น�น�ส�ระและข�วส�ร

ศ. ดร.สทศน ยกสาน คณะวทยาศาสตรมหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ

NielsAbelนกคณตศาสตรผยงใหญทสดของนอรเวย

ถา Niels Able มไดเสยชวตดวยวณโรคในวย 26 ป เขาอาจจะเปนนกคณตศาสตรผยงใหญทสดแหงครสตศตวรรษท 19 กได ทง ๆ ทมอายนอย และมประสบการณวจยไมมาก แต Abel กสามารถพ�สจนไดวาสมการก�าลง 5 (quintic equation) เชน ax5 +bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0 เมอ a, b, c, d, e และ f เปนจ�านวนใด ๆ ก ได ไมมค�าตอบของ x ทเปนสตรส�าเรจ สมดงท นกคณตศาสตรรนกอน Able ไดพยายามคนหามานานรวม 250 ป และหาไมได

Niels Henrik Abelเกดเมอวนท5สงหาคมค.ศ.1802(ตรงกบรชสมยสมเดจพระพทธยอดฟาจฬาโลกมหาราช) ทหมบานเลก ๆ บนเกาะFinnoy ซงตงอยทางทศตะวนตกเฉยงใตของเมองStavangerในนอรเวยบดาSorenGeorgeAbelมอาชพเปนนกบวชนกายLutheranสวนมารดาAnneMarieSimonsonเปนบตรสาวของพอคาทมฐานะดครอบครวAbelมลก7คนและNielsเปนลกคนท2 เมอAbelอาย2ขวบบดาไดอพยพครอบครวไปทำางานทเมองGaustad(หนงสอบางเลมเขยนเปนGjerstad-บก.)ครนถงวยตองเขาโรงเรยนAbelกบพนองทกคนไดเรยนหนงสอกบบดา ซงนอกจากจะมการศกษาดพอสมควรแลวยงเปนนก

เคลอนไหวในสภาผแทนราษฎร ในการตอสกอบกเอกราชของนอรเวยจากสวเดนดวย ในปค.ศ.1815Abelวย13ปกบพชายถกบดาสงตวไปเรยนหนงสอทCathedralSchoolในกรงออสโลซงเปนโรงเรยนทดทสดของประเทศ แตในปการศกษาทAbel เขาเรยนนนบรรดาครด ๆ ของโรงเรยนหลายคนไดลาออก และครทบรรจใหมนอกจากสอนหนงสอไมเกงแลวยงเขมงวดดานระเบยบวนยมากดวย บรรยากาศการเรยนทเลวรายน ทำาใหการเรยนของAbelตกตำาและพชายของAbelมอาการซมเศราประจวบกบในชวงเวลานนครอบครวAbelมปญหามากมายเพราะทงบดามารดาเปนโรคพษสราเรอรงและทำาธรกจลมเหลว ความกดดนทงหลายนไดทำาใหพชายของAbelตองลาออกจากโรงเรยนเพอกลบบานเกดและไมกลบไปเรยนตออกเลย สถานการณการเรยนการสอนทโรงเรยนCathedralยงเรมตงเครยดมากขน เมอโรงเรยนจางอาจารยใหมชอRoaldBaderมาสอนคณตศาสตรตามปกตBaderเปนครทมอารมณรนแรง เวลานกเรยนคนใดแกโจทยคณตศาสตรไมได กจะถกBader เอาไมเรยวฟาดจนมครงหนงทเดกคนหนงเสยชวตเหตการณนทำาใหBaderถกไลออกและทางโรงเรยนไดจางครใหมมาแทนชอBerntMichaelHolmbeเมอAbelไดเรยนกบครคนนวถชวตของAbelกเรมเปลยนไปในทางทดขนเพราะHolmbeมนสยใจคอทแตกตางจากBaderราวฟากบดน HolmbeมอายมากกวาAbelเพยง7ปการมวยไลเลยกนทำาใหHolmbeสามารถรบรความรสกและวธคดของAbelไดดหลงจากทเปนอาจารยสอนคณตศาสตรใหAbel ไดไมนานHolmbeกพบวาลกศษยคนนมความสามารถระดบ“ไมธรรมดา” ในเบองตนHolmbeไดใหAbelแสดงความสามารถในการแกโจทยทคอนขางยากและพบวาAbelสงคำาตอบโดยใชเวลาไมนานHolmbe จงจดหาตำาราคณตศาสตรระดบมหาวทยาลยมาใหAbelอานและAbelกสามารถเขาใจและทำาโจทยในตอนทายบทเรยนไดหมดอกครกบศษยจงรวมกนศกษางานวจยของนกคณตศาสตรทมชอเสยงระดบโลก เชนLeonhardEuler,Joseph-LouisLagrangeและPierreSimonLaplaceและกไดประจกษวาเมอสงทศกษายากขน บทบาทของคนทงสองกตองสลบกนคอAbelไดกลายเปนครและHolmbeไดกลายเปนศษย สำาหรบตวAbelนนไดพบวาเมออานตำาราและงานวจยมากขนกยงรสกรกวชาคณตศาสตรมากขนดวยจนทำาใหตดสนใจได

