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Methodische Lösungswege zu
Mathematik fürElektroniker/in fürAutomatisierungstechnikLehr- und Übungsbuch derMathematik und des Fachrechnensfür Berufe der Geräte- und SystemtechnikAutomatisierungstechnik
Gültig ab der 15. Auflage des Lehrbuchs
Bearbeitet von Lehrern und Ingenieuren an beruflichen Schulen und Seminaren (siehe Rückseite)
Ihre Meinung zum Buch interessiert uns!
Teilen Sie uns Ihre Verbesserungsvorschläge, Ihre Kritik aber auch Ihre Zustimmung zum Buch mit. Schreiben Sie uns an die E-Mail-Adresse [email protected]
Die Autoren und der Verlag Europa-Lehrmittel
VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten
Europa-Nr.: 36713
EUROPA-FACHBUCHREIHE
für elektrotechnische und elektronische Berufe
Autoren von „Mathematik für Elektroniker/in für Automatisierungstechnik“
Günther Buchholz Dipl.-Ing. (FH), Oberstudienrat StuttgartMonika Burgmaier Oberstudiendirektorin OffenburgPatricia Burgmaier Dipl.-Ing. (BA) MelsungenElmar Dehler Studiendirektor UlmBernhard Grimm Oberstudienrat Sindelfingen, LeonbergJörg A. Oestreich Dipl.-Ing. Schwäbisch HallWerner Philipp Dipl.-Ing., Oberstudienrat HeilbronnBernd Schiemann Dipl.-Ing. Durbach
Bildbearbeitung:Wissenschaftliche PublikationsTechnik Kernstock, 73230 Kirchheim/TeckZeichenbüro des Verlags Europa-Lehrmittel GmbH & Co. KG, Ostfildern
Leitung des Arbeitskreises und Lektorat:Dipl.-Ing. Schiemann, Durbach
ISBN 978-3-8085-3677-3
Diesem Buch wurden die neuesten Ausgaben der DIN-Blätter und der VDE-Bestimmungen zugrunde gelegt. Ver-bindlich sind jedoch nur die DIN-Blätter und VDE-Bestimmungen selbst.
Die DIN-Blätter können von der Beuth-Verlag GmbH, Burggrafenstraße 4–7, 10787 Berlin, und Kamekestraße 2–8, 50672 Köln, bezogen werden. Die VDE-Bestimmungen sind bei der VDE-Verlag GmbH, Bismarckstraße 33, 10625 Berlin, erhältlich.
15. Auflage 2018
Druck 5 4 3 2 1
Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern untereinan-der unverändert sind.
Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich ge-regelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.
© 2018 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten
http://www.Europa-Lehrmittel.de
Satz: Wissenschaftliche PublikationsTechnik Kernstock, 73230 Kirchheim/Teck
Umschlag: braunwerbeagentur, 42477 Radevormwald
Umschlagidee: Bernd Schiemann
Kapitelübersicht
1 Rechnen mit Zahlen 9 12 3 +–
4123
4 +– 1
2 Rechnen mit Größen 15 A VmA kVA VmA kV 2
3 Rechnen mit Formeln 17 x y5x y5 3
4 Elektrotechnische Grundlagen 22¡2¡2
R2R2ØØ 4
5 Wechselstromtechnik 43G_ 5
6 Elektronische Schaltungen 64 6
7 Digitaltechnik 87 &010010
110110010010 7
8 Sequenzielle Digitaltechnik 111 8
9 Informationstechnische Systeme 121 9
10 Elektrische Anlagen 132 10
11 Steuerungen und Antriebe 143 11
12 Sensorik (Messwertaufnehmer) 183 12
13 Regelungstechnik 189PDPD
PIDPID
PP
PIPI 13
14 Prüfungsaufgaben 209 ?? TestTest✓✓ 14
15 Aufgaben zur Mechanik 224 FF 15
16 Arbeiten mit Datenblättern 227 Datenblätter 16
17 Ergänzendes Fachwissen Mathematik 229 y 5 x2y 5 x2 17
4
Didaktische Hinweise für den Unterricht
Das Buch „Mathematik für Elektroniker/in für Automatisierungstechnik“ ist Bestandteil eines offenen Lehrsystems und unterstützt den personalen Unterricht in hervorragender Weise. Es bietet einen um-fangreichen Aufgabenfundus, der zur Erfolgskontrolle und der Vorbereitung von Klassenarbeiten dient.
Darbietung des Lehrstoffs. Fachkundliche Informationen und fachmathematische Inhalte werden im handlungsorientierten Unterricht parallel vermittelt. Damit ist das Buch besonders gut geeignet als Arbeits buch für den Lernfeldunterricht. Anhand der fachkundlichen Informationen und der fach-mathematischen Aufarbeitung lassen sich gezielt Teilaufgaben für Lernsituationen bearbeiten. Wegen der Gleichheit der Formelzeichen und der Bilder empfiehlt sich daher die Verwendung der Bücher „Fach-kunde für Industrieelektroniker und Informationstechnik“, „Fachkunde für Büro- und Informations-technik mit Radio-, Fernseh- und Medientechnik“ und „Informations- und Telekommunikations technik“ der EUROPA -Fachbuchreihe.
Vertiefung des Lehrstoffs. Die Aufgaben sind für die Übungsphase bestimmt. Sie sind mit zunehmen-dem Schwierigkeitsgrad angeordnet, und zwar meist paarweise, sodass sich folgende Übungsvariante anbietet: Im Klassenverband oder in Gruppenarbeit werden nur die Aufgaben 1, 3, 5, ... bearbeitet. Die Aufgaben 2, 4, 6, ... sind der Selbsttätigkeit, der Hausarbeit und der Klassenarbeit vorbehalten.
Für Klassenarbeiten und Prüfungen sind die Formeln und Rechenanweisungen des Mathematikbuchs „Mathematik für Elektroniker/in für Automatisierungstechnik“ in den Formelsammlungen „Formeln für Elektroniker und IT“ oder „Formeln Informations- und Systemtechnik“ übersichtlich zusammengefasst.
Vorwort zur 15. Auflage
Die Neubearbeitung des Buches „Mathematik für Elektroniker/in für Automatisierungstechnik“ machte auch eine Neuauflage der „Methodischen Lösungswege“ erforderlich.
Der gestiegene Schwierigkeitsgrad vieler Aufgaben bedingt einen erheblichen Aufwand für das Buch „Methodische Lösungswege“. Verlag und Arbeitskreis belassen es bei dem aufwendigen Aufzeigen des Lösungsweges, weil bei der Komplexität der Aufgaben es auch dem versierten Fachmann nur mit großem Zeitaufwand möglich ist, alle Aufgaben ohne Hilfsmittel zu lösen. So sollen die „Methodischen Lösungswege“ dem Lehrenden helfen, den Zeitaufwand für die Unterrichtsvorbereitung und für Korrek-turen in Grenzen zu halten, damit er sich umso mehr den Lernenden widmen kann.
Wenn es der Lehrende für richtig hält, können bei entsprechender Reife auch die Lernenden aus dem Buch Nutzen ziehen, weil sie dann bei gelösten Aufgaben die Richtigkeit ihrer eigenen Lösung überprü-fen können. Zur Verhinderung von Missbrauch kann allerdings das Buch an minderjährige Lernende nur mit Einverständnis der Schule abgegeben werden.
Verlag und Verfasser danken für die hilfreichen Hinweise der Benutzer und freuen sich auch künftig über konstruktive Verbesserungsvorschläge.
