Mathematischer Anhang

Vorlesung: Makrookonomik (B.Sc.)

Universitat Leipzig

Makrookonomik

Prof. Dr. Thomas Steger

Oktober 2016

1 Funktionen

Makrookonomische Analyse bedeutet haufig den Einfluss einer oder mehrerer

Großen auf andere zu untersuchen. Solche theoretisch oder empirisch mo-

tivierten Zusammenhange werden in mathematischen Funktionen ausgedruckt.

So wird der Output Y einer Volkswirtschaft als eine Funktion der Produk-

tionsfaktoren Kapital (K) und Arbeit (L), Y = f(K,L), der Konsum als eine

Funktion des Einkommens, C = f(Y ), oder die Investitionen als Funktion des

Zinses (i), I = f(i), modelliert.

So ordnet beispielsweise eine Funktion f jedem x ∈ D eindeutig eine Zahl

y ∈ W zu, so dass y = f(x) gilt. Im Falle einer Funktion mehrerer Variablen

ordnet f jeder Wertekombination (x1, ..., xn) einen Funktionswert y zu.

D heißt der Definitionsbereich, W der Wertebereich. x wird die unabhangige

Variable oder Argument, y die abhangige Variable oder Funktionswert genannt.

Da Definitions- und Wertebereich in den meisten Fallen die Menge der nicht-

negativen reelen Zahlen R ist, wird im Folgenden auf die Angabe verzichtet.

Oft wird die formale Analyse von Zusammenhangen durch Graphiken unterstutzt.

Der Graph einer Funktion f ist die Menge aller Punkte

{(x, y) |x ∈ D ∧ y = f(x)} in einem Koordinatensystem.

Funktionen konnen allgemein (global) oder in speziellen Bereichen (lokal)

bestimmte Eigenschaften aufweisen.

Eine Funktion heißt monoton steigend (fallend), wenn fur alle x0, x1 ∈ R mit

x1 > x0 die Ungleichung f(x1) ≥ (≤)f(x0) gilt. Ersetzt man die Relation ≥ (≤)

durch > (<), so liegt strenge Monotonie vor.

Von Konvexitat (Konkavitat) spricht man, wenn eine Verbindungslinie zweier

beliebiger Punkte des Graphen der Funktion stets oberhalb (unterhalb) des

Graphen verlauft. Fur alle x0, x1 ∈ R und alle a ∈ (0, 1) muss bei Konvexitat

(Konkavitat)

f(ax0 + (1− a)x1) ≤ (≥) af(x0) + (1− a)f(x1) gelten.

2 Stetigkeit

Eine naive Vorstellung von Stetigkeit einer Funktion auf einem bestimmten In-

tervall, ist die des nicht abgesetzten Bleistiftes beim Zeichnen der Funktion.

Nicht ganz prazise, trifft es aber den Sachverhalt. Stetige Funktionen weisen

also keine Sprungstellen auf.

2

x0 x1

fHx0L

fHx1L

x0 x1

fHx0L

fHx1L

Figure 1: Monotonie, Konvexitat

Eine Funktion wird stetig an der Stelle x = a genannt, wenn die Funktion-

swerte durch das Annahern der Argumente von links und rechts an a, dem

Funktionswert von a entsprechen. Vorrausgesetzt naturlich, der Funktionswert

f(a) existiert.

limx→−a

f(x) = f(a) = limx→+a

f(x)

x=a x=a'x

y=f HxL

x=a'x

y=f HxL

Figure 2: stetig - unstetig

Fur Funktionen mehrerer Veranderlicher ist obige Definition von Stetigkeit

fur alle einzelnen Argumente zu uberprufen.

Eine Summe, Differenz und ein Produkt stetiger Funktionen ist wieder eine

stetige Funktion.

3 Steigung

Das Niveau einer Funktion f(x) an einer bestimmten Stelle x0 ist nicht immer

aufschlussreich. Vielmehr interessiert die Anderung des Funktionswertes bei

Variation von x. In den Wirtschaftswissenschaften ist die Steigung einer Funk-

tion ein zentrales Analysekonzept. Wann immer von Grenzgewinn, Grenzkosten

oder Grenzproduktivitat die Rede ist, meinen wir die Steigung der Funktion,

vielmehr die Anderung des Funktionswertes f(x) bei einer infinitesimalen (“sehr

3

kleinen”) Anderung des Argumentes.

