TECHNISCHE MECHANIK 5(1984}Heft1

Manuskripteingang: 10. 3. 1983

MISES-Fließbedingung für Rotationsschalen

Albrecht Oschatz

0. Einleitung

Bei der Traglastberechnung für Flächentragwerke ist es

wie bei der elastischen Berechnung üblich, mit den

Schnittgrößen zu arbeiten. Die für die Spannungen vor-

liegende Fließbedingung wird deshalb in eine Form für

die Schnittgrößen überführt. Bei Rotationsschalen erge-

ben sowohl die Fließbedingung von Huber-v. Mises-

Hencky (HMH) als auch die Fließbedingung von Cou-

lomb-Tresca (CT) nichtlineare Fließbedingungen für die

Schnittgröfsen.

In der Praxis verwendet man deshalb 0ft Näherungs-

fließbedingungen mit auf der „sicheren Seite” liegen-

den Ergebnissen. Steigende Belastungen und Fragen der

. Materialökonomie erfordern aber eine immer genauere

Berechnung. Für die Traglastberechnung bedingt das die

Verwendung einer möglichst exakten Fließbedingung.

Bei dicken Schalen sind zusätzlich der Trapezeffekt, die

Querkraftschubsimnnung und die Normalspannung senk—

recht zur Schalenmittelfläche zu berücksichtigen.

l. Grundlagen

Wir verwenden das in Bild 1 angegebene Koordinaten—

system mit den Koordinaten s in Meridianrichtung, 19 in

Umfangsrichtung und z senkrecht zur Schalenmittel-

fläche. Die Krümmungsradien sind rs und rg, die Scha-

lendicke ist h.

Bei rotationssymmetn'scher Belastung existieren nur die

in Bild 2 angegebenen Schnittmomente ms, mg, die

Schnittkräfte ns, n19 und die Querkraft q.

Mit Berücksichtigung des Trapezeffektes ergeben sich

die Schnittgrößen aus den Spannungen US, 019 und T zu

Bild l

Schalengeometrie i

56

ms : _ f Os(l+—z——)zdz

h 1'19

_§

lh

IE z)dm19: —- g 1+—zzJ M rs

2

+_

nS = f os(1+z—)dz (1)

_E “9

2

h

+-

f2 (1 z)dI119: 019 +— z

_E ‘S

2

„h

E

1-D II I 1(1 +Z—)dz

J ‘19

2

Den Schnittgrößen sind die Geschwindigkeiten der

Krümmungen ks und [(19, der Dehnungen es und ca so—

wie der Winkeländerung dual zugeordnet. Im weite-

ren wird der Zusatz 7,Geschwindigkeit” bei den Verzer-

rungen weggelassen, da bei der Traglastberechnung diese

Größen selbst nicht auftreten und so eine Verwechslung

ausgeschlossen ist.

Fassen wir die Schnittgrößen und die Verzerrungen zu

Vektoren zusammen,

Bild 2

Schni» '"ößen

W = (ms, "119, "Sa Hai q)

(2)"2T H (ks, 1619, es, (2‘19,

so beträgt die Dissipationsarbeit je Flächenelement

W I E) I msks +m&k§+nsés+n6éfi+q.7

Die Beziehungen zwischen Schnittgrößen und Verzer-

rungen ergeben sich aus der Fließbedingung

(1)0713» m19, n57 Hiya 2 0

und dem assoziierten Fließgesetz von v. Mises

- 3(1) . - 8(1): )\ : A—

s öms es önS

_ ' ö<I>

7 = A5; (5)

. - 8(1) . -6q>: Ä— = —

K19 ömg 66 Äöng

Der Faktor x ist eine Funktion der Koordinate s (D 0).

2. Berechnung der

Schnittgrößen

Fließbedingung für die

Es gibt prinzipiell zwei Methoden, um aus einer Fließbe-

dingung für die Spannungen die Fließbedingung für die

Schnittgrößen herzuleiten. Sie basieren auf den bekann-

ten Traglastsätzen (statisch zulässiges oder kinematisch

mögliches System). Das Ergebnis ist eine Fließbedingung

für die Schnittgrößen und die Spannungsverteilung über

die Schaiendicke h. Die Spannungsfließbedingung ist da-

bei in jedem Punkt erfüllt, während die Gleichgewichts-

bedingungen und die Randbedingungen für die Span-

nungen nur im Mittel erfüllt werden, d. h. nur für die

Schnittgröläen.

