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Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung

Informationen zu den gemeinsamen Fächern im Zentralabitur 2010

in Berlin und Brandenburg

Nr. 1 Mathematik

11.02.2009

Beispielaufgaben mit Erwartungshorizonten

Inhalt: Vorbemerkungen Beispielaufgaben für den Leistungskurs (jeweils nur eine Wahlaufgabe zu den Themengebieten) Beispielaufgaben für den Grundkurs (jeweils nur eine Wahlaufgabe zu den Themengebieten) Beispielaufgaben für den Leistungskurs (CAS) (nur eine Wahlaufgabe zu einem Themengebiet) Beispielaufgaben für den Grundkurs (CAS) (nur eine Wahlaufgabe zu einem Themengebiet) Verantwortlich: Brandenburg Berlin Ulrich Ernst Elke Dragendorf Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung

Für Rückfragen zum Material verwenden Sie bitte das Kontaktformular auf dem Bildungsserver Berlin-Brandenburg (bbb).

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Brandenburg Berlin Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung

Die hier vorliegenden Informationen beinhalten Aufgaben, die die gemeinsamen Vorgaben für das Zentralabitur 2010 der Länder Berlin und Brandenburg im Fach Mathematik illustrie-ren. Die Aufgabenbeispiele, Erwartungshorizonte, Korrektur- und Bewertungshinweise dienen als Material zur Vorbereitung auf die schriftliche Abiturprüfung Mathematik 2010. Die Beispiele beziehen sich auf Inhalte und Kompetenzen, die im Kerncurriculum der Qualifikationsphase des geltenden Rahmenlehrplans für die gymnasiale Oberstufe Mathematik von 2006 (RLP-Nr.: 403002.06) festgeschrieben wurden. Weiterhin wurden die in den Einheitlichen Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung (EPA) i. d. F. 24.05.2002 getroffenen Festle-gungen sowie die vom Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburg und der Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung des Landes Berlin he-rausgegebenen Prüfungsschwerpunkte Mathematik berücksichtigt. Mit den vorliegenden Aufgabenbeispielen wird die Struktur und das Anspruchsniveau der zentralen Abituraufgaben verdeutlicht und so auch eine Orientierung für die unterrichtliche Arbeit in der Qualifikationsphase gegeben. Die Korrektur- und Bewertungshinweise enthalten detaillierte Hinweise für die Beurteilung von Teilleistungen und die Ermittlung der Gesamtnote. Die nachfolgenden Beispiele sollen die im RLP für die gymnasiale Oberstufe Mathematik dargestellten abschlussorientierten Standards illustrieren und damit Hilfestellung für den Unterricht und die Vorbereitung auf die Abiturprüfung geben. Es wird jeweils ein Beispiel für ein Grundkurs- und ein Leistungskursabitur dargestellt, das nach dem Konstruktionsprinzip für die Abiturprüfung entwickelt wurde. Bei diesen Beispiel-aufgaben wurde die Wahlmöglichkeit durch die Schüler, die es in der Abiturprüfung 2010 geben wird, nicht berücksichtigt. Das heißt, es fehlt bei diesen Beispielaufgaben die zu je-dem Teilgebiet (Analysis, Analytische Geometrie, Stochastik) gehörende gleichwertige alter-native Wahlaufgabe. Die Grundkurs- und Leistungskurs-Prüfungsaufgaben unterscheiden sich im Grad der Struk-turierung, dem Schwierigkeitsgrad, der Komplexität, den Anforderungen an die Selbststän-digkeit bei der Bearbeitung der Aufgaben sowie im Umfang und in der Art der bereitgestellten Informationen. Die Aufgabenbeispiele basieren auf den EPA hinsichtlich der Gestaltung der Prüfungsaufga-ben. Dabei ist zu beachten, dass weder die Anforderungsbereiche scharf gegeneinander abzugrenzen sind noch die zur Lösung der Prüfungsaufgabe erforderlichen Teilleistungen sich in jedem Fall eindeutig immer nur einem bestimmten Anforderungsbereich zuordnen lassen. Dennoch wird eine mögliche Zuordnung der Anforderungsbereiche zu den Teilaufga-ben jeweils in der Tabelle zum Bewertungsvorschlag dargestellt. Die Beispielaufgaben wurden so konzipiert, dass das Gewicht der zu erbringenden Prüfungs-leistungen überwiegend im Anforderungsbereich II liegt und außerdem die Anforderungsbe-reiche I und III, von denen der Anforderungsbereich I überwiegt, berücksichtigt sind. Hin-sichtlich der fachspezifischen Beschreibung der drei Anforderungsbereiche wird auf die EPA, Kapitel 2 in der jeweils geltenden Fassung verwiesen. Wir hoffen, dass die Informationen Ihnen bei der Vorbereitung Ihrer Schülerinnen und Schü-ler auf das Zentralabitur 2010 im Fach Mathematik hilfreich sind.

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Mathematik Grundkurs

Beispielaufgaben für die Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010


Aufgabenstellung

Hilfsmittel: Nachschlagewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprache, nicht programmierbarer und nicht grafikfähiger Taschenrechner, an der Schule eingeführtes Tafelwerk/ Formelsammlung

Gesamtbearbeitungszeit: 210 Minuten inkl. Lese- und Auswahlzeit

Aufgabe 1 Thema/Inhalt: Analysis

Hinweis: Wählen Sie eine der beiden Aufgaben 1.1 oder 1.2* zur Bearbeitung aus.

Aufgabe 2 Thema/Inhalt: Analytische Geometrie


Aufgabe 3 Thema/Inhalt: Stochastik


* Beispielaufgabe nicht vorhanden

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Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010 Länder Berlin und Brandenburg Name: .........................................................


Aufgabe 1.1: Deicherneuerung

Die Funktion f ist gegeben durch ; xexxf −⋅= 24)( Rx ∈ . Der Graph dieser Funktion sei G .

a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen und ermitteln Sie Koordinaten und Art lokaler Extrempunkte von G . Bestimmen Sie die zwei existierenden Wendestellen von f .

b) Geben Sie das Verhalten der Funktionswerte für ∞±→x an und zeichnen Sie G für 6 in ein kartesisches Koordinatensystem ( cm ). 5,0 ≤≤− x LE 11 =

c) Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t an G im Punkt ( )( )1|1 f . Berechnen Sie die Größe des Winkels

Pα , den t mit der positiven −x Achse bildet.

