Nichtlinearit¨at in klassischer Physik und Quantenphysik ...hanke/Uni/5.Sem/NLin/Uebungen/... · Aufgabe 3: Phasenraumstruktur des getriebenen Pendels F¨ur ein System mit einem

Institut fur Theoretische Physik Wintersemester 2005/06Dr. P. Schlagheck und Prof. Dr. K. Richter

Ubungen zur

Nichtlinearitat in klassischer Physik und Quantenphysik

Blatt 1

Aufgabe 1: Extremalprinzip

Gegeben sei ein autonomes mechanisches System mit n Freiheitsgraden, welchesdurch die Lagrange-Funktion L(q, q) beschrieben wird. Wir bezeichnen mit q0(t)eine klassische Trajektorie, die in der Zeit t0 von q1 nach q2 fuhrt.

a) Leiten Sie die Lagrange-Gleichungen aus der Forderung her, dass bei derklassischen Trajektorie q0(t) das Wirkungsintegral

∫ t0

0

L(q(t), q(t))dt

stationar unter infinitesimalen Variationen von q(t) sein soll, welche dieAnfangs- und Endpunkte q1 bzw. q2 unverandert lassen.

b) Fur die Trajektorie q0(t) wird die Hamiltonsche Prinzipalfunktion durch

R(q1,q2, t0) =∫ t0

0

L(q0(t), q0(t))dt

definiert. Zeigen Sie

∂R

∂q1

(q1,q2, t0) = −p1

∂R

∂q2

(q1,q2, t0) = p2

∂R

∂t0(q1,q2, t0) = −E

Dabei bezeichnen p1 den Anfangsimpuls, p2 den Endimpuls, sowie E die(zeitunabhangige) Gesamtenergie der Trajektorie q0(t).

Aufgabe 2: Phasenraumstruktur eindimensionaler Systeme

Gegeben sei die Hamiltonfunktion H(p, q) =p2

2+ V (q) mit

a) V (q) = (q2 − 1)2

b) V (q) = q − q3

Skizzieren Sie jeweils V (q) sowie die Phasenraumstruktur, die durch die Zeitent-wicklung unter der Hamiltonfunktion H(p, q) generiert wird.

Aufgabe 3: Numerische Berechnung des Phasenraums

Plotten Sie den Phasenraum der Hamiltonfunktion

H(p, q) =p2

2− cos q

(mathematisches Pendel) durch numerische Integration der Hamiltonschen Bewe-gungsgleichungen. Berechnen Sie dazu jeweils 20 Trajektorien mit den Anfangs-bedingungen

(p0, q0) ∈ (0.2, 0), (0.4, 0), . . . (4, 0)

und tragen Sie die dabei erhaltenen Punkte im p–q Diagramm auf. Nutzen SieSymmetrien und die Periodizitat in q, um das Phasenraumbild zu vervollstandi-gen.

Hinweise:

1. Zur numerischen Losung der Bewegungsgleichungd

dty(t) = f(y, t) mit

y(t) = (y1(t), . . . , yn(t)) kann das Runge-Kutta-Verfahren zweiter Ordnungverwendet werden. Bei letzterem wird, bei gegebenem y0 ≡ y(t), ein Nahe-rungsausdruck fur y1 ≡ y(t + δt) durch die Vorschrift

y1 = y0 + f(y1/2, t + δt/2) · δt mit

y1/2 = y0 + f(y0, t) · δt/2 (als Schatzwert fur y(t + δt/2))

bestimmt. Verwenden Sie z.B. einen Zeitschritt von δt = 0.001.

2. Zum Auftragen der im Lauf der numerischen Integration berechneten Punk-te empfiehlt es sich, letztere in eine Datei zu schreiben und diese dann nachAbschluss der Integration mit einem Plot-Programm (z.B. gnuplot oderxmgrace) aufzurufen.


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Blatt 2

Aufgabe 1: Vermiedene Kreuzungen

Gegeben sei ein aus den zwei Zustanden |+〉 und |−〉 bestehendes Quantensystem(z.B. ein Spin 1/2 Teilchen mit den Zustanden “Spin up” und “Spin down”),dessen Dynamik durch den Hamiltonoperator H beschrieben wird. In der Basis( |+〉, |−〉) habe H die Gestalt

H =

(

E0 + ∆ VV ∗ E0 − ∆

)

,

mit E0, ∆ ∈ R und V ∈ C.

a) Berechnen Sie die Eigenwerte von H .

b) Gehen Sie jetzt davon aus, dass E0, ∆ und V von einem reellen Parameterλ anhangen — also E0 = E0(λ), ∆ = ∆(λ), V = V (λ). Wie viele reelleGleichungen muss λ erfullen, damit die beiden Eigenwerte von H entartetsind? Was andert sich, wenn V rein reell ist?

c) Skizzieren Sie die Eigenniveaus von H als Funktion von λ fur ∆(λ) = λ∆0

und feste, von λ unabhangige Werte von E0 und V . Was passiert mit demEigenzustand des energetisch niedrigeren (bzw. hoheren) Eigenwerts, wennder Parameter λ durch einen externen Kontrollmechanismus adiabatisch(d.h. auf sehr langsame Art und Weise) von λ = −100 V/∆0 nach λ =100 V/∆0 variiert wird?

