Muster und Strukturen€¦ · Themen auf Kompetenzen aus der Auseinandersetzung mit Mustern und Strukturen ... Muster und Strukturen in den mathematischen Lernbereichen ... Texte,

Ergänzende Informationen zum LehrplanPLUS

Grundschule, Mathematik, Jahrgangsstufen 1/2 und 3/4

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Muster und Strukturen

Stand: 22.03.2018

1. Begriffsklärung

2. Bedeutung des Inhaltsbereichs „Muster und Strukturen“ für den Unterricht

3. Musterfolgen

3.1. Fortsetzen einer arithmetischen Zahlenfolge 1/2

3.2. Fortsetzen einer geometrischen Musterfolge 3/4

4. Muster und Strukturen in den mathematischen Lernbereichen

4.1. Geld zerlegen 1/2

4.2. Taschengeldmodelle 3/4

4.3. Wie viele Streichhölzer sind es? 1/2

4.4. Parkettierungen 3/4

4.5. Kernaufgaben der Multiplikation 1/2

4.6. Wir rechnen in einem anderen Zahlsystem 3/4

4.7. Strukturierung der Minusaufgaben mit Zehnerübergang 1/2

5. Literatur

Muster und Strukturen sind als übergreifendes Prinzip das Fundament für alle

Inhaltsbereiche des Mathematikunterrichts und der Mathematik als Wissenschaft. Deshalb ist

der Inhaltsbereich „Muster und Strukturen“ - im Gegensatz zu den Bildungsstandards im

Fach Mathematik für den Primarbereich - im LehrplanPLUS nicht als eigenständiger

Inhaltsbereich ausgewiesen, sondern durchdringt als didaktisches Grundprinzip alle anderen

Inhaltsbereiche.

„Mathematikunterricht ist so zu gestalten, dass die Grundschulkinder bei allen inhaltlichen

Themen auf Kompetenzen aus der Auseinandersetzung mit Mustern und Strukturen

zurückgreifen können.“1

1. Begriffsklärung

In der Literatur werden die Begriffe „Muster“ und „Struktur“ vielfach synonym verwendet.

Dennoch sind Nuancen in den Begrifflichkeiten zu unterscheiden.

Unter Struktur versteht man den Kern eines mathematischen Beziehungsgefüges und

dessen Eigenschaften. Struktur ist also die Art und Weise, wie die Teile eines Ganzen

miteinander verbunden sind. Am Beispiel der Würfelnetze lässt sich eine mathematische

Strukturierung exemplarisch verdeutlichen. Der Inhalt wird systematisch geordnet und

mathematische Zusammenhänge erkennbar.

1 Erläuterung zum Textabsatz „Muster und Strukturen“, LehrplanPLUS Grundschule, Fachprofil Mathematik



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Würfelnetze mit Viererstreifen

Dreierstreifen

Zweierstreifen

Ein mathematisches Muster stellt auch eine Beziehung zwischen Zahlen, Formen,

Funktionen, etc. dar. Muster sind besonders gekennzeichnet durch Regelmäßigkeit oder

Wiederholungen, sie lassen sich oftmals fortsetzen, und es lassen sich zum Teil

Vorhersagen treffen, wie ein Muster fortgeführt werden kann.

Muster dienen dazu auch diejenigen Teile eines mathematischen Sachverhalts sichtbar oder

herstellbar zu machen, die man in den gegebenen Situationen nicht sieht („Muster

fortsetzen“).

Anzahl der

Kinder 1 3 5 10 20 27

Eintrittspreis 3€ 30€

Wie die Beispiele zeigen, sind Muster und Strukturen eng aufeinander bezogen. Von der

Wortherkunft sind Muster ähnlich „Probestücken“ und Strukturen ähnlich „Bauplänen“. Je

nach Aufgabenstellung kann das Muster oder die Struktur mehr im Vordergrund stehen.

2. Bedeutung des Inhaltsbereichs „Muster und Strukturen“ für den

Unterricht

Das Denken in Mustern und Strukturen bedeutet eine entscheidende Steigerung der

Denkökonomie. Je besser ein Kind Zahlen, Rechnungen, Formen, einzelne

Wissenselemente und Fertigkeiten vernetzen kann, desto geringer wird sein Gedächtnis

belastet. Erkannte Gesetzmäßigkeiten können auf andere Fälle mit vergleichbaren

mathematischen Voraussetzungen übertragen werden.

Kinder setzen sich im Mathematikunterricht von Beginn an mit Mustern und Strukturen

auseinander und nutzen diese zunehmend selbständig zur Lösung mathematischer

Probleme.



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Vor allem bei der Förderung leistungsschwächerer Kinder können Einsichten in Muster

zu ökonomischerem Denken und Lernfortschritten führen.2

Bei der Diskussion von Mustern und Strukturen werden insbesondere die

prozessbezogenen Kompetenzen „Darstellen“, „Argumentieren“ und „Kommunizieren“

gefordert und gefördert.

