Mikro konomik B 1. Intertemporale Entscheidung · 2014. 3. 26. · Mikro B - 1.1 IntertemporaleEntscheidung Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inﬂation Barwer t Wertpapiernachfrage

Mikroökonomik B1. Intertemporale Entscheidung

Dennis Gärtner

10. April 2012

Mikro B - 1.1 Intertemporale Entscheidung

Intro Budgetmenge Präferenzen und Entscheidung Inflation Barwert Wertpapiernachfrage Diskussion

Intertemporale Entscheidung

◮ Literaturangaben:◮ Varian (2011), Kapitel 10 und 11.

◮ Ausgangspunkt: Konsumententheorie, d.h.Konsumentscheidung über die Zusammensetzungverschiedener Güterbündel.

◮ Alternative Interpretation: Entscheidung überKonsumzeitpunkte (Intertemporale Entscheidungstheorie).

◮ Anwendungen: Investitions- und Sparentscheidungen,Finanz- und Kreditmärkte, Makroökonomie.

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Notation◮ Es gebe T ∈ N verschiedene Zeitperioden.◮ xt bezeichnet Anzahl an Einheiten eines Gutes in

Periode t .◮ Es wird nur ein (beliebig teilbares) Gut betrachtet, es

könnte z.B. stellvertretend für einen Warenkorb stehen.◮ Der Vektor x = (x1, x2, . . . , xT ) ist ein Konsumplan .◮ Die Konsummenge X beschreibt die Menge aller

möglichen Konsumpläne, d.h. es gilt: x ∈ X . X beschreibtdie Konsummöglichkeiten eines Konsumenten.

◮ Eigenschaften: X sei eine abgeschlossene, beschränkteund konvexe Teilmenge des R

T+ und enthalte 0.

◮ Üblicherweise Einschränkungen beim tatsächlichenKonsum z.B. durch begrenztes Budget ⇒ Budgetmenge.

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Budgetmenge◮ Analog zur Konsumententheorie kann Konsument nur

solche Konsumpläne wählen, deren Gesamtpreis seinverfügbares Einkommen nicht übersteigen.

◮ Preis: pt > 0 bezeichnet den Preis des Gutes in Periode t .◮ Einkommen: mt ist das exogen gegebene monetäre

Einkommen eines Konsumenten in Periode t .◮ Formal heisst das, der Konsument kann nur solche

Konsumpläne x wählen, die in der Budgetmenge B liegen.B enthält alle xtpt , die kleinergleich dem zum Zeitpunkt tverfügbaren Einkommen sind.

◮ B wird davon abhängen, ob Einkommen in Periode t inandere Perioden übertragen werden kann.

◮ D.h., welche Instrumente der Kapitalmarkt bereitstellt (z.B.Sparkonten, Kredite, Renten. . . ).

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Budgetmenge ohne Kapitalmarkt

◮ Annahme: Ein Kapitalmarkt existiert nicht, Perioden-Einkommen mt kann nur in Periode t ausgegeben werden.

◮ Was ist die Budgetmenge B?◮ Alle Konsumpläne x , so dass die Kosten das Einkommen

in jeder Periode t nicht übersteigen:

B = {x ∈ X : p1x1 ≤ m1,p2x2 ≤ m2, . . . ,pT xT ≤ mT}.

◮ Das Optimierungsproblem ist trivial:Falls mehr Konsum besser ist, fällt der optimaleKonsumplan mit dem verfügbaren Einkommen zusammen.

◮ Ist dieses Szenario realistisch?

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Zwei-Perioden-Fall graphisch

Konsum in Periode 1 x1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2 x

2

Budgetmenge B

m2/p

2

m1/p

1

(m1/p

1,m

2/p

2)

m2/p

2 +

(1+r)m1/p

2

(m2/(1+r)+m

1)/p

1

Anfangs-Einkommen m1

und m2 bestimmen einenKonsumplan x1 = m1/p1

und x2 = m2/p2, der inder Budgetmenge liegenmuss.

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Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2 x

2

Budgetmenge B

m2/p

2

m1/p

1

(m1/p

1,m

2/p

2)

m2/p

2 +

(1+r)m1/p

2

(m2/(1+r)+m

1)/p

1

Budgetmenge beiEinkommen m1 und m2

ohne Zugang zumKapitalmarkt: x1 ≤ m1/p1

und x2 ≤ m2/p2.

