Offene Aufgaben für die Hauptschule - bildung-rp.de · 2012-03-12 · "offene Aufgabe" anerkannt werden kann. Offene Aufgaben, die für die Hauptschule geeignet sind Gute Beispiele

Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts

Offene Aufgabenfür die

Hauptschule

Ministerium für Bildung, Frauen und Jugend

Diese Veröffentlichung wurde im Rahmen des BLK-Pro-

gramms SINUS-TRANSFER erstellt, das von Bund und Ländern

gemeinsam gefördert wird.

Für die dargestellten Sachverhalte und Schlussfolgerungen zeichnen die

Autorinnen und Autoren verantwortlich.

Herausgeber:

Ministerium für Bildung, Frauen und Jugend

Autoren:

Ausführungen zum Konzept und zu den Aufgaben: Ferdinand Weber

Aufgaben: Lehrkräfte der Arbeitsgruppe "SINUS-Hauptschule" (siehe nächste Seite und Hinweise bei den einzelnen Aufgaben)

Redaktion und Skriptbearbeitung:

Sandra Gerhard

Barbara Mathea

Ferdinand Weber

Druck:

Heinrich Fischer Rheinische Druckerei GmbH

67304 Worms, Postfach 467

© Ministerium für Bildung, Frauen und Jugend

Rheinland-Pfalz 2006

An der Erstellung der Aufgaben waren folgende Mitglieder der Arbeitsgruppe SINUS-Hauptschule

beteiligt:

Gerhard, Sandra Ministerium für Bildung, Frauen und Jugend, Mainz

Göbel, Franz-Josef Regionale Schule Untermosel, Kobern-Gondorf

Holzmann, Angelika Hauptschule Bad Marienberg

Mathea, Barbara Ministerium für Bildung, Frauen und Jugend, Mainz

Müller, Klaus Hauptschule Bännjerrück, Kaiserslautern

Müller, Paul Robert-Schuman-Schule, Frankenthal

Nagel, Ralf Regionale Schule Untermosel, Kobern-Gondorf

Preußer, Monika Hauptschule Bad Marienberg

Schäfer, Wolfgang Hauptschule Bad Marienberg

Schienagel-Delb, Christel Studienseminar für Grund- und Hauptschulen, Kaiserslautern

Schmidt, Helga Regionale Schule Untermosel, Kobern-Gondorf

Weber, Ferdinand Landeskoordinator von SINUS-TRANSFER, Mainz

Vorwort

Der 1997 ins Leben gerufene bundesweite BLK-Modell-

versuch SINUS (Steigerung der Effizienz des mathema-

tisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts) hat Unter-

richtsentwicklungsprozesse ausgelöst, deren positive

Wirkungen spürbar sind. Rheinland-Pfalz hat sich mit

Schulen aller Schularten mit Sekundarstufe I sowohl an

SINUS als auch an der Fortführung in dem Programm

SINUS-TRANSFER mit einer „1. Welle“ (2003 – 2005) und

einer „2. Welle“ (2005 – 2007) beteiligt.

Ziel des Transferprogramms ist die schrittweise Auswei-

tung der in SINUS gewonnenen Erfahrungen und Er-

gebnisse auf eine immer größere Anzahl von Schulen.

Der Schwerpunkt der SINUS-Arbeit lag und liegt in

Rheinland-Pfalz auf der Weiterentwicklung des Mathe-

matikunterrichts in den Klassenstufen 5 bis 10. Dabei

geht es vor allem um eine stärkere Kumulativität des Lernens, d.h. um wirksame Methoden

zur Sicherung von Grundkompetenzen und um eine Weiterentwicklung der Aufgabenkultur,

insbesondere um offene Aufgaben, die die Selbständigkeit und Eigenverantwortlichkeit der

Schülerinnen und Schüler stärken.

Seit Beginn der "2. Welle" im Jahr 2005 wurde dabei ein besonderes Augenmerk auf Haupt-

schulen und Hauptschulbildungsgänge gelegt. Die damals ins Leben gerufene Arbeitsgruppe

„SINUS-Hauptschule Rheinland-Pfalz“ beschäftigt sich mit den spezifischen Erfordernissen

der Weiterentwicklung des Mathematikunterrichts in Hauptschulbildungsgängen. Ein Schwer-

punkt der Arbeit liegt auf der Entwicklung offener Aufgaben, die vor allem für den Einsatz in

diesen Bildungsgängen konzipiert sind. Im Januar 2006 wurde die erste Broschüre "Offene

Aufgaben für die Hauptschule" veröffentlicht, die bundesweit große Resonanz fand.

Auf Grund der sehr positiven Erfahrungen wurde ein zweites Heft entwickelt, das nun vor-

liegt. Die Konzeption ist die gleiche wie beim ersten: Auch dieses Heft enthält eine Samm-

lung offener Aufgaben für den Mathematikunterricht in Hauptschulbildungsgängen, die von

erfahrenen Lehrkräften entwickelt und erprobt wurden. Sie sind so angelegt, dass damit auch

die Lesekompetenz schrittweise weiterentwickelt werden kann. Die Bezüge zu den Forde-

rungen der Bildungsstandards für den Hauptschulabschluss sind ausgewiesen.

Ich danke dem Landeskoordinator und den Mitgliedern der Arbeitsgruppe SINUS-

Hauptschule, die mit dieser Veröffentlichungsreihe einen wichtigen Beitrag zur Weiterent-

wicklung der mathematischen Kompetenzen gerade der leistungsschwächeren Schülerinnen

und Schüler leisten. Die Erfahrungen mit dem ersten Heft haben gezeigt, dass die Einsatz-

möglichkeiten dieser Materialien nicht auf Hauptschulbildungsgänge beschränkt sind, und so

hoffe ich, dass viele Lehrerinnen und Lehrer, die Mathematik unterrichten, auch diese neuen

Anregungen nutzen werden, um ihren eigenen Unterricht weiterzuentwickeln. Doris Ahnen Ministerin für Bildung, Frauen und Jugend

Inhalt

Einleitung................................................................................................................... 7

Bereich 1: Informationen aus Bildern ....................................................................... 11

1.1 Familienfrühstück .........................................................................................................................12

1.2 Waage kaputt - was tun? .............................................................................................................14

1.3 Muttertag bei Blumen Vedder ......................................................................................................17

1.4 Schnäppchen …...........................................................................................................................19

1.5 Clever laden .................................................................................................................................22

1.6 Wie schwer ist ein Sack Haselnüsse? .........................................................................................25

1.7 Gutscheine geschickt einlösen ....................................................................................................29

Bereich 2: Informationen aus bildunterstütztem Text ................................................ 31

2.1 Trink, trink, Brüderlein trink …......................................................................................................32

2.2 Kinder helfen Kindern...................................................................................................................35

2.3 Der Teufelstisch – des Teufels Tisch?.........................................................................................38

2.4 Temposünder?. ............................................................................................................................41

Bereich 3: Vorgegebene Texte und Rechenaufgaben einander zuordnen ............... 46

Bereich 4: Zu einer Rechenaufgabe einen passenden Text erfinden ....................... 52

Bereich 5: Zu einem Text Fragen formulieren, die zu einer Rechenaufgabe führen....................................................................................................... 56

Auf der Homepage des Landes Rheinland-Pfalz stehen unter der Adresse www.sinus.bildung-rp.de

in elektronischer Form zur Verfügung:

– die vorliegende Broschüre im pdf-Format,

– die Aufgabenblätter der Broschüre im Word-Format,

– für Kopien die Aufgabenblätter der Bereiche 1 und 2 als Schwarz-Weiß-Vorlagen.

SINUS-TRANSFER Rheinland-Pfalz – Offene Aufgaben für die Hauptschule (Heft 2)

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Einleitung

Bildungsstandards und offene Aufgaben

In den Bildungsstandards Mathematik für den mittleren Schulabschluss und für den Haupt-schulabschluss wird gefordert, dass die Schülerinnen und Schüler bestimmte "allgemeine mathematische Kompetenzen" erwerben. In der konkreten unterrichtlichen Umsetzung haben sich "offene Aufgaben", verbunden mit entsprechenden Unterrichtsmethoden, als geeignete Instrumente zur Realisierung dieser Ziele erwiesen.1

Charakteristische Merkmale offener Aufgaben sind u. a.:

• Die Aufgabenstellung enthält keine kleinschrittigen Fragen. Ausgangspunkt ist die Be-schreibung einer Problemsituation.

• Die Aufgabe dient nicht dem kurzatmigen Einüben eines gerade behandelten Stoffs.

• Die Aufgabe kann auf verschiedenen Wegen gelöst werden. Sie lässt sich nicht eindeutig einem bestimmten trainierten Schema zuordnen.

• Die Aufgabe fordert die Schülerinnen und Schüler heraus, einen Lösungsweg selbst zu überlegen.

• Es gibt nicht nur eine richtige Lösung; die Aufgabenstellung lässt unterschiedliche Lösun-gen zu.

• Es ergibt sich die Notwendigkeit von Begründungen.

• Es ergibt sich die Notwendigkeit, die Bearbeitung der Aufgabe und die Lösung zu doku-mentieren und für andere verständlich zu präsentieren.

Nicht alle der hier aufgeführten Kriterien müssen bei einer Aufgabe erfüllt sein, damit sie als "offene Aufgabe" anerkannt werden kann.

Offene Aufgaben, die für die Hauptschule geeignet sind

Gute Beispiele für attraktive und anspruchsvolle offene Aufgaben und Unterrichtsmodelle auf höherem Niveau gibt es mittlerweile in großer Fülle. Wer aber in der Literatur nach offenen Aufgaben sucht, die für Hauptschulklassen bzw. Hauptschulbildungsgänge geeignet sind, in denen auch sehr leistungsschwache Schülerinnen und Schüler unterrichtet werden, findet kaum angemessenes Material. Oft werden die Fähigkeiten der Leistungsschwachen falsch eingeschätzt.

Die Arbeitsgruppe "SINUS-Hauptschule Rheinland-Pfalz" will dazu beitragen, dass diese Lü-cke geschlossen wird. Im Januar 2006 erschien eine erste, von der Arbeitsgruppe erstellte Broschüre "Offene Aufgaben für die Hauptschule". Das vorliegende Heft ist eine Fortsetzung. Es enthält ebenfalls kommentierte Aufgaben, die unmittelbar im Unterricht eingesetzt werden können und Anregungen für die Weiterentwicklung des Mathematikunterrichts.

1 Siehe: [1] Broschüre "SINUS-TRANSFER - Die Umsetzung des BLK-Programms in Rheinland-Pfalz" - Mainz 2004 [2] www.sinus.bildung-rp.de und www.sinus-transfer.uni-bayreuth.de [3] Blum, W. u.a.: Bildungsstandards Mathematik: konkret. – Berlin, 2006


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Wie schon in Heft 1 werden auch hier vorrangig folgende Akzente gesetzt:

1) Es müssen Aufgaben mit unterschiedlich hohem Textanteil angeboten werden. Haupt-schülerinnen und –schüler haben häufig Schwierigkeiten, längere Texte zu lesen, zu ver-stehen und den Überblick zu behalten.

2) Ausgehend von "Bildergeschichten" wird schrittweise der Textanteil in den Aufgaben er-höht. Dadurch tragen die Aufgaben zu einer Entwicklung der Lesekompetenz bei den Schülerinnen und Schülern bei.

3) Die Aufgaben sollen charakteristische Merkmale offener Aufgaben tragen.

4) Der Sachverhalt bzw. das Problem darf aber nicht zu komplex, vielschichtig, verschachtelt sein. Die Offenheit einer Aufgabe für die Hauptschule ist dadurch notwendigerweise be-grenzt.

5) Die Aufgaben sollen in den regulären Mathematikunterricht integriert werden können. Die erforderliche Bearbeitungszeit soll dementsprechend begrenzt sein.

6) Die Aufgaben müssen so beschaffen sein, dass auch fachfremd unterrichtende Kollegin-nen und Kollegen gut damit zurechtkommen.

Auch in diesem Heft sind die Aufgaben in fünf Bereiche eingeteilt. Die Bereiche unterschei-den sich vor allem im Textanteil und in den sprachlichen Anforderungen an die Schülerinnen und Schüler. Gleichzeitig zeigen die Charakterisierung der einzelnen Bereiche und die zuge-hörigen Aufgaben einen Weg, wie schrittweise Lese- und Sprachkompetenz bei leistungs-schwächeren Schülerinnen und Schülern entwickelt werden können. Zu jeder Aufgabe werden wieder Lösungen bzw. Lösungswege, Hinweise für den unterricht-lichen Einsatz der Aufgabe und eine Zuordnung der Aufgabe zu den Bildungsstandards an-gegeben.


