Optionspreisbewertung mit stochastischer Volatilität und ... Thesis.pdf · Optionspreisbewertung mit stochastischer Volatilität und Sprungprozessen – Eine Untersuchung am Deutschen

Optionspreisbewertung mit stochastischer

Volatilität und Sprungprozessen – Eine Untersuchung am Deutschen Aktienindex

DIPLOMARBEIT

zur Erlangung des Grades eines Diplom-Ökonomen

der Fakultät Wirtschaftswissenschaften der

Leibniz Universität Hannover

vorgelegt von

Martin Schmelzle

Erstprüfer: Prof. Dr. Daniel Rösch

Hannover, den 13. März 2008

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

1.1 Motivation 1

1.2 Gang der Arbeit 3

2 Optionen und Volatilität 4

2.1 Grundlagen von Optionen 4

2.2 Risikoneutrale Bewertung von Optionen 8

2.3 Die besondere Rolle der Volatilität 14

3 Analyse des Deutschen Aktienindex und DAX Optionen 17

3.1 Ausstattungsmerkmale des DAX, der DAX Option und des DAX Future 17

3.2 Statistische Analyse des DAX 19

3.3 Stochastische Volatilität und DAX Optionen 26

4 Modell Spezi%kationen und ihre charakteristischen Funktionen 35

4.1 Merton Jump DiDusion 37

4.2 Heston Stochastic Volatility 39

4.3 Finite Moment Log Stable 40

4.4 Merton Jump DiDusion – Stochastic Volatility 43

4.5 Finite Moment Log Stable – Stochastic Volatility 44

5 Simulationsstudie für DAX Optionen 47

5.1 Datenbasis und Aufbereitung 47

5.2 Methodik und Kalibrierung 48

5.3 In-Sample Performance 53

5.4 Out-of-the-Sample Performance 61

5.5 Kritische Würdigung 63

6 Zusammenfassung und Ausblick 65

Inhaltsverzeichnis ii

Anhang 66

A Grundlegende Begri0e und Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie 66

A.1 Stochastische Prozesse, Filtrationen und Martingale 66

A.2 Charakteristische Funktionen 68

A.3 α-stabile Verteilungen 70

A.4 Lévy Prozesse 71

B Bewertungsperformance der Modelle 73

B.1 Weitere Ergebnisse der Simulationsstudie 74

B.2 Implizite VolatilitätsoberJäche vom 7. Dezember 2007 77

B.3 Merton Jump DiDusion 79

B.4 Heston Stochastic Volatility 80

B.5 Finite Moment Log Stable 81

B.6 Merton Jump DiDusion – Stochastic Volatility 82

B.7 Finite Moment Log Stable – Stochastic Volatility 83

C Anmerkungen zur Implementierung der Modelle 84

C.1 Bewertung von Optionen mittels komplexer Fourier Transformation 84

C.2 Excel VBA Programm Code 90

C.3 Verwendete Software und Daten 98

Symbolverzeichnis iii

Abkürzungsverzeichnis v

Abbildungsverzeichnis ix

Tabellenverzeichnis xi

Literaturverzeichnis xii

1 Einleitung

1.1 Motivation

Die Volatilität von Wertpapieren ist ein wesentlicher, wenn nicht der wichtigste Faktor des Risikomanagements, der Portfolio Theorie und der Bewertung von Derivaten. Die Variabilität von Preisveränderungen spiegelt die Unsicherheit auf den Finanzmärkten wider und ergibt sich allein durch das Handeln der Marktteilnehmer. Der Händler risikobehafteter Finanztitel wird entsprechend seinen Markterwartungen die Intention verfolgen, eine optimale Relation zwischen dem möglichen Ertrag und dem potenziellen Risiko seiner Strategie zu erreichen. Von zentraler Bedeutung ist hierbei die QuantiLzierung des Risikos, denn auf diese wird er seine Entscheidungen aufbauen. Um Kennzahlen für das Risiko ermitteln zu können, sind grundlegende Annahmen darüber notwendig, wie sich die Marktpreise im Zeitablauf entwickeln werden.

Die etablierten Kapitalmarktmodelle basieren weitgehend auf der Hypothese nor-malverteilter Preisveränderungen. Es zeigte sich jedoch schon früh, dass diese An-nahme nur eine unzureichende Annäherung an das tatsächliche Marktgeschehen erlaubt. Dies wird besonders im Kontext der Optionspreistheorie deutlich, bei der das Zusammenspiel aus den Theorien der Preisprozesse und Preisbildung von wesentli-cher Bedeutung ist. Das Standardmodell zur Bewertung von Optionen, das Modell von Black/Scholes [1973], basiert auf normalverteilten Renditen und einer Volatili-tät, die im Zeitverlauf konstant ist. Wie sich zeigen wird, ergeben sich unter Verwen-dung dieses Modells systematische Abweichungen zwischen den theoretischen Wer-ten und den Marktpreisen, die für Optionen beobachtet werden.

Anschaulich wird diese Diskrepanz, wenn quotierte Marktpreise von Optionen mit ihren impliziten Volatilitäten ausgedrückt werden. Wie später noch dargelegt wird, ist die implizite Volatilität diejenige Volatilität, die den theoretischen Preis und den Marktpreis mit Basispreis und Fälligkeit zum Ausgleich bringt. Dabei wird ein charakteristisches Muster sichtbar, welches als Smile Eekt in die Literatur ein-ging. Aus diesen Beobachtungen lassen sich Rückschlüsse auf die von den Marktteil-nehmern erwartete zukünftige Renditeverteilung ziehen, die mit der Normalvertei-lungshypothese von Black und Scholes nicht kompatibel ist.

Für den Wertpapierhändler bieten sich nun zwei Möglichkeiten: a) Er kann die bekannten Unzulänglichkeiten berücksichtigen und weiter mit dem Black–Scholes Modellrahmen arbeiten oder b) er verabschiedet sich von der idealisierten Black–Scholes Welt und verwendet alternative Bewertungsmodelle, die in der Lage sind, die empirischen Fakten zu reproduzieren.

Die vorliegende Arbeit liefert in zweifacher Hinsicht einen Beitrag zu Möglichkeit b). Zum einen werden alternative Modellkonzeptionen vorgestellt und diskutiert, die

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den Anspruch haben, die Realität besser abbilden zu können. Bei Kursverläufen las-sen sich immer wieder Kurssprünge beobachten, die durch Einführung von Sprung-komponenten beim Renditeprozess berücksichtigt werden können. Eine weitere Möglichkeit ist es, die sich ständig im Zeitablauf variierende Volatilität als eigenständigen stochastischen Prozess zu modellieren. Im Kern sind dies die beiden elementaren Komponenten bei der Konzeption neuer Modelle. Zum anderen werden die präsentierten SpeziLkationen über 30 Handelstage hinweg einer empirischen Untersuchung mit liquiden Optionen auf den Deutschen Aktienindex unterzogen. Es zeigt sich, dass alle untersuchten Modelle wesentlich konsistenter mit den realen Marktpreisen sind, als das Modell von Black–Scholes.

Mit einem dieser Konzepte hat der Händler in jedem Fall einen realitätsnäheren Bewertungsrahmen gegenüber dem Standardmodell, mit dem er die zukünftigen Zahlungsströme seines Portfolios adäquat modellieren kann. Fortschrittliche Berech-nungsmethoden erlauben es zudem, die teilweise recht komplexen Renditeprozesse zeitnah zu evaluieren.

Märkte für Futures, Optionen und andere Derivate sind heutzutage integraler Be-standteil unserer Finanzmärkte. Die weite Verbreitung und ständige Weiterentwick-lung von Finanzinstrumenten kann einen erheblichen Beitrag dazu leisten, die E]zienz einer Volkswirtschaft zu erhöhen. Angesichts des zunehmenden Wachstums der Derivateindustrie und dem Bedarf an adäquatem Risikomanagement ist es von höchster Bedeutung, dass verwendete Modelle die am Markt beobachteten Phäno-mene möglichst gut widerspiegeln. Hieraus wird auch die Relevanz der zu Grunde liegenden Thematik ersichtlich.

Eine realitätsnahe Modellierung von Preisprozessen ist aber nicht nur für die Marktteilnehmer von Bedeutung. Fundierte Kenntnisse der Preisdynamik und ihrer Modellierungsmöglichkeiten sind auch für aufsichtsrechtliche Institutionen und Zentralbanken wichtig. Es können aus dem Markt Informationen extrahiert werden, mit denen aktuelle Entwicklungen einer Volkswirtschaft besser verstanden werden können und die darauf basierenden Schlussfolgerungen können einen Beitrag dazu leisten, Entscheidungen auf eine breitere Basis zu stellen.

Aufgrund der zunehmenden Bedeutung der Eurex in den letzten Jahren, Lnden sich vermehrt Arbeiten mit diesem Schwerpunkt. Im Gegensatz dazu beschäftigen sich die frühen Arbeiten zur Optionspreisbewertung hauptsächlich mit dem US-amerikanischen Markt, doch durch den Erfolg der europäischen Terminbörse Eurex dürfte sich das Bild nachhaltig verändern. Im Jahr 2007 wurden an der Eurex im Schnitt 7,5 Mio. Kontrakte pro Tag gehandelt. Hierbei legten die Aktienindexderivate mit einem Umsatzwachstum von 55 % allein im letzten Jahr besonders deutlich zu (siehe Eurex [2008a]). Bei diesen gehören die Optionen auf den DAX neben den Op-tionen auf den DJ EuroSTOXX 50 zu den umsatzstärksten Optionen. Aufgrund der angedeuteten Bedeutung dieser Optionen für die Finanzmärkte ergibt sich die

Einleitung | 3

Motivation, die Implikationen der betrachteten Modelle an DAX Optionen zu untersuchen.

1.2 Gang der Arbeit

Die Motivation dieser Arbeit resultiert im KonJikt zwischen der empirischen Anpas-sungsgüte des Black–Scholes Modells samt ihren Modellannahmen. Um sich diesem Themenkomplex zu nähern, werden in Kapitel 2 die zu Grunde liegenden Konzepte der Bewertung von Optionen erläutert. Ferner werden die in diesem Kontext notwendigen Begricichkeiten deLniert. Anschließend wird die besondere Bedeutung der Volatilität und ihrem EinJuss auf die Bewertung von Optionen eingegangen.

Die vielfach in der Literatur beschriebenen Abweichungen realer Daten von den postulierten stark vereinfachenden Annahmen bei der Modellierung von Preisprozes-sen werden in Kapitel 3 einer empirischen Untersuchung unterzogen. Es wird zum einen die Renditezeitreihe des Deutschen Aktienindexes analysiert und zum anderen die sich aus quotierten Optionspreisen ergebenden impliziten Volatilitäten näher be-trachtet.

Alternative Bewertungsmodelle zur Black–Scholes SpeziLkation werden in Kapitel 4 vorgestellt. Die Intentionen dieser Konzepte sind teilweise unterschiedlich gelagert. Gemeinsam ist ihnen allen der Anspruch die empirischen Fakten wiederzugeben, um eine realitätsnähere Modellierung von Zahlungsströmen im Kon-text der Optionspreisbewertung zu ermöglichen.

Kapitel 5 bildet den zentralen Teil dieser Arbeit. Es erfolgt eine empirische Unter-suchung der Modelle auf Basis börsengehandelter Optionen auf den Deutschen Ak-tienindex. Gegenstand der Untersuchung sind die Settlementpreise von 30 Handelstagen. Die Ermittlung der Modellparameter, die zur Bestimmung von theoretischen Optionsprämien notwendig sind, basiert auf einem impliziten Schätzverfahren. Die derart ermittelten Optionspreise werden in einer In-Sample und Out-of-the-Sample Analyse den quotierten Marktpreisen gegenübergestellt. Mit Hilfe geeigneter Fehlermaße lässt sich daraufhin die Güte der Bewertungsperformance fest-stellen. Anschließend werden die Ergebnisse verglichen und eingehend diskutiert.

Die Schlussbetrachtung Kapitel 6 fasst die wesentlichen Erkenntnisse der Arbeit zusammen. Ferner werden kurz oDen gebliebene Fragen skizziert und Richtungen aufgezeigt, die auf den hier dargelegten Ausführungen aufbauen können.

Der Anhang A enthält eine Darstellung mathematischer Resultate, die für das Verständnis der Modellkonzeptionen von Bedeutung sind. Der darauf folgende Anhang B bietet den Rahmen für weitere empirische Ergebnisse. Im Anschluss hieran werden in Anhang C einige Aspekte bei der praktischen Umsetzung der Modelle in der Simulationsstudie adressiert. Zum Abschluss erfolgt ein Abdruck des MS Excel VBA Codes. Hiermit ist es möglich, die in der Arbeit dargestellten Resultate zu repro-duzieren.

2 Optionen und Volatilität

In diesem Kapitel erfolgt ein kurzer Überblick über die wesentlichen Eigenschaften von Optionen und deren Begricichkeiten. Weiter wird das klassische Bewertungsmodell von Black/Scholes [1973] in seinen Grundzügen skizziert. Dar-auf aufbauend wird gezeigt, dass die Preise von bedingten Ansprüchen (Contingent

Claims) unter bestimmten Voraussetzungen auch als die erwarteten Barwerte zukünftiger Zahlungen ausgedrückt werden können. Anschließend werden die wich-tigsten Determinanten der Optionsbewertung explizit erörtert. Die grundlegenden Konzepte und Ideen werden im Laufe der Arbeit am Beispiel einer Aktie demons-triert, wobei sich diese Ausführungen prinzipiell auch auf andere Vermögenswerte übertragen lassen.

2.1 Grundlagen von Optionen

Schon sehr lange werden Optionen für spekulative Zwecke oder als Absicherung ge-gen unerwünschte zukünftige Entwicklungen verwendet. Bereits die Römer, Griechen oder auch Phönizier handelten mit Optionen, um ihre SchiDsladungen abzusichern. Der Grieche Thales erwarb bereits 580 v. Chr. vor einer einträglichen Olivenernte durch Zahlung einer Prämie eine Option auf das Vorrecht an der Nutzung von Olivenpressen und kam so zu beachtlichem Reichtum1. Auch im Alten Testament Lndet sich ein Eintrag im Buch Genesis Kapitel 29, in dem beschrieben wird, wie Jakob sich durch sieben Jahre Arbeit das Recht an Labans Tochter Rachel erwirbt2.

Auf Finanzmärkten stellen Optionen Termingeschäfte zwischen zwei Parteien dar, bei der eine Partei sich das Recht, nicht aber die PJicht erwirbt, ein bestimmtes Gut zu kaufen oder zu verkaufen3. Es handelt sich hierbei also um ein bedingtes Ge-schäft. Im Gegensatz dazu gibt es Termingeschäfte wie bspw. Forwards oder Futures, bei denen beide Seiten unbedingt zu leisten haben. Das Recht, etwas ohne VerpJichtung zu kaufen hat einen Wert, für den der Käufer einer Option einen Preis zu entrichten hat. Der Verkäufer (auch Stillhalter oder Writer) hat im Gegensatz dazu die PJicht, bei Ausübung der Option die vorher vereinbarte Leistung in jedem Falle zu erbringen. Der Preis einer Option leitet sich vom Wert des zu Grunde liegenden Objektes (Underlying) ab, daher auch die Bezeichnung derivativer Vermögenswerte oder einfach Derivate (lat. derivare – ableiten). Kaufoptionen (Calls) geben dem Hal-ter einer Option das Recht etwas zu kaufen, während Verkaufsoptionen (Puts) das

1 Einen Überblick zur historischen Entwicklung von Optionen gibt Chance [1995]. 2 Er bekommt aber von Laban die ältere Tochter Lea und erkauft sich durch weitere sieben Jahre Arbeit

die Option auf die jüngere Tochter Rachel… 3 Die Ausführungen in diesem Kapitel orientieren sich im Wesentlichen an Kleinert [2003],

Deutsch [2001], Voit [2005] sowie Taleb [1997].

Optionen und Volatilität | 5

Recht verbriefen etwas zu verkaufen. Der hierfür zu entrichtende Preis wird Prämie genannt. Für gewöhnlich werden Optionen auf Aktien, Anleihen, RohstoDe, Indizes und Ähnliches gehandelt. Der Kreativität sind hierbei aber keinesfalls Grenzen ge-setzt, so gibt es vielfältigste Geschäfte, die einen Optionscharakter aufweisen und sich entsprechend mit Hilfe der Optionspreistheorie bewerten lassen. Es gibt Optionen auf Fußballspieler, auf die Entwicklung von einzelnen Geschäftsbereichen (Realoptionen) oder die vorzeitige Rückzahlung von Hypothekendarlehen (Vorfälligkeitsentschädi-gung), um nur einige Beispiele zu nennen.

In einem Optionsvertrag wird ein festes Datum, der Fälligkeitstermin und der bei Ausübung der Option zu entrichtende Preis, der Basispreis4, eindeutig festgelegt. Zu unterscheiden sind Europäische Optionen, die nur bei Fälligkeit und Amerikanische Optionen, die während der gesamten Laufzeit ausgeübt werden können. Weiter gibt es die Exotischen Optionen, hierunter werden Optionen subsumiert, die zum Teil sehr komplexe Konstruktionen darstellen. Wesentliche Merkmale sind entweder die Abhängigkeit vom Kursverlauf (Pfadabhängigkeit) dieser Optionen oder es handelt sich um Optionen, die auf mehrere Underlyings geschrieben werden, oder beides. Hierdurch lassen sich vielfältigste AuszahlungsproLle generieren, die den unterschiedlichen Kundenwünschen oder Marktsituationen gerecht werden5.

Abbildung 1: Auszahlungsdiagramme (Pay Os) für europäische Optionen am Laufzeitende mit Ausübungspreis . Links: Kaufoptionen (Calls). Rechts: Verkaufsoptionen (Puts). Blau dargestellt sind die jeweiligen Pay ODs für den Inhaber einer Option (long), rot entspricht den Pay ODs für den Stillhalter (short). Die gestrichelten Linien deuten die Auszahlungen ohne Optionsprämie an. Der Break-even liegt in diesem Beispiel bei den Calls demnach bei € 110 und bei Puts bei € 95.

Im Folgenden werden einfache Optionen (Plain Vanilla Options) europäischen Typs näher vorgestellt. Optionen lassen sich durch den Wert am Ende der Laufzeit, also der Auszahlung an den Investor bei Fälligkeit charakterisieren. Bezeichne den Ausü-bungspreis und den Preis der Aktie zur Fälligkeit ergibt sich folgendes

4 Auch Ausübungpreis genannt, im Angloamerikanischen Strike Price oder Exercise Price. Die BegriDe

werden im Laufe der Arbeit synonym verwendet. 5 Es handelt sich hierbei um einen stark wachsenden Markt. Eine umfassende Systematisierung der

vielfältigen Ausgestaltungen Lndet sich bei Zhang [2001].

-150

-100

-50

0

50

100

150

0 50 100 150 200

Pro

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€)

Aktienkurs S zum Zeitpunkt T

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Call short

K ST (€)

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0 50 100 150 200

Pro

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€)

Aktienkurs S zum Zeitpunkt T

Put long

Put short

K ST (€)


asymmetrisches AuszahlungsproLl (Pay O) für den Inhaber der Option (long posi-

tion) max , 0. (2.1)

Der Käufer wird sein Optionsrecht nur ausüben, wenn der vorher festgelegte Basis-preis geringer als der aktuelle Wert des Underlyings ist ( ). Sobald der Aktien-kurs unter dem Ausübungspreis liegen sollte, wird er sie verfallen lassen. Für die komplementäre Position, also den Stillhalter der Option, stellt sich die Situation dia-metral dar (short position) min , 0. (2.2)

Um den Wert der Option vor Fälligkeit zu bestimmen wird der Pay OD zum Zeit-punkt mit einem stetigen Zinssatz für die Dauer von auf den heuti-gen Zeitpunkt abgezinst max , 0. (2.3)

Notiert eine Aktie genau am Basispreis , wird diese am Geld oder at the money (ATM) genannt. Entsprechend ist eine Option im Geld oder in the money (ITM), wenn und aus dem Geld oder out of the money (OTM), falls .

Ein Maß dafür, wie weit eine Option im oder aus dem Geld notiert, ist die Moneyness. Diese misst für eine Option das Verhältnis vom Spotpreis zum Strike . In dieser Arbeit wird eine stetige Moneyness mit ln ⁄ verwendet. Eine Op-tion mit 0,1 lässt sich so interpretieren, dass die Option zu 10 % im Geld liegt. Ein<ussfaktoren

Bestimmende Faktoren für die Bewertung von Optionen sind der aktuelle Preis der Aktie , der Ausübungspreis , die Restlaufzeit , die Volatilität der Aktie , der risikolose Zins und eventuell während der Laufzeit anfallende Dividendenzahlun-gen.

