und Endpunkte eines Elements berechnen und wie folgt durch darsteilen:

sin 2 ct~ + 3

bzw. f'tir ein Element, das sich parallel zur y-Achse befindet:

spiele zeigen, eindeutig fiberlegen ist. Die erzielten Rechener- gebnisse stellen ffir die Querschnittstrukturen, die sowohl in ihrer Form als auch in ihrer Dicke geometrisch exakt durch Rechenmodelle idealisiert werden k6nnen, die exakten L/Ssun-

(18) gen dar. Sornit resultiert die Rechenungenauigkeit bei den komplizierten Querschnittstrukturen nur aus deren weniger genauen Erfassung durch das angewendete Rechenmodell. Wird bei diesem Verfahren eine hohe Rechengenauigkeit er- forderlich, so kann sie dutch eine entsprechende Feinheit des

(19) Rechenmodells erzielt werden.

Bild 10 und 11 zeigen die berechnete.Lage des Schubmittel- punkts fiir zwei dfinnwandige Querschnitte.

4 . Zusammenfassung

Mit der Approximation der dfinnwandigen Querschnitte durch eine Anzahl von geraden Linienelementen wurde ein numerisches Rechenverfahren entwickelt, das gegeniiber tier herk6mm/ichen Methode f/ir die Behandlung des Querkraft- schubs hinsichtlich des Rechenaufwandes, wie die Rechenbei-

Literatur

[1] Weber, C.: Die Lehre v o n d e r Drehfestigkeit. VDI- Forsch.-Heft 249 (1921).

[2] Schapitz, E.: Festigkeitslehre fiir den Leichtbau. Diissel- dorf: VDI-Verl. 1963.

1-3] Winterfeld, R.: Konstruieren mit Stahlleichtprofilen. Leipzig: VEB Deutscher Verl. ffir Grundstoffindustrie 1974.

I-4] Hertel, H.: Leichtbau. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verl. 1980.

Eingegangenam27.10.1988 F 3968

Neue Korrelationsgleichungen fiir den Wiirmeiibergang bei freier Konvektion und erzwungener, laminarer Str6mung in senkrechten Rohren

Jochen Kefller*)

In der vorliegenden Untersuchung wird der Wdrmeiibergang bei freier Konvektion und erzwunge- ner, laminarer StrSmung in senkrechten Rohren unter Beriicksichtigung temperaturabhdngiger Stoffwerte fiJr die Temperaturrandbedingungen t w = c o n s t , und ~ w = c o n s t . numerisch berechnet. Freie Konvektion und erzwungene StrSmung sind gleichgerichtet (beheizte Aufwdrts- bzw. gekiihlte AbwdrtsstrSmung). Die numerischen Ergebnisse werden mit neuen Gleichungen zur Be- rechnung drtlicher und integrierter Nusseltzahlen korreliert. Der Umschlag zur turbulenten Str~- mung wird beriicksichtigt ; er ist abet nicht mehr nur yon der kritischen Reynoldszahl abhdngig. Im Vergleich zum Wdrmeiibergang bei konstanten Stoffwerten, deren Korrelationsgleichungen erweitert werden, ist der Wdrmeiibergang bei senkrechter Rohrstr~mung wesentlich besser und nimmt sogar mit abnehmendem Einflufl der erzwungenen StrSmung zu. Nur die Temperaturabh?in- gigkeit der dynamischen Viskositdt hat einen signifikanten Einflufl auf den Wdrmeiibergang. Die Korrelationsgleichungen stimmen mit experimentellen Daten gut iiberein.

1. Einleitung

Die Berechnung des W/irmeiibergangs bei freier Konvek- tion und erzwungener Str6mung in senkrechten Rohren ist im Hinblick auf die optimale Auslegung yon W~rmetauschern sehr interessant, da durch den EinfluB der freien Konvektion die W~irmefibertragungsverh/iltnisse im Vergleich zur hori- zontalen Str6mung bereits im iaminaren Bereich wesentlich ver/indert werden.

*) Dr.-Ing. J. Kefller, BASF AG, Ludwigshafen; Kurzfassung der Dissertation [21] am lnstitut f'fir Thermodynamik der TU Braunschweig.

