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Communications in Partial Differential EquationsPublication details, including instructions for authors and subscription information:http://www.tandfonline.com/loi/lpde20

Ober die invaritanz konvexer teilmengen einesnormierten raumes in bezug auf ellipischedifferentaialaleichungenRoland Lemmert aa Universität Karlsruhe (TH) Mathematisches Institut I , Karlsruhe 1, D-7500, W-GermanyPublished online: 08 May 2007.

To cite this article: Roland Lemmert (1978) Ober die invaritanz konvexer teilmengen eines normierten raumes inbezug auf ellipische differentaialaleichungen, Communications in Partial Differential Equations, 3:4, 297-318, DOI:10.1080/03605307808820066

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COMM. IN PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, 3(4), 297-318 (1978)

~ B E R DIE INVARIANZ KONVEXER TEILMENGEN EINES NORMIERTEN RAUMES IN BEZUG AUF ELLIPTISCEE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

Roland Lemmert

Universitst Karlsruhe (TH) Mathematisches Institut I

D-7500 Karlsruhe 1 W-Germany

1. Einleitung. Von Weinberger [ I 6 1 und von Bebernes

und Schmitt [ 2 1 wurden Invarianzsatze, wie sie seit

langerer Zeit fur Anfangs- und.Randwertprobleme bei ge-

gewbhnlichen Differentialgleichungen bekannt sind, auf

(endliche) Systeme parabolischer Differentialgleichun-

gen iibertragen. Dabei stand die Frage nach der Existenz

von Lasungen, deren Werte in einer vorgegebenen Menge C

liegen, im Vordergrund. Weinberger C161 weist darauf

hin, daA solche Invarianzsatze verschiedene Maximum-

prinzipien, Monotoniesatze und Satze iiber Schranken von

Lasungen zusammenfassen.

Redheffer und Walter C 9 1 trennen das Invarianz-

vom Existenzproblem und beweisen reine Invarianzsatze

fiir Systeme ~arabolischer Gleichungen mit Hilfe von

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Differentialungleichungsmethoden. In diese Richtung

zielen auch die Ergebnisse in C41, C51 fiir elliptische

und parabolische Gleichungen.

In vorliegender Arbeit werden Invarianzsatze fiir

stark und schwach elliptische Differentialgleichungen

fiir Funktionen mit Werten in einem beliebigen normier-

ten Raum E bewiesen; die dabei verwendete Methode kommt

im Gegensatz zu den oben genannten Arbeiten ohne Lot-

fuApunkte oder Stiitzpunkte von C aus, die in unendlich-

dimensionalen Raumen nicht imrner vorhanden sind. Da

kein Gebrauch von Existenzsatzen fiir die behandelten

Gleichungen gemacht wird, erhalt man a-priori-Aussagen

iiber Lasungen ohne weitere explizite Einschrankungen

etwa der Regularitat des Grundgebietes, des ellipti-

schen Operators, der zugelassenen Gleichungen oder des

Raumes E. Durch Verwendung eines sehr allgemeinen LB-

sungsbegriffes kBnnen gleichzeitig die Differenzierbar-

keitsvoraussetzungen vermindert und die Beweise verein-

facht werden. Dabei ergeben sich natiirliche Verallge-

meinerungen bekannter Ergebnisse.

Probleme der hier behandelten Art treten z.B. bei

der teilweisen Diskretisierung von elliptischen oder

parabolischen Randwertaufgaben auf unbeschrankten

Grundgebieten auf. So verwendet etwa Thompson [Ill, C121

die sogenannte Rothe-Methode, um fiir elliptische und

elliptisch-parabolische Gleichungen auf unendlichen

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INVARIANZ KONVEXER TEILMENGEN

bzw. halbunendlichen Streifen die Existenz von Nahe-

rungslijsungen und explizite Fehlerabschatzungen nachzu-

weisen. Dabei spielen insbesondere Monotonie- und Ver-

gleichssatze fiir abzahlbare Systeme von Randwertproble-

men zweiter Ordnung eine zentrale Rolle. Entsprechende

SZtze fiir Anfangswertprobleme bei Differentialgleichun-

gen in Banachraumen wurden von Walter C141 und in C31

zum Nachweis der Existenz von Lijsungen der Praridtlschen

Grenzschichtdifferentialgleichungen rnit Hilfe der Li-

nienmethode benutzt.

2. Bezeichnungen, Hilfsmittel. Es sei R eine offene

Teilmenge des 1~~ (mit Euklidischer Norm I ( versehen),

r eine Teilmenge von an und C eine nichtleere, abge-

schlossene und konvexe Teilmenge des reellen normierten

Raumes E (mit Norm 1 1 1 1 und topologischem Dualraum E* 1.