Begründen Sie auf Grund Ihrer bisher ermittelten Ergebnisse anschaulich, dass es eine weitere Tangente an den Graphen G geben muss, die einen Steigungswinkel mit der gleichen Größe wie α hat.

d) Die Fläche, die vom Graphen G und der −x Achse im Intervall [ ]7;0 eingeschlossen wird, kann als Querschnittsfläche eines Deiches aufgefasst werden ( m= ). Im Bereich bis zur Deichkrone (höchster Punkt des Deiches) kann man als Näherung für

G die Parabel p mit der Gleichung

LE 11

( ) ( ) 22

21624e

xe

−=xp − + verwenden.

Der dem Wasser abgewandte Teil des Deiches im Intervall [ ]2;0 soll erneuert werden. Dazu ist es erforderlich, die Menge des hierfür benötigten Füllmaterials zu ermitteln. Berechnen Sie unter Verwendung der Näherungsparabel p, wie viel Kubikmeter Füllma-terial pro Deichlänge bereitzustellen sind. km1

e) Zeigen Sie, dass die Funktion F mit ( ) ( ) RxxxexF x ∈++−= − ;224 2 eine Stammfunkti-on von f ist. Der Flächeninhalt der Fläche, die vom Graphen G , der −x Achse und der Geraden

2=x begrenzt wird, sei A. Berechnen Sie A und ermitteln Sie die prozentuale Abweichung des in d) genutzten Flä-cheninhalts zu A.

Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Teilaufgaben

Teilaufgabe a) b) c) d) e) Summe

BE 15 6 8 6 5 40

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Aufgabe 2.1: Turm am Steilhang An einem Steilhang wird ein Beobachtungsturm errichtet. Dieser Turm kann als ein von einer Ebene geschnittener Quader mit aufgesetzter gerader Pyramide aufgefasst wer-den.

Die Höhe der aufgesetzten Pyramide beträgt 4 m. Aus der Bauzeichnung sind die Koordinaten der folgenden Punkte bekannt:

( ) ( ) ( ) ( )10|4 |4,3|0|0,0|4|4,0|0|4 FDBA und ( )10|0|0H

(Koordinateneinheit 1 m).

a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte C, E, G und S. Der Steilhang liegt in der Ebene, die durch die Punkte A, B, C und D geht. Stellen Sie eine Gleichung dieser Ebene in Parameterform auf.

b) Ermitteln Sie eine Ebenengleichung für den Steilhang in Normalenform. Berechnen Sie die Größe des Winkels, den der Steilhang mit der Horizontalebene bildet. [Zur Kontrolle:

ein möglicher Normalenvektor ist .] ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

403

n

c) An den Punkten F und H wird ein 6 m langes Seil befes-tigt. Genau in die Mitte T des durchhängenden Seiles wird eine schwere Lampe gehängt. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des tiefsten Punktes des Seiles.

d) Ein Sonnenstrahl, dessen Richtung durch den Vektor beschrieben werden

kann, erzeugt auf dem Hang im Punkt S’ einen Schatten der Turmspitze S. Geben Sie eine Gleichung für die Gerade an, auf der der Sonnenstrahl verläuft, bestim-men Sie die Koordinaten des Schattenpunktes S’ und berechnen Sie die Größe des Win-kels, unter dem der Sonnenstrahl auf den Hang trifft.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

112

a

e) Zur besseren Stabilisierung soll der Turm am Eckpunkt H durch ein möglichst kurzes Stahlseil mit dem Berghang verbunden werden. Bestimmen Sie die minimale Länge des Stahlseils.

Verteilung der Bewertungseinheiten auf die Teilaufgaben


BE 6 7 3 10 4 30

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Aufgabe 3.1: Urnenexperimente

In einem Gefäß befinden sich 3 weiße und 6 schwarze Kugeln sowie eine rote Kugel.

a) Es werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und folgende Ereignisse betrachtet:

A: Beide Kugeln sind schwarz.

B: Beide Kugeln sind verschiedenfarbig.

Stellen Sie hierzu ein vollständiges Baumdiagramm auf und berechnen Sie die Wahr-scheinlichkeiten von A und von B.

b) In einem neuen Experiment werden alle 10 Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen ge-zogen. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit man alle jeweils gleichfarbigen Kugeln direkt nacheinander zieht.

c) Nun werden 10 Kugeln mit Zurücklegen gezogen.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:

C: Man zieht genau 4 weiße Kugeln.

D: Man zieht mindestens 8 schwarze Kugeln.

Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Ereignis D bei fünfmaliger Durchfüh-rung der 10 Ziehungen genau zweimal auftritt.

d) Berechnen Sie, wie oft man mit Zurücklegen mindestens eine Kugel ziehen muss, um mit mindestens 99 % Wahrscheinlichkeit mindestens einmal die rote Kugel zu ziehen.

e) Bei dem folgenden Glücksspiel verlangt der Veranstalter einen Einsatz von 2 €. Aus dem Gefäß wird eine Kugel gezogen. Ist diese Kugel weiß, erhält der Spieler 2 € ausbezahlt, ist die Kugel rot, erhält der Spieler 10 € ausgezahlt. Berechnen Sie, welchen Gewinn pro Spiel der Veranstalter auf lange Sicht erzielt.



BE 8 4 11 4 3 30

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Erwartungshorizonte 1.1, 2.1, 3.1 für Lehrkräfte