Grundsfitzlich ist zu unterscheiden, ob erzwungene Str6- mung und freie Konvektion in gleicher Richtung (beheizte Aufw/irts- bzw. gekfihlte Abw/irtsstr6mung) oder entgegenge- setzt (gekfthlte Aufw/irts- bzw. beheizte Abw/irtsstr6mung) wirken. Im Vergleich zur horizontalen RohrstdSmung wird der W~irmeiibergang durch Dichteunterschiede wesentlich verbessert , wenn freie Konvektion und erzwungene Str6mung gleichgerichtet sind (s. z.B. experimentellen Befund von E. Kirschbaum I-1]). Ist dagegen die Wirkung yon freier Konvek- tion und erzwungener Str6mung entgegengesetzt, so wird der W~irmeiibergang im Vergleich zur laminaren, horizontalen

Forschung im Ingenieurwesen Bd. 55 (1989) Nr. 3 69

W~rme~bergang bei freier Konvektion und erzwungener, laminarer Str6mung in senkrechten Rohren

Str6mung verschlechtert. Der Umschlag zur turbulenten Str6- mung ist somit fiir beide Str6mungsformen unterschiedlich und nicht mehr allein vonder kritisehen Reynoldszahl abh/in- gig.

Obwohl sich zahlreiche Autoren bereits mit dieser Wfir- mefibergangsproblematik beschfiftigt haben I-2-20,1 (ausffihrli- cher Literaturfiberblick s. [21"1), fehlen Gleichungen, die insbe- sondere den thermisehen und hydrodynamischen Einlauf be- riicksichtigen.

Ziel dieser Arbeit ist es, diese Korrelationsgleichungen zur Bereehnung 6rtlicher und gemittelter Nusseltzahlen bei lami- narer, beheizter Aufwfirts- bzw. gekiihlter Abwhrtsstr6mung in Abh/ingigkeit der Temperaturrandbedingungen tw = const. und qw = const, aufzustellen. Die einzelnen Stoffwerttempera- turabh/ingigkeiten werden be~cksichtigt.

Eine ausffihrlich e Untersuchung der beschriebenen Proble- matik ist im Rahmen einer Dissertation [21,1 auf Anregung und mit Unterst~tzung von Prof. Dr.-Ing. W. Klenke am Insti- tut fftr Thermodynamik in Braunschweig durchgefiihrt wor- den.

2. G l e i c h u n g s s y s t e m und V o r a u s s e t z n n g e n

Unter den Voraussetzungen - station/irer Betriebszustand, - rotationssymmetrische Funktionswertverteilungen, - Vernachl~ssigung der radialen Druckfinderung, - Vernachlfi~ssigung der axialen Impuls- und Wfirmeleitung, - VernachK~ssigung des druckabh~.ngigen Enthalpietermes, - Vernachlfissigung der Dissipationsfunktion, -- hydrodynamisch eingelaufene, isotherme Str6mung am

Eintritt ergibt sich aus den Erhaltungssfitzen f'fir Impuls, Energie und Masse das in Tabelle 1 dargestellte Differentiaiglei- chungssystem mit den dazugehfrigen Randbedingungen.

Zur numerischen L6sung des Gleichungssystems wurde eine Runge-Kutta-Fehlberg-Zeitintegration 4. Ordnung mit variabler Schrittweite und -kontrolle gewfihlt 122; 23-1.

zierter aufgebaut sein miissen als die Funktionen nach Gin. (1) und (2).

�9 d (rh/A)dd Re o - = _ _ Pro= rio Cpo z r/o z ' ,l 0

Gr ~ d IPo(dp/dT)ogd31,tw-to,11 d z ~ z

Nuo % d (dT/dr)lwd

~o t w -- to

to= p % c z t r p%c~r ~'0 I I X 0 I

(3)

d (fa/A)d d rl,,Cp,, Re= ~ = l ' Pr= = - -

r/,t ,1~,

d I p , , ( d p / d T ) , , g d 3 A t l o g l d Grl l rl, ~ 1

~.,d 1 i. Nul l= = - j Nuodz

2=, I o

t A - t I t A + te A/zog = , t=: =

In t w - tE 2 t w - tA

(4)

d = (fa/A)d d pr E = rig Cl, E Rel 7 ~E 7' ,1E

d IpE(dp/dT)Egd3(tre-tE)l d GrE l rl~ 7 (tw=c~

d ]pE(dp/dT)~gd3(~wd/,1n)] d G r E l = r/~ 7 (qw =c~ (5)