Sind X und Y zwei beliebige normierte RSume, so ist

L(X,Y) der Raum der linearen Abbildungen von X in Y.

1st A E L(X,Y), SO wird rnit R(A) der Bildraum und rnit

N(A) der Nullraum von A bezeichnet. 1st T ein linearer

Teilraum von lRn und p E L(T,E), so ist fiir 4 E E* ein

gem28 +T(p)(h) = +(p(h)) ( ~ E T ) definiertes Element

b T ( ~ ) E L(T,IR) bestimmt. Den Raum L(E~,E), der zu E~

in natiirlicher Weise isomorph ist, denken wir uns durch

llpll = I ( I I P ~ I I ,.-.,ll~,ll)l (P = (pl,...,pn)) normiert.

Jedem X E R sei nun eine symmetrische, positiv se-

midefinite n x n-Matrix A(x) = (aij(x)), ein linearer

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Tei l raum T ( x ) des lRn und e i n Element b ( x ) E IRn zuge-

o r d n e t ; auf r c af i s e i e n zwei n i c h t n e g a t i v e Funkt ionen

a. und a , und e i n e auAere Normale v ( x ) i m S inne von

Wal te r C 1 5 , IV.31.11 e r k l s r t , a l s o e i n e Folge ( x k ) von

Punkten aus R m i t l i m xk = x und l i m ( x - x k ) / l x - x k / = v ( x ) . k+m

W i r b e t r a c h t e n Probleme d e r Form

Die i n (1) und ( 2 ) verwendeten Symbole D ~ U , u i , u$ und

a , u v werden i n den nachfo lgenden D e f i n i t i o n e n e r k l a r t .

D e f i n i t i o n 1. Fiir r e e l l w e r t i g e Funkt ionen rl b e d e u t e t

$ ( x ) E L(T(x) , lR) d i e Ab le i tung von q an d e r S t e l l e x

nach dem Raum T ( x ) , d . h . f i i r j edes h ~ T ( x ) g i l t d i e

Entwicklung

q ( x + t * h ) = n ( x ) + t n $ ( x ) * h + o ( I t l ) ( t + O ) ; ( 3 )

f i i r T (x ) = IRn s c h r e i b e n w i r auch n ( x ) und i m F a l l , daA

T ( x ) von b ( x ) e r z e u g t w i r d , auch rl;(x) = n & ( x ) ( i n d i e -

sem F a l l i s t q l ( x ) d i e R i c h t u n g s a b l e i t u n g i n Richtung b

b ( x ) 1.

Fiir Funktionen u m i t Werten i n E b e d e u t e t d i e E x i s t e n z

von u$ (x ) E L(T(x ) , E l , dai3 f i i r j e d e s (I 6 E* d i e Funkt ion

$ou nach T ( x ) i n obigem Sinne d i f f e r e n z i e r b a r i s t . Es

g i l t dann ( ( I o u ) & ( x ) = $ T ( ~ ; ( ~ ) ) .

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INVARIANZ KONVEXER TEILMENGEN 301

Definition 2. Es sei A'/'(x) die positiv semidefinite

Wurzel aus A(x). Fiir reellwertige Funktionen q setzen

wir

(ei 1: ist Orthonormalsystem im IRnl ,

D2n(x) entsprechend mit lim inf inf anstelle von -A

lim sup sup und Din = ~ i q = Bin, falls die beiden letz-

ten Limites endlich una gleich sind.

Die Funktion u: fi+E heil't LBsung von (11, wenn

sie auf fi stetig ist, wenn uA(x) und u$(x) in Q exi-

stieren und wenn schlie13lich fiir jedes 4 E E* der Aus-

druck (Di$ou)(x) existiert und gleich -~(u~(x)+f(x,u(x),

u$(x))) ist. Dabei sol1 f fiir jedes (x,z) c Q x E vom Typ

L(T(x),E) -+E sein.

Bemerkungen. 1) 1st 17: Q -+IR zweimal differenzierbar,

so existiert D;~(X), und es gilt (in kartesischen Koor-

dinaten)

Eine entsprechende Aussage gilt fiir Funktionen mit Wer-

ten in E.

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2 ) I s t T ( x ) = {O) , s o e x i s t i e r t u;(x) und i s t

g l e i c h 0 E E; d i e s e n t s p r i c h t dem S o n d e r f a l l , daA f

n i c h t von u ' abhxngt .

3 ) 1 s t A(x) = 0 , s o e x i s t i e r t D ; ~ ( X ) und i s t g l e i c h

0 ; D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e r s t e r Ordnung.