Der Quotient ∆y∆x gibt allgemein die Steigung an und wird Differenzenquotient

genannt. Im linearen Fall ist somit der Anstieg der Funktion bestimmt. In

allen anderen Fallen wird durch das Anlegen einer Sekante der durchschnittliche

Anstieg in einem Intervall bestimmt. Unten stehende Abbildung verdeutlicht,

daß durch ein immer kleiner werdendes ∆x sich die Steigung der Sekante, der

Steigung der Funktion an der Stelle x annahert. Wird ∆x nun immer kleiner

gewahlt, infinitesimal, so wird im Grenzubergang aus der Sekante eine Tan-

gente an der Stelle x und der richtige Anstieg ist gefunden. Da x ein beliebiger

Wert sein kann, gilt der gefundene Zusammenhang fur alle x ∈ D. Aus dem

Differenzenquotient ist jetzt der Differentialquotient geworden.

f′(x) ≡ lim

∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆xauch

df

dx

Dx

Dy

x x+DxArgument

fHxL

fHx+DxL

Funktionswert

Figure 3: Anstieg einer Funktion

Beispiel fur f(x) = x2

f′(x) = lim

∆x→0

(x+ ∆x)2 − x2

∆x

= lim∆x→0

x2 + 2x∆x+ ∆x2 − x2

∆x

= lim∆x→0

2x∆x

∆x+

∆x2

∆x= lim

∆x→02x+ ∆x

f′(x) = 2x

4

3.1 Partielle Ableitung

In der okonomischen Theorie werden die technischen Bedingungen der Pro-

duktion durch eine Funktion abgebildet. Bereits bekannt ist die Produktions-

funktion vom Typ Cobb-Douglas. Die spezifischen Eigenschaften einer solchen

Funktion werden spater analysiert. Hier soll nur darauf eingegangen werden,

wie eine Funktion mehrerer Veranderlicher in Bezug auf den Anstieg zu hand-

haben ist. Die Frage ist also auch hier wieder, wie sich der Funktionswert

(Output) andert, wenn die Argumente (Inputs) variiert werden. Um deutlich

zu machen, dass eine Funktion mehrerer Veranderlicher nach einer Variablen

differenziert wird (partiell), schreibt man anstelle des d im Differentialquotien-

ten ein “Fantasie-d” ∂. Gegeben sei folgende Funktion:

Y = F (K,L) = AKαL1−α

Um die Veranderung von Y bezuglich Kapital zu bekommen, halten wir einfach

Arbeit konstant, haben defacto nur ein Argument und konnen so wie oben

beschrieben vorgehen.∂Y

∂K= AαKα−1L1−α

Fur den Faktor Arbeit, jetzt also Kapital “festgehalten”, erhalten wir folgenden

Ausdruck∂Y

∂A= AKα(1− α)L−α

4 Regeln zum Ableiten

Oft ist im studentischen Alltag keine Zeit oder Notwendigkeit gegeben, den

Anstieg einer Funktion uber den Differenzen- bzw. Differentialquotienten zu

bestimmen. Viele Generationen vor uns haben die wichtigsten Anstiege spezieller

Funktionen bestimmt und niedergeschrieben. Diese werden jeweils an einem

Beispiel dargestellt.

Faktorregel:

f(x) = a · g(x) Beispiel:

f ′(x) = a · g′(x) f(x) = 3 · ln(x) ; f ′(x) = 3 · 1x

Summenregel:

f(x) = g(x) + h(x) Beispiel:

f ′(x) = g′(x) + h′(x) f(x) = 4x2 + 5x+ ln(x) ; f ′(x) = 8x+ 5 + 1x

Produktregel:

5

f(x) = g(x) · h(x) Beispiel:

f ′(x) = g′(x) · h(x) + g(x) · h′(x) f(x) = 4x2 · ln(x) ; f ′(x) = 8x · ln(x) + 4x

Qutientenregel:

f(x) = g(x)h(x) Beispiel:

f ′(x) = g′(x)·h(x)−g(x)·h′(x)(h(x))2

f(x) = 3x−5x−2 ; f ′(x) = −1

(x−2)2

Kettenregel:

f(x) = g(h(x)) Beispiel:

f ′(x) = g′(h(x)) · h′(x) f(x) = (1− x3)5 ; f ′(x) = −15x2 · (1− x3)4

5 Optimierung

5.1 Maximierung ohne Nebenbedingung

Optimierungsprobleme nehmen in den Wirtschaftswissenschaften ein zentrale

Rolle ein. Jedem untersuchten Wirtschaftssubjekt werden Verhaltensregeln un-

terstellt. Der Haushalt maximiert seinen Nutzen aus Freizeit und Konsum und

Unternehmen maximieren ihren Gewinn.

