Musterlosung · Fachbereich Produktion und Wirtschaft Musterlosung fur die Klausur MA2_06.1 vom 10. Februar 2006 Labor fur Mathematik und Statistik Prof.NorbertHeldermann

Fachbereich Produktion und Wirtschaft

Musterlosung

fur die Klausur MA2_06.1 vom 10. Februar 2006

Labor fur Mathematik und Statistik

Prof. Norbert Heldermann

Richard Munder

Bei dem vorliegenden Dokument handelt es sich um eine Musterlosung fur eine vom Labor fur Mathe-matik und Statistik gestellte Klausur.

Die Anfertigung dieser Musterlosung wurde aus Studiengebuhren der Studenten des Fachbereiches Pro-duktion und Wirtschaft der Fachhochschule Lippe und Hoxter finanziert.

Die Reihenfolge der Aufgaben wurde bei der Darstellung ihrer Losungen gegenuber der Klausur beibehalten.Diese Losungen wurden ausfuhrlich dargestellt, reichhaltig kommentiert und verstandlich mit graphischenDarstellungen erganzt.

Unter www.fh-luh.de/fb7 besteht eine Verbindung zur Internetseite des Labores fur Mathematik und Sta-tistik. Hier konnen die Klausuren und die Musterlosungen heruntergeladen werden. Daruber hinaus exis-tiert eine Kontaktadresse fur sinnvolle Verbesserungsvorschlage und zur Fehleranzeige sowie fur eventuelleRuckfragen.

Die in der Musterlosung enthaltenen Zeichnungen sind mit AutoCAD (Lizenz Fachhochschule Lippe undHoxter) angefertigt worden.

Klausur Mathematik 2, 10.02.2006 M2 2006.1

Prof. Dr. N. Heldermann

Dauer: 2 Stunde.

Erlaubte Hilfsmittel: Nicht-programmierbarer Taschenrechner.

Bitte beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt. Schreiben Sie auf jedes Blatt IhrenNamen und lassen Sie die Ruckseite frei. Die Ermittlung aller Ergebnisse ist luckenlos undnachvollziehbar zu dokumentieren.

1. Fur welche komplexen Zahlen z = x+ iy gilt

z − 0.75z2 + z − 0.75z2 + 2.5zz + 4i(z − z) ≤ 11 ?

Es ergibt sich der innere Bereich einer Ellipse. Skizze! (10 Punkte)

2. Berechnen Sie mittels Partialbruchzerlegung∫

x5 − 3x4 − 3x3 + 19x2 − 19x+ 6

x3 − 5x2 + 8x− 4dx. (10 Punkte)

3. Betrachtet wird die Funktion f(x) = x2 + 1 fur x ∈ [−2, 2].

(a) Skizzieren Sie die Funktion und berechnen Sie die Flache zwischen

Funktion, x-Achse und den Geraden x = −2 und x = 2. (2 Punkte)

(b) Diese Flache rotiert nun um die y-Achse und bildet den Rotations-

korper V . Welches Volumen hat er? (4 Punkte)

(c) Dieses Volumen entspricht in seiner Form einer Wassermenge in einem

rotierenden zylindrischen Glas mit Radius 2cm. Wie hoch steht das

Wasser, wenn das Glas nicht rotiert? (2 Punkte)

(d) Berechnen Sie die Bogenlange von f von (−2|5) bis (2|5). (6 Punkte)

(e) Berechnen Sie die Oberflache von V . (8 Punkte)

(f) Wo liegt der Schwerpunkt von V ? (8 Punkte)

4. Losen Sie die Differentialgleichung y′′ + 2y′ + 2 = 2 sin 2x unter den

Nebenbedingungen y(0) = 0.75 und y′(0) = −1.5. Fuhren Sie alle

Integrationen vollstandig aus. (8 Punkte)

5. In einen Halbkreis mit Radius r werden 5 Radien gezeichnet. Berechnen

Sie den Linienschwerpunkt des Liniensystems. (8 Punkte)

r r

r

45◦ 45◦45◦ 45◦

Labor fur Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Munder 3

Aufgabe 1:

Fur welche komplexen Zahlen z = x+ iy gilt

z − 0.75z2 + z − 0.75z2 + 2.5zz + 4i(z − z) ≤ 11 ?