3. Musterfolgen

Bei Musterfolgen wiederholen sich Elemente nach einer bestimmten Regel. Man

unterscheidet:3

sich wiederholende Musterfolgen: Eine Grundeinheit wird unverändert aneinandergereiht

(z.B. a b c a b c a b c). Dieser „Stempel“ (abc) wird von den Schülerinnen und Schülern

erkannt und die Folge entsprechend weitergeführt.

wachsende Musterfolgen: Eine Grundeinheit verändert sich bei jeder Wiederholung

systematisch, z.B.

Musterfolgen sind nicht eindeutig fortsetzbar, wenn nur die Anfangselemente gegeben sind.

Beispiel:

Viergliedriges Grundelement wird wiederholt.

Dreigliedriges Grundelement wird wiederholt, der Kreis wird als Beginn der nächsten Einheit gedeutet.

Die prinzipielle Mehrdeutigkeit von Folgen wird mit den Schülerinnen und Schülern reflektiert.

Sie erkennen, dass dem Problem der Mehrdeutigkeit begegnet werden kann, indem

die Regel benannt wird.

mehrere Folgeglieder sowie das Zielelement vorgegeben werden.

2 Vgl. Müller, Wittmann: Muster und Strukturen als fachliches Grundkonzept des Mathematikunterrichts der Grundschule, S.66 f. 3 vgl. Lüken S. 25 ff.



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3.1. Fortsetzen einer arithmetischen Zahlenfolge 1/2

Kompetenzerwartungen

M 1/2 1 Zahlen und Operationen

M 1/2 1.2 Im Zahlenraum bis Hundert rechnen und Strukturen nutzen

Die Schülerinnen und Schüler

erkennen, beschreiben und entwickeln arithmetische Muster (z.B. fortgesetzte Addition einer Zahl, gleich- und gegensinniges Verändern) und setzen diese folgerichtig fort.

Aufgabe

Die Schülerinnen und Schüler setzen eine arithmetische Zahlenfolge fort, beschreiben ihre Vorgehensweise und notieren die Regel. Durch den Vergleich der Ergebnisse wird deutlich, dass Musterfolgen nicht eindeutig fortsetzbar sind.

Die Lehrkraft stellt verschiedene Anfangselemente zur Verfügung, die zu einer Musterfolge fortgesetzt werden sollen.

2 4 2

2 4 6

10 9 12 11

12 16 15 19

Kompetenzorientierter Impuls: Setze eine Zahlenfolge fort. Beschreibe das Muster.

Hinweise zum Unterricht

Zahlenfolgen stellen ein motivierendes Aufgabenformat dar, um zum einen die Rechenfertigkeit und -fähigkeit im Zahlenraum bis 20 bzw. bis 100 zu festigen und zum anderen das Muster- und Strukturverständnis der Schülerinnen und Schüler anzubahnen und zu fördern.

Die Schülerinnen und Schüler lösen die Aufgabe zunächst in Einzelarbeit und vergleichen anschließend mit Kindern, die dieselbe Aufgabe gewählt haben, ihre Ergebnisse. Im Klassenverband werden die unterschiedlichen Fortsetzungen reflektiert:



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Die Ziffern 2 und 4 werden wiederholt.

Entsprechend der Regel „+2 und -2“ werden alle Folgeelemente berechnet.

Mögliche Reflexionsinhalte:

Die Regel der Musterfolgen differiert. Bei einigen werden die gegebenen Zahlen

wiederholt. Andere berechnen die Folgeglieder.

Die Lehrkraft präsentiert evtl. folgende Musterfolgen als Provokation:

2 4 6 _ _ _ 14 2 4 6 _ _ _ _ _ (Regel: +2)

Die Schülerinnen und Schüler argumentieren, dass die Fortsetzung nicht mehr beliebig ist, wenn eine Zielzahl oder eine Regel vorgegeben ist.

Hinweise zum weiteren Lernen

Finde ein eigenes Muster. Beschreibe die Regel.

Markiere den Fehler in der Musterfolge.

20,19,17,16,14,12,11 Lina sagt: „Das ist keine Musterfolge“. Hat sie Recht? Begründe.

1,3,2,4,3,5,4,6,5 Bestimme die Regel und übersetze sie in eine neue Musterfolge.

5,10,9,14,13,18,17

Bestimme die Regel dieser Musterfolge: 4 7 6 9 8 _ _ _ _ 15

Finde für diese Regel eine neue Musterfolge.

Die Erkenntnisse, die an arithmetischen Musterfolgen gewonnen wurden, werden auf geometrische Musterfolgen übertragen.