4 ) Fiir n = 1 i s t

1 D i q ( x ) = l i r n i n f T { r l ( x + t m - 2q (x ) t + o + t

6; und D; en t sp rechend .

D e f i n i t i o n 3 . Die Funkt ion u : Z - t E e r f f i l l t d i e Rand-

bedingung ( 2 1 , wenn zu jedem x E r e i n z E E e x i s t i e r t ,

s o daA f i i r j edes + E E* d e r Grenzwert

l i r n a,(x)+((u(x)-u(xk))//x-xk/ k + m

e x i s t i e r t und g l e i c h @ ( z ) i s t ( i n diesem F a l l s e t z e n

w i r a , ( x ) u , ( x ) : = Z ) und wenn ( 2 ) g i l t .

Fiir Funkt ionen q : f i + ~ s e t z e n w i r ( m i t d e r d i e

Normale v ( x ) d e f i n i e r e n d e n Folge ( x k ) )

a , ( x ) b , q ( x ) = l i m sup a,(x)(q(x)-q(xk))/(x-xk/ k + m

und en t sp rechend a,Dv m i t l i r n i n f a n s t e l l e von l i r n s up

Es f o l g e n noch e i n i g e Bezeichnungen und H i l f s m i t -

t e l f i i r den Raum E . E s i s t K(u ,p ) d i e o f f e n e Kugel um

U E E m i t Radius p , und d i s t ( M , u ) = i n f { l lm-ul ] : meM)

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INVARIANZ KONVEXER TEILMENGEN 303

bezeichnet den Abstand von u zur Menge M. 1st @ E E* mit

//@I1 = 1 und 6 E IR, so bedeutet H($,6) = {x E E: @(XI = 6)

die durch @ und 6 bestimmte Hyperebene; fiir den Abstand

eines Punktes u zu H ( + , B ) gilt die bekannte Formel

dist(H(@,B),u) = I@(u) - 61

(Hessesche Normalform).

1st C c E nichtleer, abgeschlossen und konvex und

U E E \ C sowie d(u) = dist(C,u), so existiert nach dem

Satz von Hahn-Banach (geometrische Form, vgl. etwa

Nirenberg C8, Basic Separation Theorem 3 1 ) eine die

Mengen C und K(u,d(u)) trennende Hyperebene H(@,B),

d.h. ein normiertes Funktional @ und eine Zahl 6, so

daf3

@(c) 5 6 < @(v), C E C, V E K(u,d(u)) ( 5 )

gilt. Fiir jede derartige Hyperebene H(@,B) gilt

dist (C,u) = dist (H(@,B),u) = @(u) - 6 . ( 6 )

(Denn einerseits ist @(u)-6 S @(u)-@(c) S l/u-cl[ fiir

alle C E C , also @(u)-6 s dist(C,u), und andererseits

ist fiir X E H stets I I x - u I I dist(C,u), also dist(H,u)

r dist (C,u).

Fiir (fest gewahlte) u,v E E ist die Funktion

g(t) =d(u+tv) auf IR Lipschitz-stetig und konvex. Daher

existieren in jedem Punkt t~ IR die links- und rechts-

seitigen Ableitungen gl(t) und g:(t). 1st u E E \ C und

@ so, daA H(@,B) eine die Mengen C und K(u,d(u)) tren-

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nende Hyperebene darstellt, so gilt fiir alle betrags-

mai3ig hinreichend kleinen s E IR

also

Der Spezialfall C = {O} geht auf Mazur C 7 1 zuriick.

1st speziell E ein Hilbert-Raum, so existiert un-

ter den beziiglich C getroffenen Voraussetzungen zu je-

dem u E E ein eindeutig bestimmter LotfuApunkt P(u) auf

C, und fiir U E E \ C gilt dist(C,u) = (lu-~(u)l;. Es gibt

genau ein die Mengen C und K(u, dist (C,u)) in obigem

Sinn trennendes Funktional @ , dessen Wirkung auf ein

Element v durch

beschrieben wird.

Die Funktion d(u) = dist (C,u) ist in E \ C im

Frkchetschen Sinne differenzierbar, und es gilt

vgl. C51. Hieraus erkennt man, daA dl(u) lokal Lip-

schitz-stetig ist.