Themen / Inhalte: Analysis / Analytische Geometrie / Stochastik


Gesamtbearbeitungszeit: 180 Minuten

Erwartungshorizont Die Beschreibungen der erwarteten Leistungen enthalten keine vollständigen Lösungen, sondern nur kurze Angaben. Hier nicht genannte, aber gleichwertige Lösungswege sind gleichberechtigt. Die aufgeführten Lösungswege zeigen immer nur eine Variante auf. Für andere Lösungswe-ge oder Lösungsansätze, die logisch dargestellt werden und zu richtigen Zwischen- oder Endergebnissen führen, sind die vorgesehenen Bewertungseinheiten (BE) entsprechend zu vergeben. Wird jedoch der dargestellte Lösungsweg vom Prüfling verwendet, so sind die BE in der angegebenen Weise aufzuteilen. Damit die Möglichkeit besteht, den eigenen didakti-schen Aspekten bei der Bewertung genug Raum zu geben, werden in der Regel die BE nicht kleinschrittig zugeordnet. Die Summe der BE pro Teilaufgabe – z. B. 3.1 a) – ist verbindlich. Sind Zwischenergebnisse nicht korrekt ermittelt worden und die sich auf diesen Zwischener-gebnissen aufbauenden weiteren Lösungswege schlüssig und nicht mit neuen Fehlern ver-sehen, so sind die BE entsprechend zu erteilen (Folgefehler). Dieses Vorgehen ist nicht an-zuwenden, wenn eine offensichtlich nicht sinnvolle Lösung unkommentiert bleibt oder der Lösungsweg durch den Fehler erheblich einfacher geworden ist. Die Verwendung von entsprechenden Operatoren in den Aufgabenstellungen erfordert vom Prüfling schriftliche Erläuterungen seiner Überlegungen. Bei der Bewertung dieser Erläute-rungen, auf deren Darstellung im Erwartungshorizont weitgehend verzichtet wird, kann die Lehrkraft ihren pädagogischen Spielraum nutzen und sich an ihrer bisherigen Unterrichtspra-xis orientieren. Im Erwartungshorizont wird teilweise auf formale mathematische Vollständig-keit verzichtet, wenn diese vom Schüler in der Regel nicht unbedingt zu erwarten ist.

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Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010 Länder Berlin und Brandenburg

Erwartungshorizont zu Aufgabe 1.1: Deicherneuerung

BE/AB Teil-auf-gabe

Beschreibung der erwarteten Schülerleistung I II III

a) Nullstelle: ; 04 2 =⋅ −xex 0=Nx 2 Lokale Extrema: ( ) ( ) ( ) ( )244;24 2 +−⋅=′′−⋅=′ −− xxexfxexxf xx

Aus folgt ( ) 0=′ xf .2;0 21 == xx 5 Mit oder anderer inhaltlicher Begründung ergibt sich der

lokale Tiefpunkt: . ( ) 080 >=′′f

T ( )0|0

Mit ( ) 082 2 <−=′′e

f ergibt sich der lokale Hochpunkt: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

216|2e

H . 5

Wendestellen: Aus folgt ( ) 0=′′ xf 222;1

±=wx . 2 b) Verhalten im Unendlichen:

( ) ( ) +∞→⇒−∞→→⇒+∞→ xfxxfx ;0 2 Graphische Darstellung von G :

4 c) Tangentengleichung: ( )

efmt

41 =′= ; ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ePt

4|1 xe

yt 4: =⇒ 2

Schnittwinkel: °≈= 8,55;4tan ααe

2 Begründung für die Existenz der geforderten weiteren Tangente z.B. mit-

hilfe der Anstiege in T , W und P . 4d) Flächenberechnung:

( ) ∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

2

0

222

2

0

416 dxxe

xe

dxxpAp

FE887,2364

348

2

2

0

32

22 ≈=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

ex

ex

eAp

Volumenberechnung: 332 28871000

364 mme

V ≈⋅= . 6

e) Nachweis: ( ) (xfxF = )′ 3 Flächenberechnung:

( ) ( )[ ] FE587,2408224 2

20

22

0

≈−=++−== −∫ exxedxxfA x

3,0≈− AAp FE ; prozentuale Abweichung: ca. 12% von A. 3

Summen der BE in den Anforderungsbereichen 17 19 4

Summe der BE 40


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Erwartungshorizont zu Aufgabe 2.1: Turm am Steilhang BE/AB Teil-

auf-gabe


a) ( ) ( ) ( ) ( )C 0|4|3 , E 4|0|10 , G 0| 4|10 , S 2|2|14 4

Angabe einer Ebenengleichung, z. B. . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −⋅+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

304

010

004

μλx

2 b) Bestimmung eines Normalenvektors der gesuchten Ebene K:

und liefert z. B. 0010

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

zyx

0304

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

zyx

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

403

Kn

Normalenform der Ebenengleichung K: 0403

004

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−x .

3 Z. B. Wahl eines Normalenvektors xyn für die Horizontalebene

(x-y-Ebene) und Berechnung des Schnittwinkels mithilfe der Formel

||||||

cosxyK

xyK

nnnn⋅

⋅=α : 8,0cos =α , °≈ 9,36α

4 c) Mit Mittelpunkt der Strecke ( 10 |2|2M ) HF gilt z.B.: 222 THMTMH =+ ;

mit 32=2 ⋅= MHHF und 3=TH folgt 1=MT , also ( )9 |2|2T . 3 d)

Gleichung der Geraden . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−⋅+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

112

1422

: uxg

1 Bestimmung des Schnittpunktes von g mit K: z. B. Einsetzen des Ge-

radenterms von g in die Normalengleichung von E ergibt 5=u und den Schnittpunkt . )9|7|8(' −S 5

Berechnung des Schnittwinkels zwischen g und K z. B. mithilfe der

Formel gE

gE

rn

rn

⋅

⋅=αsin ;

62sin =α , damit °≈ 7,54α .

4 e) Erkennen, dass die minimale Länge des Stahlseils gleich dem

Abstand von Punkt H zur Ebene K ist und Berechnung des

Abstands z. B mit der Formel: ( )( )

K

K

n

OAOHnKHd

−⋅=;

6,5403

51

004

1000

);( =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=KHd ; Länge des Stahlseils: 5,6 m.

4 Summen der BE in den Anforderungsbereichen 11 15 4

Summe der BE 30



W

S

R

3/10

6/10

1/10

W

S

W

S

R

R

W

S

2/9

6/9

1/9

3/9

5/9

1/9

3/9

6/9

Erwartungshorizont zu Aufgabe 3.1: Urnenexperimente

BE/AB Teil-auf-gabe


Baumdiagramm:

5

a)

Die Pfadregel liefert P(A) = 31

95

106 =⋅ und P(B) = 5

3101

94

106

97

103 =+⋅+⋅ 3

b) Man kann zuerst alle schwarzen, dann alle weißen Kugeln und zuletzt die rote Kugel ziehen oder die Farben in einer anderen Reihenfolge (6 Möglichkeiten):

P(E) = !1011231234566 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ = 140

1 (≈ 0,0071). 4 Da zurückgelegt wird, entsteht eine Bernoulli-Kette der Länge n = 10 mit der Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,3. Die binomialverteilte Zufallsgröße X zählt die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln.