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3.2. Fortsetzen einer geometrischen Musterfolge 3/4


M 3/4 2 Raum und Form

M 3/4 2.4 Geometrische Muster untersuchen und erstellen


bestimmen und erklären Gesetzmäßigkeiten (z.B. achsensymmetrische Teilelemente) in Bandornamenten, verändern diese oder setzen sie fort.

Aufgabe

Die Lehrkraft stellt zwei Anfangselemente zur Verfügung, die zu verschiedenen Musterfolgen fortgesetzt werden sollen.

Kompetenzorientierter Impuls: Setze das Muster fort. Finde verschiedene Fortsetzungen und notiere jede Möglichkeit auf einem eigenen Papierstreifen.

Kompetenzorientierter Impuls: Vergleicht eure Musterfolgen.


Aufbauend auf den Erfahrungen und Erkenntnissen bezüglich von Musterfolgen in den Jahrgangsstufen 1/2 erfinden die Schülerinnen und Schüler eigene Musterfolgen zu einer Vorgabe und unterscheiden sich wiederholende und wachsende Musterfolgen. Sie lösen die Aufgabe zunächst in Einzelarbeit. In der Gruppe werden die Möglichkeiten verglichen.

Im Klassenverband werden die unterschiedlichen Fortsetzungen reflektiert:

Beispiel a) zählt zu den wachsenden Musterfolgen

Beispiele b) und c) sind den sich wiederholenden Musterfolgen zuzuordnen.

Mögliche Reflexionsinhalte

Die Schülerinnen und Schüler argumentieren, dass bei einigen Musterfolgen eine sich wiederholende Grundeinheit (analog eines Stempels) bestimmt werden kann.



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Bei einigen lässt sich keine Grundeinheit bestimmen, da es sich um eine wachsende

Musterfolge handelt. Die Einheiten ändern sich und wachsen nach einer bestimmten

Regel.

Vorgegebene Musterfolgen werden nach sich wiederholenden und wachsenden sortiert.

Bei sich wiederholenden wird das Grundelement markiert. Bei den wachsenden werden

weitere Einheiten gezeichnet.


Erfinden eigener Musterfolgen zu beiden Arten.

Erstellen von Bandornamenten als sich wiederholende Musterfolgen

Kompetenzorientierter Impuls:

Teile mehrere Quadrate (Seitenlänge 10 cm) in je 4 rechtwinklige Dreiecke.

Lege mit diesen unterschiedliche geometrische Muster und zeichne sie auf. 4

Nach der Bestimmung der Grundeinheit können Vorhersagen zu Folgegliedern getroffen

werden.

Die Grundeinheit besteht aus drei Elementen. An 3., 6., 9., 12., … Stelle befindet sich als

letztes Element der Grundeinheit immer ein Rechteck.


Welches Element ist an 25./50./100.Stelle der sich wiederholenden Musterfolge? Begründe.

Die Schülerinnen und Schüler erhalten komplexere geometrische Folgen. Die Regel

besteht aus mehreren Vorschriften.


Bestimme die Regel und übersetze sie in eine neue Musterfolge.

4 Vgl. Marianne Franke, Simone Reinhold: Didaktik der Geometrie in der Grundschule, 3. Auflage, 2016, S.293.



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Zusammenhänge zwischen einer geometrischen und einer arithmetischen Musterfolge herstellen und nutzen

Wie viele Kugeln braucht man für die 20. Figur?



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4. Muster und Strukturen in den mathematischen Lernbereichen

4.1. Geld zerlegen 1/2


M 1/2 3 Größen und Messen

M 1/2 3.2 Größen strukturieren und Größenvorstellungen nutzen

Die Schülerinnen und Schüler ...

ordnen Geldscheine und Münzen nach dem jeweiligen Wert, wechseln Geldbeträge und stellen sie auf unterschiedliche Weise dar (z. B. 10 € dargestellt als fünf 2 €-Münzen oder als ein 5 €-Schein, drei 1 €-Münzen und eine 2 €-Münze etc.).

Aufgabe

Die Schülerinnen und Schüler sollen mögliche Zusammensetzungen von Scheinen und/oder Münzen zu einem vorgegebenen Endbetrag durch ein möglichst geschicktes Vorgehen ermitteln. Die dabei gemachten Entdeckungen werden verbalisiert. Die Lehrkraft gibt zur Verfügung stehende Münzen sowie einen Geldbetrag vor. Dieser soll von den Schülerinnen und Schülern zer- bzw. gelegt werden. Die unterschiedlichen Vorgehensweisen werden anschließend reflektiert, die Vorteile eines systematischen Vorgehens entdeckt.

Kompetenzorientierter Impuls: Du hast 1-Euro- und 2-Euro-Münzen. Lege damit immer 10 Euro. Wie viele Möglichkeiten findest du? Beschreibe dein Vorgehen.