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Beschreibung der fünf Aufgabenbereiche Bereich 1: Informationen aus Bildern

Konfrontiert man Hauptschülerinnen und –schüler mit normalen Textaufgaben aus den Schulbüchern, so stellt man fest, dass sie häufig Schwierigkeiten haben, längere Texte zu lesen, zu verstehen und den Überblick zu behalten. Oft wissen sie, wenn sie mit dem Lesen am Ende einer Textaufgabe angekommen sind, nicht mehr, was sie am Anfang gelesen ha-ben. Mit den Aufgaben aus dem Bereich 1 sollen diese Schwierigkeiten gemindert werden. Infor-mationen werden statt aus Texten aus Bildergeschichten bzw. Bildcollagen entnommen. Wichtig ist bei diesem Aufgabentyp, dass sich aus dem Bild bzw. aus den aufeinander bezo-genen Bildern eine Aufgabe ergibt, die Merkmale von offenen Aufgaben trägt. Zur Schulung der Sprachkompetenz sollen die Schülerinnen und Schüler angehalten wer-den, den Inhalt der Bildergeschichte in Worte zu fassen (ggf. schriftlich), ihren Lösungsweg zu beschreiben und ihr Ergebnis zu begründen. Bereich 2: Informationen aus bildunterstütztem Text

Um die Schülerinnen und Schüler schrittweise zu sinnentnehmendem Lesen auch umfang-reicherer Texte zu führen, wird bei den Aufgaben des Bereichs 2 ein Teil der zur Bearbeitung der Aufgabe notwendigen Informationen durch Text vermittelt, ein anderer Teil durch Bilder. Die Bilder dienen nicht der schmückenden Illustrierung des Texts, sondern der Übermittlung von Informationen. Der Schwierigkeitsgrad der Aufgabe lässt sich verändern, indem weitere Textteile durch Bilder ersetzt werden oder umgekehrt. Auch bei diesen Aufgaben muss Wert darauf gelegt werden, dass die Schülerinnen und Schüler ihren Lösungsweg beschreiben und ihr Ergebnis erklären und begründen. Zu den Bereichen 3 bis 5:

Die hier vorgelegten Aufgaben sollen als Muster verstanden werden, nach dem Lehrkräfte selbst Aufgaben erstellen, die möglichst gut auf das Leistungsvermögen ihrer Klasse abge-stimmt sind. Wichtig ist, dass solche Aufgaben regelmäßig und häufiger im Unterricht einge-setzt werden.

Bereich 3: Vorgegebene Texte und Rechenaufgaben einander zuordnen

Von Bereich zu Bereich steigt der Anspruch an das Textverständnis. Die Texte der Aufgaben im Bereich 3 sind kurz und leicht zu verstehen, die vorgegebenen Rechenaufgaben einfach. Die Texte enthalten die gleichen Zahlen wie die Rechenaufgabe. Die Schülerinnen und Schüler sollen herausfinden und begründen, welcher Text zu welcher Aufgabe passt. Es kann auch sein, dass mehr als einer der vorgegebenen Texte zu einer Aufgabe passt. Auf welchem Weg die richtigen Zuordnungen gefunden werden, ist offen.


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Bereich 4: Zu einer Rechenaufgabe einen passenden Text erfinden

Im Gegensatz zu Bereich 3, in dem Texte vorgegeben sind, sollen die Schülerinnen und Schüler jetzt selbst Texte formulieren. Bei den Leistungsschwächsten könnte man sich damit begnügen, wenn sie – ohne Kontextbezug – die Rechenschritte nur beschreiben. Je mehr Grundrechenarten in der vorgegebenen Aufgabe auftreten, desto schwieriger wird es, einen passenden Text zu formulieren.

Durch diese Art von Aufgaben soll nicht nur die Sprachkompetenz der Schülerinnen und Schüler verbessert werden, vielmehr regen die Aufgaben auch die Kreativität an. Jede Schü-lergruppe kann sich einen eigenen Sachverhalt ausdenken.

Bereich 5: Zu einem Text Fragen formulieren, die zu einer Rechenaufgabe führen

Während es bei den Aufgaben des Bereichs 4 darum ging, zu einer Rechenaufgabe einen unvollständigen Sachverhalt zu ergänzen bzw. selbst einen Sachverhalt zu erfinden, wird bei den Aufgaben des Bereichs 5 ein anderer Weg beschritten: Der Sachverhalt wird vorgege-ben. Allerdings beschränkt sich der Text auf die Beschreibung des Sachverhalts; es wird keine Frage gestellt. Die Schülerinnen und Schüler sollen sich überlegen, was da denn inte-ressieren könnte und selbst (mindestens) eine Frage formulieren. Durch die Frage wird der Text zur Aufgabe, die natürlich auch rechnerisch gelöst werden soll.

Lehrkräfte können solche Aufgaben leicht erzeugen, indem sie in einer herkömmlichen Lehr-buchaufgabe die Frage(n) weglassen. Man sollte aber bei der Auswahl einer solchen Aufga-be darauf achten, dass die Texte, die den Sachverhalt beschreiben, kurz sind, der Sachver-halt selbst leicht durchschaut werden kann und die Anzahl der angegebenen Größen klein ist. Ferner sollte der beschriebene Sachverhalt nicht nur eine einzige Fragestellung ermögli-chen, sonst wäre es keine offene Aufgabe.

SINUS-TRANSFER Rheinland-Pfalz – Offene Aufgaben für die Hauptschule (Heft 2) Aufgaben zu Bereich 1

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Bereich 1: Informationen aus Bildern

Konfrontiert man Hauptschülerinnen und –schüler mit normalen Textaufgaben aus den

Schulbüchern, so stellt man fest, dass sie häufig Schwierigkeiten haben, längere Texte zu

lesen, zu verstehen und den Überblick zu behalten. Oft wissen sie, wenn sie mit dem Lesen

am Ende einer Textaufgabe angekommen sind, nicht mehr, was sie am Anfang gelesen ha-

ben.

Mit den Aufgaben aus dem Bereich 1 sollen diese Schwierigkeiten gemindert werden. Infor-

mationen werden statt aus Texten aus Bildergeschichten bzw. Bildcollagen entnommen.

Wichtig ist bei diesem Aufgabentyp, dass sich aus dem Bild bzw. aus den aufeinander bezo-

genen Bildern eine Aufgabe ergibt, die Merkmale von offenen Aufgaben trägt.

Zur Schulung der Sprachkompetenz sollen die Schülerinnen und Schüler angehalten wer-

den, den Inhalt der Bildergeschichte in Worte zu fassen (ggf. schriftlich), ihren Lösungsweg

zu beschreiben und ihr Ergebnis zu begründen.

Aufgaben1

1.1 Familienfrühstück

Welche Möglichkeiten hat man, für ein Familienfrühstück einzukaufen, wenn man in der Bäckerei feststellt, dass man nur 5 Euro in der Geldbörse hat?

1.2 Waage kaputt - Was tun?

Ein Fahrer möchte seinen LKW mit Rheinsand, Kies bzw. Splitt vollladen, weiß aber nicht, ob dann das Ladegewicht überschritten wird.

1.3 Muttertag bei Blumen Vedder

Im Blumengeschäft sollen bunte Muttertagssträuße gebunden werden, die jeweils 15 Euro kosten.

1.4 Schnäppchen

20% Rabatt! Das Warenangebot in dem Elektro-Fachgeschäft lockt. Was kann man sich für einen Gutschein über 40 Euro alles kaufen?

1.5 Clever laden

14 Container mit unterschiedlichem Gewicht müssen mit einem Tieflader transportiert werden. Wie muss man laden, damit man möglichst wenig Fahrten machen muss?

1.6 Wie schwer ist ein Sack Haselnüsse?

Säcke mit Salz, Mehl und Haselnüssen sind auf drei Waagen unterschiedlich verteilt. Durch Umverteilen oder Rechnen erfährt man, wie viel ein Sack jeweils wiegt.

1.7 Gutscheine geschickt einlösen

Drei Paar Schuhe kauft die junge Frau, und auf zwei Artikel ihrer Wahl erhält sie Ra-batt - einmal 5 Euro und einmal 7%. Wie soll sie sich entscheiden?

1 Für Kopien stehen die Aufgabenblätter als Schwarz-Weiß-Vorlagen in elektronischer Form unter der

Adresse www.sinus.bildung-rp.de zur Verfügung.

SINUS-TRANSFER Rheinland-Pfalz – Offene Aufgaben für die Hauptschule (Heft 2) Aufgabe 1.1: Familienfrühstück

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Aufgabe 1.1: Familienfrühstück

Idee, Aufgabenentwurf und Fotos: Christel Schienagel-Delb

Oh je, mehr Geld

hab ich nicht.

Ich soll Brötchen,

Nusshörnchen und

Schnecken kaufen.

Apfelteilchen 0,95 € Puddingringe 0,80 €

Brötchen 25 ct Nusshörnchen 0,80 € Schokocroissants 0,95 €

Schnecken 0,75 € Kirschteilchen 1,05 €

SINUS-TRANSFER Rheinland-Pfalz – Offene Aufgaben für die Hauptschule (Heft 2) Aufgabe 1.1: Familienfrühstück

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Mögliche Lösungen:

Bei dieser Aufgabe, die eine reale Einkaufssituation darstellt, sind mehrere Lösungen er-wünscht. Zum Beispiel:

Brötchen Nusshörnchen Schnecken

Anz Preis Gesamt Anz Preis Gesamt Anz Preis Gesamt Gesamtpreis

4 0,25 € 1,00 € 3 0,80 € 2,40 € 2 0,75 € 1,50 € 4,90 €

6 0,25 € 1,50 € 2 0,80 € 1,60 € 2 0,75 € 1,50 € 4,60 €

1 0,25 € 0,25 € 5 0,80 € 4,00 € 1 0,75 € 0,75 € 5,00 €

4 0,25 € 1,00 € 2 0,80 € 1,60 € 3 0,75 € 2,25 € 4,85 €

3 0,25 € 0,75 € 2 0,80 € 1,60 € 3 0,75 € 2,25 € 4,60 €

4 0,25 € 1,00 € 2 0,80 € 1,60 € 3 0,75 € 2,25 € 4,85 €

4 0,25 € 1,00 € 4 0,80 € 3,20 € 1 0,75 € 0,75 € 4,95 €

10 0,25 € 2,50 € 1 0,80 € 0,80 € 2 0,75 € 1,50 € 4,80 €

Hinweise zur Aufgabe

– Der Titel ‚Familienfrühstück’ weist darauf hin, dass Backwaren für mehrere Personen ein-gekauft werden sollen. Dies muss den Schülerinnen und Schülern ggf. von der Lehrkraft bewusst gemacht werden. Die Anzahl der Teile ist nicht vorgegeben, sondern kann von der Käuferin bestimmt werden. Dies soll dazu anregen, möglichst viele Einkaufsmöglich-keiten zu finden, die jedoch dadurch begrenzt sind, dass höchstens 5 € ausgegeben wer-den können.

– Die Aufgabe kann in Einzel-, Partner- oder Gruppenarbeit (auch im Rahmen von Statio-nen- bzw. Wochenplanarbeit) gelöst werden. Dabei soll es den Schülerinnen und Schü-lern überlassen werden, welche Lösungsidee sie bevorzugen. In jedem Fall sollten sie diese dokumentieren und ihren Lösungsweg erklären können.

Hinweis zur Erweiterung der Aufgabe

– Die Texte in den Denkblasen, die Einzelpreise der Waren und der zur Verfügung stehen-de Geldbetrag können verändert werden.

– Durch das Hinzufügen von Sonderangeboten, wie z.B. 3 Schnecken für 2 €, ist es mög-lich, den Schwierigkeitsgrad zu erhöhen.

– Um bei der Suche nach möglichst vielen verschiedenen Lösungen flexibel zu sein, kön-nen die Schülerinnen und Schüler ein Tabellenkalkulationsprogramm einsetzen und damit eine Tabelle selbst erstellen.

Die Lehrkraft findet eine geeignete Excel-Tabelle in der elektronischen Form dieser Broschüre unter: www.sinus.bildung-rp.de .