P(C) = B(10; 0,3; 4) = ≈ 0,2001. 64 7,03,04

10⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

3 Die Trefferwahrscheinlichkeit für eine schwarze Kugel ist p = 0,6. Die Zufallsgröße Y zählt die Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln. Y ist binomial verteilt mit n = 10 und p = 0,6. P(D) = P(Y ≥ 8) = P(Y=8)+ P(Y=9) + P(Y=10) ≈ 0,1673 4

c)

Es liegt eine Bernoullikette der Länge n = 5 mit der Trefferwahrschein-lichkeit p = P(D) ≈ 0,1673 vor. Die Zufallsgröße Z beschreibt die Treffer-zahl. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis D bei fünfmaliger Durchfüh-rung der 10 Ziehungen genau zweimal eintritt ist also

P(Z = 2) = 1616,0)1673,01(1673,024 252 ≈−⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

4 d) P(keine rote Kugel bei n Ziehungen) = 0,9n führt auf die Bedingung

1 – 0,9n ≥ 0,99

71,4301,09,0 ≥⇔≤ nn 4

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BE/AB Teil-auf-gabe


Mindestens 44 Kugeln müssen gezogen werden. e) Aus dem Baumdiagramm kann abgelesen werden, dass bei 10 Ziehun-

gen im Durchschnitt dreimal eine weiße Kugel gezogen wird (6 € Aus-zahlung) und einmal die rote Kugel (10 € Auszahlung). Diesen 16 € Auszahlung stehen Einnahmen von 20 € entgegen, was einen durch-schnittlichen Gewinn von 0,40 € pro Spiel für den Veranstalter bedeutet. 3


Summe der BE 30

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Mathematik Grundkurs (CAS)



Aufgabenstellung

Hilfsmittel: Nachschlagewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprache, Taschenrechner, an der Schule eingeführtes Tafelwerk/ Formelsammlung




Aufgabe 2* Thema/Inhalt: Analytische Geometrie

Hinweis: Wählen Sie eine der beiden Aufgaben 2.1 oder 2.2 zur Bearbeitung aus.

Aufgabe 3* Thema/Inhalt: Stochastik

Hinweis: Wählen Sie eine der beiden Aufgaben 3.1 oder 3.2 zur Bearbeitung aus.

* Keine Beispielaufgaben vorhanden

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Notieren Sie Ihre Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse in der in der Mathematik üblichen Form und nicht in der CAS-Eingabeform.

Aufgabe 1.1 CAS (Analysis): Deicherneuerung Die Funktion f ist gegeben durch ; xexxf −⋅= 24)( RIx∈ . Der Graph dieser Funktion sei G . a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen und ermitteln Sie Koordinaten und Art

lokaler Extrempunkte von G . Bestimmen Sie die zwei existierenden Wendestellen von f . Geben Sie das Verhalten der Funktion für ∞±→x an. Zeichnen Sie G für 6≤− x in ein kartesisches Koordinatensystem ( cm ). 5,0 ≤ LE 11 =

b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente t an G im Punkt ( )( )1|1 f . Berechnen Sie die Größe des Winkels

Pα , den t mit der positiven x-Achse bildet.

Begründen Sie anschaulich auf Grund Ihrer bisher ermittelten Ergebnisse, dass es eine weitere Tangente an den Graphen G geben muss, die einen Steigungswinkel mit der gleichen Größe wie α hat. Bestimmen Sie nun rechnerisch den Punkt B, in dem diese zweite Tangente den Gra-phen G berührt.

c) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von dem Graphen G , der x-Achse und der Geraden zu x = 2 eingeschlossen wird.

d) Die Fläche, die vom Graphen G und der x-Achse im Intervall [ ]7;0 eingeschlossen wird, kann als Querschnittsfläche eines Deiches aufgefasst werden ( m11 = ). Der dem Wasser abgewandte Teil des Deiches über dem Intervall

LE[ ]2;0 soll erneuert werden.

Hierfür ist es erforderlich, die Menge des benötigten Füllmaterials zu ermitteln. Berech-nen Sie, wie viel Füllmaterial (gerundet auf ganze Kubikmeter) pro 1 km Deichlänge be-reitzustellen ist.

Das Füllmaterial mit einer Dichte von 39,1cmg

=ρ wird mit einem LKW mit einer zulässi-

gen Zuladung von 12 t angefahren. Berechnen Sie, wie viele Fahrten erforderlich sind, wenn 13 km Deich landseitig erneuert werden.

e) Der Wasserspiegel schwankt zwischen den zwei Höhen, die 0,4 m bzw. 1,5 m niedriger als die Deichöhe sind. In diesem Bereich soll der Deich auf der Wasserseite mit zusätzli-chen Steinplatten befestigt werden. Berechnen Sie die Fläche in 1 m2, für die bei 13 km Deichlänge Platten erforderlich sind. Sie dürfen verwenden, dass die Länge L einer Kurve zwischen zwei Graphenpunkten

( )( )afa und ( )( )bfbQ | mit folgender Formel berechnet werden kann: P |

dxx 2))(' . fLb

a∫ += (1

Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile

Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe

BE 16 10 2 6 6 40


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Mathematik Grundkurs mit CAS



Erwartungshorizont 1.1 für Lehrkräfte

Themen / Inhalte: Analysis (/ Analytische Geometrie* / Stochastik*)




* keine Beispielaufgaben vorhanden

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Erwartungshorizont zu Aufgabe 1.1 CAS (Analysis): Deicherneuerung

BE/AB Teil-auf-gabe


a) Nullstellenbestimmung mit f(x)=0: . 004 2 =⇔=⋅ − xex x 2

Lokale Extrema: Angabe von ( ) ( )xexxf x −⋅=′ − 24 ;

aus folgt: ( ) 0=′ xf ( ) 02 =∨=⇔−− xxxe x 240 ⋅= x . 2

Angabe von ( ) ( )244 2 +−⋅=′′ − xxexf x ;

( ) 080 >=′′f( )0|0T

oder andere inhaltliche Begründung; 0 ist lokale Minimal-stelle; ;

( ) 0822<−=′′

ef ; 2 ist lokale Maximalstelle; ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

216|2e

H 4

Wendestellen:

( ) 0=′′ xf liefert: ( ) 222440 2 ±=⇔+−⋅= − xxxe x . 2

Angabe des Verhaltens im Unendlichen:

( ) ( ) +∞→⇒−∞→→⇒+∞→ xfxxfx ;0 . 2

Zeichnung des Graphen G von f:

4

b) Tangentengleichung: ( )e

fmt41 =′= und ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

eP 4|1 x

eyt 4: =⇒ .

