Michael Körner Grundlagen der Geometrie - persen.de · Grundlagen der Geometrie 1 Grundbegriffe 2 Koordinatensystem 3 Senkrechte Geraden 4 Parallele Geraden 5 Abstand 6 Vermischte

Michael Körner

Grundlagen der GeometrieKopiervorlagen zum Grundwissen Ebene

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Michael Körner

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GrundwissenEbene Geometrie 5.–10. Klasse

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verfo

Grundlagen der Geometrie 1 Grundbegriffe

2 Koordinatensystem

3 Senkrechte Geraden

4 Parallele Geraden

5 Abstand

6 Vermischte Übungen zu Linien

7 Winkelarten

8 Winkel bis 180° mit dem Geodreieck messen

9 Winkel bis 180° mit dem Geodreieck zeichnen

10 Winkel über 180° messen und zeichnen

11 Nebenwinkel und Scheitelwinkel

12 Stufenwinkel und Wechselwinkel

13 Vermischte Übungen zu Winkeln

14 Figuren unterscheiden und bezeichnen

15 Dreieckarten und ihre Eigenschaften

16 Winkelberechnung am Dreieck (1)

17 Winkelberechnung am Dreieck (2)

18 Viereckarten und ihre Eigenschaften

19 Winkelberechnung am Viereck (1)

20 Winkelberechnung am Viereck (2)

21 Kreise und ihre Eigenschaften (1)

22 Kreise und ihre Eigenschaften (2)

23 Vermischte Übungen zu Figuren

24 Lernzielkontrolle zu den Grundlagen (1)

25 Lernzielkontrolle zu den Grundlagen (2)

Konstruieren von Figuren26 Mittelsenkrechte konstruieren

27 Parallele konstruieren

28 Winkelhalbierende konstruieren

29 Kongruenzsätze für Dreiecke

30 Dreiecke nach Seite, Winkel, Seite konstruieren

31 Dreiecke nach Winkel, Seite, Winkel konstruieren

32 Dreiecke nach Seite, Seite, Seite konstruieren

33 Dreiecke nach Seite, Seite, Winkel konstruieren

ab Seite 26 LösungenZu einigen wenigen Aufgaben liegen keineLösungen vor, da hier die Kontrolle durchdie Lehrkraft erfolgen sollte.

InhaltsverzeichnisGrundwissen Ebene Geometrie

de

(2)

n

agen (1)

agen (2

21

22 K

23 V

24

kelberec

Winkelberech

Kreise und ihr

reise und ih

reiec

g am Dreiec

en und ihre Eigensch

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ung am V

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chaften

k (1)

(2)

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1Michael Körner: Grundlagen der Geometrie

© Persen Verlag

1Grundbegriffe

Aufgabe 1Ordne die Begriffe den jeweiligen Abbildungen zu wie im Beispiel.

Gerade

AB

Halbgerade

AB

Parallele

a

Punkte

A und B

Senkrechte

b

Strecke

AB

Aufgabe 2Übertrage die Punkte für jede Teilaufgabe einmal in dein Heft.

a) Zeichne alle möglichen Strecken von A zu den anderen Punkten und miss ihre Längen.

b) Zeichne alle möglichen Geraden durch E und einen der anderen Punkte.

c) Zeichne alle möglichen Halbgeraden von C aus zu den anderen Buchstaben.

Aufgabe 3Zeichne jeweils Strecken mit den angegebenen Längen.

a) 4 cm b) 6 cm c) 7,5 cm d) 2,3 cm e) 26 mm

Aufgabe 4Ergänze den Lückentext.

Eine Gerade hat ____________ Anfangspunkt und ____________ Endpunkt.

Eine Halbgerade hat ____________ Anfangspunkt und ____________ Endpunkt.

Eine Strecke hat ____________ Anfangspunkt und ____________ Endpunkt.

b) 6 c

mit den

m

bene

c) Zeichne aaus zu den

fgabe

deren P

le möglicheanderen B

n vihre Län

chen Geraden durunkte.

on A zu den gen.

E

al


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2Koordinatensystem

Aufgabe 1Ordne die Begriffskarten den jeweiligen Zahlen im Koordinatensystem zu. Die Buchstaben ergeben dann in der Reihenfolge von � bis � ein Lösungswort.

PKoordinatenpunkt

mit den Koordinaten (3/2)

UKoordinatenpunkt

mit den Koordinaten (–1/–2)

R x-Achse (Rechtsachse)

E y-Achse (Hochachse)

S Ursprung (Nullpunkt)

Das Lösungswort lautet: ___ ___ ___ ___ ___ � � � � �

Aufgabe 2Gib die Koordinaten der eingetragenen Punkte an.

A(___ | ___) B(___ | ___)

C(___ | ___) D(___ | ___)

E(___ | ___) F(___ | ___)

G(___ | ___) H(___ | ___)

Aufgabe 3Zeichne für jede Teilaufgabe ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) in dein Heft und trage die angege-benen Punkte ein. Verbinde sie dann in der Reihenfolge des Alphabets. Welche Figur entsteht je-weils?

a) A(3 | 2) B(–2 | 2) C(–2 | –1) D(3 | –1) Figur:

b) A(–1 | –3) B(3 | –3) C(3 | 1) D(–1 | 1) Figur:

c) A(–1,5 | 0) B(0 | –2,5) C(1,5 | 0) D(0 | 1,5) Figur:

___)

_)

F(_

B(___

D(___

Punkte an.

Aufgabe 2b die Koord

: __ ___ _� � �


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3Senkrechte Geraden

Aufgabe 1Überprüfe mit dem Geodreieck, welche der Geraden senkrecht zueinander sind und notiere wie im Beispiel. Kennzeichne auch die rechten Winkel wie im Beispiel.

h ⊥ i

_____

_____

_____

_____

_____

_____

_____

Aufgabe 2Zeichne jeweils zur Geraden g die Senkrechten durch die Punkte A–E.

a) b)

Aufgabe 3Zeichne die Punkte A(3 | 3), B(–3 | –3), C(4 | –2) und D(–4 | 2) in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) und zeichne durch die Punkte A und B eine Gerade. Zeichne dann durch die Punkte C und D jeweils eine Senkrechte zu dieser Geraden und gib die Schnittpunkte der Senkrechten mit

a) der x-Achse, b) der y-Achse, c) der Geraden AB an.

Info Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn sie sich in einem rechten Winkel (90°) schneiden. Man schreibt g ⊥ h oder h ⊥ g. Zum Zeichnen von Senkrechten und zum Überprüfen, ob Geraden senkrecht zueinander stehen, benutzt man oft das Geodreieck.

g

h

eweils zur Geraden g di

__

_____

___

d und


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4Parallele Geraden

Aufgabe 1Überprüfe mit dem Geodreieck, welche der Geraden parallel zueinander sind und notiere wie im Bei-spiel.

g II h

_____

_____

_____

_____

_____

Aufgabe 2Zeichne jeweils zur Geraden g die Parallelen durch die Punkte A–E.

a) b)

Aufgabe 3Zeichne die Punkte A(3 | 4), B(–2 | –6), C(–2 | 2) und D(3 | 1) in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) und zeichne durch die Punkte A und B eine Gerade. Zeichne dann durch die Punkte C und D jeweils eine Parallele zu dieser Geraden und gib die Schnittpunkte der drei Geraden mit der x-Achse und mit der y-Achse an.

Info Geraden sind parallel zueinander, wenn sie keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Man schreibt g II h oder h II g. Zum Zeichnen von Parallelen und zum Überprüfen, ob Geraden parallel zueinander sind, benutzt man oft das Geodreieck.

g

h

jeweils zur Geraden g

__

_____

nd no


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5

Info Die Strecke PQ ist die kürzeste Verbindung des Punktes P mit der Gera-den g. Sie wird auch als Lot von Punkt P auf die Gerade g bezeichnet und verbindet den Punkt P senkrecht mit der Geraden g. Die Länge desLotes nennt man Abstand des Punktes P von der Geraden g.

Abstand

Aufgabe 1Zeichne die Abstände der Punkte A – D von der Geraden g ein und miss ihre Längen.

Abstand A von g: __________

Abstand B von g: __________

Abstand C von g: __________

Abstand D von g: __________

Aufgabe 2Die Geraden g und h sind parallel zueinander. Miss die Abstände der Punkte A und B von der Gera-den h und der Punkte C und D von der Geraden g. Was stellst du fest?