Auch ohne Berücksichtigung des Trapezeffektes und des

Einflusses der Querkraft ist eine geschlossene Darstellung

der Fließbedingung für die Schnittgrößen in Form der

Gleichung (4) nicht möglich. Man erhält eine Parameter-

darstellung mit 3 Parametern. Das erschwert eine Trag—

lastberechnung außerordentlich. Deshalb benutzt man

häufig Näherungen für die Fließbedingung der Schnitt-

größen.

Erstens besteht die Möglichkeit, sich auf mathemati-

schem Wege eine geschlossene Näherungsfließbedingung

abzuleiten. In [l] findet man so eine Näherung für die

Kreiszylinderschale. Um die maximale Abweichung ge-

ring zu halten, befinden sich Teile der Näherungsfließ-

bedingung innerhalb und außerhalb der exakten Fließbe-

dingung. Für damit berechnete Traglasten ist von vom-

herein keine Aussage möglich, ob diese über oder unter

dem exakten Wert liegen.

Eindeutig innerhalb oder außerhalb der Fliefibedingung

liegende Näherungsfließbedingungen erhält man, wenn

bei deren Berechnung für die Spannungen oder die Ver-

zerrungen Näherungsansätze verwendet werden. Aller—

dings ist die Wahl geeigneter Näherungen für die Span-

nungen oder Verzerrungen schwierig, da das Ziel nicht

in einer Schranke für die Fließbedingung, sondern in

einer geschlossen darstellbaren Form besteht. Eine sehr

gute untere Schranke wird im Abschnitt 5. vorgestellt.

Gute Obere Schranken sind dem Autor nicht bekannt.

3. Berücksichtigung des Trapezeffektes und

der Querkraftschubspannung

3. I. Exakte Fliefibedingung

Zur Herleitung der Fließbedingung für die Schnittgrößen

wird die mit der Variation der Spannungsverteilung ar—

beitende Methode von Landgraf [2] benutzt. Mit der

Spannungsfließbedingung

2 2 2cI):03—05019+06+37'2—0F:0 (6)

lautet das Variationsproblem

+‚gä

. 2 z

+e — 1L<50+;5%h+ns

— 2

_ h (n+_

2

+ €19 —f 019(1+;—)dz+n8

s

. z+ _ 1+_ d +7 T( r19) z q

2+

fh #(Us —osaü+0ä+372— im

2

= Extremum

Für die Lagrangeschen Multiplikatoren sind in Glei-

chung (7) schon die ihnen entsprechenden Verzerrun-

gen eingesetzt. Aus den Eulerschen Variationsglcichun-

gen

II

oea+%n—ea+%wueeno>

kmhäw—oafaweo—o 0<eS S

57

_y(1+z_)+„(„ = 0

l'

und (6) ergeben sich die Spannungen zu

0 :°F 2a+bs .__.________

J5 ./az+ab+b2+cz

0F 2h+aa =—-—~__ 9a ()

fl \/a2+ab+b2+c2

1' "0F c

J5 \/a2+ab+b2+c2

mit

a = (—ksz+äs)(l+l%)

h = <—w+ea><1+—“)l's

_ l . z

C ‘ 5702;)

Durch Integration von (l) berechnet man aus (9) die

Schnittgrößen für den vollplastischen Zustand. Diese

Integration führt im allgemeinen Fall auf elliptische

Integrale und wird zweckmäßig numerisch ausgefiihrt,

+E (2a+b)(1+i)z0F 2 [‘19

ms = — f dz

\[3—_E \/a2+ab+b2+c2

2

h z+_ + „„F 2 <2b a>(1+r)z

m9 — f 5 dz

‘5 _E \/a2+ab+b2+c2

2

+2 (2a+b)<1+;f,;)

0F i

ns = f dz <10)fi_E\/32+ab+b2+c2

' 2

h z

+-2— (2b+a)(l+r—)

n0 = _ f _.______5___dz

V5 _ll-\/a2+ab+b2'+c2

2

h z+_ _

0F 2 c(1+1' )

q = dz

f

V5 _h \/a2+ab+b2+c2

2

(10) ist eine Parameterdarstellung für die Fließbedin-

gung der Schnittgrößen.