ปท 41 | ฉบบท 183 | กรกฎาคม-สงหาคม 2556 53

IPST-183_new.indd 53 10/25/2556 00:26

ในทสดวานคอชวตทตนตองการดงนนเมอสำาเรจการศกษาจากโรงเรยนในวยเพยง19ปAbelกรคณตศาสตรมากจนสามารถเรมทำางานวจยของตนเองได ในขณะทชวตเรยนดำาเนนไปไดดวยดนชวตครอบครวของAbelกกำาลงเลวรายลงเพราะบดาตดสราอยางรนแรงจงมอาการเมาบอยๆ จนไดชกตอยทะเลาะววาทกบเพอนทเปนสมาชกสภาผแทนราษฎร จนเปนทเออมระอา และสาปแชงของผแทนทกคนทำาใหตองลาออกจากสมาชกสภาพของส.ส.และไดเสยชวตลงในเวลาตอมาAbelจงตองรบภาระดแลมารดาและครอบครวตอไป หลงจากทสำาเรจการศกษาในระดบมธยมศกษาAbel ไดวางแผนเรยนตอในมหาวทยาลย เพราะรดวาถาไดปรญญา จะสามารถหาเงนเลยงครอบครวไดดขนจงพยายามหาเงนสำาหรบเสยคาเลาเรยนในมหาวทยาลยโดยรบงานสอนพเศษ ครนถงเวลาทAbelไปสมครเรยนทมหาวทยาลยOsloโดย

เขาไปตพมพ และตองจายเงนตามปรมาณงานทเขยน เพราะAbelมฐานะยากจนดงนนจงตองเขยนผลงานอยางสนๆโดยไมแจงรายละเอยดมาก เพราะถารายงานทยาวผเขยนกจะตองจายเงนมากผลกระทบทเกดตามมาคอถาบทความสนคนอานจะอานไมรเรองดวยเหตนงานวจยของAbelฉบบนนจงไมมใครสนใจ ในป ค.ศ.1825Abel วย23 ป สำาเรจการศกษาจากมหาวทยาลยและไดเขาพธสมรสกบChristineKempผมอาชพเปนครสอนเดกตามบานเศรษฐ และเมอAbel ตระหนกไดวาชวตในนอรเวยของสองสาม-ภรรยาไมมทางกาวหนาจงขอทนรฐบาลไปเรยนตอทมหาวทยาลยBerlinในเยอรมน ณทนนAbelไดพบกบวศวกรชอAugustLeopoldCrelleผมอทธพลและรำารวยมากCrelleเปนคนทสนใจคณตศาสตรมากเมอไดยนกตศพทของAbelCrelleจงไดรจกและเปนเพอนกบAbelและเมอCrelleตองการจดพมพวารสารคณตศาสตรเขา

มHolmbe อาสาเปนคนเขยนจดหมายรบรองให ในทำานองวาAbel เปนผทมพรสวรรคดานคณตศาสตรถงระดบอจฉรยะทางมหาวทยาลยจงตกลงรบAbelเขาเปนน ส ต แล ะ จ ด ใ ห พ ก ใ นหอพ กขอ งมหาวทยาลยโดยไมเสยคาใชจายใด ๆนอกจากนอาจารยมหาวทยาลยบางคนยงไดมอบเงนบางสวนเปนคาใชจายสวนตวใหAbelดวย ถงหลกสตรคณตศาสตรทใชสอนทมหาวทยาลยจะไมสงมากแตAbelกไมร

จงขอใหAbel ชวยเขยนบทความวจยใหหนงเรองและAbelกไดเขยนรายงานการวจยเรองสมการกำาลง5 ในปค.ศ.1825ผลงานของAbelไดรบการตพมพในวารสารJournalforPureandAppliedMathematics(หรอทรจกกนทวไปในนามCrelle’sJournal)ซงไดกลายเปนวารสารคณตศาสตรชนนำาของโลกในเวลาตอมา ถงตนปค.ศ.1826AbelไดเดนทางไปปารสเพอเสนอผลงานวจยเรองAbel’s