Es ergibt sich der innere Bereich einer Ellipse. Skizze!

Zuerst werden alle in der Gleichung vorkommenden Terme in Nebenrechnungen gebildet:

z = x+ iy,z = x− iy,z · z = (x+ iy) · (x− iy) = x2 − ixy + ixy − i2y2 = x2 + y2,z2 = (x+ iy)2 = x2 + 2ixy + i2y2 = x2 + 2ixy − y2,z2 = (x− iy)2 = x2 − 2ixy + i2y2 = x2 − 2ixy − y2,z − z = x+ iy − (x− iy) = 2iy.

Somit nimmt die Gleichung folgende Gestalt an:

x+ iy − 0, 75(

2x2 − 2y2)

+ x− iy + 2, 5(

x2 + y2)

+ 4i · 2iy ≤ 11 .

Nachdem die Klammern aufgelost sind, wird zusammengefaßt:

−1, 5x2 + 2, 5x2 + 2x+ 1, 5y2 + 2, 5y2 − 8y ≤ 11 .

Um die quadratische Erganzung durchfuhren zu konnen, werden beiderseits die benotigtenWerte hinzugefugt:

x2 + 2x+ 1 + 4y2 − 8y + 4 ≤ 11 + 1 + 4 .

Es ergibt sich als quadratisch erganzte Form:

(x+ 1)2 + 4(y − 1)2 ≤ 16 .

Somit tritt eine Ellipse folgender Form hervor:

(x+ 1)2

16+

(y − 1)2

4≤ 1 .

4 Labor fur Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Munder

Es handelt sich um eine Ellipse mit dem Mittelpunkt M(−1|1) und den beiden Halbachsena = 4 und b = 2.


Aufgabe 2:

Berechnen Sie mittels Partialbruchzerlegung:

∫

x5 − 3x4 − 3x3 + 19x2 − 19x+ 6

x3 − 5x2 + 8x− 4dx.

Der erste Schritt bei einer solchen Integration ist die Normierung des Integranden durchPolynomdivision:

(x5 − 3x4 − 3x3 + 19x2 − 19x+ 6) : (x3 − 5x2 + 8x− 4) = x2 + 2x− 1−(x5 − 5x4 + 8x3 − 4x2)

2x4 − 11x3 + 23x2 − 19x+ 6−(2x4 − 10x3 + 16x2 − 8x)

−x3 + 7x2 − 11x+ 6−(−x3 + 5x2 − 8x+ 4)

2x2 − 3x+ 2

Durch systematisches Probieren ergibt sich die erste Nullstelle des Nenners zu x1 = 1. Nunkann der Nenner mittels Polynomdivision weiter vereinfacht werden:

(x3 − 5x2 + 8x− 4) : (x− 1) = x2 − 4x+ 4.−(x3 − x2)

−4x2 + 8x−(−4x2 + 4x)

4x− 4−(4x− 4)

0

Die Anwendung der Binomischen Formeln bringt hier sofort x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 zumVorschein, also ist x2 = 2 eine doppelte Nullstelle des Nennerpolynoms. Die entsprechendePartialbruchzerlegung sieht dann wiefolgt aus:

2x2 − 3x+ 2

(x− 1)(x− 2)2=

A

(x− 1)+

B

(x− 2)+

C

(x− 2)2.

Um die Bruche zu eliminieren, wird mit dem Hauptnenner multipliziert:

2x2 − 3x+ 2 = A(x− 2)2 +B(x− 1)(x− 2) + C(x− 1) .

Nun konnen die Koeffizienten ermittelt werden:

x = 1: 1 = Ax = 2: 4 = Cx = 0: 2 = 4A+ 2B − C =⇒ B = 1.


