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Neuer Beweis eines ldassischen Tauber-Satzes

Yon HEINZ K6~m in Aachen

�9 In der vorliegenden Note gebe ich einen sehr einfaehen Beweis des unten folgenden Tauber-Satzes fiir Laplace-Stieltjes-Integrale, der in engem Zusammenhange mit der Umkehrung des Abelschen Stetigkei~ssatzes steht. Der Satz riihrt yon H ~ D Y - LITTL~WOOD [3, 4], DOV, TSCH [1] und Szlsz [7] her. Der einfachste der bisher bekann- ten Beweise ist der yon K ~ T i [6]. E r ist in H~RDY [2] mad WIDDER [8] dar- gestellt und liegt den in den letzten Jahren yon W I F ~ D T [9] und I z u ~ I [5] gegebenen Beweisen der Umkehrung des Abelsehen Stetigkeitssatzes zugrunde. Der neue Ge- danke des vorliegenden Beweises ist die Anwendung des Auswahlsatzes yon H~LLY; vgl, e~wa W I D D ~ [8]. Dieser Gedanke fiihrt auch in allgemeineren und analogen Fs zum Ziele*).

Satz. Die .Funktion qD (t) sei in t >= 0 monoton wachaend, und daz Integral

(1) /(z) = f e-=td~(t) o

konvergiere /iir x :> O. Fiir ein ~ > 0 existiere

(2) ~ x ~ 1 (z) = A . ~ - . + o

Dann ist

(3) lim r A t - . ~ ~ F(~ + 1)

B e w e i s . Wit kSnnen qo(O) = 0 annehmen. Aus (1) erhalten wit nach partieller Integrat ion und Variablentransformation

o

fiir x, = :> O. Wegen der Monotonie yon q)(t) hat man flit x = 1 o o

1

*) Zusatz bei der Korrektur. Der Gedanke des vorliegenden Beweises steht in engem Zu- sammenhange mit der yon R. SC~-~IDT in Math. Z. 22, 89--152 (1925) entwickelten Beweis- methode. Auf ~hnlichem Wege gewinnt A. BEURLING in Acta Math. 77, 127-136 (1945)aus einem allgemeinen Eindeutigkeitssatz einen Beweis des allgemeinen Tauber-Satzes yon Wiener.

Vol. XI, 1960 Neuer Beweis eines klassischen Tauber-Satzes 279

so dal~ nach (2) ~0 (~)/~ in 0~ >_ 1 besehr~nkt ~ Mis t . Hieraus folg~ fiir ~ _>__ 1

(5) 0~<~(o~t)<{ M ftir 0 _ < t < l } -- ~ = Mt ~ fiir t >=I

Wir bet rachten nun eine gegen oo strebende Folge yon posi~iven Zahlen ~j (j = ---- 1, 2, ...), f'dr die der:Grenzwert

C = lira ~(~)

existiert. Zum Beweise yon (3) haben wir zu zeigen, dal3 C = A/3"(2 -]- 1) sein m u l l Auf Grund yon (5) sind die mono ton wachsenden Funkt ionen 7~(~.t)/~ in j edem

Interval l 0 <-- t ~< T < oo gleichm~lBig beschr~nkt. Wir wenden den Satz yon HELLY sukzessive fiir T = 1, 2 . . . . an und erhalten nach dem Diagonalveffahren eine Teil- folge ~ (~j t)/t~., die in jedem Punk te t >=0 konvergiert . Die Grenzfunktion L (t) dieser Teilfolge ist in t ~ 0 mono ton waehsend, u n d e s ist L(1) = C. Blaeh (4) haben wir

0 0

x ~ f ~(/~jt) d.

o

ffir x > 0. Wegen (5) d~xfen wit den Grer~iibergang j ~ ~ auf der reehten Seite unter dem Integralzeiehen vollziehen. Naeh (2) erhal ten wit

A = ~?+Ife-~L(t) dt 0

f'~r x > O. I)aher ist nach dem Eindeutigkeitssatz der Laplace-Transformation

A tA L(t) -- r(A + I)

fiir fast alle t > 0 und wegen der Monotonie yon L (t) f'dr alle t > O. Insbesondere

haben wir C = L(1) = A/l'(i ~- I), was zu beweisen war.

Literaturverzeiclmis

[1] G. DOETSCH, Ein Konvergenzkriterium fiir Iutegrale. Math. Ann. 82, 68--82 (1920). [2] G.H. HARDY, Divergent Series. Oxford 1949. [3] G.H. HARDY and J .E . LITTLEWOOD, Tauberian Theorems concerning Power Series and

Dirichlet's Series whose Coefficients are positive. Proc. London Math. Soc. 13, 174--191 (1913).

[4] G.H. HARDY and J .E . LrrrL~.WOOD, Notes on the Theory of Series. XI. On Tauberian Theorems. Proc. London Math. Soe. 30, 23--37 (1929).

[5] S. Izu~I, A simple Proof of Littlewood's Tauberian Theorem. Proc. Sap. Acad. 39, 927"929 (1954).

[6S J. K-ARa.MATA, Neuer Beweis und Verallgemeinerung einiger Tanberian-S~tze. Math. Z. 33, 294--299 (1931).

[7] O. SzX~z, Verallgemeinerung und neuer Beweis eimger S~tze Tauberscher Art. S.-Ber. math.- naturw. K1. Bayer. Akad. Wiss. Miinchen 59, 325--340 (1929).

[8] D. V. WIDDEI~, The Laplace Transform. Princeton 1946. [9] H. WIEL~NDT, Zur Umkehrung des Abelsehen Stetigkeitssatzes. Math. Z. 56, 206--207 (1952).

Eingegangen am i5. 3. 1960