2

Schnittwinkel: °≈= 8,55,4tan ααe

2

Begründung für die Existenz der geforderten weiteren Tangente z.B. mithilfe der Anstiege in T , W und . P 4

Der Ansatz ( )e

xex x 424 =−⋅ − liefert x = 1 und x ≈ 0,29;

Berührpunkt ( )0,24|29,0B . 2

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BE/AB Teil-auf-gabe


c) Flächenberechnung:

22

0

2 4084 −− −== ∫ edxexA x ; FEA 6,2≈ 2

d) Sinnvolle Rundung der Querschnittsfläche des Deiches über dem In-tervall [ .für die Berechnung des Volumens mit einer Genauigkeit

von 1 , z.B.: ;

]2;03m 2587,2 mA ≈ 32 2587587,21000 mmmV =⋅≈ 2

Volumen bei 13 km Deichlänge z. B: ;

Gewicht (Masse):

333626 mV ≈

tcm

gmm 638909,133626 33 ≈⋅≈ ;

Anzahl der Fuhren: 5325 4

e) Bestimmung von höchstem und niedrigstem Wasserstand durch Lösen

von 4,01642

2 −=⋅ −

eex x und 5,1164

22 −=⋅ −

eex x .

Entscheidung für die beiden Lösungen 3≈x für die Stelle des höchs-ten und für die Stelle des niedrigsten Wasserstands. 5≈x

Berechnung des Deichbogens 3,2))48((15

3

22 ≈−+= ∫ − dxexxL x und

der Flächengröße . 229900133,2 mkmmA =⋅≈ 6

Summen der BE in den Anforderungsbereichen 16 20 4 Summe der BE 40

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Mathematik Leistungskurs

Aufgabenstellung





Aufgabe 2 Thema/Inhalt: Analytische Geometrie / Lineare Algebra


Aufgabe 3 Thema/Inhalt: Stochastik


* Beispielaufgabe nicht vorhanden

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Aufgabe 1.1: Volumen einer Birne

Zunächst wird die Funktion f mit ( ) 0,;4 21

≥∈⋅⋅=−

xIRxexxfx

, untersucht.

a) Berechnen Sie die Nullstelle von f und untersuchen Sie den Graphen von f auf relative Extrempunkte und deren Art. Der Graph von f besitzt genau einen Wendepunkt: Bestimmen Sie die Koordinaten nur mit dem notwendigen Kriterium auf eine Nachkommastelle gerundet.

Ohne Nachweis dürfen Sie verwenden: 0,12)(' 21

>⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

−xex

xxf

x.

b) Untersuchen Sie )(xf für +∞→x und begründen Sie Ihr Ergebnis. Zeichnen Sie auf der Grundlage Ihrer bisherigen Ergebnisse den Graphen von f min-destens für 80 ≤≤ x (Koordinatenachsen: 1 LE = 1 cm).

c) Der Graph von f rotiert über dem Intervall [0;4] um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

d) Nebenstehende Abbildung zeigt das Profil einer längs durchgeschnittenen Birne. Der oberhalb der x-Achse gelegene Teil des Randes wird durch Funktionsgraphen mo-delliert. Für 40 ≤≤ x wird der Graph von f verwendet. Für 4≥x soll der Graph von g mit ( ) baxxg = + verwendet werden. Nennen Sie Eigenschaften, die für eine geeignete Modellierung der Profillinie der Birne erfüllt werden müssen. Geben Sie zwei Bedingungsgleichungen an und be-stimmen Sie mit deren Hilfe die Werte für a und b.

e) Berechnen Sie das Volumen der Birne. Die Längeneinheit ist 1 cm. Wenn Sie Teil d) nicht lösen konnten, dürfen Sie ohne Nachweis verwenden:

xe

xg 3164)(2

−⋅= .



BE 15 8 7 5 5 40

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Aufgabe 2.1: Ebenen und Prisma

Gegeben sind für jedes eine Ebene mit der Gleichung RIa∈ aE 122 =+− azyax sowie die Punkte ( ) ( ),4|3|1 2|0|3−− BA und ( )5C 0|2| .

a) Ermitteln Sie eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene F, in der die Punkte A, B und C liegen. Zeigen Sie, dass F eine der Ebenen ist.

aE

b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden , die in allen Ebenen liegt.

[Kontrollergebnis: ]

sg

t ∈

aE

IRtxgs⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−= ;

102

05,0

0:

Berechnen Sie die Größe des Winkels α , unter dem die Gerade die y-z-Ebene durchstößt.

sg

c) Berechnen Sie den Abstand d des Punktes ( )3|1|2 −Q zur Ebene . 1EEs existiert genau eine weitere Ebene , zu der Q ebenfalls diesen Abstand d hat. Ermitteln Sie für diese Ebene den Wert für den Parameter a .

aE

d) In den Ebenen und liegen zwei Seitenflächen eines geraden dreiseitigen Prismas, das ein gleichschenkliges Dreieck als Grundfläche hat. Ein Eckpunkt der Grundfläche sei der in liegende Punkt

1E 2E

1E ( )5|7|5R

2E. Die anderen beiden Eckpunkte

der Grundfläche seien ein Punkt S in der Ebene sowie ein auf der Schnittgeraden liegender Punkt T. sg

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes T. Beschreiben Sie, wie man die Koordinaten eines möglichen Punktes S ermitteln kann.


Teilaufgabe a) b) c) d) Summe

BE 8 8 6 8 30

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Aufgabe 3.1: Bevölkerungsentwicklung Frankreich und Deutschland sind die bevölkerungsreichsten Staaten der Europäischen Uni-on. Die Prognosen bis 2050 weisen für diese beiden EU-Staaten eine unterschiedliche Entwicklung aus.

Bevölkerungsanteil der beiden Länder an der EU-Gesamtbevölkerung:

Deutschland Frankreich 2005 18,0 % 13,2 % 2050 16,6 % 14,6 %

Der Anteil der Jugendlichen im Alter von 15 bis 24 Jahren an der Gesamtbevölkerung des jeweiligen Landes betrug 2005 in Deutschland 11,7% und in Frankreich 13,0%. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der beiden folgenden Ereignisse:

A: Unter elf im Jahr 2005 zufällig ausgewählten EU-Bürgern befanden sich mindestens zwei Deutsche.

