Methoden der Wertbemessung biologisch wirksamer Substanzen

Aus der Experimentell-Therapeutisehen Abteilung (Leiter: Prof. Dr. t~, Prigge) des St~atl. Instituts fiir ExperimenteUe Therapie in Fralxkfurt a: M. (Direktor:

Geh. Med.-Rat Prof. Dr. R. Otto).

Methoden der ertbemessung Diologlscli wirksamer Substanzen*.

Von

R. Prigge und W. Seh/ifer.

Mit 7 Textabbildungen.

(L'ingegangen am 24. September 1938.)

Io

Zahlreiehe biologisch aktiven Substanzen kSnnen 1nit hinreichender Genauigkeit t i tr iert werden, indem m~n die G r e n z e zwischen den im Tierversuch ,~wirksamen" nnd den ,unwirksamen" Dosen mit I-Iilfe des e i n f a e h e n R e i h e n v e r s u c h s , d .h . durch Pr[ifung abgestufter Mengen al~ je e i n e m Tier ernfittelt. Diese Grenze ist zwar nieht vSllig scharf, weil die Versuchstiere niellt vSllig gleichartig re~gieren und weil man daher zur Erzielung eines bestimmten Effektes (z. B. des Todes) beim einen Tier etw~s mehr, beim anderen etwas weniger yon der gepriiften Substanz ben5tigt. Aber dieser Umst~nd spielt keine wesentliehe Rolle, wenn der Untersehied zwisehen der fiir a l l e Tiere wirksamen nnd der fiir a l I e Tiere unwirksmnen Dosis nieht ~llzu grol~ ist. Dagegen l~8t sieh eine den An- forderungen der Praxis geni~gende MeBgenauigkeit nicht mehr erzielen, wenn die individuellen Untersehiede zwisehen den Versuehstieren so grog sind, dab diese beiden Dosen mn mehr Ms 10 (y(, auseinanderliegen ( P r i g g e und t I a r t o e h x, Pr igge~) . Die erwghnte ,,Grenze" wird alsdum~ so un- sehgrf, dal] d e r Unterschied zwisehen den beiden Dosen nicht mehr ver- naehli~ssigt werden kann. Da beim einzelnen Tier, das mit einer mitt]eren Dosis behandelt wird, die erwartete Wirkung -- je naeh seinem individuellen ReaktionsvermSgen -- auftreten oder ausbleiben kann und da es infolge- dessen seine Bedeutung als , , Indikator" verliert, miissen die Titrat ionen mit gleiehartig zusammengesetzten T i e r - K o l l e k t i v e n durehgefiihrt werden. Hinreiehend grol~e, dem gleichen Grmldmaterial ohne Auslese entnommene Kollektive ( F e e h n e r a) zeigen in ihrem Verhalten gegeniiber

* Wir haben das Manuskript unserer Arbeit zwei hervorragenden Kennern des in ihr mehrfaeh beriihrten mathematisehen Spezialgebietes, den Herren Prof. Dr. B. L. van der Waerden, Leipzig, und Dr. H. v. Sehell ing, Berlin, vorgelegt und mSchten ihnen ftir die zahlreiehen wertvollen Anregungen, die sie uns gegeben haben, aueh an dieser Stelle unseren Dank ausspreehen.

Pr igge, R., u. O. H a r t o e h : Arb. a. d. Staatsinst. f. exper, Therapie u. d. Georg-Speyer-Hause zu Frankfurt a. M. 23, 1 (1930). - - 2 Prigge, R. : Z. f. Hyg. 119, t86 (1937). - - a Feehner , Th.: KollektivmaBlehre. Leipzig 1897.

Archiu f. exoeriment. Path. u. Ph~rmakol. Bd. 191. 19

282 R. 1DI%IGGE und W. ScHX~Ea;

gleiehen Einwirkungen weitgehende Ubereinstimrnung; man gewinnt rnit ihrer I-Iilfe gewisse Mal]zahlen (Durchschnittswe~te, ~Iozentzahlen), die den angewandten Dosen in gesetzn~gNger Weise zugeoidnet sin& Indem man diese Mal~zahlen als Funktion der Dosis gral0hi~eh darstellt, gewinnt man sogenannte , , W i r k u n g s k u r v e n " , die fiir d ie .unteisuehte Droge und fiir das zur UnteIsuchung benutzte Tie~Inater~al ehaIat:ter~sti~eh sJnd,

Besondere Wiehtigkeit haben die ~-f6rmigen Wirkungskuiven er- langt, die' den P r o z e n t s a t z d e r p o s i t i v r e a g i e r e n d e n (z. B. der getSte~en) T i e r e als Funktion der Dosis wiedergeben. Es ist das Yerdienst yon K i s s k s t, diese Kurven als , , A u f z i i h l u n g s k u r v e n " (d.h. als integrierte Hiiufigkeitskurven) erkannt zu haben; er hat bereits im Jahre 1915 gezeigt, dab man mit Hilfe dieser Kurven in elementarer Weise fest- stellen kann, wie die Individuen eines Tiermaterials naeh ihrem Reaktions~ vermSgen bzw. naeh der individuell wirksamen Dosis zu klassifizieren sind. Erst sehr viel sloiiter sind S h a e k e l l und seine Mitarbeiter 5, de L i n d v a n Wij n g a a r d e n 8, W i e e h o w s k i ~ und T r e v a n s zu dem gleiehen Ergebnis gelangt. Es darf abet nieht iibersehen werden, dal3 die Kurven, welehe einen D u r e h s e h n i t t s w e r t , z .B. den mittleren Antitoxinti ter der mit einer bestimmten Antigendosis immunisierten Tiere, als Funktion der angewandten Dosis darstellen, n i e h t als Aufzghlungskurven anzusehen sind (P r igge 9, lO).

IL

Die als Aafz~hlungskurven gewonnenen Wirkungskurven bzw. die aus ihnen ebgeleiteten Verteilungskurven sind im allgemeinen keine ,,normalen", d. h. dem G a ul~ sehen Fehlergesetz entspreehenden Kurven; sic zeigen vielmehr eine betr~ehtliehe , , S e h i e f h e i t " . Jedoeh hag bereits l~eehne r 3 gezeigt, dal] die Sehiefheit biologiseher Verteilungen in zahlreiehen Fiillen dutch Anwendung eines l o g a r i t h m i s e h e n A b s z i s s e n - m a l ] s t a b e s b e s e i t i g t werden kann. Auf Grund dieser Erkenntnis konnten zahlreiche Autoren eine Normalverteilung biologiseher Merkmale nachweisen, die yon vornherein nieht erkennbar war ( K a p t e y n 11, K a r - s t e n 1~', W i e e h o w s k i 7, K r o g h und I t e m m i n g s e n is, T r e v a n 14, P r i g g e 2

4 Kisskal t , K.: Z~ f. I-Iyg. 81, 42 (1915). - - 5 Shackell , L.F., W. Wil- ! iamson, M.M. Dei t schmann, G.M. Ka t zm an n u. 13. S. 1Kleinman: J. of Pharm. and exper. Ther. 24, 53 (1925). - - 6 de Lind van Wijngaarden, C.i Naunyn-Sehmiedebergs Arch. 113, 40 (1926). - - 7 Wieehowski, W.: Verh. d. dtseh, l%arm. Ges., 7. Tagung, 21.--23. 9. 1927, Wtirzburg; Naunyn-Sehmiede- bergs Arch. 128, 135 (1928). - - s Trevan, J .W.: Prec. of the Royal See., 13. 101, 483 (1927). - - 9 l~rigge, R.: Arb. a. d. S~aatsinst. f. exper. '1?her. u. d. Georg-Speyer-I-/ause z u Frankfurt a. M. 32, 1 (1935). - - 10 Prigge, R.: Diseh. med. Wschr. 1937, S. 1478. --11 Kap teyn , J. : Skew frequency curves in biology and statistics. Groningen 1904. - - 12 lgarsten, Ig. G. : Charts and graphs, 2. Aufl., New York, Prentice-ttalline. 1 9 2 5 . - 13 Krogh, A., u. A.D/I. Hemmingsen: Det Kgl. Danske Videnskabernes Selskab, 13iologiske Meddelelser 7 (1928). - - 14 Trevan , J .W.: J. of Path. a. Baet. 32, 127 (1929).

Methoden der Wertbemessung biologisch wirksamer Substanzen. 283

u.a.) . Ferner konnte S e h ~ f e r 15 zeigen, dab dig Normalverteilung der Logs rithmen der zur Erreiehung eines bei align Tieren gleiehen Effektes erforderliehen D o s e n in engem Zusammenhang mit der Normalverteilung der dureh eine ffir alle Tiere gleiehe Dosis erzielten E f f e k t e steht und dureh das W e b e r - F e G h n e r s e h e p s y e h o - p h y s i s c h e G r u n d g e s e t z bedingt ist; der yon H e m m i n g s e n 16 unternommeae Versuch, einen Ztt- sammenhang zwisehen der Normalverteilung der Dosenlogarithmen und dem sogenannten Webe r schen Gesetz aufzuweisen, hat sieh dagegen als irrig erwiesen (Prigge~).

Sofern eine Normalverteilung vor]iegt, geniigt zur Konstruktion der Wirkungskurve (Aufz~hlungskurve) iedes Pdiparats die experimentelle Ermitt lung yon nut zwei Punkten (x, p'); denn dutch zwei Punkge lgl~t sich nur e ine Kurve yon der Form

i~ , 1 f

- - o o

legen.

Es bedeuten 100 p' p -

X 0

e 2~,~ d x (1)

Prozentsatz tier positiv reagierenden Individuen, Logarithmus der angewartdten Dosis, Logarithmus der ])osis, auf welohe gerade 50% der Versuchstiere reagieren, mittlere Abweiehung vom Werte % (,,Sgreuung"), einc :[fir das Verhalten des Tiermuterials gegen.~iber der untersuchten Droge charakteristische Konstante.

Es ware sehr zeitraubend, wollte man die Aufz~ihlungskurve jedes Praparats rechnerisGh ermitteln. Aueh die graphische Bestimmung ist reeht umstandlieh. Dttreheinen Kanstgriff, denderamerikanischeIngenieur H a z e n 17 fiir teehnisehe Zweeke angegeben hat and der dutch K a r s t e n 1~ allgemein bekannt geworden ist, gelingt es iedoeh leieht, dieser Sehwierig- keit Herr zu werden. Bei Anwendung des H a z e n s c h e n Verfahrens geht die Aufz~hlungskurve in eine G e r a d e fiber, die im folgenden als H a z e n - sche G e r a d e bezeiehnet wird.

Hazen fiihrt an Stelle des ]~rozentsat~es bzw. an Stelle yon p' eine (]rOBe y als abh~ngige "Variable ein, welche sieh aus cter Gleichung

y y2

~ ' _ 1 i ~ 4 ~ d y (2)

~s Seh~fer, W. : Arb. a. d. Staatsinst. f. exper. Ther. u. d. Georg-Speyer-Hause zu lirankfurt a. M. 32, 51 (1932). - - 1~ Hemmingsen , A.M.: Quart. J. t)h. a. :Pharmaeol. 6, 70 (1933). - - 17 ]-Iazen, A. : Transact. of the Americ. Soe. of Civ. Engineers 77, 1539 (1914).

