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Monte-Carlo-Verfahren nach GUM Supplement 1
Gerd Wübbeler
Physikalisch-Technische Bundesanstalt
260. PTB-Seminar, 21-22 März 2011
2260. PTB-Seminar, 21-22 März 2011
Inhalt
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Monte-Carlo Verfahren
Beispiele
Adaptive Monte-Carlo Verfahren
3
)(, 22 xux
)(,33
xux
)(, 11 xux
)(, yuy),,( 321 XXXfY
Schätzwerte
Unsicherheiten
Modell Schätzwert
Unsicherheit
260. PTB-Seminar, 21-22 März 2011
Warum GUM S1 ?
)()( 2
2
1
2i
N
i i
xux
fyu
),,( 1 Nxxfy
Einschränkungen seitens des GUM
Linearität des Modells
Annahmen über VerteilungenGUM S1
GUM
4260. PTB-Seminar, 21-22 März 2011
Bayessche Datenanalyse
MessgrößeSchätzwert(Messergebnis)
Unsicherheit
Messdaten
Modell
weitere Information
Quantitative Beschreibung der Kenntnis über die Messgröße via PDF
Numerische Berechnung der PDF mittels Monte Carlo Verfahren
Wahrscheinlichkeitsdichte PDF
5260. PTB-Seminar, 21-22 März 2011
Modell
PDFs der Eingangsgrößen
Transformation von Zufallsvariablen
Berechnungsmethode: Monte-Carlo Methode (MCM)
- i.i.d. Samples aus der Verteilung (PDF) der Messgröße
- Anwendbar in vielen Fällen (nichtlineare Modelle)
GUM S1: Fortpflanzung von Verteilungen
6260. PTB-Seminar, 21-22 März 2011
ns
xt
nsxxp nn
//
1),,|( 11
Skalierte und verschobene t-Verteilung
mit Freiheitsgraden 1n
Festlegung von Verteilungen
Messwerte aus
Gauss-Verteilung
nxx ,,1
n
i
ixn
x1
1n
i
i xxn
s1
22 )(1
1
InformationInformation PDF
t-Verteilung
n=4
7260. PTB-Seminar, 21-22 März 2011
Festlegung von Verteilungen
Gleichverteilung über [a,b]
Gauss-Verteilung
bxa
x̂ )ˆ(ˆ xux)ˆ(ˆ xux
)ˆ(,ˆ xux
Tabelle 1 im GUM S1
Information PDF
9260. PTB-Seminar, 21-22 März 2011
GUM S1 : Fortpflanzung von Verteilungen
ξξξX d)]([)()( fggY
))(()()()( Txxξxξ fff GUM-Formeln
Lineare Näherung der Modell-Funktion
10260. PTB-Seminar, 21-22 März 2011
321 XXXY
Ziehungen
Monte-Carlo Methode
M=1e5;
x1=5+randn(M,1);
x2=1+rand(M,1)+rand(M,1);
x3=1+rand(M,1);
y=x1.*x2.*x3;
hist(y,100);
11260. PTB-Seminar, 21-22 März 2011
MessgrößeSchätzwert(Messergebnis)
Unsicherheit
Vertrauensintervall
Ergebnis der MCM
12260. PTB-Seminar, 21-22 März 2011
Vergleich: GUM - GUM S1
22
21 XXY
121 xx
1)()( 21 xuxu
Resultate von GUM und GUM S1 können unterschiedlich sein
GUM S1 im Zweifelsfall verbindliche MU Methode
Überdeckungsintervalle (95%)
GUM GUM S1
Schätzwert 1.41 1.81
Unsicherheit 1.00 0.845
Modell
Schätzwerte
Unsicherheiten
Gauss-Verteilungen(unkorreliert)
13260. PTB-Seminar, 21-22 März 2011
Vergleich: GUM - GUM S1 mit Korrelation
22
21 XXY
121 xx
1)()( 21 xuxu
Resultate von GUM und GUM S1 können unterschiedlich sein
GUM S1 im Zweifelsfall verbindliche MU Methode
Modell
Schätzwerte
Unsicherheiten
Gauss-Verteilungen(korreliert)
8.0
Überdeckungsintervalle (95%)
GUM GUM S1
Schätzwert 1.41 1.71
Unsicherheit 1.34 1.04
14260. PTB-Seminar, 21-22 März 2011
IUR /
1 V und 2 A Gleichverteilungen(unkorreliert)
Monte-Carlo Methode (MCM)
A12
001.0 V,
12
001.0
Vergleich: GUM - GUM S1
Modell
Schätzwerte
Unsicherheiten
Digitalmultimeter
15260. PTB-Seminar, 21-22 März 2011
Adaptive Monte-Carlo Verfahren
Ziel Durchführen der MCM bis eine gewählte Genauigkeit mit
einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit erreicht ist
(mit möglichst wenigen Ziehungen)
Monte-Carlo Resultate weisen i.A. zufällige Schwankungen auf
Spezifikation der Genauigkeit der Ergebnisse notwendig
Adaptive Monte-Carlo Verfahren
17260. PTB-Seminar, 21-22 März 2011
)1,0(~ NX i
Gesucht
Abbruchkriterium zum Erreichen
einer spezifizierten Genauigkeit
Adaptive Monte-Carlo Verfahren
18260. PTB-Seminar, 21-22 März 2011
• Zweistufiges Schema nach Stein
• Spezifizierte Genauigkeit beweisbar
Alternatives Adaptives Verfahren
Adaptives Verfahren nach GUM S1 (7.9) nicht optimal
19260. PTB-Seminar, 21-22 März 2011
+ MCM flexibles Werkzeug zur Berechnung von Messunsicherheiten,
insbes. für nichtlineare Modelle und beliebige Verteilungen
+ GUM S1 im Zweifelsfall verbindliche MU Methode
+ GUM als Spezialfall enthalten (Linearisierung)
Fazit: Chancen und Risiken
- Monte-Carlo Ergebnisse selbst unsicher
- Messunsicherheitsbudget erfordert zusätzliche Berechnungen
- Weitergabe von Verteilungen nicht geregelt