect. (30 puncte)

10p 1. Fie permutarea 1 2 33 2 1

. Atunci 2 este:

A. 1 2 31 2 3

B. 1 2 32 1 3

C. 1 2 33 1 2

D. 1 2 33 2 1

10p 2. Inversa permutării 1 2 3 42 1 4 3

este:

A. 1 2 3 44 3 2 1

B.1 2 3 43 4 1 2

C. 1 2 3 44 1 2 3

D. 1 2 3 42 1 4 3

10p 3. Fie 1 2 33 2 1

și 1 2 32 1 3

. Soluția ecuației x = este:

A. 1 2 33 1 2

B. 1 2 32 3 1

C. 1 2 33 2 1

D. 1 2 32 1 3

III. Scrieţi rezolvările complete. (30 puncte)

10p 1. Fie permutarea 1 2 3 4 5 6 7 82 4 3 7 6 8i j

. Determinați i și j, astfel

încât permutarea să fie: a) pară; b) impară.

10p 2. Fie permutarea 12 ... 1 2 ... 224 ... 2 1 3 ... 2 1

n n n nn n

. Determinați

numărul natural n, astfel încât permutarea să fie impară.

10p 3. Fie permutarea 1 2 3 4 55 4 3 2 1

. Scrieți permutarea ca produs de

transpoziții.

22

2. Matrice

Fie , mulţimea numerelor complexe, M = {1, 2, …, m}, mulţimea

primelor m numere naturale nenule, şi N = {1, 2, …, n}, mulţimea primelor n numere naturale nenule. Vom numi matrice de tipul (m, n) o funcţie A : M N .

Dacă notăm A(i, j) = ija , i M, j N, vom scrie:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

sub forma unui tablou cu m linii şi n coloane ce cuprinde valorile funcţiei A. Vom nota cu , ( )m n M mulţimea tuturor matricelor de tipul (m, n) având

elemente din mulţimea a numerelor complexe.

Dacă m = n, se notează ( )n M mulţimea matricelor pătratice de ordinul

n. În acest caz, sistemul ordonat de elemente ( 11a , 22a , …, nna ) se numeşte diagonala principală a matricei pătratice A, iar sistemul ordonat de elemente ( 1na , 2; 1na , …, 1na ) se numeşte diagonala secundară a matricei pătratice A.

Suma elementelor de pe diagonala principală a unei matrice pătrate A se numeşte urma matricei A şi se notează Tr(A), adică Tr(A) = 11a + 22a + … + nna . Proprietăţi ale urmei matricei Fie A,B , ( )m n M . Au loc egalităţile:

a) Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B);

b) Tr(A) = Tr(A); c) Tr(AB) = Tr(BA).

2.1. Operaţii cu matrice 1) Adunarea matricelor Fie A şi B, două matrice de acelaşi tip, A,B , ( )m n M , A = ( ija ),

B = ( ijb ), unde 1 i m, 1 j n. Definim matricea C = ( ijc ), cu ijc = ija + ijb ,

1,i n , 1,j n , ca fiind suma dintre matricele A şi B; scriem C = A + B.

23

Exemplu. Fie A,B 3,2 ( )M , 1 1

0 1 2

iA

, 2 0 1

3 2 4B

.

Avem A + B =1 ( 2) 0 1 1

0 3 1 2 2 ( 4)

i

= 1 0

3 1 2

i

.

Proprietăţile adunării matricelor 1°) Adunarea matricelor este comutativă, adică oricare ar fi A,B , ( )m n M ,

avem A + B = B + A. 2°) Adunarea matricelor este asociativă, adică oricare ar fi A,B,C , ( )m n M ,

avem (A + B) + C = A + (B + C). 3°) Element neutru. Matricea 0m,n , ( )m n M , cu toate elementele egale

cu zero, este element neutru pentru adunarea matricelor, adică oricare ar fi A , ( )m n M , avem A + 0m,n = 0m,n + A = A.