Am stärksten wird der Wert der Option durch das Underlying beeinJusst. Bei Lxem Strike wird ein Call wertvoller, wenn der Aktienkurs steigt. Genau entgegengesetzt verhielte es sich, wenn bei festem Aktienkurs der Ausübungspreis erhöht würde. Die Volatilität ist ein Maß für die Unsicherheit bezüglich der zukünfti-gen Kursentwicklungen. Wenn die Volatilität hoch ist, steigt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Aktie stark an Wert gewinnt oder verliert. Für den Inhaber eines Calls ist ein stark steigender Aktienkurs wünschenswert, da somit der Wert seines Investments zunimmt. Andererseits kann er bei fallenden Kursen maximal seine gezahlte Prämie


verlieren. Genau umgekehrt verhält es sich für den Put. Somit ist der Wert der Option positiv von der Volatilität abhängig.

Weniger intuitiv ist der EinJuss des Zinssatzes auf den Optionswert. Wie im Fol-genden noch gezeigt wird, ist es möglich, ein risikoloses Portfolio, bestehend aus Ak-tien, einem gekauften Put und einem verkauften Call, zu konstruieren. Der Ertrag aus diesem abgesicherten Portfolio ist nicht mehr stochastisch und entspricht genau dem Marktzins. Ein steigender Zinssatz geht demzufolge mit einem höheren Wert für den Call und einem geringeren Wert für den Put einher.

Bei einer Dividendenzahlung verringert sich der Aktienkurs für gewöhnlich um etwa diesen Betrag, mit der Folge, dass ein Call an Wert verliert und ein Put an Wert gewinnt. Wenn der Zeitpunkt der Fälligkeit in ferner Zukunft liegt, besteht eine hö-here Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Aktie in die gewünschte Richtung bewe-gen kann, und somit sinkt mit abnehmender Restlaufzeit auch der Wert der Option. Put-Call-Parität

Für europäische Optionen gibt es eine feste Beziehung zwischen den Prämien für Kaufoptionen und Verkaufsoptionen !. Wenn beide Optionen denselben Fälligkeitstermin und Basispreis haben, lässt sich der Zusammenhang durch folgende funktionale Beziehung charakterisieren

! . (2.4)

Diese Identität ist als Put-Call-Parität bekannt. Die Position ! entspricht dem Kauf eines Calls und dem Verkauf eines Puts. Die Auszahlung ergibt sich zu max , 0 max0, , was genau entspricht. Aus der rechten Seite der Gleichung ist ersichtlich, dass die zu Grunde liegende Aktie erworben wird und hiervon der Barwert des Basispreises abgezogen wird. lässt sich auch als Kreditaufnahme interpretieren. Zum Zeitpunkt ist dieses Portfolio genau wert. Die Auszahlungen beider Seiten sind demnach identisch. Daraus folgt, dass Finanztitel, welche den gleichen Pay OD zur Folge haben, den gleichen Preis ha-ben müssen. Ansonsten würde sich eine Arbitragegelegenheit bieten und es könnte ein risikoloser Gewinn erzielt werden, indem das billigere Wertpapier gekauft und das teurere Wertpapier verkauft wird. Eine Option ist somit im Prinzip mit einem kreditLnanziertem Aktienkauf vergleichbar. Bachelier, Vater der modernen Finanzmathematik und Bronzin

Das Handeln und Spekulieren auf Märkten und Wertpapierbörsen ist kein Phänomen der Neuzeit. Vielmehr handelt es sich hierbei um ein altes gesellschaftliches Phäno-men. Moderne Verfahren zur Bewertung von Optionen haben ihren zeitlichen Urs-prung zu Beginn des 20. Jahrhunderts. Im Jahre 1900 veröDentlicht Louis Bachelier


seine Dissertation Théorie de la Spéculation (Bachelier [1900]), in der erstmals analytische Bewertungsverfahren angewendet werden. Revolutionär ist hierbei die Entwicklung einer Theorie für PreisJuktuationen, die Bachelier mit Hilfe einer eindi-mensionalen Brownschen Bewegung6 modelliert. Bereits fünf Jahre vor Einsteins physikalischer Deutung der Brownschen Bewegung und 23 Jahre vor Wieners mathe-matischen Formalisierung dieses Prozesses beschreibt Bachelier Kursbewegungen mit diesem stochastischen Prozess und legt somit den Grundstein für die moderne Finanzmathematik, auch wenn seine Erkenntnisse seinerzeit kaum Beachtung fanden.

Einige Jahre später, 1908, veröDentlicht Vincenz Bronzin seine heute wenig be-kannte Theorie der Prämiengeschäfte (Bronzin [1908])7. Wenn auch pragmatischer als die eleganten Ausführungen von Bachelier, enthält seine Arbeit alle später noch zu erläuternden Elemente der modernen Optionsbewertung. Behandelt werden die arbitragefreie und risikoneutrale Bewertung, Bedingungen für perfektes Hedging, die Put-Call-Parität und der EinJuss verschiedener Verteilungsannahmen auf Options-preise. Aufgezeigt wird die Relation binomial verteilter Aktienkurse mit der Normal-verteilung. Ferner wird eine Formel entwickelt, die mit der später entwickelten For-mel von Black, Scholes und Merton in vielen Punkten identisch ist. Auch ist ihm die funktionale Beziehung von der Ableitung des Optionswertes nach dem Ausübungs-preis mit der zu Grunde liegenden Zustandspreisdichte bekannt und er verwendet diese zur analytischen Bestimmung von Optionspreisen.

2.2 Risikoneutrale Bewertung von Optionen

Startpunkt für die Ermittlung von Optionsprämien ist die Festlegung eines Kursprozesses für das zu Grunde liegende Wertpapier. Die Grundlagen der heute ver-wendeten Modelle zur Modellierung von Aktienkursen gehen auf die oben erwähnte Arbeit von Bachelier zurück8. Seine Beobachtung, dass „[…]; past, present and even

discounted future events are re-ected in market price, but often show no apparent rela-

tion to price changes.” (Bachelier [1900, S. 18]), führte ihn zu der Annahme, dass die Preiszuwächse stationär und unkorreliert seien. Formalisiert hat er seine

6 Die als Brownsche Bewegung bezeichnete thermisch getriebene Eigenbewegung von Teilchen wird

dem schottischen Botaniker Robert Brown zugeschrieben, der diese im Jahr 1827 wiederentdeckte. Vgl. hierzu bspw. Wilkens [2000, S. 76] oder Voit [2005, S. 41]. Der römische Dichter und Philo-soph Lucretius liefert bereits ca. 60 v. Chr. in Über die Natur der Dinge (lat. De Rerum Natura) eine Beschreibung über den EinJuss von Atomen auf die Bewegung von kleinen Partikeln, und antizi-pierte somit die Brownsche Bewegung lange vor der quantitativen Analyse durch Einstein.

7 Zimmermann/Hafner [2005] würdigen die Arbeit von Bronzin [1908] und ordnen seine Erkennt-nisse in den zeitlichen sowie inhaltlichen Kontext. Die Ausführungen im Text stützen sich auf diese Arbeit und die dort enthaltenen Angaben.

8 Die folgenden Darstellungen orientierten sich an Schoutens [2003], Javaheri [2005] sowie Voit [2005]. Eine Behandlung über die risikoneutrale Bewertung in Buchlänge Lndet sich bei Bingham/Kiesel [2004].


Überlegungen mit einem eindimensionalen DiDusionsprozess, der später als Brownsche Bewegung bekannt wurde.

Die Brownsche Bewegung lässt sich mathematisch durch einen Wiener Prozess speziLzieren. Zuwächse des Wiener Prozesses sind unabhängig und normalverteilt. Die Brownsche Bewegung stellt somit quasi den dynamischen Gegenpart zur bekann-ten Normalverteilung dar9. Beide entspringen dem zentralen Grenzwertsatz. Von der Intuition besagt dieser, dass die Summe von vielen unabhängigen Zufallsvariablen näherungsweise normalverteilt ist. In einer dynamischen Umgebung, d. h. bei stochastischen Prozessen, ergibt sich die Brownsche Bewegung in gleicher Weise. Die folgenden Überlegungen beziehen sich auf den zeitstetigen Fall; bei einer Betrachtung von Renditen als Folge von Zufallsvariablen zu diskreten Zeitpunkten spricht man von einem Random Walk.

Die von Bachelier eingeführte Beziehung zwischen Aktienmarkt und dem Kon-zept der Brownschen Bewegung als Annäherung für PreisJuktuationen wird nun näher beleuchtet. Bachelier selbst verwendet eine Brownsche Bewegung, bei der die Preiszuwächse additiv verknüpft sind. Dabei können sich negative Werte ergeben, weshalb sie für eine Anwendung auf Aktienmärkten nicht gut geeignet ist. Boness [1964] und Samuelson [1965] greifen diese Idee auf und schlagen vor, diesen Prozess zur Modellierung von Kursveränderungen (multiplikative Verknüpfung) zu verwenden. Aus der arithmetischen wird eine geometrische Brownsche Bewegung womit negative Preise ausgeschlossen werden können.

Bei Gültigkeit der geometrischen Brownschen Bewegung als Beschreibung der Aktienkursdynamik ergibt sich folgende stochastische DiDerentialgleichung

d #d $ d% , (2.5)

welche sich unter Verwendung von Itô´s Lemma10 lösen lässt exp &# '2 $ d%), (2.6)

wobei d% einen Wiener Prozess (geometrisch Brownsche Bewegung) bezeichnet, # ist die erwartete mittlere Kursrendite (Drift) der Aktie je Zeiteinheit d und die Standardabweichung der Preisveränderungen. Die Standardabweichung als Maß für die Unsicherheit der zukünftigen Preisentwicklung wird auch vielfach als Volatilität

9 Schoutens [2003, S. 24] spricht in diesem Zusammenhang vom großen Bruder der Normalvertei-

lung. Die Normalverteilung selbst geht auf Carl Friedrich Gauß zurück. Gerüchten folgend leitet er die normale (Gaußsche) Verteilung von Wahrscheinlichkeiten durch die Schätzung von Ausfallrisi-ken bei Krediten, die er seinen Nachbarn gewährte, ab. Siehe Voit [2005, S. 6] sowie Anhang A.

10 Die Itô Formel kann als Pendant zur klassischen Kettenregel gesehen werden. Aus diesem Grund bietet sie sich zur Lösung stochastischer DiDerentialgleichungen an. Vgl. bspw. Singer [1999, S. 33].


bezeichnet. Im Laufe der Arbeit wird der BegriD der Volatilität aber weiter gefasst und folgt der DeLnition von Taleb [1997, S. 88]: “Volatility is best de4ned as the

amount of variability in the returns of a particular asset.“ Die Zuwächse der geometrischen Brownschen Bewegung wachsen mit der Drift #, womit sich der Erwartungswert des Kurses zum Zeitpunkt ausgehend von 0

zu * + ergibt. Die hierbei möglichen Kursentwicklungen sind jedoch nicht beliebig, vielmehr bewegen sie sich innerhalb einer Gesamtmenge von möglichen Entwicklungen, dem Wahrscheinlichkeitsraum. Diesen Entwicklungspfaden lassen sich Wahrscheinlichkeiten zuordnen, welche wiederum durch ein Wahrscheinlich-keitsmaß bestimmt werden. Die Kursdynamik wird hier unter einem physikalischen (oder statistischen) Wahrscheinlichkeitsmaß , deLniert, welches die dem Markt zu Grunde liegende Unsicherheit repräsentiert. Eine formale Darstellung zu diesem Sachverhalt Lndet sich in Anhang A.1 und wird für Kapitel 4 noch von wesentlicher Bedeutung sein.

Dieses Modell kann alternativ auch mit den logarithmierten Aktienkursen ln dargestellt werden. Die obige Darstellung des Renditeprozesses ist zu folgender äquivalent

d ln -# 12 '. d $ d% . (2.7)

Der beschriebene Prozess lässt sich als Approximation für echte aufeinanderfolgende Kursbewegungen oder aber als echte, nicht zu beobachtende, Kursdynamik interpretieren. Die geometrische Brownsche Bewegung und die damit verbundene Log-Normalverteilung bilden die Basis für das Standardmodell bei der Bewertung von Optionen. Das Marktmodell von Black–Scholes und Merton

Investitionen in Optionen sind in aller Regel wesentlich riskanter als Investitionen in Aktien oder Anleihen. Gründe hierfür sind die begrenzte Laufzeit, die hohe Volatili-tät (deutlich höher als die des Underlyings) und die Möglichkeit eines Totalverlustes für den Käufer (long) sowie ein theoretisch unbegrenzter Verlust für den Stillhalter (short).

Der Verkäufer einer Option steht somit vor folgenden Fragen: a) Welche Prämie verlange ich für die eingegangene VerpJichtung und b) wie lege ich die erhaltene Prämie am besten an, um bei Fälligkeit meiner VerpJichtung nachzukommen, falls der Käufer seine Option ausübt?

Die nobelpreisgewürdigte und überraschende Antwort wird 1973 von Fisher Black, Myron Scholes und Robert Merton geliefert. Der Stillhalter einer Option benö-tigt keine Risikoprämie! Das bedeutet nicht, dass diese verschwindet, sondern schon


im Aktienkurs enthalten ist. In der Presseerklärung zum 1997 verliehenen Nobelpreis wird folgendes Beispiel gegeben11:

Betrachtet wird eine europäische Kaufoption, welche das Recht verbrieft, in drei Monaten eine Aktie zum Basispreis von $ 100 kaufen zu können. ODenkundig hängt der Wert der Option vom aktuellen Aktienkurs ab: Je höher der Kurs heute, umso höher die Wahrscheinlichkeit, dass die Aktie in drei Monaten über $ 100 notiert. In diesem Falle wird die Option ausgeübt. Bei einer Formel zur Bestimmung von Optionspreisen sollte demnach der Zusammenhang zwischen Prämie und Aktienkurs explizit erwähnt werden. Das Ausmaß der Änderung des Optionswerts bei einer Änderung des Aktienkurses, wird Delta genannt (siehe hierzu auch Abschnitt 2.3).

Angenommen, der Wert der Option steigt um $ 1, wenn die Aktie um $ 2 steigt und fällt um $ 1 wenn die Aktie um $ 2 fällt. Weiter sei angenommen, dass ein Inves-tor ein Portfolio mit der zu Grunde liegenden Aktie hält und dieses gegen Kursschwankungen absichern möchte. Dann ist er in der Lage ein risikoloses Portfo-lio (Hedge-Portfolio) zu konstruieren, indem er doppelt so viele Optionen verkauft, wie er Aktien besitzt. Für jede kleinste Bewegung, die die Aktie nach oben macht, entspricht der Gewinn der Aktie dem Verlust der Optionen und vice versa. Da das Portfolio frei von Risiken ist, muss der Ertrag einer risikolosen Verzinsung entspre-chen. Sollte diese Bedingung nicht erfüllt sein, würden Arbitrageure durch entspre-chende Geschäfte solange einen sicheren Gewinn (Free Lunch) erwirtschaften kön-nen, bis die Möglichkeit von Arbitrage eliminiert ist. Entsprechend der Änderung des Aktienkurses und bei Näherrücken der Fälligkeit einer Option, ändert sich auch das Delta der Option. Um weiterhin ein risikoloses Portfolio halten zu können, muss die-ses ständig angepasst werden. Es wird hierbei angenommen, dass kontinuierlich und ohne Transaktionskosten gehandelt werden kann.

Aus der Bedingung, dass das risikolose Portfolio bestehend aus (riskanten) Optionen und der (riskanten) Aktie zu jeder Zeit einer risikolosen Verzinsung ent-spricht, ergibt sich eine parabolische partielle DiDerentialgleichung. Der stochastische Prozess der Aktienkursdynamik wird durch eine Linearkombination von Option und Basiswert eliminiert. Die Lösung dieser partiellen DiDerentialgleichung unter Berück-sichtigung der Endbedingung , max , 0, führt zu der berühmten Formel von Black–Scholes und Merton12.

Der theoretische Wert einer Kaufoption auf eine Aktie zum Zeitpunkt und Strike lautet

11 Die Presseerklärung Lndet sich auf der Homepage der Royal Swedish Academy of Sciences.

Ausgezeichnet wurden Myron Scholes und Robert Merton. Für Fisher Black kam der Preis zu spät, er verstarb bereits zwei Jahre vorher. Siehe http://nobelprize.org/nobel_prizes/economics/ laureates/1997/press.html (veriLziert am 29.02.2008).

12 Viele mathematische Details und eine stringente Herleitung Lnden sich bei Karatzas/Shreve

[1998]. Wie Black [1989] später in einem Artikel über die Entdeckung ihrer Formel anmerkt, war diese Gleichung in der Physik schon lange als Wärmeleitungsgleichung bekannt.

http://nobelprize.org/nobel_prizes/economics/ laureates/1997/press.html

http://nobelprize.org/nobel_prizes/economics/ laureates/1997/press.html


, Φ01 Φ0', (2.8)

wobei Φ. den Flächeninhalt unter der kumulativen Standardnormalverteilung dar-stellt und 01, 0' gegeben sind durch 01 ln 2 3 $ 2 $ 12 '3 √ und 0' 01 √. (2.9)

Analog ergibt sich die Black–Scholes Formel für Puts, wobei diesmal !, max , 0 als Endbedingung beachtet werden muss. Puts lassen auch auf einfa-che Weise unter Verwendung der oben beschriebenen Put-Call-Parität ! bewerten. Diese lässt sich im Übrigen auch verteilungsabhängig unter Ausnut-zung der Symmetrieeigenschaft für Normalverteilungen Φ8 1 Φ8 herlei-ten. Der Term Φ01 entspricht dem Delta einer Option, also dem Anteil von Aktien, die gehalten werden. Bei Φ0' handelt es sich um eine Übergangswahrscheinlich-keit, die angibt wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Option ausgeübt wird respektive im Geld endet. Zusammen mit dem diskontierten Basispreis entspricht dieser Term den erwarteten Kosten bei Ausübung der Option. Wie oben erwähnt, basiert das Modell auf der Log-Normalverteilung, hiermit ermittelte Optionspreise lassen sich demzufolge als transformierte Preisprozesse interpretieren. Mit diesen Ausführungen werden die eingangs gestellten Fragen beantwortet. Risikoneutrale Bewertung

Man kann sehen, dass die Drift # der Aktie nicht in der Formel auftaucht und nur die Volatilität aus dem Aktienkursprozess in die Bewertung mit eingeht. Es erscheint zunächst erstaunlich, dass die Drift als wesentliche Eigenschaft des Underlyings kei-nen EinJuss auf das Bewertungsproblem haben soll. In der Realität erwarten Investo-ren für ihr eingegangenes Risiko eine Kompensation in Höhe der erwarteten Rendite und diese ist umso höher, je höher das eingegangene Risiko ist. Diese Beobachtung veranschaulicht, dass die Bewertung von bedingten Ansprüchen in einer Welt statt-Lndet, in der die Risikoneigung der Marktteilnehmer irrelevant ist.

Die Annahme von Risikoneutralität führt zur zweiten Herangehensweise zur Be-wertung zustandsabhängiger Ansprüchen, der risikoneutralen Bewertung. Die grundlegende Methode wurde von Cox/Ross [1976] entwickelt. Die Formalisierung dieser Methode und die Diskussion einiger fundamentaler Bewertungsprinzipien Lnden sich bei Harrison/Kreps [1979] und Harrison/Pliska [1981].

Die Existenz eines Hedge-Portfolios ermöglicht die Annahme von Risikoneutrali-tät für alle Marktteilnehmer. Das hat zur Folge, dass die erwartete Rendite der Aktie


der risikolosen Verzinsung entsprechen muss. Der faire Optionspreis entspricht dann dem diskontierten Erwartungswert der Auszahlung zur Fälligkeit.