Den letzten Schritt der Berechnung stellt die Integration dar:∫

x5 − 3x4 − 3x3 + 19x2 − 19x+ 6

x3 − 5x2 + 8x− 4dx

=

∫

(x2 + 2x− 1)dx+

∫

dx

x− 1+

∫

dx

x− 2+ 4 ·

∫

dx

(x− 2)2

=x3

3+ x2 − x+ ln |x− 1|+ ln |x− 2| − 4

x− 2.


Aufgabe 3:

Betrachtet wird die Funktion f(x) = x2 + 1 fur x ∈ [−2, 2].

(a) Skizzieren Sie die Funktion und berechnen Sie die Flache zwischen

Funktion, x-Achse und den Geraden x = −2 und x = 2.

(b) Diese Flache rotiert nun um die y-Achse und bildet den Rotations-

korper V . Welches Volumen hat er?

(c) Dieses Volumen entspricht in seiner Form einer Wassermenge in einem

rotierenden zylindrischen Glas mit Radius 2cm. Wie hoch steht das

Wasser, wenn das Glas nicht rotiert?

(d) Berechnen Sie die Bogenlange von f von (−2|5) bis (2|5).

(e) Berechnen Sie die Oberflache von V .

(f) Wo liegt der Schwerpunkt von V ?

3(a): Zur Berechnung der Flache ist eine Integration notwendig, bei der die Ordinaten-symmetrie der Funktion ausgenutzt werden kann:

F = 2 ·∫ 2

0

(

x2 + 1)

dx = 2 ·(

x3

3+ x

)

∣

∣

∣

2

0= 2 ·

(

8

3+ 2

)

=28

3.


3(b): Da es sich hier um eine Rotation um die Ordinate handelt, muß anstatt der Funktionf(x) in ihre Umkehrfunktion benutzt werden. Das gesuchte Volumen errechnet sich nun ausder Differenz zweier Volumina V1 und V2, wobei V1 dem Volumen des Zyliners mit der Hoheh = 5 entspricht und V2 das Volumen innerhalb der Parabel bezeichnet. In Gleichungen alsowiefolgt:

Volumen: V = V1 − V2 Umkehrfunktion: y = x2 + 1 ⇒ x =√

y − 1 .

Das Volumen V2 wird mittels Integration bestimmt:

V2 = π

∫ 5

1

(y − 1)dy = π

(

y2

2− y) ∣

∣

∣

∣

5

1

= 8π

Nachdem nun noch das Zylindervolumen berechnet ist, kann das Rotationsvolumen des be-schriebenen Korpers ermittelt werden:

V1 = 2π · 2 · 5 = 20π =⇒ V = V1 − V2 = 20π − 8π = 12π .

3(c): Bei bekanntem Volumen errechnet sich die Hohe eines Zylinders folgendermaßen:

h =V

πr2=

12π

π · 22= 3 .

3(d): Die Bogenlange einer Funktionslinie berechnet sich nach der Formel:

l =

∫ b

a

√

1 + [f ′(x)]2 dx .

Unter Ausnutzung der Symmetrie ergibt sich:

l = 2

∫ 2

0

√1 + 4x2 dx = 4

∫ 2

0

√

1

2

2

+ x2 dx .

Mithilfe des Grundintegrals fur√a2 + x2 dx aus der Formelsammlung berechnet sich die

Bogenlange zu:

l = 4 ·

(

x

2

√

1

4+ x2 +

1

8ln

∣

∣

∣

∣

∣

x+

√

1

4+ x2

∣

∣

∣

∣

∣

) ∣

∣

∣

∣

∣

2

0

= 4 ·[(

√

4, 25 +1

8ln∣

∣

∣2 +√

4, 25∣

∣

∣

)

−(

1

8ln 0, 5

)]

≈ 9, 294 .


3(e): Die Oberflache von V besteht aus drei Teiloberflachen: Dem Boden, der Wand undder Mantelflache als obere Abgrenzung. Offenbar sind die Boden- und die Wandflache trivialzu bestimmen, doch zur Berechnung der Mantelflache ist eine Integration notwendig.