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INVARIANZ KONVEXER TEILMENGEX 305

Zur Formulierung u n s e r e s E rgebn i s se s benutzen w i r

d i e fo lgende Funk t ionenk la s se = f, (A ,T ,b ,Q ,ao , a l , v , r ) :

Die Funkt ion w = w ( x , s , q ) : Q x ( 0 , ~ ) x L(T(x ) ,lR) -t IR gehi j r t

z u r K la s se , wenn g i l t : -

1 s t n : Q-. C0,m) s t e t i g , i s t f i i r x E Q s t e t s

I l t n > - m y e x i s t i e r t d i e e i n s e i t i g e Dini-Rich-

t u n g s a b l e i t u n g

1 D t n = l i m i n f - { n ( x t t b ( x ) ) - ~ ( x ) ) , - b t + O + t

i s t a O ( x ) n ( x ) + a , ( x ) B y n ( x ) 5 0 auf r und g i l t

auAerdem f i i r a l l e Punkte X E Sl , i n denen q ( x )

p o s i t i v i s t und Q $ ( x ) e x i s t i e r t , d i e Ungleichung

t D i n + Qbn + W ( X , Q ( X ) , n $ ( x ) ) z 0 , ( 8 )

s o f o l g t 1) - 0 .

I m A b s c h n i t t 4 geben w i r f i i r s p e z i e l l e A , T , b y R , a o ,

a , , v und r B e i s p i e l e von Funkt ionen w a n , d i e z u r e n t -

sprechenden Klasse gehBren.

3 . S a t z . Zu gegebenen A , T , b y Q , a o , a,, v , r und f

e x i s t i e r e e i n W E I: m i t :

Zu X E Sl , U E E \ C , p E L ( T ( x ) , E ) g i b t e s e i n e d i e

Mengen C und K(u, d i s t ( C , u ) ) t r ennende Hyper-

ebene H ( @ , B ) , s o da13 f i i r p E L ( T ( x ) , E )

@ ( f ( x , u , p ) ) 5 W ( X , d i s t ( C , u ) , ~ $ ~ ( p ) ) ( 9 )

g i l t .

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30 6 LEMMERT

Dann f o l g t aus u O ( x ) E ao(x).C f i i r x E r s t e t s u ( x ) E C f i i r

j ede LBsung u von (1) und ( 2 ) .

Beweis. W i r s e t z e n q ( x ) = d i s t ( C , u ( x ) ) und wei-

s e n nach , dalj q a l l e i n d e r D e f i n i t i o n von g e f o r d e r -

t e n E igenscha f t en b e s i t z t . Zunxchst i s t q s t e t i g au f 6

und n i c h t n e g a t i v , und e s i s t s i c h e r ~ i q ( x ) 2 0 , f a l l s

q ( x ) = O g i l t . 1st dagegen q ( x ) > 0, a l s o u ( x ) 6 E \ C , s o

e x i s t i e r t nach Voraussetzung e i n e Hyperebene H($,f3) , s o

daA ( 5 ) und ( 6 ) g e l t e n . Fiir a l l e betragsm2Aig h i n r e i -

chend k l e i n e n h 6 IRn i s t dann

a l s o f i i r a l l e h i n r e i c h e n d k l e i n e n t > O und a l l e y m i t

H ie raus f o l g t

E x i s t i e r t nun q;(x) , s o i s t wegen ( 1 0 ) f i i r h E T ( x ) und

t E IR, I t / h i n r e i c h e n d k l e i n ,

n ( x + t h ) 2 q ( x ) + t $ ( u ; ( x ) h ) + o ( I t / ) ( t + O )

und nach D e f i n i t i o n

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INVARIANZ KONVEXER TEILMENGEN

f i i r a l l e x , f i i r d i e q ( x ) p o s i t i v i s t und ~ ; ( x ) e x i -

s t i e r t .

1 s t s c h l i e A l i c h x E r und zun;ichst u ( x ) E C , a l s o

q ( x ) = 0 , s o i s t

f i i r u ( x ) E E \ C dagegen e x i s t i e r t nach dem S a t z von Hahn-

Banach e i n e d i e Mengen C und K ( u ( x ) , q ( x ) ) t r ennende

Hyperebene m i t q ( x ) = $ ( u ( x ) ) - B , q ( x k ) r d i s t (H($ ,B) ,

u ( x k ) ) = $ ( u ( x k ) ) - 6 ( f i i r h i n r e i c h e n d grofie k E IN); da-

m i t wi rd

u ( x ) - u ( x k ) + l i m a , ( X I $

k-+w I x - x k 1 = $ ( u o ( x ) > - a , ( x ) B s 0

(wegen u O ( x ) E a o ( x ) C , a l s o $ ( u , ( x ) ) s ao (x ) f3 ) . Nach De-

f i n i t i o n von f o l g t q 0 , a l s o u ( x ) E C f i i r a l l e X E n.