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Budgetmenge mit ‘Sparmarkt’◮ Annahme: ein Sparmarkt existiert, in jeder Periode kann

zum Zinssatz 1 + r Einkommen für die Dauer von einerPeriode angelegt werden. Es gibt keine Kredite.

◮ Falls ein Betrag y in Periode t angelegt wird, steht inPeriode t + 1 ein Betrag von (1 + r)y zur Verfügung.

◮ Manchmal wird 1 + r Brutto-Zinssatz und r derNetto-Zinssatz genannt.

◮ Was ist die Budgetmenge B?

B = {x ∈ X : p1x1 ≤ m1,

p2x2 + (1 + r)p1x1 ≤ m2 + (1 + r)m1, . . . ,T∑

t=1

(1 + r)T−tptxt ≤T∑

t=1

(1 + r)T−tmt}.

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Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2 x

2

Budgetmenge B

m2/p

2

m1/p

1

(m1/p

1,m

2/p

2)

m2/p

2 +

(1+r)m1/p

2

(m2/(1+r)+m

1)/p

1

-(1+r)p1/p

2

Einkommen in t = 1 kannnach t = 2 übertragenwerden, aber nichtumgekehrt.

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Budgetmenge mit Kapitalmarkt◮ Annahme: vollständiger Kapitalmarkt, in jeder Periode

kann zum Zinssatz 1 + r Einkommen für die Dauer voneiner Periode angelegt oder ausgeliehen werden.

◮ Einkommen kann vorwärts und rückwärts durch die Zeitreisen.

◮ D.h., wir haben relative Preise für Periodeneinkommen undkönnen das Lebens-Einkommen in allen Perioden auch inEinkommen in einer beliebigen Periode t ausdrücken.

◮ Z.B. in t = 1 Einkommen:

y = m1 +m2

1 + r+

m3

(1 + r)2 + . . .+mT

(1 + r)T−1 .

◮ y nennt man auch Barwert (Gegenwartswert) desEinkommensstroms m1,m2, . . . ,mT .

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Budgetmenge mit Kapitalmarkt

◮ Nachdem Perioden-Einkommen beliebig in anderePerioden transferiert werden kann, ergibt sich dieBudgetmenge zu

B=

{

x ∈X : p1x1 +p2x2

1+r+ . . .+

pT xT

(1+r)T−1 ≤

T∑

t=1

mt

(1+r)t−1

}

.

◮ Das bedeutet: Der Barwert der Kosten eines Konsumplansx darf den Barwert des verfügbaren Lebenseinkommensnicht übersteigen.

◮ Analogie zur Konsumentscheidung bei mehreren Gütern ineiner Periode, falls das Einkommen durch eineAnfangsausstattung an Gütern gegeben ist. Wie dort wirdhier das Einkommen endogenisiert.

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Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2 x

2

Budgetmenge B

m2/p

2

m1/p

1

(m1/p

1,m

2/p

2)

m2/p

2 +

(1+r)m1/p

2

(m2/(1+r)+m

1)/p

1

-(1+r)p1/p

2 Einkommen in t = 1 kannnach t = 2 übertragenwerden, und umgekehrt.Budgetmenge bestimmtdurch

x1p1 +x2p2

1 + r≤ m1 +

m2

1 + r.

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Präferenzen über intertemporale Konsumpläne◮ Wie über Güterbündel hat ein Konsument auch

Präferenzen über intertemporale Allokation, alsoKonsumpläne.

◮ Übliche Annahme: die Präferenzen über Konsumpläneeines Konsumenten sind darstellbar durch eineNutzenfunktion U(x1, x2, . . . , xT ).

◮ Meist treffen wir folgende Annahmen◮ konvexe Präferenzen: Für alle Konsumpläne x , x ′ ∈ X ist

die Bessermenge {x ′ ∈ X : U(x ′) ≥ U(x)} konvex,◮ monotone Präferenzen: in jeder Periode ist mehr Konsum

eines Gutes (schwach) besser als weniger.

◮ Intuition: Kombination von zwei gleich gutenKonsumplänen wird gegenüber jedem der beidenKonsumpläne präferiert.