Allgemeine mathematische Kompetenzen – Zuordnung zu den Bildungsstandards

Mit dieser Aufgabe werden vor allem folgende allgemeine mathematische Kompetenzen ge-fördert. Der Bezug zu den Bildungsstandards ist ausgewiesen. – Den Sachverhalt einer Bildergeschichte und die darin enthaltene Problem-

stellung erkennen und mit eigenen Worten wiedergeben. å (K2) – Durch geschickte Kombination von Angaben Lösungen finden. å (K2) – Entscheidungen auf dem Lösungsweg auf das Sachproblem rückbeziehen. å (K3) – Den gewählten Lösungsweg und die Lösung beschreiben, begründen und verständlich darstellen. å (K1, K6)

SINUS-TRANSFER Rheinland-Pfalz – Offene Aufgaben für die Hauptschule (Heft 2) Aufgabe 1.2: Waage kaputt - was tun?

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Aufgabe 1.2: Waage kaputt - was tun?

Idee, Aufgabenentwurf und Fotos: Franz-Josef Göbel, Ralf Nagel, Helga Schmidt Bild- und Textbearbeitung: Barbara Mathea, Ferdinand Weber

0,6

5m

2,30m

Kannst du

helfen? …

Und gerade heute hab' ich einen fremden Wa-gen mit 12 t Zuladung. Ich frag’ mich, ob ich den vollladen darf.

Das kommt drauf an, was du laden willst.

Kennwerte

Sand/Schotter:

Material Gewicht

pro m3

Rheinsand 1,7 t

Kies 1,9 t

Splitt 1,5 t

0,6m

2,3m

5m

Fahr weiter. Die Waage ist kaputt.

Und woher soll ich dann wissen, wie viel ich gela-den hab'? Überall sind Kontrollen!

Kenr nmc Mat GenRhein 1,9tKies 1,7t Split 1,5t


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Mögliche Lösungswege und Lösung

Um herauszufinden, mit welchen Materialien der LKW vollgeladen werden kann, ohne dass das Ladegewicht von 12 t überschritten wird, können die Schülerinnen und Schüler unter-schiedliche Wege beschreiten. Dabei muss in jedem Fall das maximale Ladevolumen des LKW berechnet werden: 5 „ 2,3 „ 0,6 m3 = 6,9 m3 1. Weg: Für jedes Material wird geprüft, wie viel 6,9 m3 des Materials wiegen:

Rheinsand: 11,73 t Kies: 13,11 t Splitt: 10,35 t Mit Rheinsand oder Splitt kann man den LKW also vollladen, ohne dass die 12 t er-reicht werden; mit Kies nicht.

2. Weg: Für jedes Material wird berechnet, welches Volumen 12 t einnehmen: Rheinsand: 7,06 m3 Kies: 6,32 m3 Splitt: 8 m3 Bei Kies dürfen höchstens 6,32 m3 geladen werden, sonst überschreitet das Ge-wicht 12 t. Bei Rheinsand und Splitt kann vollgeladen werden.


− Manche Schülerinnen und Schüler werden sich von vornherein auf ein Material festlegen, andere probieren vielleicht alle drei Materialien durch.

− Der Dichtebegriff wird nicht benötigt. Für die Lösung des gestellten Problems reicht es aus, dass man von der Tafel, die an dem Gebäude angebracht ist, ablesen kann, wieviel Tonnen 1 m3 des jeweiligen Materials wiegt.

− Das Material, das aus dem Container läuft, bildet auf dem LKW zunächst einen Kegel. Durch geeignete Maßnahmen (z.B. Hin- und Herfahren, Glätten mit einer Schaufel, …) sorgt der Fahrer dafür, dass sich das Material gleichmäßig verteilt, d.h. annähernd einen Quader bildet.

− Die Aufgabe kann in Einzelarbeit oder in Kleingruppen gelöst werden. Hinweise zur Erweiterung der Aufgabe

Da auf dem 3. Bild keinerlei Messvorrichtung zu sehen ist, muss man davon ausgehen, dass beim Befüllen weder Volumen noch Gewicht des einlaufenden Materials kontrolliert werden. Wenn der Fahrer also Kies laden möchte, stellt sich die Frage: Wie hoch darf der LKW mit Kies gefüllt werden? 12 t Kies haben ein Volumen von 6,32 m3. Die Ladefläche des LKW ist 5„2,3 m2 = 11,5 m2 groß.

Also ist 11,5„Höhe = 6,32 å Die Höhe beträgt 5,11

32,6 m = 0,55 m.

Der LKW darf also rund 55 cm hoch beladen werden. Dieses Ergebnis sollte zu einer Diskussion Anlass geben, wie genau man die Höhe von Kies im LKW überhaupt messen kann.


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stellung erkennen und mit eigenen Worten wiedergeben. å (K2) – Informationen in der Bildergeschichte geeignet auswählen und miteinan-

der kombinieren. å (K3) – Ein geeignetes mathematisches Verfahren zur Lösung des Problems reflek-

tieren. å (K3) – Entscheidungen auf dem Lösungsweg auf das Sachproblem rückbeziehen. å (K3) – Den gewählten Lösungsweg und die Lösung beschreiben, begründen und verständlich darstellen. å (K1, K6)

SINUS-TRANSFER Rheinland-Pfalz – Offene Aufgaben für die Hauptschule (Heft 2) Aufgabe 1.3: Muttertag bei Blumen Vedder

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Aufgabe 1.3: Muttertag bei Blumen Vedder

Idee: Paul Müller, Sandra Gerhard Aufgabenentwurf und Fotos: Angelika Holzmann, Monika Preußer, Wolfgang Schäfer

Steffi, binde mehrere verschiedene Mut-tertagssträuße für jeweils 15 €. Denk auch daran, mit Grün und Schleifen zu dekorieren.

Klar, Chefin. Kein Problem

Iris 0,80 €

Sonnenblume

1,90 €

Lilie 1,10 €

Nelke 1,50 €

Chrysantheme

0,75 €

Blaue Distel

1,25 €

Mohn

0,70 €

Rose 2,10 €

Schleierkraut 0,30 €

Bergdistel

1,20 €

Grün 0,10 €

Gerbera 1,80 €

Anemone 0,75 €

Deko-Schleifen

je 1,00 €

SINUS-TRANSFER Rheinland-Pfalz – Offene Aufgaben für die Hauptschule (Heft 2) Aufgabe 1.3: Muttertag bei Blumen Vedder

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Mögliche Lösungen:

4 Gerbera 7,20 € 2 blaue Disteln 2,50 € 4 Chrysanthemen 3,00 € 4 Grün 0,40 € 3 Schleierkraut 0,90 € 1 Deko-Schleife 1,00 €

15,00 €

Die Schülerinnen und Schüler werden voraussichtlich damit beginnen, die Preise der einzelnen Blumensorten zu addieren oder sich auf eine Blumensorte beschränken. Da aber mehrere Lö-sungsvarianten von ihnen gefordert werden, kommen sie zwangsläufig von selbst darauf, dass man eine Blumensorte mehrfach in einen gemischten Strauß einbinden kann.


− Die Schülerinnen und Schüler sollen davon ausgehen, dass die gezeigten Blumensorten in größerer Stückzahl im Lager vorhanden sind. Sie müssen also nicht die einzelnen Blu-men in dem Foto zählen.

− Die Aufgabe kann in Einzelarbeit oder Kleingruppen gelöst werden. − Zur Steigerung der mathematischen Sprachkompetenz müssen die Schülerinnen und Schüler

ihren Lösungsweg darstellen und die Zusammenstellung ihrer Blumensträuße detailliert auf-schreiben.

− Die Lehrkraft sollte darauf bestehen, dass mindestens drei Blumensträuße zusammengestellt werden.

− Wenn das Bild des Blumenladens farbig zur Verfügung steht, können auch ästhetische Ge-sichtspunkte thematisiert werden.


Mit dieser Aufgabe werden vor allem folgende allgemeine mathematische Kompetenzen ge-fördert. Der Bezug zu den Bildungsstandards ist ausgewiesen. – Den Sachverhalt einer Bildergeschichte und die darin enthaltene Aufgaben-

stellung erkennen und mit eigenen Worten wiedergeben. å (K2) – Durch geschickte Kombination von Angaben Lösungen finden. å (K2) – Entscheidungen auf dem Lösungsweg auf das Sachproblem rückbeziehen. å (K3) – Den gewählten Lösungsweg und die Lösung beschreiben, begründen und verständlich darstellen. å (K1, K6)

7 Gerbera 12,60 € 5 Grün 0,50 € 3 Schleierkraut 0,90 € 1 Deko-Schleife 1,00 €

15,00 €

SINUS-TRANSFER Rheinland-Pfalz – Offene Aufgaben für die Hauptschule (Heft 2) Aufgabe 1.4: Schnäppchen …

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Aufgabe 1.4: Schnäppchen … Idee, Aufgabenentwurf und –bearbeitung, Fotos: Franz-Josef Göbel, Klaus Müller, Ralf Nagel, Helga Schmidt, Ferdinand Weber

Ich würde mir gern ’nen neuen Controller, einen MP3-Player oder eine Digitalkamera kaufen – und ein neues Handy wäre auch nicht übel.

Oh, schau mal, da ist ja heute eine tolle Gelegen-heit für Schnäppchen.

Aber alle Wünsche wirst du dir doch nicht auf ein Mal erfüllen können.

20% Rabattauf alle Artikel

Ich hab' ja auch noch einen Gutschein! Mal sehen, was sich machen lässt.


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Lösung

Zunächst müssen die Preise nach Abzug des Rabatts berechnet werden. Preis ohne Rabatt (€) Preis mit Rabatt (€) Controller für Play Station 2 15,99 12,80

Handy 29,95 23,96 Digitalkamera 39,95 31,96 MP3-Player 59,95 47,96

Daraus ergeben sich u. a. folgende Lösungen:

Preis (€) Zuzahlung (€) 1 MP3-Player 47,96 + 7,96

2 Controller und Handy 36,76 - 3,24 3 Kamera und Controller 44,76 + 4,76 4 Kamera und Handy 55,92 + 15,92


− Die Schülerinnen und Schüler sollen für verschiedene Kombinationen der vier Artikel be-rechnen, welche Zuzahlung jeweils zu leisten ist. Im Fall 2 werden 3,24 € erstattet, oder der Junge muss noch eine entsprechende Kleinigkeit dazukaufen.

− Vor der Bearbeitung der Aufgabe können/sollen weitere äußere Bedingungen gesetzt werden, z. B.: ̇ Der Junge möchte nichts oder höchstens einen bestimmten Betrag zuzahlen. ̇ Der Junge hat bestimmte Präferenzen und ist bereit auch eine größere Summe zu zah-

len. − Bei dieser Aufgabe bietet sich ein Rechnen mit gerundeten Werten an:

Preis ohne Rabatt (€) Preis mit Rabatt (€) Controller für Play Station 2 16 13

Handy 30 24 Digitalkamera 40 32 MP3-Player 60 48

− Die Aufgabe kann in Einzel-, Partner- und Gruppenarbeit gelöst werden. Von der Sach-situation her bietet sich Partnerarbeit an.

− Die Schülerinnen und Schüler sollen, nachdem sie die Aufgabe gelöst haben, ihre Lösung beschreiben und begründen.

Hinweise zur Erweiterung der Aufgabe

− Der Rabattsatz 20% gilt nicht gleichmäßig für alle Artikel. Für jeden Artikel ist vom Händ-ler ein anderer Rabattsatz festgesetzt.

− Was ändert sich, wenn der Freund anbietet, seine Kundenkarte (10%) zusätzlich zu nutzen?


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stellung erkennen und mit eigenen Worten wiedergeben. å (K2) – Durch geschickte Kombination von Angaben Lösungen finden. å (K2) – Methoden der Prozentrechnung sachangemessen nutzen. å (K5) – Entscheidungen auf dem Lösungsweg auf das Sachproblem rückbeziehen. å (K3) – Den gewählten Lösungsweg und die Lösung beschreiben, begründen und verständlich darstellen. å (K1, K6)

SINUS-TRANSFER Rheinland-Pfalz – Offene Aufgaben für die Hauptschule (Heft 2) Aufgabe 1.5: Clever laden

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Aufgabe 1.5: Clever laden

Idee, Aufgabenentwurf und –bearbeitung, Bildauswahl: Sandra Gerhard, Paul Müller, Ferdinand Weber

2,2 t1,9 t2,4 t1,7 t

2,2 t 1,7 t 1,9 t 2,2 t 2,4 t

1,7 t 2,4 t 2,2 t 1,9 t 2,4 t

Leergewicht 8,0 t zulässiges Ge-

samtgewicht 18 t

Sprit ist so teuer, da muss ich aber

clever laden.


