Mechanik deformierbarer Medien

Elastomechanik fester Körper

Inhalt

• Elastische und plastische Verformung• Gefüge-Eigenschaften• Dehnungselastiztät• Elastizitätsmodul• Querkontraktion, Poisson-Zahl

Dehnungselastizität

2/l2/l l

Es ziehe zu beiden Seiten eine Kraft F

Die Angriffsfläche, ihr Betrag sei A, stehe senkrecht zur Kraft

SI Einheit

1 N / m2

Hookesches Gesetz: Die Spannung ist proportional zur Dehnung

E 1 N / m2 Elastizitätsmodul

1Dehnung, relative Längen Änderung

1 N / m2

„Normalspannung“ (Quotient Kraft durch Angriffsfläche)

Das Hookesche Gesetz bei Dehnung

E

l

Δl

A

F

Material E [N/m2] E [N/mm2]

Fe 2·1011 2·105

Al 7·1010 7·104

Glas 6·1010 6·104

Holz (Esche) 1·1010 1·104

Gummi 1·109 1·103

Beispiele für Elastizitätsmoduli In der Technik gebräuchlich

Versuch zum Zusammenhang zwischen atomarem Aufbau und Elastizität

• Ausglühen erhöht die Anzahl der Fehlstellen, der Draht wird spröde

• „Recken“ ordnet das Gefüge, der Draht wird wieder elastisch

Die Poisson-Zahl

• Wird das Material verlängert, dann wird sein Durchmesser kleiner, weil das Volumen annähernd konstant bleibt.

• Das Verhältnis der relativen Änderungen des Durchmessers und der Länge heißt Faktor der Querkontraktion oder Poisson-Zahl. Sie liegt zwischen 0,2 und 0,5.

ist die Poisson-Zahl,

Die Poisson-Zahl

2/l2/l l

d dd

Es ziehe zu beiden Seiten eine Kraft F

l

l

d

d

5,02,0

Versuch zur Querkontraktion

• Querkontraktion eines elastischen Seils

Anwendung des Hookeschen Gesetzes

• Federkraft • Reversible elastische Verformung von

festen Stoffen• Gegensatz zu reversibler Verformung nach

dem Hookeschen Gesetz:– Plastische Verformung, Fließen,

Viskosität

Einheit

F = k·s 1NKraft zur Verformung der Feder um die Länge s

k 1 N/m Federkonstante

F

F

2/s2/s

Feder – das Hookesche Gesetz

Einheit

F = - k·s 1NRückstellkraft einer Feder bei Verformung um die Länge s

k 1 N/m Federkonstante

FF

2/s2/s

Hookesche Rückstellkraft einer Feder

Die Rückstellkraft ist der Verformung entgegengerichtet

Dehnung eines Stahldrahts - Hookescher Bereich

DehnungHookescher

Bereich

Spannung

Dehnung eines Stahldrahts bis zur Bruchgrenze

Spannung

DehnungHookescher Bereich

Bereich plastischer Verformung

Elastizität

Bei elastischer Verformung kehren die Atome nach Rückstellung der Kraft in ihre Ausgangslage zurück

Plastische Verformung, Fließen

Bei plastischer Verformung bleiben Atome nach Rückstellung der Kraft in anderen Positionen zurück: Das Gitter wurde aufgeweitet, mechanische Energie in Wärme verwandelt

Versuch zum Verlauf der Dehnung

• Dehnung eines Stahldrahts bis zum Bruch

Fragen / Antworten

• Q: Weshalb dient die Energie zum Spannen einer Feder nicht der Anregung von Gitterschwingungen (Wärme)?

• A: Die „Frequenz“ des Dehnens liegt weit unterhalb der Frequenz der Gitterschwingungen – Erst Frequenzen im akustischen Bereich

regen im Material „akustische Schwingungen“an

Zusammenfassung

• Die charakteristische Eigenschaft des festen Zustands ist seine Elastizität bei Zugspannung

• Elastizitätsmodul: Proportionalitätskonstante zwischen Spannung und Dehnung

• Anwendung: – Hookesches Gesetz für eine Feder– Dehnung eines Drahtes

• Bei zunehmender Belastung: – Fließen – Bruch

• Poissonsche Zahl: Beziehung zwischen der Querkontraktion und relativer Längen Änderung

finis

Klick auf die linke Maustaste startet Demo zu Querkontraktion und Poissonscher Zahl