Aufgabe 2: Poisson-Verteilung

Gegeben seien n reelle Zufallszahlen x1, . . . , xn, die gleichmaßig uber dasIntervall xi ∈ [0, n] verteilt sind. Berechnen Sie numerisch fur n = 105 dieWahrscheinlichkeitsdichte P (s), dass der Abstand zwischen einer gegebenenZufallszahl xi und ihrem nachsthoheren Nachbar xj auf der x-Achse genaus betragt.

Anleitung:

(a) Bestimmen Sie mit Hilfe eines Zufallszahlengenerators 105 reelle Zu-fallszahlen im Intervall [0, 105].

(b) Sortieren Sie die Zufallszahlen xj nach ihrer Große, so dass xi ≤ xj

fur alle i < j gilt (i, j ∈ 1, 2, . . . 105).(c) Zahlen Sie ab, wie viele Abstande s = xj+1 − xj in den Intervallen

[0, 0.1], [0.1, 0.2], . . . , [9.9, 10] vorliegen, und tragen Sie dabei erhal-tenen relativen Haufigkeiten in einem Balkendiagramm auf. Welchefunktionale Form ergibt sich fur P (s)?


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Blatt 3

Aufgabe 1: Kanonische Transformationen und Poisson-Klammern

Gegeben sei, fur ein System mit einem Freiheitsgrad, eine kanonische Transfor-mation (p, q) 7→ (P, Q), die durch die erzeugende Funktion F = F (q, Q) generiertwird. Zeigen Sie:

P, Q = 1 .

Dabei bezeichnet f, g =∂f

∂p

∂g

∂q−

∂f

∂q

∂g

∂pdie Poisson-Klammer der Funktionen

f und g.

Hinweis: Verwenden Sie die Gleichungen

p =∂F

∂q(q, Q(p, q)) und P (p, q) = −

∂F

∂Q(q, Q(p, q)) ,

um die partiellen Ableitungen von P (p, q) auszurechnen.

Aufgabe 2: Winkel-Wirkungsvariablen

a) Bestimmen Sie p und q als Funktion der Winkel-Wirkungsvariablen (I, θ)im eindimensionalen harmonischen Oszillator:

H =p2

2m+

1

2mω2q2.

b) Berechnen Sie die Energie als Funktion der Wirkungsvariable fur die ge-bundene Radialbewegung im Kepler-Potential mit Drehimpuls l:

H =p2

r

2m−

α

r+

l2

2mr2.

Hinweis: dI/dE lasst sich hier einfacher berechnen als I(E).

Aufgabe 3: Phasenraumstruktur des getriebenen Pendels

Fur ein System mit einem Freiheitsgrad sei eine periodisch von der Zeit abhangen-de Hamiltonfunktion H(p, q, t) = H(p, q, t+T ) gegeben. Die Dynamik, die durchH generiert wird, lasst sich durch stroboskopische Schnitte des Phasenraums vi-sualisieren. Dazu integriert man die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen undplottet (p, q) zu den Zeiten t = t0 + nT mit n ∈ Z.

Plotten Sie die stroboskopischen Schnitte des Phasenraums fur die Hamiltonfunk-tion des periodisch getriebenen Pendels

H(p, q, t) =p2

2− (1 + ε cos t) cos q

mit t0 = 0 und

a) ε = 0.1, b) ε = 0.2, c) ε = 0.5,d) ε = 1, e) ε = 2, f) ε = 5.

Berechnen Sie dazu, wie in Aufgabe 3 von Blatt 1, ca. 30 Trajektorien mit denAnfangsbedingungen (p0, q0) ∈ (0.2, 0), (0.4, 0), . . . und tragen Sie die zu denZeiten t = 0, 2π, 4π, 6π, . . . erhaltenen Punkte im p–q Diagramm auf. Nutzen Siewieder Symmetrien und die Periodizitat in q, um das Phasenraumbild zu ver-vollstandigen.


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Blatt 4

Aufgabe 1: Klassische Storungstheorie im Pendel

Gegeben sei die Hamiltonfunktion des Pendels

H =p2

2− ε cos q .

Betrachten Sie (p, q) als Winkel-Wirkungsvariablen des ungestorten Systems (d.h.fur ε = 0) und berechnen Sie im Grenzfall kleiner ε die funktionale Form derPhasenraumkurven p = p(I, q) fur gegebene Wirkungsvariable I des gestortenSystems. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der numerisch berechneten Phasen-raumstruktur.

Aufgabe 2: Adiabatische Storungstheorie

Gegeben ist ein System mit einem Freiheitsgrad, das einem hochfrequenten zeit-periodischen Antrieb mit Periode τ unterworfen ist. Dieses System werde durchdie zeitabhangige Hamiltonfunktion H(p, q, t) = H(p, q, t + τ) beschrieben [z.B.H(p, q, t) = p2/2 + V (q) cos(2πt/τ)]. Bestimmen sie mit Hilfe der klassischenStorungstheorie eine zeitunabhangige Hamiltonfunktion H = H(p, q), die dieDynamik des Systems im Grenzfall τ → 0 beschreibt.