4 . Fo lgerungen, Bemerkungen. I n diesem A b s c h n i t t geben

w i r B e i s p i e l e von Funkt ionen a u s f i i r v e r s c h i e d e n e

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Rand- und Anfangswer tp rob leme. Zusammen r n i t dem u n t e r

3. bewiesenen S a t z e r h a l t e n w i r d a m i t u n t e r anderem Er-

g e b n i s s e von Lemmert und Volkmann C51, R e d h e f f e r und

W a l t e r C91, S c h m i t t und Volkmann C101, Volkmann C131

und Weinberger C 1 6 1 .

Dazu b e n a t i g e n w i r g e l g e n t l i c h d e n f o l g e n d e n

H i l f s s a t z .

H i l f s s a t z 1. Die r e e l l w e r t i g e F u n k t i o n 6 s e i i n e i n e r

Umgebung U ( 0 ) CIR" , n z l , d e f i n i e r t , e s se i 6 ( 0 ) = 0 ,

d i e M a t r i x A s e i symmet r i sch und p o s i t i v s e m i d e f i n i t ,

und e s g e l t e 6 ( x ) r O a u f U(0) nR(A) und B i 6 ( 0 ) < m.

Dann i s t 6 , e i n g e s c h r a n k t a u f R ( A ) , i m N u l l p u n k t t o t a l

d i f f e r e n z i e r b a r ; i n s b e s o n d e r e e x i s t i e r t 6 A ( A ) ( 0 ) und

i s t g l e i c h 0 .

Beweis. 1 s t d i e Behauptung f a l s c h , s o e x i s t i e r t

E > O und ( h k ) r n i t h k E R(A) \ { O ) , h k + O und 6 ( x 0 + h k ) r

E / hk 1 . Wegen R(A) = R ( A ' / ~ ) kann hk = A l l 2 z r n i t

0 z k E N ( A ' / ~ 1' g e s e t z t werden. D a A l l 2 a u f N ( A ' / ~ 1'

i n j e k t i v i s t , e x i s t i e r t e i n a. > 0 r n i t z

f i i r z E N ( A ' / ' )', a l s o

und h i e r a u s e r g i b t s i c h

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im Widerspruch zur Voraussetzung.

Beispiel 1. (Der Fall w(x,s,q) = L(x)s + M(x) / q j ,

T(x) c R(A(x)), x E R. ) Es sei 0 c En beschrhkt, r = an,

A(x) positiv semidefinit, b(x) - 0 , und es existiere

eine auf fi positive Funktion a E c(;), fiir die o$(x)

stets existiert, mit

Beweis. Es mBge eine Funktion q mit den in der

Definition "on E beschriebenen Eigenschaften vorliegen, und es sei $ 0 . Dann existiert ein minimales E > O mit

EU(X) 2 q(x) auf fi sowie xo E 5 mit EU(X,) =q(x0) > 0.

1st X,E a , so ist wegen B~(EU-~)(X,) s E B ~ U ( X ~ ) - I ~ ~ ~ ( X ~ ) < m

auf die Funktion 6(x) = EU(X)-q(x) Hilfssatz 1 anwendbar;

es folgt (wegen T(xo) cR(A(x,))) die Existenz von 64(xo),

also auch die Existenz von n;(x,) und die Gleichung

EU+(X,) = n$(x0). Damit ist wegen B~(EU-~)(X~) 2 0

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3 10 LEMMERT

a l s o xo E fl n i c h t mbglich. 1s t x, E a R , s o e r h 3 l t man we-

gen s o ( x k ) t q ( x k ) ( f i i r d i e d i e Normale v ( x 0 ) d e f i n i e -

r ende Folge x k )

a l s o e b e n f a l l s e i n e n Widerspruch. Es f o l g t T, E 0 , a l s o

Bemerkungen. ( a ) 1 s t n = 1, Q = ( 0 , 1 ) , T = { O , l } , A ( x ) 5 1 ,

T(x) =IR, a o ( x ) z 1, a , ( x ) E O , b 0 , s o i s t w ( x , s , q ) =

L s t ~ [ q ( aus , wenn etwa L < . r r 2 , M = 0 ode r L 2 0 , M E IR

i s t . Dies i s t i n folgendem S inn bes tmbg l i ch : Die Funk-

t i o n w = IT'S i s t n i c h t i n & , wie T,(x) = s in7 ix z e i g t ,

und zu jedem L > O e x i s t i e r t e i n M E IR, s o dab

e i n e n i c h t t r i v i a l e , n i c h t n e g a t i v e Lbsung b e s i t z t , dab

a l s o L s i MI ql n i c h t zu g e h b r t . Fiir w e i t e r e z u l a s s i g e

L,M v e r g l e i c h e man etwa B a i l e y , Shampine und Waltman Ell.