4°) Orice matrice are un opus, adică oricare ar fi A , ( )m n M , există

matricea notată – A, astfel încât A + (− A) = (− A) + A = 0m,n. Matricea − A = (− ija ), dacă A = ( ija ).

2) Înmulţirea matricelor Fie A = ( ija ), o matrice de tipul (m, n), şi B = ( jkb ), o matrice de tipul (n, p).

Definim matricea C = ( ikc ), de tipul (m, p), unde

1 1 2 21

...n

ik i k i k in nk ij jkj

c a b a b a b a b

.

Matricea C se numeşte produsul dintre matricele A şi B şi se notează C = AB.

Exemplu. Fie A =1 1 2

0 3 4

, B =

1 3

0 1

1 0

.

Deoarece A este o matrice de tipul (2, 3) şi B o matrice de tipul (3, 2),

are sens produsul AB şi obţinem: AB =1 1 2

0 3 4

·

1 3

0 1

1 0

=

=( 1) 1 1 0 ( 2) ( 1) ( 1) ( 3) 1 1 ( 2) 0

0 1 3 0 ( 4) ( 1) 0 ( 3) 3 1 ( 4) 0

1 4

4 3

.

24

Proprietăţile înmulţirii matricelor 1°) Înmulţirea matricelor este asociativă: (AB) C = A (BC), unde A , ( )m n M ,

B , ( )n p M , C , ( )p q M .

2°) Înmulţirea matricelor este distributivă faţă de adunare: la stânga: A(B + C) = AB + AC, unde A , ( )m n M , B,C , ( )n p M .

la dreapta: (A + B) C = AC + BC, unde A,B , ( )m n M , C , ( )n p M .

3°) În mulţimea ( )n M există un element neutru faţă de înmulţire. Matricea

pătratică de ordinul n,

1 0 0 ... 0

0 1 0 ... 0

... ... ... ... ...

0 0 0 ... 1

nI

, care are pe diagonala principală

elementele 1, iar restul elementelor sunt 0, are proprietatea că, oricare ar fi A ( )n M , avem:

n nA I I A A .

Observaţie. Dacă A, B ( )n M , are sens să facem produsul AB şi produsul BA.

În general, AB BA.

Exemplu. A =1 2

3 4

, B =4 3

2 1

.

AB =1 2

3 4

·4 3

2 1

=8 5

20 13

. BA =4 3

2 1

·1 2

3 4

=13 20

5 8

.

Ridicarea la putere a unei matrice pătratice este o înmulţire repetată

de ori A

...n

n

A A A A , unde A ( )n M , n *.

Exemplu. Fie A =1 0

1 1

2( )M . Să determinăm A n, n 1. Avem:

A 2 = A · A =1 0

1 1

·1 0

1 1

=1 0

2 1

;

A 3 = A 2 · A =1 0

2 1

·1 0

1 1

=1 0

3 1

.

Prin inducţie matematică se arată că A n =1 0

1n

, n 1.

25

3) Înmulţirea cu scalari a matricelor

Fie A = ( ija ), o matrice de tipul (m, n), şi , un număr complex. Definim

matricea B = ( ijb ) de tipul (m, n) prin ijb = · ija , 1,i m , 1,j n .

Matricea B se numeşte produsul dintre numărul complex (sau scalarul ) şi matricea A. Se notează B = · A.

Exemplu. Fie matricea A =1 1 2

3 4 i

, de tipul (2, 3), şi scalarul = 2.

Avem · A = A = 2 · 1 1 2

3 4 i

=2 2 4

6 8 2i

.

Proprietăţile înmulţirii cu scalari a matricelor 1°) 1 · A = A, unde A , ( )m n M .

2°) (a + b)A = aA + bA, unde A , ( )m n M , a, b .

3°) (ab)A = a(bA), unde A , ( )m n M , a, b .

4°) (A + B) = A + B, unde A, B , ( )m n M , .

5°) (AB) = (A)B = A(B), unde A , ( )m n M , B , ( )n p M , . Transpusa unei matrice Fie A = ( ija ), o matrice de tipul (m, n).

Matricea ( )t tijA a de tipul (n, m) se obţine din matricea A, trecând

liniile în coloane şi coloanele în linii.

