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Messunsicherheitsanalyse Tag 2
4 STATISTISCH BESTIMMTE UNSICHERHEITEN (GUM TYP A)
In diesem Versuchsteil soll bestimmt werden, ob die getrockneten Erbsen zweier verschiedener
Supermärkte von der gleichen Sorte sind.
4.1 VORBEREITUNG
Tragen Sie zu jeder Größe die zugehörige Formel und ggf. Interpretation ein.
Arithmetischer Mittelwert
�̅� =______________________
𝑛:________________
𝑥𝑖:________________
Standardabweichung der Stichprobe
𝜎𝑥 =______________________
Ist ein Maß für _____________________________________
_____________________________________________
Standardabweichung des Mittelwerts
𝜎�̅� =______________________
Ist ein Maß für _____________________________________
_____________________________________________
Kehren Sie nochmals zu Versuchsteil 1.1 Punkt 3 zurück und berechnen Sie die Unsicherheit des
Mittelwerts Ihrer Daten bei der wiederholten Messung der Periodendauer des Fadenpendels!
𝑢(𝑥) = 𝜎�̅� =_____________________________________________
2
4.2 MESSUNG
1. Holen Sie sich (für jede Zweiergruppe) zwei Messschieber und von jeder Erbsensorte
(„Kaufland“ bzw. „Netto“) ein Schälchenset.
2. Die Aufkleber in den Schälchen bezeichnen Ihr Team. Treffen Sie sich mit Ihrem Team in
einem Raum.
A Teamtreffen
3. Formulieren Sie ein Forschungsziel und schätzen Sie ab, wie viele Messungen Sie benötigen
werden, um es zu erreichen. __________________________________
__________________________________________________
4. Messen Sie den minimalen Erbsendurchmesser zweier beliebiger Erbsen auf 0.1 mm genau.
Schauen Sie bei der Entnahme der Erbse nicht in das Schälchen, ziehen Sie zufällig!
𝑑 in mm
5. Tragen Sie hier die Messwerte Ihres gesamten Teams ein:
𝑑 in mm Anzahl 𝑑 in mm Anzahl
Ablesen eines Messschiebers [1]
Der Wert der Hauptskala wird an dem Skalenstrich bei der Ziffer 0 der Nebenskala oder direkt links
daneben abgelesen.
Im nebenstehenden Beispiel entspricht er 23 mm.
Der Wert der Nebenskala, auch Nonius genannt, macht es möglich, den Messwert auf 0.05 mm genau
anzugeben. Er wird dort abgelesen, wo ein Skalenstrich des Nonius einem der Hauptskala genau
gegenübersteht. Im nebenstehenden Beispiel ist das beim Noniuswert 6 der Fall.
Der Messwert beträgt also 23.6 mm.
3
6. Notieren Sie hier Erkenntnisse aus Ihrem Teamgespräch:
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7. Bereiten Sie nun die Daten als Histogramm auf.
Ein Histogramm veranschaulicht die Häufigkeitsverteilung eines metrisch erfassten
Merkmals. Zunächst werden Klassen einer bestimmten Breite auf der 𝑥-Achse definiert, in
die die Messwerte einsortiert werden. Auf der 𝑦-Achse ist die Häufigkeit des Merkmals
aufgetragen. Es ergeben sich Rechtecke, deren Fläche die Klassenhäufigkeit repräsentiert.
8. Berechnen Sie den Mittelwert �̅� =____________________ und
zeichnen Sie ihn als vertikale Linie ins Histogramm ein.
9. Berechnen Sie die Standardabweichung der Stichprobe und die Standardabweichung des
Mittelwerts und zeichnen Sie beides auf sinnvolle Art und Weise oben ein.
𝜎𝑥 = √1
𝑛−1∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2
𝑖 =______________ 𝜎�̅� =𝜎𝑥
√𝑛=______________
10. Treffen Sie sich anschließend mit Ihrem Versuchspartner (aus der Zweiergruppe).
4
B Gruppentreffen
11. Vergleichen Sie die Ergebnisse aus den Teamtreffen.
a) Können Sie die Forschungsfrage bereits beantworten?
b) Welche Kriterien sind für die Entscheidung relevant?