( b ) Die SchluAweise i n B e i s p i e l ( a ) b l e i b t g i i l t i g ,

wenn w d i e E i g e n s c h a f t W ( X , E S , E ~ ) < E W ( X , S , ~ ) f i i r j e d e s

E > 0 b e s i t z t . Damit i s t , wie a ( x ) = s in1 / ' { ( ~ - 2 6 ) ~ + 6 1

(6 > 0 , h i n r e i c h e n d k l e i n ) z e i g t , d i e Funkt ion w ( x , s , q ) =

Ls + q 2 / s f i i r L < . r r2 /2 aus f i i r d i e u n t e r ( a ) b e t r a c h -

t e t e S i t u a t i o n .

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INVARIANZ KONVEXER TEILMENGEN 31 1

Zusamrnen m i t d e r nachfo lgenden, i n C61 bewiesenen

Folgerung aus einem Ergebn i s von Bishop und Phelps

( v g l . auch Volkmann C13, Lemma 2 1 ) e r h a l t e n w i r e i n e

Vera l lgemeinerung des E r g e b n i s s e s i n [61 .

H i l f s s a t z 2 (C61). 1 s t E v o l l s t ; i n d i g , u c E \ C , i s t

H($,B) e i n e d i e Mengen C und K ( u , d i s t ( C , u ) ) t r ennende

Hyperebene, s o e x i s t i e r t zu jedem E > 0 e i n I) E E* und

e i n v E C m i t

und

Ilu-vll < d i s t (C,u) + E .

Folgerung 1. Es sei A(x) p o s i t i v d e f i n i t , b - 0 , Sl be-

s c h r x n k t , E v o l l s t 2 n d i g und d i e Funkt ion f : 52 x E x E n + E

geniige f i i r I ) E E * , III)II =1 , ; E a C , U E E \ C m i t I)(;) =

max {$(c): C E C) , I I u - ; ~ ~ 9 d i s t ( C , u ) + E ( E = E ( u , x ) > 0 )

d e r Bedingung

$ ( f ( ~ , u , ~ ) - f ( x , i , i ; ) ) 9 L(x) llu-;ll + M(x) llp-Gll ,

sowie

n AUS X E ~ , U E C , p = ( p p n ) E E , 4 E E * m i t

11$11 = 1, $ ( u ) = max i $ ( c ) : C E C}, + ( p ) =

( $ ( p , ) , . . . ,$ (p , ) ) = 0 f o l g t $ ( f ( t , x , p ) ) < 0 .

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312 LEMMERT

Dann v e r l x u f t , f a l l s noch u O ( x ) E a o ( x ) C g i l t und d i e

Funk t i on w = L ( x ) s + M(x) / q / i n ( A , T , O , ~ , a o , a , ,v,aO)

l i e g t , j e d e Lbsung von ( 1 ) , ( 2 ) i n C .

Beweis. Nach Vorausse tzung i s t R ( A ( x ) ) = nn, a l -

s o L(R(A(x)),E) % E ~ , und $ ( p ) w i r d d u r c h ( $ ( p , ) ,. . . , $ ( p , ) ) d a r g e s t e l l t . Es genllgt a l s o , d a s Bes tehen d e r

Bedingung ( 9 ) f i i r f r n i t w = L ( x ) s + ~ ( x ) \ q / nachzuwei-

s e n . Dazu s e i u E E \ C , p E E~ und H ( $ , B ) e i n e (nach dem

S a t z von Hahn-Banach e x i s t i e r e n d e l d i e Mengen C und

K(u , d i s t ( C , u ) ) t r e n n e n d e Hyperebene. Zu jedem k E IN

e x i s t i e r t nach H i l f s s a t z 2 e i n t+bk E E* und vk E a C r n i t

\ l t + b k l I = 1, \ \ ~ l ~ - + l l 5 l / k , max {t+bk(c): c E C} = ~ l ~ ( v ~ ) ,

I/u-vkll 5 d i s t (C ,u ) + l / k sowie e i n y k E E r n i t J l k (yk ) = 1

und 1 5 \ / y k l / 5 1 + l / k . Damit i s t fiir h i n r e i c h e n d gro l ' e

k wegen

q k ( f ( x , v ~ , P - ~ + ~ ~ ( P ) Y ~ ) ) * 0

rnit e i n e r g e e i g n e t e n Kons tan ten K

$ ( f ( x , u , p ) 5 $ ( f ( x , u , p ) ) -J lk(f(x,vk,p- t+bk(p)y 1)

1 K 5 L(x ) j Iu -vk ! / + M ( x ) / $ ~ ~ ( p ) / ( l + ~ ) + E .

Grenziibergang k + m l i e f e r t d i e i n ( 9 ) g e f o r d e r t e Un-

g l e i c h u n g .