19"

284 R. P~IG~E und W. SCHXF~R:

ergibt. Durch Elimination yon p ' aus Gleichung (1)und (2) erh~ilt man zwischen und y die sehr einfache lineare Beziehung

X - - X 0 y = - - . (3) ~t

Vorteilhafter ats die unmittelbare ge~h~ung mit y ist die T r a n s f o r m a t i o n der p -Ska l a . Die Prozents~tze werden in der Ordinatenachse in der Weise ab- getragen, wie die entsprechenden y-Werte eingezeichnet werden m~il3ten; ausgehend

Methoden der WertbemessurLg biologiseh wirksamer Substanzen. 285

yon p = 50, weiehen also Prozents~tze, die sich um den gleichen Betrag unter- scheiden, immer welter auseinander. Auch graphisch l~il]t sich die Transformation der p-Ska]a leicht durchiiihren, wie K a r s t e n sehr ansehuulich in seinem Werk ,,Charts an d Graphs" besehrieben hat. Lediglich die Konstruktion einer normalen Aufz~hlungskurve ist erforderlieh; sic ist mit Hilfe einer Tabelle des Gnu 13 schen Integrals zu bewerkstelligen*. Man braucht dann nur noch die Schnittpunkte der p-Ordinatert mit der Kurve auf die Abszissenachse zu projizieren (Abb. 1). Diese einfaehe geometrisehe Xonstruktion zeigt sehr sch6n, wie die Prozentsatzskala yea der Mitre (50 %) aus naeh beiden Seiten hin gedehnt wird. Die beiden En4punkte 0 und 100% rtieken, wie die Pole bei der Merkatorsehen Erdprojektion, ins Vnendliche.

In Amerika ist unter dem Namen ,,logarithmic probabil i ty paper" schon seit mehr als 20 Jal~ren ein Papier im Handel, dessen Ordinatenachse nach der dutch den. H a z e n s c h e n Kunstgr i f f gereckten Prozentsatzska]a und dessen Abszissenachse ]ogarithmisch geteilt ist. Solches Pap!er ist unter dem Namen , , l o g a r i t h m i s c h e s W a h r s c h e i n l i c h k e i t s p a p i e r " vor kurzem auch in Deutschland in den Handel gebracht worden ( S c h l e i - c h e r & Sch i i l l , Nr. 2971/2 A 3). Um mit Hilfe dieses Papiers die Wir- kungskurve ill Form der H a z e n s c h e n Geraden konstruieren zu kSnnen, braucht man nut die angewandten Doscn als Abszissen nnd die gefundenen Prozentsiitze afs Ordinaten einzutragen und dutch die so crmittel ten Punkte eine Gerade hindurchzulegen. Die Wirksamkeit jedes Pr~iparats wird im Vergleich mit einem M a B p r g p a r a t (StandardprSparat) gemessen: Man hat die Wirkungsgerade des StandardprS~parats und des zu priifenden Priiparats zu best immen und ermittel t hieraus Doscn yon gleicher Wirk- samkeit, deren Quotient ohne weiteres das Wertigkeitsverh~Lltnis der ver- glichenen Pr~parate ergibt. Da die Wirkungskurven bzw. die Wirkungs- geraden gleiehartiger Pr~parate parMlel verlaufen, ergibt sich fiir Werte mit gleicher Ordinate als Quotient der zugehSrigen Dosen im gesamten Kurvenbereich der gleiche Wert. Wird eine dcr Wirkungsgeraden dureh Ermit t lung yon zwei oder mehr Punkten best immt, so geniigt zur Be- s t inmmng der zweiten e in Punkt , dutch den sine P a r a l l e l e zur ersten Geraden zu ziehen ist. Wird immer das gleiehe Tiermaterial verwandt, so zeigen die Wirkungsgeraden stets die gleiche Neigung; man kommt dann fiir beide Geraden mit ]e einem Punkt aus.

])ie Notwendigkeib, ein Mal3pri~parat zu verwenden, ergibt sich aus dem L-mstande, dab (tie Yersuehstiere - - aueh wenn sis dem gleiehen Zuehtmaterial entnommen werden - - zu u Zeiten auf gleiche [~eize versehieden reagieren. Dies gilt sogar flit sogenannte ,,reine Linien" bzw. fiir Tiere, die dutch jahrelang fortgesetzte Bruder-Sehwester-Inzueht gewonnen sind (Prigge~). Die dureh eine bestimmte Dosis eines stabilen Pri~parats herw)rgerufene Wirkung unterliegt also mehr oder minder grol3en Sehwankungen; und zur Erzielung eines bestimmten Effektes, z. B. zur T6tung yon 50 ~o der Versuehstiere, benStigt

* Zu empfehlen ist das kleine ,,Jd[andbueh der math. Statistik" yon Rie tz- B a u r, das eine sehr brauchbare Tabelle des Wahrsoheinliohkeitsintegrals in der Form der Gleiohung (2) zugleieh mit den gebr/iuchlichen Ableit;ungen enthglt; in dieser Tabelle findet man auch den zu j e d e m p ' -Wer t g e h 6 r i g e n y-Wert (y =t) .

286 R. PRIGGE undW. ScHXFER:

man zu verschiedenen Zeiten verschiedene Desert, so dal~ es zu einer ,,Versehiebung" der Wirkungskurven kommt (und zwar - - bei Verwendung des gleichen Tier- materials - - zu einer Para]lelverschiebung). Daher ist es - - streng genommen - - nicht mSglich, die MaB-Einhei t als ~quivalent einer bestimmten WirkungsgrSBe, z. B. als die fiir 50 % der Versuchstiere wirksame Dosis festzulegen. Die Mal~-Einheit mud] vielmehr in bezug a u f eine bestimmte Dosis eines stabilen Mal]-Pr/iparats definiert werden; und eine exakte Messung kann nur durchgefiihrt werden, indem mdn wirkungsgleiche Mengen des gepriiften und des Maft-Pr/iparats ermittelt.

Selbstverstiincllich ist die Verwendung yon MaBpr/~paraten nur dann zweck- m~Big, wenn die Lage der Wirkungsgeraden ohne nennenswerten Fehler ermittelt wird, genauer : wenn die durch den Untersuchungsfehler bedingten s e h ei n b a r e n Versehiebungen der Wirkungskurven g e r i n g sind im Vergleieh zu den dutch das Verhalten des Tiermaterials verursachten t a t s a c h l i c h e n Verschiebungen. Wenn aber das Oegenteilige zutrifft (z. 13. bei der Durehftihrung van gro/3en Reihenunter- suchungen, bei denen nur verh~ltnismi~Big wenig Tiere fiir jede einzelne Titration verwandt werden k6nnen), kann die Beziehung auf ein Standardpr/iparat sogar zu einer B e e i n t r / i c h t i g u n g der M e l ~ g e n a u i g k e i t fiihren, weft zu dem bei der Ermittlung der Wirkungskurve des gepriiften Priiparats zustande kommenden Fehler noch der Fehler hinzukommt, der sieh bei der Bestimmung der Wirkungs- kurve des Standardpr/~parats ergibt (priggelS). Falls also die durch den Versuohs- fehler vorgetiiusehten Verschiebungen der Wirkungskurven groB werden im Ver- gleieh zu den tats~ehlichen Yerschiebungen, ist es vorteilhafter, die letzteren ganz zu ignorieren. Man hat dann so vorzugehen, als ob die Wirkungskurve des Marl- pr/iparats stets die gleiche, etwa dem Mittel der bekannten tatsiiehlichen Ver- schiebungen entsprechende Lage h/itte, und hat die mit den geprfiften Pr~paraten gewormenen Ergebnisse hierauf zu beziehen. Sofern fiir die betreffende Drogenart eine MaBeinheit in bezug auf ein Standardpri~parat noch nicht festgelegt ist, l~iBt sioh die Mai~einheit fiir provisorische Untersuehungen auch unmittelbar als ~quivalent einer bestimmten Wirkungsgr6Be, z. B. als die fiir einen gewissen Prozentsatz der Yersuchstiere wirksame Dosis definieren; nur darf man nicht auBer aeht lassen, dab dieser Definition kein scharfer Wert entspricht. Auf Vergleiehsuntersuehungen mit einem stabilen Pr&parat kann aber niemals verzichtet werden, da unerwartet auftretende grSl~ere Sehwankungen in der Empfindliehkeit der Versuchstiere, die nicht unberiicksiehtigt bleiben diirfen, nur auf diesem Wege festgestellt werden kSnnen.

I I L

W i r d die W i r k u n g s g e r a d e eines P r~pa ra t s m i t n u t zwei P u n k t e n b e s t i m m t , so h a t m a n diese led ig l ieh zu verb inden . S tehen mehr als zwei P u n k t e zur B e s t i m m u n g der W i r l ~ n g s g e r a d e n zur Verf i igang, so is t eine A u s g l e i e h u n g vorzunehmen, da die gefundenen P u n k t e mehr oder weniger yon der theore t i sehen Geraden abweiehen werden. Die Ausgle ichung k a n n naeh der Methode der k l e in s t en Quadra t e reehner isch vorgenommen werden, was be i u de r urspr i ingl iehen S-fSrmigen Aufzahlungs- ku rve numer i sch undu rch f i i h rba r w~ire. Die f i i r d ie Berechnung der Be- z iehungsgeraden no twendigen F o r m e l n s ind aus der Kor re l a t ions rechnung b e k a n n t (vgl. R i e t ~ z - B a u r , 1930, S. 161). H i e r wie do r t hande l t es s ieh da rum, eine Gerade mSgl ichs t nahe an einer AnzaM in einer Ebene Ver- s t r eu te r P u n k t e vorbeizuf i ihren . I n der Kor re l a t ions rechnung g ib t es

1, P r i g g e , R.: Z. f. Immunit~tsforsch. 91, 457 (1937).

Methoden der Wertbemessung biotogisch wirksamer Substanzem 287

stets zwei Beziehungsgeraden, was dadurch bedingt ist, dab man sowohl die Spaltenmittel als aach die Zeilenmittel als die gegebene Punkt - menge auffassen kaim. I m vorliegenden Falle dagegen gibt es nut e ine Punktmenge, und zwar die den Ko]onnenmitteln entsprechende; denn nur die y-Werte sind e ine r Streuung unterworfen, wiihrend die x-Werte eindeutig gegeben, also nicht mit einem ,,Fehler" behaftet sind. Dem- gem~l~ ist atteh nut e ine Beziehungsgerade m6glich, ns die yon , , y in bezug auf x " . Zu ihrer Best immung sind zuniiehst die ,,gewogenen Mitre[" ztt berechnen:

__ ~ giXt, (4)

Hierin bedeuten die Gr51]en g~ die , ,Gewichte", die man den , ,Beobaehtun- gen" Xs, Ys zuzuschreiben hat: Man hat jeden Punkt sovielmal in Reehnung zu setzen, wie sein ,,Gewicht" angibt. Mit Hilfe der gewogenen Mittel und y findet man den R i c h t u n g s k o e f f i z i e n t e n der H a z e n s e h e n Geraden, d. h. den Tangens des Winkels, den die-Gerade mit der x-Aehse bildet :

R = 'r giy, (zi - ~ ) . (6)

Formel (6) folgt, aus der Forderung, da[3 die Smnme der Quadrate der Ab- weichungen sSmtlicher Punkte (unter Beriicksichfigung ihrer Gewichte) yon der Beziehungsgergden ein Minimum sein soll. Es sei y'/ die Ordinate des S~hnitt- punktes der ]-3eziehungsgeraden mit der durch xi, yi gelegten Parallelen zur y-Achse. Die Forderung lautet dann, die GrSl3e

zu einem ~[i~fimum zu machen. Die Beziehungsgera4e mSge (tie Gleichung

haben, xi , Y'i ist ein Punkt der Oeraden:

y~ = i~ x~ 4- b. Es isi, also

A ~ = X gi (Yi - - I~x i - - b) ~.