3. Kennzahlendef in i t ionen

Bei der.Oberlagerung yon freier Konvektionsstr6mung und erzwungener Str6mung wird der 6rtliche und integrierte W~r- mefibergang prinzipiell wie folgt beschrieben:

[ d d.pro. ,1,, c.w] Nuo=Fo Reo ' G r ~ Po % ' ,1o' %oJ

[ d Gr d, Pw rlw ,1w ] Nu I = F~, Re= , Pr•, , %re Pst ~l=t' ,1~' CtmJ

O)

(2)

Die Stoffwertsimplexe in Gin. (1) und (2) beriicksichtigen die Stoffwerttemperaturabh~ngigkeiten; sie haben aber lediglich Korrekturcharakter, da auf die Benutzung generalisierter Stoffwertfunktionen und der damit verbundenen Kennzahlen verzichtet worden ist.

Neben den in der Praxis ~blichen Definitionen fiir 6rtliche und gemittelte Kennzahlen - s. Gin. (3) und (4) - ist es sinnvoll, auch Eintrittskennzahlen zu definieren - s. Gin. (5) - , die keinerlei Informationen iiber L6sungen des Glei-

�9 chungssystems enthalten 1"21,1. Korrelationsgleichungen mit Eintrittskennzahlen haben aber den Nachteil, dab sie kompli-

4. Kons tante S to f fwer te : Erwei terung bekannter Korre la t ionsg le i chungen

Eine bekannte Grenzl6sung des Gleichungssystems aus Ta- belle 1 erh~ilt man unter der Voraussetzung konstanter Stoff- werte. Das Gleichungssystem wird entkoppelt und die Quer- bewegung unterdrfickt. Die Integration der axialen Impulsbi- lanz fiihrt auf das Hagen-Poiseuillesche Geschwindigkeitspro- ill, und die L6sung der verbleibenden Energiegleichung stellt dann ein Eigenwertproblem dar, das in der Literatur hinrei- chend bekannt ist (s. z.B. 1"24--29]). Der 6rtliche und gemittelte W/irmeiibergang h/ingt nur yon der Graetzzahl (Re Pr d/l) ab. DaB bisher bekannte Korrelationsgleichungen zur Berech- hung des 6rtlichen W~irmeflbergangs, insbesondere fiir Reo Pro d/z > 1000, zu ungenau sind, verdeutlicht die Darstel- lung im Nuo. I, Reo Pro d/z-Diagramm yon Bild 1.

Die erweiterten Korrelationsgleichungen (s. Tabelle 2 und 3; integrierter Whrmefibergang Tabelle 4) stellen ffir die Tem- peraturrandbedingung tw=const, eine Anpassung der analy- tischen L6sung der Energiegleichung (Graetz-Nusselt-Pro- blem und Grenzl6sung nach J.R. Sellars, M. Tribus, S.J. Klein 1-27] bei gr0Ben Eigenwerten) und ffir die Temperaturrandbe- dingung qw = const, eine Anpassung numeriseher L6sungen der Energiegleichung (61 Gitterpunkte in radialer Richtung, 31 Gitterpunkte in axialer Richtung) dar.

70 Forschung im Ingenieurwesen Bd. 55 (1989) Nr. 3

Bild 1. (redats) ~}rtlieher W i r m e ~ r g a n g bel konstanten Stoffwerten

T a b e l l e I . D i f f e r e n f i a l g l e i c h u n g s s y s t e m und R a n d b e d i n g u n g e n

5 0

40

r02c= 10c=] Or/F0c= 0c,] ~. 30

f 0c, 0c,1 0p

F0c, c, Oc,] 0p -P [ ~ + 7 + ~ ; J - ~ " ~-~" ~176

~.r02T 1 0T] 02 0T 1- 0T 0T] 10 /~-~-~ +-- ~-- I+-~'- ~----PC~/Ic, --~--+c= -~--/~ 0 LOt r o r j o r o r L o r ozJ 6O