Was aber genau heißt optimieren? Optimierungsprobleme ohne Nebenbedin-

gung konnen mit Hilfe der Schulmathematik gelost werden. Die Aufgabe besteht

darin, die Argumente eines funktionalen Zusammenhangs zu finden, die f(x),

den Funktionswert, maximieren. Im Folgenden soll anhand einer kleinen Kur-

vendiskussion das Vorgehen wiederholt werden.

f 'HxL=0

f'HxL=0

f''HxL

f HxL

f 'HxL

-1 1 2 3 4 5Argument

-2

2

4

6

8

10

Funktionswert

Figure 4: Optimierung ohne Nebenbedingung

6

Abbildung 4 zeigt drei Funktionen. f(x), die erste Ableitung f ′(x) (Anstieg)

und die zweite Ableitung (Krummung) f ′′(x).

Ein lokales Maximum, im folgenden mit x∗ bezeichnet, muss zwei Kriterien

erfullen. Zum einen darf eine Erhohung von x keine Steigerung von f(x) mit

f(x) > f(x∗) zur Folge haben. Diese Bedingung erster Ordnung ist genau dann

erfullt, wenn der Anstieg der Funktion Null ist.

notwendige Bedingung fur Maximum: f ′(x∗) = 0

Zum anderen mussen in einer beliebig kleinen ε-Umgebung um x∗ die Funk-

tionswerte kleiner als f(x∗) sein, so dass f(x∗ ± ε) < f(x) gilt. Die Bedingung

zweiter Ordnung ist genau dann erfullt, wenn f(x) bei x∗ konkav ist. Konkavitat

bedeutet, dass die zweite Ableitung der Funktion negativ ist, der Anstieg also

kleiner wird.

hinreichende Bedingung fur Maximum: f ′′(x∗) < 0

5.2 Maximierung mit Nebenbedingung

In Optimierungsproblemen gibt es typischerweise Einschrankungen. Der Haushalt

maximiert seinen Konsum beispielsweise unter der Nebenbedingung, dass seine

Budgetbeschrankung erfullt ist. Um Probleme dieser Art zu losen, verwenden

Okonomen haufig die Methode der Lagrange-Multiplikatoren. Im folgenden

Beispiel soll ohne die Funktionsfahigkeit des Lagrangeansatzes zu beweisen,

das allgemeine Vorgehen erlautert werden.

Gegeben sei eine Produktionsfunktion Y = f(K,L) = AKαL1−α und die mit

Preisen gewichteten Faktormengen als Kostenfunktion, C(K,L) = pK ·K+pL·L.

Welche Kombination der Inputs fuhrt nun bei einem bestimmten Outputniveau

Y zu minimalen Kosten?

Die Lagrangefunktion fur dieses Problem lautet:

L(K,L, λ) = pK ·K + pL · L+ λ(AKαL1−α − Y )

Die NebenbedingungAKαL1−α = Y wurde zuAKαL1−α−Y = 0 umgeschrieben,

so dass die Produktion im Optimum dem geforderten Niveau entspricht.

Die Bedingung erster Ordnung muss fur alle Variablen erfullt sein. Die La-

grangefunktion ist also nach allen Variablen abzuleiten und Null zu setzen.

∂L∂K

= pK + λ∂f(K,L)

∂K= 0 (1)

7

∂L∂L

= pL + λ∂f(K,L)

∂L= 0 (2)

∂L∂λ

= f(K,L)− Y = 0 (3)

Das Gleichungssystem (bestehend aus obigen notwendigen Bedingungen) de-

terminiert K, L und λ. Fur eine okonomische Interpretation ist es hilfsreich,

Bedingung 1 durch Bedingung 2 zu teilen:

pKpL

=−λ · ∂f(K,L)

∂K

−λ · ∂f(K,L)∂L

(4)

pKpL

=∂f(K,L)∂K

∂f(K,L)∂L

=r

w(5)

Eine bestimmte Menge wird also zu minimalen Kosten produziert, wenn das

Verhaltnis der Faktorpreise gerade dem Verhaltnis der Grenzproduktivitaten

der Faktoren entspricht.

