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Mathe lernen mit Paul Die kleine Formelsammlung

2 Mathe lernen mit Paul

Inhalt

Algebra

Maße und Gewichte 4

Grundrechenarten 5

Bruchrechnung 6

Potenzen und Wurzeln 7

Prozentrechnung 8

Zinsrechnung 9

Zinsrechnung, Dreisatz 10

Quadratische Gleichungen 11

Logarithmen/Wahrscheinlichkeitsrechnung 12

Geometrie

Strahlensätze 13

Winkelarten 14

Winkel an geschnittenen Geraden 15

Dreieck 16

Flächenberechnung 18

Kreis und Linien 19

Kreis, Kreisring, Kreisausschnitt 20

Körperberechnung 21

Trigonometrie 23

© 2007 ZGS Schülerhilfe GmbH, Stand: Februar 2007

3

Algebra – Maße und Gewichte4

Längenmaße:

1 Meter (m) = 100 Zentimeter (cm) = 1.000 Millimeter (mm)

1 Kilometer (km) = 1.000 m 1 Dezimeter (dm) = 10 cm

1 cm = 10 mm

Flächenmaße:

1 Quadratmeter (m2) = 100 Quadratdezimeter (dm2)

1 Ar (a) = 100 m2

1 Hektar (ha) = 100 a = 10.000 m2

1 Quadratkilometer (km2) = 100 ha = 10.000 a = 1.000.000 m2

Körpermaße:

1 Kubikmeter (m3) = 1.000 Kubikdezimeter (dm3)

1 dm3 = 1.000 Kubikzentimeter (cm3)

1 cm3 = 1.000 Kubikmillimeter (mm3)

Hohlmaße:

1 m3 = 10 Hektoliter (hl) = 1.000 Liter (l) 1 l = 10 dl

1 hl = 100 l = 1.000 Deziliter (dl)

Gewichte:

1 Gramm (g) = 1.000 Milligramm (mg) 1 Kilogramm (kg) = 1.000 g

1 Tonne (t) = 1.000 kg 1 Pfund = 500 g = 0,5 kg

1 Unze = 28,35 g

Dezimale Vielfache und dezimale Teile:

106 Mega (M), 103 Kilo (k), 102 Hekto (h), 101 Deka (da),

10–1 Dezi (d), 10–2 Zenti (c), 10–3 Milli (m), 10–6 Mikro (µ)

Grundrechenarten 5

Addition: a + b = c

(Summand + Summand = Summe)

Subtraktion: a – b = c

(Minuend – Subtrahend = Differenz)

Multiplikation: a · b = c

(Faktor · Faktor = Produkt)

Division: a : b = c

(Dividend : Divisor = Quotient) b � 0

Grundrechenarten

Addition Multiplikation

Kommutativgesetze: a + b = b + a a · b = b · a

Assoziativgesetze: (a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)

Distributivgesetz: a · (b + c) = a · b + a · c

Rechengesetze

Bruchrechnung6

Erweitern: a = a · c Kürzen: a · c = ab b · c b · c b

Multiplikation: a · c = ac Division: a : c = adb d bd b d bc

Addition,

Subtraktion: a ± c = ad ± cbb d bd

Merke: Erweitere Brüche so, dass sie einen gemeinsamen Nenner haben.

Addiere bzw. subtrahiere dann die Zähler.

Bruchrechnung

Potenzen und Wurzeln 7

Definitionen:

Potenz: an = a · a · a · a · a ·…· a Speziell: a1 = a, a0 = 1, (a � 0)

Wurzel:2

a2 = a2 = |a |n

x = a ↔ an = x; x ≥ 0, n

Zusammenhänge:

an · ap = an+p an : ap = an–p

(an)p = an·p an · bn = (ab)n an : bn = (a : b)n

a–n = 1 a = n

a a = n

ap a– = 1an

Potenzen und Wurzeln

√− √− √−

√− √−− √−−nap

1n

pn

pn

Prozentrechnung8

Gegeben: Prozentsatz (p), Grundwert (G) Gesucht: Prozentwert (W)