Januar 2018 Verlag und Autoren
5
1 Rechnen mit Zahlen
1.1 Grundgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.1 Vertauschungsgesetz,
Verbindungsgesetz, Verteilungsgesetz . . . 91.1.2 Bruchrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 Zehnerpotenzen . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1.1 Werte der Zehnerpotenzen . . . . . . . . . 101.2.1.2 Rechnen mit Zehnerpotenzen . . . . . . . 111.2.2 Sonstige Potenzen mit ganzen Exponenten 111.3 Rechnen mit Wurzeln . . . . . . . . . . . . 121.4 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.1 Rechenregeln, natürlicher und binärer
Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.2 Zehnerlogarithmen . . . . . . . . . . . . . 131.4.3 Logarithmische Darstellung, Linearisieren 141.5 Kehrwert, Prozentrechnen . . . . . . . . . 14
2 Rechnen mit Größen
2.1 Begriffe beim Rechnen mit Größen . . . . 152.2 Umrechnen der Einheiten . . . . . . . . . 152.3 Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . 152.4 Multiplikation und Division . . . . . . . . . 16
3 Rechnen mit Formeln
3.1 Umstellen von Formeln . . . . . . . . . . . 173.2 Formel als Größengleichung . . . . . . . . 203.2.1 Längen und Flächen . . . . . . . . . . . . . 203.2.2 Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . 213.2.3 Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . 21
4 Elektrotechnische Grundlagen
4.1 Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2 Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2.1 Widerstand und Leitwert . . . . . . . . . . 224.2.2 Widerstand und Temperatur . . . . . . . . 234.2.3 Leiterwiderstand . . . . . . . . . . . . . . 234.3 Das Ohm'sche Gesetz . . . . . . . . . . . . 234.4 Messen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4.1 Anzeigefehler bei Zeigermessgeräten . . 244.4.2 Digitales Messen mit DMM . . . . . . . . . 244.4.3 Digitales Multimeter DMM . . . . . . . . . 254.5 Rechnen mit Bezugspfeilen . . . . . . . . 254.6 Elektrische Leistung bei Gleichspannung . 264.7 Arbeit und Energie . . . . . . . . . . . . . 274.7.1 Elektrische Arbeit . . . . . . . . . . . . . . 274.7.2 Mechanische Arbeit und Leistung . . . . . 274.7.3 Wirkungsgrad und Arbeitsgrad . . . . . . 28
4.8 Grundschaltungen . . . . . . . . . . . . . 294.8.1 Reihenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . 294.8.2 Parallelschaltung . . . . . . . . . . . . . . 294.8.3 Gemischte Schaltungen . . . . . . . . . . 304.8.4 Spannungsteiler . . . . . . . . . . . . . . . 324.9 Brückenschaltungen . . . . . . . . . . . . 334.10 Erzeuger-Ersatzschaltungen . . . . . . . . 344.10.1 Spannungserzeuger . . . . . . . . . . . . . 344.10.2 Spannungserzeugung mit Fotovoltaik . . 344.10.3 Sekundärelemente (der
Energieelektronik) aufladen . . . . . . . . 354.10.4 Überlagerung bei linearen Netzwerken . . 364.10.5 Ersatzspannungsquelle . . . . . . . . . . . 374.10.6 Ersatzstromquelle . . . . . . . . . . . . . . 374.10.7 Anpassungsarten . . . . . . . . . . . . . . 384.11 Schaltungen simulieren mit PSpice . . . . 394.12 Temperatur und Wärme . . . . . . . . . . 414.12.1 Wärme und Wärmekapazität . . . . . . . . 414.12.2 Wärmewiderstand . . . . . . . . . . . . . . 414.12.3 Ermittlung von Kühlflächen . . . . . . . . 41
5 Wechselstromtechnik
5.1 Wechselgrößen . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.1 Periode, Frequenz, Kreisfrequenz,
Wellenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.2 Maximalwert, Spitze-Tal-Wert,
Effektivwert . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.3 Impulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.2 Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2.1 Elektrisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . 455.2.2 Ladung und Kapazität . . . . . . . . . . . . 455.2.3 Kraftwirkung und Energie des
elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . . 455.2.4 Elektrische Flussdichte . . . . . . . . . . . 465.2.5 Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2.6 Schaltungen von Kondensatoren . . . . . 475.2.7 RC-Schaltung an Gleichspannung und
Rechteckspannung . . . . . . . . . . . . . 475.2.8 Kapazitiver Blindwiderstand . . . . . . . . 475.3 Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.3.1 Elektromagnetismus . . . . . . . . . . . . 485.3.1.1 Magnetische Grundgrößen . . . . . . . . . 485.3.1.2 Strom im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . 495.3.2 Induktion und Induktivität . . . . . . . . . 495.3.3 Energie und Energiedichte des
magnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . 505.3.4 RL-Schaltungen an Gleichspannung und
Rechteckspannung . . . . . . . . . . . . . 505.3.5 Induktiver Blindwiderstand . . . . . . . . 515.4 Schaltungen mit Blindwiderständen . . . 525.4.1 RC-Schaltungen und
RL-Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . 525.4.1.1 Reihenschaltung von Wirkwiderstand
und Blindwiderstand . . . . . . . . . . . . 525.4.1.2 Verluste der Spule . . . . . . . . . . . . . . 535.4.1.3 Parallelschaltung von Wirkwiderstand
und Blindwiderstand . . . . . . . . . . . . 54
12 3 +–
4123
4 +–
A VmA kVA VmA kV
x y5x y5
¡2¡2
R2R2ØØ
G_
Inhaltsverzeichnis
6
Inhaltsverzeichnis
5.4.1.4 Verluste des Kondensators . . . . . . . . . 555.4.1.5 Grenzfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . 565.4.1.6 Ersatz-Reihenschaltung und Ersatz-
Parallelschaltung . . . . . . . . . . . . . . 565.4.2 Schwingkreise . . . . . . . . . . . . . . . . 585.4.3 Güte und Bandbreite bei Schwingkreisen 595.4.4 Einfache RC-Siebschaltungen . . . . . . . 605.5 Wechselstromleistungen bei
Einphasenwechselstrom . . . . . . . . . . 615.6 Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . 625.6.1 Transformatorhauptgleichung . . . . . . . 625.6.2 Spannungsübersetzung,
Stromübersetzung und Kurzschlussspannung . . . . . . . . . . . . 63
6 Elektronische Schaltungen
6.1 Schaltungen mit nicht linearen Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1.1 Differenzieller Widerstand . . . . . . . . . 646.1.2 Impedanzen im Arbeitspunkt . . . . . . . 646.1.3 Zeichnerische Lösung der
Reihenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . 646.1.4 Messschaltungen mit Pt100-
Widerstandssensoren . . . . . . . . . . . 656.2 Schaltungen mit Dioden . . . . . . . . . . 656.2.1 Festlegung des Arbeitspunktes . . . . . . 656.2.1.1 Vorwiderstand von Dioden . . . . . . . . . 656.2.1.2 Zeichnerische Bestimmung des