Anleitung:

1. Zeigen Sie, dass die durch H generierte Dynamik dem autonomen System

H(p, q, I, θ) = I +τ

2πH

(

p, q,τ

2πθ)

mit θ = 2πt/τ und I = −Eτ/(2π) aquvalent ist. E ist dabei die zeitabhangi-ge Energie des Systems.

2. Ermitteln Sie eine infinitesimale kanonische Transformation

(p, q, I, θ) 7→ (p, q, J, ϕ) ,

unter der die θ-Abhangigkeit von H in linearer Ordnung in τ eliminiertwird:

H(p, q, I, θ) = H(p, q, J)

3. Bestimmen Sie H(p, q) durch Rucktransformation der so erhaltenen Hamil-tonfunktion H(p, q, J) in das ursprungliche zeitabhangige System.

Aufgabe 3: Standard Map

Gegeben sei fur k ∈ R die Abbildung T : (p, q) 7→ (p′, q′) mit

p′ = p − k sin q

q′ = q + p′ .

a) Begrunden Sie, warum T dem stroboskopischen Schnitt der Hamiltonfunk-tion des “gekickten Rotors”

H(p, q, t) =p2

2− k cos q

∞∑

n=−∞

δ(t − n)

zu den Zeiten t = n − ε mit ε → 0+ und n ∈ Z entspricht (δ(t) bezeichnethier die Delta-Funktion). (p′, q′) sind also diejenigen Phasenraumvariablen,die sich aus (p, q) durch Zeitentwicklung unter H ergeben, wobei der An-fangszeitpunkt durch t = n − ε und der Endzeitpunkt durch t′ = n + 1 − εfur ein festes n ∈ Z gegeben ist.

b) Zeigen Sie: Zu jedem Paar ganzer Zahlen (k, l) ∈ Z gibt es ein weiteres Paarganzer Zahlen (m, n) ∈ Z mit

T (p + 2πk, q + 2πl) = (p′ + 2πm, q′ + 2πn) ,

wenn (p′, q′) = T (p, q) gilt. Die durch T generierte Phasenraumstruktur istdamit 2π-periodisch in p und q. Bestimmen Sie (m, n) in Abhangigkeit von(k, l).

c) Plotten Sie die Phasenraumstruktur, die sich durch Iteration von T ergibt,fur

(i) k = 0.1, (ii) k = 0.2, (iii) k = 0.5,(iv) k = 1, (v) k = 2, (vi) k = 5.

Berechnen Sie dazu numerisch 40 Trajektorien (mit je 1000 Iterationen)mit den Anfangsbedingungen q = 0 und p = ±0.2,±0.4, . . . ± 4. NutzenSie die Periodizitat aus Teilaufgabe b), um das Phasenraumbild im Bereich−π ≤ p, q ≤ π zu vervollstandigen.


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Blatt 5

Aufgabe 1: Kramers Entartung

Gegeben sei ein Hamiltonoperator H , der mit einem antiunitaren Operator T mitder Eigenschaft T 2 = −1 vertauscht: [H, T ] = 0. Abgesehen von dieser Zeitum-kehrinvarianz habe H keine weiteren Symmetrien.Zeigen Sie:

a) Ist |ψ〉 ein Eigenvektor von H , dann ist auch |ψ〉 := T |ψ〉 ein Eigenvektorvon H zum gleichen Eigenwert und es gilt: 〈ψ |ψ〉 = 0. Jeder Eigenwert vonH ist daher zweifach entartet.

b) In einer Orthonormalbasis des Hilbertraums von der Form

B = |ψ1〉, |ψ1〉, |ψ2〉, |ψ2〉, . . . mit |ψj〉 := T |ψj〉 fur alle j ∈ N

gilt T = ZK, wobei K der Operator der komplexen Konjugation bezuglichder Basis B ist und Z die blockdiagonale Gestalt

Z =

zz

. . .

mit den 2 × 2 Blocken z =

(

0 −11 0

)

hat.

c) In der Basis B hat H die Gestalt

H =

h11 h12 · · ·h21 h22...

. . .

,

wobei sich die 2 × 2 Blocke hmn gemaß

hmn = h(0)mnI + h(1)

mnτ1 + h(2)mnτ2 + h(3)

mnτ3

mit reellen Koeffizienten h(k)mn ∈ R darstellen lassen. Dabei sind

τ1 =

(

0 −i−i 0

)

, τ2 =

(

0 −11 0

)

, τ3 =

(

−i 00 i

)

die Quaternionenmatrizen und I bezeichnet die 2 × 2 Einheitsmatrix. Esgilt außerdem h

(0)mn = h

(0)nm sowie h

(k)mn = −h

(k)nm fur k ∈ 1, 2, 3.

d) Die obige Struktur von H ist invariant unter unitaren Basistransforma-tionen S, welche die Eigenschaft SZST = Z erfullen. Solche Matrizen Sbezeichnet man auch als symplektische Matrizen.