6 Elastizitat

Wie schon im Kapitel “Steigung” erwahnt, sind Okonomen nicht nur an Niveaugroßen,

sondern insbesondere auch an Veranderungen interessiert. Manchmal reicht

das Konzept des Anstiegs, die absolute Veranderung des Funktionswertes bei

Variation des Argumentes, nicht aus. Die Anderung der nachgefragten Menge

von Mittelklassewagen durch Erhohung des Preises um einen Euro, mag nicht

ins Gewicht fallen. Anders bei Butter. Um solche Sensitivitaten vergleichbar

zu machen und von ihrer Einheit zu trennen, muss ein dimensionsloses Maß

her. Elastizitaten messen also die Anderung der einen Große im Verhaltnis zur

Anderung der anderen Große nicht absolut, sonder relativ.

Beispiel: Gegeben sei die Funktion y = f(x).

Der absolute Anstieg von f(x) durch Erhohung des Argumentes x auf x+ ∆x

lautet:

∆y

∆x=f(x+ ∆x)− f(x)

∆x.

Die relative Anderung, die Elastizitat von f bezuglich x, lautet:

εyx =∆y

y/

∆x

x=

∆y

y· x

∆x=x

y· ∆y

∆x=x

y· f(x+ ∆x)− f(x)

∆x.

Diese Definition der Elastizitat wird auch durchschnittliche oder Bogenelas-

tizitat von y im Intervall [x, x+ ∆x] genannt.

8

Um die Elastizitat “unabhangig” vom Zuwachs in x zu erhalten, kann fur dif-

ferenzierbare Funktionen ∆x gegen 0 betrachtet werden

lim∆x→0

x

y· f(x+ ∆x)− f(x)

∆x=

x

y· f ′(x) =

x

y· df(x)

dx.

Wegen infinitesimalen Anderungen in x wird diese Elastizitat auch Punktelas-

tizitat genannt.

7 Verschiebung von Graphen

Regeln:

• y = f(x) + c verschiebt Graphen um c Einheiten fur c > 0 nach oben, fur

c < 0 nach unten.

• y = f(x + c) verschiebt den Grphen fur c > 0 nach links, fur c < 0 nach

rechts.

x

y

x

y

Figure 5: Graphenverschiebung oben/unten - links/rechts

• y = c · f(x) streckt (staucht) den Graphen vertikal fur c > 1 (0 < c < 1 ),

fur c < −1 (−1 < c < 0) vertikale Streckung (Stauchung) und Spiegelung

an der X-Achse.

x

y

x

y

Figure 6: Graphenverschiebung strecken/spiegeln

9

8 Unsicherheit

Viele Entscheidungen, die Wirtschaftssubjekte tatigen, haben mit der Zukunft

zu tun. Unternehmen bilden Erwartungen uber die Entwicklung auf den Markten

fur die eigenen Produkte oder nehmen eine kunftige Zinsentwicklung in die Pla-

nung der Investitionsvorhaben auf. Konsumenten und Arbeitnehmer machen

sich Gedanken uber die zukunftige Preis- und Lohnentwicklung und beziehen

diese in heutiges Verhalten ein. Erwartungsbildung bedeutet in diesem Zusam-

menhang haufig, dass Unsicherheit uber das Eintreten eines bestimmten Ereignisses

in der Zukunft herrscht. Aus der statistischen Grundausbildung sind einige Mo-

mente von Zufallsvariabeln bekannt, die hier nochmal erwahnt werden.

8.1 Erwartungswert

Der Erwartungswert einer ZufallsvariableX ist die Summe der einzelnen Auspragungen,

gewichtet mit ihrer Eintrittswahrscheinlichkeit.

E(X) :=M∑j=1

xj · f(xj)

Der Erwartungswert entspricht dem arithmetischen Mittel bei statistischen

Variablen. Die Wahrscheinlichkeiten f(xj) ubernehmen hier die Rolle relativen

Haufigkeiten. Der Erwartungswert einer Variablen X wird haufig auch mit µX

bezeichnet.

8.2 Varianz

Die Varianz von Zufallsvariablen ist wie bei statistischen Variablen ein Streu-

ungsmaß. Die Varianz gibt die erwartete, quadrierte Abweichung der Zu-

fallsvariable von ihrem Erwartungswert an.

