MING CHENG INSTITUTStaatlich anerkanntes StudienkollegHalle-Merseburg an der Hochschule Merseburg

Mechanik I

Thema 1: Statik des Massepunktes

Statik des Massepunktes

• klassische Mechanik = Statik + Kinematik + Dynamik

• Statik: Wirkung von Kräften & Gleichgewichtsbedingen bei ruhenden Körpers

• einfache Betrachtung: Körper = Massepunkt (Volumen vernachlässigt)

Die physikalische Größe Kraft

• qualitative Beschreibung →Wirkung der Kraft

Kräfte sind die Ursachen von Formänderungen oder Änderungen der Geschwindigkeit von Körpern.

• Kraft Ԧ𝐹 = vektorielle Größe Einheit: [F] = 1 N

• Grafische Darstellung: als Pfeil → Richtung der Kraft bestimmt• Betrag & Richtungssinn

Das Wechselwirkungsgesetz

Zu jeder Kraft gehört eine Gegenkraft. Beide Kräfte haben denselben Betrag,

sind aber entgegengesetzt gerichtet.

actio = reactio

Ԧ𝐹1 = - Ԧ𝐹2

• Kräfte Ԧ𝐹1 & Ԧ𝐹2 wirken wechselseitig aufeinander

• gleiche Wirkungslinie, aber verschiedene Angriffspunkte

Messung von Kräften

• Messgerät: Federkraftmesser

→Wirkt auf die Feder eine Kraft, so wird die Feder verlängert.

→ Es gilt: 𝐹 ~ ∆𝑙

Zusammensetzung von Kräften

• Problem: • auf einen Körper wirken gleichzeitig mehrere Kräfte

• Wirkung kann durch eine einzige Kraftersetzt werden → resultierende Kraft

• Lösung:

• Kräftezerlegung → Zusammensetzung von Teilkräften (Komponenten)

• grafisch: Vektorparallelogramm

Berechnung:

𝐹 = 𝐹12 + 𝐹2

2 + 2𝐹1𝐹2𝑐𝑜𝑠𝛼

• Problem:• mehr als zwei Teilkräfte wirken auf Körper

• Lösung:

• Kräftepolygon → Konstruktion durch Parallelverschiebung der Teilkräfte

• Gesamtkraft: Verbindung Angriffspunkt – Endpunkt Ԧ𝐹4

Zerlegung einer Kraft

• Möglichkeit, eine Gesamtkraft in Teilkräfte zu zerlegen

Zerlegung der Gewichtskraft FG in:• Hangabtriebskraft FHa

• parallel zur geneigten Ebene

• Normalkraft FN• senkrecht zur geneigten Ebene

Das statische Gleichgewicht

• Körper in Ruhe = statisches Gleichgewicht

• Kräfte wirken → Änderung der Geschwindigkeit

• wenn Körper in Ruhe sein soll: Kräfte müssen sich aufheben

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Mechanik I

Thema 2: Kinematik des Massepunktes

Grundbegriffe der Kinematik

Bewegung & Bezugssystem:

• jeder physikalische Vorgang in Raum & Zeit → Raum-Zeit-Beziehung

• Raum: mit Längenmaß messbar

• Zeit: mit Uhren messbar

Mechanische Bewegung:

• Ortsänderung eines Körpers

• jede Ortsänderung = Translation

Bezugssystem:

• zur Beschreibung mechanischer Bewegung

• Bestimmung des Orts (die Lage) eines Körpers mit einem anderen Körper

Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung

Weg s:

Wenn sich ein Massepunkt bewegt, so legt er in einer bestimmten Zeit einen Weg s zurück.

• Einheit: [s] = 1 m

• Weg = Funktion der Zeit → s = s(t)

Geschwindigkeit v:

Die Geschwindigkeit gibt an, wie schnell der Weg zurückgelegt wird.

• Einheit: [v] = 1𝑚

𝑠

• Durchschnittsgeschwindigkeit ҧ𝑣 =∆𝑠

∆𝑡

• Momentangeschwindigkeit 𝑣 = ሶ𝑠 =𝑑𝑠

𝑑𝑡= lim

∆𝑡 → 0

∆𝑠

∆𝑡

Beschleunigung a:

Mit der Beschleunigung wird die Änderung der Geschwindigkeit beschrieben. Sie gibt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert.