Aufgabe 2: Nachste-Nachbar-Abstandsverteilung im Rechteckbillard

Gegeben sei die stationare Schrodinger-Gleichung im zweidimensionalen Kasten-potential mit unendlich hohen Wanden:

− ~2

2m

(

∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)

ψ(x, y) + V (x, y)ψ(x, y) = Eψ(x, y)

mit

V (x, y) =

0 : 0 ≤ x ≤ a und 0 ≤ y ≤ b∞ : sonst

a) Zeigen Sie, dass die Eigenenergien durch Ek,l =~

2π2

2m

(

k2

a2+

l2

b2

)

mit k, l ∈ 0, 1, 2, . . . gegeben sind.

b) Berechnen Sie fur a = 1, b = 12(√

5 − 1) und ~2π2/(2m) = 1 die Nachste-

Nachbar-Abstandsverteilung P (s), also die Wahrscheinlichkeitsdichte, dassdie Differenz zweier im Spektrum benachbarter Eigenenergien mit s uber-einstimmt. Verwenden Sie dazu die 100 000 niedrigsten Niveaus dieses Sy-stems und zahlen Sie ab, wie viele Abstande zwischen benachbarten Niveausin den Intervallen [0, 0.1], [0.1, 0.2], . . . , [9.9, 10] vorliegen. Welche funktio-nale Form ergibt sich fur P (s)?


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Blatt 6

Aufgabe 1: Storungstheorie in der Umgebung von Resonanzen

Gegeben sei die Hamiltonfunktion

H(I1, I2, θ1, θ2) = H0(I1, I2) + εV (I1, θ1, θ2) ,

wobei (I1, I2, θ1, θ2) die Winkel-Wirkungsvariablen von H0 bezeichnen. Der Ein-fachheit halber betrachten wir den Spezialfall

H0(I1, I2) = E0(I1) + ΩI2

und nehmen an, dass V nicht von I2 abhangt. Mit I1 = I(0)1 bezeichnen wir

diejenige Wirkungsvariable von E0, bei der eine r:s Resonanz auftritt. Es giltalso

rω0(I(0)1 ) = sΩ

mit ω0(I1) ≡dE0

dI1(I1) und r, s ∈ N.

a) Durch die erzeugende Funktion

Φ(θ1, θ2, J1, J2) = J1θ1 + J2θ2 −s

rθ2J1

wird eine kanonische Transformation (I1, I2, θ1, θ2) 7→ (J1, J2, ϕ1, ϕ2) in einauf der Resonanz mitrotierendes Bezugssystem definiert. Zeigen Sie, dass inder unmittelbaren Umgebung der resonanten Wirkung, also fur I1 ' I

(0)1 ,

die Hamiltonfunktion in den neuen Variablen durch

H(J1, J2, ϕ1, ϕ2) = E0 + ΩJ2 + H1(J1, ϕ1, ϕ2)

mit einer konstanten Energie E0, sowie mit

H1(J1, ϕ1, ϕ2) =1

2m0(J1 − I

(0)1 )2 + εV

(

J1, ϕ1 +s

rϕ2, ϕ2

)

und1

m0≡ d2E0

dI21

(I(0)1 ) gegeben ist. Sie konnen dazu die Taylor-Entwicklung

von E0(I1) bis zur zweiten Ordnung verwenden.

b) Wenden Sie die adiabatische Storungstheorie (Blatt 4/Aufgabe 2) an, umdie ϕ2-Abhangigkeit von H zu eliminieren. Ermitteln Sie also eine infini-tesimale kanonische Transformation (J1, J2, ϕ1, ϕ2) 7→ (J1, J2, ϕ1, ϕ2), furdie

H(J1, J2, ϕ1, ϕ2) ' H(J1, J2, ϕ1) = E0 + ΩJ2 + 〈H1〉(J1, ϕ1)

in linearer Ordnung in H1 gilt, und bestimmen Sie 〈H1〉(J1, ϕ1) unter Beruck-sichtigung der Tatsache, dass H1 2πr-periodisch in ϕ2 ist.

c) Zeigen Sie mit Hilfe des Fourier-Ansatzes

V (I1, θ1, θ2) =∞

∑

k1,k2=−∞

Vk1k2(I1)e

i(k1θ1+k2θ2) ,

dass 〈H1〉 in niedrigster Ordnung durch die in ϕ1 2π/r-periodische Funktion

〈H1〉(J1, ϕ1) = K0(J1) +1

2m0

(J1 − I(0)1 )2 +

∞∑

l=1

Kl(J1) cos(rlϕ1 + φl)

gegeben ist, und bestimmen Sie Kl(J1) sowie φl aus den Fourier-KoeffizientenVk1k2

(I1).

d) Welche Phasenraumstruktur wurde man also in einem durch die Bedingungθ2 = 0 mod 2π definierten Poincare-Schnitt erhalten, wenn man davonausgehen kann, dass die Koeffizienten Kl mit zunehmendem l sehr starkabfallen und bei der Resonanz nahezu unabhangig von J1 sind?