Die Schülerinnen und Schüler legen mögliche Zerlegungen mit Spielgeld. Sie notieren diese und ihr Vorgehen. In Gruppen werden die gefundenen Kombinationen auf Papierstreifen notiert und durch Sortieren auf Vollständigkeit überprüft.

1 2



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Systematisches Vorgehen durch das schrittweise Wechseln von 1-Euro-Münzen in 2-Euro-Münzen

Unsystematisches Vorgehen


Vergleiche die Anzahl der Münzen.

Die Schülerinnen und Schüler verbalisieren, dass mit der Verwendung von 1-Euro-Münzen die Gesamtanzahl der Münzen steigt bzw. mit der Verwendung von 2-Euro-Münzen die Gesamtzahl der Münzen sinkt.

Verschiedene Zerlegungssysteme der einzelnen Gruppen werden vorgestellt und

verglichen. Dabei werden Tauschprozesse (z.B. eine 2-Euro-Münze in zwei 1-Euro-

Münzen) benannt.

Vergleiche diese beiden Lösungsmöglichkeiten.

Es werden jeweils drei 2-Euro-Münzen und vier 1-Euro-Münzen verwendet. Es ist

dieselbe Möglichkeit, obwohl die Münzen unterschiedlich angeordnet sind.

Tom hat alle Lösungen gefunden. Erkläre, wie ihm das gelungen ist.

Entscheide dich für einen geschickten Lösungsweg. Begründe.


Durch Änderung des Gesamtbetrags und/oder der zur Verfügung stehenden Münzen kann das Aufgabenniveau variiert werden.

Sachproblem →Modellieren Peter wünscht sich ein Spiel für 20€. Eine Münze und einen Geldschein hat er schon. Wie viel muss er noch sparen? Unterschiedliche Lösungen werden systematisch in einer Tabelle aufgezeigt.



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Münzen/ Scheine Wie viel €

hat er schon?

Wie viel € muss er noch

sparen?

5,01€ 14,99€

5,02€ 14,98€

5,05€ 14,95€

4.2. Taschengeldmodelle 3/4


M 3/4 Zahlen und Operationen

M 3/4 1.3 Sachsituationen und Mathematik in Beziehung setzen

Die Schülerinnen und Schüler...

entnehmen relevante Informationen aus verschiedenen Quellen (z.B. aus Texten oder Tabellen) und formulieren dazu mathematische Fragestellungen.

entwickeln, nutzen und bewerten geeignete Darstellungsformen (z.B. Skizzen, Begriffstripel, Texte, Tabellen, Diagramme) für das Bearbeiten mathematischer Probleme.

Aufgabe

Aufgabe der Schülerinnen und Schüler ist es, drei vorgegebene Taschengeldmodelle zu vergleichen und sich für eines begründet zu entscheiden. Ersten spontanen Einschätzungen folgen ausführliche Vergleiche, auf deren Grundlage begründete Entscheidungen für oder gegen ein Taschengeldmodell getroffen werden können.5 Kompetenzorientierter Impuls: Für welches Taschengeldmodell entscheidest du dich? Vergleiche und begründe!

Beispiel:

5 Vgl. Cottmann



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Leicht lassen sich die Schülerinnen und Schüler nach der Vorstellung der drei Modelle von offensichtlich größeren Startbeträgen täuschen. Diese spontanen Reaktionen sollten verschriftlicht werden, da sie später einen wertvollen Anhaltspunkt für die Reflexion darstellen:

„Auf den ersten Blick würde ich mich für Möglichkeit __ entscheiden, weil...“

Schülerbeispiel:

In Einzelarbeit untersuchen die Schülerinnen und Schüler die Taschengeldmodelle nun genauer. Die Arbeit mit einer Tabelle wurde dabei nicht vorgegeben, sondern in der Reflexion als geeignete Darstellungsform herausgestellt.



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Die wöchentlichen Einnahmen werden über eine große Zeitspanne berechnet und markierte Stellen werden kommentiert. (Anmerkung: In der 18. Woche wird der Betrag in Modell c zu früh verdoppelt.)


Bleibst du bei deiner ersten Entscheidung? Begründe!

Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass bei der Entscheidung für ein

Taschengeldmodell die Laufzeit eine entscheidende Rolle spielt. Je nach gewähltem

Zeitraum kann der wöchentliche Betrag bei Modell a, b oder c höher sein.

Im Vergleich unterschiedlicher Schülerlösungen werden geeignete Darstellungsformen

(z.B. Tabelle) aufgegriffen:

Um genau und schnell vergleichen zu können, ist es wichtig, geschickt vorzugehen. Zeige Lösungsbeispiele, bei denen das gelungen ist. Begründe.

