OLS: Bedingte Mittelwerte - Universität Innsbruck

OLS: Bedingte MittelwerteGrundlagen der Ökonometrie

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OLS & bedingte Mittelwerte

• Wiederholung:OLS ist eine Zerlegungsmethode

yi = yi + ei

• Aus den FOC folgt für die OLS Residuen:

cov(x, e) = 0 (warum?)

• Für die Interpretation interessiert uns v.a. der systematische Teil y

yi = b1 + b2xi

mit dem marginale Effekt

dy

dx= b2 ↔ dy

dx= b2 nur wenn cov(x, e) = 0 (x⊥e)

1



yi = yi + ei




yi = b1 + b2xi


dy

dx= b2 ↔ dy


1



yi = yi + ei




yi = b1 + b2xi


dy

dx= b2 ↔ dy


1


• Erinnern wir uns: Regression auf Regressionskonstante liefert Mittelwert

yi = b1 + ei ⇒ b1 = y

• Dies kann verallgemeinert werden: bedingte Mittelwerte

• bedingte Mittelwerte: arithm. Mittel eine Untergruppe.(d.h. einer Teilmenge, die eine bestimmte Bedingung erfüllt)

• Ein Beispiel zum Einstieg . . .

Zusätzliche Intuition/Beispiele im Kapitel zu ‘Dummyvariablen’)

2



yi = b1 + ei ⇒ b1 = y





2



yi = b1 + ei ⇒ b1 = y





2



yi = b1 + ei ⇒ b1 = y





2

Bedingte Mittelwerte: Autobeispiel

Obs. Preis Alter AlterJ km

1 10000 3.78 4 188000

2 21850 1.61 2 25900

3 14500 2.28 2 83300

4 11100 5.33 5 120300

5 6700 5.49 5 142000

6 24000 0.34 0 5500

7 10000 4.31 4 100500

8 16900 1.69 2 31000

9 18000 2.53 3 23000

10 15300 3.55 4 73000

11 19980 0.59 1 1500

12 15600 2.28 2 21700

13 17200 2.79 3 27570

14 18890 1.10 1 13181

15 23900 0.17 0 1800

16 14320 3.81 4 67210

17 11900 4.73 5 73900

18 15200 2.53 3 27000

19 14450 2.87 3 90000

20 18600 2.11 2 27000

Obs. Preis Alter AlterJ km

21 15000 2.70 3 51500

22 18500 2.11 2 25880

23 18500 2.11 2 19230

24 12350 3.72 4 75000

25 16900 2.70 3 22000

26 18000 2.28 2 35000

27 18890 1.27 1 22500

28 20100 0.84 1 18000

29 19700 1.02 1 12600

30 17500 2.37 2 35900

31 19300 1.19 1 5000

32 15500 3.13 3 39000

33 14000 3.21 3 56400

34 16900 2.11 2 55000

35 17700 2.28 2 25100

36 12500 4.23 4 59200

37 19000 1.36 1 19000

38 22800 0.26 0 5000

39 12350 4.23 4 73000

40 17800 1.86 2 35000

3


AlterJ = 0 AlterJ = 1 AlterJ = 2 AlterJ = 3 AlterJ = 4 AlterJ = 5

24000 19980 21850 18000 10000 11100

23900 18890 14500 17200 10000 6700

P 22800 18890 16900 15200 15300 11900

r 20100 15600 14450 14320

e 19700 18600 15000 12350

i 19300 18500 16900 12500

s 19000 18500 15500 12350

e 18000 14000

17500

16900

17700

17800

n 3 7 12 8 7 3

y 23567 19409 17696 15781 12403 9900

∆y −4158 −1713 −1915 −3378 −2503

y 22709 20192 17675 15158 12641 10124

∆y −2517 −2517 −2517 −2517 −2517

4


Für AlterJ (wiederholte Beobachtungen):

Bedingte Mittelwerte:

(Preis|AlterJ) =

23567 für AlterJ = 0






Gefittete Werte:

(Preis|AlterJ) =







Preisi = 22 709− 2 517 AlterJi

5

Bedingte Mittelwerte

0 1 2 3 4 5 65000

10000

15000

20000

25000

x (Alter)

y

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

bb

b

b

bb

bb

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

Preis

Beobachtungen

6


0 1 2 3 4 5 65000

10000

15000

20000

25000

x (Alter)

y

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

bb

b

b

bb

bb

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

Preis

rs

rs

rs

rs

rs

rs

y |(x = 3) = 15781

� Bedingt. Mittelw.

7


0 1 2 3 4 5 65000

10000

15000

20000

25000

x (Alter)

y

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

bb

b

b

bb

bb

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

Preis

rs

rs

rs

rs

rs

rs

y |(x = 3) = 15781

Regression

8


0 1 2 3 4 5 65000

10000

15000

20000

25000

x (Alter)

y

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

bb

b

b

bb

bb

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

Preis

rs

rs

rs

rs

rs

rs

y |(x = 3) = 15781

bc

bc

bc

bc

bc

bc

b

b

b

b

b

b

y |(x = 3) = 15158

lineare Approx. anbedingt. Mittelw.

9


0 1 2 3 4 5 65000

10000

15000

20000

25000

x (Alter)

y

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

bb

b

b

bb

bb

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

Preis

rs

rs

rs

rs

rs

rs

y |(x = 3) = 15781

bc

bc

bc

bc

bc

bc

b

b

b

b

b

b

y |(x = 3) = 15158

bcb

y |(x = 3.5) = 13899

10


Schlussfolgerung: (etwas sloppy)

• Wir können die gefitteten Werte y als lineare Approximation an diebedingten Mittelwerte interpretieren:

y|(x = x)lin≈ y|(x = x)

(x ist eine konkrete Ausprägung von x)

• bzw. etwas allgemeiner, die OLS Schätzfunktion als eine lineareApproximation and die bedingte Mittelwertfunktion.

• Marginaler Effekt:

dy

dx= b2 → d Preis

dAlterJ= 2 517

Marg. Effekt beschreibt nicht Individuum, sondern (lineare Approx. an)durchschnittliche Änderung!

11




y|(x = x)lin≈ y|(x = x)




dy

dx= b2 → d Preis

dAlterJ= 2 517


11




y|(x = x)lin≈ y|(x = x)




dy

dx= b2 → d Preis

dAlterJ= 2 517


11


Nichtlineare Zusammenhänge: einfach(st)er Fall:

y = b1 + b2x + b3x2 → marg. Eff.:

d y

dx= b2 + 2b3x

y

x

bb

b b

bb

b

bb b

bb

b bb

b b b

b

b

bb

b

b

bb b

b b b

bb

b

b

bb

b b

bbb b

b

b bb

b

b b b

12

Darstellung von Regressionsgleichungen

Konventionell:

In Zeilenform: (z.B. Lehrbücher)

Preis = 22 709.303 − 2 517.267 AlterJ

(532.689)*** (190.125)***

R2 = 0.822, n = 40

13

Darstellung von Regressionsgleichungen

In Tabellenform: (v.a. Publikationen)

Dependent variable:

Preis(1) (2)

Constant 22, 709.300∗∗∗ 23, 056.710∗∗∗

(532.689) (468.871)

AlterJ −2, 517.267∗∗∗

(190.125)

Alter −2, 635.669∗∗∗

(166.935)

Observations 40 40

R2 0.822 0.868

Note: ∗p<0.1; ∗∗p<0.05; ∗∗∗p<0.0114

Thanx . . .

15

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