Der erwartete Wert für einen Call in einer risikoneutralen Welt ist *max , 0. Obigen Überlegungen folgend wird die erwartete Drift # durch eine risikoneutrale Drift ersetzt. Für den Zeitpunkt folgt daraus

*9max , 0. (2.10)

Die Wahl der risikoneutralen Drift erfordert die Festlegung auf ein bestimmtes Wahr-scheinlichkeitsmaß :, auf das der Erwartungswert *9. zu bilden ist. Betrachtet man das obige Aktienkursmodell, so ergibt sich für den diskontierten Aktienkurs ; , welcher die folgende stochastische DiDerentialgleichung erfüllt d; # ;d $ ;d% . (2.11)

In einer risikoneutralen Welt mit # führt dies zur Beobachtung, dass der abge-zinste Kurs ein Martingale ist (d; ;d%). Eine stochastische Variable wird Martingale genannt, wenn der Erwartungswert dieser Variablen nicht von der Zeit abhängt. Ein Beispiel für ein Martingale ist ein fairer Münzwurf, bei dem man bei Kopf € 1 gewinnt und bei Zahl € 1 verliert. Die Erwartung des Spielers für den näch-sten Wurf entspricht, gegeben den bisherigen Spielverlauf, einfach dem letzten Wurf.

Das Wahrscheinlichkeitsmaß , ist also nun in Bezug auf zu ändern, da die hier-durch beschriebenen möglichen Umweltzustände nicht mehr von den physikalischen Wahrscheinlichkeiten der Aktiendrift # abhängen, sondern sich auf die von ergebenden risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten beziehen. Ein Wahrscheinlichkeits-maß mit dieser Eigenschaft wird als äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß bezeichnet.

Wie Harrison/Kreps [1979] zeigen, ist diese Transformation notwendig, um die Abwesenheit von Arbitragemöglichkeiten sicherzustellen. Ein zu , äquivalentes

Wahrscheinlichkeitsmaß : heißt äquivalentes Martingalemaß für den Prozess ; , wenn ; ein Martingale unter : ist. Bemerkenswert ist, dass sich beim Übergang vom Maß der realen Welt , zum Martingalemaß : nur die Drift ändert, nicht aber die Volatilität. Dies folgt aus dem Girsanov Theorem, welches im Prinzip besagt, dass sich bei einer Transformation zwischen zwei äquivalenten Wahrscheinlichkeitsmaßen nur die Drift ändert13.

Somit lässt sich die Bewertung von Optionen und anderen bedingten Ansprü-chen auf die Bestimmung des erwarteten Pay ODs reduzieren, wobei dieser auf den jetzigen Aktienkurs bedingt wird und mit der adjustierten, risikolosen Drift abge-zinst wird. Man kann also von einer beliebigen Risikoeinstellung der Investoren

13 Für eine Darstellung des äquivalenten Martingalemaßes und weitere wahrscheinlichkeitstheoretische

Grundlagen in diesem Kontext siehe Anhang A.


ausgehen und trotzdem behält das Bewertungsprinzip in einer risikoneutralen Welt auch in einer riskanten Umgebung seine Gültigkeit. Die Annahme einer risikoneutra-len Welt ist somit nicht nur möglich sondern auch praktikabel.

2.3 Die besondere Rolle der Volatilität

Die Volatilität ist zentraler Bestandteil bei der Berechnung von bedingten Ansprü-chen wie z. B. Optionen. Warum sie so bedeutend ist, wird in diesem Abschnitt näher erörtert. Mit dem Kauf oder Verkauf einer Option sind im Wesentlichen drei Risiken verbunden, die mit der Veränderung des Aktienkurses und der Volatilität zusammen-hängen (siehe z. B. Franke et Al [2001, S. 83]).

Um diese Risiken abschätzen zu können, benötigt der Halter Informationen darüber, wie sich sein Portfolio bei Variation von EinJussfaktoren ändert. Dies lässt sich mit den Sensitivitätskennzahlen, auch Griechen genannt, die sich aus dem Black–Scholes Modell ergeben, bewerkstelligen. Unter den Modellannahmen gehen bei Optionspreisänderungen theoretisch lediglich die verbleibende Laufzeit und die Variabilität des Aktienkurses mit ein. Die übrigen Faktoren sind annahmegemäß konstant. Davon abgesehen lassen sich die übrigen Faktoren dennoch als variabel betrachten und mit partieller DiDerenzierung ceteris paribus die Auswirkungen von Änderungen der EinJussfaktoren bestimmen.

Das Delta Δ beschreibt die Reaktion des Optionspreises auf eine marginale Veränderung des Aktienkurses. Steigt die Aktie um eine Einheit, verändert sich der Wert der Option um Δ Einheiten. Für Calls ist Δ positiv und für Puts negativ. Das Delta entspricht der Anzahl von Aktien, die im Duplikationsportfolio zu halten sind, um eine perfekte Absicherung zu erreichen. Man spricht in diesem Falle auch von der Hedge-Ratio. Soweit die Theorie; in der Realität ist ein Händler jedoch mit Transakti-onskosten, Handelspausen oder verzögerten Orderausführungen konfrontiert (vgl. bspw. Taleb [1997, Kapitel 4]).

Das Delta-Hedging ist umso genauer, je weniger sensitiv das Delta selbst auf Kursveränderungen reagiert. Dies wird durch das Gamma Γ gemessen. Mathematisch entspricht Γ der zweiten partiellen Ableitung nach dem Aktienkurs. Für gekaufte Op-tionen (long) ist das Gamma positiv, für verkaufte Optionen (short) ist es negativ. Das Restrisiko einer Δ-neutralen Position lässt sich demnach durch Aufbau einer Γ-neutralen Position weiter reduzieren.

Ob die Aktie steigt oder fällt ist nunmehr unerheblich; wichtig ist für den Händ-ler, wie heftig die Kursveränderungen ausfallen. Dieses Risiko, oder auch die Chance, wird durch das Vega14 bestimmt. Damit lässt sich ausdrücken, inwieweit sich der Wert einer Option bei einer Änderung der Volatilität um eine Einheit verändert. Diese Kennzahl ist immer positiv.

14 Warum Vega ein Grieche sein soll, konnte nicht ermittelt werden.


Der EinJuss von Zins, (erwarteter) Dividende und Restlaufzeit wurde in Abschnitt 2.1 schon kurz angedeutet und wird hier nicht weiter erläutert.

Es wird deutlich, dass die Volatilität eine wesentliche Bedeutung bei der Bewer-tung von Optionen hat. Dies triDt für Calls und Puts gleichermaßen zu und wird noch einmal anschaulich dargestellt.

Abbildung 2: Simulierte Aktienkursverläufe mit identischer Drift und unterschiedlicher Volatili-tät. Bei beiden Darstellungen liegt die Drift bei 5 % p. a., die Volatilität beträgt oben 10 % p. a. und unten 40 % p. a.

Eine Option hat bei Fälligkeit nur einen positiven Wert, wenn sie im Geld endet. Man kann nun mehrere Kursverläufe simulieren; hiervon betrachtet man die Verläufe, die im Geld enden, gewichtet diese mit der Wahrscheinlichkeit im Geld zu enden und diskontiert diesen Wert. Als Ergebnis erhält man den Preis der Option zum heutigen Zeitpunkt.

Zwei Faktoren sind hierbei von entscheidender Bedeutung: Zum einen die Drift und zum anderen die Volatilität. Wie im vorigen Abschnitt erläutert wird, werden

0

50

100

150

200

250

300

0 100 200 300 400 500

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urs

Tage

Drift 5 % p.a.

Volatilität 10 % p.a.

0

50

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200

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0 100 200 300 400 500

Ak

tie

nk

urs

Tage

Drift 5 % p.a.

Volatilität 40 % p.a.


Optionsprämien ohne die Risikopräferenzen der Investoren bestimmt, da Veränderungen im Basiswert abgesichert werden können. Die Drift wird durch die risikoneutrale Drift, den risikolosen Zins, ersetzt. Somit bleibt die Volatilität als Para-meter übrig. In einigen Szenarien zeigt die Aktie starke Kursgewinne, bei anderen zum Teil heftige Kursverluste.

Wie deutlich wird, hängt der Pay OD einer Option bei Fälligkeit von einem asym-metrischen AuszahlungsproLl ab. Für einen Call sind also nur die Szenarien wichtig, bei denen bei Fälligkeit die Aktienkurse über dem Auszahlungspreis liegen; je weiter dies der Fall ist, desto besser. Hier kommt die Volatilität zum Tragen: Je höher die Volatilität, umso höher die Wahrscheinlichkeit tief im Geld zu enden. In Abbildung 2 werden diese Überlegungen graphisch verdeutlicht. Hierzu werden je zehn Zufalls-pfade für den Aktienkursverlauf simuliert, der Startwert liegt bei € 100 und die Drift wird auf 5 % p. a. festgesetzt. Variiert wird lediglich die Volatilität, einmal wird ein sehr niedriges Niveau von 10 % p. a. sowie ein recht hohes Niveau von 40 % p. a. ver-wendet. Rot gekennzeichnet sind die Zufallspfade, für die ein Call nach 500 Handelstagen im Geld enden würde. Analog gilt die Argumentation für den Put, nur dass hierbei der Wert des Puts steigt, je tiefer der Aktienkurs unter dem Ausübungs-preis liegt.

3 Analyse des Deutschen Aktienindex und DAX Optionen

Die wegweisenden Arbeiten von Black/Scholes [1973] und Merton [1973] bilden bis heute die Grundlage für die Bewertung von Optionen und haben sich als Standardmodell etabliert. In zahlreichen Arbeiten wurden jedoch systematische Abweichungen von den am Markt beobachteten Quotierungen zu den theoretisch ermittelten Preisen festgestellt. In diesem Kapitel werden sowohl die Renditen des DAX, als auch die sich aus den Marktpreisen der Optionen ergebenden Volatilitäten einer statistischen Untersuchung unterzogen. Es wird sich zeigen, dass die grundlegenden Annahmen des Black–Scholes Modells nicht haltbar sind.

3.1 Ausstattungsmerkmale des DAX, der DAX Option und des DAX Future

Vor der statistischen Analyse wird zunächst der Untersuchungsgegenstand kurz vor-gestellt.

Der Deutsche Aktienindex (ISIN: DE0008469008) bildet das Segment der deut-schen Bluechips ab, welche im Prime Standard zugelassen sind. Enthalten sind die 30 größten und umsatzstärksten Unternehmen an der Frankfurter Wertpapierbörse FWB15. Wie alle anderen Indizes der DAX-Familie ist auch der DAX selbst kapitalge-wichtet, d. h. das Gewicht einer im Index enthaltenen Aktie wird nach dem Anteil an der gesamten Kapitalisierung der im Index enthaltenen Werte bemessen.

Eingeführt wird der DAX am 23. Juni 1988. Die Indexbasis liegt bei 1.000 Punkten per 31. Dezember 1987. Der DAX führt den Index der Börsen-Zeitung fort, dessen historische Zeitreihe bis 1959 zurückreicht. Als Performanceindex kons-truiert, werden Dividendenabschläge ignoriert. Das heißt, in den DAX Jießen nicht nur die festgestellten Kurse mit ein, sondern zusätzlich die jährlichen Ausschüttungen und Bonizahlungen der Unternehmen. Unterstellt wird hierbei eine Reinvestition der Bardividende (ohne Abzug der Kapitalertragssteuer). Die Kursfeststellung basiert auf den Kursen des elektronischen Handelssystems Xetra der Deutsche Börse AG. Der DAX wird fortlaufend sekündlich berechnet. Der erste Kurs an einem Handelstag wird veröDentlicht, sobald tagesaktuelle Preise für 20 der in dem Index enthaltenen Gesellschaften vorliegen. Die insgesamt recht positive Entwicklung hat der DAX wohl zu einem großen Teil seinem günstigen Starttermin zu verdanken. Wie bereits er-wähnt, wurde der DAX zu Beginn des Jahres 1988 eingeführt, direkt nach dem gro-

15 Der Leitfaden zu den Aktienindizes der Deutsche Börse [2008] bietet ausführliche Informationen

zur Berechnung und Zusammensetzung des DAX. Die jeweils aktuelle Version ist auf der Home-page der Deutsche Börse AG zu Lnden (http://deutsche-boerse.com). Der Vollständigkeit halber sei angemerkt, dass die Deutsche Börse AG ebenfalls Kursindizes pJegt.

http://deutsche-boerse.com/

Analyse des Deutschen Aktienindex und DAX Optionen | 18

ßen Crash von 198716. Die Namensgebung geht im Übrigen auf die Schwaben zurück: Ursprünglich war als Kürzel DAI vorgesehen. Dieses Kürzel war aber bei der Taufe vor 20 Jahren vom Autohersteller Daimler belegt. So wurde aus dem I ein X17.

Abbildung 3: Evolution der täglichen Schlusskurse des DAX vom 30. Dezember 1966 bis zum 24. Januar 2008 in logarithmierter Darstellung. Der maximale Indexstand beträgt 8105,69 Punkte (16.07.2007) und das Minimum liegt bei 319,93 Punkten (18.01.1969).

Der Handel mit Optionen auf den DAX (ODAX, ISIN: DE0008469495) beginnt im August 1991 an der 1990 gegründeten Deutschen Terminbörse (DTB). Diese schließt sich 1998 mit der Schweizer Terminbörse SOFFEX zusammen und es entsteht Euro-pas größte Terminbörse, die Eurex. Bei den Optionen auf den DAX handelt es sich um Optionen europäischen Typs. Der Kontraktwert beträgt € 5 pro Indexpunkt. Zu zahlen ist die Optionsprämie am ersten Börsentag, der dem Kauftag folgt. Die Preis-ermittlung erfolgt in Punkten auf eine Dezimalstelle. Die minimale Preisveränderung beträgt 0,1 Punkte. Die Erfüllung erfolgt bei Ausübung der Option durch Baraus-gleich, fällig am ersten Börsentag nach dem Schlussabrechnungstag. Stillhalter von DAX Optionen haben bei der Eurex, die gleichzeitig als Clearingstelle fungiert, ver-schiedene Sicherheiten (Margins) zu hinterlegen18.

Die angebotenen Fälligkeitstermine belaufen sich mittlerweile auf bis zu 60 Mo-nate. Bei Einführung einer Optionsserie stehen für jeden Call und Put mindestens fünf Ausübungspreise für den Handel zur Verfügung. Davon sind zwei Ausübungs-preise im Geld, ein Ausübungspreis am Geld und zwei Ausübungspreise aus dem Geld. Um ständig die Verfügbarkeit von OTM und ITM Optionen zu gewährleisten,

16 Vgl. Die Zeit [2006], http://www.zeit.de/online/2006/24/Querdax (veriLziert am 01.03.2008). 17 Mittlerweile hat sich das X auch international zu einem beliebten Börsenbuchstaben entwickelt (siehe

Börse Aktuell [2008]). 18 Vgl. hierzu die Clearing Bedingungen der Eurex. Die jeweils aktuelle Version ist auf der Homepage

der Eurex zu Lnden (www.eurexchange.com).

300

3000

1966 1971 1975 1980 1984 1988 1993 1997 2002 2006

Ind

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http://www.zeit.de/online/2006/24/Querdax

http://www.zeit.de/online/2006/24/Querdax


werden je nach Entwicklung des DAX für bestehende Optionsserien neue Basispreise eingeführt.

Wie in Abschnitt 3.3 ausgeführt wird, gehen Futures auf den DAX (FDAX, ISIN: DE0008469594) ebenfalls mit in die Untersuchung ein. Daher werden diese ebenfalls kurz beschrieben. Momentan liegt der Kontraktwert bei € 25 je Indexpunkt des DAX. Die kleinste Preisänderung liegt bei € 12,50. Im Gegensatz zu den Optionen werden lediglich drei Fälligkeiten angeboten. Dies sind immer die nächsten drei Quartalsmonate im Zyklus März, Juni, September und Dezember. Läuft ein Kontrakt aus, folgt unmittelbar darauf ein neuer Kontrakt mit drei Monaten Laufzeit.

3.2 Statistische Analyse des DAX

Bachelier [1900] leistet nicht nur Pionierarbeit auf dem Gebiet von DiDusionsprozessen zur Modellierung von PreisJuktuationen, sondern legt durch seine Beobachtungen auch den Grundstein für die deskriptive Theorie von Finanzzeitreihen. In seinem Marktmodell schlägt er vor, Preisänderungen > ! !1 (arithmetische Brownsche Bewegung) als Folge von unabhängig und identisch normalverteilten Zufallsvariablen zu modellieren. Hierbei gibt er jedoch zu bedenken, dass die Stichprobenvarianz von > nicht konstant ist und dass große Preisänderungen durch die Normalverteilung nicht erklärt werden können. Auf beide Aspekte wird im Folgenden näher eingegangen.

Mitte des letzten Jahrhunderts greift Mandelbrot [1963] diesen Komplex wieder auf und zeigt, dass es signiLkante Abweichungen zwischen der HäuLgkeitsverteilung von Kursveränderungen und der Normalverteilung gibt. Auch sein Student Fama [1963, 1965] zeigt, dass Kursveränderungen ein leptokurtisches Verhalten aufweisen. Demnach Lnden sich bei den empirischen HäuLgkeitsverteilungen verhältnismäßig zu viele kleine und sehr große Kursbewegungen, als dies von der Normalverteilung zu erwarten wäre. Mandelbrot bezeichnet den Umstand immer wiederkehrender extremer Preisausschläge mit dem BegriD Noah Eekt und spielt damit auf die Diskontinuität als Charakterzug des Marktes an. Die Flut kam und ging – katastrophal, aber nicht von Dauer. Er geht noch weiter und fordert „that these facts warrant a radically new approach to the problem of price variation” (Mandelbrot [1963, S. 395]). Er schlägt vor, die logarithmierten Preisveränderungen > ln ! ln !1 (geometrische Brownsche Bewegung) zu untersuchen sowie die Normalverteilung durch die Klasse der ?-stabilen Verteilung zu ersetzen.


Abbildung 4: Tägliche Renditen vom 30. Dezember 1966 bis 24. Januar 2008.

Was Mandelbrot mit dem Noah EDekt aussagen möchte, ist in Abbildung 4 zu sehen. Deutlicher als in Abbildung 3 lässt sich hier erkennen, wie stark einzelne Kursbewe-gungen an einem einzigen Tag ausfallen können. Weiter wird ersichtlich, dass die Va-riabilität der Preisveränderungen im Zeitablauf nicht konstant ist (Heteroskedastizi-

tät). Die Darstellung zeigt außerdem eine weitere typische Eigenschaft von Preisände-rungen an: Große Kursbewegungen treten selten isoliert auf. Mandelbrot [1963, S. 418] beschreibt dies folgendermaßen: „[…], large changes

tend to be followed by large changes – of either sign – and small changes tend to be

followed by small changes, […]”. Diese Klumpenbildungen werden vielfach als Volatility Clustering bezeichnet und beschreiben Phasen, in denen starke Kursaus-schläge gehäuft auftreten (bedingte Heteroskedastizität). Kursveränderungen müssen also nicht unbedingt unabhängig voneinander sein.

Eine weitere Beobachtung, wonach Aktienkursrenditen temporär teilweise recht stark von ihrem Mittelwert abweichen können, hat Mandelbrot zu dem BegriD Joseph

Eekt verleitet, dem zweiten wilden Charakterzug des Marktes, wie er sie nennt. Joseph, ein hebräischer Sklave, riet dem Pharao, Getreide für schlechte Zeiten einzulagern. Als es kam, wie Joseph prophezeite, da „tat Joseph alle Kornhäuser auf

und verkaufte den Ägyptern; […] Und alle Welt kam nach Ägypten, um bei Joseph zu

kaufen; denn der Hunger war groß in allen Landen.“ (AT, Genesis, Kapitel 41). Mandelbrot bezeichnet Joseph denn auch als ersten internationalen Arbitragehändler.

In Anlehnung an die biblischen sieben guten und schlechten Jahre können auch Preisänderungen eine ausgeprägte Persistenz aufweisen. Unter Persistenz wird eine Eigenschaft verstanden, bei der ein Prozess seine vergangene Entwicklung nur lang-sam „vergisst“ und deutet somit eventuell vorhandene langfristige Abhängigkeiten an. Mandelbrot greift in diesem Zusammenhang auf die Arbeiten von Harold Edwin Hurst zurück. Hurst untersuchte die unregelmäßigen Überschwemmungen am Nil und sollte sich mit seinen Studien an der Konzeption

-15%

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

1966 1971 1975 1980 1984 1988 1993 1997 2002 2006

Ta

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nd

ite

n


eines Staudamms beteiligen. Er machte dabei eine Entdeckung, welche nicht nur unter Hydrologen für Aufsehen sorgte. Hierbei war weniger wichtig warum es zu den Überschwemmungen kam, als viel mehr wie hoch die nächste Flut ausfallen würde. Mal stiegen sie kräftig, mal blieben sie niedrig. Hurst [1951] drückt seine Erkenntnis wie folgt aus:19

„Obwohl viele natürliche Erscheinungen eine fast normale HäuLgkeitsverteilung besitzen, ist das nur der Fall, wenn man die Reihenfolge des Auftretens ignoriert. Wenn Aufzeichnungen von Naturerscheinungen sich über lange Zeiträume erstrecken, gibt es von einer Periode zur nächsten beträchtliche Variationen sowohl der Mittelwerte als auch der Standardabwei-chungen. Die Tendenz, in Gruppen aufzutreten, macht sowohl den Mittelwert als auch die Standardabweichung, die aus kurzen Jahresfolgen berechnet werden, variabler als bei einer Zufallsverteilung.“

Bei Mandelbrot/Hudson [2005] werden die von Mandelbrot entwickelten statisti-schen Methoden skizziert, mit denen sich die gemachten Beobachtungen des Noah und Joseph EDektes quantiLzieren lassen. Einige konzentrieren sich auf den Tail Index ? der stabilen Verteilung. Eine Normalverteilung hat einen Tail Index ? von zwei. Je höher ? ist, desto mehr nähert sich die Verteilung einer Normalverteilung. Ein niedriges ? bedeutet, dass der betrachtete Markt sehr riskant ist und heftige Kurs-bewegungen erwarten lässt.