Arbeitspunktes . . . . . . . . . . . . . . . 666.2.2 Gleichrichterschaltungen . . . . . . . . . . 666.2.2.1 Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.2.2.2 Glättung und Siebung . . . . . . . . . . . 676.2.2.3 Siebung mit RC und LC . . . . . . . . . . . 676.2.3 Spannungsstabilisierung mit Z-Dioden . . 676.2.3.1 Vorwiderstand für die
Spannungsstabilisierung mit Z-Diode . . . 676.2.3.2 Eigenschaften von
Stabilisierungsschaltungen . . . . . . . . 686.3 Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.4 Schaltungen mit fotoelektronischen
Bauelementen . . . . . . . . . . . . . . . . 696.5 Verstärker mit bipolaren Transistoren . . . 706.5.1 Arbeitspunkt in der Emitterschaltung . . . 706.5.1.1 Gleichstromgrößen in Emitterschaltung . 706.5.1.2 Basisspannungsteiler und Stabilisierung
des Arbeitspunktes . . . . . . . . . . . . . 716.5.1.3 Arbeitsgerade für Gleichstrom . . . . . . 726.6 Verstärker mit Feldeffekttransistoren . . . 726.6.1 Gleichstromgrößen von FET in
Sourceschaltung . . . . . . . . . . . . . . 726.6.2 Wechselstromgrößen von FET in
Sourceschaltung . . . . . . . . . . . . . . 736.6.3 IGBT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.7 Thyristoren als elektronische Schalter . . 746.8 Gesteuerte Stromrichter . . . . . . . . . . 756.9 Operationsverstärker . . . . . . . . . . . . 756.9.1 Verstärkung ohne Gegenkopplung . . . . 756.9.2 Invertierender Verstärker . . . . . . . . . . 766.9.3 Summierverstärker . . . . . . . . . . . . . 76
6.9.4 Nicht invertierender Verstärker und Impedanzwandler . . . . . . . . . . . . . . 76
6.9.5 Subtrahierverstärker . . . . . . . . . . . . 776.9.6 Instrumentenverstärker (INV) . . . . . . . 776.9.7 Differenzier-Invertierer . . . . . . . . . . . 776.9.8 Integrier-Invertierer . . . . . . . . . . . . . 786.10 Kippschaltungen . . . . . . . . . . . . . . 786.10.1 Transistoren als elektronische Schalter . . 786.10.1.1 Grundschaltungen elektronischer Schalter 786.10.1.2 Bipolarer Schalttransistor . . . . . . . . . 796.10.2 Schalten bei Ohm'scher, induktiver und
kapazitiver Last . . . . . . . . . . . . . . . 806.10.3 Astabile Kippschaltung . . . . . . . . . . . 806.10.4 Monostabile Kippschaltung . . . . . . . . 816.10.5 Schwellwertschalter (Schmitt-Trigger) . . 826.11 Stabilisierungsschaltungen . . . . . . . . 826.11.1 Spannung stabilisieren . . . . . . . . . . . 826.11.2 Strom stabilisieren . . . . . . . . . . . . . 836.11.3 Spannung regeln mit IC . . . . . . . . . . . 836.11.4 Schaltnetzteile (SNT) . . . . . . . . . . . . 846.11.4.1 Energiefluss in Schaltnetzteilen . . . . . . 846.11.4.2 Durchflusswandler . . . . . . . . . . . . . 856.11.4.3 Sperrwandler . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7 Digitaltechnik
7.1 Aufbau der Zahlensysteme . . . . . . . . . 877.2 Dualzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.2.1 Umwandlung von Dualzahlen in
Dezimalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 877.2.2 Umwandlung von Dezimalzahlen in
Dualzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.2.3 Addition und Subtraktion von Dualzahlen 917.2.4 Multiplikation und Division von
Dualzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.2.5 Subtraktion durch Komplementaddition . 947.3 BCD-Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.4 Hexadezimalzahlen . . . . . . . . . . . . . 987.4.1 Hexadezimalzahlen und Dualzahlen . . . . 987.4.2 Addition und Subtraktion von
Hexadezimalzahlen . . . . . . . . . . . . . 987.4.3 Hexadezimalzahlen und Dezimalzahlen . . 997.5 Kombinatorische Digitaltechnik
(Schaltnetze) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.5.1 Schaltalgebraische Begriffe . . . . . . . . 1017.5.2 Kommutativgesetz der Schaltalgebra . . . 1027.5.3 Assoziativgesetz der Schaltalgebra . . . . 1027.5.4 Distributivgesetze der Schaltalgebra . . . 1037.5.5 Schaltalgebraische Funktionen . . . . . . 1047.5.5.1 Umkehrgesetze für eine Variable . . . . . 1047.5.5.2 Umkehrgesetze für mehrere Variablen . . 1047.5.6 Logische Verknüpfungen von Zahlen . . . 1067.6 Minimieren und Realisieren von
Schaltfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 1077.6.1 Algebraisches Minimieren . . . . . . . . . 1077.6.2 Realisieren mit NAND-Elementen . . . . . 1087.6.3 Aufstellen des KV-Diagramms . . . . . . . 1097.6.4 Minimieren mit dem
KV-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.7 Lastfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
&010010
110110010010
7
Inhaltsverzeichnis
8 Sequenzielle Digitaltechnik und programmierbare Logik
8.1 JK-Kippschaltungen . . . . . . . . . . . . . 1118.2 Wertetabelle und Zeitablauf diagramm
aus der Schaltung . . . . . . . . . . . . . . 1118.3 Schaltfunktion aus Wertetabelle . . . . . . 1118.4 Schaltung aus Schaltfunktion . . . . . . . 1128.5 Synchrone Zähler mit T-Kippgliedern . . . 1148.6 Frequenzteiler . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.7 PAL-Schaltkreise anwenden . . . . . . . . 1188.7.1 Schaltkreis PAL 10H8 . . . . . . . . . . . . 1188.7.2 Schaltkreis PAL 16RP8 . . . . . . . . . . . . 1198.8 Programmieren mit VHDL . . . . . . . . . 119
9 Informationstechnische Systeme
9.1 PC-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219.1.1 Speicherkapazität . . . . . . . . . . . . . . 1219.1.2 Bildauflösung und Speicherkapazität . . . 1219.2 Signalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . 1229.2.1 Signalabtastung . . . . . . . . . . . . . . . 1229.2.2 Signalumsetzer . . . . . . . . . . . . . . . 1229.2.3 Geschwindigkeit der Datenübertragung . 1239.2.4 Pegel und Dämpfung von Datenleitungen 1249.2.5 Wellenwiderstand und
Ausbreitungsgeschwindigkeit . . . . . . . 1259.2.6 Übertragung mit Glasfasern . . . . . . . . 1269.3 Netzwerktechnik . . . . . . . . . . . . . . . 1279.3.1 Lokale Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279.3.1.1 Signallaufzeiten auf Bussystemen . . . . . 1279.3.1.2 Signalgeschwindigkeit bei
Sternverkabelung . . . . . . . . . . . . . . 1279.3.1.3 Errichten lokaler Netzwerke . . . . . . . . 1299.3.1.4 Messen und Fehlersuche . . . . . . . . . . 1299.3.1.5 Gebäudeverkabelung . . . . . . . . . . . . 1299.3.2 Internetadressierung und
Subnetzmasken . . . . . . . . . . . . . . . 1309.3.3 Subnetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.3.4 Internetadressierung nach IPv6 . . . . . . 131
10 Elektrische Anlagen