V (X) := E [X − E(X)]2

8.3 Kovarianz

Die Kovarianz zweier Zufallsvariablen mißt den Gleichlauf, die gemeinsame Ten-

denz, den stochastischen Zusammenhang dieser beiden Großen. Formal ist die

Kovarianz als der Erwartungswert des Produktes der Abweichungen der einzel-

nen Komponenten von ihrem jeweiligen Mittelwert definiert.

Cov(X,Y ) := E [(X − µY ) · (Y − µY )]

10

Sind die untersuchten Großen unabhangig voneinander, ist die Kovarianz Null.

Umgekehrt kann aus einer Kovarianz von Null nicht gleich auf Unabhangigkeit

geschlossen werden. Ist die Kovarianz aber verschieden von Null, so kann

bei positiven Werten von einem Gleichlauf, bei negativen Werten von einer

gegenlaufigen Bewegung ausgegangen werden. Da Kovarianzen mit obiger Def-

inition nicht untereinander vergleichbar sind, sondern von den absoluten Abwe-

ichungen abhangen, kann durch das Produkt der Standardabweichungen geteilt

werden und man erhalt den Korrelationskoeffizienten

ρXY :=Cov(X,Y )

σX · σYDer Korrelationskoeffizient hat dasselbe Vorzeichen wie die Kovarianz, liegt

aber stets zwischen −1 und +1. Er gibt die Strenge des linearen stochastis-

chen Zusammenhangs unabhangig von den Großenordnungen und Varianzen

der Variablen an.

9 Reihen

Eine Summe aus Zahlen der Form

sn = a+ ak + ak2 + . . .+ akn−2 + akn−1

wird geometrische Reihe mit dem Quotienten k genannt. In der okonomischen

Analyse treffen wir haufig auf solche Reihen. Beispielsweise beim Aufsummieren

eines diskontierten Zahlungsstromes oder dem Berechnen des Zeitpunktes an

dem eine Umweltresource erschopft sein wird. Zwei Dinge sind hier fur uns von

Bedeutung. Einmal interessiert uns der Wert der betrachteten Summe, zum

Anderen ob diese gegen einen festen endlichen Wert konvergiert. Die Antwort

auf die erste Frage ware ein einfaches aufsummieren der Reihenglieder. Bei

großen Reihen werden wir aber schnell an unsere Grenzen stoßen. Ein kleiner

Trick hilft uns weiter. Multipliziert man auf beiden Seiten mit k, erhalt man

ksn = ak + ak2 + . . .+ akn−1 + akn

Anschließende Subtraktion dieser von der ersten Gleichung ergibt

(1− k)sn = a− akn

sn =a− akn

1− k

Die Frage nach der Konvergenz (Divergenz) lasst sich fur geometrische Reihen

schnell beantworten. Fur k < 1 konvergiert die Summe fur steigendes n gegena

1−k und fur k > 1 divergiert die geometrische Reihe.

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10 Produktionsfunktion

Die in der makrookonomischen Analyse am haufigsten unterstellte Produktions-

funktion ist vom Typ Cobb-Douglas. Sie beschreibt die Kombinationsmoglichkeiten

der Inputs (Kapital, Arbeit) und den damit erreichbaren Output (Y ).

Y = f(K,L) = Kα · L1−α mit 0 < α < 1

Y=F[K,A]

Kapital

Arbeit

Y=F[K,A]

Figure 7: Cobb-Douglas Produktionsfunktion

10.1 Substitionsmoglichkeiten

Isoquanten beschreiben alle Kombinationen der Inputs, die zum gleichen Out-

put fuhren. Der Anstieg der Isoquante (Grenzrate der Substitution) gibt das

Substitutionsverhaltnis der Faktoren an. Fur Y = konst. kann der Anstieg

uber das totale Differential der Produktionsfunktion

dY =∂f(K,L)

∂K· dK +

∂f(K,L)

∂L· dL = 0

dL

dK= −

∂f(K,L)∂K

∂f(K,L)∂L

=αKα−1L1−α

(1− α)KαL−α=

α

1− αKα−1K−αL1−αLα =

α

1− αL

K

10.2 Grenzproduktivitat

Sie zeigt naherungsweise an, um welchen Betrag die Produktion steigt, wenn der

Faktoreinsatz um eine Einheit erhoht wird. Unter vollkommener Konkurrenz

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werden die Produktionsfaktoren nach ihrem Grenzprodukt entlohnt.