12. Zeichnen Sie die für die Erbsenfrage entscheidenden Erkenntnisse aus Ihren Histogrammen
in das folgende Diagramm ein:
13. Schätzen Sie noch einmal ab, wie viele Messungen Sie für jede Erbsensorte benötigen
werden, um eine Aussage darüber treffen zu können, ob sie der gleichen Sorte angehören!
Wird diese Aussage eindeutig sein? ______________________________
__________________________________________________
14. Kehren Sie jetzt zu Ihrem Team zurück.
C Teamphase
15. Diskutieren Sie mit der Tutorin / dem Tutor die bisherigen Ergebnisse!
16. Loggen Sie sich jetzt auf der AP-Webseite ein (jede Person auf einem eigenen PC bzw.
Laptop) und melden Sie sich als Person für das im Schälchen vermerkte Unterteam beim
NitPicking-Experiment an („Erbsenzählen“ im Menü).
Öffnen Sie außer dem Eingabefenster auch mindestens den „Progress Graph“ und das
„Teams Histogram“ , um den Fortschritt der Messungen zu verfolgen.
Tragen Sie Ihre eigenen bisherigen Messwerte ein und messen Sie weitere, blind aus dem
Schälchen gezogene, Erbsen auf 0.1 mm genau.
Beachten Sie, dass Ihr Team zweigeteilt ist (z. B. Unterteams „Netto A“ und „Netto B“) und
sich dadurch die bisherigen Messwerte für Ihre Erbsensorte „aufteilen“.
Ihnen stehen nun (durch Buttons im Eingabefenster oder auf der NitPicking-Startseite)
mehrere Live-Auswertungsplots zur Verfügung.
Beobachten Sie während der Messung vor allem, wie sich diejenigen Größen ändern, die
Sie oben als entscheidend definiert haben!
d
Netto Kaufland
5
4.3 AUSWERTUNG
Ihnen stehen nun unter „Data Exports“ auf der NitPicking-Startseite alle ausgewerteten Daten
zur Verfügung. Verwenden Sie sie im Folgenden sinnvoll.
A Unterschied zwischen Standardabweichung der Stichprobe und Standardabweichung des
Mittelwerts
1. Tragen Sie in die folgende Tabelle die Entwicklung der Standardabweichung der Stichprobe
und der Standardabweichung des Mittelwerts bei den verschiedenen Teams für sinnvoll
gewählte Anzahlen ein!
Team
____
___
___
_
____
Anzahl
�̅� in mm
𝜎𝑥 in mm
𝜎�̅� in mm
Team
____
___
___
_
____
Anzahl
�̅� in mm
𝜎𝑥 in mm
𝜎�̅� in mm
Team
____
___
___
_
____
Anzahl
�̅� in mm
𝜎𝑥 in mm
𝜎�̅� in mm
Team
____
___
___
_
____
Anzahl
�̅� in mm
𝜎𝑥 in mm
𝜎�̅� in mm
6
d
n
2. Zeichnen Sie hier das Fortschrittsdiagramm („Progress Graph“) qualitativ ein.
3. Füllen Sie die Lücken im Merktext mit den unten angegebenen Begriffen.
Beobachtung:
Die Standardabweichung _____ ______________ bleibt schon nach wenigen
Messungen nahezu konstant. • Die Standardabweichung _____ _______________ wird mit steigender
Anzahl von Messungen _________________________.
Schlussfolgerung:
Die Standardabweichung der Stichprobe ________________ von der Größe 𝑛 der
Stichprobe ab. Sie ist ein Maß für die ___________________________ ,
oder in unserem Beispiel für die ________________________________.
Die Standardabweichung des Mittelwerts _______________ von der Größe 𝑛 der
Stichprobe ab (nach ______________ ).
Sie ist ein _______________________ für die Unsicherheit des Mittelwerts.
der Stichprobe • die biologische Variabilität des Erbsendurchmessers •
hängt deutlich • 𝜎�̅� =𝜎𝑥
√𝑛 • des Mittelwerts • immer kleiner • 𝜎𝑥 • 𝜎�̅� •
Streuung der Messwerte • hängt nicht • statistisches Maß
7
B Verträglichkeit der beiden Erbsendurchmesser
Wie schon am ersten Versuchstag wollen wir die Verträglichkeit von Messwerten mit Hilfe eines
Signifikanztests überprüfen.
Nullhypothese: Die Erbsen sind von der gleichen Sorte.