Die BedinguD~:en daffir, dab A 2 ein Minimum wird, lauten:

5 A 2 ~ A 2 ?b - 0 , -?--R- = 0 .

Die erste Bedingung liefert die Gleichung:

I - ~ Z g i x i + b ~ - ' g i - - Z g i Y i = O,

2: gi Yi Z g~ xi b - - R . . . . . . . . . ~ I - - R ~ .

Z gi Z 9i

288 R, PgI~ und W. ScH]F~g:

Setzt man diesen Wert fiir b in die G!eiohung der Geraden ein, so erhalt man

y = / ~ ( x - - ~ ) + 9, d .h . der Punkt ~, ~ ist ein l~unkt der Geraden.

Wir differentiieren nun die Gleichung

A2 = Z g i VYi - - ~ (xi - - x ) - - ~]2

nach /~ und setzen gleich Null:

R Z g i ( x i - - x ) s - " ~ g i y i ( x i - ~ c ) @ ~ / Z g i ( x i - - x ) = O.

Da nach (4) 2: gi (x i - - x ) ~ 0 ist, so ergibt sich hieraus unmit te lbar die Formel (6). Es l~l~t sich auf elen~mntarem Wege leicht best~tigen, da~ A s tats~eh]ich zu

einem Minimum wird. Wit bringen zun~chst den Ausdruek fiir A 2 in die Form

A s = .~ g~ y~ § .~s ~ ' g i (x i - - ~)2 @ ~]s Z g i __ 2 ~ Z g i Yi ( x i - - x )

Das vorletzte Glied versehwindet wegen 27 gi ( x i - x ) ~ O. Die Glieder ohne /~ haben keinen Einflu~ auf die Anderung der Funktion. Wir bilden deshalb aus den beiden noeh iibrigen Gliedern mit /~ eine neue Funktion

/ (t~) = ~2 2 :g i (x i - - ~)s __ 2 t~ Z g i y i ( x i - - ,~),

die mit A ~ zugleich zu einem Minimum wird. Nun haben wir nur noch nachzu- weisen, dal~ f (/~ ~- e) > f (B) ist, worin ~ eine yon Null verschiedene GrSl~e ist:

] (.R § e) = / ( ~ ) § 2 t~ e 'Z, gi (xi - - ~)s __ 2 e ,~, gi 7/i (x i - - x ) @ C2 Z gi (x i - - ~)s.

Setzen wir in diesen Ausdruek for ~ seinen Wert aus Oleichung (6) ein, so erhalten wir

Die Schwierigkeit, die noch zu beheben ist, ist die B e s t i m m u n g des G e w i c h t e s g. Gaddt tm 19 wendet zur Durchfiihrung der Ausgleichs- rechnung als Gewicht fiir den beobachteten Anteil P' den Wert

n ail. p , (~ - ~,)

Irrtfimlicherweise wird G a d d u m als Begrfinder des I-[azenschen Verfahrens angesehen. Die Arbeit yon G a d d u m ist jedoeh erst 19 Jahre nach H a z e n s Publi- kat ion erschienen. I)er I r r tum rtihrt daher, dab G a d d u m / - t azen nur beilgufig erwiihnt, ohne ihn als Entdecker des Verfahrens zu nennen, und da/3 er auch nicht auf I ~ a r s t e n hinweist, durch den das Verfahren allgemein bekannt geworden ist; G a d d u m behandelt nur das ,,logarithmic probability paper" der Codex Book Co. Inc. (New York). Auch die Gewiehtsmethode s tammt nieht etwa "con G a d d u m , sondern ist bereits 1910 in allen wesentlichen Punkten yon U r b a n ~ beschrieben und begriindet worden (1. e. 16, 169--183). In U r b a n s Verfahren ist implizite aueh sehon der t t a z e n s c h e Kunstgriff enthalten, wenn U r b a n auch nicht ausdrticklieh darauf hinweist, dal~ die yon ibm verwandte Transformation auf eine Gerade ftihrt. A u s d e r A r b e i t "con U r b a n g e h t M a r h e r v o r , dal3 d ie g e s a m t e n G r u n d - l a g e n f f i r d ie L 6 s u n g de r h i e r b e h a n d e l t e n P r o b l e m e v o n F e e h n e r g e s e h a f f e n s i n &

Es sei iibrigens betont, dal3 d e r / - t a z e n s c h e Kunstgriff nicht, wie B e h r e n s und Ki~rber 2~ glauben, die Verwendung geringerer Tierzahlen erm6glieht, als bei

~9 G a d d u m , J. I t . : Special report series, Medical research Council, 183, 5 (1933). - - 20 t ~ e h r e n s , B., u. G. K i~ rbe r : Naunyn-Schmiedebergs Arch. 177, 379 (1935).


der Benutzung der gew6hnliehen ~-f6rmigen Wirkungskurve erforderlbh sind. Es handelt sich lediglich um eine mathematlsche Transformation, also biologiseh b e t r a c h t e t um die gleiche Methode, deren Genauigkeit durch die Zahl der Versuchstiere einerseits und dureh die Lage der beobachteten Prozentsiitze andererseits bestimmt ~ird.

G a d d u m kam zu seiner Gewichtsbestimmung dadurch, d a b er das bei der Ausgleichsrechnung nach der Methods der kleinsten Quadrate als Gewicht fungierende Priizisionsmal] h 2 = 1/2 ae bzw. den Weft 1/a 2, also den reziproken Weft des Quadrates des sogenannl)en , , m i t t l e r en F ehl e r s" (~), zug~unde legte. DabeJ ist zu bedenken, daft das PrazisionsmaB h 2 sine normale (Gauftsche) u voraussetzt. Da ftir den Anteil der positiv reagierenden Individuen zweifeUos eine B e r n o u l l i s e h e Vertei]ung vorauszusetzen ist und da die B e r n o u l l i s c h e Verteilung innerhalb ge- wisser Schranken eine Nonnalvmieilung hinreichend gut ann~hert, kSnnte man - - wenigstens innerhMb dieser Sehranken* -- mit G a d d u m das Gewicht dureh die GrSBe niP' (1 -- P') , also dutch den reziproken Wert des Quadrats des ,,mittleren Fehlers" der B e r n o u l l i s e h e n Verteilung angeben , w e n n P ' de r W e f t w~ire, dem d i e s e r , , F e h l e r " z u g e o r d - n e t ist . Dies trifft jedoch keineswegs zu. Wie P r i g g e ~ gezeigt hat, ist

es nicht zul~ssig, fiir den beobachteten We~t P' den Ausdruck ~/P' (1 - P')/n als ,,mittleren Fehler" einzuffihren, obwohl in der biologischen Literatur -- auf Grand einer Verwechslung der ProblemsteUung - - vielfaeh so vor- gegangen wird. Es wird nieht beaehtet, daft sieh die Fehlerforme] auf die Grundwahrseheinliehkeit ~/)' (den ,,wahren Anteil") bezieht, weld~e dem beobaehteten Wert P ' zugrunde [iegt; gerade der ,,wahre Anteil" ist aber bei der Anstellung yon Tierversuehen (die stets nur mit Meinen Kollek- riven, sogenannten ,,Stichproben" durehgefiihrt werden) u n b e k a n n t .

Daft eine Fehlerangabe fiir P ' in der Form ~ , = 1/P'(1--P')/n nieht riehtig sein kann, geht sehon aus der einfaehen IJberlegung hervor, daft fiir die Beobaehtung P ' - - 0 (oder 1) der Fehler versehwinden wtirde, d. h. da[t in jedem Falle, in dem ein Ergebnis P = 0 }{, (oder 100 %) auf- tri~te, der zugrunde liegende ,,wahre Wert" aueh tats~Lchlich p' -- 0 (bzw. 1} sein mfiftte. Das ist abet nieht der Fall, denn aueh wenn der wahre Weft ))' ungleieh 0 und ungleieh 1 ist, kann ein Ergebnis P = 0 % oder P = 100 % auftreten.

Aus dem Gesagten geht hervor, daft die G a d d u m s e h e Gewiehts- bestimmung far den beobaehteten Anteil P ' u n z u l ~ s s i g ist; hierauf hat, bereits v. S e h e l l i n g 23 naehdriieklieh hingewiesen. Es kommt noeh hinzu, dab beim ]Jbergang zu H a z e n s e h e n Ordinaten mit den beobaehteten

* Nach v. Schel]ing 21 ist zu fordern, dal~ 10 < ~ p ' < n - - 1 0 .

21 v. Schelling, H.: Arb. a. d. Staatsinst. f. exper. Ther. u. d. Georg-Speyer- Hause zu Frankfurt a.M. 35, 69 (1938). - - 32 Prigge, R.: Naturwissenschaften 25, 169 (1937). - - ~ v. Schelt ing, H.: ])tsch. reed. Wschr. 1938, S. 827.

290 R. PRIGG]~ und W. SCHIFF.R:

Punkten auch ihre Gewichte entsprechend transformiert werden miissen. Konsequenterweise miiBte G a d d u m die Endpunkte des Bereiches

P ' + ] / P ' ( 1 - P')/n nach G1. (2) transformieren und erhielte dann einen in H a z e n s c h e n Ordinaten asymmetrischen Bereich. G a d d u m w~hlt abet zur Vereinfachung der Rechnung das U r b a n s c h e Naherungsver- fahren ~5. indem er

~1,, d P ' - - ( 7 )

~v dy

setzt. Daraus ergibt sich sein Gewicht

1 n ( d P ' ~ ' . - - P ' ( 1 P') \ d y / (8) O-y

Jedoch gilt diese Beziehung mit hinreiehender Genauigkeit nut fiir Werte P ' , die nicht zu nahe bei 0 oder 1 liegen.

Eine Gewichtsbestimmung, die die yon G a d d u m begangenen Ver- nachli~ssigungen vermeidet, ergibt sich, wenn man den yon P r i g g e ~2 angegebenen M~-Bereich (fiir k ~ 1) der Gewiehtsbestimmung zugrunde legt:

k 2 ( 1 - - 2 P ' ) ~ k I / 4 n P ' ( 1 - - P ' ) + k "~ Mk ~ (9)

2 (n + k ~)

Der Index k gibt an, auf welches Vielfache des ,,mittleren Fehlers" des unbekannten ,,wahren Anteiles" p' sich die gesuchto Angabe beziehen soll. Der Mk-Bereich, innerhalb dessen -- fiir die vorgegebene, dutch k gekenn- zeiehnete Wahrscheinlichkeit -- der ,,wahre Wef t" zu suchen ist, liegt asymmetrisch zu P', jedoch wird diese Asymmetrie beim (lbergang zu H a z e n s e h e n Ordinaten weitgehend aufgehobe,l. Gleiehwohl soil bei der Gewichtsbestimmung fiir die transformierten Punkte sowohl der posi- tive (M~) wie der negative Bereichsantei] (M~) beriieksichtigt werden. Urn den Zusammenhang mit der Methode der kleinsten Quadrate zu wahren, sei als Gewicht der reziproke Wert des Quadrats des halben M1-Bereichs (d. h. der tt~lfte der Strecke [ P ' + M +] - - [ P ' + M1] ) in y-Einheiten definiert.