Lösung: 100 % → G Prozentformel: G · p

= W100

1. Satz: p → x2. Satz: 1% → G : 100

3. Satz: (G : 100) · p = W

Prozentwertberechnung

Gegeben: Prozentwert (W), Grundwert (G) Gesucht: Prozentsatz (p)

Lösung: G → 100 % Prozentformel: W · 100 = pG

1. Satz: W → x2. Satz: 1 → 100 : G

3. Satz: (100 : G) · W = p

Prozentsatzberechnung

Gegeben: Prozentsatz (p), Prozentwert (W) Gesucht: Grundwert (G)

Lösung: p → W Prozentformel: W · 100 = Gp

1. Satz: 100 % → x 2. Satz: 1% → W : p 3. Satz: (W : p) · 100 = G

Vermehrter Grundwert

Gegeben: Prozentsatz (p), Grundwert (G) Gesucht: vermehrter

Grundwert (G+) Lösung:

(100 + p) · G = G+100

Grundwertberechnung

Zinsrechnung 9

Gegeben: Kapital (K), Zinssatz (p), Zeit (t) Gesucht: Zinsen (Z)

Lösung: K · p · t = Z für t = Zeit in Jahren100

K · p · t = Z für t = Zeit in Monaten12 · 100K · p · t = Z für t = Zeit in Tagen360 · 100

Zinsberechnung

Gegeben: Kapital (K), Zinsen (Z), Zeit (t) Gesucht: Zinssatz (p)

Lösung: Z · 100 = p für t = Zeit in JahrenK · t

Z · 12 · 100 = p für t = Zeit in MonatenK · t

Z · 360 · 100 = p für t = Zeit in TagenK · t

Zinssatzberechnung

Gegeben: Zinsen (Z), Zinssatz (p), Zeit (t) Gesucht: Kapital (K)

Lösung: Z · 100 = K für t = Zeit in Jahrenp · t

Z · 12 · 100 = K für t = Zeit in Monatenp · t

Z · 360 · 100 = K für t = Zeit in Tagenp · t

Kapitalberechnung

Zinsrechnung, Dreisatz10

Zinseszinsen (Endwert Kn des Anfangskapitals K0 nach n Jahren)

Lösung: Kn = K0 · qn = K0 ·(100 + p) n

n = Ig Kn – Ig K0

100 Ig q

Zinseszinsberechnung

Verfahren bei

direkter Proportionalität:

Schluss vom Wert

der bekannten Mehrheit

→ auf den Wert für eine

(Mengen-)Einheit und

→ von dieser Einheit

auf die gesuchte Mehrheit

Verfahren bei

indirekter Proportionalität:

Schluss vom Wert

der bekannten Mehrheit

→ auf den Wert für eine

(Mengen-)Einheit und

→ von dieser Einheit

auf die gesuchte Mehrheit

Dreisatz

( )

Beispiel:

Beim Backen benötigt man für 5 kg

Brot 4.000 g Mehl. Wie viel Mehl

benötigt man für 3 kg Brot?

5 kg = 4.000 g

1 kg = 800 g

3 kg = 2.400 g

Beispiel:

6 Schüler benötigen 21 Stunden für

das Streichen eines Raumes ihrer

Schule. Wie viele Stunden hätten

4 Schüler gebraucht?

6 Schüler = 21 h

1 Schüler = 126 h

4 Schüler = 31,5 h

6 :

4 ·

· 6

: 4

5 :

3 ·

: 5

· 3

^

^

^

^

^

^

Quadratische Gleichungen 11

1. binomische Formel: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2. binomische Formel: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

3. binomische Formel: (a + b) · (a – b) = a2 – b2

Binomische Formeln

Allgemeine Form: ax2 + bx + c = 0

Allgemeine Lösung: x1,2 = – b ± (b2 – 4ac)

2a

Normalform: x2 + px + q = 0

Lösung (pq-Formel): x1,2 = – p

±p 2

– q2 2

Satz von Vieta: x1 + x2 = – p, x1 · x2 = q

In Linearfaktoren: (x – a) (x – b) = 0

Lösung: x1 = a, x2 = b

Bemerkung: Eine quadratische Gleichung hat genau zwei, eine oder

keine Lösung in , wenn der Wurzelterm größer ist als null, gleich null

oder kleiner als null.