Aufgabe 2: Chaos und Stochastizitat

Fur k = 5 ist der Phasenraum der “Standard Map” (siehe Blatt 4)

p 7→ p′ = p − k sin q

q 7→ q′ = q + p′

nahezu vollstandig strukturlos. Bestimmen Sie numerisch, wie bei diesem Wertvon k der Absolutwert des Impulses mit der Zahl der Iterationen durchschnittlichanwachst. Mitteln Sie dafur uber die Trajektorien von 100 Anfangspunkten, de-finiert z.B. durch q = 1 und p ∈ 0.001, 0.002, . . .0.01. An welche stochastischeBewegungsform erinnert dieses Verhalten?


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Blatt 7

Aufgabe 1: Komplex hermitesche 2 × 2 Zufallsmatrizen

Gegeben sei ein Ensemble von komplex hermiteschen 2×2 Matrizen

H =

(

E1 VR + iVI

VR − iVI E2

)

mit E1, E2, VR, VI ∈ R.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte P (H) fur das Auftreten einer Matrix H soll dieBedingungen erfullen, dass sie invariant unter unitaren Transformationen ist,

P (H) = P (UHU †) fur alle U ∈ C2×2 mit UU † = 1 ,

sowie in den reellen Matrixelementen, die H parametrisieren, faktorisiert,

P (H) = P1(E1)P2(E2)PR(VR)PI(VI) .

a) Zeigen Sie, dass unter diesen Bedingungen P (H) durch

P (H) = C exp[

−ATr(H2) − BTr(H)]

mit A, B, C ∈ R gegeben ist. Es genugt dabei, die Invarianz von P (H)unter infinitesimalen unitaren Transformationen zu betrachten.

b) Berechnen Sie daraus die Wahrscheinlichkeitsdichte P (s) fur einen Abstands = |E+ − E−| zwischen den beiden Eigenwerten E+ und E− von H .Drucken Sie das Ergebnis in Abhangigkeit des mittleren Niveauabstands〈s〉 =

∫

sP (s)ds aus.

Aufgabe 2: Poissonsche Summenformel

a) Zeigen Sie fur x ∈ R:

∞∑

m=−∞

e2πimx =

∞∑

n=−∞

δ(x − n) .

b) Gegeben sei die Funktion f(x) und ihre Fourier-Transformierte

F (k) =1√2π

∫ ∞

−∞

f(x)eikxdx .

Zeigen Sie fur α ∈ R:

∞∑

n=−∞

f(αn) =

√2π

α

∞∑

m=−∞

F

(

2πm

α

)

.


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Blatt 8

Aufgabe 1: Fixpunkte der Standard Map

a) Bestimmen Sie die Fixpunkte der Standard Map

p 7→ p′ = p − k sin q

q 7→ q′ = q + p′

und deren Stabilitatseigenschaften als Funktion von k > 0.

b) Was passiert mit dem Fixpunkt bei (p, q) = (0, 0), wenn k von 3.9 nach4.1 variiert wird? Plotten Sie dazu entsprechende Phasenraumbilder in derUmgebung dieses Fixpunkts.

Aufgabe 2: Symplektische Matrizen

In hoherdimensionalen Systemen wurde die Jacobi-Matrix einer Poincare-Abbil-dung T : (p1, . . . , pn, q1, . . . , qn) 7→ (p′1, . . . , p

′

n, q′

1, . . . , q′

n) einer symplektischen

Matrix entsprechen. D.h. es gilt

MT JM = J mit J =

(

0 −I

I 0

)

fur M = DT , wobei I die n × n Einheitsmatrix bezeichnet. Zeigen Sie:

a) Sind M1 und M2 symplektisch, dann ist auch M1M2 symplektisch.

b) M ist genau dann symplektisch, wenn M invertierbar ist und die Inversedurch M−1 = −JMT J gegeben ist.

c) Ist λ ein Eigenwert der symplektischen Matrix M , dann ist auch 1/λ einEigenwert von M .

d) Fur 2 × 2 Matrizen gilt: M ist genau dann symplektisch, wenn det M = 1gilt.

Aufgabe 3: Poincare-Schnitte

Gegeben sei die Hamiltonfunktion von Henon und Heiles:

H =1

2(p2

x + p2

y) + V (x, y)

mit

V (x, y) =1

2(x2 + y2) + x2y −

1

3y3.

Fur gegebene Energie E > 0 wird die Poincare-Schnittflache durch die Bedingungx = 0 definiert. Plotten Sie py und y in dieser Schnittflache fur die Energieniveaus

a) E = 0.01, b) E = 0.1, c) E = 0.12,d) E = 0.14, e) E = 0.16, f) E = 1/6.

Anleitung:

1. Definieren Sie pro Energieniveau ein Gitter von moglichen Anfangspunktenim Phasenraum, z.B. durch x(t = 0) = 0, y(t = 0) = −0.5,−0.4, . . . , 1und py(t = 0) = 0,±0.1, . . . ,±0.5 (bei E = 0.01 muss dieses Gitter u.U.verfeinert werden). Wahlen Sie von diesen Anfangspunkten diejenigen aus,fur die V (x, y)+ p2

y/2 ≤ E ist, und bestimmen Sie den Anfangswert von px

durch die Forderung, dass die Gesamtenergie = E sein soll.