10.1 Drehstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13210.1.1 Sternschaltung . . . . . . . . . . . . . . . 13210.1.1.1 Symmetrische, gleichartige Belastung . . 13210.1.1.2 Unsymmetrische, gleichartige Belastung 13210.1.2 Dreieckschaltung . . . . . . . . . . . . . . 13310.1.2.1 Symmetrische, gleichartige Last . . . . . 13310.1.2.2 Unsymmetrische, gleichartige Last . . . . 13310.1.3 Leistungen bei Drehstrom . . . . . . . . . 13410.2 Kompensation . . . . . . . . . . . . . . . . 13410.3 Leitungsberechnung . . . . . . . . . . . . 13610.3.1 Mindestquerschnitt und
Strombelastbarkeit . . . . . . . . . . . . . 13610.3.2 Strombelastbarkeit von Leitungen bei
Umgebungs temperatur ñu = 30 °C . . . . . 13610.3.3 Spannungsfall nach VDE . . . . . . . . . . 136
10.3.4 Verzweigte Leitungen . . . . . . . . . . . . 13710.4 Bemessung elektrischer Anlagen . . . . . 13910.4.1 Berechnung des Schutzleiterwiderstands 13910.4.2 Widerstände in Schutzleitersystemen . . 14010.4.3 Schmelzsicherungen und
Leitungsschutzschalter LS . . . . . . . . . 14110.5 Schutzmaßnahmen . . . . . . . . . . . . . 141
11 Steuerungen und Antriebe
11.1 SPS-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . 14311.1.1 SPS-Anweisungsliste (AWL) ohne
Speicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14311.1.2 Zusammengesetzte logische
Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . 14411.1.3 Speicherfunktionen . . . . . . . . . . . . . 14811.1.4 Flankenauswertung . . . . . . . . . . . . . 14911.1.5 SPS-Zeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . 15011.1.6 SPS-Zählfunktionen . . . . . . . . . . . . . 15311.1.7 SPS-Datentypen und Umwandlungen . . 15511.1.8 Erweiterter Operationsvorrat von SPS . . 15611.1.9 Analoge Ein- und Ausgänge . . . . . . . . 15811.1.10 Normierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 16211.1.11 Entwurf eines GRAFCET
(Schrittkettenteil) . . . . . . . . . . . . . . 16211.1.12 Aktionen bei GRAFCET . . . . . . . . . . . 16511.1.13 Aktionen nach EN 61131-3 . . . . . . . . . 16711.2 Antriebstechnik . . . . . . . . . . . . . . . 16911.2.1 Leistungsbedarf ohne Rücksicht auf den
Anlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16911.2.2 Antrieb mechanischer Systeme . . . . . . 17011.2.3 Leistung beim Anfahren . . . . . . . . . . 17011.2.4 Antrieb mit Gleichstrommotoren . . . . . 17011.2.5 Ein-Quadranten-Steller
(1Q-Steller) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17111.2.6 H-Brücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17211.2.7 Antrieb mit Drehfeldmotoren . . . . . . . 17411.2.8 Drehstromasynchronmotor (DASM) . . . 17411.2.9 Kennwerte von Asynchronmotoren . . . . 17611.2.10 Asynchronmaschinen am
Frequenzumrichter . . . . . . . . . . . . . 17611.2.11 Projektierung einer Servoachse . . . . . . 17711.3 Schrittmotoren . . . . . . . . . . . . . . . 17811.3.1 Schrittwinkel und Drehzahl . . . . . . . . . 17811.3.2 Schrittmotoren ansteuern . . . . . . . . . 178
12 Sensorik (Messwertaufnehmer)
12.1 Ultraschallsensor (US-Sensor) . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
12.2 Schaltabstand Näherungsschalter . . . . 18412.3 Messen mit Dehnungsmessstreifen . . . . 18412.4 Temperaturerfassung mit
Widerstandsthermometer . . . . . . . . . 18512.5 Lichtabhängige Widerstände . . . . . . . 188
8
Inhaltsverzeichnis
13 Regelungstechnik
13.1 Unstetige Regler . . . . . . . . . . . . . . . 18913.2 Stetige Regler . . . . . . . . . . . . . . . . 19013.2.1 P-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19013.2.2 PÛ-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19113.2.3 PDT1-Regler und PD-Regler . . . . . . . . 19213.2.4 PÛD-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19313.2.5 Regler einstellen(Ziegler/Nichols) . . . . . 19413.3 Regelstrecken . . . . . . . . . . . . . . . . 19413.3.1 Analyse von Regelstrecken . . . . . . . . . 19413.3.2 Regelkreis mit P-Regler . . . . . . . . . . . 19713.3.3 Frequenzgang (Bode-Diagramm) . . . . . 19813.3.4 Reglerentwurf im Frequenzbereich . . . . 19813.3.5 Auswahl der Reglerkennwerte . . . . . . . 19813.3.5.1 Reglerkennwerte für Regelstrecken mit
Ausgleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19813.3.5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reglerkennwerte für Regelstrecken ohne Ausgleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
13.4 Digitale Regelungstechnik . . . . . . . . . 20213.4.1 Digitalisierung und Signalabtastung . . . 20213.4.2 PID-Digitalregler mit
Stellungsalgorithmus . . . . . . . . . . . 20313.4.3 Digitalregler . . . . . . . . . . . . . . . . 20413.5 Direkte digitale Synthese DDS . . . . . . 208
14 Prüfungsaufgaben
14.1 Aufgaben der Analogtechnik . . . . . . . 20914.2 Aufgaben der Digitaltechnik . . . . . . . . 21214.3 Prüfungsaufgaben der Digitaltechnik . . . 21514.3.1 Elektronisches Verkehrsschild . . . . . . . 21514.3.2 Säulenanzeige mit Leuchtdioden . . . . . 21714.3.3 Schaltungen mit monostabilen
Elementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21814.3.4 Transportbandsteuerung
(Projektaufgabe) . . . . . . . . . . . . . . . 21914.3.5 Codeprüfung (Projektaufgabe) . . . . . . 22014.4 Prüfungsaufgaben
Automatisierungstechnik . . . . . . . . . . 22114.4.1 Abfülleinrichtung für Schmierstoffe . . . 22114.4.2 Füllstandsregelung Wasserhochbehälter 222
15 Aufgaben zur Mechanik
15.1 Rauminhalte und Massen . . . . . . . . . . 22415.2 Übersetzungen . . . . . . . . . . . . . . . 22415.3 Kraft und Kraftmoment . . . . . . . . . . . 22515.4 Kräfte und Bewegungslehre . . . . . . . . 226
16 Arbeiten mit Datenblättern
16.1 Einführung in den Datenblattgebrauch . . 22716.1.1 Allgemeine Angaben . . . . . . . . . . . . 227
16.1.2 Technische Kenngrößen in Datenblättern 22716.1.3 Umgang mit Datenblättern von
Spannungsreglern und Timer-Bausteinen 22716.2 Überstromschutzein rich tun gen . . . . . . 22716.3 Kleintransformatoren . . . . . . . . . . . . 22716.4 Schütze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
17 Ergänzendes Fachwissen Mathematik
17.1 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 22917.1.1 Lineare Gleichungen mit einer
Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . 22917.1.2 Lineares Gleichungssystem mit zwei
Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . 22917.1.3 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . 23117.2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23217.2.1 Beschreibungsformen bei Funktionen . . 23217.2.2 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . 23217.2.3 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . 23317.2.4 Trigonometrische Funktionen . . . . . . 23317.2.4.1 Sinusfunktion und Kosinusfunktion . . . 23317.2.4.2 Graphen der Sinusfunktion und der
Kosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . 23417.2.4.3 Tangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . 23417.2.4.4 Sinussatz und Kosinussatz . . . . . . . . 23517.2.5 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . 23617.2.6 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . 23717.3 Differenzieren . . . . . . . . . . . . . . . 23817.3.1 Differenzenquotient und
Differenzialquotient . . . . . . . . . . . . 23817.3.2 Ableitungen von Funktionen . . . . . . . 23817.3.3 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . 23917.4 Integrieren . . . . . . . . . . . . . . . . . 24017.4.1 Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . 24017.4.2 Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . 24217.4.3 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24217.5 Funktionen mit komplexen Größen . . . 24417.5.1 Zahlen in der komplexen Zahlenebene . 24417.5.2 Grundrechenarten mit komplexen Zahlen 24617.5.3 Widerstand und Leitwert in der
komplexen Ebene . . . . . . . . . . . . . . 24717.5.4 Komplexe Berechnung von
Wechselstromschaltungen . . . . . . . . 24817.5.5 Leistungsberechnung in
Wechselstromschaltungen . . . . . . . . 24917.6 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25217.6.1 Arithmetische Reihe . . . . . . . . . . . . . 25217.6.2 Geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . 252
PDPD
PIDPID
PP
PIPI
?? TestTest✓✓
FF
Datenblätter
y 5 x2y 5 x2
1S. 11
9
12 3 +–
4123
4 +–
Rec
hn
en m
it Z
ahle
n
1 Rechnen mit Zahlen
1.1 Grundgesetze
1.1.1 Vertauschungsgesetz, Verbindungsgesetz, Verteilungsgesetz
Seite 10
1 a) 3 – 5 + 8 – 1 = 3 + 8 – 5 – 1 = 11 – 6 = 5
b) 6 + 12 – 10 – 3 = 12 + 6 – 3 – 10 = 18 – 13 = 5
c) 2 – 4 + 5 – 9 = 2 + 5 – 4 – 9 = 7 – 13 = –6
d) 8 – 7 + 5 = 8 + 5 – 7 = 13 – 7 = 6
2 a) 7 – 3 – 2 + 8 = 7 + 8 – 3 – 2 = 15 – 5 = 10
b) 5 – 2 + 3 – 1 = 5 + 3 – 2 – 1 = 8 – 3 = 5
c) 9 – 2 + 7 = 9 + 7 – 2 = 16 – 2 = 14
d) 3 – 1 – 5 + 23 = 3 + 23 – 1 – 5 = 26 – 6 = 20
3 a) (–3) · 2 · 2 = 2 · (–3) · 2 = 2 · 2 · (–3) = 4 · (–3) = –12
b) 2 · (–5) · (–3) = (–3) · (–5) · 2 = 15 · 2 = 30
c) 2 · 3 · (–7) = (–7) · 3 · 2 = (–7) · 6 = –42
d) 3 · (–2) · 9 = (–2) · 3 · 9 = (–2) · 27 = –54
4 a) (–8) · 4 · 2 = (–8) · 8 = –64
b) 3 · (–5) · (–3) = (–5) · (–3) · 3 = 15 · 3 = 45
c) 2 · 5 · (–2) = (–2) · 2 · 5 = (–2) · 10 = –20
d) 6 · (–1) · 1 = –6
5 a) 6 + 2 + 4 = 6 + (2 + 4) = 6 + 6 = 12
b) –3 + 2 – 5 = (–3 – 5) + 2 = –8 + 2 = –6
c) 3 – 8 + 11 = (3 + 11) – 8 = 14 – 8 = 6
d) 8 + 2 – 4 = (8 + 2) – 4 = 10 – 4 = 6
6 a) 5 + 4 + 3 = (5 + 3) + 4 = 8 + 4 = 12
b) 4 + 2 – 3 = (4 + 2) – 3 = 6 – 3 = 3
c) 3 – 9 + 6 = (3 + 6) – 9 = 9 – 9 = 0
d) 8 + 2 – 4 = (8 + 2) – 4 = 10 – 4 = 6
7 a) 3 · 5 · 4 = 3 · (5 · 4) = 3(5 · 4) = 3 · 20 = 60
b) (–3) · 5 · 2 = (5 · 2)(–3) = 10(–3) = –30
8 a) 6 · 4 · 2 = 6(4 · 2) = 6 · 8 = 48
b) (–2) · 4 · 3 = (4 · 3)(–2) = 12(–2) = –24
9 a) 3(5 + 2) = 3 · 7 = 21
b) 5(7 – 4) = 5 · 3 = 15
10 a) 4(8 + 3) = 4 · 11 = 44
b) 3(5 – 2) = 3 · 3 = 9
11 a) (–2)(7 + 5) = (–2)12 = –24
b) 3(7 – 6 + 1) = 3 · 2 = 6
c) (–6)(8 – 3) = (–6) · 5 = –30
d) (–5)(6 – 14) = (–5)(–8) = 40
12 a) (–7)(8 – 6) = (–7)2 = –14
b) 5(9 – 5 – 4) = 5 · 0 = 0
c) (–4)(6 – 2) = (–4) · 4 = –16
d) (–9)(8 – 12) = (–9)(–4) = 36
1.1.2 Bruchrechnen
Seite 11
1 a) 65 } 13
= 5 b) 144 } 16
= 9
c) –96 } 4
= –24 d) 48 } –3
= –16
e) –27 } –9
= 3 f) 169 } –13
= –13
g) –144 } –12
= 12
2 a) 88 } –11
= –8 b) 136 } 17
= 8
c) 64 } –16
= –4 d) 156 } –12
= –13
e) –81 } –9
= 9 f) 171 } –19
= –9
g) –232 } –8
= 29
3 a) 1 } 4
+ 2 } 5
+ 5 } 6
= 15 + 24 + 50 } 60
= 89 } 60
= 1 29 } 60
b) 3 } 5
– 2 } 15
+ 7 } 30
= 18 – 4 + 7 } 30
= 21 } 30
= 7 } 10
c) 7 } 24
– 11 } 30
– 8 } 15
+ 3 } 8
= 35 – 44 – 64 + 45 } 120
= –28 } 120
= – 7 } 30
1 Rechnen mit Zahlen
10
12 3 +–
4123
4 +–4 a) 1 }
2 + 3 }
4 + 1 }
6 = 6 + 9 + 2 }
12 = 17 }
12 = 1 5 }
12
b) 5 } 8
– 5 } 24
+ 5 } 48
= 30 – 10 + 5 } 48
= 25 } 48
c) 17 } 18
– 7 } 9
+ 11 } 12
– 1 } 4
= 34 – 28 + 33 – 9 } 36
= 30 } 36
= 5 } 6
5 a) 2 } 53
· 8 = 2 · 8 } 53
= 16 } 53
b) 5 } 7
: 3 } 4
= 5 · 4 } 7 · 3
= 20 } 21
c) 8 } 21
· 1 2 } 5
= 8 · 7 } 21 · 5
= 8 } 15
d) 5 } 31
: 2 } 13
= 5 · 13 } 31 · 2
= 65 } 62
e) 8 5 } 7
: 3 3 } 5
= 61 } 7
: 18 } 5
= 61 · 5 } 7 · 18
= 305 } 126
= 2 53 } 126
6 a) 5 } 37
· 7 = 5 · 7 } 37
= 35 } 37
b) 3 } 11
/ 5 } 9
= 3 · 9 } 11 · 5
= 27 } 55
c) 2 } 15
· 2 3 } 7
= 2 } 15
· 17 } 7
= 34 } 105
d) 7 } 75
/ 8 } 5
= 7 · 5 } 75 · 8
= 35 } 600
= 7 } 120
e) 4 } 9
/ 7 5 } 13
= 4 } 9
/ 96 } 13
= 4 · 13 } 9 · 96
= 13 } 9 · 24
= 13 } 216
7 a) 3 } 5
= 0,6 b) 4 } 15
= 0,2 __
6 ≈ 0,267
c) 12 } 125
= 0,096 d) 35 } 55
= 0, ___
63 ≈ 0,636
e) 154 } 224
= 0,6875
8 a) 0,25 = 25 } 100
= 1 } 4
b) 0,875 = 875 } 1000
= 7 } 8
c) 1,23 = 1 23 } 100
d) 2,05 = 2 5 } 100
= 2 1 } 20
e) 0,0075 = 75 } 10 000
= 3 } 400
9 a) 1 5 } 6
– 5 } 9
2 1 2 2 } 5
– 5 } 4
2 = 15 – 10 } 18
· 48 – 25 } 20
= 5 } 18
· 23 } 20
= 23 } 18 · 4
= 23 } 72
b) 1 4 4 } 5
– 3 1 } 4
2 · 1 2 1 } 5
+ 1 5 } 6
2 = 96 – 65 } 20
· 66 + 55 } 30
= 31 · 121 } 20 · 30
= 3751 } 600
= 6 151 } 600
10 a) 1 8 7 } 5
– 6 5 } 8
2 / 1 3 8 } 9
+ 2 2 } 5
2 = 376 – 265 } 40
/ 175 + 108 } 45
= 111 · 45 } 40 · 283
= 999 } 2264
b) ( 4 5 __ 8
– 6 3 __ 4
+ 3 1 __ 2
) · ( 6 1 __ 3
– 2 4 __ 5
– 1 1 __ 8
) = 37 – 54 + 28 ___________
8 · 760 – 336 – 135 ______________
120
= 11 · 120 _______ 8 · 289
= 11 · 15 ______ 289
= 165 ____ 289
1.2 Potenzen
1.2.1 Zehnerpotenzen
1.2.1.1 Werte der Zehnerpotenzen
Seite 12
1 a) 10+4 = 10 · 10 · 10 · 10
b) 10–1 = 1 } 10
c) 10+3 = 10 · 10 · 10
d) 10–6 = 1 } 10 · 1 } 10 ·
1 } 10 ·
1 } 10 ·
1 } 10 ·
1 } 10
2 a) 10–2 = 1 } 10 · 1 } 10
b) 10+5 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10
c) 10–7 = 1 } 10 · 1 } 10 ·
1 } 10 ·
1 } 10 ·
1 } 10 ·
1 } 10 ·
1 } 10
d) 10+8 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10
3 a) 106 = 1 000 000 b) 10–3 = 0,001
c) 10–2 = 0,01 d) 10–9 = 0,000 000 001
4 a) 10–1 = 0,1 b) 100 = 1
c) 10–6 = 0,000 001 d) 108 = 100 000 000
5 a) 1 } 10–6
= 106 b) 1 } 107
= 10–7
c) 1 } 109
= 10–9 d) 1 } 10–12
= 1012
6 a) 1 } 10–3
= 103 b) 1 } 100
= 100
c) 1 } 103
= 10–3 d) 1 } 101
= 10–1
7 a) 1 } 100
= 1 b) 1 } 101
= 0,1
c) 1 } 10–3
= 1000 d) 1 } 104
= 0,0001
1S. 14
1.2 Potenzen
11
12 3 +–
4123
4 +–
Rec
hn
en m
it Z
ahle
n
8 a) 1 } 10–6
= 1 000 000 b) 1 } 10–4
= 10 000
c) 1 } 102
= 0,01 d) 1 } 10–5
= 100 000
9 a) 24 000 = 24 · 103
b) 0,0023 = 2,3 · 10–3
c) 700 000 = 0,7 · 106
(Es gibt auch andere richtige Lösungen.)
10 a) 12 000 = 12 · 103
b) 0,000 12 = 1,2 · 10–4
c) 340 000 = 0,34 · 106
(Es gibt auch andere richtige Lösungen.)