Abstand A von h: __________

Abstand B von h: __________

Abstand C von g: __________

Abstand D von g: __________

Ergänze die Regel für den Abstand von parallelen Geraden.

Regel:

Zueinander parallele Geraden haben _____________________________________________.

Aufgabe 3Zeichne eine Gerade in dein Heft und jeweils zwei Punkte, die von der Geraden

a) 3 cm Abstand haben, b) 1,7 cm Abstand haben, c) 26 mm Abstand haben.

Aufgabe 4Miss die Abstände der parallelen Geraden.

a) b) c)

eine Ge

m Abstand h

4

rade in dein H

haben,

aden hab

ef

parallelen

____

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A und B von der Gst?

a

stand C v

Abstand D vo

Ergänze die R

gel:

: ___

n g: ____

n g: ____

zueD von der

________

________

nander. Miss Geraden g. W

ie A


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6

Aufgabe 1Kreuze an.

falsch richtig

Zueinander senkrechte Strecken sind immer gleich lang.

Zwei zueinander parallele Strecken haben überall den gleichen Abstand.

Zueinander senkrechte Geraden schneiden sich immer.

Drei parallele Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.

Zueinander parallele Geraden schneiden sich in einem rechten Winkel.

Zueinander senkrechte Geraden schneiden sich in einem rechten Winkel.

Aufgabe 2a) Überprüfe mit dem Geodreieck, ob die Geraden bzw.

Strecken parallel (II) oder senkrecht (⊥) zueinander sind und notiere wie im Beispiel.

f II h, f ⊥ e,_________________________________

b) Kennzeichne Strecken mit einem roten Stift.

c) Kennzeichne Geraden mit einem grünen Stift.

Aufgabe 3Zeichne zu der Geraden g zwei parallele Geraden mit einem Abstand von 1,5 cm.

Aufgabe 4Zeichne

a) eine Senkrechte durch P zu g. Nenne diese a.

b) eine Senkrechte durch P zu a. Nenne diese b.

c) Was kannst du über die Beziehung von b und g aussagen?

_______________________________________________

Aufgabe 5Zeichne ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm in dein Heft.

a) Zeichne durch die Punkte (–2 | 4) und (4 | 2) eine Gerade und nenne sie g.

b) Gib drei Koordinaten an, die auf dieser Geraden liegen.

c) Zeichne durch den Punkt (4 | –4) eine Parallele zu g.

d) Gib zwei Koordinaten an, die auf dieser Parallele liegen.

e) Zeichne durch den Punkt (2 | 0) eine Senkrechte zu g.

f) Gib den Schnittpunkt der Parallelen mit der Senkrechten an.

Vermischte Übungen zu Linien

nkre

s kannst

______

hte durch P

chte durch P z

über die

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u a.

Ger mit

gabeZeichne zu deeinem Abstan

fgabe

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einem ro

n mit einem grü

__________

en St

en St

den nand

___


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7Winkelarten

Info Ein Winkel (hier a) wird von zwei Halbgeraden mit einem gemeinsamen Anfangspunkt eingeschlossen. Die beiden Halbgeraden heißen Schenkel des Winkels, der gemeinsame Anfangspunkt heißt Scheitelpunkt S. Winkel werden oft mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet. Am häufigsten kommen dabei a (Alpha), b (Beta), g (Gamma), d (Delta) und e (Epsilon) vor. Teilweise wird auch das Winkelzeichen ∢ benutzt. Man schreibt dann: ∢a, ∢b usw.

Aufgabe 1Verbinde die Bilder mit den zugehörigen Winkelnamen. Die Buchstaben ergeben dann in der Reihen-folge von (1) bis (6) ein Lösungswort.

� � � � � �

(S)Voll-

winkel (A)spitzer Winkel (T)

gestreckter Winkel (K)

stumpfer Winkel (N)

über-stumpfer Winkel

(E)rechter Winkel

Das Lösungswort lautet: ___ ___ ___ ___ ___ ___ � � � � � �

Aufgabe 2Ergänze den Schenkel so, dass die angegebene Winkelart entsteht.

a) spitzer Winkel b) rechter Winkel c) stumpfer Winkel

d) gestreckter Winkel e) überstumpfer Winkel f) Vollwinkel

Aufgabe 3Neben der Bezeichnung mit griechischen Buchstaben kann man Winkel auch mit der Punkte- bzw. Buchstabenfolge angeben. Gib die Winkel jeweils durch Punkte an wie im Beispiel.

a) b)

a = BAD / DAB b = __________ a = _________ b = _________

g = __________ d = __________ g = _________ d = _________ e = _________

S

eckter WWinkel

egebene Win

hter Winkel

�

kelart en

erstumpfeWin

reW(

Aufgabe 2rgänze den S

spitzer

ort lautet:

(T)

___ _�

gestreckter Win (

�

ben er

�

eben dann in


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8Winkel bis 180° mit dem Geodreieck messen

Info Winkelgrößen werden in Grad angegeben. 1 Grad (geschrieben 1°) erhält man, wenn man einen Kreis (den Vollwinkel) in 360 gleich große Teile teilt. Zum Messen von Winkeln verwendet man oft das Geodreieck. Dieses wird mit dem Nullpunkt auf den Scheitelpunkt des Winkels gelegt und die Winkel-größe wird an der Skala abgelesen.

Aufgabe 1Miss jeweils die Größe der Winkel und gib an, um welche Winkelart es sich handelt. Tipp: Verlängere, wenn nötig, die Schenkel.

a) b) c) d)

Aufgabe 2Bestimme jeweils alle angegebenen Winkelgrößen. Schätze zuerst.

a) b) c)

Geschätzt / Gemessen Geschätzt / Gemessen Geschätzt / Gemessen

a = ______ / ______ a = ______ / ______ a = ______ / ______

b = ______ / ______ b = ______ / ______ b = ______ / ______

g = ______ / ______ g = ______ / ______ g = ______ / ______

d = ______ / ______ d = ______ / ______

e = ______ / ______

Aufgabe 3Gib jeweils die Größe bzw. den Größenbereich in ganzen Grad und die Winkelart an.

a) b) c) d)

______________ Rechter Winkel ______________ ______________

1° ≤ a ≤ 89° a = ___________ ____ ≤ a ≤ ____ a = ___________

Aufgabe 4Zeichne einen beliebigen Winkel (ohne zu messen). Dein Nachbar und du schätzen jetzt die Winkel-größe. Anschließend wird nachgemessen. Wer mit seiner Schätzung näher an der tatsächlichen Win-kelgröße liegt, bekommt einen Punkt. Anschließend zeichnet dein Nachbar, ihr schätzt, messt usw. Wer zuerst 5 Punkte hat, hat gewonnen.

be 3s die Gr

__

/ ______

eschätzt /

______ / ___

____

emessen

c)

Geschätzt

a = _____

=

ebenen W

b)

nkelgrößen.

handelt.

d)


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9Winkel bis 180° mit dem Geodreieck zeichnen

Aufgabe 1Unten siehst du zwei Anleitungen zum Zeichnen von Winkeln bis 180°. Leider ist dabei sowohl die Rei-henfolge der Texte als auch die Reihenfolge der Bilder durcheinandergeraten. Bringe die Texte und Bilder wieder in die richtige Reihenfolge.

a) Gewünschten Winkel an der Winkelskala markieren.

Geodreieck auf den Scheitelpunkt des Winkels legen.

Winkelbogen einzeichnen und Winkelgröße eintragen.

Markierungspunkt mit dem Scheitelpunkt verbinden. (1)

(1) Scheitelpunkt und einen Schenkel des Winkels zeichnen.

b) Zweiten Schenkel des Winkels zeichnen.

Geodreieck auf den Scheitelpunkt des Winkels legen.

Winkelbogen einzeichnen und Winkelgröße eintragen.

Scheitelpunkt und einen Schenkel des Winkels zeichnen.

Geodreieck bis zum gewünschten Winkel drehen.

Aufgabe 2Ergänze den Schenkel nach oben und nach unten, sodass je zweimal der angegebene Winkel entsteht.

a) 30° b) 75° c) 112° d) 152°

Aufgabe 3Zeichne jeweils einen Winkel mit der angegebenen Größe in dein Heft.

a) 20° b) 43° c) 66° d) 95° e) 135° f) 164° g) 180°

Geod

2

nkt un

ieck bis zum

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Winkelgröße e

inkels legen.Geo

W

ten Schen

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inkels

binden.

zeich

(1)


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10Winkel über 180° messen und zeichnen

Aufgabe 1a) Betrachte jeweils die Winkelpaare und beschreibe, was dir auffällt.