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Konvexe Präferenzen graphisch

x1

x2

x'

xU(tx+(1-t)x') > U(x) = U(x')

Indi!erenzkurve

Besser-Richtung

Jede positive Mischungder Konsumpläne xund x ′ liegt in derBessermenge von x .

‘Ausgewogene’Konsumpläne werdenpräferiert.

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Optimale intertemporale Konsumentscheidung◮ Analog zur Konsumententheorie maximiert der Konsument

seinen Nutzen über alle Konsumpläne in derBudgetmenge:

maxx∈X

U(x) s.d. x ∈ B.

◮ Unter monotonen Präferenzen und vollständigemKapitalmarkt ist das Optimierungsproblem

maxx∈X

U(x) s.d.T∑

t=1

ptxt

(1 + r)t−1 =T∑

t=1

mt

(1 + r)t−1 .

◮ Bezeichne die Lösung dieses Problems mit x∗.◮ Graphisch: x∗ ist Tangentialpunkt von Budgetmenge und

Indifferenzkurve.

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Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

x1

*

m2

m1

x2

* x*

m

Bg

I

Optimaler Konsumplanx∗ ist Tangentialpunktvon Budgetgerade Bgund Indifferenzkurve I.

Wenn x∗

1 > m1/p1, dannist der Konsument int = 1 Kreditnehmer.

(Vereinfachende Annahme in der Graphik: p1 = p2 = 1.)

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Optimale intertemporale Konsumentscheidung

◮ Form von U(x) = U(x1, . . . , xT )?◮ Übliche Annahme: Exponentielles Diskontieren

U(x) = u(x1) + δu(x2) + δ2u(x3) + . . . + δT−1u(xT ).

◮ δ ist der Diskontfaktor, mit dem zukünftiger Nutzenbewertet wird.

◮ δ misst Ungeduld eines Konsumenten: je höher δ, destowichtiger ist dem Konsumenten zukünftiger Konsum imVergleich zu gegenwärtigem Konsum.

◮ Vorteil dieser Formulierung: Verhalten des Konsumentenist konsistent über die Zeit.

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Optimale intertemporale Konsumentscheidung◮ Optimierungsproblem mit zwei Perioden:

maxx1,x2

u(x1) + δu(x2) s.d. p1x1 +p2x2

1 + r= m1 +

m2

1 + r.

◮ Aus der Budgetgleichung folgt x2 = (1+r)(m1−p1x1)+m2p2

.◮ Einsetzen ergibt die Bedingung erster Ordnung

u′(x1) = (1 + r)p1

p2δ u′(x2) ⇔

u′(x1)

δ u′(x2)︸︷︷︸GRS12

=(1 + r)p1

p2.

◮ Das bedeutet, der Grenznutzen einer Einheit zukünftigenKonsums entspricht genau dem Grenznutzen einer Einheitgegenwärtigen Konsums zum Preis (1 + r)p1

p2.

◮ Bedingung erster Ordnung auch hinreichend?

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Veränderung des Zinssatzes

◮ Was passiert bei Änderung des Zinssatzes 1 + r?◮ Die Kosten für Kreditaufnahme bzw. die Erträge aus

Ersparnissen verändern sich.◮ D.h. der Preis für zukünftigen Konsum verändert sich im

Vergleich zum Preis für gegenwärtigen Konsum.◮ Dadurch verändert sich die Budgetmenge:

◮ Bei einer Zinssenkung kommen kreditfinanzierteKonsumpläne hinzu, ersparte fallen weg.

◮ Bei einer Zinserhöhung fallen kreditfinanzierteKonsumpläne weg, ersparte kommen hinzu.

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Komparative Statik im Zwei-Perioden-Fall graphisch

Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

m

x*

x**

B(r1)B(r

2)

−(1 + r1)p1p2

Ausgangssituation:Optimale intertemporaleKonsumentscheidung x∗

bei Einkommen m undZinssatz 1 + r1. K istKreditnehmer in t = 1.

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Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

m

x*

x**

B(r1)B(r

2)

−(1 + r2)p1p2

Zinssatz erhöht sich aufr2 > r1.

Neue Budgetgerade istDrehung der alten um m.

x∗ ist nicht mehr in derBudgetmenge enthalten.