MPK =dY

dK=∂f(K,L)

∂K= αKα−1L1−α = r

MPL =dY

dL=∂f(K,L)

∂L= (1− α)KαL−α = w

10.3 Homogenitat

Eine Funktion y = f(x1, . . . , xn) heißt homogen vom Grad k, k ∈ R, wenn fur

jedes a ∈ R

f(ax1, ax2, . . . , axn) = akf(x1, x2, . . . , xn) gilt.

Eine Steigerung aller Inputs um den Faktor a bewirkt einen Anstieg der Pro-

duktion um den Faktor ak. Fur die Cobb-Dougloas Produktionsfunktion ergibt

sich folgender Homogenitatsgrad

f(aK, aL) = (aK)α (aL)1−α

= aαKαa1−αL1−α

= a1KαL1−α

= a1 · f(K,L)

Es liegt fur die Cobb-Douglas Produktionsfunktion Homogenitat vom Grad 1

vor. Solche Funktionen werden auch linear homogen genannt. Okonomisch in-

terpretiert bedeudet eine linear homogene Produktionsfunktion konstante Skalen-

ertrage. Eine Verdoppelung der Inputs (Kapital, Arbeit) hatte eine Verdop-

pelung des Outputs zur Folge.

10.4 Eulers Theorem - Ausschopfungstheorem

Aus dem Grad der Homogenitat einer Funktion lasst sich eine weitere wichtige,

okonomisch relevante, Eigenschaft ableiten.

Ist eine Funktion f(K,L) homogen vom Grad k, dann gilt

K · ∂f(K,L)

∂K+ L · ∂f(K,L)

∂L= k · f(K,L)

Fur die hier betrachtete Produktionsfunktion vom Typ Cobb-Douglas und die

eben gezeigte Eigenschaft linear homogen zu sein, ergibt sich

K · ∂f(K,L)

∂K+ L · ∂f(K,L)

∂L= K · r + L · w = 1 · f(K,L) = Y

Somit wird in kompetetiven Okonomien das Produktionsergebnis vollstandig

auf die Faktoren verteilt.

13

10.5 Substitutionselastizitat

Die “Schwierigkeit” bei einer isolierten Faktorpreisanderung (Produktivitatssteigerung)

eine geeignete Substitution der Faktoren vorzunehmen, wird dimensionslos in

der Substitutionselastizitat ausgedruckt. Eine relative Anderung der Faktor-

preise als Ursache und die daraus resultierende relative Anderung des Faktor-

einsatzverhaltnisses, kann geschrieben werden als

σ =

d(KL )KL

d(wr )

wr

=d(KL

)KL

·wr

d(wr

) =d(KL

)d(wr

) · wrKL

(6)

Mit dem Wissen aus Kapitel 10.2 konnen wir den Ausdruck wr auch schreiben

als

w

r=

(1− α)KαL−α

αKα−1L1−α =(1− α)

α· KL

(7)

Umstellen nachwrKL

ergibt

wrKL

=(1− α)

α(8)

Den Ausdruck in (7) nach KL umgestellt und als linear in w

r interpretiert, ergibt

sich

d(KL

)d(wr

) =α

(1− α)(9)

(8) und (9) in (6) eingesetzt ergibt sich fur σ

σ =α

(1− α)· (1− α)

α= 1

Die Produktionsfunktion vom Typ Cobb-Douglas weist demnach eine Substitu-

ionselastizitat von 1 auf. Unternehmen mit einer solchen Produktionsfunktion

reagieren auf eine Anderung des Lohn-Zins Verhaltnisses mit einer gleichen

Anderung der Kapitalintensitat.

11 Ableitungen elementarer Funktionen

f(x) f’(x)

Konstante c 0

xn n · xn−1

expx expx

ax (a > 0; a 6= 1) ax · ln(a)

a−x (a > 0; a 6= 1) −a−x · ln(a)

ln(x) 1x

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References

[1] A. Chiang, K. Wainwright (2005), Fundamental Methods of Mathemat-

ical Economics, 4. Auflage, NewYork.

[2] P. Dorsam (2005), Mathematik anschaulich dargestellt, 12. Auflage, Hei-

denau.

[3] K. Sydsaeter, P. Hammond (2006), Mathematik fur Wirtschaftswis-

senschaftler, 2. Auflage, Munchen.

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