Exemplu. Fie matricea A =1 2 3

4 3 i

, de tipul (2, 3).

Matricea transpusă este de tipul (3, 2) şi

1 4

2 3

3

tA

i

.

Proprietăţi ale transpusei unei matrice

1°) ( )t t tA B A B , unde A, B , ( )m n M .

2°) ( )t t tAB B A , unde A , ( )m n M , B , ( )n p M .

3°) ( )t tA A , unde A , ( )m n M , .

4°) ttA A , unde A , ( )m n M .

26

Rezultate importante 1. Dacă A, B ( )n M şi AB = BA, atunci are loc egalitatea:

1 2 2 1( ) ...k k k k k kA B A B A A B AB B .

2. Dacă A, B ( )n M şi AB = BA, atunci are loc formula binomului lui Newton:

1 1 2 2 2( ) ...k k k k kk kA B A C A B C A B B .

3. Dacă A =a b

c d

2 ( )M , atunci A verifică ecuaţia:

22 2( ) ( )x a d x ad bc I O . (Teorema Hamilton-Cayley)

4. Dacă cos sin

sin cosA

, atunci cos sin

sin cosn n n

An n

, n *.

Exerciţii propuse

1. Fie

2 1

3 4

1 1

A

,

0 1

2 5

1 1

B

. Să se calculeze A + B.

2. Fie 1 1

1 1A

, 2 2

2 2B

. Să se calculeze:

a) A + B, A − B; b) A · B, B · A; c) A 2, B 2; d) A 2 − B 2; AB − BA.

3. Fie

1 3 1

0 2 1

2 1 1

A

,

1 0 2

2 0 1

2 2 2

B

. Să se calculeze:

a) A + B, A − B; b) AB, BA; c) A 2, B 2; d) A 2 − B 2; AB − BA.

4. Fie 1 1

Aa a

2 ( )M . Să se determine toate matricele X 2( )M ,

astfel încât AX = XA.

5. Fie

3 0 2

2 1 1

1 1 3

A

3( )M . Dacă 23( ) 3 2 ,f x x x I să se calculeze (A).

6. Fie 1 0

1A

a

2( )M . Să se calculeze nA , n *.

27

7. Dacă A,B ( )n M , să se arate că suma elementelor de pe diagonala principală a matricei AB − BA este nulă. Să se deducă de aici că egalitatea AB − BA = In este imposibilă. (Acomodaţi-vă cu problema în cazurile particulare n = 2, n = 3).

8. Să se determine A 2( )M , astfel încât:

a) 22A I ; b) 2

2A I ; c) 22A O .

9. Să se determine a, b, c, x, y, z, ştiind că are loc egalitatea matriceală: 2 3 1 2 3 5 10 15

2 33 2 1 3 9 1 7

a b c

x y z

.

10. Să se determine matricea X din ecuaţia: 2 1 1 2 1 2

3 3 2 2 3 4 3 3 1

1 3 5 6 1 0

X

.

11. Să se determine x şi y din egalitatea matriceală: 1 0 2 1 4 3 2 1 5 6 5 1

3 1 2 1 2 2 3 1 18 2 5 1

1 2 1 2 1 4 1 3 1 4 5 13

x y

x y x

y

.

12. Să se calculeze suma matriceală: 3 3

1

1

1 2 3 ( 1)

n

k

k k k

k k

.

13. Dacă este o rădăcină a ecuaţiei 2 1 0x x , să se calculeze suma matriceală:

2 3

2 31

k k kn

k k kk

.

14. Să se determine valorile lui x , pentru care are loc egalitatea matriceală:

2

2

2 cos cos 2 1 0

1 1ctg sin 2

x x

x x

.

15. Să se rezolve ecuaţia 2 7 12

6 7X

, unde X este o matrice pătratică de

ordinul doi, cu coeficienţi reali.

16. Se consideră matricea 0

0

aA

a

. Să se arate că n n u vA a

v u

, unde

1 ( 1)

2

n

u

şi 1 ( 1)

2

n

v

.