สกเหงาเพราะสามารถทำางานวจยไดดวยตนเองอยแลว จงพยายามสานตองานวจยทเคยทำาในสมยเรยนทCathedralSchoolซงเปนโจทยปรศนาทนกคณตศาสตรตงแตครสตศตวรรษท16 ไดเคยพยายามแกมาแลว นนคอ การหาวธถอดสมการกำาลง5เมอเวลาผานไปไมนานAbelกคดวาเขารวธแกปญหาแลว จงเรยบเรยงวธพสจนเพอสงไปใหHolmbe อาน แตHolmbeอานแลวไมเขาใจจงสงตอใหFerdinandDegenผเปนนกคณตศาสตรชาวเดนมารกอาน ซงกไมเขาใจวธการทAbelใชในการพสจนอกDegenจงขอใหAbelยกตวอยางประกอบแตเมอAbelพยายามยกตวอยางเขากไดพบวาสตรทไดมานนไมถกตอง ลถงปค.ศ.1823หลงจากทไดเพยรพยายามมานานและไดตรวจสอบวธคดเดมอยางรอบคอบAbelกพบวาสตรทเปนคำาตอบของสมการกำาลง5หรอสงกวาคอกำาลง6,7,8,..ไมม ในการเผยแพรองคความรทพบAbelจะตองสงผลงานของ

Theorem ตอสถาบนFrenchAcademy แตผลงานถกบรรณาธการวารสารของFrenchAcademyปฏเสธรบลงตพมพเพราะผประเมนคณภาพของบทความมความเหนวาอานแลวไมเขาใจAbelรสกเสยใจตอคำาวพากษมากจงเดนทางกลบออสโลในเดอนพฤษภาคมค.ศ.1827ทงๆทณทนนไมมงานอะไรใหทำาและตนเองมหนสนมากเพราะไดยมเงนจากเพอนฝงเปนคาเดนทาง จงไปหางานทำาโดยรบจางเปนครแทน ในยามทครประจำาของโรงเรยนลาพกผอนและสอนพเศษ ในชวงฤดหนาวทอากาศกำาลงหนาวจด จนการเดนทางไปตางประเทศเปนเรองทAbel ไมสามารถจะทำาได แมแตเสนทางการเดนทางในประเทศหลายครงกตดขดAbel จงมสภาพเหมอนถกตดขาดจากโลกภายนอก และไมรแมแตนอยวา ในขณะนนวงการคณตศาสตรไดเรมสนใจผลงานของAbelทลงในวารสารCrelle’sJournalแลวและกำาลงตนตวรบความรใหมๆทAbelจะนำาเสนอ

ลายมอตนฉบบงานวจยของAbel

นตยสาร สสวท.54

IPST-183_new.indd 54 10/25/2556 00:26

ในปค.ศ.1828AbelไดลมปวยเปนวณโรคซงสมยนนเปนโรคทรกษาไมหายความเปนอยทลำาบากและฐานะทยากจนทำาใหสขภาพของAbel ทรดหนกในเวลาไมนาน และในชวงเวลาเดยวกนCrelle เพอนรกของAbel กกำาลงตดตอหางานเปนอาจารยในมหาวทยาลยใหAbelทำาแตไมไดผล เมอใกลจะถงวนครสตมาสAbel ไดพยายามเดนทางไกลไปพบกบภรรยาหลงจากทตองแยกกนอยเพราะกลวภรรยาจะปวยเปนวณโรคความหนาวททารณไดทำาใหAbelเจบหนกจนรตววาใกลจะเสยชวตแลว เมอถงวนท6เมษายนค.ศ.1829AbelกเสยชวตศพถกนำาไปฝงทFrolandทามกลางพายหมะทกำาลงพดรนแรง สองวนหลงจากทAbel จากโลกไป จดหมายจากCrelleกไดมาถงทพกของAbelเพอแจงวามหาวทยาลยBerlinในเยอรมนไดรบAbelเขาทำางานแลวและในเวลาตอมาเมอทราบขาวเสยชวตของAbelนกปรชญาCrelleไดเขยนคำาสรรเสรญAbelวาเพอนรกของเขาคนนเปนอจฉรยะนกคณตศาสตรทมจตใจบรสทธยงและเปนคนถอมตวมากจนหาคนเทยบเคยงไดยาก ในปค.ศ.1830สถาบนFrenchAcademyไดมอบรางวลGrandPrixดานการวจยคณตศาสตรแกAbelหลงจากทไดเสยชวตไปแลวในฐานะผมผลงานวจยทมคณคาและสำาคญมาก ทกวนนวงการคณตศาสตรรจกAbel’s theorem,Abeltransform,Abeliangroup,Abel'sequation,Abel’sinequalityฯลฯ ในหนงสอAbel’sProof:AnEssayontheSourcesandMeaningofMathematicalUnsolvabilityโดยPeterPesicทจดพมพโดยTheMITPressในปค.ศ.2003PesicไดกลาวถงทมาของวธทAbelใชในการพสจนทฤษฎของเขาวา"นบเปนเวลานานแลวท ใคร ๆ กคดวา ตามปกตนกเรขาคณตจะฉลาดกวานกพชคณต แตอจฉรยะ เชน Evariste Galois และ Niels Abel ฯลฯ กไดพสจนใหเหนวา พชคณตกยากไมแพเรขาคณต" ประวตศาสตรไดกลาวถงนกคณตศาสตรอาหรบในยคกลางวาไดเคยศกษาสมการกำาลงn anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a0 = 0