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Mögliche Lösungen

Es gibt zahlreiche unterschiedliche Lösungen, die Container mit 4 Fahrten abzutransportie-ren. Zum Beispiel:

Containergewicht 1,7 t 1,9 t 2,2 t 2,4 t Gesamtladung

1.Fahrt 0 0 0 4 9,6 t

2.Fahrt 0 0 4 0 8,8 t

3.Fahrt 0 3 0 0 5,7 t

4.Fahrt 3 0 0 0 5,1 t

Bei cleverem Laden kann man aber auch mit 3 Fahrten auskommen. 1. Beispiel:


1.Fahrt 0 0 0 4 9,6 t

2.Fahrt 2 0 3 0 10 t

3.Fahrt 1 3 1 0 9,6 t

2. Beispiel


1.Fahrt 0 0 0 4 9,6 t

2.Fahrt 2 1 2 0 9,7 t

3.Fahrt 1 2 2 0 9,9 t

Hinweis zur Aufgabe

− Durch die Überlegungen des Fahrers sollen die Schülerinnen und Schüler angeregt wer-den, den Abtransport der Container durch möglichst wenige Fahrten zu organisieren. Die Beladung wird nicht durch die Anzahl der Container, sondern nur durch deren Gewicht begrenzt.

− Das Gesamtgewicht aller Container beträgt 29,2 t. Es ist also nicht von vornherein un-möglich, mit 3 Fahrten von maximal je 10 t den Abtransport zu organisieren.

− Die Schülerinnen und Schüler sollten sich die Strategie ihres Vorgehens bewusst ma-chen. Zum Beispiel: ̇ Bei jeder Fahrt möglichst nahe an 10 t kommen. ̇ Ausgehend von einer Lösung mit 4 Fahrten die Container systematisch so umvertei-

len, dass eine Fahrt entfallen kann. Hinweise zur Erweiterung der Aufgabe

− Der Schwierigkeitsgrad der Aufgabe wird erhöht, wenn die Gewichtsangaben auf einigen Containern von der Lehrkraft in Kilogramm geändert werden. Dadurch wird zusätzlich ein Umrechnen von Tonnen in Kilogramm erforderlich.


24

− Um bei der Suche nach verschiedenen Lösungen flexibel zu sein, können die Schülerin-nen und Schüler ein Tabellenkalkulationsprogramm einsetzen und damit eine Tabelle selbst erstellen.1

− Die Schülerinnen und Schüler sollen ohne Probieren folgende Aussage begründen: Wenn jeder der Container nur um 0,1 t schwerer ist, kommt man auf keinen Fall mit 3

Fahrten aus.

(Lösung: Das Gesamtgewicht der Container beträgt dann 30,6 t)



stellung erkennen und mit eigenen Worten wiedergeben. å (K2) – Durch geschickte Kombination von Angaben optimale Lösungen finden. å (K2) – Entscheidungen auf dem Lösungsweg auf das Sachproblem rückbeziehen. å (K3) – Den gewählten Lösungsweg und die Lösung beschreiben, begründen und verständlich darstellen. å (K1, K6)

1 Die Lehrkraft findet eine geeignete Excel-Tabelle in der elektronischen Form dieser Broschüre unter:

www.sinus.bildung-rp.de .

SINUS-TRANSFER Rheinland-Pfalz – Offene Aufgaben für die Hauptschule (Heft 2) Aufgabe 1.6: Wie schwer ist ein Sack Haselnüsse?

25

Aufgabe 1.6: Wie schwer ist ein Sack Haselnüsse?

Idee, Aufgabenentwurf und Fotos: Paul Müller, Sandra Gerhard, Ferdinand Weber

Variante A

Hm... und unser Lehrer meint wohl wieder, wir kriegen das nicht raus.

Wie viel kg wiegt ein Sack mit Haselnüssen?


26

Variante B

Hm... und unser Lehrer meint wohl wieder, wir kriegen das nicht raus.

Wie viel kg wiegt ein Sack mit Haselnüssen?

1


27

Die Aufgabe wird in zwei Varianten angeboten: Variante A ist leichter zu lösen. Variante B ist anspruchsvoller. Lösung (in beiden Varianten): Haselnüsse: 60 kg; Mehl: 40 kg; Salz: 20 kg Mögliche Lösungswege bei Variante A

Lösen durch Ersetzen bzw. Umverteilen: Ein Sack Salz wiegt 20 kg (Karte 1). Auf den Waagen von Karte 2 und Karte 3 wird jeder Sack Salz durch Angabe seines Gewichts ersetzt. (H = Gewicht eines Sacks Haselnüsse, M = Gewicht eines Sacks Mehl) Auf Karte 3 wird das Gewicht H eines Sacks Haselnüsse durch M + 20kg ersetzt.

3 Säcke Mehl wiegen also 120 kg; d.h. ein Sack Mehl wiegt 40 kg.

Lösen mit Gleichungen: S = 20 H = S + M M + 2H = 8S

Mögliche Lösungswege bei Variante B

Lösen durch Ersetzen bzw. Umverteilen: Im Gegensatz zu Variante A kann man jetzt nicht mit Karte 1 beginnen.

Auf Karte 3 kann - gemäß Karte 2 - jeder Sack Haselnüsse durch einen Sack Mehl und einen Sack Salz ersetzt werden.

Dann werden auf beiden Seiten dieser Waage zwei Säcke Salz entfernt.

Ein Sack Mehl wiegt also so viel wie zwei Säcke Salz.

Da laut Karte 1 ein Sack Mehl und zwei Säcke Salz zusammen 80 kg wiegen, wiegt ein Sack Mehl 40 kg und zwei Säcke Salz auch 40 kg.

⎬ M + 2(S + M) = 8S ; 3M = 6S ; M = 40

H M + 20 kg H + H + M 160 kg

M +M + 40kg + M 160 kg

S+S+S+SS+S+S+SM +S + M + S + M

S+S+S S+S+S M + M + M


28

Lösen mit Gleichungen: M + 2S = 80 H = S + M M + 2H = 8S

M = 2S eingesetzt in Gleichung 1: 2S + 2S = 80; S = 20

Hinweis zur Aufgabe

Es empfiehlt sich, zunächst die Bilder von den Schülerinnen und Schülern erläutern zu las-sen.


Mit dieser Aufgabe werden vor allem folgende allgemeine mathematische Kompetenzen ge-fördert. Der Bezug zu den Bildungsstandards ist ausgewiesen. – Durch geschickte Kombination von Angaben einen Lösungsweg finden. å (K2) – Grafische Darstellungen zur Unterstützung des Denkens und zum Ent-

wickeln einer Lösungsstrategie einsetzen. å (K3, K4) – Gleichungen bzw. Gleichungssysteme zur Lösung eines Sachproblems

einsetzen. å (K5) – Den gewählten Lösungsweg und die Lösung beschreiben, begründen und verständlich darstellen. å (K1, K6)

⎬ M + 2(S + M) = 8S ; 3M = 6S ; M = 2S

SINUS-TRANSFER Rheinland-Pfalz – Offene Aufgaben für die Hauptschule (Heft 2) Aufgabe 1.7: Gutscheine geschickt einlösen

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Aufgabe 1.7: Gutscheine geschickt einlösen

Idee, Aufgabenentwurf und Fotos: Christel Schienagel-Delb, Barbara Mathea

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SINUS-TRANSFER Rheinland-Pfalz – Offene Aufgaben für die Hauptschule (Heft 2) Aufgabe 1.7: Gutscheine geschickt einlösen

30

Lösung:

Folgende Überlegung ist entscheidend: Mit dem 7%-Gutschein erhält man einen umso größeren Nachlass (Prozentwert), je höher der Preis (Grundwert) ist. Man muss also den 7%-Gutschein immer beim teuersten Artikel einlösen.

Wenn Schülerinnen und Schüler dies nicht sofort durchschauen, müssen/sollten sie für alle drei Artikel 7% des jeweiligen Kaufpreises ausrechnen: 7% von 23,90 € = 1,67 € 7% von 45,50 € = 3,19 € 7% von 69,90 € = 4,89 €

Hinweis zur Aufgabe

Da bei allen drei Artikeln der Preisnachlass von 7% weniger als 5 € beträgt, könnten Schü-lerinnen oder Schüler auch auf die Idee kommen, den 7%-Gutschein bei diesem Kauf gar nicht einzulösen, sondern erst bei einem späteren Einkauf eines teureren Artikels. Hinweis zur Erweiterung der Aufgabe

– Wenn der Händler anbietet, dass beide Gutscheine auf die Gesamtsumme angerechnet werden können, sollten die Schülerinnen und Schüler überlegen und begründen, was für sie günstiger ist: Von der Gesamtsumme zuerst 7% und vom Ergebnis 5 € abziehen oder zuerst 5 € abziehen und vom Ergebnis 7% errechnen.

– An Stelle des 5€-Gutscheins kann der Gutschein auch lauten: Sie zahlen nur 9/10 des angegebenen Preises. ̇ Wie ordnet man dann die Gutscheine den Artikeln zu? ̇ Wenn beide Gutscheine auf die Gesamtsumme angerechnet werden dürfen, welche

Reihenfolge des Einlösens ist dann für den Käufer günstiger?



stellung erkennen und mit eigenen Worten wiedergeben. å (K2) – Durch geschickte Kombination von Angaben und Nutzung geeigneter

mathematischer Verfahren sinnvolle Lösungen finden. å (K2, K5) – Entscheidungen auf dem Lösungsweg auf das Sachproblem rückbeziehen. å (K3) – Den gewählten Lösungsweg und die Lösung beschreiben, begründen und verständlich darstellen. å (K1, K6)


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Bereich 2: Informationen aus

bildunterstütztem Text

Um die Schülerinnen und Schüler schrittweise zu sinnentnehmendem Lesen auch umfang-

reicherer Texte zu führen, wird bei den Aufgaben des Bereichs 2 ein Teil der zur Bearbeitung

der Aufgabe notwendigen Informationen durch Text vermittelt, ein anderer Teil durch Bilder.

Die Bilder dienen nicht der schmückenden Illustrierung des Texts, sondern der Übermittlung

von Informationen. Der Schwierigkeitsgrad der Aufgabe lässt sich verändern, indem weitere

Textteile durch Bilder ersetzt werden oder umgekehrt.

Auch bei diesen Aufgaben muss Wert darauf gelegt werden, dass die Schülerinnen und

Schüler ihren Lösungsweg beschreiben und ihr Ergebnis erklären und begründen.

Aufgaben1

2.1 Trink, trink, Brüderlein trink …

Informationstafeln an einem Wasserlehrpfad regen an, sich darüber Gedanken zu machen, was passiert, wenn man schwitzt und längere Zeit keine Flüssigkeit zu sich nimmt.

2.2 Kinder helfen Kindern

Die Klasse 8b packt Päckchen für die Patenklasse in Ruanda. Je 12 Päckchen sollen in einen größeren Karton verpackt werden. Es stehen verschiedene Kartons zur Ver-fügung. Welche sind geeignet, welche nicht?

2.3 Der Teufelstisch - des Teufels Tisch?

Um zu vespern soll sich angeblich der Teufel im Pfälzer Wald den "Teufelstisch" aus Buntsandsteinblöcken gebaut haben. Dann muss der Teufel ganz schön groß sein und viel Kraft haben, um die Steinblöcke zu heben.

2.4 Temposünder?

Die Polizei filmte in einer 30-km-Zone die vorbeifahrenden Autos. Von vier Autos sol-len je fünf aufeinanderfolgende Aufnahmen ausgewertet werden. Welche der Autos waren zu schnell?

1 Für Kopien stehen die Aufgabenblätter als Schwarz-Weiß-Vorlagen in elektronischer Form unter der

Adresse www.sinus.bildung-rp.de zur Verfügung.