Andere konzentrieren sich auf den Hurst-Koe]zienten @, dieser bezieht sich auf die geschilderten Abhängigkeiten. Ein höheres @ bedeutet, dass die Daten eine hohe Persistenz aufweisen, also die Beständigkeit aufweisen, in eine Richtung zu tendieren. Ein niedrigeres @ hingegen deutet eine häuLgere Trendumkehr an. Um diese EDekte trennen zu können, entwickelte Mandelbrot den Range over Standard Deviation Test, oder einfach R/S Analyse. Der Test beruht im Wesentlichen darauf, eine bestimmte Menge an Daten zu untersuchen, sie anschließend durcheinander zu würfeln und sie erneut zu untersuchen. Wenn Unterschiede zu vorher feststellbar sind, so müssen diese auf langfristige Abhängigkeiten zurückzuführen sein, welche wiederum auf der genauen Reihenfolge dieser Daten basieren. Wie bei May [1999, S. 57] dargestellt wird, ist das Konzept des Hurst Exponenten mittlerweile fester Bestandteil der Werk-zeuge von Wertpapierhändlern. Es Lndet sich z. B. bei den Bloomberg Terminals unter dem Namen KAOS eine Funktion, die den Hurst Exponenten graphisch dar-stellt.

Alternative Konzepte Lnden sich im Bereich der Zeitreihenanalyse bei den ARCH und GARCH Modellen20. Es handelt sich hierbei um Zeitreihenmodelle, bei denen die Volatilität variabel modelliert werden kann. Diese können so das Volatility

19 Zitiert aus Mandelbrot/Hudson [2005, S. 404], Anmerkungen zu Kapitel 9. 20 (Generalized) AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity.


Clustering abbilden und sich im Vergleich zur Normalverteilung leptokurtische Rand-verteilungen für die stochastischen Prozesse ergeben. Um dies zu ermöglichen wird die bedingte Varianz zum Zeitpunkt als eine Funktion von zeitverzögerten quadrierten Renditen speziLziert. Bei den GARCH Modellen Lnden zusätzlich die vergangenen geschätzten Werte für die Varianz Berücksichtigung. Hieraus ist mittler-weile eine große Familie von Modellvarianten entstanden, die verschiedene Aspekte von Zeitreiheneigenschaften berücksichtigen21.

Abbildung 5: Empirische Dichtefunktion des DAX angepasst an eine Normalverteilung (blau) und eine A-stabile Verteilung (rot). Für die stabile Verteilung ergibt sich ein Tail Index ? von 1,66. Mit angegeben sind die deskriptiven Statistiken für die DAX Renditen. Zusätzlich ist der ermittelte Wert für die Jarque-Bera Teststatistik für die normalisierten Renditen mit angeführt22.

Zum Abschluss dieses Abschnitts wird nun überprüft, inwieweit die Kursverände-rungen des DAX einer geometrischen Brownschen Bewegung folgen, wie es das Modell von Black–Scholes für den Aktienkursprozess zu Grunde legt. Oder anders ausgedrückt: Folgen die logarithmierten Preisveränderungen einer Normalverteilung? Als alternative Verteilung wird die von Mandelbrot vorgeschlagene stabile Verteilung mit in die Untersuchung aufgenommen.

21 Für einen Überblick zu dieser Modellklasse vgl. bspw. Franke et al [2001, Kapitel 12] und die dort

gemachten Angaben. 22 Der Jarque-Bera Test ist ein häuLg verwendeter Test auf Normalverteilung. Die Testgröße ist deutlich

größer als der kritische Wert von 9,21 bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1%. Für die Normalisierung der Renditen wird vom Wert der täglichen Änderung der Mittelwert abgezogen und durch die Standardabweichung geteilt.

0

50

100

150

200

250

300

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400

450

-8% -6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8%

Za

hl

de

r T

ag

e

Tagesrenditen in Prozent

Beobachtungszeitraum

30.12.1966 - 24.01.2008

Beobachtungen 10.705

Durchschnitt 0,000282

Median 0,000136

Maximum 0,088725

Minimum -0,137099

Standardabweichung 0,011717

Skewness -0,402459

Kurtosis 7,792304

Jarque-Bera 27.329,29


Die obige Abbildung zeigt eine empirische Dichtefunktion für den DAX. An der Ab-zisse sind die jeweiligen Tagesrenditen abgetragen und an der Ordinate ist die jewei-lige HäuLgkeit, also die Anzahl der Tage, angegeben, an denen die Tagesrendite in dem an der X-Achse speziLzierten Intervall liegt. Technisch gesprochen entspricht eine Dichtefunktion der ersten Ableitung der Verteilungsfunktion.

Die Normalverteilung wird durch ihre ersten beiden Momente Erwartungswert und Varianz vollständig bestimmt. Die Schiefe (Skewness) einer Normalverteilung beträgt Null, da es sich um eine symmetrische Verteilung handelt. Ist die Schiefe einer Verteilung negativ, so nennt man sie linksschief (=rechtssteil), bei einer positiven Schiefe rechtsschief (=linkssteil). Die Kurtosis gibt die Wölbung einer Verteilung an; bei der Normalverteilung hat sie den Wert drei23. In der Abbildung 5 werden die er-mittelten Parameter für die DAX Renditen angegeben. Es handelt sich bei der empiri-schen Dichte um eine linksschiefe Verteilung und eine Kurtosis über drei (Leptokurtosis) bedeutet, dass im Vergleich zur Normalverteilung mehr Wahrschein-lichkeitsmasse in den Rändern liegt (Fat Tails). Unschwer zu erkennen ist die un-gleich bessere Anpassung der stabilen Verteilung an die empirischen Daten24. Sie kann sowohl die im Zentrum der Verteilung gehäuft auftretenden kleinen Kursveränderungen abbilden, als auch die seltenen extremen Ereignisse an beiden Rändern mit berücksichtigen.

Insbesondere die großen Ereignisse sind von wesentlicher Bedeutung für die Marktteilnehmer, denn an diesen Tagen werden Reichtümer gewonnen oder verloren. Um die Anpassung an den Rändern deutlicher hervorheben zu können, wird in Abbildung 6 zum einen der Ausschnitt am Rand der Verteilung vergrößert. Zum anderen wird ein Semi-Log Plot als ergänzende Darstellung für Abbildung 5 präsen-tiert. Bei der rechten Abbildung wurde für die Ordinate eine logarithmierte Darstel-lung gewählt und anstelle des Histogramms eine geglättete Kurve für die empirische Dichte eingefügt. Die logarithmische Dichte der Normalverteilung zeigt ein quadrati-sches Abklingen, während die empirische Dichte eher linear abfällt.

23 Die Ausführungen zur Normalverteilung wurden Schröder [2002, Kapitel 1] entnommen. 24 Näheres zu den Eigenschaften ?-stabiler Verteilungen Lndet sich in Anhang A.3.


Abbildung 6: Empirische Dichtefunktion des DAX, Teil 2. Oben: Vergrößerter Ausschnitt des linken Randes aus Abbildung 5. Unten: Semi-log Plot, logarithmische Skalierung der Ordinate. Die gestri-chelte Linie spiegelt die geglättete empirische Dichte wider.

Noch deutlicher als oben ist zu sehen, dass die Normalverteilung die Randwahrscheinlichkeiten der empirischen Daten vollkommen unterschätzt. Wesent-lich besser wiederum bildet die stabile Verteilung diese ab. Wie Höchstötter [2006, S. 12] anmerkt, bieten Quantil Plots, oder auch qq-Plots, eine weitere einfache Möglichkeit, die Anpassung von Verteilungen an realen Daten zu überprüfen. Bei einem qq-Plot werden die empirischen Quantile der Beobachtungen gegen die entsprechenden Quantile einer zu speziLzierenden Verteilung abgetragen. In diesem Falle sind es die Quantile der Normalverteilung sowie der stabilen Vertei-lung. Wenn die jeweiligen Paare der beiden Verteilungen nahe beieinander liegen, laufen sie entlang einer Winkelhalbierenden, die den linearen Zusammenhang der entsprechenden Quantile widerspiegelt.

0

2

4

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-14% -11% -8% -5%

Za

hl

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1

10

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-8% -4% 0% 4% 8%

Za

hl

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ag

e



Abbildung 7: Quantil Plot der Tagesrenditen des DAX. Abgetragen werden die Quantile der empiri-schen Verteilung gegen die Quantile der Normalverteilung (blau) und der stabilen Verteilung (rot). Bei den beiden oberen qq-Plots werden alle Daten verwendet. Unten werden die inneren 95 % der Daten verwendet.

-0,06

-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,06

-0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04

Em

pir

isch

e Q

ua

nti

le

Quantile Normalverteilung

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-0,10 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08

Em

pir

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le

Quantile α-stabile Verteilung

-0,03

-0,03

-0,02

-0,02

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0,00

0,01

0,01

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-0,03 -0,02 -0,01 0,00 0,01 0,02 0,03

Em

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isch

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nti

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Quantile Normalverteilung

-0,03

-0,03

-0,02

-0,02

-0,01

-0,01

0,00

0,01

0,01

0,02

0,02

0,03

-0,03 -0,02 -0,02 -0,01 -0,01 0,00 0,01 0,01 0,02 0,02 0,03

Em

pir

isch

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ua

nti

le

Quantile α-stabile Verteilung


Insgesamt lässt sich die gute Visualisierung der Daten speziell im Zentrum der Vertei-lungen erkennen. Haben die Daten allerdings zu schwere Ränder, wie dies beim DAX der Fall ist, wird die Darstellung durch die extremen Ereignisse verzerrt. Höchstötter [2006, S. 13] verwendet zusätzlich als Abhilfe nur die inneren 95 % der Beobachtungen. In beiden Fällen sieht man die deutliche Überlegenheit der stabilen Verteilung gegenüber der Normalverteilung. Bei der Normalverteilung werden die Randwahrscheinlichkeiten auch bei Bereinigung von Ausreißern wieder stark unterschätzt. Etwas anders ist die Situation bei der stabilen Verteilung: Beim oberen Bild könnte man den Eindruck gewinnen, dass die Wahrscheinlichkeit für extreme Ereignisse sogar ein wenig überschätzt wird. Dies führte zu Überlegungen, die Ränder einer stabilen Verteilung ab einem gewissen Punkt abzuschneiden25. Das untere Bild bietet jedenfalls für das bloße Auge eine nahezu perfekte Anpassung. Es lässt sich festhalten, dass Mandelbrots Beobachtungen für Baumwollpreise von 1963 auch im Jahr 2008 für den DAX vollkommen zutreDend sind. Allein durch visuelle Inspektion der Daten kann die Nullhypothese normalverteilter Renditen ganz klar verworfen werden.

Die beschriebenen Phänomene konnten in zahlreichen Arbeiten für viele verschiedene Märkte und Vermögenswerte, wie Aktien, Anleihen, RohstoDe oder Währungen bestätigt werden. Sie sind heutzutage allgemein als Stilisierte Fakten (Stylized Facts) anerkannt. Eine tiefergehende Behandlung und andere der hier disku-tierten Stylized Facts und einige mehr Lndet sich bei Cont [2001]. Eine Betrachtung dieser Fakten für den deutschen Markt Lndet sich bei Krämer [2004], bei der eben-falls Fat Tails, Heteroskedastizität, stabile Verteilungen oder auch langfristige Abhän-gigkeiten thematisiert werden.

3.3 Stochastische Volatilität und DAX Optionen

Wie im vorigen Abschnitt beschrieben, ist das klassische Black–Scholes Marktmodell nicht in der Lage die statistischen Eigenschaften von Finanzzeitreihen wiederzuge-ben. Weiter wurde beobachtet, dass die Volatilität sich im Zeitablauf verändert und die Eigenschaft aufweist, temporär auf unterschiedlichen Niveaus zu verharren. Auf den letzten Aspekt wird im Folgenden näher eingegangen. Weiter wird das Konzept der impliziten Bestimmung von Volatilitäten aus Marktquotierungen von Optionen vorgestellt, wobei sich zeigen wird, dass sich systematische Abweichungen zu den Modellannahmen ergeben. Einen sehr guten Überblick zu diesem Themenkomplex bietet die Deutsche Bundesbank [2005].

25 Dies führt zu der Klasse der Truncated Lévy Distributions (TLD). Vgl. bspw. Mantegna/Stanley

[2000]. Im Kontext der Optionstheorie erweitert Matacz [2006] das Black–Scholes Modell und legt als Aktienkursprozess die TLD zu Grunde.


Historische Volatilität

Die Formel von Black–Scholes zur Ermittlung von Optionspreisen besteht aus einer Funktion von fünf Parametern. Im Falle von Aktien sind dies BC, , , , , wobei die Volatilität der einzige Parameter ist, der nicht direkt am Markt beobachtet wer-den kann. Um die Volatilität zu schätzen bieten sich mehrere Verfahren an. Eine recht einfache Möglichkeit stellt die Schätzung der Volatilität aus historischen Aktienkurs-zeitreihen dar. Betrachtet werde eine Folge von täglichen Preisen !1, … , !E mit ihren entsprechenden Preisveränderungen > ln ! ln !1 und >F als Mittelwert der Preisveränderungen. Die historische Volatilität, auch realisierte Volatilität genannt, ergibt sich dann als annualisierte mittlere quadratische Abweichung bzw. Standardab-weichung der Renditen GHIJHIKL M 252O 1 P >Q >F'E1

QR . (3.1)

Da die Volatilität in der Regel als annualisierte Größe verwendet wird und die Daten auf täglichen Werten beruhen, wird ein Faktor benötigt um die tägliche Volatilität auf ein Jahr zu skalieren. Hierbei ist es üblich, nur die Handelstage zu berücksichtigen, bei denen Preisnotierungen vorliegen. Für gewöhnlich werden hierfür als Annähe-rung 252 Tage festgesetzt. Denkbar wären natürlich auch wöchentliche oder monatli-che Quotierungen. Von Bedeutung ist weiter die Anzahl der Beobachtungen O; hier-bei führen zu wenige O zu ungenauen Schätzungen. Da die Volatilität nicht konstant ist, ist die Verwendung von zu langen Zeiträumen ebenfalls nicht zielführend, da weit zurückliegende Beobachtungen einen geringen EinJuss auf die heutige Volatilität haben werden. Üblich sind Zeiträume von bspw. 30, 90 oder 180 Tagen.

Abbildung 8 zeigt den Verlauf der historischen Volatilität des DAX mit einem gleitenden Fenster über 252 Tage. Wieder wird deutlich, dass die Volatilität nicht konstant ist und auf unterschiedlichen Niveaus verweilen kann. Des Weiteren lässt sich die Tendenz erkennen, zu einem Mittelwert zurückzukehren (Mean Reversion). Die Variabilität des DAX bewegt sich quasi innerhalb einer gewissen Bandbreite. Der Median von knapp 15 % p. a. könnte einen solchen Mittelwert andeuten. Dies steht im Widerspruch zu den Kursen selbst, dort gibt es keinen Mittelwert zu dem bspw. der DAX zurückkehren würde (sehr wohl gibt es aber eine mittlere Kurssteigerung, die Drift).


Abbildung 8: Historische Volatilität und Volatilitätscluster. Linke Skala: Historische Volatilität mit einem gleitenden Fenster von 252 Tagen. Die Größe des Fensters entspricht somit etwa einem Jahr. Rechte Skala: Absolute Tagesrenditen des DAX vom 30. Dezember 1966 bis 24. Januar 2008.

In Abbildung 8 werden zusätzlich zur historischen Volatilität nochmals die täglichen Preisveränderungen (diesmal in absoluten Werten) aufgegriDen. Augenfällig ist hier-bei der analoge Verlauf der historischen Volatilität mit den (absoluten) Renditen. Dort wo starke Kursbewegungen gehäuft auftreten, ist auch allgemein das Volatilitäts-niveau recht hoch. Kalibrierung an Marktpreise

Außer der Volatilität sind alle Inputfaktoren bekannt. Der fehlende Modellparameter lässt sich auch ermitteln, indem die Abstände der theoretischen Preise von den Marktpreisen durch Variierung von minimiert werden. Dies geschieht über eine Anpassung mit der Methode der kleinsten Quadrate über alle Restlaufzeiten und Basispreise. Eine Diskussion dieser Vorgehensweise sowie der resultierenden Fehler-maße Lndet in Kapitel 5 statt. Die Volatilität für das Modell von Black–Scholes, welche die Marktpreise am besten wiedergibt, ermittelt sich zu 21,60 %.

Tabelle 1: Anpassungsgüte der Black–Scholes Kalibrierung an Marktdaten vom 7. Dezember 2007.

Modell MAE MARE

Black–Scholes € 44,05 80 %

0%

2%

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1966 1971 1975 1980 1984 1988 1993 1997 2002 2006

ab

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p.a

.Min 7,59 % p.a.

Max 46,03 % p.a.

Mittel 17,22 % p.a.

Median 14,87 % p.a.


Abbildung 9: Reale und Black–Scholes Preise für den 7. Dezember 2007. Die Kreise repräsentieren die Marktpreise und die Pluszeichen die Modellpreise.

Implizite Volatilitäten von DAX Optionen

Im Gegensatz zu der historischen Volatilität, welche deLnitionsgemäß auf vergange-nen Daten beruht, handelt es sich bei dem Konzept der impliziten Volatilität um die Erwartungen der Marktteilnehmer, die sie in Bezug auf die zukünftige Volatilität bil-den. Die Akteure werden sich demnach ihren Erwartungen entsprechend auf dem Markt positionieren. Mit der Volatilität als Parameter des Optionspreismodells lässt sich nun aus den Quotierungen für Puts und Calls und mit Kenntnis der anderen beobachtbaren Variablen implizit die Volatilität ermitteln. Der Theorie von Black–Scholes folgend, ergibt die implizite Bestimmung von Volatilitäten für alle Fälligkeits-termine und Strikes immer den gleichen Wert, da die Volatilität annahmegemäß konstant ist. Es zeigen sich aber für unterschiedliche Fälligkeiten und Ausübungs-preise Charakteristika, die nicht modellkonform sind. Um diesen Sachverhalt zu veranschaulichen, bietet es sich an, die Volatilität als zeitabhängige Funktion von und zu deLnieren , . Zeitabhängig deshalb, weil sie immer nur die Markterwartung an dem betrachteten Tag widerspiegelt. Im Prinzip muss man von Black–Scholes impliziten Volatilitäten sprechen, da die Volatilität nur im Zusammen-hang mit diesem Modell Sinn ergibt. Formal stellt sich die Situation folgendermaßen dar , BCS , , , , , , T.

0

200

400

600

800

1.000

1.200

1.400

1.600

7200 7400 7600 7800 8000 8200 8400 8600 8800

Op

tio

nsp

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Basispreis K


Smile E0ekt der impliziten Volatilität

Abbildung 10: Smile und Smirk E0ekt. Implizite Volatilitäten der ODAX Optionen vom 7. Dezember 2007 für drei verschiedene Restlaufzeiten.

Der BegriD Volatility Smile ist inzwischen ein OberbegriD für die Beobachtungen, die gemacht werden, wenn die impliziten Volatilitäten für je eine Restlaufzeit gegen die Ausübungspreise abgetragen werden. Bei der Dezember ´07 Option lässt sich die Intuition gut nachvollziehen. Im Bereich von Indexoptionen zeigt sich jedoch, dass der Verlauf eher schief ist. So spricht man in diesem Zusammenhang auch von der Volatilitätsschiefe (Volatility Smirk).