Bemerkung. 1st E r e f l e x i v , s o i s t i n d e r Vorausse tzung

zu Folgerung 1 E = 0 z u g e l a s s e n .

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INVARIANZ KONVEXER TEILMENGEN 313

B e i s p i e l 2 . (Der F a l l R(A(x) ) = T ( x ) = IRn-l, b ( x ) =

- en = ( 0 , ..., 0, -11 , p a r a b o l i s c h e Gle i chungen . ) Es s e i

52 c 3~~ zusamrnenhangend und b e s c h r a n k t , d i e V e r a n d e r l i -

che xn umbenannt i n t , x = ( 5 , t ) m i t 5 = ( x , , . . . , x n - , ) E

*n- 1 g e s e t z t , und e s g e l t e etwa i n f I t : ( 5 , t ) E S2) = 0 ,

sup { t : ( 5 , t ) ~ 5 2 ) = T . Die l e t z t e S p a l t e von A(x) be-

s t e h e n u r aus Nu l l en ; w i r s c h r e i b e n A o ( c , t ) =

n- I ( a i j ( 5 , t ) ) i , j , l . Ftir s t e t i g e Funkt ionen n : 5 2 + lR f o l g t

aus d e r E x i s t e n z . v o n D: q ( < , t ) ( f t i r f e s t e s t ) d i e Exi- 0

s t e n z von D:Q(< ,t) ; d a s s e l b e g i l t o f f e n b a r auch f i i r d i e

E x i s t e n z von D: und D: f i i r Funkt ionen u m i t Werten i n 0

E . Die Ab le i tung u; kann a l s US ( f u r f e s t e s t ) ge-

s c h r i e b e n werden; (1) e r h a l t dadurch d i e G e s t a l t

und j ede Lbsung von (1 ') i s t Lbsung von (1) i m S inne

d e r u n t e r A b s c h n i t t 1. angegebenen D e f i n i t i o n e n .

Be t r ach ten w i r e twa d i e e r s t e Randwertaufgabe. Auf

r = R dem p a r a b o l i s c h e n Rand von S 2 , v g l . Wa l t e r C15, P ' I V . 2 3 1 , s e i

U ( X ) = u O ( x ) , x E Rp ( 2 ' )

v o r g e s c h r i e b e n (d.h. e s w i rd a. = 1, a , = O g e s e t z t ) .

W i r wo l l en d i e zu ( l f ) , ( 2 ' ) g e h d r i g e Folgerung a u s

dem I n v a r i a n z s a t z n i c h t e x p l i z i t f o r m u l i e r e n und begnii-

gen uns d a m i t , e i n e h i n r e i c h e n d e Bedingung f i i r d i e Zu-

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g e h B r i g k e i t von Funktionen w z u r en t sp rechenden Klas se

A , E - e n , l O R ) anrugeben ( v g l . Redhef f e r und

Wal t e r C91).

Behauptung. Die Funkt ion = w ( t , s ) : ( 0 , T ) x ( 0 , ~ ) + I R

b e s i t z e d i e E i g e n s c h a f t

1 s t u ECCO,TI, ~ ( 0 ) = O und g i l t B - u ( t ) - o ( t , ~ ( t ) ) 2 0 ,

f a l l s p ( t ) > 0 i s t , s o f o l g t l.~ s 0 au f C0,TI.

(B- i s t d i e l i n k e obe re D i n i - D e r i v i e r t e . )

Es s e i w ( < , t , s , O ) s o ( t , s ) f i i r ( ( , t ) E Q , S E ( 0 , ~ ) ~ und

A o ( ( , t ) s e i (bez i ig l i ch IRn-I) p o s i t i v d e f i n i t f i i r j e d e s

( ( , t ) E Q. Dann i s t w E .

Beweis. Es s e i rl = q ( 6 , t ) v o r g e l e g t m i t den i n d e r

D e f i n i t i o n von v e r l a n g t e n E i g e n s c h a f t e n . W i r s e t z e n

f i i r t E COYTI

u ( t ) = max I n ( < , t ) : (< , t ) E 51 . 5

Wegen d e r B e s c h r a n k t h e i t von 5 i s t p auf COYTI s t e t i g ,

und wegen q (5 ,O) = O f i i r (5 ,O) € 5 f o l g t p ( 0 ) - 0 . W i r be-

t r a c h t e n e i n b e l i e b i g e s t m i t u ( t ) > 0 : Dazu e x i s t i e r t

e i n E 0 m i t q ( t O , t ) = p ( t ) , und wegen rl = 0 auf Rp i s t

( c O , t ) E 51. H i l f s s a t z 1, angewandt au f 6 ( * , t ) = u ( t ) - n ( * , t ) , l i e f e r t d i e E x i s t e n z von q 5 ( 5 , , t ) und d i e G l e i -

chung ~ c ( < ~ , t ) = 0 ; w e i t e r h i n i s t ~ i , n ( ( ~ , t ) 2 0 . Damit

f o l g t a u s ( 8 )

t 0 !2(-e,) r l (5 , , t ) + w ( 5 0 , t , n ( 5 0 , t ) , 0 ) ,

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INVARIANZ KONVEXER TEILMENGEN

also wegen

also- v E 0, also ,-, E 0 auf R .