4. Geben Sie hier nochmals die Ergebnisse für die beiden Erbsendurchmesser Ihres Teams und
des Teams Ihres Partners mit der zugehörigen Unsicherheit an:
�̅�1 = _____________________ �̅�2 =_____________________
5. Berechnen Sie die Differenz 𝑑 der Erbsendurchmesser und die zugehörige kombinierte
Messunsicherheit 𝑢(𝑑).
𝑑 = _____________________ 𝑢(𝑑) = _____________________
𝑑 = _____________________ 𝑢(𝑑) = _____________________
6. Welche Differenz erwarten Sie unter Annahme der Nullhypothese? 𝑑erw = _______
7. Nehmen Sie nun 𝑢(𝑑) ∶= 𝜎 als Unsicherheit der erwarteten Differenz an.
Beschriften Sie das folgende Diagramm so, dass es der konstruierten Situation entspricht
und zeichnen Sie 𝑑 als vertikale Linie ein.
8. Wie viele Standardunsicherheiten 𝑢(𝑑) weicht 𝑑 von 𝑑erw ab?
𝑡 =________________________________________________
Unter Voraussetzung einer Normalverteilung gilt: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis
maximal 𝑡 Standardabweichungen von 𝑑erw entfernt ist, wird berechnet über das normale
Fehlerintegral
𝑃(innerhalb von 𝑡𝜎) =1
√2𝜋∫ 𝑒−𝑥2/2d
𝑡
−𝑡𝑥.
Dieses Integral ist in Abb. 1 als Funktion von 𝑡 dargestellt.
8
Abbildung 1: Normales Fehlerintegral als Funktion von 𝑡
Tabelle 1: Wahrscheinlichkeit 𝑃(innerhalb 𝑡𝜎)
𝑡 𝑃 in %
0.674 50
1.0 68.27
1.1 72.87
1.2 76.99
1.3 80.64
1.4 83.85
1.5 86.64
1.6 89.04
1.7 91.09
1.8 92.81
1.9 94.26
2.0 95.45
2.1 96.43
2.2 97.22
2.3 97.86
2.4 98.36
2.5 98.76
2.6 99.07
2.7 99.31
2.8 99.49
2.9 99.63
3.0 99.73
3.5 99.95
4.0 99.994
4.5 99.9993
5.0 99.99994
9. Verwenden Sie nun die tabellarisch aufgeführten Wahrscheinlichkeiten dafür, dass ein
Messwert im Bereich von maximal 𝑡 Standardabweichungen vom Zentralwert der
Normalverteilung entfernt ist und berechnen Sie daraus die Wahrscheinlichkeit für die
Richtigkeit der Nullhypothese!
𝑃(außerhalb 𝑡𝜎) = 1 − 𝑃(innerhalb 𝑡𝜎) =
𝑃(außerhalb 𝑡𝜎) =____________________________________
𝑃(außerhalb 𝑡𝜎) =____________________________________
Ergebnis: Die Erbsensorten stimmen mit _________ % Wahrscheinlichkeit überein.
Notizen/ Erkenntnisse: _______________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
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10. Ist die Diskrepanz der Messergebnisse signifikant?
______________________________
______________________________
______________________________
11. Führen Sie den Signifikanztest nochmals für die beiden Messergebnisse Ihres eigenen Teams
durch. Sind diese miteinander vereinbar, oder unterscheiden sie sich signifikant?
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
C Anzahl der nötigen Messungen
Wie viele Messungen waren notwendig, um ein (ausreichend) sicheres Ergebnis zu erhalten?
Stimmt diese Zahl mit Ihren zwischenzeitlichen Schätzungen überein?
____________________________________________________
Erkenntnis: ______________________________________________
____________________________________________________
Grundsätzlich ist die Grenze zwischen Annehmbarkeit und Unannehmbarkeit von Messergebnissen Ansichtssache, häufig werden jedoch alle Wahr-scheinlichkeiten kleiner als 5% als unvernünftig klein betrachtet. Das heißt: ist die Wahrscheinlichkeit für die Vereinbarkeit kleiner als 5%, so ist die Diskrepanz signifikant und es handelt sich nicht um die gleiche Erbsensorte.