Es fällt auf,

b) Gib die gesuchten Winkelgrößen ohne zu messen an.

a = _____ b = _____ g = _____ d = _____ e = _____

c) Gib die gesuchten Winkelgrößen an.

a = _____ b = _____ g = _____ d = _____ e = _____

d) Beschreibe, wie man Winkel über 180° mit dem Geodreieck „messen“ oder „zeichnen“ kann.

Aufgabe 2Erkläre anhand der Bildfolge, wie man den überstumpfen Winkel mit der Größe 260° zeichnen kann.

(1) (2) (3) (4) (5)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Aufgabe 3Zeichne die überstumpfen Winkel mit der angegebenen Größe.

a) 195° b) 225° c) 247° d) 286° e) 302° f) 321° g) 333° h) 355°

260°– 180°

80°

260180

80°

en überstumpf

(3)

en

„mes en“ od

__

er „zeichn

=d =

Aufgabe 2kläre anha

_____

an Winkel über 18

=

d = _____


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11

Aufgabe 1Ergänze den Lückentext mit den angegebenen Wörtern. Achte auf die Zeichnungen. Einzusetzende Wörter: Scheitelwinkel(paar), Nebenwinkel(paar), Geradenkreuzung

Schneiden sich zwei Geraden, so spricht man von einer .

Die dabei entstehenden Winkel a1 und a2 werden als

bezeichnet, da sie nebeneinander liegen.

Die Winkel b1 und b2 werden als bezeichnet.

Aufgabe 2Kennzeichne – die Nebenwinkel zu a1 und a2 rot, – die Scheitelwinkel zu b1 und b2 blau.

Aufgabe 3a) Miss jeweils die vier Winkel und notiere ihre Größe.

a1 = _____ b1 = _____ a2 = _____ b2 = _____

g1 = _____ d1 = _____ g2 = _____ d2 = _____

b) Notiere alle Nebenwinkelpaare.

c) Was kannst du über die Summe der Größe von Nebenwinkeln aussagen?

d) Notiere alle Scheitelwinkelpaare.

e) Was kannst du über die Größe von Scheitelwinkeln aussagen?

Aufgabe 4Berechne die Größe der fehlenden Winkel an der Geradenkreuzung.

a) a = 50° b = _____ g = _____ d = _____

b) a = _____ b = 75° g = _____ d = _____

c) a = _____ b = _____ g = 112° d = _____

d) a = _____ b = _____ g = _____ d = 173°

e) a = 90° b = _____ g = _____ d = _____

Nebenwinkel und Scheitelwinkel

s kannst

elw

u über die G

nkelpa

Größe von Nebenw

2 = _

= ___

___ b

d

= __a

Notiere a

) Was kanns

g1 = __

e Nebenwin

d no

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__ d1 = ___

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hnet.


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12

Aufgabe 1Ergänze den Lückentext mit den angegebenen Wörtern. Die Zeichnungen helfen dir dabei. Einzusetzende Wörter: Wechselwinkel(paar), Stufenwinkel(paar), doppelte Geradenkreuzung

Werden zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten, entsteht

eine ________________ ____________________________.

Die Winkel g1 und g2 werden als bezeichnet,

sie haben Ähnlichkeit mit Winkeln bei Treppenstufen.

Die Winkel d 1 und d 2 werden als bezeichnet.

Aufgabe 2Kennzeichne – die Stufenwinkel zu g1 und g2 mit rot,– die Wechselwinkel zu d 1 und d 2 mit blau.

Aufgabe 3a) Miss jeweils die acht Winkel und notiere ihre Größe.

a1 = _____ b1 = _____ g1 = _____ d1 = _____

a2 = _____ b2 = _____ g2 = _____ d2 = _____

b) Notiere alle Stufenwinkelpaare.

c) Was kannst du über die Größe von Stufenwinkeln aussagen?

d) Notiere alle Wechselwinkelpaare.

e) Was kannst du über die Größe von Wechselwinkeln aussagen?

Aufgabe 4Berechne die Größe der fehlenden Winkel an der doppelten Geradenkreuzung.

a) a1 = 55° b1 = _____ g1 = _____ d1 = _____

a2 = _____ b2 = _____ g2 = _____ d2 = _____

b) a1 = _____ b1 = _____ g1 = _____ d1 = _____

a2 = _____ b2 = 122° g2 = _____ d2 = _____

c) a1 = _____ b1 = _____ g1 = _____ d1 = 98°

a2 = _____ b2 = _____ g2 = _____ d2 = _____

Stufenwinkel und Wechselwinkel

nnst

4

du über die G

inkelpaa

röße

tufenwinkeln auss

d _

_____

___

) Notiere a

) Was kanns

a2 =

e Stufenwin

kel und no

= _____ b1 = _

_____ b2

ere ihre Grö

chnet.


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13Vermischte Übungen zu Winkeln

Aufgabe 1Zeichne jeweils einen Winkel mit der angegebenen Größe in dein Heft.

a) 10° b) 52° c) 96° d) 165° e) 235° f) 264° g) 300° h) 360°

Aufgabe 2Kreuze an.

falsch richtig

Stumpfe Winkel sind größer als 180°.

Spitze Winkel sind kleiner als 90°.

Der gestreckte Winkel ist doppelt so groß wie der rechte Winkel.

Scheitelwinkel sind zusammen 180° groß.

Nebenwinkel sind gleich groß.

Stufenwinkel sind gleich groß.

Aufgabe 3Gib alle Nebenwinkelpaare, Scheitelwinkelpaare, Stufenwinkelpaare und Wechselwinkelpaare an.

Nebenwinkelpaare:

Scheitelwinkelpaare:

Stufenwinkelpaare:

Wechselwinkelpaare:

Aufgabe 4Berechne jeweils die fehlenden Winkel an der Geradenkreuzung.

a) a = 60° b = 40° g = ____ d = ____ e = ____ φ = ____

b) a = ____ b = ____ g = 47° d = ____ e = 74° φ = ____

c) a = ____ b = ____ g = ____ d = 90° e = ____ φ = 14°

d) a = 111° b = ____ g = ____ d = ____ e = 44° φ = ____

Aufgabe 5Welche zwei Winkel bilden jeweils die beiden Uhrzeiger? Bestimme die Winkel ohne zu messen. Tipp: Denke an den Vollwinkel.

a) ____ / ____ b) ____ / ____ c) ____ / ____ d) ____ / ____

) a

a = _

c) a = _

d)

nden W

60°

___

re:

n der

4

echs nkelpaare ae un

ufgabe 4

Sch

Stufe

Wec

Scheitelwi

ebenwinkelpaare

eitelwinkelpaa

ink

kelpaare, S

fal


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14

Aufgabe 1Geometrische Figuren werden bis auf wenige Ausnahmen nach der Anzahl der Ecken unterschieden. Ordne die Begriffe der entsprechenden geometrischen Figur zu, indem du die entsprechende Zahl in die Figur schreibst.

(1) Dreieck (2) Viereck (3) Fünfeck (4) Sechseck (5) Achteck (6) Kreis

Aufgabe 2Schreibe hinter die Begriffe die zugehörigen Buchstaben.

Eckpunkt: ___________

Seite: ___________

(Eck)Winkel: ___________

Diagonale: ___________

Diagonalenschnittpunkt: ___________

Aufgabe 3Vervollständige die Bezeichnungen. Achtung: Bei geometrischen Figuren wird linksherum, also gegen den Uhrzeigersinn, bezeichnet.

a) b)

Aufgabe 4Trage jeweils die angegebenen Punkte in das Koordinatensystem ein, verbinde sie und bezeichne die Seiten. Welche Figur entsteht?

a) A(4 | –1) B(4 | 1,5)

C(1,5 | 1,5) D(1,5 | –1)

Figur: ____________________

Figuren unterscheiden und bezeichnen

4eweils di

natensyschne die

angegebe

etris

b)

hen Figuren wirden Uhrzeige

a)

e die Bezersinn, bezeic

____

hnunget

___

___


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15

Aufgabe 1Ergänze den Lückentext.