Bei welchem Modell hast du nach 4/8/12 Wochen am meisten Geld bekommen?


Erfinde eigene Taschengeldmodelle und vergleiche sie!

Ina bekommt Modell a, Gerd Modell b. Beide sparen ihr Taschengeld. Nach wie vielen

Wochen haben beide gleich viel in ihrem Sparschwein?

Überlege dir ein eigenes Taschengeldmodell, von dem du deine Eltern überzeugen

möchtest.

Beispiel: Ich bekomme 50 Cent pro Woche, jede zweite Woche steigt es um 50 Cent und

jede dritte Woche sinkt es um 25 Cent.



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4.3. Wie viele Streichhölzer sind es? 1/2


M 1/2 2 Raum und Form



bestimmen und beschreiben Gesetzmäßigkeiten (z. B. Wiederholungen) in geometrischen Mustern und setzen diese fort.

Aufgabe

Ziel dieser Aufgabenstellung ist es, die Anzahl der benötigten Streichhölzer eines vorgegebenen Rechtecks möglichst geschickt zu bestimmen. Das Rechteck ist untergliedert in eine Vielzahl von Quadraten, welche durch Streichhölzer gelegt werden sollen. Benachbarte Quadrate „teilen“ sich ein Streichholz als Seitenlinie. Streichhölzer können für eine enaktive Umsetzung bereitgestellt werden.

Kompetenzorientierter Impuls: Wie viele Streichhölzer benötigst du? Finde eine möglichst geschickte Lösung. Schreibe, zeichne und rechne.


Durch einen reflexiven Vergleich von Schülerbeispielen können geschickte Lösungen identifiziert und als Anregung betrachtet werden.

Die Streichhölzer werden gezählt und anschließend durchgestrichen.



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Zunächst werden die äußeren Streichhölzer gezählt, anschließend die inneren addiert.


Beschreibe deinen Lösungsweg. Vergleiche ihn mit dem eines anderen Kindes.

Begründe, welche Lösung du geschickt findest.

Hast du einen Tipp? Schreibe ihn auf.


Die Rechtecke und somit die Zahl der Quadrate können beliebig erweitert werden.

Das rein zählende Rechnen, also das Abzählen von Einzelelementen, ist bei wachsender Anzahl der Quadrate keine brauchbare Strategie mehr, um Anzahlen zu bestimmen. Vielmehr sollten die Schülerinnen und Schüler die zu zählenden Elemente strukturieren und diese Teilmengen addieren, also rechnend zählen.6

Das Rechteck wird in sieben senkrechte Linien mit jeweils 16 Streichhölzern und 17 waagrechten Linien mit jeweils sechs Streichhölzern zerlegt.

Paul behauptet: „Ich brauche für zwei Quadrate 7 Streichhölzer.“ Lisa dagegen sagt: „Ich brauche 8 Streichhölzer für zwei Quadrate.“

Wer hat Recht? Begründe.

6 Vgl. Wittmann/Müller: Das Zahlenbuch Frühförderung. Handbuch: S. 15.



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Bestimme die Anzahl der Streichhölzer geschickt.

Vergrößere das Dreieck. Wie viele neue Dreiecke brauchst du? Wie ändert sich die

Anzahl der Streichhölzer?

3 9 18

4.4. Parkettierungen 3/4


M 3/4 Raum und Form


Die Schülerinnen und Schüler...

erstellen Parkettierungen und beschreiben deren Gesetzmäßigkeiten.

Aufgabe

Mit Hilfe einer Zeichenuhr erstellen die Schülerinnen und Schüler verschiedene regelmäßige Vielecke (Dreieck, Quadrat, Fünfeck, Sechseck, Achteck). Eine Zeichenuhr ist in 60 Abschnitte („Minuten“) unterteilt (z.B. http://www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Vorlesungen/Grundschule/Geometrie_GS/Aufgaben%20SS10/Aufgabenblatt%205_vielecke.pdf vom 14.03.2018). Mit ihr können regelmäßige Vielecke erstellt werden. Unterteilt man z.B. den Kreis in vier Abschnitte zu je 15 Minuten, so entsteht ein Quadrat.

Mit diesen Vielecken sollen nun verschiedene Parkette (periodische, lückenlose und überlappungsfreie Auslegung einer Ebene) aufgezeichnet werden.

Kompetenzorientierter Impuls: Zeichne ein Parkett aus Vielecken7. Berichte über dein fertiges Parkett: Kann man aus diesem Vieleck ein Parkett legen? Begründe.