Quadratische Gleichungen

(( ) )

√−−−−−−−

√−−−−−−−

Logarithmen/Wahrscheinlichkeitsrechnung12

bx = a ↔ logb a = x; a, b > 0 Speziell: logb b = 1; logb 1 = 0

Definition

Binomialkoeffizient:n

(sprich: „n über k“; k, n ; 0 < k ≤ n) k

ist der Quotient

n=

n · (n – 1) · (n – 2) · … · [n – (k – 1)] =

n! n = 1

n = n

k 1 · 2 · 3 · … · k k! (n – k)! 0 1

Rechenregeln: n

=n n

+n

=n + 1

k, n k n – k k k + 1 k + 1

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Erstes Logarithmengesetz: log (a · b) = log a + log b

log (a : b) = log a – log b

Zweites Logarithmengesetz: log ab = b · log a

Speziell: log a b = log b = 1 log ba

Dekadischer Logarithmus: log10 a = lg a

Natürlicher Logarithmus: loge a = ln a, mit der eulerschen

Zahl e = 2,718281828459…

Zusammenhänge: logb a =logc a

=In a

=lg a

logc b In b lg b

logb a · loga b = 1

Logarithmengesetze

√− 1a

speziell

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

Geometrie – Strahlensätze 13

Strahlensätze

B1

A2A1

B2

S

Erster Strahlensatz: | SA1 | : | SA2 | = | SB1 | : | SB2 |

| SA1 | : | A1A2 | = | SB1 | : | B1B2 |

| SA2 | : | A1A2 | = | SB2 | : | B1B2 |

Zweiter Strahlensatz: | A1B1 | : | A2B2 | = | SA1 | : | SA2 |

| A1B1 | : | A2B2 | = | SB1 | : | SB2 |

Strahlensätze

Nullwinkel: Spitzer Winkel:

α = 0° α < 90°

Rechter Winkel: Stumpfer Winkel:

α = 90° 90° < α < 180°

Gestreckter Winkel: Überstumpfer Winkel:

α = 180° 180° < α < 360°

Vollwinkel: Winkel über 360°:

α = 360° α > 360°

Winkelarten14

Winkelarten

α

α

α

α

α

α

Winkel an geschnittenen Geraden 15

Nebenwinkel ergänzen einander zu 180°.

α + β = 180°

Scheitelwinkel sind gleich groß.

α = β

Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.

α = β

Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.

α = β

Winkel an geschnittenen Geraden

g

h

αβ

hα β

α = 90°g

g

h

α β

g

hα

βα = 90°

gα

α = 90°

βh

α

β

g ll hh

g

gα

α = 90°

βh

α

βg ll h

h

g

Dreieck16

γ

βαA

C

B

ab

c

hb

hc

ha

Dreieck

Fläche: A (Dreieck) = 1 c · hc2

A (Dreieck) = 1 b · hb2

A (Dreieck) = 1 a · ha2

Winkelsumme: α + β + γ = 180°

17

Gleichschenkliges Dreieck:

Zwei Seiten haben dieselbe Länge (a = b)

hc = a2– c 2

2

Gleichseitiges Dreieck:

Alle Seiten haben dieselbe Länge (a = b = c),

alle Winkel sind gleich groß (α = β = γ).

h = 3 · a = 3 · a A(D) = a2· 3

4 2 4

Rechtwinkliges Dreieck:

Fläche berechnet sich zu: A(D) = 1 · a · b2Der Satz des Pythagoras: c2 = a2 + b2

Der Höhensatz des Euklid: h2 = p · q

Der Kathetensatz des Euklid: a2 = c · p b2 = c · q

Dreieck

( )√−−−−−a

a

c

hc

aa

aα α

α√−− √−√−

A

C

B

ab

c pq

h

Flächenberechnung18

Quadrat Parallelogramm

Umfang (U) = 4a Umfang (U) = 2 · (a + b)