B: Unter im Jahr 2050 insgesamt 1000 zufällig auszuwählenden EU-Bürgern werden sich mindestens 125 und höchstens 155 Franzosen befinden. Begründen Sie, dass hier die Näherung mittels Normalverteilung möglich ist.

b) Bestimmen Sie, wie viele EU-Bürger man im Jahr 2005 mindestens auslosen müsste, um unter diesen mit mindestens 98 % Wahrscheinlichkeit wenigstens einen Deutschen zu ermitteln.

c) Ermitteln Sie für das Jahr 2005 den jeweiligen Anteil der Bevölkerung von Deutschland und Frankreich an der Gesamtbevölkerung beider Länder.

Berechnen Sie mit Hilfe dieser Anteile die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignis-se:

C: Ein aus den beiden Ländern ausgeloster Bürger ist ein Jugendlicher.

D: Ein aus den beiden Ländern ausgeloster Jugendlicher kommt aus Deutschland.

Interpretieren Sie das Ergebnis für die Wahrscheinlichkeit von Ereignis D im Vergleich zum oben bestimmten Anteil der Deutschen an der Gesamtbevölkerung beider Länder.

d) Für das Jahr 2007 sollte durch eine repräsentative Stichprobe ermittelt werden, ob sich der Anteil der Jugendlichen unter der deutschen Bevölkerung in der o. g. Altersgruppe verringert hat.

Es wurden 10000 Deutsche repräsentativ ausgelost und ermittelt, wie viele darunter Ju-gendliche im Alter von 15 bis 24 Jahren sind. Im Ergebnis dieser Untersuchung nimmt man an, dass der Anteil der o. g. Altersgruppe nur noch bei 11,5 % liegt.

Ermitteln Sie unter dieser Voraussetzung, in welches kleinstmögliche symmetrische In-tervall um den Erwartungswert die Anzahl der betreffenden Jugendlichen mit mindestens 95% Wahrscheinlichkeit fällt.


Teilaufgabe a) b) c) d) Summe

BE 10 4 12 4 30

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Erwartungshorizonte 1.1, 2.1, 3.1 für Lehrkräfte

Themen / Inhalte: Analysis / Analytische Geometrie / Stochastik




Seite 21 von 32



Erwartungshorizont zu Aufgabe 1.1 (Analysis): Volumen einer Birne

BE/AB Teil-auf-gabe


a) Nullstellenbestimmung: 004 2

1

=⇔=⋅⋅−

xexx

. 2 Untersuchung auf relative Extrempunkte:

; ( ) 0=′ xf 1012 21

=⇔=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

−xex

x

x.

3

Berechnung von ( ) xe

xxxxxf 2

112 −⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=′′ .

4

Berechnung von 02)1( 21<−=′′ −

ef mit Schlussfolgerung, dass 1 eine

relative Maximalstelle ist und Angabe von ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

eH 41 .

2 Untersuchung auf Wendepunkte mit 0)( =′′ xf unter Beachtung von

: 0>x 012 21

=⋅⎟⎟⎠

⎞

⎝

⎛

⋅−−

− xe

xxxx⎜⎜ 21+=⇔x , 4,2≈x ;

. )9,1|4,2(W 4 b) Angabe von und verbale Begründung oder Testeinset-

zungen.

0)(lim =+∞→

xfx

3 Zeichnung des Graphen von f:

5 c) Ansatz für das Rotationsvolumen:

;

Berechnung durch partielle Integration:

( )∫ ∫ −⋅⋅=⋅=b

a

xdxexdxxfV4

0

2 16ππ

[ ]xexV −−−⋅= )1(40

16π ;

Angabe der Maßzahl des Volumens: 7,4551164

≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

eV . π

7

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BE/AB Teil-auf-gabe


d) Mögliche Modellierung: An der Stelle x = 4 müssen die Funktionswerte und die Anstiege von g und f übereinstimmen: ( ) ( )44 fg = und ( ) ( )44 fg ′=′

Parameterabhängige Berechnung der ersten Ableitung:

( )bax

axg+

=′2

;

Aufstellen und Lösen des nicht linearen Gleichungssystems:

284 −⋅=+ eba ∧ 2342

−⋅−=+

eba

a

⇔ 284 −⋅=+ eba ∧ 22 3

82−

−⋅−=

⋅e

ea

⇔ . 44 25648 −− =∧−= ebea 5e) Ansatz für das Volumen der Birne: StielendecBirne VVV += ) .

Berechnung der Nullstelle von g als obere Integrationsgrenze und Bestimmung von

5,2

33 2,485,27, cmcmcm =+

3128)316(16

44

4

316

≈=−= ∫ edxx

eVStielende

ππ .

Angabe des Volumens: V . 345Birne ≈ 5 Summen der BE in den Anforderungsbereichen 15 20 5 Summe 40

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Erwartungshorizont zu Aufgabe 2.1: Ebenen und Prisma

BE/AB Teil-auf-gabe


a) Parametergleichung von F:

Rsrsrx ∈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−= ,;

41

6

232

431

2 Koordinatengleichung von F:

0122:;2

21

=−+−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−= zyxFnF

4 Nachweis: 1EF ≡ 2

b) Ermitteln der geforderten Schnittgeraden:

Rttxgs ∈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−= ;

102

05,0

0:

5 Schnittwin elbestimmung: k

°≈⇒=⋅

⋅= 4,63

52

||

||sin

;

; ααzys

zys

Eg

Eg

na

na

3 c) Abstandsberechnung:

( )( )

LEzyx

EQd QQQ 3221

1221;

2221 =

+−+

−⋅+⋅−⋅=

3 Bestimmung einer weiteren Ebene mit dem gleichen Abstand: aE

( )( )

342

122;

222=

+−+

−⋅+⋅−⋅=

aa

zayxaEQd QQQ

a

( )1935103516193

45

18; 2

2−=∨=⇔=−+⇒=

+

+= aaaa

a

aEQd a

Der gesuchte Parameterwert ist 1935

−=a 3

d) Bestimmen der Koordinaten von T:

)1|5,0|2(105104;)|5,0|2(

−−⇒−=⇒=−+−−⇒

⊥−−⇒∈

TtttgTRttTgT ss

4

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BE/AB Teil-auf-gabe


Beschreibung zum Ermitteln für S:

Falls RS als Basis gewählt wird, liegen die möglichen dritten Eck-punkte auf einer Geraden h mit

2 und Es nhgh ⊥⊥

Damit erhält man zwei mögliche dritte Eckpunkte S1,2 z.B. mithilfe der

Linearkombination hh

aa

RTOTOS||

1||2;1 ⋅±= . 4


Summe der BE 30

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Erwartungshorizont zu Aufgabe 3.1: Bevölkerungsentwicklung

BE/AB Teil-auf-gabe


a) X: Anzahl Deutscher unter 11 ausgewählten

( ) =AP ( ) ( ) ( ) 6151,03849,0111112 1118,0 =−≈−=≤−=≥ FXPXP 4

Y: Anzahl Franzosen unter 1000 ausgewählten

( ) =BP ( ) ( ) ( )124155155125 1000146,0

1000146,0 FFYP −=≤≤ 2

Wegen 317,11,146 >≈= σμ ist Y näherungsweise normalverteilt: ( ) .7755,019732,08023,( ) ( ) 0193,185,0 ≈−+≈−+≈ ΦΦBP 5

b) Z: Anzahl Deutscher unter n ausgewählten

( ) ( ) 98,0011 18,0 ≥−=≥ nFZP ⇔ 2082,0ln02,0ln

≥≥n . 4

c) J: Ausgeloster ist Jugendlicher, G, F: Ausgeloster ist Deutscher / Franzose,

wobei ( ) 577,0312,018,0

132,018,018,0 ≈== +GP , ( ) ( ) 423,01 312,0

132,0 ≈=−= GPFP . 3 ( ) 117,0=JPG und ( ) 13,0=JPF

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1225,0055,00675,0 =+=⋅+⋅== FPJPGPJPJPCP FG . 3 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 551,0≈⋅

==JP

GPJPGPDP GJ

3 ( ) ( )GPDP < , d.h., der Anteil der deutschen Jugendlichen unter der

Gesamtanzahl der Jugendlichen der beiden Länder ist geringer als der Anteil der deutschen Bevölkerung an der Gesamtbevölkerung der bei-den Länder. 2

d) T: Anzahl Jugendlicher, T ist bei Annahme von nhp ≈ nach - verteilt

und

)10000(115,0B

1150975,1017885,0115,0100002 >=⋅⋅=σ 115,010000 =⋅=μ .

Damit ist T näherungsweise normalverteilt.

( ) ≈+≤≤− aTaP 11501150 95,015,02 ≥−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

σΦ a

( ) 03,625,090,3196,15,010000885,0115,0975,01 ≈−⋅≈−⋅⋅⋅≥⇔ −ΦaDamit gilt , d.h., ist das ge-suchte Intervall.

( ) 95,012131087 ≥≤≤TP ]1213;1087[ 4


Summe der BE 30


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Mathematik Leistungskurs (CAS)



Aufgabenstellung




(Hinweis: Wählen Sie eine der beiden Aufgaben 1.1 oder 1.2* zur Bearbeitung aus.)

Aufgabe 2* Thema/Inhalt: Analytische Geometrie / Lineare Algebra

(Hinweis: Wählen Sie eine der beiden Aufgaben 2.1 oder 2.2 zur Bearbeitung aus.)

Aufgabe 3* Thema/Inhalt: Stochastik

(Hinweis: Wählen Sie eine der beiden Aufgaben 3.1 oder 3.2 zur Bearbeitung aus.)

* keine Beispielaufgaben vorhanden.

Seite 27 von 32


Notieren Sie Ihre Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse in der in der Mathematik üblichen Form und nicht in der CAS-Eingabeform.

Aufgabe 1.1 CAS (Analysis): Volumen einer Birne

Gegeben ist eine Funktion f mit ( ) 0,4 21

≥⋅=−

xexxfx

. a) Berechnen Sie die Nullstelle von f und untersuchen Sie den Graphen von f auf relative

Extrempunkte und deren Art. Geben Sie ( )xf und das Verhalten von

x +∞→lim ( )xf ' für +→ 0x an und zeichnen Sie den

Graphen von f für mindestens 80 ≤≤ x , 1 LE = 1 cm. b) Der Graph von f rotiert über dem Intervall [0;4] um die x-Achse.

Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers. c) Nebenstehende Skizze zeigt das Profil einer

längs durchgeschnittenen Birne. Der oberhalb der x-Achse gelegene Teil des Randes wird durch Funktionsgraphen modelliert Für

4 wird der Graph von f verwendet. Für 4≥0 ≤≤ x

x wird der Graph von g mit

( ) bax=xg + verwendet. Die Funktion g soll für 4=x die beiden Bedingungen (1) )4() fg = und (2) )4(')g = erfüllen. Begründen Sie, warum dies zwei sinnvolle Be-dingungen für die Modellierung sind. Berechnen Sie die Werte für a und b und das Volumen der Birne für die Einheit 1 cm.

4( 4(' f

Hinweis: Je nach verfügbarem Rechner kann ein Quadrieren der Gleichungen des zu lösenden Gleichungssystems hilfreich sein.

[Zur Kontrolle: xe

xg 3164)(2

−⋅= .]

d) Auch für dickere und für dünnere Birnen soll das Volumen bestimmt werden.

Dazu werden die Funktionen kf mit ( ) x

k exkxf 21

−⋅⋅= , 0≥x und 0>k , für den linken

Teil der Profillinien für 40 ≤≤ x verwendet und für 4≥x weiterhin eine Funktion der Form ( ) baxxg += mit entsprechenden Bedingungen (1) und (2) aus Teil c). Bestimmen Sie das Volumen der Birne in Abhängigkeit von k. Zeigen Sie, dass unabhängig von k die Birne nur bei 1=x ihre dickste Stelle haben kann und ermitteln Sie den Wert von k, für den die Birne genau so dick wie lang ist.

e) Für 3

160 ≤≤ x wird die Funktion h mit nochmals genauer an der

Stelle 4 betrachtet. Zeigen Sie, dass ⎩⎨⎧

≥≤

=4für)(4für)(

)(xxgxxf

xh

( )( )4|4 hW ein Wendepunkt ist, obwohl die Funktion h die Bedingung ( ) 04 =′′h nicht erfüllen kann. Erläutern Sie dies.