2. Berechnen Sie numerisch die sich aus diesen Anfangsbedingungen ergeben-den Trajektorien so lange, bis Sie pro Trajektorie 500 Durchstoßpunkte mitder Poincare-Schnittflache erhalten haben.

3. Ermitteln Sie die Werte von y und py am Durchstoßpunkt durch lineareInterpolation zwischen den beiden Punkten der Trajektorie, an denen xdas Vorzeichen wechselt.


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Blatt 9

Aufgabe 1: WKB-Naherung fur den linearen Potentialtopf

Gegeben sei das Potential

V (x) =

∞ : x < 0αx : x > 0

mit α > 0 ,

welches z.B. die Transversaldynamik im zweidimensionalen Elektronengas beiHalbleiter-Heterostrukturen beschreibt.

a) Begrunden Sie, warum die semiklassische WKB-Formel fur die quantisiertenEnergieniveaus hier durch

∫ x1

0

√

2m(E − V (x)) dx = π~(n + 3/4)

mit n = 0, 1, . . . gegeben ist. x1 bezeichnet dabei den außeren Umkehrpunktbei der Energie E.

b) Berechnen Sie die semiklassischen Energieniveaus fur dieses Potential. Wieskaliert die Zustandsdichte (also der inverse Abstand benachbarter Niveaus)mit der Energie?

c) Betrachten Sie nun einen (punktformigen) Gummiball mit der Masse m =100g im Schwerefeld. In welchem Quantenzustand ware der Ball, wenn erin einer Hohe von einem Meter uber dem Boden losgelassen wird? Wie großware der Abstand zum Boden im quantenmechanischen Grundzustand?

Aufgabe 2: Niveauaufspaltung im Doppelmuldenpotential

Gegeben sei das in der untenstehenden Abbildung dargestellte symmetrische Dop-pelmuldenpotential V (x). Zeigen Sie anhand des WKB Ansatzes, dass sich imGrenzfall ~ → 0 die Energien E± der symmetrischen und antisymmetrischen Ei-genzustande unterhalb der Barriere — also fur E ≡ 1

2(E+ + E−) < V (0) — um

den Betrag

∆E = E− − E+ =~ω

πexp

(

−1

~

∫ a

−a

√

2m(V (x) − E) dx

)

unterscheiden. Dabei bezeichnen ω = ω(E) die Frequenz und a = a(E) deninneren Umkehrpunkt der klassischen Oszillation innerhalb der rechten Mulde.

-a(E) 0 a(E)x

E

V


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Blatt 10

Aufgabe 1: Lyapunov-Exponent

Gegeben sei eine flachenerhaltende Abbildung T : (p, q) 7→ (p′, q′). Der ein endli-ches chaotisches Teilgebiet V des zweidimensionalen Phasenraums charakterisie-rende Lyapunov-Exponent σ ist definiert durch

σ = limn→∞

limd0→0

1

nln

(

1

d0

‖T n(p0, q0) − T n(p0, q0)‖)

.

Dabei bezeichnen (p0, q0) und (p0, q0) = (p0 + δp0, q0 + δq0) zwei beliebige, umden Abstand

d0 := ‖(δp0, δq0)‖ ≡√

δp20 + δq2

0

voneinander entfernte Anfangspunkte in V . Numerisch lasst sich σ bestimmen,indem der Abstand zwischen den beiden Trajektorien nach jedem Iterationsschrittrenormiert wird: Bezeichnet (pn, qn) = T n(p, q), so definiert man rekursiv

(δpn, δqn) := T (pn−1, qn−1) − (pn, qn)

(pn, qn) := (pn, qn) +d0

dn(δpn, δqn)

fur n > 1, mit dn = ‖(δpn, δqn)‖. Damit gilt:

σ = limn→∞

1

n

n∑

j=1

ln(dj/d0).

a) Warum sind beide Definitionen aquivalent?

b) Berechnen Sie numerisch den Lyapunov-Exponenten fur das Henon-Heiles-System (Blatt8/Aufgabe 3) bei E = 1/6.

c) Berechnen Sie numerisch den Lyapunov-Exponenten fur die Standard Map(Blatt 8/Aufgabe 1) bei k = 10.

d) Berechnen Sie analytisch den Lyapunov-Exponenten der Standard Map imGrenzfall k À 1.

Hinweis: Da (pn, qn) und (pn, qn) nah benachbart sind, konnen Sie T li-nearisieren. Bestimmen Sie dn uber den betragsmaßig großten Eigenwertder Monodromie-Matrix von T und verwenden Sie die Ergodizitat, um dieSummation entlang der Trajektorie durchzufuhren.

Aufgabe 2: Gedampfte Dynamik

Gegeben sei die Hamiltonfunktion H(p, q) =p2

2+ V (q) mit

a) V (q) = 1

2q2 (harmonischer Oszillator),

b) V (q) = 1

8(q2 − 1)2 (Doppelmuldenpotential),

c) V (q) = cos q (Pendel).