96’) = (N? (3?» (11)

58

bei der sich die Parameter ks, 16,9, es, ég‘und '7 nicht eli-

minieren lassen. Da sich der Verzerrungsvektor'ic) nur bis

auf einen Faktor bestimmen läßt, ist eine Normierung

zweckmäßig. Bei der Traglastberechnung ist die Beant-

wortung von zwei Fragen wichtig:

a) Wie groß ist der Auslastungsgrad v oder eine Ver-

gleichsschnittgröße bei einem gegebenen Schnittgrö-

ßenvektorir’o?

b) Welchen Wert hat eine Schnittgröße yk, damit bei

vorgegebenen Schnittgrößen yi (i at k) die Fließbe-

dingung erfüllt ist?

Beide Fragestellungen führen zu nichtlinearen Glei-

chungssystemen :

Falls) ‘y’o = v‘ am?) (12)

Fallb) yi = „(35) in (13)

Einige Probleme bei der numerischen Lösung dieser

nichtlinearen Gleichungssysteme werden im Abschnitt

3.4. behandelt.

3.2. Fliefibedingung ohne Trapezeffekt

Mit [1:715 = 0 ist die Integration von (10) ausführbar.

S .

Ohne Berücksichtigung der Querkraftschubspannungen

würde diese Lösung von Hodge [3] angegeben. Eine ähn-

liche Darstellung wie hier finden wir bei Duszek

(14)

0F _ _ ‚ . . .

ms : — 75— (2es + 60)“ _ (2K5 + ‚(0)12

m0 : _ 0—17- (es + 2ea)il _ (‚es + 2kö)i2

x/ä

„s = 1L (zés + ewio _ (2168 + k1,)i1\/§

n = 9L (es + 2&9“, _ (.2s + 2:21,)i1

x/ä

_ 0F 1 ..q — _ _

«ä 2 7 °

mit

_ 1 [ B+Ah B—Ah ]: .__ arsh — arsh

‘0 «X («Z ) («Z ’

. 1 B .l1 = X(W1—W2)-2j"o

i2 = _12 [(hA—6B)W1+(hA+6B)W2+(3B2—4AC)io]8A

_ .2 .. .2A —KS+KSI<I,+Kl9

U3 n —(2és + éflyes _ (2e;19 + es)‚el9

c = é:+ésé§+é3

‚5,2

‚PI!—

l> l

I

4A(C+D)—B2 > 0

W1=\/%;Ah2+—;—Bh+C+D

/1 1

3.3. Kanten in der Fliefibedingung

An Ecken oder Kanten sind bei gleichen Schnittgröfsen

verschiedene Verzerrungen möglich. Das führt zu Kom-

plikationen bei der numerischen Behandlung und soll

deshalb kurz untersucht werden.

Wir gehen von den Spannungen (9) aus und stellen die

Frage, unter welchen Bedingungen sich die Verzerrun-

gen ändern können, ohne daß sich andere Verläufe für

die Spannungen ergeben. Das ist genau dann der Fall,

wenn sich das Verhältnis zwischen den Zählern in (9)

und dem Nenner nicht ändert. Man erhält

'Y = 0

kséa—Ra'és Z 0 (15)

. h . rlesl 2 E [Ksl

h .I > —| l€8| 2 K19

Voraussetzung für das Auftreten einer Kante ist also das

Verschwinden der Querkraft. Berücksichtigt man den

Trapezeffekt, so ergibt sich kein linearer Spannungsver-

lauf und Momente ms # O und m0 * 0 sind möglich. "

Ohne Trapezeffekt tritt eine Kante nur bei konstanten

Spannungen OS und at? auf. Die Biegemomente sind bei—

de null. Für die Schnittkräfte gilt:

n: —nsnö+nä—o:h2 =0

(16)

ms=0 m19=0 q=0

3.4. Numerische Berechnungen

Geht man von den Verzerrungen aus, so ist die Berech-

nung der Spannungen nach (9) und der Schnittgrößen

nach (10) oder (l4) möglich. Bei der numerischen Inte-

gration von (10) ist zu beachten, daß bei Sonderfällen

der Nenner und der Zähler des Integranden gleichzeitig

null werden. Schon anschaulich ist klar, daß der dazu ge-

hörende Grenzwert existiert und endlich ist.