เมอan an-1 … a0เปนจำานวนทรคาและxเปนจำานวนทไมทราบคาสมการนจงเปนสมการกำาลงn ในสมยกรกโบราณนกคณตศาสตรไดศกษากรณn=1 นนคอสมการอยในรป a1x + a0 = 0

ซงมคำาตอบคอ x = -a0/a1

และถาn = 2สมการกำาลงสองจะอยในรป a2x2 + a1x + a0 = 0

ซงมคำาตอบสำาหรบxสองคาคอ

สวนในกรณทn=3,4,5,…กมชอเรยกวาสมการกำาลง3,4และ5ตามลำาดบ ในราวค.ศ.1200เมอคณตศาสตรของชาวอาหรบไดแพรเขาสอตาล นกคณตศาสตรอตาลจงไดพยายามหาคำาตอบสำาเรจรปของสมการกำาลง3จากa3x3 + a2x2 + a1x + a0 = 0 และสมการกำาลง4จากa4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = 0 แตกไมมใครทำาได จนกระทงถงครสตศตวรรษท16 เมอNiccoloTartagliaสามารถแกสมการa3x3 + a2x2 + a0 = 0และสมการa3x3 + a1x

+ a0 = 0ได และในเวลาตอมาGiordanoCardano ไดนำาเทคนคของTartagliaในการแกสมการกำาลงสามจนไดสตรสำาเรจซงเปนคำาตอบทยงและซบซอนมาก สำาหรบสมการกำาลงสa4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = 0 นนLodovicoFerrariกประสบความสำาเรจในการถอดหาคา x ไดเชนกน เมอสมการกำาลง3และ4มคำาตอบนกคณตศาสตรทกคนในสมยนนจงมความหวงวาสมการกำาลง5กนาจะมคำาตอบทเปนสตรสำาหรบ x ดวยจงไดเพยรพยายามหาสตรมาเปนเวลานาน ในทำานองเดยวกบทนกโบราณคดไดพยายามหา “จอกศกดสทธของพระเยซ”ซงถาใครพบชอของเขากจะดงและยงใหญเปนอมตะนรนดรกาล ในทสดAbelกเปนบคคลแรกทสามารถแสดงไดวาคำาตอบทเปนสตรสำาเรจของx สำาหรบสมการตงแตกำาลง5ขนไปคอ5,6,7,8,…ไมมโดยใชหลกการของfinitegrouptheory ดงนนในสายตาของทกคนAbelจงเปนนกคณตศาสตรผอาภพเพราะไมไดรบการยกยองในยามมชวตอย และในทสดความยากจนกไดทำาAbelลมปวยจนตองเสยชวต หนงสอ Abel’s Proof ไดเลาประวตของอจฉรยะอาภพคนหนงซงมชวตท�างานทคอนขางสนมาก แตชอเสยงกยงปรากฏมาจนทกวนน และจะตลอดไป เพราะทกรงออสโลในนอรเวยมอนสาวรยของ Niels Henrik Abel บนดวงจนทรมหลมอกกาบาตชอ Abel ในป ค.ศ. 2002 รฐบาลนอรเวยไดจดตงรางวล Abel ส�าหรบนกคณตศาสตรรนเยาวผมผลงานโดดเดนทสดของโลก และในวนท 6 เมษายน ค.ศ. 1926 รฐบาลนอรเวยไดออกแสตมปเปนทระลกในโอกาสครบรอบ 100 ปแหงการเสยชวตของ Abel รวมถงไดออกเหรยญ 20 Kroner เพอเปนเกยรตแกนกคณตศาสตรผมชอเสยงทสดของนอรเวยดวย

และ

บรรณานกรมLivio,Mario.(2005).The Equation That Couldn't be Solved. NewYork:SimonandSchuster.

ปท 41 | ฉบบท 183 | กรกฎาคม-สงหาคม 2556 55

IPST-183_new.indd 55 10/25/2556 00:26