Modellierung und Kompetenzorientierung in der Statistik Frank Hauser 2010

Modellierung undKompetenzorientierung in der Statistik

Frank Hauser 2010

Modellierung und Kompetenzorientierung in der Statistik

• In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die Grundgesamtheit bekannt sowie deren stochastische Eigenschaften. Dadurch lassen sich Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen bestimmen...

• In der (beurteilenden) Statistik möchte man von ausgehenden Stichproben auf Eigenschaften und Größe einer unbekannten Grundgesamtheit oder Wahrscheinlichkeit schließen

Wo beginnt die Statistik...?

Klare Abgrenzung von der Wahrscheinlichkeitsrechnung:


Grundgedanken des Hypothesentests Die Schüler können anhand ihnen zugänglicher

Problemfelder selbst die Grundgedanken des Hypothesentests erarbeiten und aufgrund nachprüfbarer Eigenschaften der Grundgesamtheit ihre Ergebnisse validieren:

Dabei spielen folgende Problemfelder eine Rolle:

• Grundgesamtheit / Stichprobenumfang• Annahme / Ablehnungsbereich• Irrtumswahrscheinlichkeiten bei Tests • Signifikanzproblematik


• Alle Hypothesentests lassen sich auf das Grundmodell der Wahrscheinlichkeitsrechnung übertragen: dem Urnenmodell

Zurückführung auf das Urnenmodell

Grundgesamtheit: N

Gesamtheit der Testgröße: S

Stichprobenumfang: n

Testgröße innerhalb der Stichprobe: s

Problemfeld Schule als Experimentierfeld:


• Problematik Geschlechterfrage Die Schulleitung behauptet, der Mädchenanteil der Schule liegt bei mind. 60%...

• Wie könnten wir das überprüfen, ohne alle Mädchen der Schule zählen zu müssen... Oder wie ginge das, wenn der weibl. Anteil einer noch größeren Gruppe - etwa eines ganzen Landes - erfasst werden soll...?


Idee einer Stichprobe:

z.B. der eigene Mathematikkurs mit 24 S.: 14 Jungen, 10 Mädchen...

Ist damit schon sicher, dass die Aussage nicht stimmt oder stimmen kann...? Wie aussagekräftig ist eigentlich eine Stichprobe...?

Grundgesamtheit <-> Stichprobenumfang

Übersetzen ins Urnenmodell:z.B. N = 1000 Schüler (Gesamt) S = ?n = 24 s = 10


Welche Fehler kann man bei vorschnellem Reagieren machen und mit welcher Wahrscheinlichkeit werden diese dann gemacht...?

Irrtumswahrscheinlichkeiten <-> Fehler

Erster mögliche Fehler:

Angenommen, ich glaube nicht an die Aussage (mind. 60% Mädchenanteil), mit welcher W. irre ich mich?

binompdf(24,0.6,10) = 0,032 = 3,2%

Bzw. wenn man bedenkt, dass auch weniger als 10 Mädchen zu meiner gleichen Haltung geführt hätten:

binomcdf(24,0.6,10) = 0,053 = 5,3%


Zweiter mögliche Fehler:

Angenommen, die Aussage (mind. 60% Mädchenanteil), stimmt gar nicht, ich glaube aber dennoch an die Aussage...):

p = 1 - binomcdf(24,?,9) wobei ? der tatsächliche prozentuale Mädchenanteil ist.

Nimmt man als W. näherungsweise wieder 0,6 so erhält man p = 1 - binomcdf(24,0.6,9) = 97,8% (!)

Oder etwa nur 0,5 (50% Mädchenanteil) so erhält man immer noch

p = 1 - binomcdf(24,0.5,9) = 84,6% (!) ...


Hieraus folgt sofort eine Diskussion über Annahme- und Ablehnungsbereiche... und deren Auswirkungen auf die eben besprochenen Wahrscheinlichkeiten...

Annahmebereich <-> Ablehnungsbereich

Ebenso schließen sich hier Fragen an, wie die beiden Fehler miteinander korrelieren und von weiteren Parametern abhängen...

Fehler 1. Art <-> Fehler 2. Art



• Problematik JA-NEIN-Ratetest Der Lehrer prüft bei einem Abfragetest mit 20 Fragen Euer Wissen. Jede Frage ist nur mit JA oder NEIN zu beantworten. (“Ankreuztest“) Führt im Kurs einen solchen Test durch. Ein Teil des Kurses kreuzt nach Wissen, ein anderer durch Raten an.(z.B. Ankreuzen ohne durchzulesen...)