Einzusetzende Wörter: Winkeln, unregelmäßiges, stumpfwinkliges, spitzwinkliges, Seiten, rechtwinkliges, gleichseitigen, gleichschenkliges, Arten

Dreiecke kann man auf zwei unterschiedliche ________________________ einteilen. Eine Möglichkeit

ist eine Einteilung nach ________________________. Sind alle Seiten des Dreiecks gleich lang,

spricht man von einem ________________________ Dreieck. Sind nur zwei Seiten gleich lang, wird

das Dreieck als ________________________ Dreieck bezeichnet. Haben alle Seiten unterschiedliche

Längen, so ist es ein ________________________ Dreieck.

Die andere Art der Einteilung von Dreiecken erfolgt nach ________________________. Auch hier

gibt es drei unterschiedliche Möglichkeiten. Hat ein Dreieck drei spitze Winkel, wird es als

________________________ Dreieck bezeichnet. Hat es einen rechten Winkel, wird es als

________________________ Dreieck bezeichnet. Hat das Dreieck einen stumpfen Winkel,

nennt man es ________________________ Dreieck.

Aufgabe 2Bestimme durch messen, um welche Dreiecksart es sich handelt.

(1) (2) (3) (4)

Einteilung nach Seiten Einteilung nach Winkeln

Dreieck 1: _____________________ _____________________

Dreieck 2: _____________________ _____________________

Dreieck 3: _____________________ _____________________

Dreieck 4: _____________________ _____________________

Aufgabe 3Zeichne jeweils die Dreiecke in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) in dein Heft und gib an, um wel-che Dreiecksart (sowohl nach Seite als auch nach Winkel) es sich handelt.

a) A(3 | –2), B(1 | 2), C(–1 | –2) b) A(–3 | –1,5), B(2,5 | 2), C(–3 | 2)

Dreiecke und ihre Eigenschaften

Einte

sich handelt

p

wird es als

n Winkel,

hi

estimme d

(1)

ch messen,

ck

________

w

eichne

bezeichnet. H

___ Dreieck

olgt

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________

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______

W

iec

eiten g

le Seiten u


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16Winkelberechnung am Dreieck (1)

Aufgabe 1Teamarbeit für drei Schüler.

(1) Zeichnet auf ein Blatt Papier jeweils ein Dreieck: – Schüler 1 ein spitzwinkliges – Schüler 2 ein rechtwinkliges – Schüler 3 ein stumpfwinkliges

(2) Bezeichnet die drei Winkel in den Dreiecken mit a, b und g.

(3) Färbt die drei Winkel in verschiedenen Farben ein. Alle Winkel eines Dreiecks sollen aber die glei-che Farbe haben.

(4) Schneidet die Dreiecke aus.

(5) Schneidet anschließend die drei Ecken der Dreiecke ab.

(6) Legt die drei gleichfarbigen Eckwinkel jeweils zu einem (gesamten) Winkel zusammen.

(7) Vergleicht eure Ergebnisse in der Gruppe. Was fällt euch auf?

(8) Formuliert eine Regel zur Winkelsumme im Dreieck.Tipp: Was kann man über die Größe der drei Winkel zusammen aussagen?

Regel:

Aufgabe 2Gib die fehlenden Winkel der Dreiecke an. Nutze dazu die Ergebnisse aus Aufgabe 1.

a) g = _____ b) b = _____ c) a = _____

Aufgabe 3Berechne die fehlenden Winkel. Gib auch an, ob es sich um ein rechtwinkliges, spitzwinkliges oder stumpfwinkliges Dreieck handelt.

a) a = 45° b = ____ g = 65° b) a = ____ b = 11° g = 111°

______________________________ ______________________________

c) a = 126° b = 50° g = ____ d) a = 45° b = ____ g = 45°

______________________________ ______________________________

an. Nut

= _____

azu die Ergebnisse

ufgabe 2Gib die fehlen

a) g = _____

den Winke

r drei W

Was f

DreiecWinkel

euch auf?

zusamme

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zusam


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17

Aufgabe 1Beweise mithilfe der nebenstehenden Zeichnung (a || g), dass die Winkelsumme im Dreieck immer 180° beträgt. Tipp: Suche nach Wechselwinkeln und zeichne sie ein.

Begründung: Für Dreieck gilt immer a + b + g = 180°, weil

Aufgabe 2Berechne die fehlenden Winkelgrößen.

a) a1 = ______ b1 = ______ g1 = 75°

a2 = ______ b2 = ______ g2 = ______

a3 = 35° b3 = ______ g3 = ______

a4 = ______ b4 = ______ g4 = ______

b) a1 = ______ b1 = ______ g1 = ______

a2 = ______ b2 = 156° g2 = ______

a3 = ______ b3 = ______ g3 = ______

a4 = 34° b4 = ______ g4 = ______

Aufgabe 3a) Miss die Größe der Winkel in den gleichseitigen Dreiecken.

a = ______ a = ______

b = ______ b = ______

g = ______ g = ______

b) Was kannst du über die Größe der Winkel in gleichseitigen Dreiecken aussagen?

Aufgabe 4a) Miss die Größe der Winkel in den gleichschenkligen Dreiecken.

a = ______ a = ______

b = ______ b = ______

g = ______ g = ______

b) Was kannst du über die Größe der Winkel in gleichschenkligen Dreiecken aussagen?

Winkelberechnung am Dreieck (2)

s kannst du über di

ichseitigen Drreiec

4 = 34

Aufgabe 3Miss die G

b3 = _

= ___

g = _

56° g2 = __

_____ = _

_____

____


© Persen Verlag

18

Aufgabe 1 Verbinde die Bezeichnungen der Vierecke mit den zugehörigen Abbildungen und Steckbriefen wie im Beispiel.

Drachenviereck

Es hat zwei Symmetrieachsen. Die Diagonalen e und f sind gleich lang und halbieren sich. Alle Winkel sind 90° groß. Je zwei Seiten sind paral-lel und gleich lang.

�

Parallelogramm

Es hat eine Symmetrieachse. Eine der Diagona-len wird von der anderen halbiert. Zwei gegen-überliegende Winkel sind gleich groß. Je zwei nebeneinanderliegende Seiten sind gleich groß.

�

Quadrat

Es hat zwei Symmetrieachsen. Die Diagonalen e und f halbieren sich. Die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß. Alle vier Seiten sind gleich lang. Je zwei Seiten sind parallel zuein-ander.

�

Raute

Es hat vier Symmetrieachsen. Die beiden Diago-nalen e und f stehen senkrecht aufeinander, sind gleich lang und halbieren sich. Alle vier Winkel sind 90° groß. Alle vier Seiten sind gleich lang. Je zwei Seiten sind parallel zueinander.

�

Rechteck

Es hat keine Symmetrieachse. Die beiden Dia-gonalen e und f halbieren sich. Die gegenüber-liegenden Winkel sind gleich groß. Je zwei Sei-ten sind parallel zueinander und gleich lang.

�

TrapezEs hat keine Symmetrieachse. Die beiden Dia-gonalen e und f schneiden sich. Es gibt keine zueinander parallelen Seiten.

�

unregelmäßigesViereck

Die beiden Diagonalen e und f schneiden sich. Mindestens zwei Seiten sind parallel zueinan-der.

�

Aufgabe 2Ergänze jeweils zu der angegebenen Viereckart.

a) Parallelogramm b) Quadrat c) Raute d) Rechteck

� �

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Viereckarten und ihre Eigenschaften

mäßigesck

z

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Seite

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© Persen Verlag

19Winkelberechnung am Viereck (1)

Aufgabe 1Teamarbeit für vier Schüler.

(1) Zeichnet auf ein Blatt Papier jeweils ein Viereck: – Schüler 1 ein Rechteck – Schüler 2 ein Parallelogramm – Schüler 3 ein Drachenviereck – Schüler 4 ein unregelmäßiges Viereck

(2) Bezeichnet die vier Winkel in den Vierecken jeweils mit a, b, g und d.

(3) Färbt die vier Winkel in verschiedenen Farben ein. Alle Winkel eines Vierecks sollen aber die glei-che Farbe haben.

(4) Schneidet die Vierecke aus.

(5) Schneidet anschließend die vier Ecken der Vierecke ab.

(6) Legt die vier gleichfarbigen Eckwinkel jeweils zu einem gesamten Winkel zusammen.