7 Hinweis: Der Begriff „regelmäßig“ muss nicht zwingend in die Aufgabenstellung aufgenommen werden, da über die Konstruktion mit der Zeichenuhr nur regelmäßig Vielecke entstehen.

http://www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Vorlesungen/Grundschule/Geometrie_GS/Aufgaben%20SS10/Aufgabenblatt%205_vielecke.pdf





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Sinnvoll ist es, die Vielecke auf Karton bzw. Tonpapier aufzuzeichnen und auszuschneiden, damit sie anschließend als Schablone verwendet werden können. Bei der Herstellung verschiedener Parkette wird erfahrbar, dass aus Fünf- und Achtecken keine lückenlose, überlappungsfreie und vollständige Bedeckung einer Ebene erreicht werden kann. Mögliche Reflexionsinhalte:

Regelmäßige Dreiecke, Vierecke und Sechsecke sind parkettierbar, regelmäßige Fünfecke und Achtecke nicht.

Die Lücke, die beim Parkettieren mit Fünfecken entsteht, wird markiert.

Mit regelmäßigen Dreiecken kann man parkettieren. Das hilft dir für ein Parkett aus Sechsecken. Begründe.

Beziehungen zwischen verschiedenen parkettierbaren Vielecken werden als Grundlage für eine Begründung verwendet.



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Suche Parkette aus Vielecken in der Umwelt. (Bienenwaben, ...)

Leistungsstärkeren Schülerinnen und Schülern können sich bei der Begründung, welche regelmäßigen Vielecke sich zum Parkettieren eignen, auch auf eine Argumentation mit dem rechten Winkel stützen. Ebenso kann untersucht werden, ob der Innenwinkel eines regelmäßigen Vielecks ein Teiler von 360 ° ist.

Das Kind verwendet den bekannten rechten Winkel als

Grundlage für die Begründung.

4.5. Kernaufgaben der Multiplikation 1/2





wenden Kernaufgaben des kleinen Einmaleins (Einmaleinssätze mit 1, 2, 5, 10 und die Quadratsätze), deren Umkehrungen (z. B. 14 : 7 = 2 oder 14 : 2 = 7 als Umkehrungen von 2 ∙ 7 = 14) sowie Malaufgaben mit 0 automatisiert und flexibel an.

nutzen die Kernaufgaben des kleinen Einmaleins (Einmaleinssätze mit 1, 2, 5, 10 und die Quadratsätze) zur Lösung weiterer Aufgaben (z. B. 9 ∙ 8 → 9 ∙ 8 = 10 ∙ 8 – 1 ∙ 8 → 9 ∙ 8 = 80 - 8 = 72).

Vieleck Innen-

winkel

Teiler von

360 °?

3-Eck 60 ° ja

4-Eck 90 ° ja

5-Eck 108 ° nein

6-Eck 120 ° ja

8-Eck 135 ° nein



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Aufgabe

Unbekannte Einmaleinssätze werden durch das Kombinieren der bekannten Kernaufgaben (Einmalseinssätze mit 1, 2, 5, 10 und die Quadratsätze) hergeleitet. Einer der beiden Faktoren wird geschickt zerlegt. Die Addition der Teilergebnisse ergibt das Endergebnis. Kompetenzorientierter Impuls: Zerlege in Kernaufgaben und löse die Aufgabe. Mögliche Aufgaben: 3•4, 9•4, 9•6, 6•7, 8•7, 4•9, 8•9


Die Kernaufgaben des Einmaleins sind Malaufgaben, die sich Schülerinnen und Schüler leicht erschließen können. Sie werden in Jahrgangsstufe 2 automatisiert und zur Erschließung der übrigen Einmaleinssätze verwendet.

8

Der Faktor 6 wird in 5 und 1 zerlegt, da 6=5+1. Diese werden nun mit 7 multipliziert und die berechneten Teilergebnisse addiert.

In diesem Schülerbeispiel wird der Faktor 6 in 2+2+2 umgewandelt. Die Verdopplungsaufgabe 2•7 wird anschließend dreimal addiert.


Wie hast du deine Aufgabe zerlegt? Erkläre.

Tim und Lisa haben unterschiedlich gerechnet.

8 Punktefeld verfügbar unter: https://pikas-mi.dzlm.de/inhalte/zahlvorstellungen-tragf%C3%A4hige-vorstellungen-aufbauen-zr-bis-100/hintergrund/zahlen-schnell



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Vergleiche beide Lösungen. Findest du noch andere Möglichkeiten?

Finde andere Aufgaben, die du mit Tims Strategie gut lösen kannst.


Finde mithilfe der Kernaufgaben alle Aufgaben der 8er-Reihe.

Zeichne und rechne 5 • 5. Stelle nun alle vier Nachbaraufgaben dar.

5•6 6•5 5•4 4•5

Zeige am Punktefeld 13 • 6. Berechne das Ergebnis mithilfe der Kernaufgaben.

Überlege dir eigene große Malaufgaben. Schreibe auf, wie du sie löst.



