Monte-Carlo Simulation

Dolga Olena Otto-von-Guericke-Universität

Fakultät für InformatikSeminar-Das virtuelle Labor

Inhaltsverzeichnis

• Überblick• Geschichte• Anwendung

-Bereiche-Spezielle Methoden

• Mathematische Perspektive-Integration-Optimierung-Inverse Probleme

• Zusammenfassung• Quellen

Überblick

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• The Monte Carlo method can be illustrated as a game of battleship. First a player makes some random shots. Next the player appliesalgorithms (ie. a battleship is four dots in the vertical or horizontaldirection). Finally based on the outcome of the random samplingand the algorithm the player can determine the likely locations of theother player's ships.

Geschichte• George Louis Leclerc, Graf von Buffon (*1707 - †1788) war eigentlich ein französischer

Naturforscher, der eine sehr berühmte und umfangreiche Naturgeschichte mit herrlichen Illustrationen geschrieben hat. Er befasste sich jedoch auch mit Wahrscheinlichkeitsrechnung: Von ihm stammt das sogannte Buffonsche Nadelproblem, das als die älteste Anwendung der Monte-Carlo-Methode gilt (1777).

• Buffon hat mit seinem Nadelproblem eine experimentelle Möglichkeit aufgezeigt, die Zahl zu bestimmen und deshalb in Expertenkreisen für Aufsehen gesorgt:

• Seine Versuche bestanden darin, auf dem Boden parallele Geraden zu ziehen und Nadeln darauf fallen zu lassen. Die Anzahl der Fälle m, in denen die Nadel eine Gerade kreuzt, bezogen auf die Gesamtzahl n der Würfe liefert einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit p, dass eine Nadel auf eine Gerade fällt:

• p ~ m/n.• Ist d der Abstand der Geraden und l<d die Länge der Nadeln, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit

für den Kreuzungsfall• p = 2*l / (*d).• Dies kann somit als Grundlage dienen, den Wert von Pi durch wiederholtes Werfen einer Nadel

zu bestimmen. Natürlich gibt es einfachere und genauere Verfahren, die Zahl zu bestimmen. Der Versuch zeigt jedoch, dass numerische Problemstellungen durch die Wahrscheinlichkeitsrechnung näherungsweise gelöst werden können. Heute wird die Monte-Carlo-Methode in der Numerik vor allem dann vorgezogen, wenn die Formulierung des stochastischen Modells einfacher ist als das mathematische Modell einer numerischen Lösungsmethode.

Geschichte• Der Begriff "Monte Carlo-Methode" entstand in den

1940er Jahren(Stanislaw Ulam,Enrico Fermi,John von Neumann and Nicolas Metropolis) als man im Zusammenhang mit dem Bau der Atombombe die Simulation von Zufallsprozessen erstmals in größerem Stil einsetzte, um die Wechselwirkung von Neutronen mit Materie theoretisch vorherzusagen. Die Bezeichnung ist eine Anspielung auf den für Glücksspiele bekannten Ort, da die Grundlage des Verfahrens Zufallszahlen sind, wie man sie auch mit einem Roulette-Rad erzeugen könnte.

Anwendung

• -Numerische Probleme,wie die Berechnung bestimmter Integrale oder Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen

• -Zuverlässigkeitsuntersuchung technischer Systeme

• -Probleme des Operations Research,wie Lagerhaltung- und Transportprobleme

• -Entscheidungsfindung im Investment Banking Bereich und vielen anderen

Spezielle Methoden

• -Direkte Simulation Monte-Carlo• -Dynamische Monte-Carlo Methode• -Kinetische Monte-Carlo Methode• -Quante-Monte-Carlo Methode

Mathematische Perspektive

• -Integration• -Optimierung• -Inverse Probleme

Zusammenfassung

• Monte-Carlo-Simulation wird heute in folgenden Bereichen genutzt: Physik,Informatik,Chemie,Biologie, Finanzen und vielen anderen.

• Auch in solchen großen Konzernen, wie z.B. General Motors, Procter and Gamble, und Eli Lilly .

Quellen• http://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_method• Simulation and the Monte Carlo Method Reuven

Y.Rubinstein,1981.• Monte Carlo.Concepts,Algorithms and

Applications George S.Fishman,1996.• Метод Монте-Карло на службе коммерческого

директора "Коммерческий директор" № 12, Декабрь 2006

• (Monte-Carlo-Methode im Dienste des Gescheftsführers. „Geschäftsführer“ Nr.12, Dezember 2006)

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