An S telle des Mk-Bereiches k6nnte man auch den von v a n d e r W aerden ~4 und v. Schelling 21, 23 angegebenen, auf Grund des Bayessche~l Theorems errechneten a :{: s-]3ereich (siehe unten S. 301) verwenden. ~-Iiergegen erheben sich jedoch folgende Bedenken:

1. Der a :~ s-Bereich ist auf Grund der Annahme errechnet, dab die ,,Zie- hungen" aus mehr als einer ,,Urne" (und zwar aus unendlich vielen Urnen) erfolgen. Es kan~ aber keinem Zweifel unterliegen, dal] dieses Schema den tats~ch- lichen Verhiiltnissen nicht entsprich~. Die ,,Ziehungen" erfolgen nur aus einer ,,Ul~e" mit unbekannter Grundwahrseheinliehkeit; d. h. die Versuchstiere werden

2~ va n der Waerden, L. B. : Berichte d. Ss Akad. d. Wiss., math.-phys. Klasse, 88, 21 (1936). - - 2s Urban, F. M.: Arch. f. Psychologie 15, 261 (1909); 16, 168 (1910).


jeweils nur aus e i n e m Tiermaterial ausgew~ihlt. Der Mk-Formel liegt ein E i n - U r n e n - S c h e m a zugrunde.

2. Der a i s-Bereich gehSrt nieht zu dem beobaehteten P ' -Wer t , sondern zu dem E r w a r t u n g s w e r t a der Bayes-Verteilung; er kann also nicht zur t3e- s t immung des Gewichtes yon P ' verwandt werden.

b*

i

o =

b

<-i

3. Andererseits scheint es nicht erlaubt, die experimentell bes t immten P ' -Wer t e 4urch die entspreohenden a-Werte zu e r s e t z e n. Es wird un ten (S. 301 f.) noch gezeigt, dab dieses Verf~hren zu fehlerhaften Ergebnissen fiihren wiirde.

4. Wiihrend die Mk-Forrael (lc = 1, 2, 3 . . .) stets deutbare !~esultate ergibt, liefert die s-Formel fiir P ' -Wer te , die nahe bei 0 oder 1 liegen, l~esultate, die sioh nieht sinngemiiB deuten lassen. Denn der zu 2 s, 3 s . . . geh6rende Bereieh sehlieftt die Werte 0 bzw. 1 als , ,Ursaehen" yon P ' nieht aus. P ' -Wer te , die yon 0 und 1 verschieden sind, k6nnen aber nieht als , ,Varianten" yon p ' = 0 oder 1 a u f t r e t e n . -

292 R.P~IGGE und W. ScHXFE~:

Da nur der durch 214~ abgegrer~te Bereich sich unmit te lbar aui den beobachteten Wert P ' bezieht, scheint seine u zur Ermi t t lung der , ,Gewiehte" am besten begriindet zu sein.

Zur Bestimmung des ,,Gewichtes" geht man SO vor, dul~ man zun~ehs~ die Endpunkte des Mk=Bereiches

P ' + M ~ = 2 n P ' + k 2 + k l / 4 n P ' ( 1 - P ' ) + k ~ 2 (n + k 2)

(lo) 2 n P ' -4- k 2 -- k V 4 n P ' (1 - P') + k"

P' + M~ = 2 (n + k ~)

~ 1 a 2 0,5 r 2 3 r ;tO 20 dO gg 50 6g 70 80 ,90 ,95 98 93 9~5 9~9%

Abb. 3. ~Oewichte" (g) fiir Kollektive yon 100--1000 Tieren.

fiir k = 1 errechnet uad aus einer der in allen Lehrbiichern der mathemati- schen Statistik enthaltenen Tabel[en des Wahrscheinliehkeitsintegrals die zugeh6rigen y-Werte entnimmt. Der reziproke Wert des Quadrates der halben Differenz der beiden y-Werte ist das ,,Gewicht".

Um die Gewichtsberechnung zu ersparen, geben wit zwei Diagramme, aus denen die Gewichte fiir KollelaNe yon 10, 20, 30 usw. his 100 (Abb. 2) und yon 100, 200, 300 usw. bis 1000 Tieren (Abb. 3) direkt abge]esen werden

MethoderL der Wertbemessung biologisch wirksamer Substanzem 293

kdnnen. Die Abstufang yon 10 zu 10 bzw. yon 100 zu 100 erm5glicht ein bequemes Interpol ieren. Wird z. B. das zu dem Wer t P ' = 15/24 ( P ---- 62,5 %) geh5rende Gewicht gesueht, so ]lest m a n zun~ichst die der Abszisse 62,5 zugeordneten Ordina ten fiir n = 20 und n - - - - 30 ab. Es s ind das die Wer te 12,5 uud 18ft. Die Differenz fiir 10 Tiere is t 6,2, fiir 4 Tiere also 6,2 �9 0,4 = 2,5. Das gesuchte Gewicht ist d a n n 12,5 + 2,5 == 15,0. Die genaue Rechnung liefert den Wer t 15,01.

Die durch Jl/l 1 festgelegten Gewichte stimmen mit den Gaddumsehen Go- wiehten Verh~ltnismi~gig gut iiberein*. Z.B. ist ffir ~ = 100 und P ' = 1/n = 0,01 das n~ch der Gaddumschenu berechnete Gewieht 7,1"*; for den ,,transformierten" M,-Bereich fiudet man den Wert 7,7. Diese Uberei~lstimmung erkl~rt sich aus dem Umstand, dab die beiden Fehler G a d d u m s ein~nder e n t g e g e n - w i r k e n und sich weitgehend au~heben. Vermeidet man den zweiten, indem man

,die Endpunkte des Bereiohes P ' ~ ~/P" (1 _-- jo,) nach Gleiehung (2) transformiert [ n

und den dadureh entstehenden asymmetrischen ]~ereieh in y-Einheiten der Gewichts- bestimmung zugrunde legt, so dai~ als Oewicht auch wieder der reziproke Wert des Quadrates des halben Bereiehes in y-Einheiten bestimmt wird, dann gelangt man zu \Verten, die yon den strengeren Gewichten der Mk-Methode stark abweichen: Die Endpunkte des Bereiehes 0,01 • 0,0095 sind y" = - -2 ,05 und y" : --3,89. l)er reziproke Weft des Quadrates des halben Bereiches 0,92 ist 1,2. Diesen Wert miigte G a d d u m konsequenterweise an Stelle seines Wertes 7,1 als Gewieht be-

stimmen. Hier zeigt sich (lie Irrttimliehkeit der Auffassung yon V P' (1~ -10") als

,,mittlerem Fehler" yon /" besonders deutlich. Immerhin kann die Gaddumsche (~ewiehtsbestimmung als ein fiir praktische Zwecke ausreichendes Ngherungs- verfahren betraehtet werden, das vet der yon uns skizzierten strengeren Gewiehts- methode jedoeh nieht einmal den Vorzug der gr6Beren Einfachheit besitzt.

Es sei darauf hinge~desen, dag auch die yon uns vorgeschlagene Methode eine gewisse Willkiir enthi~lt. Zweifellos ist das ,,Gewicht" der Beobaehtungen um so grdBer, je kleiner der bei ihrem Zustandekomrnen auftretende Fehler ist. Beziiglieh der q u a n t i t a t i v e n Verteilung der Gewichte ist jedoeh zu bemerken, dab sieh versehiedene Abstufungen ergeben, je naehdem ob man 1," = 1, 2 odor 3 usw. w/ihlt. Wenn wir uns ftir k = 1 entsehieden haben, so gleshalb, well wir uns damit in der Grdgenordnung der iibliehen Fehlerangabe halten und well sieh daraus eine gewisse Analogie zu der spiRer skizzierten graphisehen Methode ergibt. Herr Prof. v a n tier Wa er den hat uns darauf hingewiesen, (tag sich ein yon der erw/ihnten Willkiir freies Verfahren aui Grund yon ~ i she r s ,,Method of maximum likelihood" ent- wiekeln liege ; vorerst stehen jedoeh fiir den speziellen Zweek geeignete Niiherungs- formeln nieht zur Verfiigung.

Auch G a d d u m 19 erw~hitt die ,,Method of maximum likelihood"; er hat seine Arbeit aber nieht auf dieser Methode aufgebaut, sondern sie nur zur Nachprtifung seines ganz anders begriindeten (auf den Urbansehen Untersuehungen fugenden) Gewiehtsverfahrens herangezogen.

* Die 1Jbereinstimmung ist eine um so bessere, je kleiner k gew~hR ~vird, jedoeh aueh f/ir k = 0 keine vollst~ndige.

** Der in der Gaddumschen Arbeit angegehene Wert 7,6 beruht offenbar auf einem Reohenfebler, denn bereits f~r oy V ~ i s t der Wert 3,63 angegeben, wiihrend die genaue Reohnung den Wert 3,733 liefert.

294 R. P~mo~ und W. SC]~:~F~:

Mit Hilfe der aus Abb. 2 bzw. Abb. 3 zu entnehmenden Gewichte kSnnen nan die GrS~en x, y und R naeh den Gleiehungen (4), (5) mad (6) berechnet werden. Dutch den Punkt ~, y und den Riehtungskoeffizienten R ist die H a z e n s e h e Gerade analytiseh bestimmt. Ihre Gleiehung ist

y - - R ( x - - 2 ) § (11)

Danach ist die Konstruktion leicht auszu~iihren. Soll die Konstruktion auf !ogarithmischem Wahrscheinlichkeitspapier aus-

gefiihrt werden, so hat man natiirlich an Stelle der x-Werte ihre Numeri und an Stelle der y-Werte die entsprechenden /)-Werte einzutragen.

Setzt man in G1. (3) y = 0 , dann ist x = x 0 (vgl. S. 284). Der Punkt Xo, 0 ist der Schnit tpunkt der Geraden mit der 50 %-Linie. Fiihrt,

ix' ~r,, /

/ /

d os Dz Abb. 4. (Erkl~rung im Text.)

man in G1. (11) an Stelle der Koordinaten des gewogenen Mittels, x, y , die Koordinaten x 0, 0 ein, dann folgt naeh G1. (3)

R == y _ = -.1 (12) x -- x 0 /~

D i e G r S [ ~ e R i s t a l so de r r e z i p r o k e W e r t de r f i i r d a s T i e r - m a t e r i a l c h a r a k t e r i s t i s c h e n , , S t r e u u n g " ~ de r D o s e n l o g a - r i t h m e n . Diese wichtige Eigenschaft von R hat folgende Bedeutung: Je kleiner die Variabilit~t des Tiermaterials ist, d .h . je gleichartiger die Tiere reagieren, um so steiler verl~uft, ihre Wirkungsgerade und um so kleiner wird der einem bestimmten Prozentsatzfehler entsprechende. M e s s u n g s f e h l e r . Man erkennt dies sofort aus Abb. 4.

Die Gerade I ' sei die theoretisch riehtige Wirkungsgerade. Das mi t der Dosis d erhaltene (genauer: dem Dosenlogarithmus zugeordnete} Ergebnis sei P. Der Prozentsatzfehler ist dann P -- p. Ibm entspricht ein ,,Lagefehler" D1 -- d der tats~ehlieh bestimmten Wirkungsgeraden I . Die flachere Wirkungsgerade I I liefert fiir das gleiehe Ergebnis den grSl~eren Lagefehler D H - -d . Dem grSJ~eren Lagefehler entspricht der grSl~ere

Methoden der We~tbemessung biologisch wirksamer Substanzen. 295

Messungsfehler, wenn die Wirksamkeit des untersuchten Pr~parats mi t der eines Standasdpr~parats vergliehen wird.

Hat man aus m e h r e r e n V e r s u c h e n f a r d en R i c h t u n g s k o e f f i - z i e n t e n die Werte Ri , Rb, . . . , Rj . . . . gefunden, so kann man aus ihnen wiederum ein g e w o g e n e s M i t t e l bilden:

_ ~ R j g R j R - - , (13>

Y gR~.

wobei gR~ = E gi (x~ - x) ~

zu setzen ist [die Summe ist selbstverst~ndlich nur aus den zu j gehSrigen Gliedern gi (xi - - x) 2 zu bilden]. Die Gewiehte gRi sind bei der Berechnung yon Ra, R l , . . . , R j , . . . bereits ermittelt worden; sie entsprechen dem Nenner yon Formel (6).