SINUS-TRANSFER Rheinland-Pfalz – Offene Aufgaben für die Hauptschule (Heft 2) Aufgabe 2.1: Trink, trink, Brüderlein trink …

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Aufgabe 2.1: Trink, trink, Brüderlein trink … Idee, Aufgabenentwurf und –bearbeitung, Fotos und Bildbearbeitung: Christel Schienagel-Delb, Barbara Mathea, Ferdinand Weber

Auf den abgebildeten Tafeln an einem Wasserlehrpfad kann man die folgenden Informa-tionen finden.

Nach welcher Zeit verringert sich deine Leistungsfähigkeit bzw. treten bei dir Kopfschmerzen auf (z. B. beim Wandern oder beim Training), wenn du keine Flüssigkeit zu dir nimmst?

Beachte: 1 Liter Wasser wiegt 1 kg.

So viel Wasser verliert der Körper jede

Stunde durch Schwitzen: leichtes, kaum spürbares Schwitzen: Schweißperlen: Schweiß fließt in Strömen: ½ Liter

So viel Wasser verliert der Körper Stunde durch Schwitzen: leichtes, kaum spürba Schwitzen: Schweißperlen: Schweiß fließt in Strömen: ½ Liter


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Mögliche Lösungen

Die Schülerinnen und Schüler sollen für eine oder mehrere der auf den Tafeln am Wasser-lehrpfad beschriebenen Situationen Schätzwerte ermitteln. Welche Situation(en) sie wählen, sollen sie selbst entscheiden. Zum Beispiel: − Ab wann verringert sich die Leistungsfähigkeit, wenn der Schweiß in Strömen läuft? − Wann treten Kopfschmerzen bei leichtem Schwitzen auf?

Die folgende Tabelle gibt der Lehrerin bzw. dem Lehrer am Beispiel einer 60-kg-Person ei-nen Überblick über mögliche Schülerlösungen. Es ist nicht intendiert, dass Schülerinnen und Schüler eine solche vollständige Tabelle aufstellen.

In der Tabelle sind die Schätzwerte auf ¼-Stunden gerundet. Die Minutenangaben in Klam-mern ergeben sich bei exakter Rechnung. Angenommen, jemand wiegt 60 kg. å 42 kg davon sind Wasser, das sind ungefähr 42 Liter.

60 kg Gewicht

Verringerung der Leistungsfähigkeit Kopfschmerzen Bewusstseinstrübung

bei Verlust von

nach etwa bei Verlust von

nach etwa bei Verlust von

nach etwa

leichtes Schwitzen 0,84 l

1¾ h (100 min) 1,68 l

3¼ h (201 min) 2,1 l

4¼ h (252 min)

Schweiß-perlen 0,84 l

¾ h (50 min) 1,68 l

1¾ h (100 min) 2,1 l

2 h (126 min)

Schweiß in Strömen 0,84 l

½ h (34 min) 1,68 l

1 h (67 min) 2,1 l

1½ h (84 min)


− Zunächst muss sichergestellt werden, dass die Schülerinnen und Schüler die Information "70% Wasser" in der Figur im oberen Schild richtig interpretieren.

− Dann muss jede Schülerin/jeder Schüler das eigene Körpergewicht schätzen oder mes-sen. Wenn die Lehrkraft vermutet, dass bei den Schülerinnen und Schülern das eigene Körpergewicht ein sensibles Thema ist, sollte man sich in der Klasse bzw. in der Gruppe auf ein bestimmtes Körpergewicht einer Person einigen und dies als Grundlage für die Berechnungen nehmen.

− Für Schülerinnen und Schüler, die Schwierigkeiten beim Einstieg in die Aufgabe haben, ist es sinnvoll, Fragen zu stellen, die sich auf nur eine der beiden Tafeln beziehen. Zum Beispiel: ̇ Bei einer anstrengenden Arbeit fließt bei dir der Schweiß in Strömen. Wieviel Wasser

musst du in welcher Zeit trinken, um den Wasserverlust auszugleichen? (untere Tafel) ̇ Wieviel Wasser musst du trinken, wenn du feststellst, dass deine Leistungsfähigkeit

nachlässt? (obere Tafel)


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− Die Schülerinnen und Schüler sollen eine Tabelle (s.o.) anlegen und für ein bestimmtes Körpergewicht alle entsprechenden Zeiten errechnen.

− Die Schülerinnen und Schüler sollen für jedes, auf der oberen Tafel genannte Symptom eine Formel erstellen, mit der man zu jedem Körpergewicht den Wasserverlust berechnen kann. Beispiel: Lösung für Kopfschmerzen: GK ⋅ 0,7 ⋅ 0,04 = GK ⋅ 0,028

− Die Schülerinnen und Schüler sollen für jede, der in der Tabelle bei "Mögliche Lösungen" (s.o.) genannten Situationen eine Formel erstellen, mit der man zu jedem Körpergewicht die entsprechenden Zeiten berechnen kann.

Lösung:

GK Körpergewicht

(kg)

Verringerung der Leistungsfähigkeit nach etwa (min)

Kopfschmerzen nach etwa (min)

Bewusstseins-trübung

nach etwa (min)

Tod nach etwa (min)

leichtes Schwitzen

605,0

02,07,0GK ⋅

⋅⋅ 60

5,0

04,07,0GK ⋅

⋅⋅ 60

5,0

05,07,0GK ⋅

⋅⋅ 60

5,0

1,07,0GK ⋅

⋅⋅

Schweiß-perlen

GK ⋅ 0,7 ⋅ 0,02 ⋅ 60 GK ⋅ 0,7 ⋅ 0,04 ⋅ 60 GK ⋅ 0,7 ⋅ 0,05 ⋅ 60 GK ⋅ 0,7 ⋅ 0,1 ⋅ 60

Schweiß in Strömen

605,1

02,07,0GK ⋅

⋅⋅ 60

5,1

04,07,0GK ⋅

⋅⋅ 60

5,1

05,07,0GK ⋅

⋅⋅ 60

5,1

1,07,0GK ⋅

⋅⋅

− Mit diesen Formeln kann eine Excel-Tabelle erstellt werden. Allgemeine mathematische Kompetenzen – Zuordnung zu den Bildungsstandards

Mit dieser Aufgabe werden vor allem folgende allgemeine mathematische Kompetenzen ge-fördert. Der Bezug zu den Bildungsstandards ist ausgewiesen. − Erkennen und mit eigenen Worten wiedergeben können, was die Informa-

tionen auf den Schrifttafeln bedeuten und in welcher Beziehung sie zu der Frage der Aufgabe stehen. å (K1, K3)

− Eine Strategie aufbauen, die schrittweise zur Lösung führt, und dabei Angaben auf den Schrifttafeln geeignet kombinieren. å (K2, K3)

– Entscheidungen auf dem Lösungsweg auf das Sachproblem rückbeziehen. å (K3) – Den gewählten Lösungsweg und die Lösung beschreiben, begründen und verständlich darstellen. å (K1, K6)

SINUS-TRANSFER Rheinland-Pfalz – Offene Aufgaben für die Hauptschule (Heft 2) Aufgabe 2.2: Kinder helfen Kindern

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Aufgabe 2.2: Kinder helfen Kindern Idee, Aufgabenentwurf und –bearbeitung, Fotos und Bildbearbeitung: Angelika Holzmann, Barbara Mathea, Monika Preußer, Wolfgang Schäfer, Ferdinand Weber

Die Klasse 8b packt Päckchen für die Patenklasse in Ruanda. Jedes Päckchen ist 18 cm lang, 12 cm breit und 6 cm hoch. Benjamin, Christina, Florian, Nico und Wendy haben verschieden große Kartons als Muster mitgebracht. Welche dieser Kartons sind geeignet?

Wir packen immer 12 Päckchen in einen Karton.

Der Karton darf aber wegen der Portokosten

nicht größer sein als notwendig.

Christina

25 cm 40 cm

18 c

m

Wendy

14

cm

Florian

Nico

Benjamin


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Lösungswege und Lösungen

1. Der einfachste und sicherste Weg ist, bei allen Paketen zu untersuchen, ob die 12 Päck-chen bei einer geeigneten Anordnung in das jeweilige Paket passen. Dabei ergibt sich: − In Benjamins Karton passen alle 12 Päckchen. Der Karton ist trotzdem ungeeignet,

weil viel zu viel leerer Raum bleibt. − Nicos Karton ist zu klein. − Die Kartons von Christina und Wendy sind geeignet. Bei beiden Kartons gibt es mehre-

re Möglichkeiten, die Päckchen zu verstauen. Der Karton von Wendy wird nie ganz ausgefüllt.

− Die Maße von Florians Karton sind so ungünstig, dass bei keiner Anordnung alle Päck-chen in den Karton passen.

2. Pfiffiger ist es, zunächst einmal zu prüfen, welche Kartons überhaupt von ihrem Volumen her geeignet sind. Es zeigt sich, dass zwei der fünf Kartons von vornherein ausscheiden. − Die 12 Päckchen haben ein Gesamtvolumen von:

12 „ (18 „ 12 „ 6) cm3 = 15 552 cm3 − Benjamins Karton: 50 „ 30 „ 20 cm3 = 30 000 cm3 å nicht geeignet, da viel zu groß − Christinas Karton: 36 „ 36 „ 12 cm3 = 15 552 cm3 å Volumen stimmt genau − Florians Karton: 38 „ 35 „ 14 cm3 = 18 620 cm3 å groß genug − Nicos Karton: 35 „ 34 „ 12 cm3 = 14 280 cm3 å zu klein − Wendys Karton: 40 „ 25 „ 18 cm3 = 18 000 cm3 å groß genug Jetzt muss nur noch für drei Kartons ausprobiert werden, ob die 12 Päckchen in den Kar-ton passen. − Bei Florians Karton ist zwar das Volumen groß genug. Trotzdem ist er nicht zu gebrau-

chen, da die Maße des Kartons für das Verstauen der Päckchen ungünstig sind. − Die Kartons von Christina und Wendy ermöglichen mehrere verschiedene Möglichkei-

ten, die Päckchen zu packen.

3. Zeichnerische Lösung: Die Schülerinnen und Schüler können auch die Kartons im Schrägbild maßstabsgerecht darstellen, die Päckchen einzeichnen und auf diesem Weg die Lösung durch Probieren finden.

Beispiel: Lösungsvorschläge für Wendys Karton


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− Es ist von Vorteil, wenn das Aufgabenblatt den Schülerinnen und Schülern farbig präsen-tiert wird (zum Beispiel als Folie).

− Die Aufgabe kann in Einzel-, Partner- oder Gruppenarbeit gelöst werden. Da die Lösung aber sehr zeitaufwändig ist, kann gemeinsames Arbeiten und das Austauschen von Ideen vorteilhaft sein. Außerdem dient dies der Förderung der mathematischen Sprachkompe-tenz.

− Vorschläge zur Präsentation der Ergebnisse : ̇ Demonstration anhand von Streichholzschachteln mit Versprachlichung der Ergeb-

nisse. ̇ Anfertigung von Skizzen auf Folie mit mündlicher Erklärung. ̇ Anfertigung eines übersichtlichen Lösungsblattes mit Skizzen, Formeln und Begrün-

dung der Entscheidungen. Allgemeine mathematische Kompetenzen – Zuordnung zu den Bildungsstandards

Mit dieser Aufgabe werden vor allem folgende allgemeine mathematische Kompetenzen ge-fördert. Der Bezug zu den Bildungsstandards ist ausgewiesen. – Sich eine Strategie und geeignete Hilfsmittel ausdenken, die Strategie

umsetzen und den Lösungsweg überdenken. å (K2) – Objekte angemessen darstellen; Beziehungen zwischen verschiedenen

Objekten erkennen. å (K4) – Ergebnisse eigener Überlegungen für andere verständlich darstellen. å (K1, K6)

SINUS-TRANSFER Rheinland-Pfalz – Offene Aufgaben für die Hauptschule (Heft 2) Aufgabe 2.3: Der Teufelstisch - des Teufels Tisch?

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Aufgabe 2.3: Der Teufelstisch – des Teufels Tisch?

Idee, Text, Fotos und Bildbearbeitung: Barbara Mathea, Christel Schienagel-Delb, Ferdinand Weber

Die Sage vom Teufelstisch

Eines Nachts - vor sehr langer Zeit - durchquerte der Teufel den Pfälzer-

wald. Ganz in der Nähe von Hinterweidenthal überkam ihn großer Hunger.