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4.6. Wir rechnen in einem anderen Zahlsystem 3/4



M 3/4 1.2 Im Zahlenraum bis zur Million rechnen und Strukturen nutzen


beschreiben arithmetische Muster und deren Gesetzmäßigkeit (z. B. beim Rechnen mit ANNA-Zahlen).

entwickeln arithmetische Muster, setzen diese fort und verändern sie systematisch (z.B. Zahlenfolgen, Aufgabenfolgen mit strukturierten Päckchen).

Aufgabe

In unserem heutigen dezimalen Zahlsystem werden Zahlen in einem Stellenwertsystem dargestellt. Dafür werden die Ziffern 0 bis 9 verwendet. Comic-Figuren, die in der Regel mit nur 4 Fingern an jeder Hand gezeichnet werden, können als Anlass dienen, um einen ersten Einblick in ein anderes Zahlsystem zu gewinnen, wie z.B. das Achtersystem.9 Über das Weiterzählen sowie das Lösen einfacher Additionsaufgaben können grundlegende Einsichten in den Aufbau von Stellenwertsystemen gewonnen werden. Kompetenzorientierter Impuls: Es gibt neben dem Zehnersystem auch andere Zahlsysteme. Vergleiche das Zehnersystem mit dem Achtersystem und zähle in beiden Zahlsystemen möglichst weit.


Die Schülerinnen und Schüler erhalten diese Tabelle:

Zehnersystem Achtersystem

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 10

9 11

10 12

11 13

12 14

13 15

14 16

15 17

16 20

… …

9 Vgl. Gallin/Ruf: S. 98 ff.



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Erkenntnisse: Im Achtersystem gibt es nur die Ziffern von 0 bis 7 und es liegt eine Achterbündelung vor.

Darüber hinaus kann dazu angehalten werden, Zahlen, bei denen man unsicher ist, zu markieren und die Gedanken dazu aufzuschreiben. Mögliche Stolperstellen können so leicht wiedergefunden und thematisiert werden.

Eine Einspluseinstafel für das Zehnersystem ist vielen bereits aus den ersten beiden Schuljahren bekannt.10 Analog dazu kann sie für das Achtersystem von den Schülerinnen und Schülern selbst entwickelt werden.

Kompetenzorientierter Impuls: Erstelle eine Einspluseinstafel für das Achtersystem. Markiere Zeilen und Spalten, die für dich gut zusammenpassen. Erkläre deine farbigen Markierungen.

10 z.B. in: Das Zahlenbuch 1, Ernst Klett Verlag



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Anmerkung: „Die Zahl wird immer um 2 größer“ bezieht sich auf das Ergebnis der jeweiligen Reihe.


Erkläre, wie du vorgegangen bist, um die Tabelle auszufüllen. Hattest du einen Trick?



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Die Schülerinnen und Schüler nutzen bekannte Strukturen beim Ausfüllen der Tabelle, z.B.: Verdopplungsaufgaben.

Erkläre deine Stolperstellen.


Rechne im Achtersystem: Erfinde Aufgaben und löse sie!

Berichte von deinen Schwierigkeiten und Tricks.

Anmerkung: Werden die Ergebnisse zählend berechnet, besteht die Gefahr, dass immer wieder auf das Zehnersystem zurückgegriffen wird.

Verschiedene Additions- und Multiplikationsaufgaben werden im Achtersystem durchgeführt. Ebenso werden Schwierigkeiten benannt.



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Die Schülerinnen und Schüler erstellen mit Steckwürfeln „Dienes-Material“ für das Achtersystem. Anhand des Materials lösen sie Aufgaben wie 121 + 57 = 200 auf der anschaulichen Ebene.

Die Schülerinnen und Schüler bilden Analogien zu anderen Zahlsystemen und erforschen diese (z.B. Binärsystem).

4.7 Strukturierung der Minusaufgaben mit Zehnerübergang 1/2


M 1/2 Zahlen und Operationen



wenden die Zahlensätze des Einspluseins bis Zwanzig sowie deren Umkehrungen (z. B. 9 – 7 = 2 als Umkehrung von 2 + 7 = 9) automatisiert und flexibel an, wobei sie ihre Kenntnisse auf analoge Plus- und Minusaufgaben übertragen.

nutzen Rechenstrategien (Rechnen in Schritten, Umkehr- und Tauschaufgaben, analoge Aufgaben, Nachbaraufgaben) sowohl im Zahlenraum bis 20 als auch im Zahlenraum bis 100, vergleichen sowie bewerten Rechenwege und begründen ihre Vorgehensweisen.

Aufgabe

Anhand einer Beispielaufgabe (11 - 4) werden sich die Schüler des Aufgabentyps der Zehnerunterschreitung bewusst. Die Schülerinnen und Schüler notieren Aufgaben dieser Art und strukturieren sie.