Wanschenswert ist noch eine Fehlerangabe far die GrSBe R. Des Fehler von R ist bedingt dutch die Fehles der Beobachtungen P' . Ebenso- wenig wie far P ' ist far R eine Feh]erangabe in der Form des iibliehen ,,mittleren Fehlers" m Sglieh; vielmehr kann auch hier nur eine dem Mk-Be- reich entsprechende Fehlerangabe gewonnen werden. Da der Gewiehts- bestimmung far die P '-Werte der M1-Bereich zugrunde gelegt wurde, ergibt sich rackwi~rts aus dem Gewicht far R eia dem M~-Bereieh entsprechender Fehlerbereieb, der in der symmetrischen FoHn

1

1 /~ g~ (=~ - ~)~

angegeben werden kannl da auch die Ml~-Bere:iche in H a = e n sehen Ordinaten nahezu symmetrisch sind.

Bei der Messung mit Hilfe eines StandardprSparates (vgl. S. 285) handelt es sich datum, den Abstand zweier Wirkungsgeraden zu bestimmem Sind beide Geraden unabh~ngig voneinander bestimmt worden, so wird man zwei im Migemeinen nicht vSllig iibereinstimmende Werte R 1 und R 2 erhalten. Um die Forderung, dag die Geraden parallel sein sollen, zu er-

fallen, hat man den Mittelwert R in der angegebenen Weise aus G1. (13) zu bereehnen. Die beiden gesuehten Geraden sind die Paral[elen mit dem

Riehtungskoeffizienten R dutch die Punkte xl, Yl und ?c2, Y2- Wurde yon der zweiten Wirkungsgeraden -- sei es die des Standards oder die des unbekannten Pr~parates -- nur ein einziger Punkt x2, y~. ermittelt, dann wisd ihre Lage dutch die ParaUele zu der errechneten Oeraden mit dem Richtungskoeffizienten R 1 dureh den Punkt x2, Y2 bestimmt.

In ]edem Falle hat man es mit zwei Punkten za tun, die beide mit einem Fehler behaftet sin& Die Punkte seien im folgenden mit xl, Y r und x2, Y2 bezeichnet, and z-war soll x 1 der Dosenlogarithmus des Standards, x 2 des Dosenlogarithmus des zu messenden Prgparates sein. (Die ~dber-

296 R.P~IOOE und W. Sc~grEa:

streichungen, die die Punk te als Mittelwerte kennzeichnen, kSnnen nun en tbehr t werden.)

Die Fehler der Punk te xl, Yt und xe, Y2 beziehen sich natiir]ich nur au f die Ordinaten Yl und Y2 bzw. auf die zugeordneten Gr5•en P'I und P'2"

t

Die Fehlergrenzen yon P1 und P ' sind aus den GIeichungen (10) zu be- 2 rechnen, wobei ftir n die Gesamtzahl der bei der Bes t immung jeder Geraden beriicksichtigten Tiere (n 1 fiir P'I, n2 fiir P ' ) einzusetzen ist.

Aus den Fehlergrenzen fiir P'I und P'2 ergeben sich die F e h le r gr e nz e n d e s T i t e r s in folgender Weise:

Es s e i e n / ; und [+ die Fehlergrenzen yon P : und ] ; und ]+ die Fehler- grenzen yon P'2" Als u n t e r e F e h l e r g r e n z e ergibt sich alsdann der den Abst~nden der beiden durch die Punk te x 1, y (]~) und x2, y (]~) gelegten Geraden entsprechende Titerwert. Analog f indet man die o b e r e T i t e r - g r e n z e aus dem Abs tand der beiden durch xt, y (/i) und x~, y (/+) gelegten Geraden.

Hierzu ist folgendes zu bemerken: Die Wahrseheinliehkeit, dad eine e inze lne Beobachtung, d.h. ein einzelner

P'-Wert, einen grSl3eren als den durch M k gegebenen Abstand yore ,,wahren Wert" besitzt, mSge mit W k bezeichnet werden (vgl. S. 303). Die Wahrscheinlichkeit, dal3 yon zwei eine Differenz darstellenden Beobaehtungen P'I und P'~ mindestens eine um mehr als den durch Mk~ bzw. Mk2 gegebenen Abstand vonl zugehSrigen ,,wahren Y~ert" abweieht, betr~gt darm

( 1 - Wkl) Wk2 + (1 - - Wk2) Wkt + Wkt W~2 = W~t + Wk2 - - Wkt Wk~ = V.

Fiir k~ = 1r 2 = k ergibt sich also

2 W k - - W ~ = W k ( 2 - W k ) ~ V.

V ist also stets g r 6 ~ e r als Wk, d. h. die Wahrscheinlichlr 1 - - V, dal~ eine Differenz u deren beide Endpunkte keine~ gr61~eren als den durch M k gegebenen Abstand yon den zugeh6rigen ,,wahren Werten" haben, ist k le ine r als die Wahr- seheinlichkeit 1 - WT~ , dal3 ein ]~inzelwert einen gr6i3eren als den durch M k gegebenen Abst~nd yore ,,wahren Wert" besitzt.

Aus dieser Angabe l~l~t sich jedoeh keine w a h r s c h e i n l i e h k e i t s - t heo re t i s ehe Be g r i i ndung der yon uns vorgeschlagenen Titergrenzen herleiten. Es mu/3 vielmehr n~chdriieklichst darauf hingewiesen werdea, dal~ aueh ~rertpaare, von denen der eine oder beide Werte aul3erhalb der yon uns vorgeschlagenen Be- reiche liegen, zu Titerangaben fiihren, welche sieh imlerhalb der geforderten Titer- grenzen hMten. Die Zuverlgssigkeit der Fehler~ngaben fiir den Titer ist also h6her zu bewerten als es auf Grund der lediglieh die Differenzen der Prozents~tze be- ~reffenden Wahrscheinliehkeitsbetrachtung scheinen ]~6nnte.

Als B e i s p i e l fiir die Auswertung yon Messungsresultaten sei ein Vergleich zwischen zwei bakteriellen Toxinen von gleicher Herkunf t abet verschiedener St~rke behandel t :

Zur Bes t immung der Wirkungsgeraden wurden sechs Kollel~tive zu je 25 Tieren mit geometrisch abgestuf ten Dosen des zu messenden Toxins

�9 (Toxin 2) vergfftet. Die zur Berechnung yon ~, y und R notwendigen Daten und die Ergebnisse sind in der folgenden Ubersicht zusammen- gestellt :

Methoden der Wertbemessung biologisch wirksamer Substanzem 297

D o s i s x n P ' y g gee g y ee__u g y ( m _ ~ ) (ee__-~-)2 g(ee---~f' m g

0,03 --1,5231 24 lo/~ = 0,417 0,10 -1,000 25J ~/~=0,200 0,30 _0,523 :>-o4oo 1,00 I 0,0001 ~ j25-- 0,640 3,00 0,477 251~3/'25=0,920

10,00 1,000 25]u~/2 ~=0,960

-0,210115,4 I- 23,5 I - 3,231-1,034 I -0,842112,5 -12,5 -10,52 -0,511 -0 ,253 15,8- 8 ,3- 4,00-0,0341 +0,358115,41 0,01+ 5,511+0,489 I +1,4051 7,9 + 3,8 +11,10 +0,966 +1,751 5,2 + 5,2 + 9,11 +1,489

3,34 1,069 5,37 0,261 0,14 0,001 2,69 10,239

10,72 0,933 13,56 2,217

11491 i72,21-35,3!+ 7,~71 135,82 I 35,3 -- = --0,489 = 0,511 -- 1, Num (5?) = 0,324, 72,2 7,97

= q- 72,2 = 0,110, P = P2 = 54,4~o,

35,82 R . . . . . . . 0,846.

42,32

Die Gleichung der Geraden ist

y = R x - - R ~ - ~ - y ~ 0 , 8 4 6 x q - 0 , 5 2 4 .

16,46 3,26 0,02 3,68 7,37

11,53 42,32

ee y

-- 1 -- 0,322 q- I q- 1,370

Das Ergebnis war :

P1 36 %.

~]o

37,4 91,5

Die Kons t ruk t ion der beiden Wirkungsgeraden ist in Abb. 7 (S. 308) ausgefi ihrt .

Die beiden zur T i t e rbes t i nmmng erforderl ichen P u n k t e sind

x 1 = log 1,8 = 0,255, Yl = - - 0,358 (P1 = 36,0 %), x ~ = 2 0,511 - 1 , Y2 --- Y 0,110 ( P ~ = 5 4 , 4 % ) .

Fiir den Logar i thmus der mi t der S tandarddos is wirkungsgleiehen Dosis yon Toxin 2 gilt die Bezielmng

x = Yl_~_y2 q_ x~ = - - 1,042 = 0,958 - - 2.

Die wirkungsgleiche Dosis selbst ist

N u m (0,958 - 2) = 0,0908 rag.

Den gesttchten Titer f inder m a n sehlieBlieh du tch Divis ion der w i r k u n g s - gleiehen Dosen:

1,8 . . . . . . 19,8,

0,0908

A r c h i v f. expe r imen t , Pa th . u. P h a r m a k o l . Bd. 191. 20

weit vone inander ent fern ten Punk te fl, LIS : Dos i s

Zur B e s t i m m u n g der Wirkungs- geraden des S tandards (Toxin 1) 0,1 10,0 wurde nur e i n Kol lek t iv zu 50 Tieren benutz t , die mi t 1,8 mg vergi f te t wurden.

P'1 -= 18/5o - 0 ,36 b z w .

U m die Gerade in das logari thmische Wahrschein l ichkei t spapier mSglichst genau e int ragen zu kSnnen, rechnen wir uns die Koord ina t en zweier r ech t

298 R. l:'grGG~ und W. SCHiiy]~]~:

d. h. eine beliebige Dosis des Toxins 2 besitzt die gleiche Wirksamkeit wie die 19,Sfache Dosis des Standards oder kurz: Toxin 2 ist 19,Smal so toxisch wie der Standard (Toxin 1).

Bequemer und doch genau genug l~l~t sich der Titer aus Abb. 7 be- stimmen: Die mit 1,8mg des Standards wirkungsgleiche Dosis ist der zu 36 ~o gehSrende Abszissenpunkt der Wirl~ungskurve: 0,09. Der Titer ist also 1,8

- - ~ 20,0. 0,09

Zur Bestimmung der Titer- Gr e n z e n ist die B erechnung der M~-Werte zu P1 = 36 % und P2 -- 54,4% erforderlich. Aus den Gleichungen (10) findet man fiir/~ ----- I, P'I ~ 0,36 und n 1 ~ 50

]1+ = 43,0 %, ]: = 29,5 %

trod fiir P: = 0,544 und n~ = 149

g = 5s,4 %, /; = 50,3 %. Zur Bestimmung der u n t e r e n Titergrenze brauchen wir die Werte /~ und ]~ (vgl. S. 296). Die Rechnung ist genau wie bei der Titerbestimmung, nut dal] man [i an Stelle yon P'I und [; an Stelle yon P'~ zu setzen hat. Wir k5nnen uns jedoch mit der Ablesung aus Abb. 7 begniigen. Man findet auf der unteren, durch x2, y (/~) gelegten Parallelen zur Wirkungs- geraden die zu /~ = 43% geh5rende Abszisse 0,2 mg und daraus die

1,8 u n t e r e T i t e r g r e n z e == (),2--~ 9,0.