In Anwesenheit eines Dampfungsterms mit Rate γ wird die Zeitentwicklung desSystems durch die Gleichung

q(t) + γq(t) +dV

dq(q(t)) = 0

beschrieben. Skizzieren Sie die sich daraus ergebende Dynamik im Phasenraumfur den Fall relativ schwacher Dampfung (γ < 1). Was passiert insbesonderemit den stabilen und instabilen Fixpunkten sowie mit der Separatrixstruktur desungedampften Systems, wenn die Dampfung eingeschaltet wird?


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Blatt 11

Aufgabe 1: Mittlere Niveaudichte in mehrdimensionalen Systemen

Ein semiklassischer Ausdruck fur die mittlere Niveaudichte in einem System mitn Freiheitsgraden ist durch die Thomas-Fermi-Formel

ρ(E) =1

(2π~)n

∫ ∫

δ(E − H(p, r)) dnp dnr

gegeben. Hierbei bezeichnen r = (r1, . . . , rn) die Ortskoordinaten, p = (p1, . . . , pn)die entsprechenden Impulse und H(p, r) die klassische Hamiltonfunktion des Sy-stems. Der Formel liegt die Uberlegung zugrunde, dass es pro Planck-Zelle mitPhasenraumvolumen (2π~)n im Mittel genau einen Quantenzustand gibt.

a) Zeigen Sie fur n = 3 und H =p2

2m+ V (r):

ρ(E) =m

2π2~3

∫

d3r√

2m(E − V (r))Θ(E − V (r)) .

Dabei bezeichnet Θ(x) =

1 : x > 00 : x < 0

die Stufenfunktion.

b) Berechnen Sie die mittlere Niveaudichte fur

(i) das dreidimensionale Kastenpotential mit unendlich hohen Wandenund den Kantenlangen a, b und c,

(ii) den dreidimensionalen isotropen harmonischen Oszillator mit der Fre-quenz ω,

(iii) das Wasserstoffatom.

Vergleichen Sie jeweils mit der exakten Niveaudichte aus der Quantenme-chanik.

Hinweis:

∫

1

0

x2√

1 − x2 dx =

∫

1

0

x2

√

1

x− 1 dx =

π

16

Aufgabe 2: Semiklassische Quantisierung des Wasserstoffatoms

Berechnen Sie anhand der semiklassischen WKB-Quantisierungsregel die Ener-gieniveaus des Wasserstoffatoms aus der Radialgleichung

−

~2

2mψ′′(r) +

(

~2l(l + 1)

2mr2−

e2

4πε0r

)

ψ(r) = Eψ(r)

fur l > 0. Welche Anderung musste man “von Hand” am Drehimpulsterm imeffektiven Potential vornehmen, um Ubereinstimmung mit den exakten Energie-niveaus zu erhalten?

Hinweis:

∫

1+η

1−η

1

x

√

η2− (x − 1)2 dx = π

(

1 −

√

1 − η2

)


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Blatt 12

Aufgabe 1: Fixpunkte

Gegeben sei das Differentialgleichungssystem

x = x(4 − x − y)

y = y(x− 2)

a) Bestimmen Sie die Fixpunkte dieses Systems und deren Stabilitatseigen-schaften.

b) Skizzieren Sie den Phasenraum. Sie konnen dazu geeignet gewahlte Trajek-torien numerisch integrieren und plotten.

Aufgabe 2: Grenzzyklen

Gegeben sei das Differentialgleichungssystem

x = x + y − x(x2 + y2)

y = −x + y − y(x2 + y2)

a) Bestimmen Sie die Stabilitatseigenschaften des Fixpunkts bei (x, y) = (0, 0).Gibt es weitere Fixpunkte?

b) Transformieren Sie das System auf Polarkoordinaten (r, ϕ). Zeigen Sie, dassdie Differentialgleichungen in r und ϕ voneinander unabhangig sind. Wel-cher weitere “Fixpunkt” ergibt sich in der Gleichung fur r? Welcher Man-nigfaltigkeit entspricht er im Phasenraum?

c) Skizzieren Sie den Phasenraum.

d) Lasst sich das Differentialgleichungssystem durch eine HamiltonfunktionH = H(p, q) (mit x = q und y = p) generieren?

Aufgabe 3: Henon Map

Gegeben sei die Abbildung T : (x, y) 7→ (x′, y′) mit

x′ = 1 − ax2 + y

y′ = bx

fur a, b > 0.

a) Zeigen Sie, dass T fur b 6= 1 nicht flachenerhaltend ist.

b) Bestimmen Sie den Fixpunkt von T fur a = 0 und zeigen Sie, dass dieserFixpunkt fur b < 1 stabil ist.

c) Berechnen Sie numerisch die Entwicklung dieses Attraktors fur 0 < a < 1.4bei b = 0.3. Unterteilen Sie dazu das Intervall 0 < a < 1.4 in aquidistanteSchritte der Breite δa = 0.001 und machen Sie fur jeden Wert von a 1000Iterationen der Henon Map T zu einem beliebigen Startpunkt. Tragen Siedabei die x-Komponenten der nach den ersten 900 Iterationsschritten er-haltenen Punkten (also (T 901)

x(x0, y0), (T

902)x(x0, y0), . . . , (T

1000)x(x0, y0))

als Funktion von a auf.

d) Bei a = 1.4 und b = 0.3 mundet die Dynamik der Henon Map in einen chao-tischen Attraktor. Plotten Sie diesen Attraktor in der x-y-Ebene und zeigenSie durch sukzessive Vergroßerungen, dass dieser Attraktor eine selbstahn-liche Struktur aufweist.