Flächeninhalt (A) = a2 Flächeninhalt (A) = g · h

Höhe (h) = Ag

Rechteck Trapez

Umfang (U) = 2 · (a + b) Umfang (U) = a + b + c + d

Flächeninhalt (A) = a · b Flächeninhalt (A) = h · (g1 + g2)2

Höhe (h) = 2 · Ag1 + g2

Dreieck

Umfang (U) = a + b + c

Flächeninhalt (A) = g · h

2Höhe (h) = 2 · A

g

Flächenberechnung

b

a

h

g

b

a

h b

a

d

c

g1

g2

ab

c

hg

a

a

Kreis und Linien 19

Kreis

Kreiszahl (Ludolfsche Zahl): π = 3,14159… π ≈ 3,14

Durchmesser = d, Radius = r

Linien am Kreis

Tangente und Berührungsradius

sind senkrecht zueinander.

Kreis und Linien

d

M

r

M

Sektor

M

Bogen

Segment

Durchmesser

M Radiu

s

Tangente

Sekante

Passante

Sehne

d = 2 · r

A = π · r2 = π

· d24

U = 2π · r = π · d

Kreis, Kreisring, Kreisausschnitt20

Satz des Thales:

Peripheriewinkel über einem

Halbkreis sind rechte Winkel.

Satz des Thales

M

Kreisring

a = r2 – r1

A = π · (r22 – r1

2)

U = 2π · (r1 + r2)

Kreisausschnitt

b =

αb =

π · r · αU 360° 180°

Aα = b · r

Aα = π · r2 · α

2 360°

Kreisring und Kreisausschnitt

M

r1a

r2

→ →

Ringbreite a

M

b

r

Kreisbogen b

αAα

Körperberechnung 21

Prisma Pyramide

G: Grundfläche G: Grundfläche

Volumen: V = G · h Volumen: V = 1 · G · h3

Oberfläche: O = 2G + M Oberfläche: O = G + M

Mantelfläche: M = U* · h

Zylinder Kegel

Volumen: V = π · r2 · h Volumen: V = 1 · π · r2 · h3

Oberfläche: O = 2πr · (r + h) Oberfläche: O = π r · (r + s)

Mantelfläche: M = 2π · r · h Mantelfläche: M = π · r · s

Körperberechnung

h

G

h

G*Umfang der

Grundfläche

G

h

G

h

Körperberechnung22

Körperberechnung

r

Kugel

Mittelpunkt (M) Radius (r)

Volumen: V = 4 · π · r33

Oberfläche: O = 4 π r2

Trigonometrie 23

Trigonometrie

Sinus: sin (α) = a = Gegenkatheter Hypotenuse

Kosinus: cos (α) = b = Ankatheter Hypotenuse

Tangens: tan (α) = sin (α) = Gegenkathetecos (α) Ankathete

Kotangens: cot (α) = cos (α) = Ankathetesin (α) Gegenkathete

Sinussatz a = sin (α) b = sin (β) a = sin (α)b sin (β) c sin (γ ) c sin (γ)

Kosinussatz: a2 = b2 + c2 – 2bc · cos α

b2 = a2 + c2 – 2ac · cos β

c2 = a2 + b2 – 2ab · cos γ

α

raa

b x

f(x) = y

γ

βαA

C

B

ab

c

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Ver

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Nam

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Ort

Stra

ße

Geb

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sdat

um

Tele

fon

E-M

ail

Unser Anspruch:

Die Schülerhilfe hilft Kindern, ihre schulischen Fähigkeiten zu verbessern, sodass sie wieder Selbstvertrauen gewinnen und Selbstbewusstsein entwickeln.

Unser Angebot:

■ Qualifizierte und motivierte Nachhilfelehrer/-innen■ Individuelles Eingehen auf die Bedürfnisse der Kinder

und Jugendlichen■ Regelmäßiger Austausch mit den Eltern über

die Fortschritte des Kindes

Weitere Informationen:

Für weitere Informationen stehen wir Ihnen montags bis freitags von 8.00 bis 20.00 Uhr gebührenfrei zur Verfügung:

0800/19 4 18 00 www.schuelerhilfe.com

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