BE 13 2 7 13 5 40


Seite 28 von 32


Mathematik Leistungskurs CAS



Erwartungshorizont 1.1 für Lehrkräfte

Prüflinge.

Themen / Inhalte: Analysis (/ Analytische Geometrie* / Stochastik*)



Erwartungshorizont Die Beschreibungen der erwarteten Leistungen enthalten keine vollständigen Lösungen, sondern nur kurze Angaben. Hier nicht genannte, aber gleichwertige Lösungswege sind gleichberechtigt. Die aufgeführten Lösungswege zeigen immer nur eine Variante auf. Für andere Lösungswe-ge oder Lösungsansätze, die logisch dargestellt werden und zu richtigen Zwischen- oder Endergebnissen führen, sind die vorgesehenen Bewertungseinheiten (BE) entsprechend zu vergeben. Wird jedoch der dargestellte Lösungsweg vom Prüfling verwendet, so sind die BE in der angegebenen Weise aufzuteilen. Damit die Möglichkeit besteht, den eigenen didakti-schen Aspekten bei der Bewertung genug Raum zu geben, werden in der Regel die BE nicht kleinschrittig zugeordnet. Die Summe der BE pro Teilaufgabe – z. B. 1.1 a) – ist verbindlich. Sind Zwischenergebnisse nicht korrekt ermittelt worden und die sich auf diesen Zwischener-gebnissen aufbauenden weiteren Lösungswege schlüssig und nicht mit neuen Fehlern ver-sehen, so sind die BE entsprechend zu erteilen (Folgefehler). Dieses Vorgehen ist nicht an-zuwenden, wenn eine offensichtlich nicht sinnvolle Lösung unkommentiert bleibt oder der Lösungsweg durch den Fehler erheblich einfacher geworden ist. Die Verwendung von entsprechenden Operatoren in den Aufgabenstellungen erfordert vom Prüfling schriftliche Erläuterungen seiner Überlegungen. Bei der Bewertung dieser Erläute-rungen, auf deren Darstellung im Erwartungshorizont weitgehend verzichtet wird, kann die Lehrkraft ihren pädagogischen Spielraum nutzen und sich an ihrer bisherigen Unterrichtspra-xis orientieren. Im Erwartungshorizont wird teilweise auf formale mathematische Vollständig-keit verzichtet, wenn diese vom Schüler in der Regel nicht unbedingt zu erwarten ist. * keine Beispielaufgaben vorhanden

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Mathematik Leistungskurs mit CAS

Erwartungshorizont zu Aufgabe 1.1 CAS (Analysis): Volumen einer Birne

BE/AB Teil-auf-gabe


a) Nullstellenbestimmung mit ( ) 0=xf : 004 2

1

=⇔=⋅⋅−

xexx

. 2

Untersuchung auf relative Extrempunkte:

Angabe von ( ) 22

22'x

x

exx

exf−

−

−= und Angabe der Lösung zu

: 0)(' =xf 1022 22

=⇔=−−

−

xexx

xe xx

. 2

Angabe von ( ) x

exxx

xxf 2112 −

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=′′ , 02)1( 2

1<−=′′ −

ef ,

Schlussfolgerung, dass 1 eine relative Maximalstelle ist und Angabe

von ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

eH 41 .

3

Angabe von 04lim 2

1=⋅

−

∞→

x

xex und

von +∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

→ +

x

xex

x2112lim

0.

2

Zeichnung des Graphen von f:

4

b) Ansatz für das Rotationsvolumen: ,

Angabe von

( ) ∫∫ −⋅==4

0

2 16 dxexdxxfV xb

aππ

( ) 7,45≈516 44 −⋅= − eeV π 2

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BE/AB Teil-

auf-gabe


c) Begründung: bedeutet, dass die Profillinie der Birne für )4()4( fg =4=x ohne Sprung verläuft und )4(')4(' fg = bedeutet, dass kein

Knick auftritt. Angabe von bax

axg+

=2

)(' , Aufstellen des nicht line-

aren Gleichungssystems 284 −⋅=+ eba ∧ 2342

−⋅−=+

eba

a und

Angabe der Lösung . 4448 −− =∧ be 256e−=a 4

StielendecBirne VVV += ) . Berechnung der Nullstelle von g als obere Integrationsgrenze und Bestimmung von

5,23

128)316(164

44

316

≈=−= ∫e

dxxe

VStielendeππ . Angabe des Volumens

. 333 2,485,27,45 cmcmcmVBirne =+≈ 3

d) )4()4( kfg = und liefert )4(')4(' kfg = 224 −⋅=+ ekba und 2−⋅e 3−= ka

43

42−=

+k

baa , . 4242 16 −− =∧ ekbe

4

Volumen des Rotationskörpers für 40 ≤≤ x :

∫ −⋅⋅=4

0

2 dxexkV xπ ( )52=⇔ ⋅kV π 44 −⋅ − ee

Volumen für das Stielende: ∫ −⋅=3

16

4

2

4316(V

ek

St π )dxx =4

2

38

ek π

Volumen für die Birne: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

371e

⋅=+= 2kVVV StBirne π4

. 5

Lösung der Gleichung : 0)( =′ xfk 0

222 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−xk

xke

x1=⇔ x ,

also kann sich das relative Maximum nur an der Stelle 1 befinden.

Länge der Birne: 316=l . Die Birne besitzt an ihrer dicksten Stelle

1=x einen Durchmesser von ekfd k

2)1(2 =⋅= ;

Berechnung von ek 38= . 4

Seite 31 von 32



BE/AB Teil-auf-gabe


e)

Betrachtung von x

ex

xxxf 21

23

12)(''2 −

⋅−−

= und von

23

)316(

9)(''2

x

exg−

−=−

ergibt: 8

7)4(''2−

=ef und

89)4(''

2−−=

eg .

4 ist Wendestelle, da (Linkskrümmung) und ( ) 04 >′′f ( ) 04 <′′g (Rechtskrümmung), obwohl ( ) 04 =′′h nicht möglich ist. Feststellung, dass h an der Stelle 4 nicht zweimal differenzierbar ist und die Bedin-gung nur für mindestens zweimal differenzierbare Funktionen notwendig für Wendestellen ist.

( ) 0=′′ xh 5

Summen in den Anforderungsbereichen 15 20 5 Summe 40

Seite 32 von 32

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