1.2.1.2 Rechnen mit Zehnerpotenzen
Seite 13
1 a) 106 + 102 – 100 = 1 000 000 + 100 – 1 = 1 000 099
b) 10–3 + 101 – 102 = 0,001 + 10 – 100 = –89,999
c) 106 + 103 + 103 = 106 + 2 · 103 = 1 002 000
2 a) 102 – 101 – 10–2 = 100 – 10 – 0,01 = 89,99
b) 10–6 + 10–7 + 100 = 0,000 001 + 0,000 000 1 + 1 = 1,000 001 1
c) 10–3 + 10–3 – 10–6 = 2 · 10–3 – 10–6 = 0,001 999
3 a) 1013 : 109 = 104
b) 106 · 105 = 1011
c) 1012 : 10–6 = 1012 · 106 = 1018
4 a) 109 : 106 = 103
b) 1027 : 1014 = 1013
c) 10–3 · 10–6 = 10–9
5 a) 10–12 · 1012 = 100
b) 103 · 10–6 = 10–3
c) 108 · 100 · 10–6 = 102
6 a) 100 : 1012 = 10–12
b) 101 · 10–6 = 10–5
c) 10–3 · 109 = 106
7 a) 10 · 106 }
10–3 · 106 = 101
} 10–3
= 101 · 103 = 104 = 10 000
b) 1 } 106 · 10–3
= 10–6 · 103 = 10–3 = 0,001
c) 103 · (10–6)2 }
10–9 · 10–2 = 103 · 10–12
} 10–11
= 102 = 100
8 a) 102 · 10–4 }
10–12 · 109 = 10–2
} 10–3
= 101 = 10
b) 10–3 · 106 }
10–4 · 105 = 102 = 100
c) 10–2 · (106)2 }
103 · 104 = 10–2 · 1012
} 107
= 103 = 1000
9 a) 42 000 · 500 } 0,06
= 42 · 103 · 5 · 102 }
6 · 10–2 = 35 · 107
b) 46 000 · 0,5 } 50 000
= 46 · 103 · 5 · 10–1 }
5 · 104 = 46 · 10–2 = 0,46
c) 0,0065 · 0,025 } 13 000 · 0,0005
= 65 · 10–4 · 25 · 10–3 }
13 · 103 · 5 · 10–4 = 25 · 10–6
d) 4200 · 0,007 } 35 000
= 42 · 102 · 7 · 10–3 }
35 · 103 = 8,4 · 10–4
10 a) 0,0035 · 620 } 310 · 0,07
= 35 · 10–4 · 62 · 101 }
31 · 101 · 7 · 10–2 = 10 · 10–2 = 0,1
b) 0,007 · 630 } 0,0009
= 7 · 10–3 · 63 · 101 }
9 · 10–4 = 49 · 102 = 4900
c) 28 000 · 0,4 } 7000 · 400
= 28 · 103 · 4 · 10–1 }
7 · 103 · 4 · 102 = 4 · 10–3 = 0,004
d) 22 · 0,0004 } 880
= 22 · 4 · 10–4 }
88 · 101 = 1 · 10–5 = 0,000 01
11 (28 · 102 – 2,6 · 103) · 4,47 · 7,6 · 10–6 · 43 · 107 }}
12,7 · 10–3 · 122 · 10–3
= 1,89 · 109
12 (22,7 · 105 – 2,8 · 104) · 343 · 10–6 · 66 · 10–7 }}
21,9 · 10–2 ·12,2 · 10–4
= 19,0
1.2.2 Sonstige Potenzen mit ganzen Exponenten
Seite 14
1 a) 22 = 4 b) 21 = 2
c) 20 = 1 d) 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16
2 a) 82 = 64 b) 81 = 8
c) 80 = 1 d) 83 = 8 · 8 · 8 = 512
3 a) 82 + 62 = 64 + 36 = 100 b) 82 · 83 = 85 = 32 768
c) 82 · 42 = 322 = 1024 d) 84 }
24 = 1 8 }
2 2
4 = 44 = 256
4 a) 162/82 = 22 = 4 b) 42 · 43 = 45 = 1024
c) 43/44 = 4–1 = 0,25 d) (42)3 = 46 = 4096
1 Rechnen mit Zahlen
12
12 3 +–
4123
4 +–5 a) 3
2 · 63 }
34 · 64 = 3–2 · 6–1 = 1 }
9 · 1 }
6 = 1 }
54
b) 102 · 63 }
3–1 · 64 = 102 · 6–1
} 3–1
= 300 } 6
= 50
c) 28 · 2–5
} 2–3 · 24
= 23 }
21 = 22 = 4
6 a) 42 · 63
} 33 · 82
= 1 4 } 8
2 2 · 1 6 }
3 2
3 = 1 1 }
2 2
2 · 1 2 }
1 2
3 = 1 1 }
2 2
–1 = 2
b) 34 }
1,54 + 38 · 3–6 = 24 + 32 = 16 + 9 = 25
c) 3–2 }
3–4 = 32 = 9
7 a) (84)3/643 = (84)3 }
(82)3 = (82)3 = 643 = 262 144
b) 3–6/(3 · 3 · 3)–2 = 3–6/(33)–2 = 3–6/3–6 = 30 = 1
8 a) 1 28 · 2–3 }
4 · 2–4 2
2 = (7 · 21)2 = 72 · 22 = 49 · 4 = 196
b) 1 73 – 3,52
} 73 · 22
2 –1
= 73 · 22 }
73 – 3,52 = 73 · 22
} 23 3,53 – 3,52
= 73 · 22 }
3,52(23 · 3,5 – 1) = 23 · 3,53 · 22
} 3,52(23 · 3,5 – 1)
= 25 · 3,5 } 23 · 3,5 – 1
= 32 · 3,5 } 8 · 3,5 – 1
= 112 } 27
9 28 = 256
10 z = 27 = 128 R Zahlen 0 bis 127
11 220 : 22 = 218 = 262 144 Adressen sind wählbar; z = 218 · 23 = 221 = 2 097 152
1.3 Rechnen mit Wurzeln
Seite 15
1 a) Ï}
49 = 7 b) Ï}
2500 = 50
c) Ï}
144 = 12 d) Ï}
1600 = 40
2 a) Ï}
64 = 8 b) Ï}
3600 = 60
c) Ï}
81 = 9 d) Ï}
900 = 30
3 a) Ï}
4240 = 65,12 b) Ï}
68 775 = 262,2
c) Ï}
455 870 = 675,2 d) Ï}
30 428 = 174,4
4 a) Ï}
6540 = 80,87 b) Ï}
41 433 = 203,6
c) Ï}
867 654 = 931,5 d) Ï}
3422 = 58,49
5 a) Ï}
32 + 52 = Ï}
9 + 25 = Ï}
34 = 5,831
b) Ï}
3,52 + 4,22 = Ï}
12,25 + 17,64 = Ï}
29,89 = 5,468
c) Ï}
22 + 2,52 = Ï}
4 + 6,25 = Ï}
10,25 = 3,202
6 a) Ï}
52 + 22 = Ï}
25 + 4 = Ï}
29 = 5,385
b) Ï}
4,22 + 5,32 = Ï}
17,64 + 28,09 = Ï}
45,73 = 6,763
c) Ï}
2,52 + 32 = Ï}
6,25 + 9 = Ï}
15,25 = 3,905
7 a) Ï}
3 · Ï}
5 = Ï}
3 · 5 = Ï}
15 = 3,873
b) 3 Ï}
6 · 3 Ï}
17 = 3 Ï}
102 = 4,672
c) Ï}
16 : Ï}
4 = Ï}
16 : 4 = Ï}
4 = 2
d) 3 Ï}
35 : 3 Ï}
5 = 3 Ï}
35 : 5 = 3 Ï}
7 = 1,913
e) 1 Ï}
5 2 3 = 1 5 1 } 2 2
3 = 5
3 } 2 = Ï}
53 = Ï}
125 = 11,18
f) 3 Ï}
Ï}
64 = 1 64 1 } 2 2
1 } 3 = 64 1 } 6 =
6 Ï}
64 = 6 Ï}
26 = 2
8 a) Ï}
5 · Ï}
7 = Ï}
5 · 7 = Ï}
35 = 5,916
b) 3 Ï}
8 · 3 Ï}
32 = 3 Ï}
8 · 32 = 3 Ï}
256 = 6,35
c) Ï}
25 : Ï}
5 = Ï}
25/5 = Ï}
5 = 2,236
d) 3 Ï}
64 : 3 Ï}
8 = 3 Ï}
64 : 8 = 3 Ï}
8 = 2
e) 1 Ï}
7 2 3 = 1 7 1 } 2 2
3 = 7
3 } 2 = Ï}
73 = Ï}
343 = 18,52
f) 4 Ï}
Ï}
256 = 1 256 1 } 2 2
1 } 4 = 256 1 } 8 =
8 Ï}
256 = 8 Ï}
28 = 2
1.4 Logarithmen