Die Mantelflache berechnet sich nach der Formel:

A = 2π

∫ b

a

f(x)√

1 + [f ′(x)]2 dx .

Da es sich hierbei um eine Rotation um die Ordinate handelt, wird selbstverstandlich erneutmit der Umkehrfunktion gerechnet. In einer Nebenrechnung wird der Radikand bestimmt:

x =√

y − 1 =⇒ x′ =1

2√y − 1

=⇒ (x′)2 =1

4(y − 1)=⇒ 1+(x′)2 =

4y − 3

4(y − 1).

Die Berechnungsformel erhalt nun folgendes Aussehen:

A = 2π

∫ 5

1

√

y − 1 ·

√

4y − 3

4(y − 1)dy = π

∫ 5

1

√

4y − 3 dy .

Um dieses Integral zu losen, wird substituiert:

z := 4y − 3 =⇒ dz

dy= 4 =⇒ dy = 4dz .

Somit ergibt sich fur das Integral in einer Nebenrechnung:∫

(4y − 3)12 dy =

∫

z12dz

4=

1

4· 23z32 =

1

6z32 =

1

6(4y − 3)

32 .

Die Mantelflache bemißt sich demnach wiefolgt:

A =π

6

(

(4y − 3)32

) ∣

∣

∣

5

1=π

6

[

(17)32 − (1)

]

≈ 36, 17 .

Der Boden und die Wand steuern folgende Teiloberflachen zur Gesamtoberflache bei:

B = 4π W = 20π =⇒ O = A+B +W = 36, 17 + 24π ≈ 111, 55 .


3(f): Um den Korperschwerpunkt (x|y) von V zu bestimmen, wird zunachst der Korper-schwerpunkt (x2|y2) des Paraboloids berechnet und anschließend gewichtet von dem Korper-schwerpunkt (x1|y1) des Zylinders abgezogen. Dabei gilt fur den Paraboloid:

y2 =π

V2

∫ 5

1

y(y − 1) dy =1

8

(

y3

3− y2

2

) ∣

∣

∣

∣

5

1

=1

8·[(

125

3− 25

2

)

−(

1

3− 1

2

)]

=11

3.

Offenbar liegt der Korperschwerpunkt (x1|y1) des Zylinders bei (0|2, 5). Fur den Korperschwer-punkt (x|y) von V gilt demnach gemaß der Summenformel:

y2 · V2 + y · V = y1 · V1 .

Nach Einsetzen der berechneten Werte bestimmt sich y zu:

12π · y = 2, 5 · 20π − 11

3· 8π =⇒ y =

150π − 88π

12π · 3=

31

18≈ 1, 72 .

Da offenbar x = 0 ist, liegt der Korperschwerpunkt (x|y) des Rotationsvolumens bei (0|1, 72).


Aufgabe 4:

Losen Sie die Differentialgleichung y′′ + 2y′ + 2 = 2 sin 2x unter den Nebenbedingungeny(0) = 0.75 und y′(0) = −1.5. Fuhren Sie alle Integrationen vollstandig aus.

Die vorliegende Aufgabe kann auf zwei sehr unterschiedlichen Wegen zur Losung gebrachtwerden. Es ist moglich, eine Substitution der Form z := y′ durchzufuhren, um die entstan-dene Differentialgleichung erster Ordnung nach Lagrange zu losen. Alternativ dazu kann dieAufgabe auch als Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten gelostwerden. Es werden hier nun beide Losungsalternativen durchgerechnet.

I.) Losung als Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten:

y′′ + 2y′ = 2 sin 2x− 2 a1 = 2 a0 = 0 ⇒ D = a21 − 4a0 = 4 > 0 .

Fur die Homogene Losung werden noch zwei Parameter k1/2 benotigt:

k1/2 =1

2(−a1 ±

√D) =⇒ k1 = −2 k2 = 0 .

Somit ergibt sich die Homogene Losung zu:

yH = c1 · e−2x + c2 , c1,2 ∈ R .