Beachtenswert ist die Beobachtung, wonach Optionen mit niedrigen Basispreisen wesentlich höhere Volatilitäten implizieren als die Optionen mit höheren Strikes. An-ders ausgedrückt sind OTM Puts wesentlich teurer als die korrespondierenden OTM Calls. Zahlreiche Untersuchungen können bestätigen, dass dieses Muster prinzipiell weltweit auf allen Leitindizes anzutreDen ist (siehe z. B. Foresi/Wu [2005]). Es zeigt sich bei Untersuchungen für den amerikanischen Markt, dass die impliziten Volatilitäten bis zu dem großen Krach von 1987 in der Tat einen relativ Jachen Ver-lauf haben. Erst danach bildet sich das bis heute bestehende Muster heraus. Einige Forscher glauben daher, dass die Märkte gelernt hätten eine Crashwahrscheinlichkeit einzupreisen, welche für den Smile mitverantwortlich ist (siehe Javaheri [2005, S. 7]).

Rubinstein [1994] prägte hierfür den BegriD Crash-O-Phobia, womit auch einer der Gründe für diesen Verlauf angedeutet wird. Die Nachfrage nach OTM Puts stieg sprunghaft an, um sich gegen marktweite Abwärtsbewegungen absichern zu können und dies bei geringem Angebot. Hinzu kommt, dass die Strategie, OTM Puts auf den Index zu verkaufen und diese Position mit dem oben skizzierten Delta-Hedge mit dem Index abzusichern, bei Kurssprüngen zusammenbricht. Demnach wird man hierfür als Entschädigung einen höheren Preis verlangen. Auch ist nachvollziehbar, dass es wahrscheinlicher erscheint, dass ein ganzer Markt aus verschiedensten Grün-

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Dez 07

Feb 08

Jun 08


den eher heftig abrutscht, als dass er nach oben springt. Bei einzelnen Aktien stellt sich die Situation anders dar, hier reicht z. B. eine gute Nachricht, um den Wert nach oben schießen zu lassen.

Ein weiterer Erklärungsansatz bezieht sich auf den Verschuldungsgrad von Unternehmen (Leverage Eect). Demnach sinkt bei fallenden Aktienkursen das Eigenkapital in Relation zum Fremdkapital. Ergo steigt der Verschuldungsgrad. Dies geht im Allgemeinen mit erhöhter Unsicherheit einher, so dass sich das Verschuldungsrisiko zusätzlich auf die Schwankungen der Renditen auswirken kann. Zum Teil lässt sich so die oftmals feststellbare negative Korrelation zwischen Volatili-tät und Aktienkursen erklären (vgl. bspw. Wallmeier [2003, S. 56]). Da es aber den Leverage EDekt auch schon vor 1987 gegeben hat, ist der Wirkungszusammenhang in Bezug auf den Smile bzw. Smirk EDekt nicht vollständig geklärt. Fristenstruktur der impliziten Volatilität

Ein anderes Phänomen lässt sich erkennen, wenn die impliziten Volatilitäten eines Basispreises, für gewöhnlich der at the money Strike, über die Fälligkeiten abgetragen wird. In Abbildung 11 werden zwei Handelstage gegenübergestellt. Am 07.12.2007 herrscht ein recht niedriges Volatilitätsniveau, die Marktteilnehmer werden dann in Zukunft von einem höheren Niveau ausgehen. Entgegengesetzt verhält es sich am 24.01.2008, hier hat es an den vorangegangenen Tagen am Markt heftige Kursbewegungen gegeben, so dass das Niveau recht hoch liegt. Die Investoren antizipieren wieder ein niedrigeres Niveau für die Zukunft. Es handelt sich hierbei um den eingangs beschriebenen Mean Reversion EDekt. Zwischen dem roten und blauen Graphen könnte man sich einen imaginären Mittelwert der Volatilität denken. Ähnlich der Fristenstruktur bei Zinsen wird diese Struktur auch Forwardkurve ge-nannt.


Abbildung 11: Fristenstruktur der impliziten Volatilität. Abgebildet sind die at the money Volatilitä-ten von zwei Handelstagen die sich bei verschiedenen Fälligkeiten ergeben.

Einige weitere mögliche EinJussfaktoren auf den Smile seien noch kurz erwähnt. Börsengehandelte Optionen unterliegen wie andere Wertpapiere auch dem Gesetz von Angebot und Nachfrage. Weiter können Transaktionskosten und LiquiditätseDekte eine stetige Anpassung von Hedge-Portfolios soweit erschweren, dass der Arbitragemechanismus, auf dem das Modell von Black–Scholes basiert, empLndlich beeinJusst wird (vgl. bspw. Wallmeier [2003, S. 62]). Ein<uss von Steuern und Dividenden

Die Put-Call-Parität verlangt, dass die impliziten Volatilitäten von Calls nicht systematisch von den impliziten Volatilitäten von Puts abweichen dürfen. Es lassen sich jedoch an vielen Handelstagen Abweichungen wie bei dem linken Punktediag-ramm in Abbildung 12 feststellen.

Diese lassen sich auf ein verzerrtes Indexniveau zurückführen, welche durch Dividendenzahlungen verursacht werden. Hafner/Wallmeier [2000] argumentie-ren, dass die individuelle Besteuerung der Investoren sich von den zu Grunde geleg-ten Annahmen bei der Berechnung des Indexstandes unterscheiden kann. Wenn dies der Fall ist, kann die Nettodividende für den Investor höher oder auch niedriger sein, als die für die Indexberechnung verwendete. Die Dierenzdividende, wie diese Diskrepanz auch genannt wird, hat dann den gleichen EDekt wie eine Dividendenzahlung auf eine ungeschützte Option, d. h. die Optionspreise fallen ausei-nander und damit auch die impliziten Volatilitäten.

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Dez 07 Mrz 08 Jun 08 Sep 08 Jan 09 Apr 09 Jul 09 Nov 09

Imp

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Fälligkeit

ATM 07.12.2007

ATM 24.01.2008


Abbildung 12: Implizite Volatilitäten vom 21.12.2007 für die ODAX Januar 08 Optionen. Bei der linken Abbildung wird der Xetra Schlusskurs (17:30 Uhr) in Höhe von 8002,67 Punkten verwendet. Rechts wird der implizite Indexstand aus dem März 08 Future (17:30 Uhr) ermittelt und ergibt 7997,88 Indexpunkte.

Sei ΔUVW, der Wert der DiDerenzdividende zum Zeitpunkt , die zwischen und anfällt. Um die genannten Probleme zu bewältigen schlagen die Autoren eine dividendenadjustierte Future Formel vor

X YY ZUVW,Y , (3.2) sowie eine Put-Call Parität ! ZUVW,[[[ [[, (3.3) zu verwenden, wobei die Subskripte X und \ für Future respektive Option stehen. Durch Kombination der beiden Gleichungen erhält man ZUVW,Y,[ ZUVW,Y YY ZUVW,[[[, (3.4) was der gesuchten DiDerenzdividende entspricht.

Ein adjustiertes Indexniveau ergibt sich zu ; XYY $ ZUVW,Y,[ . (3.5) Dies ist genau das Indexniveau, welches bei Eingabe in die Black–Scholes Formel identische implizite Volatilitäten für Calls und Puts ergibt. Das ist nicht nur für die Bestimmung von impliziten Volatilitäten von Bedeutung. Sollte die Put-Call-Parität tatsächlich verletzt sein, ergibt sich eine proLtable Arbitragestrategie, wie sie in Ab-schnitt 2.1 beschrieben wird.

Die Ausführungen bei Hafner/Wallmeier [2000] beziehen sich auf das Körperschaftsteuer-Anrechnungsverfahren, welches bis zum Jahre 2001 in Kraft war. Danach wurde es durch das Halbeinkünfteverfahren ersetzt. Dies ändert oDensichtlich nichts grundlegend an der Situation.

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Abbildung 13: Implizite Volatilitäten für quotierte Jan 08 Optionen vom 21.12.2007. Verwendung von Letzter Kurs und Bid sowie Ask Kursen von Put und Call Optionen. Daten wie oben.

Zusätzlich veranschaulicht Abbildung 13 die impliziten Volatilitäten zu Quotierungen der Januar 08 Optionen zu Handelsschluss um 17:30 Uhr. Auch hier sind deutliche Diskrepanzen erkennbar (links), die durch einen adjustierten Indexstand gemildert werden können (rechts). Zu beachten ist hierbei, dass die Daten nicht zeitlich synchronisiert sind.

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4 Modell Spezi%kationen und ihre charakteristischen Funktionen

Das Marktmodell von Black–Scholes und die von ihnen entwickelte Formel zur Bewertung von Optionen erfreuen sich großer Beliebtheit, erlauben sie doch bei geringem Aufwand eine präferenzfreie Bestimmung von Optionsprämien. Dessen ungeachtet Lnden die Annahmen konstanter Volatilität und normalverteilter Rendi-ten in der Realität keine Bestätigung. In den letzten Jahrzehnten wurde eine ganze Reihe von Modellen entwickelt, die diese empirischen Beobachtungen berücksichti-gen.

Bereits Merton [1973] schlägt vor, die Volatilität als deterministische Funktion der Zeit zu modellieren. Dies erlaubt es die unterschiedlichen Volatilitätsniveaus für unterschiedliche Laufzeiten zu modellieren, nicht aber den Smile EDekt zu erklären. Dupire [1994], Derman/Kani [1994] und Rubinstein [1994] erweitern dieses Kon-zept und erlauben zusätzlich eine zustandsabhängige Volatilität, womit auch der Smile berücksichtigt werden kann. Diese Local Volatility Modelle erlauben eine per-fekte Anpassung an die Marktdaten, können den Smile jedoch nicht erklären, son-dern nur beschreiben. Eine andere Möglichkeit ist es, die Volatilität selbst als stochastischen Prozess zu modellieren. Hull/White [1987], Stein/Stein [1991] und Heston [1993] liefern hierbei die grundlegenden Arbeiten für die Stochastic

Volatility Modelle. Es handelt sich hierbei um Zwei-Faktoren-Modelle, bei denen die Faktoren je für die Aktienkursdynamik und die sich ändernde Volatilität verantwortlich sind.

Die Beobachtung, dass Aktienkurse sich nicht kontinuierlich entwickeln sondern in immer wiederkehrenden Abständen Sprünge aufweisen, führt Merton [1976] dazu den DiDusionsprozess mit einem Poissonprozess zu erweitern. Durch diese Sprungkomponente wird es möglich, die Diskontinuität der Märkte zu berücksichti-gen. Merton entwickelt diese Erweiterung bemerkenswerterweise lange vor den alter-nativen Modellen mit stochastischer Volatilität.

Um eine noch bessere Anpassung an die Marktpreise zu erreichen kombinieren Bates [1996] und Bakshi et Al [1997] die letzten beiden Ansätze, womit beide wesentlichen Kritikpunkte am Black–Scholes Modell adressiert werden.

In eine ganz andere Richtung gehen die Entwicklungen, die ausschließlich auf Sprungprozessen basieren, auch Lévy Prozesse genannt. Sie bilden eine neue Familie von Modellen, die zur Bewertung von Derivaten verwendet werden (siehe bspw. Carr/Wu [2004]). Bei den Lévy Prozessen sind die Brownsche Bewegung und Pois-sonprozesse als Spezialfälle enthalten. Nach aktuellem Stand der Forschung sind dies die Modelle, die am ehesten die empirischen Fakten bei Aktienkursen wiedergeben können. Wie bei der gewöhnlichen Brownschen Bewegung erlauben diese Modelle aber keine variable Volatilität, keine Berücksichtigung des Leverage EDekts und auch

Modell Spezi4kationen und ihre charakteristischen Funktionen | 36

nicht das Volatility Clustering. Doch lassen sich diese Phänomene problemlos bewältigen, wenn wie bei Bates [1996] und Bakshi et Al [1997] die Volatilität durch einen eigenen Prozess beschrieben wird.

Ein weiterer wichtiger Aspekt ist, dass alle hier betrachteten Modelle zu einem Markt führen, der nicht mehr vollständig ist. Damit ist eine Bewertung alleine auf Arbitrageüberlegungen nicht mehr möglich, d. h. es gibt kein risikoloses Hedge-Portfolio mehr, sobald die Volatilität nicht mehr als konstant angenommen wird oder Sprünge beim Kursverlauf auftreten. So ist man darauf angewiesen, den Markt durch zusätzliche Wertpapiere zu vervollständigen oder aber es werden bestimmte Annah-men bezüglich eines neuen Wahrscheinlichkeitsmaßes getroDen (vgl. hierzu z. B. Rathgeber [2007]). Formal bedeutet dies, dass es viele äquivalente Martingalemaße : ] , gibt, unter denen der diskontierte Preisprozess ein Martingale ist (vgl. Harrison/Pliska [1981]). Das hat zur Folge, dass es theoretisch eine ganze Band-breite von resultierenden Optionspreisen gibt. Bei Cont/Tankov [2004, Kapitel 10] werden eine ganze Reihe von Möglichkeiten diskutiert, wie sich Derivate unter diesen Umständen bewerten und hedgen lassen. Aus Sicht eines Optionshändlers wird die Situation bei Taleb [1997] geschildert. Wie Cartea [2005] darlegt, ist das Hedgen von Finanztiteln ebenso wichtig wie die Bewertung von derivativen Wertpapieren selbst. Hierzu schlägt er eine Erweiterung des klassischen Delta-Gamma-Hedgen (vgl. Abschnitt 2.3) vor, bei der die Eigenheiten der Modelle, wie sie hier präsentiert wer-den, berücksichtigt werden können. Dies ist aber nicht Thema dieser Arbeit und es sei auf die oben genannte Literatur verwiesen.

Bei der Simulationsstudie in Kapitel 5 werden die theoretischen Preise mit den Marktpreisen von Optionen verglichen. Wie in Abschnitt 2.2 beschrieben, werden die Preise für bedingte Ansprüche unter einem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß : bestimmt. Somit beziehen sich die folgenden Ausführungen ausschließlich auf :. Unter diesen Umständen ist es für die vorliegende Studie auch nicht relevant, ob der Markt vollständig ist oder ob es viele verschiedene äquivalente Wahrscheinlichkeits-maße gibt. Das gesuchte risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaß : wird einfach implizit aus den quotierten Optionspreisen ermittelt. Im anschließenden Kapitel 5 erfolgt eine genaue Darlegung dieser Vorgehensweise.

Hiermit ist eine Richtung der zeitgenössischen Optionspreisbewertung skizziert. Es folgt eine Einführung der Modelle, welche im nächsten Kapitel empirisch unter-sucht werden. Bei allen diesen Konzeptionen handelt es sich um unterschiedlich rigo-rose Erweiterungen des Black–Scholes Modells, die dieses jeweils als Spezialfall enthalten. Bei der Präsentation der SpeziLkationen wird der Fokus auf die ökonomi-sche Intuition und eine klare Darstellung der Modelle gerichtet. Die für diese Modelle notwendigen mathematischen Details der zu Grunde liegenden Prozesse und für das Konzept von charakteristischen Funktionen samt ihrem Nutzen für die Bewertung von Optionen werden im Anhang näher erörtert.


4.1 Merton Jump Di0usion

Mit dem Jump DiDusion Modell (MJD) legt Merton [1976] den Grundstein für Mo-delle, die dem kontinuierlichen Black–Scholes DiDusionsprozess eine Sprungkompo-nente hinzufügen.

Es ist einer der ersten Versuche, im Bereich von Aktienderivaten den schiefen Verlauf des Smile sowie die Überschusskurtosis, d. h. den leptokurtischen Verlauf der empirischen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zu bewältigen. Hiermit zeigen sich SprungdiDusionen grundsätzlich in der Lage den Smile EDekt bzw. Skew EDekt abzubilden.

Bei dem Konzept der Jump DiDusion handelt es sich um ein exponentielles Lévy Modell der Form

^_ , (4.1) womit der Aktienkursprozess einem Lévy Prozess ` folgt. SpeziLziert wird dieser Lévy Prozess mit einer Brownschen Bewegung und einem zusammengesetztem Pois-sonprozess. Damit erweitert sich die Aktienkursdynamik des Black–Scholes Marktmodells um einen diskontinuierlichen Sprungpart a d d $ d% $ da. (4.2)

Die Sprünge a folgen einem zusammengesetzten Poissonprozess der Intensität b mit logarithmisch normalverteilten Sprunghöhen. Diese Sprunghöhen sind unabhängig und identisch normalverteilte Zufallsvariablen mit Mittelwert c und Varianz d. Des Weiteren sind der Poissonprozess und die Sprunghöhe unabhängig vom Wiener Pro-zess % und gibt die Volatilität des DiDusionsprozesses an.

Die Preise der Aktie sind als Exponential des Lévy Prozesses ` modelliert. Daraus folgt, dass die logarithmierten Preisveränderungen e log ⁄ einem Lévy Prozess folgen.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte dieses Lévy Prozess lässt sich unter einem risiko-neutralen Maß : mit Hilfe folgender charakteristischen Funktion fIgh darstellen

fIgh exp iih#k 12 h'' $ bSlmnmopo/' 1Tr,

fsHtt h · fvmwxh.

(4.3)


Hierbei stellt #k 1' ' bSnypo/' 1T einen Konvexitätskorrekturfaktor dar.

Diese Korrektur betriDt die risikoneutrale Drift und stellt sicher, dass der diskontierte

Preisprozess ein Martingale ist. Ermittelt wird er durch fIgi 1 mit i √1. Da der Poissonprozess und die Sprunghöhe unabhängig von der Brownschen Bewegung sind, können die jeweiligen charakteristischen Funktionen fsHtth und fvmwxh einfach miteinander multipliziert werden.

Abbildung 14: Implizite Volatilitäten und zugehörige Zustandspreisdichte MJD. Zu Grunde lie-gende Daten: 100, 0,05, 0,5, b 1, c 0,05, d 0,1 und 0,07. Rot: Jump DiDusion, blau: Black–Scholes.

Bei der Interpretation der Volatilität gilt es zu beachten, dass diese nicht der übli-chen Form des Modells von Black–Scholes entspricht VolatilitätBCe BC√, (4.4)

sondern die Standardabweichung in Periode im Merton Modell als Volatilität|JQe |JQ' $ bd' $ bc', (4.5) gegeben ist. Wenn nun BC |JQ gesetzt würde, wären die Merton Preise für Optionen aufgrund der zusätzlichen Unsicherheitsfaktoren immer größer (oder min-destens gleich) als die von Black–Scholes.

In Abbildung 14 wird illustriert, wie sich mit den drei zusätzlichen Risikoquellen ein Verlauf von impliziten Volatilitäten und damit einhergehend eine Dichtefunktion beschreiben lässt, mit der sich die beobachtete negative Schiefe und eine spitzgipJige Verteilung mit dicken Rändern insbesondere bei kurzen Restlaufzeiten reproduzieren lässt. Zum Vergleich sind die Verteilung und die Volatilität mittels Black–Scholes ebenfalls dargestellt. Damit wird der Vorteil der SprungdiDusionen deutlich insbeson-dere in kurzer Sicht starke Abwärtsbewegungen modellieren zu können. Für eine tiefergehende Behandlung wird auf Matsuda [2004] verwiesen. Hier wird dieses Modell sehr umfassend und mit vielen Beispielen behandelt.

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s=ln(ST/S0)


4.2 Heston Stochastic Volatility

Mit seinem populären Stochastic Volatility Modell adressiert Heston [1993] die Beo-bachtung, wonach die Volatilität selbst variabel ist. Hierzu ersetzt Heston bei dem Black–Scholes Modell die konstante Volatilität aus Gleichung (2.7) durch einen ei-genständigen stochastischen Prozess ~ . Unter dem Martingalemaß : resultiert fol-gende Aktienkursdynamik d d $ ~d%C, (4.6)

d~ ~d $ ~d% . (4.7) Mit ~ wird die zeitveränderliche, instantane Varianz beschrieben, auch lokale oder Momentanvarianz genannt. Die Dynamik von ~ folgt hierbei einer zum Mittelwert zurückkehrenden QuadratwurzeldiDusion. Im Bereich der Finanzmathematik wurde dieser Prozess ursprünglich von Cox et Al [1985a, b] zur Modellierung von kurzfristigen Zinssätzen verwendet, weshalb dieser Prozess auch unter dem Synonym CIR Prozess geläuLg ist (vgl. auch Cont/Tankov [2004, S. 474]). Ursprünglich

eingeführt wurde er jedoch von Feller [1951]. Der Ausdruck ~ garantiert eine nichtnegative Volatilität. Wenn der Prozess Null würde, reduzierte sich (4.7) zu 0, der stochastische Teil verschwände und die Volatilität würde sofort wieder positiv. Wenn zusätzlich die Feller Bedingung 2 ' erfüllt ist, kann ~ nicht negativ werden. Der deterministische Teil von (4.7) ist asymptotisch stabil, wenn 0 und ein Gleichgewicht ist erreicht, wenn ~ ist.