5 0

rh 2 ~ pc, rdr=O

Randbodingungen:

c,(0, z ) = 0 cAR, z ) = 0 c,(r, 0 ) = 0 t. 01

OT ~ r (0, z) = 0 T(R, z) = Tw T(r, O) = T e

2 0 0 T qw (e, z)=~- T; ,tw

Stoffwertfunktionen ffir p, r/, 2, c~ s. [21] ( + Vorzeichen im Term p g stcht f fr Abwhrtsstrbmung)

, , , , , . . . . . . . / j

�9 erweiterte Korrelotion (s.Tob.2) / / / ~

/ y t w = Const,

10

F1

i t i 1 '""1 t i i i i i / i i

r / erweiterte Korrelotion Is. rib.3) / /

~ . = Korrelation Grigull .Tratz [28] / - - /

r r r n , .~ n t l n ~ ~ t t

10 3 2 /, 6 8 10 + 2 /. 6.10 r

Reo Pro ~z

T a b e l l e 2. K o r r e l a t i o n zu r B e r e c h n u n g des 6r t l i chen W i r m e f b e r g a n g e s tw = c o e s t .

2 =3+ Nuo.~-Nuo.r ~ . a l i ~ , X ~ ' , , e x p ( a s i X , + a 6 i X a + a T , X 2 )

Nuo,x i = 1 AI4~/QSI -~- A32~)

Nu I - r /~ u .... = o.ot~j

Nuo.~ = 3,655 + ~ exp(c 4 27)

Xl=ReoProd/z; X2=Pro; X3~Gro/Reo; Z=IOOO/X 2

G f i l t i g k e i t s b e r e i c h :

d 0,5 < R e , z < 120; 0 ,6<Pro < 130; Re. <2300

d d 3 t 2 r / \ l d , X~ O < G r o - < G r o - = ~.d, X2- X , / 1 - e x p / - - - / /

z z . . , ,=~ [ \ X2+ds] j

0,5 < q~-<2,0 (Luft: 0 ,9< q ~ < 1,1)

�9 Stoffwerte bei t o - s. GI. (3) thermodyn. Mitteltemperatur G-Datens.: Mittl./max. Fehler 1,3%/10,4% E-Datens.: Mittl./max. Fehler 1,8%/14,2%

K o e f f i z i e n t e a u n d E x p o n e n t e n :

T a b e l l e 3. K o r r e l a t i o n z u r B e r e c h n u n g des 6 r t l i chea W i r m e ~ b e r g a n g e s

qw = const.

Nuo.o - Nuo.g 2 = Y. a , X? '

Nuo.r t- ~ X*~"(asl + X~ 2')

Nuo.E = Nuo.~ [ ~/q~-~

exp(as~ Xj + a6i Xa + aTi X2)

Cl Nuo ~ =4 3 6 4 + - - -- exp(c4Z)

�9 . ' C2+Zr

X~=ReoProd/z; X2=Pra; Xa=Gro/Reo; Z=IOOO/X1

O i i l t i g k e i t s b e r e i c h :

0,5 < R e , d < 120; 0 , 6 < P r o < 130; Re, <2300 z

d 3 O<Gr~176 Zm,= " i= l=d '~+ ~�9 [ l - e x p ( 2 ) ] - ~

0 , 5 < ~ ~ (Luft: 0 , 9 < ~ w < l , l )

Stoffwerte bei t o - s. GI. (3) thermodyn. Mitteltemperatur G-Datens.: Mittl./max. Fehler 1,2%/7,8% E-Datens.: Mittl./max. Fehler 1,5%/9,9*/o

K o e f f i z i e n t e n u n d E x p o n e n t e n :

a l l = 1,5466.10 -3 a2~ =- -1 ,5277 a 3 1 = 0 a l j = 3,6559.10 -7 a41 = 6,4181.10-~ as1 = 5,8765.10 -5 a6t = 5,4581.10 -6 a4j = -5 ,0945.10- a71 = -- 1,7548.10 -4 aa~ = 4,3016.10 -5 a12 ~ 6,6468.10 -3 a71 = 4,3314.10 -3 a22 = --6,2756- 10- a a32 = 1,0282.10- t a42 ~ 1,1066-10-1 a22 = --8,8524�9 10-1 aa2 = 0 a62 = 0 a72 = 0 asz = 0 as2 = 0 as2 = 7,0787- 10 -4 b = 2.1246.10 -~ b = 1,9528.10 -1 c I = 7,2170 c2 = 5,4811-10 -2 c3 = 4,8429.10 -1 cj = 9,0152 c+ = - 6,0756.10- 2 c4 = - 4,6012-10- 2 d I = - 1 , 6 5 9 9 - 1 0 +t d 2 = 1,8879.10 +2 d 3 = - 7 , 2 9 6 1 . 1 0 - ~ d~ = 4,0933.10 +2 d4 = 7,2853.10 -2 d 5 = 9,5812.10-1 d+ = 4,9958.10 -1