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Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

m

x*

x**

B(r1)B(r

2)

Optimaler Konsumplanist nun x∗∗.

Zinserhöhung bewirktKonsumverlagerung vonPeriode 1 nach 2;

hier so stark, dass KKreditgeber wird.

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Veränderung des Zinssatzes

◮ Im graphischen Beispiel bewirkt die Zinserhöhung, dasszukünftiger Konsum billiger wird und der Konsument dengegenwärtigen Konsum einschränkt.

◮ Muss der gegenwärtige Konsum immer sinken, wenn derZinssatz steigt?

◮ Um diese Frage zu beantworten, können wir dieSlutsky-Gleichung benutzen.

◮ Zur Erinnerung: Die Slutsky-Gleichung besagt, dass dieNachfrage-Änderung nach einem Gut im eigenen Preissich in Substitutionseffekt und Einkommenseffekt aufteilenlässt.

◮ Der Substitutionseffekt ist der Preisänderungentgegengesetzt.

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Veränderung des Zinssatzes◮ Eigener Preis: Preis für eine Einheit x1 ist p1(1 + r)

gemessen in monetärem Einkommen in Periode 2.◮ Slutsky-Gleichung formal:

∂x∗

1

∂p1(1+r)︸︷︷︸

(?)

=∂xh

1

∂p1(1+r)︸︷︷︸

(−)

+

(m1

p1− x∗

1

)

︸︷︷︸

(?)

∂x∗

1

∂m︸︷︷︸

(+)

,

Nachfrageänderung = Substitutions- + Einkommenseffekt

◮ Einkommenseffekt: Änderung von 1 + r wirkt aufEinkommen m1 und Konsum x1, Nettoeffekt istentscheidend.

◮ Falls Zinssatz steigt und Konsum ein normales Gut:Substitutionseffekt ist negativ und Einkommenseffektpositiv.

◮ D.h. Kreditnehmer werden ihren gegenwärtigen Konsumverringern, Kreditgeber könnten ihn auch erhöhen.

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Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch

Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

x**

1x

*

1

x*

x**

B(r1)B(r

2)SE

EE

m

m1

xh

1

Ausgangssituation:optimale intertemporaleKonsumentscheidung x∗

bei Einkommen m undZins r1. Konsument istKreditgeber.

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Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

x**

1x

*

1

x*

x**

B(r1)B(r

2)SE

EE

m

m1

xh

1

Zinserhöhung auf r2 > r1,neue Budgetgerade istDrehung der alten um m.

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Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

x**

1x

*

1

x*

x**

B(r1)B(r

2)SE

EE

m

m1

xh

1

Substitutionseffektxh

1 − x∗

1 : Budget wird soangepasst, dass der alteNutzen gerade erreichtwird, ergibt xh

1 .

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Konsum in Periode 1

Ko

nsu

m in

Pe

rio

de

2

x**

1x

*

1

x*

x**

B(r1)B(r

2)SE

EE

m

m1

xh

1

Neuer optimaler Konsum-plan x∗∗ bei r2 ergibt Ein-kommenseffekt x∗∗

1 − xh1 .

Gesamteffektx∗∗

1 − x∗

1 = SE + EE .

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Inflation◮ Preis des Konsumgutes in Periode t ist gegeben mit pt .◮ D.h. Güterpreise können im Zeitablauf steigen (Inflation)

oder sinken (Deflation).◮ Bezeichne die Preissteigerung von einer Periode t auf

Periode t + 1 mit 1 + π =pt+1pt

.◮ Wir nennen π die Inflationsrate .◮ Für jede Einheit des Konsumsgutes, die in t gespart wird,

erhält man in t + 1pt

pt+1(1 + r) =

1 + r1 + π

≡ 1 + ρ

Einheiten des Gutes.◮ Wir nennen ρ den Realzinssatz und r den

Nominalzinssatz .

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Inflation

◮ Der nominale Zinssatz r gibt den monetären Zinsertragan, während ρ den Zinsertrag in Güter-Einheiten angibt.

◮ Zusammenhang:

1 + r = (1 + ρ)(1 + π),

ρ =r − π

1 + π≈ r − π.