Um die obe re Titergrenze zu ermitteln, lesen wir die zu / i = 29,6% geh5rende Abszisse aus der oberen, durch x2, y (]~+) gelegten Parallelen zur Wirkungsgeraden ab. Man finclet den Wert 0,043 mg und daraus die

1,8 o b e r e T i t e r g r e n z e -- 0,043 -- 41,9.

Der Grundtiter stellt n i c h t das exakte geometrische Mitre] zwischen dem oberen und unteren Grenztiter dar, well die Mk-Bereiche auch in Hazenschen Ordinaten leicht asymmetrisch sind. Trotzdem daft man als allgemeine Titerangabe abgerundet schreiben:

Titer = 20 ~ 2,1.

Da ferner der Mk-Bereich in H a z e n s c h e n Ordinaten nahezu dem k-fachen M1-Bereich entspricht, kann man fiir beliebiges k nKherungsweise den Titer -~ 20 :~ 2,1 k angeben.

IV.

W e s e n t l i c h b e q u e m e r als das a r i t h m e t i s c h e u de r A u s g l e i c h s r e c h n u n g i s t die g r a p h i s c h e M e t h o d e . Im allgemeinen besteht die Auffassung, daI] arithmetische Veffahren den graphi-

Methoden der Wer tbemessung biologiseh wirksarner Substanzen. 299

s c h e n a n G e n a u i g k e i t e r h e b l i c h i i b e r l e g e n se ien . D a s i s t a b e t d u r c h a u s

n i c h t i m m e r d e r Fa l l , z. B. n i c h t be t d e r B e s t i m m u n g d e r H a z e n s c h e n

G e r a d e n .

Wenn Ergebnisse P ' = 0 oder P ' = 1 vorliegen, verd ien t die graphische Methode zur Bes t immung der H a z e n s c h e n Geraden sogur den Vorzug. Versuchs- ergebnisse P = 0 % a n d P = 100 ~o sind in der Praxis n icht selten. Nuch G a d d u m wiire das solchen Ergebnissen zuzuschreibende Gewicht - - en t sprechend dem

, ,mi t t leren Feh le r " V ~ l [ n ~ o - gleich dem Produk t aus 1/0 = c~ a n d ( d P ' / d y ) 2. Da fiir P ' ~ 0 und / ) ' = 1 such ( d P ' / d y ) 2 0 ist, so ergibt sich als Gewicht der zungchs t unbes t immte Wert 0 �9 er Derart ige unbes t lmmten Ausdrfieke lassen sich durch Grenzprozesse bes t immen. Da P ' aber nur diskrete, u m mindes tens 1/+~ m~terschiedene Wer te ammhmen kann , ist ein sinnvo]]er Grenzi ibergang nur m6glieh, wenn i ~ := 1/n, also gleich dem kleinstmSgliehen yon Null versehiedenen Wert , gesetzt wird. D a n a s t reb t P ' mi t w~ehsendem n gegen Null. Der gesuehte Grenz- weft ist

lira P ' ( 1 - - P ~ ) \ d y ] = ]im n '~ . . . . P' --*. o ~._). ~ \ d y /

Dieser ei~zig sinnvolle Grenzi ibergang gibt jedoeh k e i n e L0sung der - - prak- t iseh a]lein in Be t raeh t kommenden - - Frage naeh 4em Gewieht for P ' = 0 bei e inem endliehen n. Hier zeigt sieh deutl ieh die Unnatf i r l iehkei t des G a d d u m s c h e n

, ,mit t leren Fehlers" . Man ist gezwungen, deft Ausdruek ~ / P ' ( 1 - 1 )') r e in fo rmal /

n

aufzufasse~ und den Grenziibergang ftir kons tantes ~t auszufOhren. Es zeigt sieh dana, dab ( d D ' / d y ) 2 mit abnehmendem .P" (bzw. 1 - 1") wesentl ieh raseher als P ' ( 1 - P')/~t gegen Null strebt, so dab

n (,z p,~2 lira P>:(1--- PT) \ 3 y ~ ] = 0.

n = k o n s t

In den Formelu (4) und (5) t re ten die S u m m a n d e a gi Yi au f . ]+iir 0 % (:,J . . . . o~) und 100 ~o (Y = + oo) ergeben sich also wieder unbes t immte Ausdrt ieke v o n d e r

F o r m - - c ~ ' 0 u n c [ + o e . 0 . A b e r a u e h d a s P r o d u k t y D ' ( 1 - ~ - P ' ) \ d y / streb~

mi t abnehmendem P ' (bzw. 1 - - P ' ) gegen 0, so dub sehlieglieh die ]3eobaehtungen P ' = 0 un4 1 )' - - 1 bet der Ausgleicbsreehmmg unberiieksiehtig~ bleiben.

B e t d e r M k - G e w i e h t s m e t h o d e b e s t e h e n d ie a n g e d e u t e t e n l o g i - s e h e n S e h w i e r i g k e i t e n n i e h t . Der eine E n d p u n k t des Ml-Bere iehes b le ib t beim i Jbergang zu Hazensohe~x Ordilmte~ im Endl iehem die amtere Orenze r i iekt jedoeh ins Unendliehe, und dadureh wird der Gesamtbere ieh uaendl ieh, das ihm entspreehende Gewieht also gleiehfalls 0. Aueh hier blelben die Ergebnisse 0 und 100 ~) ohne Einflul~ auf das Ergebiais der Ausgleiehsreehnung:

]3ezeiehnet m a n den absoluten Be t rag des Ma-Bereiches in y-Ein%eiten mi t B, so ist das Gewieht g = 4/B=. N un ist lY I sieher kleiner als B + b, wenn man mi t b den Abs t and der inneren Grenze des Bereiehes B yon der 0-Linie (50% Linie) bezeiehnet . Man kann also sehreiben:

4 ) y I 4 ( B + b ) ,I 4 b [ Y l ' g = ~ U < B~ - - B + B '~

Da for !y ] = c~ a u e h / ? ~ zc ist, wghrend die innere Grenze y o u / 3 im Endl iehen bleibt , also b stets einen endliehen Wer t hat , so folgt ffir l Yi = zc

4 4 b

20*

300 R. PRIGeE und W. SC~iFE~:

d. h. bei Anwendung yon Gleichung (6) fallen die Punkte n i t P' = 0 und P' = 1 heraus. E i n U b e r g a n g fiber f ik t ive Zwisohenwerte zwischen 1/nund0/n ist ulso nicht er forder l ich .

Dus unter Berficksichtigung des Ml~-Bereiches sich ergebende graphisohe Verfahren erm6glicht dagegen - - wie unten n~her ausgeffibrt wird - - noch eine gewisse Berfieksichtigung der Ergebnisse 0 und 100%.

Bei der Ausgleichung auf graphischem Wege t r i t t an die Stelle des Gewichtes der entsprechende F e h l e r b e r e i c h : je gr51]er der Fehlerbereich, desto geringer ist das Gewich~ der Be0bachtung. Die Benutztmg yon l o g a r i t h m i s c h e m W a h r s c h e i n l i c h k e i t s p a p i e r ermSglicht es, die

" gefundenen Prozents~ze ohne Zwischenrechnung oder Tabe]le direkt als Ordinaten zu den zugehSrigen Dosen als Abszissen einzutragen; die Fehler- bereiche miissen attf Grund der betreffenden Formeln, also unter Beriick- sich~igung der jeweils verwandten TierzMfl, errechnet oder geeigneten Tafeln (z. B. Abb. 6) entnommen werden. Liegen nut zwei Beobachtungen (beide ungleich 0 oder 100 %) vor, braucht man ledig]ich die beiden Punkte dutch eine Gerade zu verbinden. Bei mehreren Punkten ist die Gerade so dutch die abgegrenzten Fehlerbereiche hindurchzulegen, dab die Bereiehe m6glichst nahe an den beobach~eten Punkten geschnit~en werden.

Beziiglich der abzugrenzenden Fehlerbereiche hat man sich fiir einen der folgenden VorsehlEge zu entscheiden:

l. Ein graphisches Verfahren unter Verwendung des aus GI. (7) sieh ergebenden Fehlerbereiches

Y+__av;

d y _ e~ 2 : ~ P ' - - P ' ) (14) ay --~ ap,. d~p, . . . . . . . . .

ist kiirzlich yon L o d e ~6 beschrieben w0rden. An d e n Lodeschen Ver- fahren l~[~t sich besonders sch5n zeigen, zu welchen Konsequenzen die G a d d u m s c h e Fehlerangabe fiihrt. Die ia H a z e n s c h e n Ordinaten (y) symmetrisehen G a d d u m - L o d e s e h e n Fehlerbereiehe werden zwar um so grSger, je welter sich die P-Werte yon der 50 %-Linie entfernen, jedoch so, dab (ftir ein end liches n) mit abnehmendem P' (bzw. ] -- P') der obere Endpunkt nach + ~ und der untere nach -- oo strebt, d: h. fiir P ' = 0 and P ' = 1 kann yon einer Fehler-,,Abgrenzung" keine Rede mehr sein.

2. Einen anderen ~'ehlerbereieh erhMt man, wenn man die Endpunkte

der Streeke P ' + 1 / P ' (1 - - P ' ) / n , die Gad d u m als,,mi~tleren Fehlerbereieh" auffa~t, naeh G1. (2) transformiert. Dieser zungchst symmetrisehe Fehler- bereich wird dureh die Transformation asymmetriseh. Dabei rfiekt mit gegen 0 oder 1 strebendem P ' der gesamte abgegrenzte FeSlerbereieh ins Unendliehe, so dal~ die Forderung, die abgegrenzten Bereiehe seien yon der I I azenschen Geraden zu sehneiden, nicht erfiillt werden kann; denn

26 L o d e , W.: Medizin und Chemie 3, 339 (1936).

Methoden der Wertbemessung biologiseh wirksamer Substanzen. 30I

die , ,Gerade" miil~te naeh unten (bzw. naeh oben) umbiegen, um zu dem im Unendlichen liegenden Fehlerbereich zu gelangen.

3. Bei einem yon v. S e h e l l i n g 28 angegebenen graphisehen Vet- fahren werden die Bereiehe nieht um den beobaehteten Prozentwert, sondem a m den Erwartungswert der B ~ y e s schen Wahrscheinlichkeits- verteilung

P ' n + l a ~ . . . .

nq-2

abgegrenzt und entsprechen dessen mit t lerem Fehler

|/a (1 - - a) s = V - ~ - + 3 "

Nach diesem u bleiben beim Ubergang zu H a z e n s c h e n Ordinaten auch fiir die Werte P ' = 0 und P ' = 1 sowohl die Erwartungswerte als auch die Endpunkte der Fehlerbereiehe im Endlichen. Eine Beriick- sichtigung der Ergebnisse yon Versuchen, bei denen 0 oder 100 % der Tiere positiv reagieren, ist aber auch bier nicht mSglich, wie man leicht erkennt, wenn es sich um die Auswertung von Reihen handelt, in denen etwa folgende Resultate geftmden werden: P 0, 0, 0, 20, 40, 60, 80, 100, 100, 100, . . . %. Hier ergibt sich fiir jeden Wert P = 0 bzw. 100 bei gleichbleibender Tierzahl nicht nut der gleiche Erwartungswert , sondern auch stets der gleiche Fehlerbereich. Die Forderung, dal~ die abgegrenzten Bereiche yon der H a z e n s c h e n Geraden geschnitten werden sollen, ist also aueh bei Verwendung der a + s-Bereiche night zu erfiillen; denn die , ,Gerade" miif~te sowohl unten wie oben seitlieh ausbiegen, um (tie den 0- bzw. 100-Werten entspreehenden a + s-Bereiche zu sehneideil*. v. S c h e l f i n g hat daher auf die Werte 0 und 100 bei der graphisc}len Aus- wertung bewuf~t v e r z i c h t e t . Fiihrt man an Stelle des a • s-Bereiehes den einem Vielfachen yon s entspreehenden Bereich Bin, so f5llt das eine Ende des Bereiches ins Unendliehe, w~ihrend das andere Ende im End- lichen bleibt. Damit ist die angedeutete Schwierigkeit zwar behoben; jedoch ergeben sich dann aueh fiir die in der N a h e yon 0 bzw. 100% liegenden Werte einseitig begrenzte FeMerbereiche, so dab die Genauigkeit der Auswertung beeintrachtigt wird.