(7) Vergleicht eure Ergebnisse in der Gruppe. Was fällt euch auf?

(8) Formuliert eine Regel zur Winkelsumme im Viereck.Tipp: Was kann man über die Größe der vier Winkel zusammen aussagen?

Regel:

Aufgabe 2Gib die fehlenden Winkel der Vierecke an. Nutze dazu die Ergebnisse aus Aufgabe 1.

a) g = _______ b) b = _______ c) a = _______

Aufgabe 3Berechne die fehlenden Winkel.

a) a = 17° b = 99° g = 125° d = ____ b) a = 55° b = 82° g = ____ d = 60°

c) a = 105° b = ____ g = 90° d = 114° d) a = ____ b = 64° g = 73° d = 21°

abe 3die fehlen

b

= _____

zu die Ergeebnisse a AGib die fehle

a) g _____

den Winkel

_

V

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ls zu

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ereck.nkel z

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euch auf?

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ks soll


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20

Aufgabe 1Beweise mithilfe der nebenstehenden Zeichnung (g II h), dass für Parallelogramme immer gilt:

a) a + b = 180°

Für Parallelogramme gilt immer a + b = 180°, weil

b) a = g und b = d

Für Parallelogramme gilt immer a = g und b = d, weil

Tipp: Suche nach Stufen- und Wechselwinkeln und zeichne sie ein.

Aufgabe 2a) Miss die Größe der Winkel in den Rauten.

a1 = ____ a2 = ____ a1 = ____ a2 = ____

b1 = ____ b2 = ____ b1 = ____ b2 = ____

g1 = ____ g2 = ____ g1 = ____ g2 = ____

d1 = ____ d2 = ____ d1 = ____ d2 = ____

e1 = ____ e 2 = ____ e 1 = ____ e 2 = ____

b) Was kannst du über die Größe der Teilwinkel a1 und a2, b1 und b2, g1 und g2, d1 und d2 jeweils aus-sagen?

c) Was kannst du über die Diagonalen in Rauten aussagen?

Aufgabe 3Berechne die fehlenden Winkelgrößen.

a) a1 = 43° b1 = ____ g1 = ____ d1 = ____

a2 = ____ b2 = ____ g2 = ____ d2 = ____

a3 = ____ b3 = ____ g3 = ____ d3 = ____

a4 = ____ b4 = ____ g4 = ____ d4 = ____

b) a1 = 55° b1 = ____ g1 = ____ d1 = ____

a2 = ____ b2 = ____ g2 = ____ d2 = ____

Winkelberechnung am Viereck (2)

3

e Diago

eilwinkel

Rau

und a b1 un b

a1 =

b1 __

g1 = ___

___ a2 =

__

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d1

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a

____ b2

g1 = ____ g2

____

Rauten.

= __

____

und hne sie ein


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21

Aufgabe 1Ordne die Begriffe den jeweiligen Zahlen am Kreis zu. Die Buchstaben ergeben dann in der Reihenfolge von (1) bis (6) ein Lösungswort.

Buchstabe Bezeichnung Symbol

E Durchmesser d

I Kreislinie k

K Mittelpunkt M

L Radius r

R Sehne s

Z Tangente t

Das Lösungswort lautet: ___ ___ ___ ___ ___ ___ � � � � � �

Aufgabe 2Zeichne einen Kreis mit einem beliebigen Radius in dein Heft. Kennzeichne mit verschiedenen Farben den Durchmesser, die Kreislinie, den Mittelpunkt und den Radius.

Aufgabe 3Zeichne die Kreise in dein Heft. Kennzeichne jeweils den Mittelpunkt M, den Radius r und den Durch-messer d.

a) r = 3 cm b) r = 4,6 cm c) d = 4 cm d) d = 50 mm

Aufgabe 4a) Miss jeweils den Radius und den Durchmesser der Kreise.

r = _____ r = _____ r = _____

d = _____ d = _____ d = _____

b) Was fällt dir auf?

Aufgabe 5Ergänze die Tabelle.

Radius r Durchmesser d Radius r Durchmesser d

5 cm 112 mm

9 cm 2,2 dm

58 mm 1 m

Kreise und ihre Eigenschaften (1)

____

s und d

r = _

chme

en Mitt

c) d = 4 cm

elpunkt M, en R

mit verschiedenen Fzeic

chne diemesser d.

a) r = 3 cm

ufgabe 4

reise in dein

ebiginie, den M

eft. K

en Radius in dtelpunkt u

_ __�

i

___�


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22

Aufgabe 1Der Radius der kleinen Kreise beträgt 1 cm.

a) Aus wie vielen Kreisen besteht die Figur? _____

b) Welche Radien haben die mittleren Kreise? _____ _____

c) Welchen Durchmesser hat der große Kreis? _____

d) Übertrage die Figur in dein Heft.

Aufgabe 2Zeichne zwei Kreise mit unterschiedlichen Radien in dein Heft,

a) die einen gemeinsamen Mittelpunkt haben.

b) von denen der kleine Kreis durch den Mittelpunkt des großen Kreises geht.

c) von denen der große Kreis durch den Mittelpunkt des kleinen Kreises geht.

d) die keinen gemeinsamen Punkt haben, d. h. sich nicht berühren.

e) die einen gemeinsamen Punkt haben, d. h. sich berühren.

f) die zwei gemeinsame Punkte haben, d. h. sich schneiden.

Aufgabe 3Teile die Kreise in die angegebene Anzahl an gleichgroßen Teilflächen.

a) 2 Teile b) 3 Teile c) 4 Teile d) 6 Teile e) 8 Teile

Aufgabe 4a) Zeichne in dein Heft einen Kreis mit dem Radius 2 cm.

b) Zeichne um den Kreis ein Quadrat, dessen Seiten genau in der Mitte von dem Kreis berührt werden.

c) Zeichne um das Quadrat einen zweiten Kreis, der durch alle vier Eckpunkte des Quadrates geht.

d) Zeichne um diesen Kreis wieder ein Quadrat wie bei Teilaufgabe b.

e) Zeichne um dieses Quadrat einen dritten Kreis, der durch alle vier Eckpunkte geht.

f) Zeichne um diesen Kreis ein drittes Quadrat wie bei Teilaufgabe b und d.

g) Bestimme jeweils den Durchmesser der Kreise.

h) Bestimme jeweils die Seitenlänge der Quadrate.

i) Was fällt dir auf? Tipp: Kannst du eine Regelmäßigkeit erkennen?

Kreise und ihre Eigenschaften (2)

be 4e in dein

ßen T

e d

eilflächen.

6 Teilea) 2 Teile

e in die ang

b) 3

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gebene

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n, d. h. sich sc

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großen

s kleinen K

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reises geht

eises g


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23

Aufgabe 1Zeichne ein Koordinatensystem (Einheit 1cm) in dein Heft. Zeichne die gegebenen Punkte ein und er-gänze zu der genannten Figur. Gib jeweils die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte an.

a) Quadrat A(2 | 1,5) B(–2 | 1,5) C(____ | ____) D(____ | ____)

b) Rechteck A(–2 | –3) B(1 | –3) C(1 | 2,5) D(____ | ____)

Aufgabe 2Welche der Figuren sind a) Trapeze:

b) Parallelogramme:

c) Rauten:

Aufgabe 3Berechne die fehlenden Winkel.

a) a1 = ____ b1 = ____ g1 = ____ d1 = 79°

a2 = ____ b2 = ____ g2 = ____ d2 = ____

b) a1 = ____ a2 = ____ a3 = ____ a4 = ____

b1 = ____ b2 = ____ b3 = ____ b4 = ____

g1 = ____ g2 = 33° g3 = ____ g4 = ____

d1 = ____ d2 = ____ d3 = ____ d4 = ____

c) a1 = 27° a2 = ____ a3 = ____ a4 = ____

b1 = ____ b2 = ____ b3 = ____ b4 = ____

g1 = 73° g2 = ____ g3 = ____ g4 = ____

d1 = ____ d2 = ____ d3 = ____ d4 = ____

e1 = ____ e 2 = ____ e 3 = ____ e 4 = ____

Aufgabe 4a) Zeichne in dein Heft ein Quadrat mit a = 2 cm.

b) Zeichne um dieses Quadrat drei weitere Quadrate, die jeweils einen Abstand von 1,5 cm zu dem nächst kleineren Quadrat haben.

c) Gib die Seitenlängen der neu entstandenen Quadrate an.