Eventuelle numerische Schwierigkeiten lassen sich umge-

hen, wenn in solchen Fällen der Integrationsbereich ge-

teilt und mit dem Verfahren von Gauss gearbeitet wird.

Für die Randpunkte sind dann keine Funktionswerte zu

berechnen.

Benutzt man für die Integrale i0, i1 und i2 in Formel

(14) die geschlossenen Ausdrücke, so ist in einigen Fällen

auch eine doppelt genaue Berechnung nicht ausreichend.

Dann muß entweder auf die numerische Integration zu—

rückgegriffen werden oder die Ausdrücke sind für diese

Sonderfälle in Reihen zu entwickeln. Größere numeri-

sche Probleme gab es bei der Lösung der nichtlinearen

Gleichungssysteme (12) und (13). Wesentlich für die

Konvergenz des‘erforderlichen Iterationsverfahrens ist

die Startlösung 3’0. Im Abschnitt 5. wird deshalb eine

gute Näherungsfließbedingung angegeben.

Zwei Verfahren wurden numerisch getestet, wobei keine

Aussage über die geringere Anzahl der Iterationen mög'

lich ist. Diese ist stark abhängig von den vorgegebenen

Schnittgrößen.

Beim ersten Verfahren werden die Schnittgrößen in

einen vom Trapezeffekt unabhängigen und einen abhän—

gigen Teil zerlegt

VG?) = 3’115?) +936") (17)

Die Schnittgrößen y’T ergeben sich als Differenz der

Schnittgrößen mit (Gleichungen (10)) und ohne (Glei-

chungen (14)) Trapezeffekt. Nimmt man für einen Itera-

tionsschritt an, dafi die Integrale i0, i1 und i2 und—37T

unabhängig von 1’ sind, so führt (12) oder (13) auf ein

lineares Gleichungssystem für 3?, wenn für y’U die Aus-

drücke (14) benutzt werden. Wenn das Verfahren sehr

langsam konvergiert, so ist eine Beschleunigung durch

die Einschaltung von Interpolationsschritten möglich.

Das zweite Verfahren besteht in der Linearisierung des

Gleichungssystems (12). Zur Startlösung 350 gehören die

Schnittgrößeny’o .

V = Vl70 + EG} —§<’0)} (13)

Die Koeffizienten der Matrix g bestimmt man nume-

risch, da y’ nur für diskretei> bekannt ist. Analog zu (12)

läßt sich das Gleichungssystem (13) lösen.

3.5. Beispiele

Um den Einfluß des Trapezeffektes und der Querkraft-

schubspannungen zu zeigen, sind im Bild 3 Spannungs-

verläufe und im Bild 4— Schnitte durch die Fließbedin-

gung angegeben.

4. Berücksichtigung der Normalspannung oz

Normalspannungen 0z infolge Druckbelastung pi oder pa

(Bild 5) haben auf die Traglast einen Einfluß in der glei-

chen Größenordnung wie die Querkraft und der Trapez.-

effekt. Eine Berücksichtigung in der Fließbedingung ist

nur näherungsweise möglich, da zur Berechnung von oz

aus den Gleichgewichtsbedingungen auch die Ableitun-

gen der Schnittgrößen benötigt werden. Der Ansatz

59

A Z/h

0.5-

05-

z/h

T/o’i

o_5 —

{Z/h

T/OJFJ‘5

_ 0'5-

-E

ar=§g

l 1.

Ä

QS‘

lz/h

T/dp

Es-

0,

s-

_1_F,

.i

'

7‘5'

2h’

‘5

_ 0'5-

60

“01

Bild 3

Spannungen mit Berücksichtigung des Trapechfektes und der

Querkraftschubspannungen

Bild 4-

Schnitte durch die Fließbedingung m6 : n0: 0

4a: h/rs = 0; h/rö: 0

4b: h/rs = —0,1; h/l'19= l

61

o‚=—pa<ä+%)—n<%—%> <19)

erfiillt die Randbedingungen.