1.4.1 Rechenregeln, natürlicher und binärer Logarithmus
Seite 16
1 a) ln 12 = 2,4849 b) ln 24 = 3,1781
c) ln 47 = 3,8501 d) ln 86 = 4,4543
e) ln 96 = 4,5643
2 a) ln 35 = 3,5553 b) ln 21 = 3,0445
c) ln 56 = 4,0254 d) ln 75 = 4,3175
e) ln 89 = 4,4886
3 a) lb 12 = 3,3219 · 1,0792 = 3,5849
b) lb 35 = 3,3219 · 1,5441 = 5,1292
c) lb 2 = 1, da 21 = 2
1S. 17
1.4 Logarithmen
13
12 3 +–
4123
4 +–
Rec
hn
en m
it Z
ahle
n
d) lb 8 = 3,3219 · 0,9031 = 3 (oder: lb 8 = 3, da 23 = 8)
e) lb 65 = 3,3219 · 1,8129 = 6,0223
4 a) lb 5 = 3,3219 · 0,6990 = 2,3219
b) lb 33 = 3,3219 · 1,5185 = 5,0444
c) lb 7 = 3,3219 · 0,8451 = 2,8073
d) lb 69 = 3,3219 · 1,8388 = 6,1085
e) lb 6 = 3,3219 · 0,7782 = 2,5849
5 a) ln x = 2,3026 · 0,3577 = 0,8236
b) ln x = 2,3026 · 2,4689 = 5,6849
c) ln x = 2,3026 · 1,6643 = 3,8322
d) ln x = 2,3026 · 3,7712 = 8,6836
6 a) ln x = 2,3026 · 0,9934 = 2,2874
b) ln x = 2,3026 · 1,7832 = 4,1060
c) ln x = 2,3026 · 4,2231 = 9,7241
d) ln x = 2,3026 · 0,2121 = 0,4884
7 a) lg x = 0,4343 · 3,4012 = 1,4771
b) lg x = 0,4343 · 1,45 = 0,6297
c) lg x = 0,4343 · 4,7274 = 2,0531
d) lg x = 0,4343 · 1,7918 = 0,7782
8 a) lg x = 0,4343 · 0,3478 = 0,1510
b) lg x = 0,4343 · 1,6094 = 0,6990
c) lg x = 0,4343 · 6,0162 = 2,6128
d) lg x = 0,4343 · 3,4012 = 1,4771
9 a) lb x = 3,3219 · 1,6551 = 5,4981
b) lb x = 3,3219 · 2,7681 = 9,1954
c) lb x = 3,3219 · 0,3324 = 1,1042
d) lb x = 3,3219 · 0,7455 = 2,4765
10 a) lb x = 3,3219 · 0,0917 = 0,3046
b) lb x = 3,3219 · 2,6287 = 8,7323
c) lb x = 3,3219 · 1,3424 = 4,4593
d) lb x = 3,3219 · 0,6800 = 2,2589
1.4.2 Zehnerlogarithmen
Seite 17
1 a) lg 15 = 1,1761 b) lg 23 = 1,3617
c) lg 41 = 1,6128 d) lg 86 = 1,9345
e) lg 87 = 1,9395
2 a) lg 26 = 1,4149 b) lg 68 = 1,8325
c) lg 77 = 1,8865 d) lg 96 = 1,9823
e) lg 240 = 2,3802
3 a) lg 0,5 = 0,6990 – 1 oder 9,6990 – 10
b) lg 3,5 = 0,5441
c) lg 6,8 = 0,8325
d) lg 0,043 = 0,6335 – 2 oder 8,6335 – 10
4 a) lg 0,7 = 0,8451 – 1 oder 9,8451 – 10
b) lg 8,7 = 0,9395
c) lg 5,925 = 0,7727
d) lg 0,0084 = 0,9243 – 3 oder 7,9243 – 10
5
6
7 ¢x = ¢10 · lg x } xA
= 8 cm · lg 50 } 10
= 8 cm · 0,698 97 = 5,59 cm
8 ¢x = ¢10 · lg x } xA
= 10 cm · lg 0,04 } 0,01
= 10 cm · 0,602 06 = 6,02 cm
9 ¢ = ¢10 · lg xE } xA
R ¢10 = ¢/lg xE } xA
= 9,54 cm/lg 0,3 } 0,01
= 6,49 cm
10 ¢x = ¢10 · lg x } xA R lg x } xA
= ¢x } ¢10
R lg x = ¢x } ¢10
+ lg xA = 6,23 cm } 8 cm
+ lg 0,05
= 0,7788 + (0,6990 – 2) = 1,4778 – 2 = 0,4778 – 1
R x = 0,3
101 102100 = 1 103 104
101 102 103 104 105100 = 1
1 Rechnen mit Zahlen
14
12 3 +–
4123
4 +–1.4.3 Logarithmische Darstellung,
Linearisieren
Seite 18 links
1 a) E = 300 lx; Û = 200 µA
b) E = 40 lx; Û = 5 µA
2 a) E = 100 lx; Û = 8 µA
b) E = 2000 lx; Û = 80 µA
3 a) f = 1000 Hz; 22 V
b) f = 500 Hz; 16 V
4 a) U = 30 V; f = 2500 Hz
b) U = 5 V; f = 25 Hz
1.5 Kehrwert, Prozentrechnen
Seite 18 rechts
1 a) 23,07 b) 55
2 a) 5 b) 11,857 143
c) 2,614 285 7 d) 9,392 857 1
e) –6,171 428 6 f) 0,110 457 1
3 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512
4 a) 4,05 2 b) 9,45 2
c) 12,15 2 d) 17,55 2
e) 24,30 2 f) 31,05 2
5 a) 235,35 $ b) 596,22 $
c) 39,22 $ d) 658,98 $
e) 1961,25 $
6 a) 1,96 ¢ b) 17,64 ¢
c) 6,37 ¢ d) 27,93 ¢
e) 145,04 ¢
7 a) 0,027 778 b) 0,0 678 571 c) 0,125
8 a) 0,093 75 b) –0,075 c) 0,766 666 7
9 a) 64,12 b) 622,08 2
10 a) 18,24 N b) 125,8 m2
2S. 21
15
A VmA kVA VmA kV
Rec
hn
en m
it G
röß
en
2 Rechnen mit Größen
2.1 Begriffe beim Rechnen mit Größen
Seite 19
1 a) Spannung b) Stromstärke
c) Zeit d) Länge
e) Widerstand
2 a) Volt b) Ampere
c) Kilogramm d) Ohm
e) Sekunden
3 a) An einer Diode liegt eine Spannung von 1,5 V.
b) Durch einen Schichtwiderstand fließt ein Strom von 0,6 A
4 a) An einem Kondensator liegt eine Spannung von 120 V.
b) Durch eine Diode fließt ein Strom von 0,2 A.
2.2 Umrechnen der Einheiten
Seite 20 links
1 a) 44 200 mV = 44,2 V b) 0,002 A = 2 mA
c) 220 µV = 0,000 22 V d) 88 000 µV = 88 mV
2 a) 7,05 kV = 7050 V
b) 880 mØ = 0,88 Ø
c) 840 µA = 0,84 mA
d) 825 ns = 0,825 µs = 0,000 825 ms = 0,000 000 825 s
3 1010 Ø = 10 000 MØ
4 820 · 106 Ø = 820 000 · 103 Ø = 820 000 kØ
5 8020 A = 8,02 kA
6 18 · 10–4 VA = 18 · 10–4 W = 18 · 10–1 mW = 1,8 mW
2.3 Addition und Subtraktion
Seite 20 rechts
1 a) 223 V + 1,1 kV = 0,223 kV + 1,1 kV = 1,323 kV
b) 0,38 A + 400 mA = 0,78 A
c) 144 Ø + 0,12 kØ = 264 Ø
2 a) 2330 mA + 1,2 A = 3,53 A
b) 220 mV + 0,3 A = 220 mV + 0,3 A (Zusammenfassung ist nicht möglich!)