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5 GUM WORKBENCH
Das Programm „GUM Workbench“ berücksichtigt bei der Auswertung experimentell
gewonnener Daten den „Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM)“ [2]
der „International Organization for Standardization (ISO)“. 1
Sie kennen jetzt die Regeln für das Kombinieren von Messunsicherheiten und haben sicherlich
schon festgestellt, dass die Analyse doch recht komplex werden kann. „GUM
Workbench“ berechnet für Sie die Unsicherheiten und gibt Ihnen zusätzlich noch interessante
Informationen darüber, welchen Anteil die verschiedenen Eingangsgrößen jeweils an der
kombinierten Unsicherheit haben.
Im Folgenden sollen Sie an einigen Beispielen die Funktionen des Programms kennenlernen.
Beachten Sie dabei, dass die Einarbeitung etwas Zeit in Anspruch nimmt. Versuchen Sie dennoch,
für sich zu prüfen, ob Ihnen dieses Programm gute Dienste leisten könnte.
Zu den Bezeichnungen der Programmtools beachten Sie bitte Abbildung 2.
Abbildung 2: Erklärung der Bezeichnungen des Hauptfensters von „GUM-Workbench” [3]
1 Eine Übersicht über alle Funktionen des vielschichtigen Programms finden Sie im Benutzerhandbuch unter
http://www.metrodata.de/downloads/GUM_Workbench_Benutzerhandbuch.pdf .
Arbeitsbereich Hauptmenü Auswahl der Ansicht
Statuszeile
Karteikarten
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5.1 BEISPIEL: TUNNELEFFEKT Gegeben sei eine an den beim Tunneleffekt
auftretenden Strom angelehnte Gleichung:
𝐼 = 𝑈 ∙1
𝑎∙exp(𝑑
𝑑0)+𝑅0
Dabei bedeutet 𝑈 die angelegte Spannung, 𝐼 den Strom durch den Tunnelkontakt, 𝑑 den
Abstand zwischen Probe und Spitze. 𝑎, 𝑑0 und 𝑅0 sind Konstanten.
A Modellgleichung und Einheiten
1. Öffnen Sie „GUM Workbench“ und geben Sie der Datei unter der Karteikarte
„Allgemeines“ einen Namen
2. Wechseln Sie auf die Karteikarte „Modellgleichung“ und geben Sie die obige Gleichung ein.
Beachten Sie die Werkzeugleiste ganz oben im Arbeitsfeld!
3. Um Änderungen im Arbeitsfeld des Programms überprüfen
zu lassen, verlassen Sie den Arbeitsbereich. Das Programm
überprüft nun die Syntax und aktualisiert die
Größentabelle.
4. In der Tabelle unterhalb des Eingabefeldes stehen nun die
Größen. Geben Sie in die Spalte daneben die zugehörigen
Einheiten ein. Unter dem Hauptmenüpunkt
„Bearbeiten“ und „Einheit einfügen“ finden Sie eine Liste
der unterstützten Einheiten.
(Raten ist legitim, siehe Punkt 5.)
5. Führen Sie jetzt eine Überprüfung der Einheiten über den Menüpunkt „Extras“ und
„Überprüfung der Einheiten“ durch.
Welche Einheiten müssen für 𝑎, 𝑑 und 𝑑0 gewählt werden?
__________________________________________________
B Unsicherheiten nach GUM
6. Zeit, die Größen genauer zu definieren! Geben Sie hier nochmals wieder, was Sie über die
verschiedenen Unsicherheitentypen nach GUM wissen.
Es wird unterschieden zwischen Typ _____ und Typ _____ Unsicherheiten:
Messgrößen, die Typ _____ Unsicherheiten haben, werden durch
______________________________________ ermittelt.
Hier sind Art und Anzahl der Beobachtungen anzugeben.
Messgrößen, die Typ _____ Unsicherheiten haben, werden durch
______________________________________ ermittelt.
Hier ist anzugeben welche Verteilungsfunktion die Informationen, die über die Unsicherheit vorliegen, am besten wiederspiegelt.
Beim Verlassen des Bearbeitungsmodus wird der
Darstellungsmodus angezeigt: Zeichen mit einem
Unterstrich (R_0) werden zu Indizes, das
„Dach“ (m^3) markiert Exponenten, durch Backslash
gekennzeichnete Kommandos werden zu
griechischen Buchstaben (\pi).