Nachdem er keinen geeigneten Rastplatz fand, nahm er kurzerhand zwei

große Sandsteinfelsen und stellte sie zu einem Tisch aufeinander. Als er satt

war, ließ er den Felsentisch einfach stehen und verschwand. Die Menschen,

die am nächsten Tag den riesigen Tisch sahen, bekamen große Angst, denn

sie vermuteten ganz richtig, dass hier der Teufel am Werk war. Ein ganz

Mutiger brüstete sich damit, in der folgenden Nacht mit dem Teufel gemein-

sam ein Mahl einnehmen zu wollen. Um Mitternacht hörte man einen schau-

erlichen Schrei. Der Mutige ward nie wieder gesehen.

1 m3 von diesem Buntsandsteinwiegt 1,8 t.

Der Teufel muss ganz schön groß sein. Ich hab' ihn mir

immer ganz klein vorgestellt.

Jetzt will ich's wissen, wie groß der Teufel ist.

Der Teufel muss auch ganz schön Kraft haben, wenn er die Tischplatte hochgehoben hat.

Wie schwer mag die wohl sein?


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Durch die zwei Fragen der Wanderer werden zwei voneinander weitgehend unabhängige Teilaufgaben gestellt: 1) Bestimmung der Höhe des Teufelstischs, 2) Bestimmung des Gewichts der "Tischplatte".

Lösung Wenn man die in den folgenden "Lösungshinweisen" angegebenen Idealisierungen und Schätzungen vornimmt, ergibt sich: Das "Tischbein" ist ca. 9 m hoch, die "Tischplatte" ca. 7 m lang, 7 m breit und im Mittel 3,5 m dick. Teilaufgabe 1: Der Teufelstisch ist zwischen 12 und 13 m hoch. Teilaufgabe 2: Das Volumen der "Tischplatte" beträgt rund 170 m3, ihr Gewicht rund 300 t.

Lösungshinweise

Die Schülerinnen und Schüler müssen Idealisierungen vornehmen und die zur Berechnung erforderlichen Längen schätzen. Dies kann auf verschiedenen Wegen erfolgen. − Man geht davon aus, dass die "Tischfläche" quadratisch ist. Da die Dicke der Platte vari-

iert, wird ein Mittelwert angenommen und die "Tischplatte" als Quader gesehen. − Als Maßeinheit können die Größe der Menschen im Bild oder die Höhe der Sitzbank am

Fuß des Felsens dienen. − Die Schülerinnen und Schüler können bestimmen, ohne mit einem Lineal zu messen, wie

oft die Größe einer Person bzw. die Höhe der Sitzbank in die jeweils zu schätzende Län-ge passt. Sie markieren die Größe einer Person (die Höhe der Sitzbank) auf einem Blatt Papier und übertragen diese Länge in das Foto.

− Die zu schätzenden Längen können auch mit Hilfe der Maßeinteilung auf einem Lineal ermittelt werden. Wenn das Foto so, wie hier vorgegeben, vervielfältigt wurde, ist der Maßstab 1:100, d.h. 1 cm im Foto entspricht 1 m in Wirklichkeit.

Lösungswege für Teilaufgabe 1

1. Schritt:

− "Tischbeinhöhe" und "Tischplattenhöhe" müssen getrennt bestimmt werden. Das "Tisch-bein" ist ungefähr 5-mal so groß wie die Personen im Bild, die "Tischplatte" ungefähr dop-pelt so hoch. Geht man davon aus, dass die Personen etwa 1,80 m groß sind, so ergibt sich hieraus rechnerisch eine Höhe vom Boden bis zur Oberkante der "Tischplatte" von 12,6 m.

− Den gleichen Wert erhält man, wenn man die Höhe der Sitzbank als Maßstab benutzt. Das "Tischbein" ist etwa 12-mal so groß, die "Tischplatte" 5-mal so hoch. Geht man davon aus, dass die Sitzbank mit Lehne 0,75 m hoch ist, so ergibt sich rechnerisch eine Höhe vom Boden bis zur Oberkante der "Tischplatte" von 12,75 m.

− Benutzt man die Maßeinteilung auf einem Lineal, so erhält man für die Höhe des "Tisch-beins" ungefähr 9 m, für die Höhe der "Tischplatte" im Mittel 3,5 m.

2. Schritt: − Angenommen, der Teufel hat den Tisch als Stehtisch (Bistrotisch) benutzt. Mittelhohe

Stehtische sind ca. 125 cm (d.h. 1,25 m) hoch. Also ist der Teufelstisch 10-mal so groß wie ein Bistrotisch, der Teufel 10-mal so groß wie ein Mensch.

− Der Teufel müsste demnach ca. 18 m groß sein.


40

Lösungswege für Teilaufgabe 2 − Die Länge der als quadratisch angenommenen "Tischfläche" (7 m) und die Höhe der

"Tischplatte" (3,5 m) können auf die gleiche Weise, wie die Werte in Teilaufgabe 1 ermit-telt werden. Das Volumen beträgt rund 170 m3, und das Gewicht rund 300 t.

− Man kann aber auch so vorgehen: Die "Tischplatte" ist ungefähr doppelt so lang wie hoch. Die Höhe der "Tischplatte" wird, wie in Teil A beschrieben, ermittelt. Daraus ergeben sich Länge und Breite des Quaders.


− Der Teufelstisch bei Hinterweidenthal, dessen markante Formation aus Buntsandstein durch unterschiedlich starke Erosion geformt wurde, gilt als Wahrzeichen des Pfälzerwal-des. Die Sage von der Entstehung des Teufelstisches erzählte der Heimatdichter Fritz Claus in einem Gedicht (http://de.wikipedia.org/wiki/Sage vom Teufelstisch).

− Schülerinnen und Schüler, die mit dieser Art von Aufgaben noch nicht vertraut sind, sollte man am Anfang darauf hinweisen, dass hier nicht exakte Lösungen erwartet werden, sondern mit geschätzten Größen Näherungslösungen errechnet werden sollen.

− Es muss nicht gefordert werden, dass alle Schülerinnen und Schüler beide Teilaufgaben lösen. Bei Gruppen- oder Partnerarbeit sollen die Schülerinnen und Schüler selbst ent-scheiden, welcher der beiden Fragen sie nachgehen wollen.

− Für Schülerinnen und Schüler, die keinen Zugang zur Aufgabe finden, kann der zusätzli-che Hinweis hilfreich sein, dass die abgebildeten Personen als "Maßstab" dienen können, oder dass 1 cm im Foto 1 m in Wirklichkeit entspricht.

− Um das Problem angehen zu können, müssen die Schülerinnen und Schüler Aspekte, die für die Lösung relevant sind, herausfiltern: ̇ Welche Angaben sind zur Berechnung notwendig? ̇ Wie können die zur Berechnung notwendigen Maße ermittelt werden? ̇ Teilaufgabe 2: Welchem geometrischen Körper, dessen Volumen wir berechnen kön-

nen, entspricht in etwa die Form der "Tischplatte"? − Weil es keine eindeutige Lösung gibt, ist es wichtig, über die gefundenen Lösungswege

und Ergebnisse im Unterricht zu reflektieren. Die ermittelten Werte sollten mit den im Ab-schnitt "Lösung" angegebenen verglichen und die Abweichungen begründet werden.


Die Aufgabe kann auch im projektorientierten bzw. fachübergreifenden Unterricht eingesetzt werden. Fachübergreifende Aspekte: Deutsch (Sagen), Erdkunde. Allgemeine mathematische Kompetenzen – Zuordnung zu den Bildungsstandards

Mit dieser Aufgabe werden vor allem folgende allgemeine mathematische Kompetenzen ge-fördert. Der Bezug zu den Bildungsstandards ist ausgewiesen. – Sich eine Strategie ausdenken, um ein vorgegebenes Problem zu lösen. å (K2) – Methoden ausdenken und anwenden, wie einem Bild Informationen ent-

nommen werden können, die für die Lösung des Problems nützlich sind. å (K3) – Idealisierungen vornehmen å (K3) – Sinnvoll schätzen und runden. å (K5) – Ergebnisse eigener Überlegungen für andere verständlich darstellen. å (K1, K6)

SINUS-TRANSFER Rheinland-Pfalz – Offene Aufgaben für die Hauptschule (Heft 2) Aufgabe 2.4: Temposünder?

41

Aufgabe 2.4: Temposünder?

Idee, Aufgabenentwurf und Fotos: Barbara Mathea, Ferdinand Weber

Weil das Radargerät defekt war, filmte die Polizei in einer 30-km-Zone alle vorbeifahrenden Autos. Von 4 Autos sind je 5 aufeinander folgende Aufnahmen abgebildet. Die Kamera war so eingestellt, dass sie 10 Bilder pro Sekunde aufgenommen hat. Durch Auswerten der Fotos soll die Geschwindigkeit der Autos bestimmt werden. Welche Autos haben in der 30-km-Zone abgebremst oder beschleunigt?

Maßstab:1m

1 m/sec =

3,6 km/h

Film 2

s10

1

Film 1


42

Maßstab:1m

Film 3 Film 4

1 m/sec =

3,6 km/h

s10

1


43

Lösung:

Auto Fahrstrecke

von Foto zu Foto Fahrstrecke

in einer Sekunde Geschwindigkeit

blau (Film 1) ~ 0,8 m ~ 8 m ~ 29 km/h rot (Film 2) ~ 1,3 m ~ 13 m ~ 47 km/h

weiß (Film 4) ~ 0,8 m ~ 8 m ~ 29 km/h

Das silbergraue Auto (Film 3) hat gebremst. Auto

silbergrau (Film 3) Fahrstrecke

von Foto zu Foto Fahrstrecke

in einer Sekunde

(mittlere) Geschwindigkeit

von Foto 1 zu Foto 2 ~ 1,35 m ~ 13,5 m ~ 48 km/h von Foto 2 zu Foto 3 ~ 1,25 m ~ 12,5 m ~ 45 km/h von Foto 3 zu Foto 4 ~ 1,15 m ~ 11,5 m ~ 41 km/h

von Foto 4 zu Foto 5 ~ 1,05 m ~ 10,5 m ~ 36 km/h

Mögliche Lösungswege

Messen und Rechnen − Man wählt einen markanten Punkt am Auto, misst in allen Fotos jeweils die horizontalen

Entfernungen dieses Punkts zu einem bestimmten Punkt im Bild (z.B. bis zum Laternen-pfahl, bis zum Elektroschaltkasten, bis zum rechten Bildrand, …) und bildet die Differen-zen.

− Man misst in je zwei aufeinander folgenden Fotos die Strecke, um die sich das Auto wei-terbewegt hat.

− Um festzustellen, ob ein Auto gebremst hat, werden clevere Schülerinnen bzw. Schüler vielleicht auf die Idee kommen zu messen, ob die durchfahrene Strecke von Foto 4 nach Foto 5 kleiner ist als von Foto 1 nach 2.

Zeichnen, Messen und Rechnen Man prüft zunächst zeichnerisch, ob das betrachtete Auto mit annähernd konstanter Ge-schwindigkeit durch das Bild gefahren ist oder ob es gebremst hat. Die Anzahl der Messun-gen und Rechnungen lässt sich so reduzieren. − Man markiert einen bestimmten Punkt am Auto in allen Fotos einer Serie und verbindet

die markierten Punkte. Wenn alle Punkte auf einer Geraden liegen, hat sich die Ge-schwindigkeit nicht geändert. Anmerkung: Bei der Erprobung der Aufgabe in Hauptschulklassen wählten viele Schülerinnen und Schüler

dieses Vorgehen.

− Alle Autos, bei denen diese Geraden die gleiche Neigung haben, also parallel sind, hatten die gleiche Geschwindigkeit.

− Bei den Autos mit konstanter Geschwindigkeit muss man nur zwei Bilder auswerten, z.B. Bild 1 und Bild 2. Die Schülerinnen und Schüler können auch Bild 1 und Bild 5 nehmen, müssen dann aber beachten, dass für das Durchfahren der gemessenen Strecke 4/10 Sekunden benötigt wurden.

− Nimmt man die zu einem Auto, das 30 km/h fuhr, gehörende Gerade als Vergleich, so kann man bei einem anderen Auto aus der Neigung der zugehörigen Geraden schließen, ob es schneller, genau so schnell oder langsamer gefahren ist.