Vermischte Übungen zu Figuren

27°

____

°

= 33

d ____

a2 = ____

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_ b

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__ d2 =

__ a4 = ___

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79°

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a) a ____

a2 = ____

a1 = ___

fehlenden W

b1 = _

kel.


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24

Aufgabe 1Zeichne zu der Geraden drei Parallelen.

Aufgabe 2Zeichne die Senkrechten durch die Punkte P, Q und R zu g.

Aufgabe 3Zeichne die gegebenen Punkte in die Koordinatensysteme und ergänze zu der genannten Figur. Gib jeweils die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte an.

a) Drachenviereck b) Parallelogramm c) Raute

A(2,5 | 2) B(1 | 3,5) A(__ | __) B(1,5 | –1) A(–1 | 1) B(__ | __)

C(–2,5 | 2) D(__ | __) C(3,5 | 1) D(–0,5 | 1) C(3 | 1) D(1 | 3)

Aufgabe 4Welche Winkel bilden die Uhrzeiger jeweils zur angegebenen Uhrzeit? Hinweis: Bestimme die Winkel unter der Annahme, dass der Stundenzeiger auf die volle Stunde zeigt.

a) ____ / ____ b) ____ / ____ c) ____ / ____ d) ____ / ____

Aufgabe 5Trage jeweils eine Uhrzeit in die Uhren ein, zu der der angegebene Winkel gebildet wird.

a) 72° b) 120° c) 180° d) 210° e) 282° f) 312°

Lernzielkontrolle zu den Grundlagen (1)

___

ass d

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Uhrzeier Stu

____

ls zu

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D

1)

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c) Rau

A(–1 |

C(3

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te

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25Lernzielkontrolle zu den Grundlagen (2)

Aufgabe 1a) Zeichne die Punkte A(4 | 3), B(–5 | 3), C(–4 | 7), D(–4 | –1), E(8 | 1) und F(4 | –6)

in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm).

b) Zeichne die Strecke AB und miss ihre Länge.

c) Zeichne die Halbgerade AC.

d) Zeichne die Gerade AD.

e) Zeichne durch E eine Parallele zu AD.

f) Zeichne durch F eine Senkrechte zu AD.

g) Gib die Schnittpunkte der Geraden AD mit den beiden Achsen an.

h) Gib die Schnittpunkte der Parallelen mit den beiden Achsen an.

i) Gib die Schnittpunkte der Senkrechten mit den beiden Achsen an.

j) Gib den Schnittpunkt der Senkrechten mit der Parallelen an.

k) Gib den Schnittpunkt der Halbgeraden mit der y-Achse an.

l) Gib den Schnittpunkt der Halbgeraden mit der Senkrechten an.

Aufgabe 2Kreuze an.

falsch richtig

Ein Drachenviereck hat zwei Symmetrieachsen.

Eine Raute hat zwei Symmetrieachsen.

Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck.

Man kann jedes Viereck in zwei Dreiecke teilen.

Alle Vierecke sind rechteckig.

Alle Parallelogramme sind auch Trapeze.

Ein Quadrat hat vier Symmetrieachsen.

Die Diagonalen eines Parallelogramms stehen senkrecht aufeinander.

Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander.

Aufgabe 3a) Ergänze die Tabelle. b) Zeichne ein Beispiel zu jeder Winkelart.

Winkelart Winkelgröße

0 < a < 90°

90°

stumpfer Winkel

gestreckter Winkel

180 < a < 360°

Vollwinkel

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agonalen e

3

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Ein Drachen

Eine Raute h

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26LösungenS

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,5 |

2)

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2)

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3,5

| –

1,5

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3

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e

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g

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g

c ⊥

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2 | 0

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b)

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0 | 2

), S

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c)

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1 | 1

), S

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| –1

)

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1

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3

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1

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1,9

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1,8

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© Persen Verlag

27LösungenS

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14

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25

°, ε

= 7

2°

Au

fga

be

3

a)

1°

≤ α

≤ 8

9°

b

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= 9

0°

c)

91

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α ≤

17

9°

d

) α

= 1

80

°

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Win

kel

re

chte

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l

stu

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Win

kel

Au

fga

be

4

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fga

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1

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(2)

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(3)

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n.

(3)

(4)

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rkie

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n.

(4)

(5)

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kelb

og

en

ein

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n.

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(2)

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ge

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nsc

hte

n W

inke

l dre

he

n.

(3)

(4)

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ße

ein

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5°

δ

= 2

82

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ε =

34

0°

c)

α =

19

5°

β

= 2

25

°

γ =

26

2°

δ

= 3

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°

ε =

34

7°

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ze

ich

ne

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og

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ze

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3)

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l

hte

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en

(5)


© Persen Verlag

28LösungenA

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n W

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en

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(3)

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rkie

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l an

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r W

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rbin

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n M

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un

kt.

(5)

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rkie

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en

Win

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Win

kelb

og

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.

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te 1

1

Au

fga

be

1

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ne

ide

n s

ich

zw

ei G

era

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n,

so s

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cht

ma

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on

ein

er

Ger

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.

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be

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tste

he

nd

en

Win

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1 u

nd

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erd

en

als

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inke

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ich

ne

t, d

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ie n

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en

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nd

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.

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Win

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1 u

nd

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en

als

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lwin

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be

zeic

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et.

Au

fga

be

2

Au

fga

be

3

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°

β 1 =

12

8°

γ 1

= 5

2°

δ 1

= 1

28

°

α

2 =

64

°

β 2 =

11

6°

γ 2 =

64

°

δ 2 =

11

6°

b)

α1 u

nd

β1,

α1 u

nd

δ1,

β 1 u

nd

γ1,

γ 1 u

nd

δ1,

α2 u

nd

β2,

α2 u

nd

δ2,

β 2 u

nd

γ2,

γ 2 u

nd

δ2

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Ne

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l erg

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0°

d)

α1 u

nd

γ1,

β 1 u

nd

δ1,

α2 u

nd

γ2,

β 2 u

nd

δ2

e)

Sch

eite

lwin

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ind

gle

ich

gro

ß.

Au

fga

be

4

a)

β =

13

0°

γ

= 5

0°

δ

= 1

30

°

b)

α =

10

5°

γ

= 1

05

°

δ =

75

°

c)

α =

11

2°

β

= 6

8°

δ

= 6

8°

d)

α =

7°

β =

17

3°

γ

= 7

°

e)

β =

90

°

γ =

90

°

δ =

90

°

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we

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1 u

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et,

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Win

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1 u

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δ 2 w

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en

als

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lwin

kel(

pa

ar)

be

zeic

hn

et.

Au

fga

be

2

Au

fga

be

3

a)

α1 =

41

° ,

β 1 =

13

9°,

γ1 =

41

°, δ

1 =

13

9°

α

2 =

41

°, β

2 =

13

9°,

γ2 =

41

°, δ

2 =

13

9°

b)

α1 u

nd

α2,

β 1 u

nd

β2,

γ 1 u

nd

γ2,

δ 1 u

nd

δ2

c)

Stu

fen

win

keln

sin

d g

leic

h g

roß

.

d)

α1 u

nd

γ 2,

β 1 u

nd

δ2,

γ 1 u

nd

α2,

δ 1 u

nd

β2

e)

We

chse

lwin

kel s

ind

gle

ich

gro

ß.

Au

fga

be

4

a)

α1 =

55

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1 =

12

5°,

γ1 =

55

°, δ

1 =

12

5°,

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55

°, β

2 =

12

5°,

γ2 =

55

°, δ

2 =

12

5°

b)

α1 =

58

°, β

1 =

12

2°,

γ1 =

58

°, δ

1 =

12

2°,

α2 =

58

°, β

2 =

12

2°,

γ2 =

58

°, δ

2 =

12

2°

c)

α1 =

82

°, β

1 =

98

°, γ

1 =

82

°, δ

1 =

98

°, α

2 =

82

°, β

2 =

98

°, γ

2 =

82

°, δ

2 =

98

°

Sei

te 1

3

Au

fga

be

2

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chri

chti

g

Stu

mp

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inke

l sin

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röß

er

als

18

0°.

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itze

Win

kel s

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kle

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0°.

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r g

est

reck

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elt

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gro

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rech

te W

inke

l.✘

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eite

lwin

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n 1

80

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roß

.✘

Ne

be

nw

inke

l sin

d g

leic

h g

roß

.✘

Stu

fen

win

kel s

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gle

ich

gro

ß.