a2t = -2 ,4432 ast = -2 ,6968-10 -z asx = 6,0261.10 -7 a 3 2 = 9,9851.10 -z a62 ~ 4,6369.10-7

c 2 = 4,4707.10-2

d 2 = 1,5096.10 +2 d s = 1,7061.10 §

aat = -- 1,8390.10- a6 t = -- 8,7966.10- 4 a12 = 6,3536.10 -3 a42 = 2,4144.10-1 372 = - 1,6294. I 0 - 3

c 3 = 4,8856-10-

d3 = - 1 , 1 3 1 0

Forschung im Ingenieurwesen Bd. 55 (1989) Nr. 3 71

W~rmeiibergang bei freier Konvektion und erzwungener, iaminarer Str6mung in senkrechten Rohren

Tabelle 4. Korrelation zur Berechnung des integrierten Wirmefibergan- ges tw = coust.

Nu~.a- Nu~.g 2 X=~ ~'

Nu:, e =Nu~,o ~1=~

r Nu~.�9 = 3,655 + ~-a+-- ~ exp(c~ Z)

X:=Re.Pr,.d/l; X2=Pr.; X3=Gr~/Re,; Z=IOOO/X~

G f i l t i g k e i t s b e r e i c h :

d 0,5 < R e . ~ < 4 0 ; 0 , 6 < P r . < 130; R e . < 2 3 0 0

- = ~ d . X ~ - ' X , [ l - e x p / - - d'Xa ~1 u d<Gr~ d O<Gr~ I=, ~,~' t \ X~+ds]l

0,5 < ff-'~ < 2,0 (Luf t : 0,9 < ~ - ~ < 1,1)

Stoffwerte bei t,, - s. GI. (4)

G - D a t e n s . : Mi t t l . /max. Fehler 2 ,8%/15 ,4% E-Datens . : Mit f l . /max. Fehler 3 ,6%/20 ,0%

Koeffizienten u n d E x p o n e n t e n :

a ~ = 1 ,4487 .10- ~ a ~ = - 7 ,0732 .10- ~ a,tx = 1 ,7175 .10- a r t = 5,6603-10 - 4 az= = -- 1,0148 a: i ~ = 0

aaz = 0 b = 2 ,2211.10 -~ c~ = 1,3093.10 + ~ c~ = -- 1 ,0485 .10-2

d~ = 1,1486.10 +z d,~ = 1,1796

a l l = O

a s l = - 2 ,8783.1O- s af~ = - 1 ,6205.10 -4 as1 = - - 9 , 2 8 9 5 - 1 0 - 4 a l2 = - 4 , 2 1 3 4 - 1 0 -~ aa2 = - 1 , 7 7 7 8 a , z = 1,9675.10 + ~

a~i2 = O a72 = O

c2 = 1 ,3152 .10- ~ c a = 5 ,0790-10-

d2 = 1,1404-10 +2 d3 = - 4 , 6 9 9 6 " 1 0 -1 d s = - 3 ,8962.1O- 1

5. Einflufl der freien Konvektion und der Stoffwerttemperaturabhingigkeiten

Zum AufsteUen der Funktionen F o (tw = const., qw = const.) und Fm (tw=const.) waren umfangreiche numerische Berech- nungen erforderlich, die an einem CRAY X-MP/24-Rechner in Berlin durchgefiihrt worden sind. Ein wesentlicher Vorteil der rechnergestiitzten Simulation gegeniiber experimentellen Messungen ist ausgenutzt worden, indem gezielt verschiedene Parameter, die die Berechnung des Wfirmeiibergangs be- einflussen, getrennt untersucht worden sind.