Fur die Allgemeine Losung werden noch zwei Partikulare Losungen benotigt.

Ansatz: yP1 = a · sin 2x+ b · cos 2xy′P1 = 2a · cos 2x− 2b · sin 2xy′′P1 = −4a · sin 2x− 4b · cos 2x

Nach dem Einsetzen in die Ausgangsgleichung kann die erste Partikulare Losung bestimmtwerden:

−4a · sin 2x− 4b · cos 2x+ 4a · cos 2x− 4b · sin 2x= 2 sin 2xsin 2x(−4a− 4b) + cos 2x(−4b+ 4a)= 2 sin 2x

Die erste Losung berechnet sich demnach zu:

a = b = −1

4=⇒ yP1 = −

1

4sin 2x− 1

4cos 2x .


Ansatz: yP2 = ax2 + bx+ cy′P2 = 2ax+ by′′P2 = 2a

Nach dem Einsetzen in die Ausgangsgleichung kann die zweite Partikulare Losung betimmtwerden:

2a+ 4ax+ 2b= −24ax+ 2(a+ b)= −2

Die zweite Losung berechnet sich demnach zu:

a = 0 b = −1 c = c3 =⇒ yP2 = −x+ c3 , c3 ∈ R .

Die in der Partikularen Losung enthaltene Variable c3 ist frei wahlbar. Die Allgemeine Losungkann jetzt aus der Summe der Homogenen und Partikularen Losungen ermittelt werden:

yA = yH + yP1 + yP2 = c1 · e−2x + c2 −1

4sin 2x− 1

4cos 2x− x+ c3 , c1,2,3 ∈ R .

Da c2 und c3 beides reelle Zahlen sind, werden sie zu einer reellen Zahl c4 zusammengefaßt:

yA = c1 · e−2x −1

4sin 2x− 1

4cos 2x− x+ c4 , c1,4 ∈ R .

Zur Ermittlung der Speziellen Losung unter den genannten Nebenbedingungen muß yA ab-geleitet werden:

y′A = −2c1 · e−2x −1

2cos 2x+

1

2sin 2x− 1 , c1 ∈ R .

Die Betrachtung der Nebenbedingungen liefert:

y(0) = c1 −1

4+ c4 = 0, 75 y′(0) = −2c1 −

1

2− 1 = −1, 5 .

Somit ergeben sich die Koeffizienten der Speziellen Losung zu:

c1 = 0 c4 = 1 =⇒ yS = 1− x− 1

4sin 2x− 1

4cos 2x .


II.) Losung als Differentialgleichung erster Ordnung mittels Lagrange-Verfahren:

y′′ + 2y′ + 2 = 2 sin 2x .

Da y fehlt, wird eine Substitution durchgefuhrt:

z := y′ z′ = y′′ =⇒ z′ + 2z = 2 sin 2x− 2 .

Zur Ermittlung der Homogenen Losung nach Lagrange wird die Storfunktion gleich Nullgesetzt:

z′ + 2z = 0

Nachdem die Trennung der Variablen durchgefuhrt ist, kann integriert werden:∫

dz

z= −2

∫

dx .

Es tritt die gesuchte Stammfunktion nebst Integrationskonstante hervor:

ln |z| = −2x+ b , b ∈ R .

Neben der Eliminierung des Logarithmus durch die Exponentialfunktion wird der entstehen-de Term ±eb zu a vereinfacht:

z = a · e−2x , a ∈ R .

Um die Differentialgleichung zu losen, muß als nachstes die Konstante variiert werden:

z(x) = a(x) · e−2x =⇒ z′ = a′ · e−2x − 2a · e−2x .

Diese Werte sind jetzt in die Ausgangsgleichung einzusetzen:

a′ · e−2x − 2a · e−2x + 2a · e−2x = 2 sin 2x .

Es tritt eine maximale Vereinfachung auf, in deren Folge a durch Integration zu bestimmenist:

a′ = 2 sin 2x · e2x − 2e2x =⇒ a = 2

∫

sin 2x · e2x dx− 2

∫

e2x dx .