* Diese logische Schwierigkeit rflhrt daher, dal3 fiir P ' = 0 und P ' -- ] die Bayes-Verteihmg durch eine mo~mton abnehmende Funktion dargestellt wird, so dab die symmetrisehe Abgrenzung urn den Erwartungswert

gerade den wa.hrsehei~lliehsten (,,diehtesten") Wert aussehliel~t. Um dies zu ver- meiden, miif3te der FormMismus in sehr komplizierter Weise so abge/indert werden, dal~ nur solohe Werte 4er ]3ayes-Verteilung ausgesohlossen werden, deren Wahr- scheinlichkeitsdiehte unter einer bestimmten Grenze liegt.

302 R. PRmGE und W. SCHXFER:

Wie oben bereits angedeutet wurde, lassen sich Angaben, die einem yon 0 bzw. 1 verschiedenen' P'-Wert einen die Werte 0 bzw. 1 einschliei~enden Fehler- bereich zuordnen, nicht sinngemiiB deuten; auch aus diesem Grunde scheint es nicht erlaubt zu sein, dab man mit einem Vielfaehen des a i s-Bereiches arbeitet, es sei denn, dab man gerade dasjenige - - fiir jede Versuchsreihe verschiedene! - - Vielfache ermittelt, bei welchem nur fiir die 0- und 100-Werte die eine Grenze ins Unendliche riickt, w~hrend bei allen anderen Werten beicte Endpunkte des Feifler- bereiches im Endliehen bleiben; jedoeh versagt aueh dieser Ausweg, wenn die verschiedenen Tiergruppen nicht gleich groB sind, insbesondere wenn die Gruppen mit dem Ergebnis 0~o mehr oder weniger Tiere umfassen als die Gruppea mit dem Ergebnis 100 %.

Ein weiterer Ausweg kSnnte darin erblickt werden, daI3 man bei denjenigen Teilversuehen, in denen P = 100~o gefunden wird, alas jeweilige Resultat beim niichstfolgenden Wert mitverwertet; ergibt sich z. B. ftir die Desert D, D1, D2, Da jeweils der Wert 24/24, so k6nnte man die Resultate so anschreiben, dab man P~) = 24/24, P l h = 48/48, P'D2 = 72/72, P~3 : 96/96 angibt usw. Dadurch wird ein h6herer Erwartungswert gefunden, und der a i s-Bereich rfickt hi~her. In analoger Weise w&ren die Teilvers.uche mit dem Ergebnis P = 0 ~o zu behandeln. Jedoch werden die Sehwierigkeiten auch hierdurch nicht beseitigt, weft sich die durch die yon 0 und 100 verschiedenen Resultate festgelegte Hazensche Gerade auch aus dem Bereich der durch diesen Kunstgriff ver~nderten Fehlergrenzen sehr schnell entfernt.

Die Sehwierigkeiten, welche sich bei der Verwendung des a • s-Bereiehes ergeben, werden besonders deutlich, wenn man versucht, das Verfahren zu arithmeti- sieren. Der einem Ergebnis P ' = 0 bzw. 1 entspreehende Erwartungswert ffir die Bayes-Verteilung ist stets ungleich 0 bzw. 1, und diesem Wert entspricht auch in Hazensehen Ordinaten stets ein endlieher Wert, dem ein yon 0 verschiedenes Gewicht zugeschrieben werden mul~, das aus dem transformierten mit beiden End- punkten im Endliehen bleibenden a ~= s-Bereich zu berechnen ist. Jedes 0 %- und jedes 100 ~o-Ergebnis wird also einen gewissen Einflu~ auf die GrSl3e des Riehtungs- koeffizienten der Hazenschen Geraden ausiiben, so dab die Neigung der Geraden um so geringer ausf~llt, je mehr 0 %- und 100 ~o-Werte vorliegen. Wenn man dagegen durch Verwendung eines Vielfachen von s zu einem unendlichen Fehlerbereich bzw. zu einem Gewieht 0 gelangt, so ergibt sieh die Gefahr, dab auch solehe Yersuche das Gewieht 0 erhalten, bei denen /~ ~= 0 und P =~= 100 gefunden wurde, so dal~ gerade die ffir die Bestimmung des Richtungskoeffizienten wichtigsten Werte nicht s&mtlich berficksiehtigt werden kSnnen.

4. W&hlt m a n als Grundlage tier Feh le rabgrenzung das Mk-Verfahren, dann versehwinden s&mtliehe Bedenken einfaeh deshalb, weft Mk die dem B e r n o u l l i s e h e n Problem ads Feh le rbes t immung ist. Bei der Ar i thmet i s ie rung fallen die 0- und 100 ~o-Punkte heraus, kSnnen also das Ergebnis aueh n ich t stSrend beeinflussen. Bei der g r a p h i s c h e n M e t h o d e werden sie jedoch mitberi icksicht igt , weft der eine E n d p u n k t des Mk-Be- reiches beim ~ b e r g a n g zu H a z e n s c h e n Ord~naten im Endl ichen bleibt . Der Fehlerbereich ]iegt zwisehen den Grenzen P' + M~ und P' + M[., die sieh aus G1. (10) ergeben.

Ws die yon uns vorgeschlagenen ,,Gewichte" mit einer bestimmten Willktir gew~hlt wurden (siehe S. 293), kSnnen die nach der 2r sich ergebenden , , M u t u n g s g r e n z e n " w a h r s c h e i n l i c h k e i t s t h e o r e t i s c h e i n w a n d - f re i beg r f inde t werden :

Methoden der Wertbemessung bio]ogisch wirksamer Substanzen. 303

Ersetzt man die Be rnou l l i s che Verteilung durch die der Lap lacesohen Ngherung entsprechende Yerteilung, so ist die Wahrscheinlichkeit, dab P ' keinen gr6geren als den durch

_- 17 ( I ( L )

M s = 2--1/] ( 1 - - / ) usw. W

gegebenen Abstand yore ,,wahren Wert" p ' besitzt,

~ 1 = 1 - W1 = 0,683, ~[B~ = 1 - W 2 = 0,954 usw.,

weil nur dann

wenn

V' P' (1 p') P' - -p '> k.m = k j

(W1 = 0,317, W~ = 0,046 usw.; vgl. S. 296.)

P r i g g e 32 hat zwar darauf aufmerksam gernacht, dab der der M,-Formel zugrurLde liegende Ansatz fiir sehr kleine und sehr groge p'-Werte nicht streng giiltig isg. Herr Prof. v a n d e r W a e r d e n weist uns aber darauf hin, dag 4iesem Umstand praktisch keirm Bedeutung zukommt:

An sich mfigte man bei der Herleitung der M u t u n g s g r e n z e n yon der exakten Bernoulli-Formel

Z2

w = E zl

ausgehen. Die Mk-Formel ' verwen4et start dessen eine Ngherung, ngmlioh da~ Integral

ze + ~ (z -- p' n)2 1 ~" e 2p'(1--p')n dz.

V2 ~ p' (1 - p') n J

Es zeigt sich ~ber, dab die Fehler der Ngherung an der oberen und unteren Inte- grationsgrenze sich grogenteils attfheben, so daft d ie M k - F o r m e l a t tch be i e x t r e m k l e i n e n bzw. e x t r e m g r o g e n W a h r s e h e i n l i c h k e i t e n noah seh r z u v e r - l g s s ige Wer~e ergibto

A n einem p rak t i s chen Beispie], dem eine von P r i g g e 1~ beobaeh te t e Versuehsreihe zugrunde liegt, zeigt sich sehr sehSn, wie en tsche idend un te r U m s t g n d e a die Mi tber i icks ich t igung s ines 0 % - oder 100 % -Wer tes sein kann. P r i g g e h a t einen hochak t iven Alaun impfs to f f J 5 m i t dem im F r a n k f u r t e r I n s t i t u t f i i r exper imente l le Therap ie b e n u t z t e n S t a n d a r d - impfs tof f vergl ichen. Seine Versuehsergebnisse s ind in Tabel le 1 wieder- gegeben. F i i r das graphische Ausgle ichsver fahren k o m m t vor a l lem die m i t dem M a u n i m p f s t o f f e rha l tene Reihe yon s ieben Punk~en in Frage . Tabe]le 2 g ib t die nach dem M , - V e r f a h r e n fi ir k = 1 e rmi t t e l t en Bereiche wieder, innerha]b deren die den beobach t e t e n P rozen t sg tzen P zugrunde-

304 R. PRIGG]~ und W. SCH;4FER:

Tabelle 1. T i t r a t i o n e i n e s D i p h t h e r i e - A l a u n - I m p f s t o f f e s ( , ,Re ihenve r such" ) .

Gegen 1 ,Stag ( = 12 dl to0)* Diphther ie t rockentoxin T172 pro 250 g KSrpergewich t w u r d e n am I6. VI./14. VII. 1936 geschii tzt

du tch den S t a n d a r d i m p f s t o f f durch den A l a u n i m ) f s t o f f J 5

Dosis a n d Verdfinnung Z~hl der Tiere Dosis und Yerdfinnung Zahl der Tiere

2ccm 1/1"* = 2 ccm

2 ,, l h = 0 , 5 ,,

15/23 = 65,2 %

3/24 = 1.2,5 ~o

ccm 1/5 = 0,4 ccm 2 ,, 1/1 o = 0 , 2 ,, 2 ,, 1/~ o = 0,1 ,, 2 ,, 1/5 o = 0 , 0 4 ,, 2 ,, 1/loo = 0,02 ,, 2 ,, 1/2oo= 0,01 ,, 2 ,, 1/5o o = 0,004 ,,

24/24 = 100 % 24/25 • 96 ~o 23/24 = 95,8 % 12/25 : 48 ~o

3t24 = le,5 % 0/23 0 % o/24 = o %

T a b e l l e 2.

Impfstoff

Standard . . . . . .

Alaun . . . . . . . . .

Dosis

2,0 0,5 0,4 0,2 0,1 0,04 0,02 0,01 0,004

Beobachteter Prozentsatz P

65,2 12,5

100 96,0 95,8 48,0 12,5 0 0

Obero [ Untere Grenze des Mt-Bereiches

P -}- M + _P + M~

74,3 54,8 20,8 7,2

100 96,0 98,5 90,0 98,4 89,6 57,9 38,3 20,8 7,2

4,2 0 4,0 0

l iegenden , ,wahren" Prozen ts~ tze p zu suchen sind, wenn ffir die Ab- weichungen der P - W e r t e yon den p - W e r t e n n icht m e h r als de r e infache mi t t l e r e Feh l e r zugelassen wird.

Die W i r k u n g s g e r a d e n so]fen so kons t ru i e r t wei 'den, dab die beobach t e t en W e r t e P als n o r m a l e A b w e i c h u n g e n von den theore t l sch geforder ten P u n k t e n p (a]so yon den en t sp rechenden Punl r ten der Wi rkungs - geraden) erscheinen ( P r i g g e l ~ Der , ,mit~lere F e h l e r " de r p -Wer te bzw. de r Be t rag , u m den die P - W e r t e von den en t sp rechenden P u n k t e n der W i r k u n g s g e r a d e n abweichen dfirfen, e r rechnet sich se lbs tvers t~nd] ich in gewohnte r Weise nach der B e r n o u l l i schen Fehleffo~me].