44


− Die vier Bilderfolgen mit je fünf Fotos sind unabhängig voneinander. Der Zeitabstand zwi-schen zwei Bildern ist stets 1/10 Sekunde. Für das Bestimmen der Längen ist die Einheit 1 m maßstabsgerecht angegeben. Die zu bestimmenden Längen können auch mit Hilfe der Maßeinteilung auf einem Lineal ermittelt werden. Wenn das Foto so, wie hier vorge-geben, vervielfältigt wurde, ist der Maßstab 1:100, d.h. 1 cm im Foto entspricht 1 m in Wirklichkeit.

− Leistungsschwache Schülerinnen und Schüler sollten ermuntert werden, auch ohne zu messen und zu rechnen, allein durch Vergleichen der Positionen der Autos in Bezug auf den Hintergrund (z.B. Abzählen der Pflanzringe), zu qualitativen Aussagen zu kommen, z.B.: ̇ Das blaue und das weiße Auto sind etwa gleich schnell gefahren. ̇ Das rote Auto ist schneller gefahren als das blaue bzw. das weiße. ̇ Das silbergraue Auto ist am Anfang etwa so schnell gefahren wie das rote, am Ende

etwas schneller als das weiße. (Um dies ohne zu messen und zu rechnen festzustel-len, muss man schon genauer hinschauen und passende Fotos vergleichen.)

− Für Schülerinnen und Schüler, die keinen Einstieg in die Aufgabe finden, können folgende Impulse hilfreich sein: ̇ Die Polizei bestimmt zunächst, wieviel Meter ein Auto pro Sekunde fuhr und errechnet

daraus, wieviel Kilometer pro Stunde das sind.


Bei leistungsstärkeren Schülerinnen und Schülern wird man die in der Aufgabenstellung ein-gebauten Hilfen reduzieren oder ganz herausnehmen, zum Beispiel den Pfeil "1/10 s" in den Fotoserien, die Umrechnung von m/s in km/h. Auch die eingeblendete Längenangabe "1 m" kann herausgenommen werden, wenn die Schülerinnen und Schüler selbst aus dem Foto anhand eines bekannten Objekts (Laternenhöhe, Höhe des Elektroschaltkastens im Bild rechts, Reifengröße, Autolänge ...) den Maßstab bestimmen können und sollen. "Temposünder" als Unterrichtsprojekt

Die Anregung zu dieser Aufgabe erhielten die Autoren durch einen Artikel "Videoanalyse im Mathematikunterricht" von Wolfgang Riemer (MNU Jg.59, Heft 2; 2006). Das dort beschrie-bene Unterrichtsprojekt hat zwar eine andere Zielsetzung als die vorliegende Aufgabe "Tem-posünder?" für die Hauptschule und ist sicher aufwändiger in der Durchführung, der span-nende Kontext und die Selbsttätigkeit der Schülerinnen und Schüler (Filmen von Autos in einer 30-km-Zone) motivieren aber in hohem Maß. Darüber hinaus vertiefen und erweitern die Auswertung mit Hilfe eines Computerprogramms und die theoretische Durchdringung der gewonnenen Ergebnisse bei leistungsstärkeren Schülerinnen und Schülern das Verständnis des Funktionsbegriffs und die Fähigkeit der Interpretation von Funktionsgraphen.


45


Mit dieser Aufgabe werden vor allem folgende allgemeine mathematische Kompetenzen ge-fördert. Der Bezug zu den Bildungsstandards ist ausgewiesen. – Vermutungen aus den Bildinformationen ziehen und begründen. å (K1) – Sich eine Strategie ausdenken, um das vorgegebene Problem zu lösen. å (K2) – Zeichnerische Elemente zur Problemlösung verwenden. å (K4) – Zur Berechnung der gesuchten Größen Formeln und mathematische

Verfahren einsetzen. å (K5) – Ergebnisse für andere verständlich darstellen. å (K6)


46

Bereich 3: Vorgegebene Texte und

Rechenaufgaben einander zuordnen An der Erstellung, Bearbeitung, Erprobung und Auswahl der Aufgaben des Bereiches 3 waren beteiligt: Christel Schienagel-Delb, Klaus Müller, Paul Müller und Sandra Gerhard.

Von Bereich zu Bereich steigt der Anspruch an das Textverständnis. Die Texte der Aufgaben

im Bereich 3 sind kurz und leicht zu verstehen, die vorgegebenen Rechenaufgaben einfach.

Die Texte enthalten die gleichen Zahlen wie die Rechenaufgabe. Die Schülerinnen und

Schüler sollen herausfinden und begründen, welcher Text zu welcher Aufgabe passt. Es

kann auch sein, dass mehr als einer der vorgegebenen Texte zu einer Aufgabe passt. Auf

welchem Weg die richtigen Zuordnungen gefunden werden, ist offen.

Die Erprobung der Aufgaben hat gezeigt, dass viele Schülerinnen und Schüler gar nicht le-

sen bzw. wahrnehmen, was sie tun sollen, sondern sofort losrechnen, sobald sie eine Re-

chenaufgabe sehen. Es bedarf ggf. eines Hinweises seitens der Lehrkraft, genau auf die

Aufgabenstellung zu achten.

Die hier vorgelegten Aufgaben sollen als Muster verstanden werden, nach dem Lehrkräfte

selbst Aufgaben erstellen, die möglichst gut auf das Leistungsvermögen ihrer Klasse abge-

stimmt sind. Wichtig ist, dass solche Aufgaben regelmäßig und häufiger im Unterricht

eingesetzt werden.

Aufgaben

3.1 bis 3.3

Es werden jeweils zu einer Rechenaufgabe vier mögliche Texte genannt. Welche Texte pas-sen zur Aufgabe, welche nicht?

3.4 und 3.5 Es werden drei gelöste Rechenaufgaben und vier Texte vorgegeben. Welche Texte passen zu welcher Aufgabe?

Die Lösungen der Aufgaben stehen auf den Seiten 50 und 51.


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Aufgabe 3.1

Welche der folgenden Texte passen zur Aufgabe: Begründe jeweils, warum der Text passt bzw. nicht passt.

a) Ina erhält monatlich 12 € Taschengeld. Ihr großer Bruder erhält dreimal soviel.

b) Peter ist 12 Jahre alt. Sein Bruder Frank ist drei Jahre älter. Wie alt ist Frank?

c) Oma Käthe gibt ihren drei Enkeln 12 € und bittet darum, das Geld gleichmäßig zu verteilen. Wie viel Euro erhält jedes Enkelkind?

d) Tim besitzt 12 WM-Bilder. Klaus schenkt ihm 3, die er doppelt hat. Wie viele Bilder hat Tim jetzt?

Aufgabe 3.2


a) David hat noch eine Stunde Zeit bis der Besuch kommt. Kann er noch eine halbe Stunde Klavier spielen, wenn er 10 Minuten mit Alina telefoniert und rund 20 Minuten zum Aufräumen seines Zimmers braucht?

b) Frederics Oma verteilt 60 € an ihre drei Enkelkinder. Der kleine Frederic erhält 10 €, sein älterer Bruder bekommt das Doppelte und den Rest erhält Suse, die der Oma immer im Garten hilft.

c) Bei einer Radtour (60 km) hat Waldemar nach 10 km eine Panne. Nach weiteren 20 km macht er eine lange Pause. Wie viele Kilometer muss er noch bis zum Ziel zu-rücklegen?

d) Du erhältst die Zahl 30, wenn du vom Doppelten dieser Zahl die Zahlen 10 und 20 subtrahierst.

3 + 12 = 15

60 - 10 - 20 = 30


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Aufgabe 3.3


a) Eine Schachtel ist 3 cm lang, 4 cm breit und 5 cm hoch. Wie groß ist ihr Volumen?

b) Die parallelen Seiten eines Trapezes sind 3 cm und 5 cm lang. Ihr Abstand beträgt 4 cm. Wie groß ist der Flächeninhalt des Trapezes?

c) Ein Quader ist 5 cm lang, 3 cm breit und 4 cm hoch. Wie groß ist seine Oberfläche?

d) Nina kauft vier Schachteln Pralinen. In jeder Schachtel sind drei Reihen mit je fünf Pralinen. Wie viele Pralinen hat Nina?

Aufgabe 3.4

Rechts stehen drei gelöste Rechenaufgaben. Welcher Text passt zu welcher Aufgabe? Begründe!

a) Eine Computer-Funkmaus kostet 56 €. Peter kauft für sich und seine drei Freunde je eine PC-Maus.

b) Eine rechteckige Wiese ist 14 m lang und 56 m breit. Wie groß ist die Grasfläche?

c) Das quadratische Schwimmbecken einer Schule hat einen Umfang von 56 m. Wie lang ist eine Seite des Beckens?

d) Anita möchte ein Schnäppchen machen und für 56 € einen Schnellkochtopf kaufen. Leider hat sie nur noch 14 € im Geldbeu-tel. Wie viel Euro muss sie von ihrer Freundin ausleihen?

‹ 56 : 4 = 14

› 56 „ 4 = 224

fi 14 „ 56 = 784

3 • 4 • 5 = 60


49

Aufgabe 3.5


a) Petra und Peter möchten mit drei Freunden einen Ausflug machen. Die Bahn bietet ein Wochenendticket an, mit dem fünf Personen zu 20.- € fahren können. Wie viel muss jeder zahlen?

b) Peter bringt Leergut zurück. In einem Kasten Limonade fehlen vier von 20 Flaschen.

c) Dienstags kostet die Kinokarte nur 4 €. Lara besorgt für sich und ihre Freundinnen fünf Karten. Wie viel kosten die Kinokarten zu-sammen?

d) Beim Handballturnier warf Miroslav für seine Mannschaft 5 der ins-gesamt 20 Tore. Wie viele Tore erzielten seine Mannschaftskame-raden zusammen?

‹ 20 - 5 = 15

› 4 „ 5 = 20

fi 20 : 5 = 4


50

Lösungen zu:

Aufgabe 3.1:

3 + 12 = 15 passt zu b) und d). Die Aufgabe, die zu a) passt, heißt: 12 • 3 = 36 Die Aufgabe, die zu c) passt, heißt: 12 : 3 = 4 Aufgabe 3.2:

60 - 10 - 20 = 30 passt zu allen vier Texten. Aufgabe 3.3

3 • 4 • 5 = 60 passt zu a) und d). Die Aufgabe, die zu b) passt, heißt: (3 + 5) • 4 : 2 = 16 Die Aufgabe, die zu c) passt, heißt: 2 • (3 • 5 + 3 • 4 + 5 • 4) = 94 Aufgabe 3.4


a) Eine Computer-Funkmaus kostet 56 €. Peter kauft für sich und

seine drei Freunde je eine PC-Maus. ›

b) Eine rechteckige Wiese ist 14 m lang und 56 m breit. Wie groß ist

die Grasfläche? fi

c) Das quadratische Schwimmbecken einer Schule hat einen Umfang

von 56 m. Wie lang ist eine Seite des Beckens? ‹

d) Anita möchte ein Schnäppchen machen und für 56 € einen Schnellkochtopf kaufen. Leider hat sie nur noch 14 € im Geldbeu-tel. Wie viel Euro muss sie von ihrer Freundin ausleihen?

‹ 56 : 4 = 14

› 56 „ 4 = 224

fi 14 „ 56 = 784

keine


51

Aufgabe 3.5


a) Petra und Peter möchten mit drei Freunden einen Ausflug machen. Die Bahn bietet ein Wochenendticket an, mit dem fünf Personen zu

20.- € fahren können. Wie viel muss jeder zahlen? fi

b) Peter bringt Leergut zurück. In einem Kasten Limonade fehlen vier von 20 Flaschen.

c) Dienstags kostet die Kinokarte nur 4 €. Lara besorgt für sich und ihre Freundinnen fünf Karten. Wie viel kosten die Kinokarten zu-

sammen? ›

d) Beim Handballturnier warf Miroslav für seine Mannschaft 5 der ins-gesamt 20 Tore. Wie viele Tore erzielten seine Mannschaftskame-

raden zusammen? ‹

‹ 20 - 5 = 15

› 4 „ 5 = 20

fi 20 : 5 = 4

keine


52

Bereich 4: Zu einer Rechenaufgabe einen

passenden Text erfinden An der Erstellung, Bearbeitung, Erprobung und Auswahl der Aufgaben des Bereichs 4 waren beteiligt: Franz-Josef Göbel, Ralf Nagel, Helga Schmidt und Sandra Gerhard.