Die beiden Brownschen Bewegungen %C und % korrelieren über d *d%Cd%. Der Parameter gibt die Geschwindigkeit der Mean-Reversion an, ist der langfristige Mittelwert des Varianzprozesses und beschreibt die Volatilität der Varianz (auch bekannt als vol of vol). Insgesamt besitzt dieses Modell vier freie Parameter und mit ~ eigentlich eine latente Zustandsvariable, die aber nicht direkt am Markt beobachtet werden kann und somit für gewöhnlich ebenfalls als freier Parameter betrachtet wird.

Die charakteristische Funktion für die Rendite e lautet fG|IJQh exp , h $ U, h~, (4.8) wobei , h ' hi 0 2 log 1 1 ,

U, h ~'' hi 0 1 1 ,


mit 0 hi' $ 'ih $ h', hi 0 hi $ 0.

Abbildung 15: Implizite Volatilitäten und zugehörige Zustandspreisdichte Heston. Zu Grunde liegende Daten: 100, 0,05, 0,5, 2, 0,01, 0,5, 0,1 und ~ 0,02. Rot: Heston, blau: Black–Scholes.

Es lässt sich erkennen, dass auch die Berücksichtigung von stochastischer Volatilität einen Smile gut abbilden kann. Die bei Aktien und Aktienindizes typischerweise schief verlaufenden asymmetrischen Smiles können durch den Korrelationskoe]zienten berücksichtigt werden. So erhält man im Vergleich zur Normalverteilung mehr Wahrscheinlichkeitsmasse am linken Rand. Das Modell von Heston [1993] zeigt sich in der Lage, eine Vielzahl von verschiedenen Smiles abzubilden. Durch die Stetigkeit beider Prozesse bedingt kann es jedoch nur sehr eingeschränkt den recht steilen Skew kurz vor Fälligkeit modellieren. Viele Details und Hinweise zur Implementierung Lnden sich bei Mikhailov/Nögel [2003] sowie Muck/Rudolf [2006].

4.3 Finite Moment Log Stable

Die stilisierten Fakten in Abschnitt 2.3 sind vielfach dokumentiert und als solche anerkannt. Eine weitere Beobachtung Lndet in der neueren Literatur bisher relativ wenig Beachtung. Bei einer Untersuchung von S & P 500 Indexoptionen beschreiben Carr/Wu [2003] ein Phänomen, bei dem sich der Volatility Smirk im Zeitablauf nicht abJacht. Dies steht im Gegensatz zu vielen Bewertungsmodellen sowie den Implikationen des Zentralen Grenzwertsatzes, wonach sich eine Renditeverteilung im Zeitablauf immer mehr der Normalverteilung annähert (siehe z. B. Cont [2001]).

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

Imp

lizi

te V

ola

tili

tät

Basispreis K

0

1

2

3

4

5

-40% -20% 0% 20% 40%

PD

F (

s)s=ln(ST/S0)


Abbildung 16: Laufzeitmuster von impliziten Volatilitäten. Die Linien beschreiben die impliziten Volatilitäten für ODAX Optionen vom 7. Dezember 2007 gemessen an einem Standard Moneyness

Maß 0 ln ⁄ ⁄ k √26.

Die impliziten Volatilitäten in Abbildung 10 werden gegen die Moneyness mit ln ⁄ abgetragen, wie es in vielen Arbeiten in diesem Kontext üblich ist (gängig sind ebenfalls X⁄ oder einfach ). Eine andere Möglichkeit die Verbin-dung zwischen dem Verlauf des Volatility Smirk und der risikoneutralen Wahrschein-lichkeitsdichte darzustellen, ergibt sich unter Verwendung eines standardisierten Ma-ßes für Moneyness 0 ln ⁄ √ . (4.9)

Wie Carr/Wu [2003] beschreiben, ist diese DeLnition von Moneyness ein Industrie-standard geworden (siehe auch Foresi/Wu [2005]). Hierbei bezeichnen und den Basispreis und den Preis der Aktie. ist ein Maß für die Volatilität und die Restlauf-

zeit der Option. Die Skalierung mit √ ist wichtig, um die Moneyness über verschie-dene Laufzeiten vergleichbar zu machen. Die Verwendung einer Standardabweichung im Nenner erlaubt es, verschiedene Wertpapiere mit unterschiedlichen Volatilitätsni-veaus vergleichbar zu machen. Weiterhin kann man so die Moneyness 0 als die An-zahl von Standardabweichungen interpretieren, die der log Strike vom log Spot in einer Black–Scholes Welt entfernt ist.

26 Als Annäherung für die Volatilität wird bei dieser Darstellung der Tageswert des VDAX in Höhe

von 15,35 % verwendet. Der VDAX ist ein von der Deutschen Börse AG täglich veröDentlichter In-dex, der die implizite Volatilität des DAX wiedergibt (siehe Deutsche Börse [2007]). Die Money-

ness 0 entspricht zudem dem Mittel von – 01 und – 0', welche in der Black–Scholes Formel für Puts auftauchen.

10%

15%

20%

25%

30%

-2,00 -1,50 -1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00

Imp

lizi

te V

ola

tili

tät

moneyness d

Dez 07

Jan 08

Feb 08

Jun 08

Dez 08

Jun 09


In Abbildung 16 wird derselbe Tag wie in Abbildung 10 dargestellt, nur ergibt sich hier ein gänzlich anderes Bild. Deutlich erkennbar ist, dass die impliziten Volatilitäten mit längeren Fälligkeiten keineswegs abJachen. Es zeigt sich, dass die Steigung sogar leicht zunimmt. Das Laufzeitmuster spiegelt damit die Erkenntnis wider, dass die auf die Fälligkeiten bedingten risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsver-teilungen ein persistentes Verhalten aufweisen. Dies lässt zwei Schlussfolgerungen zu: 1) Die Marktteilnehmer sehen das Risiko eines Crash nicht nur kurzfristig, sondern auch auf lange Sicht und 2) Händler, die Put Optionen gegen eben diese Crashs ver-kaufen, stufen das Risiko einer unvollständigen Absicherung (Delta-Hedging) ihrer Positionen ebenfalls auf lange Sicht als bedeutend ein (vgl. auch Abschnitt 3.3).

Diese Beobachtung stellt alle Bewertungsmodelle in Frage, bei denen der zentrale Grenzwertsatz zur Modellierung von Preisveränderungen zum Tragen kommt. An-ders ausgedrückt sind dies die Modelle mit endlichen Momenten (z. B. Schiefe oder Kurtosis) und stationären Zuwächsen. In dieser Arbeit betriDt das alle Modelle außer dem FMLS–SV. Die Sprungmodelle können nur kurzfristig den Smirk erklären. Mo-delle mit einem persistenten stochastischen Volatilitätsprozess können durch Aufgabe von stationären Zuwächsen eine gewisse Fristenstruktur abbilden, obwohl auch hier ab einem gewissen Zeitpunkt der zentrale Grenzwertsatz greift.

Carr/Wu [2003] Lnden eine Möglichkeit Preisveränderungen mit Hilfe der ?-stabilen Verteilung zu modellieren und zur Bewertung von Optionen einzusetzen. Bei der stabilen Verteilung existieren nur die Renditemomente, die größer als ? sind (für eine Charakterisierung von stabilen Verteilungen siehe Anhang A.3). Somit gilt der zentrale Grenzwertsatz nicht mehr. Weiter zeigen sie, dass unter diesen Vorausset-zungen eine Lösung existiert, unter der der abgezinste Preisprozess ein Martingale ist.

Bei der Aktienkursdynamik handelt es sich um einen puren Sprungprozess mit unendlicher Aktivität d d $ d`, . (4.10)

`, bezeichnet einen ?-stabilen Prozess mit Mittelwert 0, Dispersion 01 , Tail Index ? 0,2 und Skewness Index 1,1.

Dem Modell liegt eine ?-stabile Verteilung zu Grunde, wodurch bei ? 2 die Varianz unendlich ist. Mit 1 werden aber endliche Preismomente ermöglicht (daher auch der BegriD Finite Moment Log Stable, FMLS). Diese sind notwendig für die Existenz eines Martingalemaßes und somit endliche Optionspreise Lnden zu kön-nen.

Für 1 (maximum negative skewness) nimmt das rechte Ende der Verteilung exponentiell ab, während das linke Ende dick bleibt und einem Potenzgesetz folgt. Ein Prozess dieser Form wird auch one-sided ?-stable process genannt (siehe Kyprianou/Loeffen [2005, S. 6]. Für 1 wäre das rechte Ende zu dick und


erwartete Rendite sowie Optionspreise wären unendlich. Durch diese SpeziLkation wird dieses Modell von alternativen ?-stabilen Optionspreismodellen abgegrenzt (vgl. z. B. Cartea/Howison [2007]).

Je mehr sich ? von 2 entfernt, desto dicker werden die Enden der Renditevertei-lung (Fat Tails) und desto spitzgipJiger wird die Mitte der Verteilung (Leptokurtosis). gibt die Weite der Verteilung an und entspricht somit quasi der Volatilität. Bei ? 2 ergibt sich die Normalverteilung und das Black–Scholes-Modell als Spezialfall.

Die charakteristische Funktion unter : ist gegeben durch f^Ch exp ih#k ihsec

?2 , (4.11)

mit einem Konvexitätskorrekturfaktor #k sec' .

Abbildung 17: Implizite Volatilitäten und zugehörige Zustandspreisdichte FMLS. Zu Grunde lie-gende Daten: 100, 0,05, 0,5, ? 1,8, 0,11. Rot: FMLS, blau: Black–Scholes.

Gut erkennbar ist der dünne rechte Rand der Verteilung und die wesentlich größere Wahrscheinlichkeit für Kursstürze im Vergleich zur entsprechenden Black–Scholes Wahrscheinlichkeit. Bemerkenswert ist bei diesem Modell, dass es lediglich einen Parameter mehr als das Modell von Black–Scholes hat. Insbesondere Aktienindexoptionen lassen sich hiermit realitätsnah bewerten.

4.4 Merton Jump Di0usion – Stochastic Volatility

Wie oben angerissen wird, ist der kurzfristige Smile nicht allein durch eine veränderliche Volatilität akkurat beschrieben. Durch Kombination von stochastischer Volatilität mit dem Ansatz von Merton [1976] lässt sich ein sehr Jexibler Bewertungsrahmen schaDen, durch den die beiden wesentlichen Kritikpunkte am Black–Scholes Modell gemildert werden können. Dieses Vorgehen wird erstmals von Bates [1996] beschrieben, weshalb es auch Bates Modell genannt wird.

Genau genommen ergibt sich diese SpeziLkation durch die Verbindung des steti-gen Heston Modells mit dem Sprungpart des Merton Jump DiDusion Prozesses. Als Preisdynamik ergibt sich unter :

0%

10%

20%

30%

40%

50%

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

Imp

lizi

te V

ola

tili

tät

Basispreis K

0

1

2

3

4

-40% -20% 0% 20% 40%

PD

F (

s)

s=ln(ST/S0)


d d $ ~d%C $ da , (4.12)

d~ ~d $ ~d% . (4.13)

Die beiden Prozesse korrelieren wieder über d *d%Cd% miteinander. Die charakteristische Funktion für e bestimmt sich aus dem Produkt der jeweiligen cha-rakteristischen Funktionen fvsCh exp , h $ U, h~

× expbihSnypo/' 1T $ bSlmnmopo/' 1T, fG|IJQh · fvmwxh. (4.14)

Die Bedeutung der sieben Parameter sowie der instantanen Varianz, sowie , h und U, h entsprechen obigen DeLnitionen. Um ein Martingale zu sein, ist auch bei diesem Modell eine Konvexitätskorrektur notwendig. Sie ist in (4.14) enthalten und tritt somit nicht explizit in Erscheinung.

Abbildung 18: Implizite Volatilitäten und zugehörige Zustandspreisdichte MJD–SV. Zu Grunde liegende Daten: 100, 0,05, 0,5, 2, 0,01, 0, 0,1, b 1,21, c 0,05, d 0,06 und ~ 0,01. Rot: MJD–SV, blau: Black–Scholes.

Diese Konzeption des Merton Jump DiDusion – Stochastic Volatility (MJD–SV) ver-eint die Vorteile der beiden SpeziLkationen und beseitigt die skizzierten Nachteile. Ein anderes Problem entspringt der Tatsache, dass dieses Modell aufgrund der vielen Parameter nur schwierig zu handhaben ist. Mehr hierzu in Kapitel 5.

4.5 Finite Moment Log Stable – Stochastic Volatility

Carr/Wu [2003] skizieren im Anschluss ihrer empirischen Überprüfung eine Möglichkeit, ihr FMLS Modell mit der Konzeption einer stochastischen Volatilität zu verknüpfen (FMLS–SV). Mit ? 2 ist die Varianz unendlich, mit gibt es jedoch

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

Imp

lizi

te V

ola

tili

tät

Basispreis K

0

1

2

3

4

5

-40% -20% 0% 20% 40%

PD

F (

s)

s=ln(ST/S0)


einen Skalenparameter, der die Weite der Verteilung angibt. Es ist auf diese Weise möglich, anstelle der nicht existenten Volatilität, die Weite der Verteilung stochastisch zu modellieren. Dazu schlagen sie vor, durch eine aus dem Heston Modell bekannte QuadratwurzeldiDusion zeitveränderlich zu gestalten. Dies erfolgt bei Carr/Wu [2003] unter dem Modellierungsrahmen einer zeitverschobenen Brown-schen Bewegung27. Hier wird eine alternative Herangehensweise vorgeschlagen und direkt mittels eines Quadratwurzelprozesses stochastisch modelliert. Es ergibt sich hierbei als Spezialfall der Konzeption von Carr und Wu28.

Den Ausführungen von Carr/Wu [2003] folgend wird der Dispersionsparameter des FMLS Renditeprozesses durch eine zeitveränderliche instantane Varianz ~ ersetzt d d $ ~1 d`,1, (4.15)

d~ ~d $ ~d% . (4.16)

Der Prozess der Aktienkursdynamik `,1 korreliert mit der VolatilitätsdiDusion über d *d`,1d% miteinander. Unter der Kenntnis, dass die charakteristische Funktion voneinander unabhängiger Zufallsvariablen durch Multiplikation der invol-vierten charakteristischen Funktionen ermittelt werden kann, ergibt sich folgende Darstellung f^CCh exp , h $ U, h~

exp ihsec' ihsec

' , fG|IJQh · f^Ch.

(4.17)

Die DeLnitionen der fünf Parameter sowie der instantanen Varianz sind wie oben gegeben.

27 Bei einer zeitverschobenen Modellierung von Zufallsprozessen (stochastic time change) wird die

Kalenderzeit durch die Handelszeit ersetzt. Wenn viele Informationen auf dem Markt eintreDen, wird diese Handelszeit entsprechend schnell vergehen und mit einer erhöhten Volatilität einherge-hen. Aus der instantanen Varianz ~ wird eine instantane Handelsaktivität. Diese Möglichkeit der Verwendung einer „stochastischen Uhr“ führt zu einer ganzen Reihe von Modellen, wie z. B. Va-rianz Gamma, Normal Inverse Gaussian und viele andere, die ebenfalls erfolgreich zur Modellie-rung von Wertpapieren inklusive Optionen eingesetzt werden. Für einen umfassenden Grundlagenartikel siehe Carr/Wu [2004].

28 Diese Schlussfolgerung beruht auf der Tatsache, dass das Modell von Heston als Brownsche Bewe-gung betrachtet werden kann, bei der die Handelsaktivität als Quadratwurzelprozess speziLziert wird (siehe Carr/Wu [2004, S. 118]).


Abbildung 19: Implizite Volatilitäten und zugehörige Zustandspreisdichte FMLS–SV. Zu Grunde liegende Daten: 100, 0,05, 0,5, 1, 0,03, 1, 0,1, ? 1,8 und ~ 0,01. Rot: FMLS–SV, blau: Black–Scholes.

Der Verlauf des Volatility Smirk in Abbildung 19 entspricht aufgrund der ähnlichen SpeziLkation dem einfachen FMLS Modell. Nur ist der Skalenparameter in diesem Fall nicht mehr zeit-homogen sondern in der Lage auch eine Fristenstruktur zu reproduzieren.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

Imp

lizi

te V

ola

tili

tät

Basispreis K

0

1

2

3

4

-40% -20% 0% 20% 40%

PD

F (

s)

s=ln(ST/S0)

5 Simulationsstudie für DAX Optionen

Die Analyse der Bewertungsperformance von alternativen Optionspreismodellen basiert in dieser Studie auf liquiden DAX Optionen. Die Prognosequalität der verschiedenen SpeziLkationen wird einmal In-Sample (ex post) sowie Out-of-the-Sample (ex ante) überprüft. Bei der In-Sample Analyse werden die Variablen der Mo-delle aus den Marktdaten des Tages geschätzt und die Güte der Anpassung durch den Vergleich der theoretischen Werte mit den realen Marktpreisen bestimmt. Die Out-of-the-Sample Performance wird durch Verwendung der ermittelten Modellparameter vom Vortag 1 auf den heutigen Tag ermittelt. Durch die ex ante Analyse wird die Erklärungskraft der Modelle für den folgenden Handelstag überprüft. Die Qualität der Bewertungsperformance wird einmal relativ als durch-schnittliche prozentuale Abweichung und auch als durchschnittliche absolute Abwei-chung in € dargestellt. Vor der Präsentation der Ergebnisse werden die Inputfaktoren und ihre Aufbereitung für die empirische Überprüfung dargelegt.

5.1 Datenbasis und Aufbereitung

Die Datenbasis für die vorliegende Studie umfasst alle Settlementdaten der DAX Optionen im Untersuchungszeitraum vom 7. Dezember 2007 bis zum 24. Januar 2008. Dies entspricht 30 Handelstagen. Die börsentäglich von der Eurex ermittelten Settlementpreise bilden die Basis für die Abrechnung der Kontrakte und spiegeln das Marktgeschehen an dem betrachteten Tag wider (siehe Eurex [2008b]). Ein Vorteil bei Verwendung dieser Preise ist die Zeitgleichheit der Daten, hiermit lassen sich et-waige Verzerrungen durch unterschiedliche Beobachtungszeitpunkte vermeiden.

Als Annäherung für den risikolosen Zins werden die jeweiligen Tageswerte des EURIBOR verwendet (für 1 Woche und 1, 3, 6, 9 sowie 12 Monaten Laufzeit). Für die längeren Laufzeiten dienen die Tageswerte der REX 2 Jahre, sowie REX 3 Jahre als sicherer Zins. Um sicherzustellen, dass die Zinssätze exakt der Restlaufzeit der Optio-nen gleichen, werden die entsprechenden Zinssätze linear interpoliert. Den Ausführungen in Abschnitt 3.3 folgend, werden die benötigten Kassa-Indexstände für den DAX implizit aus den zeitgleichen Futures auf den DAX (FDAX) für jeden Tag und jede Restlaufzeit ermittelt29.

Bei Inspektion der Querschnittsdaten von DAX Optionen zeigt sich, dass die Handelsaktivität insbesondere bei kürzeren Restlaufzeiten sehr hoch ist. Bei längeren Laufzeiten von über zwei Jahren Lnden nur noch sporadisch Umsätze statt. Aus die-

29 Ein ähnliches Verfahren verwendet die Deutsche Börse AG bei der Berechnung des VDAX. Auch

hier werden als sichere Zinssätze für längere Laufzeiten die Renditen aus den REX Kursindizes ver-wendet. Die Verwendung von implizit ermittelten Spotpreisen scheint gängige Praxis für Untersu-chungen in Bezug auf Terminmärkte zu sein (vgl. z. B. Jackwerth/Rubinstein [2001]).

Simulationsstudie für DAX Optionen | 48

sen Gründen Lnden nur Optionen bis Fälligkeit Dezember 2009 Berücksichtigung. Weiter werden Optionen mit einer Restlaufzeit von unter sechs Tagen aus dem Daten-satz entfernt. Damit wird vermieden, dass ungewöhnliche Preisschwankungen auf-grund von Positionsschließungen kurz vor Fälligkeit die Ergebnisse zu sehr beeinJussen (vgl. z. B. Schmitt et Al [1997]). Zusätzlich werden die Optionen geLltert, die sehr weit aus dem Geld sind (|| ln ⁄ 0.1), da diese nicht li-quide gehandelt werden. Ausgeschlossen werden zusätzlich Optionen mit einem Preis von unter € 0,50 (entspricht € 5 Kontraktwert*minimale Preisveränderung von 0,1 Indexpunkten).