Viele der Sonderzeichen sind mit den uns geläufigen Bedeutungen belegt: \pi und \e mit den Zahlwerten, \Omega als Einheit für elektrische Widerstände.
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Weitere Möglichkeiten zur Auswahl in „GUM Workbench“ bestehen aus:
Ergebnis
Zwischenergebnis
Konstante
„Import“ (aus einer bereits existierenden Analyse)
„Typ A zusammengefasst“ (schon berechnete statistische Größe)
7. Wechseln Sie nun auf die Karteikarte „Größen-Daten“ und wählen Sie für 𝑑0 und 𝑎
„Konstante“ und den Wert 1 aus. Für 𝑈, 𝑑 und 𝑅0 „Typ B“ und folgendes:
Verteilung Wert Halbbreite erweiterte Unsicherheit Erweiterungsfaktor
𝑈 Rechteck 1 0.4
𝑑 Normal 1 0.1 1
𝑅0 Normal 1 0.1 1
C Budget
8. Wechseln Sie auf die Ansicht „Budget“ und machen Sie sich mit der Ansicht vertraut.
a. Wo ist das Ergebnis zu finden?
b. Welche zusätzlichen Einstellmöglichkeiten gibt es?
hier insbesondere: Was bedeuten „Überdeckung“ und „Erweiterungsfaktor“?
c. Welche Eingangsgröße fließt wie stark in die kombinierte Unsicherheit ein?
9. Welche Konsequenz für das Experiment könnte man evtl. aus den unterschiedlichen
Anteilen ziehen, wenn die Anteile an der Gesamtunsicherheit sehr unterschiedlich sind?
10. Überprüfen Sie mittels Excel oder Taschenrechner, ob die Unsicherheitsanteile wirklich
quadratisch zur kombinierten Unsicherheit addiert werden.
D Monte-Carlo-Simulation
Da die mathematische Beschreibung oft recht kompliziert ist, greift man gerne auf die
sogenannte Monte-Carlo-Simulation zurück, die ebenfalls mit „GUM Workbench“ durchgeführt
werden kann. Diese beruht auf dem Gesetz der großen Zahlen und produziert (typischerweise
ca. 103 bis 106) zufällige Datensätze bestehend aus den Eingangsgrößen, die mit ihren
Verteilungsfunktionen angegeben wurden. Aus jedem Datensatz wird ein Ergebnis berechnet.
Anschließend werden diese Ergebnisse in ein Histogramm einsortiert, das die Verteilung für die
kombinierte Messunsicherheit des Ergebnisses darstellt.
11. Führen Sie über den Hauptmenüpunkt „Extras“ eine Monte-Carlo-Simulation durch.
Was stellt die rote gestrichelte Kurve dar?
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
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12. Welche Verteilung ergibt sich für die kombinierte Unsicherheit unter den oben
angegebenen Voraussetzungen für die Eingangsgrößen?
13. Experimentieren Sie mit den Verteilungen, den Halbbreiten, den
erweiterten Unsicherheiten, usw.!
Eingabe: kk Vert. Wert HB Erw.U. Erw.F.
𝑈 𝑑 𝑅0
Ergebnis:.
Index
𝐼 =_______________
Eingabe: kk Vert. Wert HB Erw.U. Erw.F.
𝑈 𝑑 𝑅0
Ergebnis:.
Index
𝐼 =_______________
Eingabe: kk Vert. Wert HB Erw.U. Erw.F.
𝑈 𝑑 𝑅0
Ergebnis:.
Index
𝐼 =_______________
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6 LITERATURVERZEICHNIS
[1] online unter: http://www.mw-import.de/werkzeug/messschieber-ablesen.html
Stand: 23.10.2015
[2] BIPM, IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML: Evaluation of measurement data - Guide to the expression of uncertainty in measurement. JCGM 100:2008; online unter: http://www.bipm.org/en/publications/guides/gum.html, Stand: 11.04.2015.
[3] METRODATA GMBH: „GUM Workbench Benutzerhandbuch für Version 1.3, 2.3 und 2.4“, Weil
am Rhein, 2011; online unter:
http://www.metrodata.de/downloads/GUM_Workbench_Benutzerhandbuch.pdf
kostenlose Schulungsversion der Software (reicht für Praktikumszwecke völlig aus)
erhältlich unter http://metrodata.de/download.html
Stand: 31.03.2016
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Notizen
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