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Blatt 13

Aufgabe 1: Spurformel fur integrable Systeme

a) Gegeben sei ein zweidimensionales integrables Quantensystem mit zweiQuantenzahlen n1, n2 ∈ N, dessen Energieniveaus En1,n2

durch die FunktionE(x, y) ausgewertet bei x = n1 und y = n2 beschrieben werden. Zeigen Siemit Hilfe der Poissonschen Summenformel (Aufgabe 2 von Blatt 7), dass

sich die Niveaudichte ρ(E) =∞∑

n1,n2=1

δ(E − En1,n2) in der Form

ρ(E) = g1(E) + g2(E) +1

4δ(E − E(0, 0))

schreiben lasst mit

g1(E) = −1

2

∞∑

l=−∞

∫

∞

0

dx [δ(E − E(x, 0)) + δ(E − E(0, x))] e2πilx ,

g2(E) =∞

∑

l1,l2=−∞

∫

∞

0

∫

∞

0

δ(E − E(x, y))e2πi(l1x+l2y)dxdy .

Hinweis: g1 kompensiert die Beitrage bei n1 = 0 bzw. n2 = 0, die man imAusdruck fur g2 falschlicherweise mitzahlt.

b) Betrachten Sie jetzt ein Teilchen mit Masse m im zweidimensionalen Ka-stenpotential mit unendlich hohen Wanden und den Kantenlangen a undb. Zeigen Sie:

g1(E) = − m

2π~p

∞∑

l=−∞

(

ae2ilap/~ + be2ilbp/~)

g2(E) =mab

π2~2

∞∑

l1,l2=−∞

∫ π/2

0

dϕ exp

(

2ip

~(l1a cos ϕ + l2b sin ϕ)

)

mit p =√

2mE.

c) Werten Sie das Integral im Ausdruck fur g2 anhand der Methode der stati-onaren Phase im Grenzfall ~ → 0 aus und vergleichen Sie das resultierendeErgebnis fur ρ(E) mit der mittleren Niveaudichte ρ(E), die sich aus derThomas-Fermi-Formel (Aufgabe 1 von Blatt 11) ergibt. Welche Rolle spielenperiodische Bahnen im Rechteckbillard beim Korrekturterm ρ(E) − ρ(E)?

Aufgabe 2: Stabilitat periodischer Bahnen

Eine Lasermode soll in einer Cavity gespeichert werden, die aus zwei identischenHohlspiegeln mit Krummungsradius R gebildet wird (siehe Abbildung). Wie großdarf der Abstand L zwischen den Spiegeln maximal sein, damit der klassischeperiodische Orbit entlang der Symmetrieachse der Cavity stabil bleibt? BerechnenSie dazu die Eigenwerte der Stabilitatsmatrix dieses Orbits und diskutieren Siederen Verhalten in Abhangigkeit von L/R.

L

R


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Blatt 14

Aufgabe 1: Fraktale Dimension

a) Bestimmen Sie die Hausdorff-Dimension der Koch-Kurve:

b) Bestimmen Sie die fraktale Dimension der schraffierten Flache im Sierpinski-Dreieck:

Hinweis: Sie konnen die fraktale Dimension bestimmen, indem Sie den zweidi-mensionalen Raum in gleichseitige Dreiecke der Kantenlange l unterteilen unddie Zahl der Dreiecke, die das Objekt uberdecken, fur verschiedene l berechnen.

Aufgabe 2: Fraktale Dimension eines seltsamen Attraktors

Bestimmen Sie numerisch die Korrelationsdimension D2 des seltsamen Attraktorsder Henon Map (Blatt 12/Aufgabe 3) fur a = 1.4 und b = 0.3.

Anleitung:

1. Berechnen Sie dazu eine sehr lange Trajektorie, die in den chaotischen At-traktor der Henon Map mundet. Die einzelnen Punkte der Trajektorie wer-den mit rj = (xj , yj) bezeichnet (j = 1 . . .N).

2. Die Korrelationsdimension lasst sich dann durch

D2 = liml→0

ln P (l)

ln l

berechnen, wobei P (l) die Wahrscheinlichkeit angibt, dass der Abstandzweier Punkte der Trajektorie kleiner als l ist:

P (l) = limN→∞

1

N2

N∑

j,j′=1

Θ[l − ‖rj − rj′‖]

(Θ(x) bezeichnet hier die Stufenfunktion).

3. Berechnen Sie P (l) numerisch fur verschiedene l und ermitteln Sie, durchwelches Potenzgesetz P (l) ∝ lD2 sich die resultierende Kurve am bestenanfitten lasst.

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