c) 27 cm + 1220 mm = 270 mm + 1220 mm = 1490 mm
Seite 21 oben
3 a) 220 V – 4800 mV = 220 V – 4,8 V = 215,2 V
b) 0,22 A – 120 mA = 0,1 A
c) 320 kØ– 1500 Ø = 318,5 kØ
4 a) 220 V – 1500 mV = 218,5 V
b) 23 mV – 2350 µV = 20,65 mV
c) 1500 ms – 0,7 s = 800 ms
5 a) 25 V + 18 V – 23 A + 25 A – 17 V – 24 A – 24 V = 25 V + 18 V – 17 V – 24 V + 25 A – 23 A – 24 A = 25 V – 24 V + 18 V – 17 V + 25 A – 24 A – 23 A = 2 V – 22 A
b) 660 mV – 2,3 A + 44 V + 2,2 A – 560 mV = 660 mV – 560 mV + 44 V + 2,2 A – 2,3 A = 100 mV + 44 V – 0,1 A = 44,1 V – 0,1 A
6 a) 7 ms – 8 mm + 540 A – 320 V – 6 ms + 0,7 cm – 40 A + 20 V = 7 ms – 6 ms + 540 A – 40 A – 320 V + 20 V + 0,7 cm – 8 mm = 1 ms + 500 A – 300 V – 1 mm
b) 22 mV – 3 kØ + 2,2 A – 25 mV + 2500 Ø – 200 mA = 22 mV – 25 mV – 3 kØ+ 2,5 kØ + 2,2 A – 0,2 A = –3 mV – 0,5 kØ + 2 A
2 Rechnen mit Größen
16
A VmA kVA VmA kV
2.4 Multiplikation und Division
Seite 21 rechts
1 a) 6 V · 7 A = 42 VA = 42 W
b) 6 mV · 7 A = 42 mVA = 42 mW
c) 12 mA · 2 mV = 24 mV · mA = 24 µVA = 24 µW
d) 18 kV · 2 mA = 36 VA = 36 W
2 a) 7 mA · 6 V = 42 mVA = 42 mW
b) 3 kA · 2 mV = 6 VA = 6 W
c) 8 kV · 2 µA = 16 k · µVA = 16 mVA = 16 mW
d) 3,5 mV · 12 µA = 42 m · µVA = 42 · 10–9 W = 42 nW
3 a) 3 mVA } 1,2 mA · 0,5 A
= 3 } 0,6
mVA } mA2
= 5 V } A
= 5 Ø
b) 6 µVA }
2 mV · 2 mA = 1,5
µVA }
µVA = 1,5
4 a) 42 VA } 7 mV · 3 kA
= 42 VA } 21 VA
= 2
b) 36 Ø2 }
6 Ø = 6 kØ
5 a) 22 pAs
} 11 mA
= 22 · 10–12 As } 11 · 10–3 A
= 2 · 10–9 s = 2 ns
b) 12 mVA } 6 kV
= 2 · 10–3 }
103 A = 2 · 10–6 A = 2 µA
c) 24 µVA
} 12 mA
= 24 · 10–6 V } 12 · 10–3
= 2 · 10–3 V = 2 mV
d) 28 mm } 4 ms
= 7 m _ s
6 a) 18 m } s }
9 mm = 2 m _
s · mm = 2 1 _
ms = 2000 1 _
s
b) 3 mA } 2 mAs
= 1,5 1 _ s
c) 30 kVA } 2 mA
= 15 MV
d) 12 m } 1,2 µs
= 10 m _ µs
= 10 Mm _ s = 10 000 km _
s
3S. 22
17
x y5x y5
Rec
hn
en m
it F
orm
eln
3 Rechnen mit Formeln
3.1 Umstellen von Formeln
Seite 22
1 a) b)
c) d)
2 a)
b)
c)
d)
3 a)
b)
c)
d)
4 a)
b)
c)
d)
5 A = (d + e)h } 2
| · 2
2A = (d + e)h | : (d + e)
h = 2A } d + e
6 V = (F – G)h } 3
| · 3
3V = (F – G)h | : (F – G)
h = 3V } F – G
7 a) V = d 2π ¢ } 4
| · 4
4V = d 2π ¢ | : π ¢
4V } π ¢
= d 2 | Ï}
d = Ï}
4V } π ¢
b) V = d 3π } 12
| · 12
12V = d 3π | : π
12V } π = d 3 | 3. Wurzel
d = 3
Ï}
12V } π
8 a) U = 2π N A Bƒf } Ï
} 2 | · Ï
} 2
Ï}
2 U = 2π N A Bƒf | : 2π A Bƒf
N = Ï}
2 U } 2π A Bƒf
b) R = 4DNœ
} d 2
| · d 2
Rd 2 = 4DNœ | : 4Dœ
N = Rd 2 }
4Dœ
V = a 2h } 3
| · 2
2V = 2a 2h } 3
V = a 2h } 3
| · 3
3V =a 2h
V = a 2h } 3
| · (–6)
–6V = – 2a 2h
V = a 2h } 3
| · (–1)
–V = –a 2h } 3
R1 + R2 = U } Û | + R3
R1 + R2 + R3 = U } Û + R3
R1 + R2 = U } Û | + R1
2R1 + R2 = U } Û + R1
R1 + R2 = U } Û | – R2
R1 = U } Û – R2
R1 + R2 = U } Û | +
U3 } Û
R1 + R2 + U3 } Û = U }
Û +
U3 } Û
R1 + R2 + U3 } Û =
U + U3 } Û
1 } x = a – b | Kehrwert
x = 1 } a – b
x 2 = a 2 + 2ab + b 2
x 2 = (a + b)2 | Quadratwurzel x1 = a + b; x2 = –(a + b)
x – 2y = D } 2
| – 2y
x = D } 2
+ 2y
2U = 3x + 6y | – 6y 2U – 6y = 3x | : 3
x = 2U – 6y
} 3
y + 2x = 2a } 5
| – 2x
y = 2a } 5
– 2x
y – A } x = 7d | + A } x
y = 7d + A } x
x } y = 5a } 3b
| Kehrwert
y
} x = 3b } 5a
| · x
y = 3bx } 5a
b = a + 3y | – a
b – a = 3y | : 3
y = b – a } 3
3 Rechnen mit Formeln
18
x y5x y5
9 a) R1 } R2
= R3 } R4
| · R2
R1 = R2 · R3 }
R4
b) R1 } R2
= R3 } R4
| Kehrwert
R2 } R1
= R4 } R3
| · R1
R2 = R1 · R4 }
R3
c) R1 } R2
= R3 } R4
| · R4
R3 = R1 · R4 }
R2
d) R1 } R2
= R3 } R4
| Kehrwert
R2 } R1
= R4 } R3
| · R3
R4 = R2 · R3 }
R1
Seite 23
10 a) ¢1 } ¢2
= A2 } A1
| · ¢2
¢1 = A2 · ¢2 }
A1
b) ¢1 } ¢2
= A2 } A1
| Kehrwert
¢2 } ¢1
= A1 } A2
| · ¢1
¢2 = A1 · ¢1 }
A2
c) ¢1 } ¢2
= A2 } A1
| · A1
A2 = ¢1 · A1 } ¢2
d) ¢1 } ¢2
= A2 } A1
| · A1
¢1 · A1 } ¢2
= A2 | : ¢1 } ¢2
A1 = A2 · ¢2 } ¢1
11 a) G = (m – n)h } 3
| · 3
3G = (m – n)h | : (m – n)
h = 3G } m – n
b) G = (m – n)h } 3
| · 3
3G = mh – nh | –mh
3G – mh = –nh | :–h
n = 3G – mh } –h
n = mh – 3G } h
12 a) A = h } 3
(¢ + m + n) | : (¢ + m + n)
A } ¢ + m + n
= h } 3
| · 3
h = 3A } ¢ + m + n
b) A = h } 3
(¢ + m + n) | : h } 3
3A _ h
= ¢ + m + n | – (¢ + n)
3A } h
– (¢ + n) = m
m = 3A } h
– ¢ – n
13 1 } R
= 1 } R1
+ 1 } R2
| – 1 } R2
1 } R
– 1 } R2
= 1 } R1
| Kehrwert
R1 = 1 } 1 } R – 1 } R2
R1 = 1 } R2 – R
} R · R2
R1 = R · R2 } R2 – R
14 1 } C
= 1 } C1
+ 1 } C2
| – 1 } C1
1 } C
– 1 } C1
= 1 } C2
| Kehrwert
C2 = 1 } 1 } C – 1 } C1
C2 = 1 } C1 – C
} C · C1
C2 = C · C1 } C1 – C
15 Û = U }
œ ¢ }
A
Û = UA } œ ¢
| · ¢
Û ¢ = UA } œ | : Û
¢ = UA } œÛ