• Einheit: [a] = 1𝑚

𝑠²

• Durchschnittsbeschleunigung: ത𝑎 =𝑣2 −𝑣1𝑡2 −𝑡1

=∆𝑣

∆𝑡

• Momentanbeschleunigung 𝑎 = ሷ𝑠 =𝑑2𝑠

𝑑2𝑡= ሶ𝑣 =

𝑑𝑣

𝑑𝑡= lim

∆𝑡 → 0

∆𝑣

∆𝑡

Bewegungengradlinige Bewegung:

• lineare Bewegung mit konstanter Richtung

gleichförmige Bewegung:

• Bewegung mit gleichbleibender Geschwindigkeit

gleichförmige gradlinige Bewegung:

• Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit & ohne Richtungsänderung

gradlinig ungleichförmige Bewegung:

• Bewegung mit variabler Geschwindigkeit → Beschleunigung a

Der freie Fall

Der freie Fall ist die Bewegung eines Körpers unter dem ausschließlichem Einfluss der Gravitationskraft. Man versteht vorwiegend die beschleunigte Bewegung senkrecht nach unten, wobei die Reibung vernachlässigt wird.

• Beschleunigung 𝑔 = 9,81𝑚

𝑠²

• bei t = 0 & s = 0

→ Fallhöhe h = s(t) →

Zusammengesetzte Bewegungen

Teilbewegungen einer zusammengesetzten Bewegung überlagern sich und sind voneinander abhängig.

• Darstellung von Weg, Geschwindigkeit & Beschleunigung vektoriell

Der waagerechte Wurf• Körper beschreibt eine gekrümmte Bahnkurve

• Zusammensetzung aus freiem Fall & gleichförmiger horizontalen Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit v0

gleichförmige Bewegung in x-Richtung + freier Fall

+

Wurfparabel:

Der senkrechte Wurf nach oben

• Annahme: h0 = 0

• Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Zeit

• Zusammenhang zwischen Weg & Zeit

• Überlagerung von gleichförmige Bewegung + freiem Fall• Geschwindigkeit nimmt mit der Zeit ab

• Steigzeit ts = Dauer des Steigens → Geschwindigkeit = 0

• Maximale Wurfhöhe sy,max

mit und

Der schiefe Wurf

• wenn Anfangsgeschwindigkeit einer Bewegung mit der Horizontalen einen Winkel α mit 0° < α < 90°

→ Zerlegung von 𝑣0 in x- & y-Komponente

und

→ x-Richtung: gleichförmige Bewegung mit Geschwindigkeit 𝑣0𝑥

→

→ y-Richtung: Teilbewegung aus gleichförmiger Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit 𝑣0𝑦 & freiem Fall

Wurfparabel:

Gleichförmige Kreisbewegung

• spezielle Form der krummlinigen Bewegung

• Bewegung eines Massepunktes auf einer Kreisbahn

• Bewegung auf Kreisbahn → Translation (keine Rotation!)

• Betrag der Geschwindigkeit Ԧ𝑣 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

Beispiele:

• Bewegung der Planeten um die Sonne

• Bewegung eines Satelliten um die Erde

Bahngeschwindigkeit & Winkelgeschwindigkeit

• Massepunkt auf Kreisbahn mit r

• Massepunkt legt im Zeitintervall Δt den Weg Δs zurück

• zu Δs→ Drehwinkel ∆𝜑

Δs = r Δ𝜑

→ Einheit: Bogenmaß

• Betrag der Geschwindigkeit = konstant

→ Bahn- bzw. Tangentialgeschwindigkeit

Winkelgeschwindigkeit: 𝜔 =Δ𝜑

Δ𝑡= 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

→ aus den Gleichungen erhält man: 𝑣 = 𝜔𝑟 bzw. Ԧ𝑣 = 𝜔 × Ԧ𝑟

Umlaufzeit T:

• Masse benötigt bestimmte Zeit um Kreisbahn genau 1x zu durchlaufen

• ein Umlauf = 2π

→ aus 𝜔 =2𝜋

𝑇ergibt sich 𝑇 =

2𝜋

𝜔

Drehzahl n:

• Zahl der Umläufe k in einer bestimmten Zeiteinheit

→ 𝑛 =𝑘

𝑡=

1

𝑇

Die Radialbeschleunigung

• Bahngeschwindigkeit = konstant, aber ständige Richtungsänderung

es gibt Beschleunigung, die Richtungsänderung beschreibt

→ zum Kreismittelpunkt gerichtet

→ nötig: Zerlegung der Bewegung in zwei

geradlinige Bewegungen

• für 𝑥 = 𝑟 cos𝜔 𝑡 und 𝑦 = 𝑟 sin𝜔 𝑡

• Geschwindigkeit in x-Richtung: 𝑣𝑥 = ሶ𝑥 = 𝑟𝜔 sin𝜔 𝑡

• Geschwindigkeit in y-Richtung: 𝑣𝑦 = ሶ𝑦 = 𝑟𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑡

• Gesamtgeschwindigkeit = Bahngeschwindigkeit aus 𝑣𝑥 & 𝑣𝑦

→ nochmalige Differentiation für die Beschleunigung in x- & y-Richtung

𝑎𝑥 = ሷ𝑥 = −rω2𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑡

𝑎𝑦 = ሷ𝑦 = 𝑟𝜔2𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑡

Gesamtbeschleunigung = Radialbeschleunigung ar

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Mechanik I

Thema 3: Dynamik des Massepunktes

Newtonschen Axiome

• Isaac Newton (1687) „Philosophiae naturalis principia mathematica“

→ im Mittelpunkt: Frage nach der Ursache der Geschwindigkeitsänderung eines Körpers

• Axiom = absolut richtig erkannter Grundsatz

gültige Wahrheit, die keines Beweises bedarf

Dynamik:

→ Zusammenhang zwischen Kraft & Änderung des Bewegungszustandes

Grundgleichung der Dynamik

• Bewegungszustand durch Geschwindigkeit charakterisiert

→ in Ruhe: v = 0

→ bei geradliniger gleichförmiger Bewegung: Ԧ𝑣 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 ≠ 0

• zur Änderung des Zustandes: Kraft benötigt

→ von Newton untersucht

→ für einen best. Körper: Kraft & Beschleunigung direkt proportional

• Zusammenhang zwischen Kraft & Beschleunigung:

𝑭 = 𝒎𝒂

𝑭 ist die Kraft, die auf einen Körper der Masse 𝒎 wirkt und dabei eine Beschleunigung 𝒂 hervorruft.

→ Kraft & Beschleunigung stimmen im Richtungssinn überein

→ wirken mehrere Kräfte: Ԧ𝐹 = resultierende Gesamtkraft

• Einheit: [F] = 1kg 𝑚

𝑠²= 1 N

Das Trägheitsgesetz

• Spezialfall der Grundgleichung der Dynamik

→ wenn F = 0, dann ist resultierende Kraft aller wirkenden Kräfte = 0

𝒎𝒂 = 𝟎 → da 𝒎 ≠ 𝟎 muss 𝒂 = 𝟎

→ Körper ist in Ruhe oder in geradliniger gleichförmiger Bewegung

→ keine Änderung des Bewegungszustandes, wenn keine Kraft wirkt

→ Körper ist träge

→ Änderung des Bewegungszustandes ergibt sich aus der untersch. Masse

→Masse = Maß für Trägheit

Die Gewichtskraft

• Kraft, mit der ein Körper von der Erde angezogen wird

→ Grundgleichung der Dynamik

• angepasst an Gewichtskraft: FG

• angepasst an Fallbeschleunigung: g

FG wirkt in Richtung von g

Trägheitskräfte

Wenn ein Körper beschleunigt wird, so sieht ein mitbewegter Beobachter, dass sich der Körper mit entgegengesetztemRichtungssinn beschleunigt und von ihm entfernt.

→ Kraft, die den Körper beschleunigt = Trägheitskraft

→ Trägheitskräfte existieren nur in beschleunigten Bezugssystemen

𝑭𝑻 = −𝑭 = −𝒎𝒂

Inertialsysteme

• lat. inertia = Trägheit

• genaue Unterscheidung zwischen

beschleunigten Bezugssystemen &

sich geradlinig gleichförmig bewegenden Bezugssystemen

• Inertialsysteme = Bezugssysteme, in denen das Trägheitsgesetz gilt

• Inertialsysteme = jede geradlinig gleichförmig bewegten Bezugssysteme

Die Reibungskraft

Beispiel:

𝐼: Kugel auf geneigter Ebene

• infolge von 𝐹𝐺 bzw. 𝐹𝐻𝑎 rollt die

Kugel nach unten

• Geschwindigkeit nimmt zu

𝐼𝐼: Kugel auf horizontaler Ebene

• Geschwindigkeit verringert sich

• Ursache: Reibungskraft 𝐹𝑅 𝐼𝐼 𝐼

Reibung ist die unumkehrbare Umwandlung von mechanischer Energie in Wärme.