✘

Au

fga

be

3

Ne

be

nw

inke

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1 u

nd

β1,

α1 u

nd

δ1,

γ 1 u

nd

β1,

γ 1 u

nd

δ1,

α2 u

nd

β2,

α2 u

nd

δ2,

γ 2 u

nd

β2,

γ 2 u

nd

δ2

Sch

eite

lwin

kel:

α1 u

nd

γ1,

β 1 u

nd

δ1,

α2 u

nd

γ2,

β 2 u

nd

δ2

Stu

fen

win

kel:

α1 u

nd

γ2,

β 1 u

nd

δ2,

γ 1 u

nd

α2,

δ 1 u

nd

β2

We

chse

lwin

kel:

α1 u

nd

α2,

β 1 u

nd

β2,

γ 1 u

nd

γ2,

δ 1 u

nd

δ2

Au

fga

be

4

a)

γ =

80

°, δ

= 6

0°,

ε =

40

°, φ

= 8

0°

b)

α =

59

°, β

= 7

4°,

δ =

59

°, φ

= 4

7°

c)

α =

90

°, β

= 7

6°,

γ =

14

°, ε

= 7

6°

d)

β =

44

°, γ

= 2

5°,

δ =

11

1°,

φ =

25

°

Au

fga

be

5

a)

90

° /

27

0°

b)

12

0°

/ 2

40

° c)

2

10

° /

15

0°

d)

30

0°

/ 6

0°

Sei

te 1

4

Au

fga

be

1

4

3

6

1

2

5

Au

fga

be

2

Sch

reib

e h

inte

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ie B

eg

riff

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ie z

ug

eh

öri

ge

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sta

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pu

nkt

: A

, B

, C

, D

S

eite

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, b

, c,

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)Win

kel:

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Dia

go

na

le:

e,

f D

iag

on

ale

nsc

hn

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un

kt:

M

Au

fga

be

3

a)

b

)

uzu

ng

.

aa

r) b

eze

ich

ne

t, d

a s

ie

a)

9

Sei

te 1

4

Ag

ab

e 1

ga

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2

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in

kt:

A,

Be

gri

ffe

die

zu

g

B,

C,

D

S

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, f

Di

hst

.

Sei

te

Au

fgb

e 2

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mp

fe W

inke

Sp

itze

Win

kel s

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De

r g

est

reck

te W

i

eite

lwin

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z

eb

en

win

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gle

ic

fen

win

kel s

ind

gle

h g

kel:

α1 u

nd

β 1α

1 u

nd

kel:

αβ 1

un

dδ

γ 2,

β 1u

nd

δ

α1

un

d α

2,

β

α2,

β 2,

γ 1u

nd

γ2,

= 4

0°,

φ=

80

°

14

°,7

6°

12

0°

/ 2

40

°

ab

en

.

(Eck

)Win

M


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29LösungenA

ufg

ab

e 4

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ur:

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reck

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Sei

te 1

5

Au

fga

be

1

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ieck

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an

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ind

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S

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ieck

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reie

ck.

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g,

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da

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reie

ck a

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leic

hsc

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ne

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ßig

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reie

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dlic

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ck d

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Dre

ieck

be

zeic

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et.

Ha

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en

re

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inke

l, w

ird

es

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inkl

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Dre

ieck

be

zeic

hn

et.

Ha

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reie

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pfe

n W

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Dre

ieck

.

Au

fga

be

2

E

inte

ilun

g n

ach

Se

iten

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ilun

g n

ach

Win

keln

Dre

ieck

1:

gle

ich

sch

en

klig

es

Dre

ieck

st

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pfw

inkl

ige

s D

reie

ck

Dre

ieck

2:

g

leic

hse

itig

es

Dre

ieck

sp

itzw

inkl

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s D

reie

ck

Dre

ieck

3:

g

leic

hsc

he

nkl

ige

s D

reie

ck

spitz

win

klig

es

Dre

ieck

Dre

ieck

4:

u

nre

ge

lmä

ßig

es

Dre

ieck

re

chtw

inkl

ige

s D

reie

ck

Au

fga

be

3

a)

Gle

ich

sch

en

klig

es,

sp

itzw

inkl

ige

s D

reie

ck

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Un

reg

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äß

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s, r

ech

twin

klig

es

Dre

ieck

Sei

te 1

6

Au

fga

be

1

Reg

el: D

ie W

inke

lsu

mm

e im

Dre

ieck

be

trä

gt

18

0°,

als

o α

+ β

+ γ

= 1

80

°.

Au

fga

be

2

a)

γ =

85

° b

) β

= 3

0°

c)

α =

32

°

Au

fga

be

3

a)

β =

70

° sp

itzw

inkl

ige

s D

reie

ck

b)

α =

58

°

stu

mp

fwin

klig

es

Dre

ieck

c)

γ =

4°

stu

mp

fwin

klig

es

Dre

ieck

d)

β =

90

°

rech

twin

klig

es

Dre

ieck

Sei

te 1

7

Au

fga

be

1

De

r W

inke

l β’ i

st W

ech

selw

inke

l zu

β,

als

o β

’ = β

.

De

r W

inke

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ech

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inke

l zu

γ,

als

o γ

’ = γ

.

Die

dre

i Win

kel α

, β’

un

d γ

’ sin

d z

usa

mm

en

18

0°

gro

ß,

da

sie

zu

sam

me

n e

ine

n g

est

reck

ten

Win

kel e

rge

be

n.

Fo

lglic

h m

üss

en

α,

β u

nd

γ z

usa

mm

en

au

ch 1

80

° g

roß

se

in.

Da

die

se A

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me

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tion

un

ab

hä

ng

ig v

on

de

r W

inke

lgrö

ße

ist,

g

ilt im

me

r α

+ β

+ γ

= 1

80

°.

Au

fga

be

2

a)

α1 =

35

° β 1

= 7

0°

γ 1 =

75

°

α2 =

14

5°

β 2 =

11

0°

γ 2 =

10

5°

α

3 =

35

° β 3

= 7

0°

γ 3 =

75

°

α4 =

14

5°

β 4 =

11

0°

γ 4 =

10

5°

b)

α1 =

14

6°

β 1 =

24

° γ 1

= 1

0°

α

2 =

34

° β 2

= 1

56

° γ 2

= 1

70

°

α3 =

14

6°

β 3 =

24

° γ 3

= 1

0°

α

4 =

34

° β 4

= 1

56

° γ 4

= 1

70

°

Au

fga

be

3

a)

Dre

ieck

1:

α

= 6

0°

β =

60

° γ

= 6

0°

D

reie

ck 2

:

α =

60

° β

= 6

0°

γ

= 6

0°

b)

In e

ine

m g

leic

hse

itig

en

Dre

ieck

sin

d a

lle W

inke

l gle

ich

gro

ß,

nä

mlic

h je

we

ils 6

0°.

Au

fga

be

4

a)

Dre

ieck

1:

α

= 4

0°

β =

40

° γ

= 1

00

°

Dre

ieck

2:

α

= 6

7°

β =

67

° γ

= 4

6°

b)

In e

ine

m g

leic

hsc

he

nkl

ige

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reie

ck s

ind

jew

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zw

ei W

inke

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an

nte

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swin

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gle

ich

gro

ß.

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te 1

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Au

fga

be

1

1,

2,

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/ 2

, 5

, 4

//

3,

4,

7 /

/ 4

, 3

, 5

//

5,

1,

6 /

/ 6

, 7

, 2

//

7,

6,

1

Au

fga

be

2

a)

b

)

c)

d)

Sei

te 1

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Au

fga

be

1

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el: D

ie W

inke

lsu

mm

e im

Vie

reck

ist

imm

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36

0°,

d. h

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+ β

+ γ

+ δ

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60

°.

Au

fga

be

2

a)

γ =

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b)

β =

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α

= 1

00

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Au

fga

be

3

a)

δ =

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b)

γ =

16

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c)

β =

51

°

d)

α =

20

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te 2

0

Au

fga

be

1

a)

α u

nd

δ’ s

ind

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be

nw

inke

l, a

lso

α +

δ’ =

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nd

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ind

Stu

fen

win

kel,

als

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’ = β

.