Bild 5

Druckbelastung S

Wie in [5] gezeigt wird, führt die Abspaltung eines

hydrostatischen Spannungszustandes U = oz

as = a: + oz (20)

a - *+8‘019 oz

auf die Fließbedingung (10) für die Spannungen 0:, a;

und T. Wir setzen (20) in (1) ein und erhalten für die

Schnittgröfien zwei Anteile. Mit dem Index p sind die

druckabhängigen und mit * die Anteile gekennzeichnet,

die die Fließbedingung erfüllen

3% = r + v?

h2 h3

msp : E(P3_Pi) + 2741: (Pa+Pi)

h2 h3

map 2 ü‘Ü’a—Pi) + fi:(Pa+Pi)

up = -h (Pa + Pi) — ——h2 (Pa - Pi)(21)

s 2 12g,

2p : + . _ h

n p P) —— (p —p-)6 2 a I 12rS a 1

q" = 0

5. Näherungsfließbedingungen

5.1. Fliefibedingung von Landgraf/Wölfel

Ohne Trapezeffekt und Querkrafteinfluß ist eine sehr

gute Näherung die Fließbedingung von Landgraf/Wölfe].

Sie liegt innerhalb‘der exakten Fließbedingung. Die Ab-

weichung beträgt maximal 4,69 %. Zum gleichen Ergeb—

nis führten unterschiedliche Wege. Landgraf leitete diese

Fließbedingung aus der exakten Fließbedingung ab,

Wölfel ging von zwei Schichten mit konstanten Span-

nungen aus. Mit den Abkürzungen

2 _ l 2.n —-—_(ns._

2

n n + nV OF2h2 S l9 19)

62

2_16

m

2 2v — W (ms —— msmo + m19) (22a)

F

4 4 2

Ev ‘ i “2—3 [(st-ma)ns + (2ma—ms)“a]}o hF

lautet die Näherungsfließbedingung

_ 2 1 2 l ' 4 4 _q) — nv +—é‘mv "PEva +gv _‘l — 0

Soll der Querkrafteinfluß berücksichtigt werden, so ist

nv2 in (22) durch (23) zu ersetzen

2 lnv = _2—2—(ns2—nsn19 + n; + 3q2) (23)

0F h

5.2. Mit Trapezeffekt und Querkrafteinflufi

Mit einem schichtweise konstanten Ansatz für die Span-

nungen OS, 019 und einer konstanten Schubspannung T

kann auch der Trapezeffekt erfaßt werden (Bild 6).

Die Fließbedingung ist in jedem Punkt erfüllt:

2 i 2 2 -

(D1 = 081 — 0510191 + 001 + 312 — 0F -0

2 2 2 (24)

<I>2 = 082 — 052002 +0192 + 312 — 0F =0

Aus (1) folgen die Schnittgrößen

3

m z _"_s_1 9342+}. 1453)]S 2 -41 3119 8

°s2 h2 2 L L+53+ 2—[4‘_5 nah; ’

0191 h2 1 h3

"‘19 Z ‘ 7L“ ‘52" T (?_53)S

2 3

+ 02 h__ 2_-1_(h_+53)

2 4 1'5 8

(25)

n = 0 {h_5 i(h_2_52) ”

s SILZ 21-6 4

h 1 h2+ _+ __ __ 2

OS2[ 2133(4- 6)]

_ l hn — 0 —.—6+_ __ 219 191[ 2% ( 6)]

h 1 h2+ _+5__ ___ 2

OWL 2rs(4 5)]

q = 'r-h

Die Gleichungen (24) und (25) bilden die Fließbedin—

gung mit den Parametern 051, 032, 0191, 0192, 1' und Ö.

Eine geschlossene Elimination der Parameter ist nicht

Bild 6

Spannungsverteilung für Näherungsfließbedingung

möglich und deshalb eine numerische Berechnung not-

wendig.