→Rutschkriterium: Reibungskoeffizient µ

𝑎 =𝐹𝐺 (sin 𝛼 − µ cos 𝛼)

𝑚→ sin 𝛼 − µ cos 𝛼 > 0 in Bewegung

→ sin 𝛼 − µ cos 𝛼 < 0 in Ruhe

𝑎

𝑔= (sin 𝛼 − µ cos 𝛼)

µ =𝒔𝒊𝒏𝜶 − (

𝒂𝒈)

𝒄𝒐𝒔𝜶

𝑭𝑹

Radialkräfte

Bewegt sich eine Masse auf einer Kreisbahn gleichförmig, so handelt es sich trotzdem um eine beschleunigte Bewegung, weil sich die Richtung von 𝒗 ständig ändert.

→ Radialbeschleunigung 𝑎𝑟 zum Zentrum gerichtet

→ Ursache: Radialkraft 𝐹𝑟

→ Ԧ𝑣 ⏊ 𝐹𝑟

𝑭𝒓 = 𝒎𝒂𝒓 = 𝒎𝒗²

𝒓= 𝒎𝝎𝟐𝒓

𝑭𝒓 = 𝟒𝝅2𝒎𝒏2𝒓 → 𝑭𝒓 ~ 𝒏²

→ Zusammenhang zwischen Radialkraft und Drehzahl

Bewegt sich ein Körper auf einer Kreisbahn gleichförmig und wirkt die Radialkraft plötzlich nicht mehr, so bewegt sich der Körper geradlinig gleichförmig auf der Bahntangente weiter.

→ Ursache: Trägheit

→ Beispiel: Hammerwurf

Die Fliehkraft

• gleichförmige Kreisbewegung mit mitbewegtem Beobachter

• Personen im beschleunigtem Bezugssystem spüren eine nach außen gerichtete Kraft

→ Fliehkraft oder Zentrifugalkraft 𝐹𝑍Beispiel:

• Person im Karussell

• Beschleunigungssimulator (Raumfahrt)

𝑭𝒁 = 𝒎𝒗²

𝒓= 𝒎𝝎𝟐𝒓 und 𝑭𝒓 = −𝑭𝒁

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Mechanik I

Thema 4: Arbeit & Energie

Mechanische Arbeit

Wenn man einen Körper gegen eine wirkende Kraft verschiebt oder wenn man seine Geschwindigkeit ändert, so wird dabei mechanische Arbeit verrichtet.

→ bestimmt durch notwendige Kraft & zurückgelegten Weg

• Arbeit bei konstanter Kraft: 𝑾 = 𝑭 ∙ 𝒔 = 𝑭 𝒔 𝒄𝒐𝒔𝜶

• Einheit: [W] = 1Nm = 1J

• mechanische Arbeit = Skalarprodukt aus Kraft & zurückgelegtem Weg

• mechanische Arbeit = 0, wenn Ԧ𝑠 ⏊ Ԧ𝐹

• mechanische Arbeit = Fläche im F-s-Diagramm

Ist die Kraft entlang des Weges nicht konstant, so kann man sie als Funktion des Weges darstellen: F = F(s).

• Addition der Flächenelemente von s0 bis s1 → Flächeninhalt

→ es gilt: 𝑊 = σ𝑖=1𝑛 𝐹𝑖 ∆𝑠𝑖

• Arbeit bei veränderlicher Kraft:

𝑾 = 𝒔𝟎

𝒔𝟏𝑭 𝒔 𝒅𝒔

Beispiele mechanischer Arbeit

Hubarbeit:

Beim Heben eines Körpers um die Höhendifferenz Δh wird eine Arbeit gegen die Schwerkraft verrichtet.

→ für Ԧ𝑣 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 = reibungsfrei

→ Ԧ𝑠 || Ԧ𝐹

→ für kleines Δh: Ԧ𝐹 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

𝑾𝑯 = 𝑭𝒔 = − 𝑭𝑮∆𝒉 = −𝑭𝑮∆𝒉𝐜𝐨𝐬𝟏𝟖𝟎°

𝑾𝑯 = 𝑭𝑮∆𝒉 = 𝒎𝒈∆𝒉

Reibungsarbeit:

Jede Verschiebung ist mit Reibung verbunden. Es wird beim Verschieben eines Körpers eine Reibungsarbeit gegen die

Reibungskraft 𝑭𝑹 verrichtet.