5.2 Methodik und Kalibrierung

Wenn die Parameter der Modelle bekannt sind, lassen sich damit die Kursdynamik modellieren und Optionsprämien bestimmen. In diesem Kapitel verhält es sich entge-gengesetzt. Bei bekannten Marktdaten werden die latenten Variablen der vorgestellten Modelle gesucht, welche die beobachteten Preise am besten wiedergeben können. In Bezug auf eine arbitragefreie Bewertung von Optionen sollte das gesuchte Preismaß : mit den quotierten Optionspreisen möglichst gut übereinstimmen. Eine ad hoc Wahl eines solchen Martingalemaßes ist hierbei nicht zielführend. Es handelt sich vielmehr um ein inverses Problem, bei dem die gesuchten Parameter so gewählt wer-den, dass die sich daraus ergebenden Werte die Marktpreise reproduzieren können. Im Prinzip kann man dieses Vorgehen als Erweiterung der impliziten Bestimmung von Black–Scholes Volatilitäten auf einen Fall mit mehreren Variablen betrachten. Dieses Vorgehen wird als Kalibrierung bezeichnet.

Interessanterweise wird vielfach auf die Wichtigkeit von gut kalibrierten Model-len hingewiesen, zur eigentlichen Verfahrensweise um ökonomisch plausible Parame-ter zu erhalten, gibt es jedoch relativ wenig Literatur. Dabei ist eine robuste Kalibrie-rung ähnlich wichtig wie die Bewertung von Optionen selbst, wie Lindström et Al [2006] betonen. Umfassende Darstellungen in diesem Kontext Lnden sich auch bei Cont/Tankov [2004, Kapitel 13] und Galluccio/Le Cam

[2005]. Die folgenden Ausführungen beziehen sich im Wesentlichen auf diese Arbeiten.

Bei der Kalibrierung handelt es sich um ein sehr rechenintensives Verfahren, bei dem viele Optionspreise auf einmal bestimmt werden müssen. Da für die hier behan-delten Modelle in der Regel keine geschlossenen Lösungen existieren, oder diese sehr aufwändig sind, ist ein Algorithmus wünschenswert, welcher eine schnelle Bestim-mung von Optionspreisen ermöglicht. Aufgrund der SpeziLkationen der Modelle lassen sich jedoch die charakteristischen Funktionen der log Renditen explizit bestimmen. Durch eine inverse Fouriertransformation dieser charakteristischen Funktionen erhält man die jeweiligen Randwahrscheinlichkeiten der Preisprozesse.


Wie in Abschnitt 2.2 erörtert wird, lassen sich Optionspreise als transformierte Preisprozesse auDassen. Dieser Logik folgend und unter Beachtung der Endbedin-gung aus Gleichung (2.1) bzw. (2.2) reduziert sich das Bewertungsproblem auf die Lösung eines eindimensionalen Integrals. Eine explizite Darstellung dieser Vorgehensweise und der Evaluierung des Integrals erfolgt in Anhang C.1.

Die Standardmethode zur Ermittlung der gesuchten Werte ist die Methode der kleinsten Quadrate. Hierbei wird der Vektor von Parametern der jeweiligen Mo-delle Θ gesucht, welcher die Summe der quadrierten Fehler (sum of squared errors) zwischen theoretischem und realem Preis minimiert eeΘ min¡ P ¢H£\H¤¥ \HJ|¦¦Θ£' $ !§¨©ªE

HR1 Θ, Θ1. (5.1)

Diese Beziehung wird auch als objektive Funktion oder Verlustfunktion bezeichnet. \H¤¥ steht für den Marktpreis der Option \ und \HJ|¦¦ entspricht dem Modell-preis in Abhängigkeit der jeweiligen Modellparameter Θ. !§¨©ªΘ, Θ1 ist ein Strafterm, der der Kalibrierung zusätzliche Stabilität verleihen kann und ¢H können Gewichtungsfaktoren sein, die den einzelnen Beobachtungen ein vorher deLniertes Gewicht geben.

Einen bedeutenden Aspekt bei der Wahl geeigneter Gewichtungsfaktoren stellt der hohe Zeitwert von Optionen bei langen Restlaufzeiten dar. Diese würden so gege-nüber Optionen kürzerer Laufzeiten zu stark gewichtet. Detlefsen/Härdle [2006] wählen Gewichtungsfaktoren, bei denen alle Laufzeiten den gleichen EinJuss auf die objektive Funktion haben. Hierbei bekommt jede Laufzeit ein Gewicht ¢H 1 §⁄ , wobei § die Anzahl der Laufzeiten bis zur betrachteten Laufzeit angibt. Um diese Werte in einen passenden zeitlichen Kontext zu bringen, wird die individuelle Restlaufzeit mit berücksichtigt. Es ergibt sich

P H¢H∑ ¢HQHR1

QHR1 , (5.2)

welches sich zu eins addiert. Huang/Wu [2004] betonen ebenfalls die Bedeutung geeigneter Gewichtungsfaktoren zur Ermittlung robuster Ergebnisse und wählen ein ähnliches Verfahren, um die verschiedenen Fälligkeiten vergleichbar zu gestalten. !§¨©ªΘ, Θ1 |Θ Θ1|'. (5.3)

Eine Möglichkeit das Kalibrierungsproblem zu regularisieren bietet eine Darstellung wie in (5.3). Die zu ermittelnden Werte werden hierbei über eine quadratische Abwei-chung an die Werte des Vortages bedingt. Die Verwendung eines Strafterms dieser


Art ist einfach implementierbar und hat den Vorteil, dass sich die Modellparameter im Zeitablauf konstanter verhalten. Die Verwendung der ermittelten Parameter des Vortages Θ¬1 ist nicht problematisch, da die Modellparameter deLnitionsgemäß konstant und niveauunabhängig sind. Andererseits ist die Verwendung bei der am Markt nicht beobachtbaren instantanen Varianz ~ bzw. des Vortages nicht mit den Modellannahmen vereinbar. Dies entspräche der Ermittlung eines Optionspreises heute mit dem zu Grunde liegenden Aktienkurs von gestern (siehe z. B. Nagel [2001, S. 151]) Die Varianz wird unter Verwendung der Regularisierung weiterhin als freier Parameter betrachtet.

Wie Carr/Wu [2003] ausführen ist es ein Industriestandard ausschließlich OTM Optionen für die Kalibrierung zu verwenden. \ entspricht demnach einem Call wenn und einem Put, wenn . Begründet wird dieses Vorgehen dadurch, dass OTM Optionen wesentlich liquider und modellsensitiver sind, als ihre ITM Äquiva-lente.

Die Methode der gewichteten kleinsten Quadrate wird einmal mit dem Strafterm (penalised weighted least squares, PWLS) und einmal ohne (weighted least squares, WLS) zur Ermittlung der latenten Parameter verwendet. Diese ist äquivalent zur Me-thode der maximum likelihood estimation (MLE), hierbei werden die Parameter so-lange variiert, bis die Wahrscheinlichkeit, dass die gesuchten Werte den echten Wer-ten entsprechen, am höchsten ist (vgl. bspw. Carr/Wu [2003]).

Die sich ergebenden Implikationen durch die beiden unterschiedlichen Verfahren zur impliziten Bestimmung des risikoneutralen Maßes : werden im Folgenden diskutiert.

Um die risikoneutrale Dynamik der Modelle zu ermitteln, werden diese simultan über alle Strikes und Laufzeiten kalibriert. Dies entspricht der bei Bakshi et Al [1997] gewählten Vorgehensweise. Alternativ ließen sich die Modelle auch je für eine Restlaufzeit anpassen, wie dies z. B. bei Bates [1996] gemacht wird. Bei dieser Herangehensweise wird zu bedenken gegeben, dass nur die Modelle von Heston, MJD–SV und FMLS–SV in der Lage sind eine Fristenstruktur abzubilden. Bei MJD und FMLS sind die Volatilitätsparameter zeit-homogen, d. h. sie können keine zeitliche Abhängigkeitsstruktur modellieren. Bei der Interpretation der Ergebnisse werden diese Implikationen entsprechend berücksichtigt.

Je nach Anzahl und Interdependenzen der Parameter konvergiert die Kalibrie-rung über die Minimierung der objektiven Funktion (5.1) nicht immer zu einem globalen Minimum. Es handelt sich in der Regel um ein nicht-konvexes Optimierungsproblem mit nicht-linearen Abhängigkeiten. Es ist möglich eine exakt gleiche Anpassungsgüte mit unterschiedlichen Kombinationen von Parametern zu erhalten. Das bedeutet, dass man zum einen auf einen robusten Optimierungsalgorithmus angewiesen ist und zum anderen auch die ermittelten Werte immer kritisch zu hinterfragen hat, ob sie auch ökonomisch plausibel sind. In dieser Untersuchung Lndet der BFGS Algorithmus Verwendung. Die Parameter der


Modelle unterliegen diversen Beschränkungen, was ihren Wertebereich angeht, so darf bspw. die Volatilität nicht negativ werden, der Korrelationskoe]zient muss zwi-schen -1 und 1 liegen etc. Um dies zu berücksichtigen werden diese Nebenbedingun-gen derart transformiert, dass der Optimierungsalgorithmus im gesamten Wertebe-reich der reellen Zahlen suchen kann (zum BFGS Algorithmus und der Variablen-transformation siehe Anhang C.1).

Da 30 Tage an Querschnittsdaten zur Verfügung stehen, wird eine Zeitreihe mit kalibrierten Variablen resultieren. Das ermöglicht einerseits zu beobachten, wie stabil die Parameter im Zeitablauf sind und andererseits, wie sich die Regularisierung durch einen Strafterm auf die Stabilität auswirken kann. Robuste Parameter sind für einen Risikomanager oder Optionshändler von immenser Bedeutung, da er hiermit seine Hedge-Ratios bestimmen wird. Auch illiquide Optionen, Over the Counter (OTC) Optionen und auch Exotische Optionen werden mithilfe von Parametern bewertet, die auf liquiden Plain Vanillas basieren. Die jeweiligen Eigenheiten der verschiedenen SpeziLkationen werden kurz skizziert. Merton Jump Di0usion

Dem einfachen DiDusionsprozess aus (2.5) werden drei weitere Parameter hinzuge-fügt. Dieser zusammengesetzte Poissonprozess erklärt den Smirk von kurzlebigen Optionen recht gut. Alle Parameter lassen sich reibungslos ermitteln und sind ökono-misch vertretbar. Eine Eigenschaft des Merton Modell ist die zunehmende Fristen-struktur. Das lässt sich darauf zurückführen, dass Sprünge allgemein das Volatilitätsniveau anheben (siehe auch Sepp [2003]). Im Hinblick auf die länger laufenden Optionen zeigt sich somit, dass das Modell nicht in der Lage ist eine in-verse Fristenstruktur abzubilden. Heston

Bei dem Modell von Heston mit fünf Parametern ergeben sich bei der Kalibrierung keine nennenswerten Probleme. Alle Parameter sind ökonomisch nachvollziehbar. Wenn man nur den kurzfristigen Smile abbilden möchte, ergeben sich unrealistisch hohe Werte für die Mean Reversion . Diese mangelnde Variabilität lässt sich auf die stetige Konzeption des Modells zurückführen. Für die längerfristigen Laufzeiten erge-ben sich sehr gute Übereinstimmungen mit den Marktpreisen. Wie es für Aktienindi-zes üblich ist, kann die Beobachtung einer ausgeprägten negativen Korrelation auch hier bestätigt werden. Finite Moment Log Stable

Durch die ganzheitliche Konzeption mit nur zwei Parametern verläuft die Kalibrie-rung reibungslos. Der Smirk wird modellbedingt gut abgebildet. DeLzite ergeben sich in der Zeitdimension. Dies resultiert aus der Eigenschaft von Lévy Prozessen, dass die


Parameter und somit auch der Volatilitätsfaktor zeit-homogen sind. Das FMLS Mo-dell zeichnet sich als sehr ganzheitliche Konzeption aus, da nur ein zusätzlicher Para-meter im Gegensatz zum Black–Scholes Modell hinzukommt. Merton Jump Di0usion – Stochastic Volatility

Wie oben skizziert wird kann sowohl eine stochastische Volatilität, als auch die Integ-ration von Sprüngen einen Smile erzeugen. Bei dem MJD–SV Modell sind diese bei-den Aspekte kombiniert, d. h. die beiden EDekte überlagern sich. Mit der Kenntnis, dass der kurzfristige Smirk auf Sprünge zurückzuführen ist und der langfristige Smile auf die EDekte der stochastischen Volatilität, lässt sich das multidimensionale Optimierungsproblem mit acht Parametern in Teilaufgaben zerlegen. Aus der SpeziLkation des Modells ist ersichtlich, dass der zusammengesetzte Poissonprozess vom Volatilitätsprozess unabhängig ist. Damit besteht die Möglichkeit die Parameter der VolatilitätsdiDusion zu Lxieren und die Sprungintensität an die kurzlaufenden Optionen anzupassen. Im nächsten Schritt werden diese wiederum Lxiert und die verbleibenden Parameter an die verbleibenden Laufzeiten kalibriert. Wie Galluccio/Le Cam [2005] darlegen, bewegen sich optimale Werte der Mean Rever-sion bei MJD–SV Modellen stets im Bereich von [0,4; 0,7]. Bei dieser Studie erweist sich 0,5 als guter Startwert. Dieser Parameter wird zu Beginn des beschriebenen Prozederes auf diesen Wert Lxiert und erst später an die Fristenstruktur angepasst. Dadurch erklärt sich auch, dass die Mean Reversion im gesamten Untersuchungszeit-raum nahe 0,5 liegt. Allgemein geht dieses Vorgehen meist mit einer minimal verrin-gerten Anpassungsgüte einher, jedoch sinkt die Wahrscheinlichkeit in einem lokalen Minimum zu enden, führt zu realistischen Parametern und ist zudem praktikabel. Finite Moment Log Stable – Stochastic Volatility

Die Motivation diese SpeziLkation zu untersuchen, folgt aus der Idee dem zeit-homo-genen Volatilitätsparameter des FMLS Modells mehr Flexibilität zu erlauben. Für die in Abschnitt 4.5 entwickelte SpeziLkation gibt es nach meinem Kenntnisstand keine vergleichbaren Arbeiten für den deutschen Markt.

Dieses Modell lässt sich von der Komplexität zwischen dem Heston und MJD–SV Modell einordnen. Es zeigt sich, dass bei dieser SpeziLkation der Mean Reversion Parameter an einigen Tagen ungewöhnliche Werte anzeigt. Folgt man der Argumentation von Weron/Wystup [2005, S. 172] lässt sich der EinJuss der Mean Reversion durch eine höhere Volatilität der Varianz kompensieren, so dass man Lxieren kann und nur die restlichen Parameter kalibriert. Dieses Vorgehen erweist sich als recht robust. Im Falle der Regularisierung ist dieses Vorgehen nicht notwen-dig, durch die Bedingung an den Vortag kann sich dieser Parameter nicht weit vom Vortageswert entfernen. Die Aufgabe von stationären Zuwächsen erlaubt die Anpas-sung an verschiedene Volatilitätsniveaus in der Zeitdimension. Daraus ergibt sich


eine deutlich bessere Anpassung an die Marktdaten in Bezug auf die verschiedenen Strikes und Fälligkeiten. Allgemein zeigt sich, dass bei der VolatilitätsdiDusion drei Parameter von Bedeutung sind. Das langfristige Mittel der Volatilität beeinJusst das ATM Niveau, die Konvexität des Smile und der Korrelationskoe]zient den Skew. Bei Weron/Wystup [2005] wird eine detailierte Darstellung der einzelnen Parameter geboten.

Bei den SprungdiDusionen besteht ein direkter Zusammenhang zwischen der Volatilität des DiDusionsprozesses und der Sprungintensität. Insbesondere zum Ende des Untersuchungszeitraums erhöht sich die Sprungintensität vom 18. Januar auf den 21. Januar 2008 drastisch von 0,4 Sprüngen im Jahr auf über 2 und gleichzeitig redu-ziert sich die Volatilität von knapp 14 % auf 5 %, an einem Tag! Bei keinem anderen Modell sind die Auswirkungen des Crash so deutlich wie beim MJD Modell. Messung der Bewertungsperformance

Um die Anpassungsgüte der theoretisch ermittelten Preise gegenüber den Marktprei-sen beurteilen zu können, bieten sich verschiedene Fehlermaße an (vgl. z. B. Daal/Yu [2006] oder Schoutens [2003, S. 7]). Gängig in diesem Zusammenhang sind Mean Average Error (MAE) ®¯ 1O P |¨° ±0©Θ|,JxHJQI (5.4)

Mean Average Relative Error (MARE) ®²¯ 1O P ³¨° ±0©Θ¨° ³JxHJQI . (5.5)

Mit diesen Bewertungsfehlern wird die Qualität der Anpassung gemessen. MAE zeigt an, wie hoch die durchschnittliche Fehlbewertung in € zum Marktpreis pro Prämie ist. MARE bezieht hierbei die Höhe der Optionsprämien mit ein und gibt die durch-schnittliche prozentuale Abweichung pro Prämie an.

5.3 In-Sample Performance

Wenn ein Modell an einen Querschnittsdatensatz von Optionen angepasst wird, sollte man davon ausgehen, dass die Anpassung an diesem Tag sehr gut sein wird. Diese Annahme in diesem Abschnitt überprüft. Hierbei werden die Modellparameter ein-


mal mit und einmal ohne Strafterm ermittelt. Nur bei dem MJD–SV wird aufgrund des mehrstuLgen Kalibrierungsprozesses auf die Regularisierung verzichtet. In dem Untersuchungszeitraum gab es marktweite Kursbewegungen, die so heftig waren, dass der DAX von einem Tag auf den anderen so viele Punkte verloren hat, wie seit dem 11. September 2001 nicht mehr. Bei der Präsentation der Ergebnisse werden aus die-sem Grund die Medianwerte mit angegeben, durch den Crash wird die einfache Mittelwertbildung zum Teil empLndlich verzerrt. Auch sollten die ermittelten Werte im Kontext der Anzahl von Freiheitsgraden der jeweiligen Modelle betrachtet wer-den. Ein Modell mit vielen Parametern wird eher in der Lage sein, die Marktgegeben-heiten wesentlich besser abzubilden, als es ein Modell mit wenigen Parametern ver-mag.

In Tabelle 2 werden die Ergebnisse der In-Sample Analyse zusammengefasst. Zu-sätzlich sind in Abbildung 22 die hierbei ermittelten Werte im Zeitablauf illustriert. Insgesamt zeigt sich, dass sich in den ersten 25 Tagen des Untersuchungszeitraums keine nennenswerten Variationen der Parameter ergeben. Diese Situation ändert sich abrupt vom 18.01.2008 auf den 21.01.2008. Hier zeigen sich bei allen Modellen zum Teil starke Änderungen bei den ermittelten Werten.

Am deutlichsten wird dies beim MJD Modell, die Sprungintensität b springt von 0,4 pro Jahr auf über 2. Während bei den anderen Modellen die Volatilität zunimmt, wird sie bei MJD durch die Sprungkomponente scheinbar überkompensiert. Zusätz-lich mit dem Volatilitätsniveau steigen bei den SV Modellen die Werte für die Mean Reversion und in ähnlichem Maße. Dies sind die beiden Werte, die am stärksten schwanken. Abgelesen werden kann dies an der mit angegeben Standardabweichung der Variablen.

Bei dem FMLS–SV stellt sich die Situation etwas anders dar. An dem zeithomoge-nen Modell FMLS erkennt man, dass die Parameter für die Volatilität relativ stabil verlaufen. In Erweiterung als zeit-inhomogenes Modell erklärt sich somit für das FMLS–SV, dass die Volatilität der Varianz nicht so stark wie bei den diDusionsbasierten Modellen variieren muss, um die neuen Marktumstände abzubil-den. Beim FMLS–SV zeigt jedoch eine höhere Variabilität an. Eine interessante Beobachtung ist die absolut feste negative Korrelation von -1 für den gesamten Zeitraum.