5.1 V a r i a t i o n des K e n n z a h l e n s a t z e s ReEPr~d/l, Gr E d/l, Pr E (G-Datens l i tze)

Um den EinfluB der freien Konvektion auf den Wfrme- fibergang yon dem der Stoffwerttemperaturabh,~ngigkeiten trennen zu kfnnen, wurde zungehst nur die Temperaturab- h/ingigkeit der Dichte im Auftriebsterm pg beriieksichtigt. In allen anderen Termen des Gleichungssystems gingen kon- stante Stoffwerte ein. In Bild 2 sind fiir die hydrodynamisch und thermisch nicht eingelaufene Strfmung typische Funk- tionswertverteilungen dargestellt.

Bei konstantem EinfluB der erzwungenen Str6mung (Ein- trittskennzahl Ree PrEd/l=const.) und zunehmendem Einflufl der freien Konvektion (Variation der Eintrittskennzahl GrEd/l) bewirkt die Berficksichtigung einer Dichte~nderung im Auftriebsterm eine Beschleunigung bzw. Verz6gerung der axialen Geschwindigkeit in Wand- bzw. Rohrachsenn~he und

eine damit verbundene Querbewegung. Die gegeniiber der Hagen-Poiseuilleschen Rohrstr6mung wesentlich ver~nderten Geschwindigkeitsprofile bewirken unmittelbar eine Ver~nde- rung der Temperaturverteilungen, so dab der W~trmeiiber- gang deutlich verbessert werden kann'(s. Bild 2 unten).

Die numerischen Ergebnisse der Parametervariation (G- Datens~tze s. [21]) werden mit den Korrelationsgleichungen, die in den Tabellen 2 bis 4 dargestellt sind, mit ausreichender Genauigkeit wiedergegeben. Der 6rtliche W/irmeiibergang ist in den Nuo.G, Re~Pred/z-Diagrammen yon Bildern 3 und 4 aufgetragen.

Es wird deutlieh, dab - durch den Einflul3 der freien Konvektion der W/irmeiiber-

gang erheblich verbessert wird (nicht selten sind die Ab- weichungen (Nuo,~-Nuo.r)/Nuo.~c gr613er als 100%);

-- sich die Wfirmefibertragungsverhfiltnisse mit zunehmen- dem EinfluB der erzwungenen Strfmung denen der reinen erzwungenen Str6mung ann~hem (konstante Stoffwerte);

- der W~rmeiibergang mit steigender Kennzahl ReEPrEd/z und bei konstanter Gr o d/z-Zahl ein Minimum durchl/iuft.

Die ebenfaUs abgebildeten Funktionen

bzw.

d NuF,~'=f[Grl dm==, ReEPre ~, PrE] (6)

(s. Tabellen 2 bis 4) grenzen den laminaren W~rmeiibergang yon dem bei turbulenter Str6mung ab. Die Kennzahlen (Grod/z)~ x bzw. (Gr I d/l)m~x (s. Tabellen 2 bis 4) sind mit Hilfe der folgenden zwei Kriterien fiir den Umschlag zur turbulen- ten Strfmung angepai3t worden, die im iibrigen auch von anderen Autoren - z.T. auch experimentell - best/itigt wer- den [-2; 5; 7-11; 13; 14; 17].

Zum einen tritt immer dann Instabilit/it auf, wenn bei vor- gegebener erzwungener Strfmung, die fiir sich betrachtet gesi- chert laminar ist, der Einflul3 der freien Konvektion so grol3 wird, dab axial Riickstr6mung einsetzt.

Konvergenzschwierigkeiten ergeben sich zum anderen, wenn die erzwungene Str6mung im Bereich von ReEd/l,~40 liegt; Steigerungen des Einflusses der freien Konvektion fiih- ren dann schnell zur Instabilit/it, obwohl die axiale Geschwin- digkeit in Rohrachsenn/ihe nicht negativist.

5.2 Zus / i tz l iche B e r i i c k s i c h t i g u n g der S tof fwer t t e m p e r a t u r a b h ~ i n g i g k e i t e n (E-Datensf i tze)

Die Untersuchung der Stoffwerttemperaturabh/ingigkeiten hat gezeigt, dab zus~tzlich nur die Temperaturabh~ngigkeit der dynamischen Viskosit~t beriicksichtigt werden muB (E- Datensfitz~e s. [21]). Der EinfluB auf den W~irmeiibergang ist signifikant und wird in den Korrelationsgleichungen (s. Tabel- len 2 bis 4) iiber die Simplexe rlo/rlw bzw. ~hJ~w beschrieben.