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Barwert

◮ Bewertung von zukünftigem Einkommen?◮ Zum Beispiel zwei beliebige Einkommensströme

m = (m0, . . . ,mT ) und m′ = (m′

0, . . . ,m′

T ).◮ Annahme: vollständiger Kapitalmarkt, Zinssatz für eine

Periode ist 1 + r und bleibt konstant über alle Perioden.◮ Einfache Methode, um m und m′ zu vergleichen: Den Wert

beider Zahlungsströme in einer vorgegebenen Periode t zuvergleichen.

◮ Der Barwert ist der Wert in der ersten Periode t = 0:

BW (m) = m0 +m1

1 + r+

m2

(1 + r)2 + . . . +mT

(1 + r)T .

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Barwert & Zukunftswert

◮ Der Wert eines Einkommenstroms in einer Periode t > 0ist ein Zukunftswert:

ZWt(m)=(1+r)tm0+(1+r)t−1m1+. . .+(1+r)t−T mT .

◮ Falls BW (m) > BW (m′), dann◮ gilt dasselbe für alle Zukunftswerte ZWt (m) > ZWt(m′),

t = 1, 2, . . . ,T , und

◮ wird jeder Konsument mit monotonen Präferenzen (d.h.mehr Konsum ist besser) m gegenüber m′ vorziehen.

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Addieren von Einkommensströmen

◮ Ihr ursprünglicher Einkommensstrom seim = (m0,m1, . . . ,mT ).

◮ Nun komme ein Strom (z.B. hinzugekaufte Anleihe) vonm′ = (m′

0,m′

1, . . . ,m′

T ) hinzu.◮ Wie hoch ist der Barwert des Netto-Stromes m + m′?

BW (m + m′) = (m0 + m′

0) +m1 + m′

1

1 + r+

m2 + m′

2

(1 + r)2 + · · ·

= BW (m) + BW (m′).

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Barwert einer ewigen Rente (Annuität)

◮ Betrachten wir eine unendliche Folge von gleich hohenAuszahlungen m, z.B. aus Landwirtschaft (Auszahlungjeweils am Periodenende).

◮ Kann man auch diesen (Haushalts-)Einkommensstrommittels Barwertes bewerten und vergleichen?

◮ Bei konstantem Zinssatz 1 + r ergibt sich der Barwert zu

BW (m)=0 +m

1+r+

m(1+r)2 +

m(1+r)3 + . . .

=1

1+r

(

m +m

1+r+

m(1+r)2 + . . .

)

=m + BW (m)

1+r.

◮ Also ist der Barwert der ewigen Rente m: BW (m) =mr

.

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Beispiel

◮ Angenommen Sie erhalten das Angebot, 10 Euro sofort zubekommen und dafür den Rest des Semesters (11Wochen) pro Woche 1 Euro zurückzuzahlen.

◮ Zahlungsstrom:m = (10,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1).

◮ Ist das ein gutes Geschäft?◮ Dispokredit hat Zinssatz von ca. 1% im Monat, also etwa

0,25% pro Woche.◮ Barwert:

BW (m) = 10 −11∑

t=1

1(1,0025)t = −0,84.

◮ Angebot impliziert Zinssatz von mehr als 1,7% pro Woche.

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Wertpapiernachfrage◮ Finanzinstrumente darstellbar als handelbare

Zahlungsströme der Art (m0,m1, . . . ,mT ).◮ Beispiele:

m0 m1 m2 . . . mT−1 mT

Raten-Kredit: ++ − − − − −

Anleihe: −− + + + + ++

◮ Falls Kapitalmarkt vollständig mit Zinssatz 1 + r , sindZahlungsströme anhand ihrer Barwerte vergleichbar.

◮ BW (m′′) > BW (m′) ⇒ Budgetmenge unter m′′ enthältjene unter m′ strikt ⇒ Jeder Konsument mit strengmonotonen Präferenzen zieht m′′ gegenüber m′ strikt vor.

◮ Man sagt: m′′ dominiert m′.

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Arbitrage◮ Annahme: Zahlungsstrom m eines Wertpapiers dominiert

den eines anderen m′. Was folgt für dieWertpapiernachfrage?⇒ m′ wird nicht nachgefragt.

◮ Angenommen Konsumenten können Zahlungsströme auchverkaufen (man denke z.B. an Kredite).