28

17. Fie A, o matrice pătratică de ordinul doi. Dacă 22A O , arătaţi că suma

elementelor de pe diagonala principală a matricei A este egală cu zero.

18. Să se arate că există o infinitate de matrice a b

Ac d

2( )M care

verifică egalitatea 22A I .


Ac d

2( )M care

verifică egalitatea 22A I .


Ac d

2( )M care verifică

egalitatea 22A O .

21. Fie M, mulţimea matricelor pătratice de ordinul doi, de forma a b

b a

, unde

a, b . Definim funcţia : M, (a + bi) =a b

b a

. Să se arate că:

a) este bijectivă;

b) oricare ar fi 1z , 2z , au loc egalităţile:

( 1z + 2z ) = ( 1z ) + ( 2z ); ( 1z · 2z ) = ( 1z ) · ( 2z ).

22. Fie matricea A =a b

b a

2( )M , astfel încât 2 20 1a b .

a) Să se arate că matricea nA este de forma n n

n n

a b

b a

.

b) Să se arate că şirurile ( )na , ( )nb sunt convergente şi au limita zero.

23. Să se calculeze suma matriceală: 2 2

1

sin cos

sin cos

n

k

kx kx

kx kx

, unde x .

24. Să se arate că 122

3 12

1 3I

.

25. Fie

1 3

2 2

3 1

2 2

A

. Să se calculeze nA , n *.

29

26. Fie

1 2 3

0 1 2

0 0 1

A


27. Fie

1 1 0

0 1 1

0 0 1

A

. Să se arate că

1

0 1

0 0 1

n nn

n

a b

A a

, unde 1 1n na a şi

1n n nb a b , n *.

28. Fie

2 1 1 1

1 2 1 1

1 1 2 1

1 1 1 2

A


29. Fie 0

0 0

a b c

A a d

a


30. Rezolvaţi ecuaţia matriceală: 3 1 1

2 2X

.

2.2. Evaluare sumativă

Testul III

1. Se consideră matricea 22 6 1

2 1 1 4 3k

k kA

k k

2,3( )M . Să se calculeze

suma 1 2 ...n nS A A A .

2. Să se determine matricele X 2( )M , ştiind că 2 1 2 1

1 2 1 2X X

.

3. Se consideră mulţimea de matrice

1 0 ln

( ) 0 0 0

0 0 1

x

G A x x x

.

a) Arătaţi că ( ) ( )A x A y G, x, y (0, ).

b) Calculaţi ( )nA x , unde n * şi A(x) G.

30

Testul IV

1. Se consideră matricea 1

2 1 2 1kk

Ak k

2( )M .

Să se calculeze suma: 1 2 ...n nS A A A .

2. Să se determine matricele X 2( )M , pentru care 2 1 0

1 1X

.

3. Se consideră mulţimea de matrice 2 1

( ) *2 2 2 1

x xG A x x

x x

.

a) Arătaţi că ( ) ( )A x A y G, x, y *.

b) Calculaţi ( )nA x , unde n * şi A(x) G.

Probleme pregătitoare pentru bacalaureat

1. Se consideră matricea a b

Ab a

, cu a, b şi b 0.

a) Să se arate că, dacă matricea A M2() verifică relaţia AX = XA, atunci

există u, v , astfel încât u v

Xv u

.

b) Să se arate că, n *, n nn

n n

x yA

y x

, unde ( ) ( )

2

n n

na b a b

x

şi

( ) ( )

2

n n

na b a b

y

.

c) Să se rezolve în mulţimea M2() ecuaţia 3 2 1

1 2X

.


2. Se consideră mulţimea M a matricelor cu 3 linii şi 3 coloane, cu elemente din

{−1, 1}, şi matricele 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

,

1 1 1

1 1 1

1 1 1

A

şi

1 1 1

1 1 1

1 1 1

B

.

a) Să se dea un exemplu de matrice inversabilă din mulţimea M.

