Experiment

Methode eine physikalische Größe hängt von mehreren Variablen ab

Der Widerstand R eines Drahts ist abhängig von seiner Länge, seinem Querschnitt, dem Material, aus dem er besteht und möglicherweise von seiner Temperatur. Wie kann man aus Messungen eine mathematische Be-ziehung zwischen diesen Größen erhalten?Regel: Ist eine physikalische Größe von mehreren Variablen abhängig, so führt man die Messungen so durch, dass man immer nur eine Variable ändert, alle anderen aber konstant hält.

Wir ermitteln also bei einem Draht aus einem bestimmten Material zunächst die Abhängigkeit des Widerstands von seiner Länge l und dann von seiner Querschnittsfläche A. Als Material wählen wir Konstantan, weil der Widerstand des Drahts dann unabhängig von der Temperatur ist.

1 Wie hängt der Widerstand eines Drahts von der Länge ab? Dazu legt man an Konstantandrähte unterschiedlicher Länge die

Spannung U = 2,0 V an und misst jeweils die Stromstärke I. Bei glei-chem Durchmesser (z. B. d = 0,4 mm) erhält man folgende Werte:

Ergebnis: Widerstand R und Länge l sind einander proportional. Diese Beziehung gilt auch für Drähte aus anderen Materialien, wenn

man ihre Temperatur konstant hält.

Widerstand R und Länge l sind einander proportional: R ~ l, wenn Querschnitt und Material konstant sind.

↑ Basiskonzept System

Länge l in m Stromstärke I in A Widerstand R in Ω R/l in Ω/m

0,501,001,502,002,50

1,000,500,330,250,20

2,04,06,08,010,0

4,04,04,04,04,0

0

2

10

8

6

4

R in Ω

0 0,5 1,0 1,5 2,0 l in m

2 R-l-Diagramm

1 Abmessungen des Drahts Untersuche, wie die Abmessungen eines Drahts

sein Widerstand beeinflussen. Nutze dazu die dar-gestellte Experimentieranordnung. ↑1

Die Spannung am Draht wird so lange erhöht, bis die elektrische Stromstärke jeweils 1 A erreicht hat.

a Setze zunächst ein 50 cm langes Stück Konstantan-draht mit einem Durchmesser von 0,2 mm in den Stromkreis ein.

b Wie musst du vorgehen, um den Einfluss der Drahtlänge zu untersuchen?

c Untersuche in gleicher Weise auch Drähte mit ver-schiedenen Durchmessern.

Draht

V

A

1 Draht und Widerstand

24 Strom für Zu hauSe

2 Wie hängt der Widerstand eines Drahts vom Querschnitt ab? Bei einer konstanten Spannung (U = 2,0 V) wird der Widerstand von

1 m langen Konstantandrähten mit unterschiedlichen Querschnitts-flächen bestimmt.

Man erkennt, dass mit wachsender Querschnittsfläche der Wider-stand abnimmt. Um festzustellen, ob Widerstand R und Querschnitts-fläche A einander vielleicht sogar umgekehrt proportional sind, prü-fen wir, ob der Faktor (R · A) konstant ist. Das ist im Rahmen unserer Messgenauigkeit der Fall.

Widerstand R und Querschnittsfläche A sind einander antipro-portional: R ~ 1/A, wenn Länge und Material konstant sind.

3 Das Widerstandsgesetz Mithilfe dieser Ergebnisse kann man die Widerstände von Kons-

tantandrähten mit beliebigen Abmessungen berechnen:

Aus R ~ l und R ~ 1/A folgt R ~ l __ A

oder R = ρ · l __ A

Die Konstante ρ (rho) hängt bei konstanter Temperatur nur vom Material des Leiters ab. Sie heißt spezifischer Widerstand.

Mithilfe der Tabelle kann man den Widerstand jedes Bauelements aus den genannten Materialien berechnen.

Beispiel: Berechne den Widerstand eines 150 m langen Kupferdrah-tes von 2 mm2 Querschnittsfläche.

Lösung:

R = ρ · l __ A

= 0,017 Ω · mm2 _______ m · 150 m ______

2 mm2 = 1,3 Ω

Dieser Kupferdraht hat einen elektrischen Widerstand von 1,3 Ω.

Durchmesser d in mm

Querschnittsfläche A [A = π · (d/2)2] in mm2

Stromstärke I in A Widerstand R in Ω (R · A) in Ω · mm2

0,20,40,81,0

0,0310,1260,5030,785

0,1260,5002,0003,180

15,873 4,000 1,000 0,629

0,4920,5000,5000,494

Spezifischer Widerstand ρ (bei 20 C°)

Stoff ρ in Ω · mm2 _______ m Stoff ρ in Ω · mm2

_______ m

SilberKupferGoldWolframEisenPlatin

0,0160,0170,0200,0550,100,11

ZinnStahlKonstantanChromnickelGraphitKohle

0,12ca. 0,130,501,108,050 … 100

0

2

12

10

8

6

4

14

Rin Ω

0 0,2 0,4 0,6 0,8 d in mm

3 R-d-Diagramm

25energieströme im alltag – elektrischer Widerstand

Methode herleiten von Neuem aus Bekanntem

Die Ergebnisse dieser Herleitungen werden durch alle entsprechenden Messungen bestätigt.

Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen – EnergieumsatzIn den Naturwissenschaften kann man neue Beziehungen durch eine logische Herleitung aus bekannten Gesetzmäßigkeiten aufstellen. Das Ergebnis ist dann eine Vorhersage, die man anschließend experimentell überprüft.

1 Reihenschaltung Gesamtwiderstand: Schaltet man Widerstände R1, R2, R3, … in Rei-

he, so gilt für den Gesamtwiderstand R: R = R1 + R2 + R3 + …

Wir leiten diese Beziehung durch Deduktion – durch eine logische Herleitung aus bekannten Gesetzmäßigkeiten (hier am Beispiel von drei Wider ständen) her:

R = U __ I =

(U1 + U2 + U3) ____________

I =

U1 ___ I +

U2 ___ I +

U3 ___ I

= R1 + R2 + R3

Energieumsatz: Wird ein Widerstand R von einem Elektronen-

strom mit der elektrischen Stromstärke I durch-flossen, so beträgt die Energiestromstärke PR zu ihm PR = R · I 2.

PR = UR · I = R · I · I = R · I 2

2 Parallelschaltung Gesamtwiderstand: Schaltet man Widerstände R1, R2, R3, … parallel,

so gilt für den Gesamtwiderstand R:

1 __ R

= 1 ___ R1

+ 1 ___ R2

+ 1 ___ R3

+ …

Die Formel ist komplizierter abzuleiten, denn es gilt I = I1 + I2 + I3.

Um diese Summe im Zähler zu haben, betrachten

wir 1 __ R

:

1 __ R

= I __ U

= (I1 + I2 + I3)

__________ U

= I1 __ U

+ I2 __ U

+ I3 __ U

= 1 ___ R1

+ 1 ___ R2

+ 1 ___ R3

Energieumsatz: Liegt an einem Widerstand R die Spannung U, so

beträgt die Energiestromstärke PR zu ihm

PR = U2 ___

R .

PR = U · IR = U · U __ R

= U2 ___

R

6 8

P

1,8 W

6 V

20 Ω

3,6 WP1 = R1

U2P2 = R2

U2

10 Ω

9 27-17

P

6 V

0,4 W

10 Ω 20 Ω

0,8 W

P1 = R1 · I2 P2 = R2 · I2

27energieströme im alltag – elektrischer Widerstand