Da

rau

s fo

lgt,

da

ss a

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α +

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α u

nd

α’ s

ind

We

chse

lwin

kel,

als

o α

= α

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α’ u

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Stu

fen

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kel,

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’ = γ

.

Da

rau

s fo

lgt,

da

ss a

uch

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γ.

β

un

d β

’ sin

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ech

selw

inke

l, a

lso

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β’.

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un

d δ

sin

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nw

inke

l, a

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δ.

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ara

us

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au

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= δ

.

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die

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me

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un

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hä

ng

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n d

ie B

eh

au

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ng

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imm

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ein

e E

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ein

en

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Au

fga

be

a)

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1

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nw

inke

l, a

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nd

Stu

fen

win

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s fo

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da

ss a

uch

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’ sin

d W

ech

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chse

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δ.

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= δ

.

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na

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D

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fga

be

4

a)

Dre

iec

D

reie

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ine

m g

leic

h

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18

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/ 3

, 4

, 7

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Vie

reck

ist

imm

er

36

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=

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5


© Persen Verlag

30LösungenA

ufg

ab

e 2

a)

Ra

ute

1:

α

1 =

30

° α

2 =

30

° R

au

te 2

:

α1 =

40

° α

2 =

40

°

β 1

= 6

0°

β 2

= 6

0°

β 1 =

50

°

β 2 =

50

°

γ 1

= 3

0°

γ 2 =

30

°

γ 1

= 4

0°

γ 2 =

40

°

δ 1

= 6

0°

δ 2 =

60

°

δ 1

= 5

0°

δ 2 =

50

°

ε 1

= 9

0°

ε 2 =

90

°

ε

1 =

90

° ε

2 =

90

°

b)

Die

Te

ilwin

kel α

1 u

nd

α2,

β 1 u

nd

β2,

γ 1 u

nd

γ2,

δ 1 u

nd

δ2 s

ind

jew

eils

gle

ich

gro

ß.

c)

Die

Dia

go

na

len

in R

au

ten

sch

ne

ide

n s

ich

se

nkr

ech

t u

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ha

lbie

ren

die

Eck

win

kel.

Au

fga

be

3

a)

α1 =

43

° β 1

= 1

37

° γ 1

= 4

3°

δ 1 =

13

7°

α

2 =

13

7°

β 2 =

43

° γ 2

= 1

37

° δ 2

= 4

3°

α

3 =

43

° β 3

= 1

37

° γ 3

= 4

3°

δ 3 =

13

7°

α

4 =

13

7°

β 4 =

43

° γ 4

= 1

37

° δ 4

= 4

3°

b)

α1 =

55

° β 1

= 3

5°

γ 1 =

55

° δ 1

= 3

5°

α

2 =

55

° β 2

= 3

5°

γ 2 =

55

° δ 2

= 3

5°

Sei

te 2

1

Au

fga

be

1

Da

s L

ösu

ng

swo

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ute

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I R

K E

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Au

fga

be

2

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ng

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Au

fga

be

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d =

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Kre

is 2

:

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d

= 3

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m

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is 3

:

r =

2,3

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d

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b)

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do

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Ra

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Du

rch

me

sse

r.

Au

fga

be

5

Ra

diu

s r

Du

rch

mes

ser

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ad

ius

rD

urc

hm

esse

r d

5 c

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cm

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m1

12

mm

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cm9

cm

2,2

dm

4,4

dm

58

mm

116

mm

0,5

m1

m

Sei

te 2

2

Au

fga

be

1

a)

Die

Fig

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be

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au

s 1

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en

.

b)

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2 c

m,

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m

c)

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cm

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Ind

ivid

ue

lle L

ösu

ng

en

.

Au

fga

be

2

Ind

ivid

ue

lle L

ösu

ng

en

.

Au

fga

be

3

a)

2 T

eile

b

) 3

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4 T

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d

) 6

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Au

fga

be

4

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is 1

: 4

cm

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m,

Kre

is 3

: 8

cm

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ss d

er

Du

rch

me

sse

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n,

da

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ich

d

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urc

hm

ess

er

be

i je

de

m z

we

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te 2

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fga

be

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| 2

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fga

be

2

a)

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1,

3,

4,

5,

6

b

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gra

mm

e:

1,

3,

4,

5

c)

Ra

ute

n:

3,

4

Au

fga

be

3 A

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ab

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a)

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11

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79

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1 =

11

°, δ

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79

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) b

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α2 =

11

°, β

2 =

79

°, γ

2 =

11

°, δ

2 =

79

°

b)

α1 =

14

7°,

α2 =

33

°, α

3 =

14

7°,

α4 =

33

°

β 1 =

33

°, β

2 =

14

7°,

β3 =

33

°, β

4 =

14

7°

γ 1

= 1

47

°, γ

2 =

33

°, γ

3 =

14

7°,

γ4 =

33

°

δ 1 =

33

°, δ

2 =

14

7°,

δ3 =

33

°, δ

4 =

14

7°

c)

α1 =

27

°, α

2 =

15

3°,

α3 =

27

°, α

4 =

15

3°

β 1

= 1

07

°, β

2 =

73

°, β

3 =

10

7°,

β4 =

73

°

γ 1 =

73

°, γ

2 =

10

7°,

γ3 =

73

°, γ

4 =

10

7°

δ 1

= 1

53

°, δ

2 =

27

°, δ

3 =

15

3°,

δ4 =

27

°

ε 1 =

46

°, ε

2 =

13

4°,

ε 3 =

46

°, ε

4 =

13

4°

Sei

te 2

4

Au

fga

be

1 A

ufg

ab

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Ind

ivid

ue

lle L

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ng

en

.

Au

fga

be

3

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1)

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| –

1)

Au

fga

be

4

a)

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/ 2

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) 3

0°

/ 3

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° c)

1

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19

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d)

13

2°

/ 2

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°

Au

fga

be

5

Ind

ivid

ue

lle L

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ng

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Au

fga

be

4

a)

12

/ 2

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be

5

vid

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ösu

ng

en

. E

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Au

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Au

fga

be

3

a)

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= 1

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α1

= 1

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= 1

47

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= 3

3°,

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= 1

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= 1

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10

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73

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= 2

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δ =

15

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) c)

B

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c)

62

° /

19

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en

, d

ass

ein

e M

inu

te 6

° e

nts

p


© Persen Verlag

31LösungenS

eite

25

Au

fga

be

1

g)

Sch

nitt

pu

nkt

AD

mit

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r x-

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(–

2 |

0)

Sch

nitt

pu

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AD

mit

de

r y-

Ach

se:

(0

| 1

)

h)

Sch

nitt

pu

nkt

Pa

ralle

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it d

er

x-A

chse

:

(6 |

0)

Sch

nitt

pu

nkt

Pa

ralle

le m

it d

er

y-A

chse

:

(0

| –

3)

i)

Sch

nitt

pu

nkt

Se

nkr

ech

te m

it d

er

x-A

chse

:

(1 |

0)

Sch

nitt

pu

nkt

Se

nkr

ech

te m

it d

er

y-A

chse

:

(0 |

2)

j)

Sch

nitt

pu

nkt

Se

nkr

ech

te u

nd

Pa

ralle

le:

(2

| –

2)

k)

Sch

nitt

pu

nkt

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mit

de

r y-

Ach

se:

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l)

Sch

nitt

pu

nkt

Ha

lbg

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:

(–2

| 6

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fga

be

2

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Ein

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me

trie

ach

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.✘

Ein

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te h

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me

trie

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.✘

Jed

es

Qu

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rat

ist

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ch e

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an

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✘

Ein

Qu

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rat

ha

t vi

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Sym

me

trie

ach

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Dia

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na

len

ein

es

Pa

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ms

ste

he

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en

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cht

au

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de

r.✘

Die

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go

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len

ein

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Ra

ute

ste

he

n s

en

kre

cht

au

fein

an

de

r.✘

Au

fga

be

3

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Erg

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inke

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0°

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fga

be

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, D

M =

2 c

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.

Au

fga

be

3

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ge

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er

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er

Mitt

elp

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kt d

er

Str

eck

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Sei

te 2

7

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Illustrationen: Sven LehmkuhlSatz: Satzpunkt Ursula Ewert GmbH

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Michael Körner Grundlagen der Geometrie - persen.de · Grundlagen der Geometrie 1 Grundbegriffe 2 Koordinatensystem 3 Senkrechte Geraden 4 Parallele Geraden 5 Abstand 6 Vermischte