→ für Ԧ𝑣 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡→ Zugkraft 𝐹𝑧 nötig

→ 𝐹𝑅 & 𝐹𝑧 = gleicher Betrag, aber entgegengesetzt

𝑾𝑹 = 𝑭𝑹𝒔 = 𝝁𝑭𝑵𝒔

Dehnungsarbeit:

Beim Dehnen einer Schraubenfeder wird Dehnungsarbeit gegen die Federkraft verrichtet.

→ Federkraft & Längenänderung = direkt proportional

→ 𝐹 = 𝐷Ԧ𝑠 (𝐷 = Federkonstante)

→ Flächeninhalt entspricht Dehnungsarbeit

𝑾𝑫 = න𝟎

𝒔𝟏𝑭 𝒅𝒔 = න

𝟎

𝒔𝟏𝑫 𝒔 𝒅𝒔

𝑾𝑫 =𝟏

𝟐𝑫 𝒔𝟏

𝟐 =𝟏

𝟐𝐅𝟏 𝐬𝟏

Beschleunigungsarbeit:

Wenn man die Geschwindigkeit eines Körpers erhöhen will, muss man am Körper eine Beschleunigungsarbeit verrichten.

→ Kraft erzeugt konstante Beschleunigung

→ Geschwindigkeit gleichmäßig erhöht

• es gelten: und →

𝑾𝑩 = 𝑭 𝒔 = 𝒎𝒂𝒗²

𝟐𝒂=

𝟏

𝟐𝒎𝒗²

Mechanische Leistung

• Quotient aus verrichteter Arbeit W und der dafür benötigten Zeit t

𝑷 =𝑾

𝒕

• Einheit: [P] = 1 𝑁𝑚

𝑠= 1 W

• gibt an, wie schnell eine bestimmte Arbeit verrichtet wird

• nur für 𝑃 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡, wenn 𝑊 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

Formen der mechanischen Arbeit

Unter Energie versteht man das Arbeitsvermögen eines Körpers oder physikalischen Systems. Ein Körper, der Energie besitzt, kann Arbeit verrichten.

→ bestimmter Zustand eines Körpers oder Systems → Zustandsgröße

Potentielle Energie & Hubarbeit

• Körper in einer bestimmter Höhe ℎ1 ≠ 0→ 𝐸𝑝𝑜𝑡1 =𝑚𝑔ℎ1

• anheben auf Höhe ℎ2 > ℎ1→𝑊𝐻 = 𝑚𝑔(ℎ2− ℎ1)

• Körper hat dann 𝐸𝑝𝑜𝑡 = 𝑚𝑔ℎ2

→ Hubarbeit vergrößert potentielle Energie

∆𝑬𝒑𝒐𝒕 = 𝑬𝒑𝒐𝒕𝟐 − 𝑬𝒑𝒐𝒕𝟏 = 𝒎𝒈𝒉𝟐 −𝒎𝒈𝒉𝟏 = 𝒎𝒈∆𝒉 = 𝑾𝑯

→ wird vom Körper 𝑊𝐻 verrichtet, verringert sich seine 𝐸𝑝𝑜𝑡

Kinetische Energie & Beschleunigungsarbeit

• Körper mit einer Geschwindigkeit 𝑣1 ≠ 0→ 𝐸𝑘𝑖𝑛1 =

1

2𝑚𝑣1²

• beschleunigen auf Geschwindigkeit 𝑣2 > 𝑣1→𝑊𝐵 =1

2𝑚(𝑣2− 𝑣1)

• Körper hat dann 𝐸𝑘𝑖𝑛 =1

2𝑚𝑣2²

→ Beschleunigungsarbeit vergrößert kinetische Energie

∆𝑬𝒌𝒊𝒏 = 𝑬𝒌𝒊𝒏𝟐 − 𝑬𝒌𝒊𝒏𝟏 =𝟏

𝟐𝒎𝒗𝟐² −

𝟏

𝟐𝒎𝒗𝟐² =

𝟏

𝟐𝒎∆𝒗² = 𝑾𝑩

→ wird vom Körper 𝑊𝐵 verrichtet, verringert sich seine 𝐸𝑘𝑖𝑛

Der Energieerhaltungssatz

• Umwandlung von 𝐸𝑘𝑖𝑛 ↔ 𝐸𝑝𝑜𝑡 im geschlossenen mechan. System

→ im System wird keine Arbeit verrichtet

→ keine Einwirkung von außen

In einem abgeschlossenen mechanischen System ist die Summe aus kinetischer und potentieller Energie konstant.

𝑬𝒑𝒐𝒕+ 𝑬𝒌𝒊𝒏 = 𝑬𝒈𝒆𝒔 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