31

b) Să se demonstreze că, n *, 3( 1) 2

23

n nn nA I B

.

c) Să se determine suma tuturor matricelor din mulţimea M. (Bacalaureat 2008, M1, varianta 8)

3. Se consideră mulţimea M a matricelor cu 3 linii şi 3 coloane, cu elemente din {−1, 1}. a) Să se dea un exemplu de matrice de rang 2 din mulţimea M. b) Să se demonstreze că, oricum am alege două matrice din mulţimea M, produsul acestora este diferit de matricea nulă. c) Să se determine numărul tuturor matricelor din mulţimea M.


4. Se consideră mulţimea , , 00 1

a bG X a b a

.

a) Să se arate că, dacă A, B G, atunci AB G. b) Să se găsească două matrice C, D G, astfel încât CD DC.

c) Să se arate că, dacă A G, atunci 2 20082 ...I A A A G.


5. Se consideră matricele A, B, X M3(), astfel încât

0 1 2

0 0 1

0 0 0

A

,

3B I A şi AX XA .

a) Să se verifice că 23 32B B I O .

b) Să se demonstreze că există a , astfel încât 2 23 32X aX a I O .

c) Să se demonstreze că nu există C M3(), astfel încât 23 32 2C C I O .


6. Se consideră matricea 0 5

1 0A

şi mulţimea 5

( ) , a b

C A X a bb a

.

a) Să se arate că, X C(A), XA = AX.

b) Să se arate că, dacă Y C(A) şi 220Y , atunci 2Y O .

c) Să se arate că, dacă Z C(A) şi 200820Z , atunci 2Z O .


7. Se consideră matricele 0 1

1 0A

şi cos sin

sin cos

t tB

t t

, cu t .

32

a) Să se arate că, dacă X M2() verifică relaţia AX = XA, atunci există a, b

, astfel încât a b

Xb a

.

b) Să se demonstreze că, n *, cos sin

sin cosn nt nt

Bnt nt

.

c) Să se determine numărul matricelor X M2() care verifică ecuaţia 2X A .


8. Pentru x , se consideră matricea 21 1

( )1 1

x xA x

x

M2().

a) Să se verifice că 2 ( ) 2 ( )A x xA x .

b) Să se determine numerele complexe x, pentru care 4 22( ) ( )A x A x O .

c) Să se demonstreze că, dacă n , n 2, atunci ecuaţia (0)nX A ,

XM2(), nu are soluţii. (Bacalaureat 2008, M1, varianta 31)

9. Fie şirul 0n nF , dat de 1 1n n nF F F , n *, 0 1F , 1 1F , şi matricea

1 1

1 0A

.

a) Să se verifice că 22A A I .

b) Să se arate că, dacă X M2(), X O2 şi AX = XA, atunci X este inversabilă.

c) Să se arate că 1

1

n nn

n n

F FA

F F

, n 1.


10. Fie matricea

1 1 0

0 0 1

0 1 0

A

M3().

a) Să se verifice relaţia 3 23A A A I .

b) Să se arate că 2 23

n nA A A I , n , n 3.

c) Să se arate că, pentru orice n *, suma elementelor matricei nA este n + 3. (Bacalaureat 2008, M1, varianta 69)

11. Fie 3 2

6 4A

şi mulţimea 2( ) ( ) ,M X a X a I a A a .

a) Să se demonstreze că ( ) ( )X a X b M, a,b .

33

b) Să se arate că există e , astfel încât ( ) ( ) ( )X a X e X e , pentru orice a .

c) Să se calculeze produsul X(2) · X(3) ·…· X(2008). (Bacalaureat 2008, M1, varianta 94)

12. Se consideră matricele 2

0 0

0 0O

, 2

1 0

0 1I

şi 0 1

Aa b

, unde a, b .

a) Să se calculeze 2A .

b) Să se verifice că 22A aI bA .

c) Ştiind că X M2(), cu AX = XA, să se arate că există m, n , astfel

încât 2X mI nA . (Bacalaureat 2008, M2, varianta 26)


1 1A

, 1 1

1 1B

şi 2

0 0

0 0O

.