Kompetenzorientierter Impuls: Finde Minusaufgaben bis 20, bei denen du unter den Zehner rechnen musst. Sortiere und löse sie.


Sind die Schülerinnen und Schüler mit dem Strukturieren der Aufgaben bei den Einspluseinssätzen bis 10 und deren Umkehrungen sowie bei den Aufgaben mit Zehnerübergang plus vertraut, werden sie die Aufgaben in der Regel bereits geordnet notieren.

Im Anschluss daran erhalten die Schülerinnen und Schüler die Tabelle mit allen Aufgaben und entdecken Zusammenhänge, z.B. Nachbaraufgaben, Umkehraufgaben zu den Verdopplungen, Aufgaben, bei denen die Zehnernähe des Subtrahenden genutzt werden kann.



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11 - 2 11 – 3 11 – 4 11 - 5 11 – 6 11 – 7 11 – 8 11 – 9

12 – 3 12 – 4 12 – 5 12 – 6 12 – 7 12 – 8 12 – 9

13 – 4 13 – 5 13 – 6 13 – 7 13 – 8 13 – 9

14 – 5 14 – 6 14 – 7 14 -8 14 – 9

15 - 6 15 – 7 15 – 8 15 – 9

16 – 7 16 – 8 16 – 9

17 – 8 17 – 9

18 - 9

Die Tabelle ist einerseits Grundlage für die Erarbeitung der verschiedenen Strategien zum Zehnerübergang minus, andererseits für die Reflexion im Unterricht bzw. die Selbstreflexion der Schülerinnen und Schüler.

Die Tabelle bietet zudem die Möglichkeit einer genauen Analyse des Lernstandes der Schülerinnen und Schüler bzw. gezielte Rückmeldung zu den Leistungen, z.B. „Übe die Aufgaben, bei denen du den Vorteil der Zehnernähe nutzen kannst.“. „Die Aufgaben mit -9 löst du richtig, übe die Aufgaben mit -5.“

So erhält das Kind zum einen die motivierende Bestätigung, Aufgaben mit Zehnerübergang minus bereits lösen zu können, und zum anderen gezielte Anregungen für die Weiterarbeit.


Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten verschiedene Strategien, Aufgaben mit Zehnerübergang minus zu lösen:

Aufgaben, zu deren Lösung die Zehnernähe genutzt werden kann. (vgl. dunkelgrüne und hellgrüne Aufgaben). 16 – 9 =

Analog dazu werden Aufgaben mit – 8 bearbeitet 8 (15 – 8 = 15 – 10 + 2).

Die Umkehraufgaben der Verdopplungen bereiten den Schülerinnen und Schülern in der Regel keine Schwierigkeiten.

Die Nachbaraufgaben der Umkehrungen der Verdopplungen sind eine weitere Strategie zum Lösen der Minusaufgaben mit Zehnerübergang.



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Für die Lösung einiger Aufgaben bietet sich der „klassische Zehnerübergang“ an.

Durch die Nutzung der „Kraft der 5“ können Minusaufgaben mit Zehnerübergang gelöst werden.

Analog zu den Aufgaben des Zehnerübergangs minus können auch die Aufgaben des Zehnerübergang plus strukturiert werden.



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5. Literatur:

Cottmann, Kathrin (2011): Wer verdient mehr? In: Grundschule Mathematik Nr. 29. S. 30 ff. Seelze: Friedrich Verlag GmbH.

Didaktischer Kommentar zu VERA 3 Mathematik, 2017

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Gallin, Peter/ Ruf, Urs (1999): Sprache und Mathematik. Ich mache das so! Wie machst du es? Das machen wir ab. 4. – 5. Schuljahr. Zürich: Interkantonale Lehrmitellzentrale.

Lehrplan für die bayerische Grundschule (2010) Fachprofil Mathematik. 10. Auflage. München: Verlag J. Maiss.

Lüken, Miriam M. (2012): Muster und Strukturen im mathematischen Anfangsunterricht. Grundlegung und empirische Forschung zum Struktursinn von Schulanfängern. Münster: Waxmann Verlag GmbH.

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Steinweg, Anna Susanne (2013): Algebra in der Grundschule – Muster und Strukturen, Gleichungen, funktionale Beziehungen. Berlin, Heidelberg, Springer Verlag

Wittmann, Erich Ch./ Müller, Gerhard N. (2012): Muster und Strukturen als fachliches Grundkonzept des Mathematikunterrichts der Grundschule. In: Zahlen, Muster und Strukturen. Spielräume für aktives Lernen und Üben. S. 61 ff. Stuttgart: Ernst Klett Verlag GmbH.

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Muster und Strukturen€¦ · Themen auf Kompetenzen aus der Auseinandersetzung mit Mustern und Strukturen ... Muster und Strukturen in den mathematischen Lernbereichen ... Texte,