Die Integration wird in einer Nebenrechnung durch Substitution und anschließende partielleIntegration gelost:

t := 2x =⇒ dt = 2dx =⇒ dx =dt

2.

Es ergibt sich folgender Ausdruck:∫

sin 2x · e2x dx =1

2

∫

sin t · et dt .

Eine partielle Integration mit u = sin t und v′ = et liefert:∫

sin t · et dt = sin t · et −∫

cos t · et dt .

Eine erneute partielle Integration mit u = cos t und v′ = et liefert:∫

cos t · et dt = cos t · et +∫

sin t · et dt .


Somit bestimmt sich das Ergebnis der partiellen Integrationen zu:∫

sin t ·et dt = (sin t−cos t) ·et−∫

sin t ·et dt =⇒∫

sin t ·et dt = 1

2(sin t−cos t) ·et .

Nun kann die Rucksubstitution erfolgen:∫

sin 2x · e2x dx =1

4(sin 2x− cos 2x) · e2x .

Die Variation der Konstanten kann demnach wiefolgt fortgesetzt werden:

a(x) = 2

∫

sin 2x · e2x dx− 2

∫

e2x dx =1

2(sin 2x− cos 2x) · e2x − e2x + k , k ∈ R .

Diese Funktion kann nun erneut eingesetzt werden:

z(x) = a(x) · e−2x = 1

2sin 2x− 1

2cos 2x− 1 + k · e−2x , k ∈ R .

Die anfanglich getatigte Substitution wird jetzt folgendermaßen revidiert:

y(x) =

∫

z(x) dx = −1

4sin 2x− 1

4cos 2x− x− 1

2k · e−2x +m, k,m ∈ R .

Die reelle Zahl −12k wird durch die gleichwertige reelle Zahl n ersetzt. Somit ergibt sich die

Allgemeine Losung zu:

yA = −1

4sin 2x− 1

4cos 2x− x+ n · e−2x +m, m, n ∈ R .

Zur Ermittlung der Speziellen Losung unter den genannten Nebenbedingungen muß yA ab-geleitet werden:

y′A = −1

2cos 2x+

1

2sin 2x− 1− 2n · e−2x , c1 ∈ R .

Die Betrachtung der Nebenbedingungen liefert:

y(0) = −1

4+ n+m = 0, 75 y′(0) = −1

2− 1− 2n = −1, 5 .

Somit ergeben sich die Koeffizienten der Speziellen Losung zu:

n = 0 m = 1 =⇒ yS = 1− x− 1

4sin 2x− 1

4cos 2x .


Aufgabe 5:

In einen Halbkreis mit Radius r werden 5 Radien gezeichnet. BerechnenSie den Linienschwerpunkt des Liniensystems.

r r

r

45◦ 45◦45◦ 45◦

Fur die Teillinienschwerpunkte der Sprossen ergibt sich:

x2 =r

2y2 = 0,

x3 =r√8

y3 =r√8,

x4 = 0 y4 =r

2,

x5 = −r√8

y5 =r√8,

x6 = −r

2y6 = 0.

Die entsprechende Darstellung sieht wiefolgt aus:


Um den Linienschwerpunkt (x1|y1) des Halbkreises zu errechnen, ist eine Integration not-wendig:

Kreislinie: f(x) =√r2 − x2 =⇒ f ′(x) =

−x√r2 − x2

Offenbar ist x1 = 0. Es gilt fur y1:

y1 =1

πr

∫ r

−r

√r2 − x2

√

1 +x2

r2 − x2dx =

1

πr

∫ r

−r

√r2 − x2 + x2 dx =

1

π· 2r .

Fur den Gesamtlinienschwerpunkt (x|y) des Liniensystems gilt folgendes: Offenbar ist x = 0,die Berechnung von y erfolgt mit der Summenformel:

y =1

5r + πr·(

2r

π· πr + r√

8· r + r

2· r + r√

8· r)

=r

5 + π·(

2 +2√8+

1

2

)

≈ 0, 394 · r

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