a) Să se calculeze 2A . b) Să se verifice că 22AB B O .

c) Să se determine matricele X M2() care verifică egalitatea 2AXB O . (Bacalaureat 2008, M2, varianta 27)

14. Se consideră mulţimea

1

0 1 , ,

0 0 1

a c

M b a b c

.

a) Dacă

1 2 1

0 1 3

0 0 1

A

şi

1 3 1

0 1 2

0 0 1

B

, să se calculeze AB.

b) Să se demonstreze că, dacă A, B M, atunci AB M. c) Să se demonstreze că, dacă X M şi AX = XA, pentru orice A M, atunci

există p , astfel încât

1 0

0 1 0

0 0 1

p

X

. (Bacalaureat 2008, M2, varianta 33)

15. Se consideră mulţimea ,

a b b

G b a b a b

b b a

şi matricele

1 1 1

1 1 1

1 1 1

B

şi

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

.

a) Să se verifice că 2 3B B .

34

b) Să se arate că 3mI nB G, oricare ar fi m, n .

c) Să se arate că, dacă A G şi 23A O , atunci 3A O .



1 0A

, 2

1 0

0 1I

şi mulţimea de matrice

22 2( )G X X I M .

a) Să se verifice că A G.

b) Să se demonstreze că 2

21 1

( )2 2

X I X

, X G.

c) Să se demonstreze că orice matrice pătratică de ordinul al doilea, cu

elemente numere reale, pentru care avem AX = XA, este de forma x y

Xy x

,

unde x, y . (Bacalaureat 2008, M2, varianta 86)

17. În M3() se consideră matricea

0 1 1

0 0 1

0 0 0

A

şi 3B I A ,

unde 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

.

a) Să se calculeze A · B. b) Să se calculeze 2 3A A . c) Să se demonstreze că, dacă X M3() şi AX = XA, atunci există numerele

reale a, b, c, astfel încât 0

0 0

a b c

X a b

a

. (Bacalaureat 2008, M2, varianta 88)

18. În mulţimea M3() se consideră matricele

4 2 2

2 4 2

2 2 4

A

,

2 2 2

2 2 2

2 2 2

B

şi C = A + B. a) Să se calculeze AB. b) Să se demonstreze că 2 6A A şi 2 6B B . c) Să se demonstreze că 3 26( )C A B .


35

Test de autoevaluare I. Completaţi spațiile punctate astfel încât să obțineţi propoziții adevărate. (30 puncte)

10p 1. Dacă A =1 02 1

, atunci A n, n 1, este ...............

10p 2. Dacă A, B Mn (), atunci (A + B)t = .............

10p 3. Dacă A = a bc d

Mn (), atunci A verifică ecuația

X 2 (a + d)X + (ad bc) I2 = ................ II. Încercuiţi răspunsul corect. (30 puncte)

10p 1. Dacă A =2 1 11 2 11 1 2

, B =1 1 11 1 11 1 1

, atunci AB este:

A. O3 B. I3 C. A2 D. B2 10p 2. Valoarea lui x (0, ), pentru care are loc egalitatea matriceală

2

2

cos2 2cos 0 11 1sin 2 ctg

x xx x

, este:

A. 2

B.

4

C.

3

D.

6

10p 3. Fie 3 1

1 3A

. Atunci A12 este:

A. 24 I2 B. 28 I2 C. 210 I2 D. 212 I2 III. Scrieţi rezolvările complete. (30 puncte) 10p 1. Dacă este o rădăcină a ecuației x2 + x + 1 = 0, calculați

2 3

2 31

k k kn

k k kk

.

10p 2. Fie A =1 2 30 1 20 0 1

. Calculați An, n *.

10p 3. Rezolvați ecuația matriceală X 3 =1 12 2

.

36

3. Determinanţi

Fie matricea pătratică de ordinul n,

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

, A ( )n M . Se

numeşte determinantul matricei A numărul 1 (1) 2 (2) ( )det ( ) ...n

n nS

A a a a

,

unde Sn este mulţimea tuturor permutărilor de gradul n şi () este semnul permutării .