Im Gegensatz zu Bereich 3, in dem Texte vorgegeben sind, sollen die Schülerinnen und

Schüler jetzt selbst Texte formulieren. Bei den Leistungsschwächsten könnte man sich damit

begnügen, wenn sie – ohne Kontextbezug – die Rechenschritte nur beschreiben. Je mehr

Grundrechenarten in der vorgegebenen Aufgabe auftreten, desto schwieriger wird es, einen

passenden Text zu formulieren.

Durch diese Art von Aufgaben soll nicht nur die Sprachkompetenz der Schülerinnen und

Schüler verbessert werden, vielmehr regen die Aufgaben auch die Kreativität an. Jede Schü-

lergruppe kann sich einen eigenen Sachverhalt ausdenken.

Die hier vorgelegten Aufgaben sollen als Muster verstanden werden, nach dem Lehrkräfte

selbst Aufgaben erstellen, die möglichst gut auf das Leistungsvermögen ihrer Klasse abge-

stimmt sind. Wichtig ist, dass solche Aufgaben regelmäßig und häufiger im Unterricht

eingesetzt werden.

Aufgaben

4.1 und 4.2

Zu einer Rechenaufgabe wird nur der Anfang einer Textaufgabe vorgegeben. Die Schülerin-nen und Schüler sollen den Text so ergänzen, dass er zu der Rechenaufgabe passt.

4.3 Es wird nur eine Rechenaufgabe vorgegeben. Die Schülerinnen und Schüler sollen dazu eine Geschichte erfinden. 4.4 Es werden zwei aufeinander bezogene Rechenaufgaben vorgegeben. Die Schülerinnen und Schüler sollen dazu eine passende Geschichte erfinden. Mögliche Lösungen der Aufgaben stehen auf den Seiten 54 und 55.


53

Aufgabe 4.1

Ergänze den folgenden Text so, dass er zur Rechenaufgabe passt.

Klaus wünscht sich ein Fahrrad. Es kostet 288 €. 288 : 2 - 50 Aufgabe 4.2

Ergänze den folgenden Text so, dass er zur Rechenaufgabe passt.

Susanne hat noch 18 €. 18 - 3 „ 1,50

Aufgabe 4.3

Auf einem Zettel steht: Erfinde dazu eine Geschichte.

Aufgabe 4.4

Auf einem Zettel stehen diese beiden Aufgaben: Sie gehören zu einer einzigen Geschichte. Erfinde eine solche Geschichte.

24 + 15 = 39 39 : 3 = 13

118 + 236 = 354


54

Mögliche Lösungen zu:

Aufgabe 4.1:

Klaus wünscht sich ein Fahrrad. Es kostet 288 €. 288 : 2 - 50 Auszüge aus Schülerlösungen:

4.1.1 ... Er möchte es von seinen Eltern und Großeltern zum Geburtstag geschenkt be-kommen. Seine Großeltern geben die Hälfte, 50 € zahlen seine Eltern. Wie viel muss er noch drauflegen?

4.1.2 ... Er will das Rad zusammen mit seinem Bruder kaufen. Da das Fahrrad ein Aus-laufmodell ist, kostet es nur noch halb so viel und 50 € bekommen sie noch von ihrer Oma dazu. Wie viel müssen die beiden zusammen jetzt noch bezahlen?

4.1.3 ... Oma, Papa und Mama wollen ihm beim Bezahlen helfen. Die Hälfte hat er schon angespart, seine Oma zahlt 50 €. Den Rest übernehmen Papa und Mama. Wie viel müssen sie noch bezahlen?

Aufgabe 4.2:

Susanne hat noch 18 €. 18 - 3 „ 1,50 Auszüge aus Schülerlösungen:

4.2.1. ... Sie kauft sich 3 Hefte. Jedes kostet 1,50 €. Wie viel Geld hat sie noch übrig?

4.2.2. ... Sie kauft sich 3 Packungen Kaugummi für je 1,50 €. Wie viel Geld hat sie noch?

4.2.3. ... Sie will sich ein Eis für 1,50 € kaufen. Dann trifft sie 2 Freundinnen, denen sie ein gleich großes Eis spendiert. Wie viel Geld hat sie dann noch?

Aufgabe 4.3:

Auf einem Zettel steht: Erfinde dazu eine Geschichte.

Auszüge aus Schülerlösungen:

4.3.1. Klaus hat 118 €. Seine Oma schenkt ihm zum Geburtstag 236 €. Jetzt hat er 354 € und kann sich einen Fernseher kaufen.

4.3.2. Tim kauft sich einen MP3-Player für 118 € und einen Fernseher für 236 €. Insgesamt gibt er 354 € aus.

4.3.3. Monika hat 118 Paar Schuhe. Sie will so viele Schuhe wie Heidi Klum haben. Des-wegen muss sie noch 236 Paar Schuhe dazu kaufen, dann hat sie auch 354 Paar.

118 + 236 = 354


55

Aufgabe 4.4:

Auf einem Zettel stehen diese beiden Aufgaben: Sie gehören zu einer einzigen Geschichte. Erfinde eine solche Geschichte.

Auszüge aus Schülerlösungen:

4.4.1. Silke hat 24 € gespart. Von ihrer Oma erhält sie zu Ostern 15 €. Da ihre Freunde Alex, Denis und Quan am selben Tag Geburtstag haben, gibt sie ihr erspartes Geld für Geschenke aus. Wie teuer ist jedes Geschenk?

4.4.2. Otto hat 24 € gespart und erhält diesen Monat noch 15 € Taschengeld. Seinen drei Geschwistern schuldet er noch Geld. Wie viel kann er jetzt jedem seiner Geschwister zurückzahlen?

4.4.3. Eine Klasse geht am Grillnachmittag mit Eltern auf Schnitzeljagd. Es sind 24 Kinder und 15 Erwachsene da, zusammen 39 Personen. Sie bilden 3 Gruppen zu je 13 Teil-nehmern.

4.4.4. Alex hat 24 24-Stunden-Rennen-Tickets. Er braucht noch 15 weitere Tickets, damit all seine Freunde mitkommen können. Sie teilen sich dann in 3 Gruppen auf.

24 + 15 = 39 39 : 3 = 13

Sinus-Transfer Rheinland-Pfalz – Offene Aufgaben für die Hauptschule (Heft 2) Aufgaben zu Bereich 5

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Bereich 5: Zu einem Text Fragen formulieren,

die zu einer Rechenaufgabe führen An der Erstellung, Bearbeitung, Erprobung und Auswahl der Aufgaben des Bereichs 5 waren beteiligt: Angelika Holzmann; Monika Preuße, Wolfgang Schäfer und Sandra Gerhard.

Während es bei den Aufgaben des Bereichs 4 darum ging, zu einer Rechenaufgabe einen

unvollständigen Sachverhalt zu ergänzen bzw. selbst einen Sachverhalt zu erfinden, wird bei

den Aufgaben des Bereichs 5 ein anderer Weg beschritten: Der Sachverhalt wird vorgege-

ben. Allerdings beschränkt sich der Text auf die Beschreibung des Sachverhalts; es wird

keine Frage gestellt. Die Schülerinnen und Schüler sollen sich überlegen, was da denn inte-

ressieren könnte und selbst (mindestens) eine Frage formulieren. Durch die Frage(n) wird

der Text zur Aufgabe, die natürlich auch rechnerisch gelöst werden soll.

Lehrkräfte können solche Aufgaben leicht erzeugen, indem sie in einer herkömmlichen Lehr-

buchaufgabe die Frage(n) weglassen. Man sollte aber bei der Auswahl einer solchen Aufga-

be darauf achten, dass die Texte, die den Sachverhalt beschreiben, kurz sind, der Sachver-

halt selbst leicht durchschaut werden kann und die Anzahl der angegebenen Größen klein

ist. Ferner sollte der beschriebene Sachverhalt nicht nur eine einzige Fragestellung ermögli-

chen, sonst wäre es keine offene Aufgabe.

Wichtig ist, dass solche oder ähnliche Aufgaben regelmäßig und häufiger im Unter-

richt eingesetzt werden.


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Aufgabe 5.1

Überlege dir zu folgendem Text eine Frage. – Schreibe Rechnung und Antwort auf! Aufgabe 5.2

Überlege dir zu folgendem Text eine Frage. – Schreibe Rechnung und Antwort auf!

Aufgabe 5.3



Überlege dir zu folgendem Text eine Frage. – Schreibe Rechnung und Antwort auf!

Ein neuer Roller kostet 1680 €. Bei Barzahlung bietet der Händler 2% Skonto. Man kann aber auch in 12 Monatsraten zu je 154 € bezahlen.

Herr Peters pflastert seine 72 m² große Hofeinfahrt. Ein Pflasterstein hat die Länge 12,5 cm und die Breite 8 cm. In einer Stunde schafft er 3 m².

Der Blödia–Markt bietet den Flachbildschirm PX 829 für 378 € an. Das Ausstel-lungsmodell wird nach 4 Wochen mit 15 % Preisnachlass verkauft.

Das Dach eines 8 m breiten Kirchturms mit quadratischer Grundfläche muss erneuert werden. Die Kirchturmspitze überragt den Dachboden um 12 m.

Peter legt 550 € bei 2,5 % Zinsen für 7 Monate an.


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Mögliche Lösungen zu:

Aufgabe 5.1:

5.1.1 Wie viel kostet der Roller bei Barzahlung? (1646,40 €)

5.1.2 Wie hoch ist der Preisnachlass bei Barzahlung? (33,60 €)

5.1.3 Wie viel kostet der Roller bei Ratenzahlung? (1848,00 €)

5.1.4 Wie hoch ist der Zinssatz bei Ratenzahlung? (10 %)

5.1.5 Wie hoch sind die Zinsen im Jahr? (168 €)

5.1.6 Wie viel Euro beträgt der Unterschied zwischen beiden Zahlungsarten? (201,60 €)

Aufgabe 5.2:

5.2.1 Wie groß ist die Fläche eines Steines? (100 cm²)

5.2.2 Wie viele Pflastersteine braucht man, um einen Quadratmeter zu pflastern? (100 Steine; 96 ganze und 8 halbe Steine)

5.2.3 Wie lange braucht Herr Peters, um einen m² zu pflastern? (20 min)

5.2.4 Wie viele Steine braucht er insgesamt? (7200 Steine)

5.2.5 Wie viele Stunden braucht er zum Pflastern der ganzen Hofeinfahrt? (24 Stunden)

Aufgabe 5.3:

5.3.1 Wie viel kostet der Bildschirm nach 4 Wochen? (321,30 €)

5.3.2 Wie viel Euro beträgt der Preisnachlass? (56,70 €)

5.3.3 Wie viel Prozent des alten Preises beträgt der neue Preis? (85 %)

Ein neuer Roller kostet 1680 €. Bei Barzahlung bietet der Händler 2% Skonto. Man kann aber auch in 12 Monatsraten zu je 154 € bezahlen.

Herr Peters pflastert seine 72 m² große Hofeinfahrt. Ein Pflasterstein hat die Länge 12,5 cm und die Breite 8 cm. In einer Stunde schafft er 3 m².

Der Blödia–Markt bietet den Flachbildschirm PX 829 für 378 € an. Das Ausstellungs-modell wird nach 4 Wochen mit 15 % Preisnachlass verkauft.


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Aufgabe 5.4:

5.4.1 Wie groß ist die Seitenhöhe einer Dachfläche? (12,65 m)

5.4.2 Wie lang ist die Seitenkante einer Dachfläche? (13,27 m)

5.4.3 Wie viele Quadratmeter hat eine Dachfläche? (50,6 m²)

5.4.4 Wie groß ist die gesamte Dachfläche? (202,4 m²)

5.4.5 Wie viele Meter Dachrinne werden (mindestens) benötigt? (mindestens 32 m)

5.4.6 Wie groß ist der Dachraum? (256 m³)

Aufgabe 5.5:

5.5.1 Wie hoch sind die Zinsen? (8,02 €)

5.5.2 Wie viel Geld kann er nach 7 Monaten abheben? (558,02 €)

5.5.3 Wie hoch wären die Jahreszinsen? (13,75 €)

Das Dach eines 8 m breiten Kirchturms mit quadratischer Grundfläche muss erneuert wer-den. Die Kirchturmspitze überragt den Dachboden um 12 m.

Peter legt 550 € bei 2,5 % Zinsen für 7 Monate an.

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Offene Aufgaben für die Hauptschule - bildung-rp.de · 2012-03-12 · "offene Aufgabe" anerkannt werden kann. Offene Aufgaben, die für die Hauptschule geeignet sind Gute Beispiele