Abb . 5 zeigt d ie graphische Ausgle ichung. Die den yon 0 und 100 versch iedenen P u n k t e n en t sprechenden Bere iche schr/~nken die Lage der Geraden in be iden R i c h t u n g e n ein, w~hrend sich die zu 0 und 100 ge- hSr igen Bere iche nur in e iner R i c h t u n g ge l tend machen. Tro tzdem komm~

* dllo o = dosis certe letalis minima (die Dosis, welche eben ausreicht, urn nichtimmunisierte Versuchstiere in 100 % der F/~lle innerhalb yon 5 Tagen zu t6ten).

** 1/1 = unverdiinnt; als 1/1-Verdiinnung des Standardimpfstoffes ist eine ,,Normall6sung" bezeichnet, welche 1,9rag = 1 Schutz-Einheit (SE) in 1 ccm enth~lt.

Methode~ der Wertbemessung biologisch wirks~mer Substanzen. 305

\ \ \ \

\

\

\

zu~ UalZlnqo~aB u~p ZlD~Ju~zou d

~

&

306 .R. P ~ I G ~ und W. ScFr/~'lg~:

ihnen erhebliehe Bedeuttmg zu. Man braucht nut anzunehmen, dal~ das mit 0,02 ccm Alatmimpfstoff gewonnene t~esultat (12,5 %) nicht vorlage, um einzusehen, dal~ das fiir 0,0t ccm gefundene Ergebnis (0 %) die Lage der Wirkungsgeraden wesentlieh beeinflui]t. Die Neigung d e r Wirl~ungs- geraden wiirde ohne dieses Ergebnis vermutlich geringer angenommen werden. Ferner zeigt das Beispiel auch die besondere Bedeutung gerade des dem 50 %-Punkte n ~ i c h s t l i e g e n d e n 0 % - b z w . I00 %-Resultates. Die Bereiche aller folgenden 0 - o d e r 100-Werte werden sicher geschnitten, wenn diese Forderung fiir den ngchstliegenden erfiillt ist und wenn die folgenden Resultate nich~ mi~ sehr viel grS/]erer Tierzahl ermittel~ sind als das n~ehstliegende. In Fiillen, in denen nur ein oder iiberhaulat kein Resul tat zwischen 0 und 100 voriiegt, bes t immt die graphisehe Verwendung der den Wergen 0 und 100 % zugeordneten M~-Bereiehe immer noeh eine M i n d e s t s t e i l h e i t der Wirkungsgeraden, w~ihrend die A u s g l e i e h s - r e e h n u n g b i e r v S I l i g v e r s a g t .

Die M r F u n k t i o n [s. G1. (9), S. 290] ist -- mathematiseh gesehen -- sehr interessant. So liegen z. B. die M a x i m a bzw. M i n i m a s~mtlieher Kurven der zu den Parametern k und n gehSrenden Kurvenseharen auf einer G e r a d e n :

Die Ableitung yon Gleiehung (9) rtaeh P' ergibt

dM~ k2 n k ( 1 - - 2 P ' )

d M~ FOr d 2o' -- 0 ergibt sieh awisehen 2~ und ,~ die Beziehung:

p, 1 k 2 =]= 2 gn" (15)

SetT.t man diesen Wert fiir P ' in Gleiehung (9) ein, so erhiilt man als Funktion zwisehen M~ und ~:

k

Die Vorzeiohensohreibweise ist so zu verstehen, dab ~: = - (~) ist. Aus (15) und (16) folgt sehliel31ieh die einfaehe lineare Funktion:

ExtrM~ ~ �89 -- P ' . (17)

In Abb. 6 bringen wir eine graphische Darstellung* des Yerlaufs der Funktion M 1 ftir einige ausgezeichneten Kollektive (10, 25, 50, 100, 250, 500 und 1000 Tiere). Die Ml-Werte haben wir - - entsprechend den Abszissea P = 100 P ' - - mi~ 100 multipliziert und aul~erdem n och fiinffach iiberh6ht eingetragen, um den charakteristisehen Kurvenverlauf besser zu veranschaulichen.

* Wir verweisen ~uf eine in Vorbereitung befindliehe Arbeit yon 1t. v. Sehel- ling, welehe ausffihrliche Tabel len der Mk-Funktion fiir lc ~ 1, 2, 3 bring~ und in Ktirze in Heft 37 der ,,Arbeiten a. d. Staatl. Institut f. exper. Ther. u. d. Forsehungsinstitut ffir Chemotherapie zu Frankfurt a. M." erseheinen wird.


0 qO 20 30 li.O 50 GO 70 80 9O "I00 Pruzent~>~tz (P)

Abb. 6. u der Mk-Funk t ion lfir k = 1 nnd n ~ 10, 25, 50, 100, 250, 500, 1000.

Das ganze Verfahren besteht nun darin, dab man die zu den beob- achtcten Werten P ' gehiirigen 3/~-Werte nach G|eichung (9) berech-

308 R. PRIGGE und W. SCtt~[FER:

ne t* oder - - soweit mfg l ich - - aus Abb. 6 en tn immt , die Grenzen P ' + ~ 1 ~ und P ' -~ _3]-~** in das , l oga r i thmisehe Wahrsehe in l iehke i t spapier" eintr~igt und durch die verschiedenen auf diese Weise ermit te l ten ~/-~.Bereiehe eine

d ~

t~

adS, l l U~UaqJ~/~8~ uS~ ZIOS'/U3ZOJ d

* Die I~echnung l~fit sich auf elementareta Wege leicht durchffihren, w'~hr .... die Berechnung des Gaddumschen Fehlers oy nach Gleiohung (14) wesentlich umstgndlicber ist.

** Man kann die Grenzen auch unmittelbar nach Gleichung (10) bereohnen.

Methoden der Wertbemessung biologisch wirksaraer Substanzen. 309

(lerade hindurchzulegen sucht, die miiglichst nahe an den beobachfeten Werten vorbeil~iuft. Dabei ist zu beriicksichtigen, dab durchschnittlich in 32 von 100 Fiillen die Hazensche Gerade aul3erha] b des abgegrenzten Bereiches verliiuft, sodal~ also nicht notwendig all e zu einer Versuchsreihe gehSrigen Fehlerbereiche geschnitten werden miissen.

Soll~en ein ocler mehrere Punk~e der Wirkungsgeraden w e s e n t l i c h aul3erhalb des M1-Bereiches zu liegen kommen, so wird die graphische Ausgleichung zu u~genau. In solchen Fii]len wird man dem arithmetischen Verfahren den Vorzug geben, auf welches man auch angewiesen is~, were1 aus mehreren Bestimmungen der Wirkungsgeraden das Mittel genommen werden soil [n~ch Formel (13)]. Ein Beispiel gibt Abb. 7, die graphische Darstellung der auf S. 296ff. arithmetisch behandelten Ver- suehsauswertung: Die berechnete Wirkungsgerade verl~uft aul~erhaib yon vier der sechs M1-Bereiche!

In der Regel wird man mit der Einzeichnung der M1-Bereiche gut uuskommen. Ein Kriterium dafiir, da[3 die Wirkungsgerade geniigend nahe an den beobachteten Punkten vorbeiliiuft, besteht darin, daf~ man unter der Annahme, die Punkte auf der Gerad en seien die, ,wahren Werte" i)', die den beobachteten Werten entspreehenden /c-Werte naeh der Formel

= l v ' - P'I

bereehnet. Im al!gemeinen soll/c den Wert 3 nieht iiberschreiten (vgl. S. 30t). Die zur T i t e r b e s t i m m u n g notwendige zweite Wirkungsgerade, im

Beispiel der Abb. 5 die Wirkungsgerade des Standards, mu~ parallel zu der ersten verlaufen. Sie is~ in Abb. 5 dutch zwei Punkge bestimmt, an denen sic ,,m6gliehsg nahe" vorbeigefiihrt wurde. Als Titer finder man:

2 0,0575 = 34,8, abgerundet: 35.

Eine gewisse Schwierigkeit bietet noch die Bestimmung der F eh le r - g r e n z e n des T i t e r s bei rein graphischer Darstellung. Da die Bestimmung eines Mittelwert~es nur dureh Rechnung m6glich ist, kann man sich, wenn man auf die Reehnung verziehtet, so behelfen, dal~ man s~mtliehe Teil- ergebnisse zu einem Gesamtergebnis zusammenfaBt, indem man die Ge- samtzahl der reagierenden Tiere dutch die Gesamtzahl der zum Versueh verwandten Tiere dividiert und die MrGrenzen zu dem so gewonnenen Prozentsatz eintriigt; dureh diese Grenzen legt man Para]lelen zur Wir- kungsgeraden. Die Titerbestimmung gestaltet sieh dann genau so, wie auf S. 298 besehrieben.

Das Verfahren sei ffir das Beispie] der Abb. 5 durehgefiihrt : :Far den Standardimpfstoff ergibt sieh

15 -~ 3 18 P1 -- 23-]- 24 -- 47 -- 38,3%,

310 R. I~RIGOE und W. SCH_~FER: Methoden der ~Vertbemessung usw.

und fiir den hnpfstoff J5 findet man 86

P~ -- 169 -- 50,9 %.

Die zu P1 und P: gehSrenden M1-Grenzen sind:

/; = 4 5 , 6 %, t~ = 3 1 , 5 %, ]+-----54,7%, ]~=47 ,1%.

Mit diesen Werten findet man:

u n t e r e T i t e rg renze : -- 0,0715 -- 28,0,

2 obere T i t e rg r enze : -- 0,0435 - 46,0,

T i te r = 35~ 1,3.

Z u s a m m e n f a s s u n g .

1. Nach den Arbeiten yon ~ e c h n e r , K i s s k a l t und Hazen wi~d ein Veffahren zur Wertbemessung biologisch wirksamer Substanzen beschrieben, welches auf eine einfache l ineare Bez iehung zwischen Dosis und W i r k u n g fiihrt. Diese Beziehung l~[~t sich dutch Verwendung eines geeigneten Koordinatenpapieres -- des sogenanntcn ,,logarithmischen Wahrscheinlichkeitspapieres" -- unmittelbar sinnf~llig machen.

2. Die Bewertung der den experimentell ermittelten Ergebnissen anhaftenden Fehler wird mit Hilfe einer F e h l e r f o r m e l durchgefiihrt, die yon dem bisher vernachl~ssigten Problem der Riickschlul~wahrscheinlichkeit ausgeht und eine Bestimmung der Grenzen erm6glicht, innerhalb deren die , ,wahren W er t e " zu suchen sind.

3. Auf Grund dieser Fehlerformel wird ein , ,Gewich ts" -Ver fahren - - d.h. ein Verfahren zur ,,W~gung" des Wertes der Ergebnisse -- aufgebaut, welches die glteren, yon Urban und G a d d u m angegebenen Methoden zu ersetzen hat.

4. Es wird cine Reihe von D i a g r a m m e n verSffentlicht, aus denen die Feh]er und die Gewichte unmittelbar entnommen werden k6nnen.

5. Fiir den Gebrauch in der Praxis wird ein e in faehes g r aph i sches Ver fah ren vorgeschl~gen, welches sich bei der Yerwendung von lo- g a r i t h m i s c h e m W a h r s c h e i n l i c h k e i t s p a p i e r und bei Benutzung der in der Arbeit enthaltenen D i a g r a m m e zur F e h l e r f o r m e l ohne jede Rechnung durchfiihren l~l~t.

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Methoden der Wertbemessung biologisch wirksamer Substanzen