Günstig ist dafür die Auflösung von (25) nach den Span-

nungen.

asl = 081(ms‚ns‚ö)

052 = 052 (ms,ns,5)

001: “191 ("10119157 (26)

002: 0192(m19ant9’5)

T = 701)

Die Fließbedingungen (24) ergeben dann zwei nicht-

lineare Gleichungen für die Sprungstelle ö und den Aus-

NIZ‘N

I

NI:

lastungsgrad v. Die Abweichung der Näherungsfließbe-

dingung von der exakten Fließbedingung wurde für vier

Fälle numerisch bestimmt und ist in der Tabelle ent-

halten.

h h '—h_:_=0 _=0‚E_=0‚1 £=h_=0,1 h_=0‚1;h_=_1

l's 1‘6 1'8 1'0 1'8 r0 I’s [‘19

im Mittel 3,49 % 3,50 % 3,49 % 4,14 %

maximal 6,27 0/0 6,67 % 6,37 % 11,79 o/cz

Tabelle Abweichung zwischen exakter und Näherungsfliefibedingung

_ = 0,10.5 -« i ’/

l.S

N N II" E. = _ 1/

Ir196 ex I I’ ex

5 r6 y’ <1> 'lex‘

l la ' h2f _ FI

m ~ 0,112

I’ l 'S

I I

. h2 „

l

m19 =

I

:ns = —0,608 OFh

I Y ä n = _0,366 h

-_...| 1 oj/ÖF '9 0Fq = 0

(bN:

v = 1,1164

ö = 0,07516 h

I\

\

I \

I \

l \\\

l s — 0‚.5 — Bild 7

Spannungsverläufe für die exakte und die Nähemngsfließ-

bedingung

63

Den relativ geringen Abweichungen für die Schnittgrö-

Ben stehen größere bei den Spannungen gegenüber.

Im Bild 7 sind für einen ausgewählten Fall Spannungs-

verläufe enthalten.

5.3. Verzerrungen

Zur Berechnung der Verzerrungen für einen gegebenen

Schnittgrößenvektor setzen wir (26) in die Fließhev

dingungen für die Spannungen (24) ein.

©1676)

‘1’26’7 5)

Aus (27) folgt die Fließbedingung für die Schnittgrößen

durch Eliminieren der Größe 8.

0

(27)0

‘1’1=0’\"ö = f1(3”)

'(28)

(1’2 = 0M5 I f2(37)

(1’6") : f1(3’))‘f2(37) : 0 (29)

Mit dem Fließgesetz (5) erhält man dann die Verzerrun-

gen

‚ . ö<I>1 6<I>2 ö<I>2 8<I>1

Xi ‘ M— ——‘aTi“a?‘) (30)

Die Verzerrungen lassen sich auch über die Variation des

Spannungszustandes (Abschnitt 3.1.) berechnen.

Variabel sind aber nur die Spannungen 051, 052, 0191,

0132, 7' und die Sprungstelle 8. Es entsteht ein nicht-

lineares Gleichungssystem mit 13 Gleichungen und 18

Unbekannten, von denen z. B. die fünf Schnittgrößen

vorgegeben werden können. Bis auf den Proportionali-

tätsfaktor X entsprechen die Ergebnisse der Gleichung

(30).

6. Rechenprogramme

Für alle aufgeführten numerischen Berechnungen existie-

ren an der Technischen Universität Dresden FORTRAN -

Programme für die Rechenanlage BESM 6. Sie werden

bei der i Traglastberechnung von‘ Rotationsschalen ge-

nutzt.

64

LITERATUR

[11

[2]

[3]

[4]

[5]

Wolf, P.: Traglastermittlung rotationssymmetrisch bela-

steter Kreiszylinderschalen bei Berücksichtigung des Tra»

pezeffektes und der Querkraftschubspannungen. Disser-

tation, TU Dresden, 1970.

Landgraf, G.: Aufstellung von Fließbedingungen für

Schnittgrößen von Flächentragwerken. ZAMM 48 (1968)

Heft 5, S. 317 —- 323.

Hodge, P. G. jr. The Mises Yield Condition for Rotatio-

nally Symmetric Shells. Quart. of Appl. Math., 18, 305,

1960.

Duszek, M. K.: Foundations of the Non-Linear Plastic

Shell Theory. Mitteilungen aus dem Institut für Mechanik,

Nr. 31, 1982, Ruin-Universität Bochum.

Oschatz, A.: Fließbedingung für Schalen mit Berücksich—

tigung der Normalspannungen Oz. Berichte aus der HFR

Festkörpermechanik: Festigkeitsprobleme und Material-

verhalten, Band A, Fachbuchverlag Leipzig 1982.

Anschrift des Verfassers:

Doz. Dr.-lng. Albrecht Oschatz

Technische Universität Dresden

Sektion Grundlagen des Maschinenwesens

8027 Dresden

Mommsenstraße 13