Erarbeiten Sie eine Strategie um herauszufinden, bei wie vielen richtigen Antworten der Lehrer über Wissen oder Raten entscheiden kann, wenn dieser eine bestimmte Irrtumswahrscheinlichkeit nicht überschreiten will...



• Problematik Abizeitung Um Kosten für die Abizeitung zu sparen bietet eine Druckerei einen Sonderpreis für den Druckauftrag an.Um dennoch eine gute Qualität zu gewährleisten (insbesondere der Bindung) wird ein Preisnachlass gewährt, sollte der Druckauftrag mehr als 10% unzureichend gebundene Exemplare enthalten.Man einigt sich auf eine Stichprobe von 20 Exemplaren. Ab welcher Anzahl „defekter“ Exemplare sollte man auf dem Preisnachlass bestehen, wenn man auf eine Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5% setzt?



• Problematik Mensa Die Mensa ging bisher davon aus, dass neben den fest vorbestellten Essen im Schnitt maximal 10% zusätzliche spontane Essensbestellungen anfallen...Planen Sie hierzu einen möglichen Test und legen Sie vor Entnahme der Stichprobe (Befragung) den Bereich fest, bei dem Sie die obige These verwerfen werden.Wie hoch sind die Fehlerwahrscheinlichkeiten?Aus wessen Sicht ist Ihr Annahme- bzw. Verwerfungsbereich sinnvoll?

Weitere einführende Fragen, die die Schüler an das Hypothesentesten heranführen könnten...:

Gesellschaftliches Umfeld als Experimentierfeld:


• Problematik: Theoretische Führerscheinprüfung• Das Straßenverkehrsamt geht von ca. 600

Standardverkehrssituationen aus, von denen ein Proband mindestens 550 beherrschen sollte. Da innerhalb eines Tests nicht alle Situationen abgefragt werden können, beschränkt man sich auf 50 zufällig ausgewählte Fragen. Um den Test zu bestehen, müssen mindestens 45 Fragen richtig beantwortet werden...

• Übertragen Sie dies in das Urnenmodell und diskutieren Sie, welche Fehler ein Test dieser Art birgt...Welcher dieser Fehler ist problematischer?

Gesellschaftliches Umfeld als Experimentierfeld:


• Problematik: Bürgerentscheid (z.B. zu Bauvorhaben)• Die Stadtverwaltung plant ein Bauvorhaben und

behauptet, dass mindestens etwa 70% der Einwohner das Projekt ebenfalls befürworten. Eine Bürgerinitiative dagegen ist davon überzeugt, dass der tatsächliche Prozentsatz deutlich geringer ist.

Sowohl die Stadtverwaltung als auch die Bürgerinitiative möchten ihre These mit Hilfe eines Tests belegen.

• Diskutiert nach welchen unterschiedlichen Kriterien der Test jeweils bewertet werden könnte...


• Ausgangsfrage: „Wie gut kann man den Zufall simulieren...?“ODER: „Kann ein Mensch glaubwürdig den Zufall hervorbringen...?“

• Selbständiges Entdecken des Grundprinzips des Hypothesentest anhand von Vermutungen über Abweichungen ihrer generierten Zufallszahlen vom “echten“ Zufall

• Artikel von Timo Leuders: PM - Praxis d. Mathematik i.d. Schule, Heft 4/2005

Mathematisches Umfeld als Experimentierfeld:


Kompetenzorientierter Gedanke• Die Schüler erstellen aus einem Ihrer überprüfbaren

Experimentierfelder ein statistisches Problem und formulieren hieraus eine Nullhypothese.

• Die Schüler planen einen Test, indem sie vor der Durchführung von Stichproben aufgrund ihres sinnvoll gewählten Signifikanzniveaus einen Ablehnungsbereich festlegen.

• Die Schüler lernen, dass ihre Entscheidung aufgrund des Stichprobenergebnisses mit Wahrscheinlichkeiten und möglichen Fehlern behaftet ist, die sich gegenseitig bedingen

• Durch Übersetzen in das Urnenmodell können die Schüler diese Wahrscheinlichkeiten berechnen

... Zum Abschluss ein Vergleich zur Vorgehensweise...

... Zum Abschluss ein Vergleich zur Vorgehensweise...


• Otto M. Kaiser: Testen von HypothesenETH Hochschule Zürich

• Timo Leuders: Den Zufall im GriffStochastische Vorstellungen entwickelnPM Praxis d. Mathematik i.d. Schule August 2005 Heft 4

• Artur Engel: Wahrscheinlichkeitsrechnung und StatistikKlett Studienbücher, Band 1, 1976

Quellen

Documents

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