Se notează

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...det

... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

.

Cazuri particulare

Pentru n = 2, avem: 11 1211 22 12 21

21 22

a aa a a a

a a .

Pentru n = 3, avem: 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

11 22 33 21 32 13 12 23 31a a a a a a a a a

− 13 22 31 12 21 33 23 32 11a a a a a a a a a .

Exemple. a) 1 2

1 4 2 3 23 4

.

b)

1 2 3

4 5 6 1 5 9 4 8 3 2 6 7 3 5 7 2 4 9 6 8 1 0

7 8 9

.

3.1. Proprietăţi ale determinanţilor

1°) Determinantul unei matrice coincide cu determinantul matricei transpuse. Dacă A ( )n M , atunci det(A) = det(At). 2°) Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule,

atunci determinantul matricei este nul. 3°) Dacă într-o matrice schimbăm două linii (sau coloane) între ele, obţinem o

matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei iniţiale.

4°) Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice, atunci determinantul său este nul.

37

5°) Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrice sunt înmulţite cu un număr , obţinem o matrice al cărei determinant este egal cu înmulţit cu determinantul matricei iniţiale.

6°) Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrice sunt proporţionale, atunci determinantul matricei este nul.

7°) Dacă o linie (sau o coloană) a unei matrice este o combinaţie liniară de celelalte linii (sau coloane), atunci determinantul matricei este nul.

8°) Dacă la o linie (sau coloană) a unei matrice adunăm elementele altei linii (sau coloane) înmulţite cu acelaşi număr, atunci această matrice are determi-nantul egal cu cel al matricei iniţiale.

3.2. Calculul determinanţilor de ordinul n

Fie un determinant de ordinul n,

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a aa a a

d

a a a

.

Determinantul de ordinul n − 1 care se obţine din determinantul d, suprimând linia i şi coloana j, se numeşte minorul elementului ija şi se notează

cu ijd .

Numărul ( 1)i jij ijd se numeşte complementul algebric al

elementului ija în determinantul d.

Determinantul d, de ordinul n, se poate descompune în n determinanţi de ordinul n − 1 după linia i şi are loc egalitatea:

1 1 2 2 ...i i i i in ind a a a ; sau după coloana j şi avem:

1 1 2 2 ...j j j j nj njd a a a .

Exemplu. Fie determinantul de ordinul 4:

1 2 3 4

1 3 5 7

2 4 6 8

1 1 1 1

d .

Să dezvoltăm determinantul d după linia întâi.

Avem

3 5 7 1 5 7 1 3 7 1 3 5

1 4 6 8 2 2 6 8 3 2 4 8 4 2 4 6

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

d

= 1 · 0 − 2 · 0 + 3 · 0 − 4 · 0 = 0. Observaţie. Deoarece în determinantul iniţial d avem 3 2 4L L L , rezultă că

d = 0, fără a mai face dezvoltarea după o linie sau coloană (sau 3 12L L ).

38

Observaţie. Dezvoltarea după o linie sau după o coloană mai poartă denumirea de regula lui Laplace.

Rezultate importante Numim determinant Vandermonde (de ordinul n) determinantul

1 2 3

2 2 2 21 2 3

1 1 1 11 2 3

1 1 1 ... 1

...

...

... ... ... ... ...

...

n

n

n n n nn

a a a a

a a a aV

a a a a

.

Are loc egalitatea: 1

( )j ii j n

V a a

.

Relaţia lui Hamilton−Cayley:

Dacă A 2( )M , are loc egalitatea: 22 2( ) det( )A Tr A A A I O .

det(AB) = det(A) · det(B), unde A,B ( )n M .

3.3. Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi şi coliniaritatea a trei puncte

Fie punctele diferite 1 1 1( , )M x y şi 2 2 2( , )M x y . Ecuaţia carteziană a dreptei determinată de cele două puncte (sub formă de determinant) este:

1 2 1 1

2 2

1

: 1 0

1

x y

M M x y

x y

.