6. Vergleich mit experimentellen Daten

Die Korrelation zur Berechnung des 6rtlichen W~rmeiiber- gangs fiir die Temperaturrandbedingung c~v = const, kann mit

72 Forschung im Ingenieurwesen Bd. 55 (1989) Nr. 3

%

7.0

6.0

59

1..0

3.0

2.0

1.0

0

P~ F~ , , / \

I \

// \' I / '~ , rl \! fl . ' l / / I

,/"~'\'xV/ "/~'\\1

2.0

1,5

1.0

0.5

0

-1.0 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1.0

r / R

1.00 . . . . .

0.75

! !

~ 0.50

0.25 i ~ .

0 -1.0 -0.9 -0,8

2.0

o U" 1.5

1.0

0.5

0

2,0

1,5

~ ,.o

0.5

f \ f \ / \ / \ :f-'~\ I /~ , il/-..{\,, I!/-..,~ /1! \~ !1..; \

i I I I I

-1.0 -0.6 -0.2 0.2 0.6

r / R

~.; . . . . . . 0.06

0~5

I . ~ o.o~. ! .

' , -,-..~ 0.03

0.02

0.8 09 1.C

r / R

1.0

. . . . . (r, . . . . .

-1.0 -0.9-0.8 0.8 0.9 1.0

r / R

F2

015T0 ; tw=COnSt,

ReEd / I .15 ;PrE= 116; z / l = 1

GrE i~- �9 3166; Nuo�9

- . * - . ~ GrE i-~-=31/,10, Nuo=22,38

~ GrE d =78760; Nuo=28.57

- - - - - - Gr E i ~- �9 Nu o=37.60

0 1 5 0 0 ; r coast.

R e E d / I =15 ; PrE= 116; z / l = l

G r E d = 31120 ;Nuo.16,1B2

~ . ~ Gr E d -313600 ; Nu o �9 22JD6

~ GrEd=59&300 ~ Nuo=24,68

- - - - - - G r E d = l . 2 . 1 0 6 ; Nu o =28./.1

Bild 2. Einflufl der freien Konvektion auf den Wirmefibergang, hydrodynamisch und thermisch nicht eingelaufen

Forschung im Ingenleurwesen Bd. 55 (1989) Nr. 3 73

WfirmeQbergang bei freier Konvektion und erzwungener, laminarer StrTmung in senkrechten Rohren

5.0;

/,.6

t..2

3.8

, , , , , , , i , i ,

Or e d / Z �9 0

,/ Pr E �9 (17

i i , l i i I I I I I

e I 101 2 t i e.lO I

ReE Pre ~-

t , , , , , , . . . . , , .

1 2 ,,.o.o [O,o ~I,,,=]

8 t 1 ~

5

Or o d / z �9 0 %

/ . I I I I I I I I I ' ' ' �9

6 o 101 ~ ~ 6 ~.10 I

Re e pr e d

( .~

6

z

12

10

8

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8 Pr E �9 115.7

L. - , , , , = i i i i i i i i i , , l i . . . .

F3 6 e 10 2 z ~ 6 e 10 a z ~ 6 e 10 ~

Re E Prt

Bild 3. Ortlicher Wirme6bergang bei tw = corot. (Korrelafion der G- Daten~tze)

/ - 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " I . l O 5

35

30

25

2O

15

10 Pr E = 115.7

F~ 10 z 2 ~ 6 e 10 3 z ~ 6 s 10 ~

Re E pr E d

Biid 4. Ortlicher Wirm~bergang bei 4w=const. (Korrelafion der G- Daten~tze)

Hilfe der experimentellen Daten yon T.M. Hallman [5] iiber- priift werden. Aus den unterschiedlichen Eintrittstemperatu- ren, MassenstrTmen und WandwfirmestrTmen lassen sich f'fir die gegebene Geometrie der Wfirmeiibertragungsstrecke Ein- trittskennzahlen berechnen, die zur iterativen Auswertung der Korrelationsgleichung aus Tabelle 3 erforderlich sind. In den Diagrammen yon Bild 5 ist der gemessene Wiirmeiibergang und der berechnete Wfirmeiibergang fiber der dimensions- losen Rohrliinge z/I aufgetragen. Die Eintrittskennzahlen fiir die gew/ihlten Datensfitze sind in Tabelle 5 aufgelistet. Die 1]bereinstimmung zwischen Messung und Berechnung ist gut.