Bemerkungen. 1) 1st die Norm in E fiir z 4 0 im Frkchet- schen Sinne differenzierbar, so ist die beim Beweis zum

Invarianzsatz in 3. verwendete Funktion ,-, in allen

Punkten, in denen sie positiv ist, nach beliebigem T(x)

differenzierbar, falls u diese Eigenschaft besitzt. In

diesem Fall muA iiber T(x) keine Einschrankung gemacht

werden, d.h. insbesondere diirfen in f alle ersten Ab-

leitungen vorkommen. Dieser Fall (E = lRm, Euklidisch

normiert) wurde in C23, C41 und C91 betrachtet.

2 ) Wird iiber die Norm in E weiter nichts vorausge-

setzt, so mulj (vgl. Hilfssatz 1) T(x) fR(A(x)) verlangt

werden, d.h. in f darf hbchstens nach R(A(x)) differen-

ziert werden. Fiir R(A(x) ) = lRn, beziehungsweise fiir den

Fall expliziter gewdhnlicher Differentialgleichungen

2. Ordnung ist dies kein Verlust an Allgemeinheit.

3) Fiir n = 1, A(x) - 0 , b(x) El, T(x) = O erhalt man

die Ergebnisse aus C131, fiir A ( x ) Z 1, b(x) -0, T(x) = J R

Verallgemeinerungen von Resultaten aus C61 und C101.

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316 LEMMERT

4) Mit der hier benutzten Methode lassen sich wie

in C41 auch Invarianzsatze fiir elliptische Gleichungen

auf unbeschrankten Grundgebieten, fiir das Cauchyproblem

bei parabolischen Gleichungen und fiir parabolische Pro-

bleme ohne Anfangswerte (t E IR) gewinnen. AuAerdem kbn-

nen wie in C41 auch nichtlineare Randbedingungen zuge-

lassen werden.

5 ) Der Fall C = {O} liefert etwa fiir lineare Pro-

bleme bestmbgliche Eindeutigkeitssatze, indem man den

Invarianzsatz auf die Differenz zweier Lbsungen anwen-

det; dies stellt man ohne Miihe bereits am Fall n = 1,

E = IR, T(x) = 0 bei der Gleichung u" + L*u = 0 fest.

6 ) 1st E=IRm und C = K = { x = (x ,,..., x,): xi>O}

der natiirliche Ordnungskegel, so liefert der Invarianz-

satz die bekannten Monotoniesiitze fiir Systeme gewbhnli-

cher und parabolischer Differentialgleichungen. 1st da-

gegen C = B(0,R) die Kugel um 0 mit Radius R (beziiglich

einer beliebigen Norm im IRm), erhkilt man verschiedene

bekannte Maximumprinzipien etwa fiir die Euklidische

Lange oder die gr8Ate Komponente der Lbsung fiir den hier

verwendeten L8sungsbegriff.

Herrn Professor Dr. Peter Volkmann verdanke ich

wesentliche AnstbAe zu vorliegender Arbeit.

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INVARIANZ KONVEXER TEILMENGEN 317

LITERATUR

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L. NIRENBERG. Functional Analysis. Lecture Notes, Courant Institute of Mathematical Sciences.

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3 18 LEMMERT

1121 R . C . THOMSPON. D i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t i e s f o r i n - f i n i t e second o r d e r systems and an a p p l i c a t i o n t o t h e method of l i n e s . J . D i f f . Eqs. 17 (1975) 421- Q 3 b .

[ I 3 1 P . VOLKMANN. u b e r d i e I n v a r i a n z konvexer Mengen und Differentialungleichungen i n einem normie r t en Raume. Math. Ann. 203 (1973) 201-210.

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C151 W . WALTER. D i f f e r e n t i a l and i n t e g r a l i n e q u a l i t i e s . E rgebn i s se d e r Mathematik und i h r e r G r e n z g e b i e t e , Vol 55. S p r i n g e r 1970 ( u b e r s e t z u n g a u s dem Deut- s chen ) .

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Received August 1977

Revised January 1978

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