Exemplu. Dacă 1(1, 2)M , 2 (2, 1)M , atunci 1 2

1

: 1 2 1 0

2 1 1

x y

M M 3 0x y .

Fie punctele necoliniare 1 1 1( , )M x y , 2 2 2( , )M x y , 3 3 3( , )M x y . Aria triunghiului

1 2 3M M M este dată de formula:

1 2 3[ ]1

| |2M M M A , unde

1 1

2 2

3 3

1

1

1

x y

x y

x y

.

Exemplu. 1(1, 2)M , 2(2,1)M , 3(3, 3)M 1 2 3[ ]

1| |

2M M M A , unde

39

1 2 1

2 1 1 3

3 3 1

, adică 1 2 3[ ]

3

2M M M A .

Fie 1 1 1( , )M x y , 2 2 2( , )M x y , 3 3 3( , )M x y . Punctele M1, M2, M3 sunt coliniare dacă şi numai dacă:

1 1

2 2

3 3

1

1 0

1

x y

x y

x y

.

Exemplu. Să se determine , astfel încât punctele 1(1, 2)M , 2(2,1)M ,

3(3, )M să fie coliniare.

Soluţie. Din

1 2 1

2 1 1 0

3 1

obţinem = 0.

Exerciţii propuse 1. Să se calculeze determinanţii de ordinul doi:

a) 1 3

2 4;

1

1

i

i;

sin cos

cos sin

x x

x x;

b) sin cos

sin cos

; 2 1 2 3

2 3 2 1

;

e

e

;

c) ln10 lg

lg(10 ) ln(10 )

e

e e;

2

2

, unde 2 1 0 .

2. Să se calculeze determinanţii de ordinul trei:

a)

1 1 3

1 1 2

4 5 3

; b)

0 1 2

2 1 3

1 2 3

; c)

0 1 1

1 0 1

1 1 0

;

d)

a a b

a b a

b a a

; e)

a b b

b a b

b b a

; f) 2

2

1 1 1

1

1

, unde 2 1 0 ;

40

g)

2 2

2 2

2 2

a ab b

b a ab

ab b a

; h)

2 2

2 2

2 2

2

2

2

a ab b

b a ab

ab b a

; i)

2 2

2 2

2 2

a nab b

b a nab

nab b a

;

j)

0 1 2

0 1 21 1 1

0 1 22 2 2

n n n

n n n

n n n

C C C

C C C

C C C

; k)

0 1 2

0 1 21 1 1

0 1 22 2 2

n n n

n n n

n n n

A A A

A A A

A A A

.

3. Să se calculeze determinanţii de ordinul patru:

a)

2 1 1 1

1 2 1 1

1 1 2 1

1 1 1 1

; b)

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1

n

n

n; c)

1 2 3 4

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3

;

d)

1 2 3

1 2 3

2 3 1

3 1 2

n n n n

n n n n

n n n n

n n n n

; e)

1 1 1 1

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6

;

f) 1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

n n n n

n n n n

n n n n

n n n n

; g)

2 1 0 0

1 2 1 0

0 1 2 1

0 0 1 2

;

h)

2 1

1 2 1

1 2 1

1 2

n n n n

n n n n

n n n n

n n n n

; i)

0 1 2 3

1 0 3 4

2 3 0 5

3 4 5 0

;

j)

0 1 2

0 2 3

1 2 0 4

2 3 4 0

n n n

n n n

n n n

n n n

; k)

0

0

0

0

a b c

a d e

b d f

c e f

.

4. Să se verifice egalităţile:

a) 2

2 2

2 2 ( )

2 2

a b c a a

b b c a b a b c

c c c a b

; b)

3 2

2 2 6

3 3 1

2 2 1 1 ( 1)2 1 2 1

1 3 3 1

a a a

a a a a aa a a

.

COMENZI – CARTEA PRIN POȘTĂ Adresa: IAȘI , Bd. Ștefan cel Mare și Sfânt, nr. 2 -

700124 Telefon: 0763 082 213 E-mail: [email protected]

Tipărit în România

Documents

MARIN CHIRCIU - auxiliare.ro