Insbesondere wird deutlich, dab - bei relativ kleinen ReEPrEd/l-Zahlen (obere Diagramme)

das Minimum im Wfirmefibergang in Abhiingigkeit yon verschiedenen Grashofzahlen wiedergegeben werden kann,

- auch die yon T.M. HaUman mit T (transition) gekennzeich- neten Datensfitze vondcr Korrelation gut erfaBt werden, obwohl sich erste Turbulenzerscheinungen (Fluktuation der Wandtemperatur) bemerkbar machen,

- vereinzelt zwischen 0,7 < z/l < 0,9 offensichtliche MeBfehler vorliegen (s. untere Diagramme).

74 Forschung im Ingenleurwesen Bd. 55 (1989) Nr. 3

15 . . . . . . ", �9 , 15 . . . . . . .

1/ , r~ ~ uaz 14 o ~ u l

13 13 v - - u ts v - - T16

O - - - T33 , ,~ . , . , s ' 0 - - - U23 ~ . -

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11 .,,. d 11 j r ' ' ~

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5 S ~ ~ ~ ~ mo"oc

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13 o - - - u 2 6 -1 , , [ ~ ' ~ t 0 - - - U 2 8

i ' - ' " I ' t/o';lla ~ ~' - - - T8 J

7 % . . * *

I I I | l I 4 I I I

0.0 0.2 O.t, 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 F5 ~

I I

Bild 5. ~rtlicher Wirmefibergang nach Messungen yon T.M. Hallman [5] mid Ortlicher Wiirmefibergang nach der Korrelafion aus Tabelle 3 (4w = const.)

Tabelle 5. Berechnete Eintrittskennzahlen am den Memungen von T . M .

Ha#man [5] (U: upllow, T: transition)

Datbez. R e p P r r t l / l Pr~ Gr~.d/l ~EJ~a

U 33 4,3 8,1 114 1,7 U 15 4,6 5,5 630 1,7 T 33 5,6 7,4 763 3,6

U 1 13,0 6,5 234 1,2 T 16 12,4 7,2 658 1,8 U 23 12,7 6,6 1562 2,3 T21 12,5 7,2 1815 3,5

U 20 31,9 9,0 297 1,4 U 9 35,6 5,4 2326 1,3 U 26 35,3 7,0 2805 2,1 T 34 36,4 7,3 3284 2,5 T8 33,1 6,5 4824 2,5

U 3 50,1 6,3 997 1,2 U 8 47,2 4,4 4103 1,2 U 28 112,8 7,1 2340 1,3

Formelzeichen und Indizes

F o r m e l z e i c h e n

A m 2 Rohrquerschnittsfl/iche c m/s Str6mungsgeschwindigkeit cp J/kg spezifische isobare Energiekapazit/it d m Rohrdurchmesser G r - Grashofzahl g m/s 2 Erdbeschleunigung l m Rohrl~inge m kg Masse

kg/s Massenstrom N u - Nusseltzahl P r - - Prandtlzahl p Pa Druck

W/m 2 W/irmestromdichte R m Rohrradius R e - - Reynoldszahl r rn radiale Ortskoordinate T K Temperatur t ~ Temperatur

Forschung im Ingenieurwesen Bd. 55 (1989) Nr. 3 7 5

W~rmefibergang bei freier Konvektion und erzwungener, laminater Strrmung in senktechten Rohren

z m axiale Ortskoordinate ~t W/m2/K W.~rmefibergangskoelTmient t/ kg/m/s dynamische Viskositgt 2 W/m/K W~rmeleitf~higkeit p kg/m 3 Dichte

Indizes

A Rohraustritt E Rohreintritt

r/=f[t] (in Verbindung mit Nu) G p = fit] im Auftriebsterm (in Verbindung mit Nu) K konstante Stoffwerte (in Verbindung mit Nu) I auf Ai~ bezogen (in Verbindung mit Nu) m gemittelt o 5rtlich r radial st auf Stoffwerttemperatur bezogen I4/ Rohrwand z axial

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Eingegangen am23.11.1988 F3974

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