◮ Was halten Sie von folgendem Plan: Zahlungsverprechenm′ abgeben und Einkommensstrom m akzeptieren.

◮ Barwert dieses Planes: BW (m)− BW (m′) > 0, egal obBW (m) positiv oder negativ.

◮ D.h. jeder Konsument wird gleichzeitig m nachfragen undm′ anbieten, sooft wie möglich.

◮ Also können m und m′ nicht beide gehandelt werden.

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Arbitrage

◮ Allgemein: Falls sich durch geschicktes Kombinierenverschiedener Zahlungsströme mit Sicherheit ein positiverBarwert erreichen lässt, nennt man dies eine Möglichkeitfür Arbitrage .

◮ Wir erwarten, dass für alle Wertpapiere, die tatsächlichgehandelt werden, keine solche Arbitragemöglichkeitexistiert (Arbitragefreiheit ).

◮ Tatsächlich sorgen beispielsweise Hedge-Fonds fürArbitragefreiheit auf Kapitalmärkten.

◮ Theoretische Implikation: Alle sicheren Zahlungsströme,die gehandelt werden, müssen den gleichen Barwerthaben!

◮ Annahme dabei: keine Transaktionskosten.

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Diskussion

◮ Intertemporale Konsumentscheidung entspricht Wahlzwischen Gütern “Konsum heute” und “Konsum morgen”.

◮ Gängige Annahme: Präferenzen der Form

U(x1, . . . , xT ) =T∑

t=0

δtu(xt).

◮ δ nennt man Diskontfaktor , kann als Geduld interpretiertwerden:

◮ δ < 1: zukünftiger Konsum wird niedriger bewertet alsheutiger,

◮ δ > 1: zukünftiger Konsum wird höher bewertet als heutiger.

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Diskussion◮ Wichtige Eigenschaft dieser Präferenzen: δ ist konstant

über die Zeit (exponentielles Diskontieren).◮ Vorteil: Optimale Konsumpläne sind konsistent.◮ Grenzrate der Substitution zwischen Periode 1 und 2:

GRS12 = −dx2

dx1

∣∣∣∣dU=0

=∂U(x1, . . . , xT )/∂x1

∂U(x1, . . . , xT )/∂x2=

u′(x1)

δu′(x2)

◮ Grenzrate der Substitution zwischen Periode 2 und 3:

GRS23 =δu′(x2)

δ2u′(x3)=

u′(x2)

δu′(x3)= GRS12.

◮ Optimierungsproblem sieht in jeder Periode “gleich” aus.◮ Falls Realzinssatz 1 + ρ = 1/δ, wird im Optimum in allen

Perioden gleich viel konsumiert (da GRSt,t+1 = (1 + ρ)).

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Beispiel: Zeitinkonsistenz von Präferenzen

◮ Sie können in einer der nächsten 3 Wochen ins Kino.◮ Wert der Filme xt (gemessen in Geldeinheiten der

jeweiligen Periode):

Film 1 Film 2 Film 3xt 3 8 24

◮ Wenn Sie diese Woche nicht ins Kino gehen, können Siesich nächste Woche nochmals zwischen Film 2 und 3entscheiden.

◮ Präferenzen 1 (‘exponentielles Diskontieren’):U(x) = x1 + 1

2x2 +(1

2

)2x3 +

(12

)3x4 + · · ·

◮ Präferenzen 2 (‘hyperbolisches Diskontieren’):U(x) = x1 + 1

4x2 + 14x3 + 1

4x4 + · · ·

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Beispiel: Zeitinkonsistenz von Präferenzen◮ Präferenzen 1: U(x) = x1 + 1

2x2 +(1

2

)2x3 +

(12

)3x4 + · · ·

xt U(x) in Woche 1 U(x) in Woche 2Film 1 3 3 –Film 2 8 4 8Film 3 24 6 12

◮ Präferenzen 2: U(x) = x1 + 14x2 +

14x3 +

14x4 + · · ·

xt U(x) in Woche 1 U(x) in Woche 2Film 1 3 3 –Film 2 8 2 8Film 3 24 6 6

→ Präferenzen 2 sind zeitinkonsistent: Sie wollen dieseWoche lieber in Film 3 als 2, nächste Woche sehen Siedas anders!

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