Das MJD–SV zeigt im Vergleich zu den anderen Modellen überall eine geringere Schwankungsanfälligkeit. Vermutlich lässt sich dies auf hohe Zahl der Freiheitsgrade und die oben beschriebenen Interdependenzen der Sprung- mit den DiDusionsvariablen zurückführen. So können sich gegenläuLge EDekte teilweise kom-pensieren. Eine weitere AuDälligkeit zeigt sich bei den Bewertungsfehlern im Zeitverlauf. Die Sprungmodelle MJD und FMLS verlaufen bis zu dem Crash genau entgegengesetzt den Bewertungsfehlern der DiDusionsmodelle. Irgendwie dazwischen ist der Pfad für das FMLS–SV einzuordnen. Augenfällig ist zudem die inverse Beziehung der absoluten € Abstände zu den Marktpreisen mit den relativen.


Tabelle 2: In-Sample geschätzte Parameter, ohne Regularisierung (WLS). In der jeweils ersten Zeile sind die Mittelwerte aus den 30 untersuchten Handelstagen angegeben. Darunter wird zusätzlich der Median mit angegeben. In Klammern sind die Standardabweichungen der Parameter eingetragen. Bei der instantanen Varianz ϑ0 handelt es eigentlich um eine Zustandsvariable und keinen Modellparame-ter, der Vollständigkeit halber werden die Werte mit angegeben.

Parameter MJD Heston FMLS MJD–SV FMLS–SV

Tail Index α – – 1,5721 – 1,4063

– – 1,5506 – 1,4149

– – (0,0774) – (0,0486)

Volatilität σ 0,1186 – 0,1254 – –

0,1351 – 0,1209 – –

(0,0431) – (0,0162) – –

Sprung λ 0,4859 – – 0,3670 –

Parameter 0,2447 – – 0,3607 –

(0,6204) – – (0,1319) –

ω -0,3390 – – -0,1132 –

-0,3619 – – -0,0669 –

(0,0772) – – (0,0821) –

η 0,1903 – – 0,1847 –

0,2044 – – 0,1700 –

(0,0544) – – (0,0601) –

Stochastische κ – 1,9555 – 0,5003 3,6739

Volatilität – 1,5865 – 0,5004 3,5362

– (0,7789) – (0,0010) (1,0247)

θ – 0,0658 – 0,0685 0,0037

– 0,0658 – 0,0769 0,0029

– (0,0028) – (0,0175) (0,0041)

σϑ – 0,6975 – 0,3720 0,0974

– 0,5749 – 0,4035 0,1013

– (0,3324) – (0,1058) (0,0129)

ρ – -0,7733 – -0,8416 -1,0000

– -0,7893 – -0,8509 -1,0000

– (0,0823) – (0,0916) (0,0000)

Instantane ϑ0 – 0,0507 – 0,0259 0,0230

Varianz

– 0,0407 – 0,0262 0,0137

– (0,0322) – (0,0045) (0,0253)


Abbildung 20: Geschätzte Parameter im Zeitablauf, ohne Regularisierung (WLS). Angegeben sind die 30 Handelstage vom 7. Dezember 2007 bis zum 24. Januar 2008. Jeweils an der rechten Skala abgetragen sind: MJD λ, Heston θ, ϑ0, FMLS σ, MJD–SV λ, σϑ, FMLS–SV θ, ϑ0 und σϑ.

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

-0,50

-0,40

-0,30

-0,20

-0,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0 5 10 15 20 25 30

sigma

eta

omega

lambda

MJD

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

0 5 10 15 20 25 30

kappa

rho

sigmaV

theta

v0

Heston

0,10

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0,16

0,17

0,18

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

1,90

0 5 10 15 20 25 30

alpha

sigma

FMLS


Abbildung 20: Geschätzte Parameter im Zeitablauf, ohne Regularisierung (WLS), Fortsetzung.

Während die absoluten Abstände bis zum Crash im Allgemeinen recht gering sind, zeichnen die prozentualen DiDerenzen ein diametrales Bild. Zu Beginn sind sie relativ hoch, fallen abrupt ab steigen wieder langsam bis zum Crash, wo sie auf niedrigeres Niveau abfallen. Die Mittel- und Medianwerte der Anpassungsgüten sind in Tabelle 4 aufgelistet. Insgesamt ist die Anpassung gemessen in € beim MJD–SV am besten, dicht gefolgt vom Heston Modell. Auch das FMLS–SV Modell schneidet recht gut ab. Anders stellt sich die Lage bei den relativen Abständen dar. Hier ist das Modell von Heston deutlich überlegen.

Dieselbe Prozedur wurde für die Modelle (außer MJD–SV) mit einem Strafterm wie in Gleichung (5.3) wiederholt (PWLS). Es wird hierbei geprüft, in wieweit ein solches Vorgehen sich auf die Stabilität der Variablen auswirkt. Die Ergebnisse wer-den in Tabelle 3 präsentiert. Im Großen und Ganzen ähneln sich die Resultate mit dem WLS Verfahren. Der EinJuss auf die beiden Lévy Modelle FMLS und MJD ist verschwindend gering und wird daher nicht weiter thematisiert. Bei den beiden regularisierten SV Modellen werden einige Punkte angesprochen. Die Variabilität von wird deutlich reduziert, bei FMLS–SV gar um die Hälfte. Das Niveau dieser Variablen im Untersuchungszeitraum ist hierbei bei dem Heston Modell leicht erhöht, während es bei dem FMLS–SV etwas niedriger liegt. GraLsch lässt sich das gut in Abbildung 21 erkennen. Insbesondere verläuft wesentlich ruhiger.

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7,00

-1,00

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-0,60

-0,40

-0,20

0,00

0,20

0,40

0,60

0 5 10 15 20 25 30

kappa

theta

rho

v0

omega

eta

sigmaV

lambda

MJD-SV

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

0 5 10 15 20 25 30

kappa

rho

alpha

theta

sigmaV

v0

FMLS-SV


Tabelle 3: In-Sample geschätzte Parameter, mit Regularisierung (PWLS). Aufbau wie in Tabelle 2.

Parameter MJD Heston FMLS FMLS–SV

Tail Index α – – 1,5799 1,3956

– – 1,5510 1,3940

– – (0,0831) (0,0475)

Volatilität σ 0,1211 – 0,1269 –

0,1351 – 0,1211 –

(0,0388) – (0,0175) –

Sprung λ 0,4326 – – –

Parameter 0,2487 – – –

(0,4756) – – –

ω -0,3419 – – –

-0,3598 – – –

(0,0674) – – –

η 0,1850 – – –

0,2041 – – –

(0,0634) – – –

Stochastische κ – 2,0753 – 2,8225

Volatilität – 1,9397 – 2,6430

– (0,5028) – (0,5514)

θ – 0,0653 – 0,0040

– 0,0643 – 0,0031

– (0,0043) – (0,0041)

σϑ – 0,7510 – 0,0951

– 0,7244 – 0,0982

– (0,2209) – (0,0122)

ρ – -0,7370 – -1,0000

– -0,7517 – -1,0000

– (0,0839) – (0,0000)

Instantane ϑ0 – 0,0493 – 0,0208

Varianz

– 0,0425 – 0,0137

– (0,0243) – (0,0201)

Die Auswirkung indes auf die Bewertungsperformance ist bei beiden Modellen unter-schiedlich. Bei dem Modell von Heston steigen absoluter und relativer Fehler. Dies erscheint auch logisch, da durch den Strafterm die ermittelten Parameter in der Nähe und nicht bei ihrem Minimum (in Bezug auf die Kalibrierung) liegen. Für das FMLS–SV zeigt sich das Gegenteil für die € Abstände. Ein Vergleich der Ergebnisse zwischen


regularisierten Werten (PWLS) und nicht restringierter Kalibrierung (WLS) zeigt somit ein uneinheitliches Bild.

Abbildung 21: Geschätzte Parameter im Zeitablauf, mit Regularisierung (PWLS). Angegeben sind die 30 Handelstage vom 7. Dezember 2007 bis zum 24. Januar 2008. Jeweils an der rechten Skala abgetragen sind: MJD λ, Heston θ, ϑ0, FMLS σ, FMLS–SV θ, ϑ0 und σϑ.

0,00

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2,50

-0,50

-0,40

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0,00

0,10

0,20

0,30

0 5 10 15 20 25 30

sigma

eta

omega

lambda

MJD

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

-1,00

-0,50

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0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

0 5 10 15 20 25 30

kappa

rho

sigmaV

theta

v0

Heston

0,10

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0,16

0,17

0,18

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

1,90

0 5 10 15 20 25 30

alpha

sigma

FMLS

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

0 5 10 15 20 25 30

kappa

rho

alpha

theta

sigmaV

v0

FMLS-SV


Tabelle 4: In-Sample Anpassungsgüte, ohne Regularisierung (WLS). In Klammern sind die Standardabweichungen (Std Abw) angegeben. Zusätzlich ist die Parameteranzahl der Modelle aufge-führt.

Fehlermaß MJD Heston FMLS MJD–SV FMLS–SV

Anzahl Parameter 4 5 2 8 6

MAE Mittelwert 13,38 3,84 13,45 3,60 5,11

in € Median 10,53 3,69 9,72 3,08 4,08

Std Abw (9,76) (1,04) (11,11) (2,22) (3,09)

Min 5,30 2,18 5,44 1,65 3,30

Max 44,67 6,07 48,85 12,21 16,05

MARE Mittelwert 16,38 % 5,08 % 19,46 % 10,12 % 11,83 %

in % Median 15,24 % 4,52 % 19,16 % 7,55 % 9,40 %

Std Abw (0,07) (0,02) (0,08) (0,08) (0,08)

Min 5,82 % 1,86 % 9,26 % 1,15 % 3,51 %

Max 33,46 % 10,18 % 40,68 % 27,45 % 33,96 %

Tabelle 5: In-Sample Anpassungsgüte, mit Regularisierung (PWLS). In Klammern sind die Standardabweichungen (Std Abw) angegeben.

Fehlermaß MJD Heston FMLS FMLS–SV

MAE Mittelwert 13,60 4,09 13,70 4,90

in € Median 10,65 3,92 9,87 4,05

Std Abw (9,74) (1,71) (11,23) (2,32)

Min 5,30 2,29 5,44 3,44

Max 44,63 9,36 48,85 12,36

MARE Mittelwert 16,07 % 5,47 % 19,17 % 11,44 %

in % Median 14,80 % 5,14 % 18,94 % 8,82 %

Std Abw (0,07) (0,02) (0,08) (0,08)

Min 5,82 % 2,07 % 9,26 % 3,45 %

Max 33,47 % 10,72 % 40,68 % 33,96 %


Abbildung 22: Bewertungsfehler im Zeitablauf, ohne Regularisierung (WLS). Angegeben sind die 30 Handelstage vom 7. Dezember 2007 bis zum 24. Januar 2008. Oben: Mittlere absolute Preisabwei-chung in € (MAE). An der rechten Skala abgetragen sind die Modelle: MJD und FMLS. Unten: Mittlere prozentuale Abweichung (MARE).

5.4 Out-of-the-Sample Performance

Die verschiedenen Anpassungstests über die Zeit geben eine Vorstellung über die statistischen Eigenschaften der Modelle und ihre Fähigkeit, die beobachteten Preise an dem betrachteten Tag abzubilden. Es zeigt sich, dass die direkte (WLS), als auch regularisierte Anpassung (PWLS) die Marktpreise in akzeptabler Weise wiedergeben können. Um die erklärende Kraft der Modelle für folgende Optionsprämien zu über-prüfen, wird ein einmal ermittelter Parametersatz Θ von Tag 1 für den kommen-den Tag verwendet. Die regularisierten Datensätze werden nur für das Modell von Heston sowie FMLS–SV verwendet. Wie sich bei der In-Sample Analyse zeigt, ändern sich die ermittelten Werte für die zeit-homogenen Modelle nur geringfügig. Somit

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MJD-SV

FMLS-SV

MJD

FMLS

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Mit

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Fe

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MJD

Heston

FMLS

MJD-SV

FMLS-SV

MARE


lässt sich kein nennenswerter EinJuss bei der ex ante Analyse erwarten und für das MJD–SV Modell wurde keine PWLS Schätzung vorgenommen. Dies könnte interes-sante Implikationen für die Out-of-the-Sample Analyse haben. Da die PWLS Werte stabiler über die Zeit sind, könnte man vermuten, dass die Out-of-the-Sample Anpas-sungsgüte in diesem Falle besser ist. Dies könnte bedeuten, dass die besseren Ergeb-nisse der WLS Ermittlung bei der In-Sample Analyse auf einem Over4tting beruhen. Damit sind zum Teil auf verrauschten Daten beruhende Messfehler gemeint.

Bei der Out-of-the-Sample Analyse werden die Preise mit den als konstant ange-nommenen Modellparametern des Vortages Θ1 und dem heutigen Wert für den latenten Prozess der instantanen Varianz des betrachteten Tages ~ ermittelt. Um die globale Anpassung der ermittelten Werte zu bestimmen, werden die oben dargelegten Fehlermaße auch für die ex ante Analyse verwendet.

Tabelle 6: Out-of-the-Sample Anpassungsgüte, ohne Regularisierung (WLS).

Fehlermaß MJD Heston FMLS MJD–SV FMLS–SV

MAE Mittelwert 14,34 4,62 14,18 4,30 5,69

in € Median 10,51 3,92 9,88 3,39 4,33

Std Abw (11,34) (2,28) (11,74) (3,03) (3,26)

Min 5,26 2,51 5,27 1,94 3,35

Max 47,63 11,69 52,17 13,26 16,93

MARE Mittelwert 15,95 % 5,41 % 19,53 % 11,56 % 11,85 %

in % Median 14,60 % 4,98 % 19,72 % 9,62 % 8,56 %

Std Abw (0,08) (0,02) (0,08) (0,09) (0,09)

Min 5,88 % 2,36 % 9,58 % 1,18 % 2,83 %

Max 34,26 % 10,58 % 40,04 % 33,65 % 34,15 %

Die resultierenden Zeitreihen für die Out-of-the-Sample Analyse ähneln den In-Sample Verläufen. Sie unterscheiden sich nur im Niveau. Für weitere graLsche Darstellungen wird auf den Anhang B.1 verwiesen. Bei Verwendung der freien Modellparameter des Vortages zeigt sich, dass der durchschnittliche Bewertungsfehler etwa um € 1 erhöht ist. In der Reihenfolge der besten Anpassungen kommt das FMLS nun vor dem Modell von Merton. Bei der prozentualen Abweichung bleibt es bei dem alten Bild. Aber das FMLS–SV ist nun gleichauf mit dem MJD–SV Modell. Es zeigte sich im vorigen Abschnitt, dass die Regularisierung für die FMLS und MJD Konzeptionen keinen großen EinJuss auf das Bewertungsproblem haben. Für die Out-of-the-Sample Analyse werden demnach das Heston Modell und das FMLS–SV Modell untersucht.


Tabelle 7: Out-of-the-Sample Anpassungsgüte, mit Regularisierung (PWLS).

Fehlermaß Heston FMLS–SV

MAE Mittelwert 4,88 5,90

in € Median 4,25 4,33

Std Abw (2,65) (3,66)

Min 2,29 3,36

Max 11,98 17,50

MARE Mittelwert 5,80 % 11,75 %

in % Median 6,26 % 9,62 %

Std Abw (0,02) (0,09)

Min 2,30 % 3,15 %

Max 10,67 % 33,91 %

Es lassen sich keine Verbesserungen bei der Standardabweichung der Bewertungsab-stände feststellen, die ein solches Vorgehen rechtfertigen würden. Interessant bleibt das Verfahren aber aus dem Grund, dass das Kalibrierungsverfahren selber zusätzli-che Stabilität erhält.

5.5 Kritische Würdigung

Die Resultate zeigen ein überraschendes Bild. Das Modell mit stochastischer Volatili-tät in Kombination mit Sprüngen ist mit drei zusätzlichen Parametern nur geringfü-gig besser als das Modell von Heston mit fünf. Der zusätzliche Aufwand ein so umfangreiches Modell zu kalibrieren scheint für den untersuchten Zeitraum nicht angemessen zu sein.

Die in Abschnitt 4.5 entwickelte SpeziLkation erwies sich im Umgang als recht robust und liefert gute Anpassungen. Die teilweise ungewöhnlichen Variationen der Mean Reversion und eine negative Korrelation von -1, weisen daraufhin, diese Konzeption näher zu untersuchen. Die Intention dieses Modells ist wie die vom FMLS Modell von Grund auf ganzheitlich angelegt.

Durch die Möglichkeit unabhängige Prozesse über die Multiplikation ihrer charakteristischen Funktionen zu kombinieren, kann dies als Basis für weitere SpeziLkationen dienen. Ein Vergleich der stochastischen Volatilitätsmodelle mit den Sprungmodellen MJD und FMLS ist weder fair noch angebracht, da sich diese Kon-zepte Grund legend unterscheiden.

Die einfachen Lévy Prozesse sind deLnitionsgemäß nicht in der Lage die Volatili-tät im Zeitablauf zu modellieren. Bei Kalibrierungen an einzelne Laufzeiten können


sie ihre Stärken ausspielen. Bei dem MJD insbesondere bei den kurzlaufenden Optio-nen. Damit wird auch die Schwäche des Heston Modells und allgemein der DiDusionsmodelle deutlich. Sie können den kurzfristigen Smile kaum mildern. Es gibt daher Überlegungen, die Parameter von Optionspreismodellen mit zeitabhängigen Parametern zu modellieren. Für diese Richtung siehe z. B. Mikhailov/Nögel [2003] oder Elices [2007].

Beachtung verdient das FMLS Modell. Mit nur einem zusätzlichen Parameter ist es während dieses Untersuchungszeitraums mit dem Modell von Merton mit vier Variablen gleichauf. Bei ähnlichen Ergebnissen ist immer die einfachere Variante zu bevorzugen.

Allgemein zeigt sich, dass zeit-homogene Modelle wie die Lévy Prozesse nicht Jexibel genug sind um die Fristenstruktur von impliziten Volatilitäten an der Eurex abzubilden. Modelle mit zeitveränderlichen Volatilitätsfaktoren schneiden ungleich besser ab. Weron/Wystup [2005, S. 172] spekulieren, dass insbesondere das Modell von Heston [1993] so gut abschneidet, weil es womöglich auf breiter Ebene in der Praxis Anwendung Lndet.

Alle hier behandelten Modelle sind parametrische Modelle. Sie basieren auf vereinfa-chenden Annahmen bezüglich einer Preisdynamik. In der Realität wird das Marktge-schehen jedoch durch ein Interagieren von Individuen bestimmt, die nicht unbedingt rational handeln. Ein speziLzierter stochastischer Prozess kann also nur eine Annäherung für einen echten Preisprozess sein (vgl. Lindström et Al [2006]).

Auch ist die Notwendigkeit diese Modelle ständig zu kalibrieren, um sie in Über-einstimmung mit dem Markt zu bringen, ein Indiz für das sich ständig wandelnde Umfeld. Es lässt sich festhalten, dass die Verwendung von Modellen, wie sie hier prä-sentiert werden, wesentlich näher an der Realität sind, als mit dem Standardmodell von Black–Scholes.

6 Zusammenfassung und Ausblick

Mit ihrem Modell zur Bewertung von Optionen haben Black/Scholes [1973] und Merton [1973] einen wichtigen Beitrag für die Bewertung von Optionen geliefert. Zusammen mit dem Beginn des Derivatehandels an der Terminbörse in Chicago hat dies zu einem regelrechten Boom geführt, der bis heute anhält. Ihre revolutionäre Erkenntnis des Hedge-Portfolio führt zu dem Prinzip der risikoneutralen Bewertung von Optionen und jedem anderen zustandsabhängigen Wertpapier.

Vielfach wird in der Literatur bestätigt, dass die für dieses Modell zu Grunde lie-genden Annahmen sich als realitätsfremd erweisen. Alternative Konzepte werden entwickelt, die sich mit den realen Daten bedeutend besser in Einklang bringen las-sen. Dabei werden verschiedene Herangehensweisen gewählt. Zwei davon wurden in dieser Arbeit berücksichtigt. Zum einen die diskontinuierlichen Pfade der Kursent-wicklungen sowie die Beobachtung, dass die Volatilität im Zeitverlauf selbst variabel ist.

Die zum Teil komplexen Preisprozesse konnten mit Hilfe der nützlichen Eigen-schaften der Fourier Transformation und charakteristischen Funktionen in Options-werte übersetzt werden. Diese wurden mit den Preisen von Optionen auf den DAX über eine Dauer von 30 Handelstagen verglichen. Es zeigt sich, dass mit allen diesen Varianten die qualitativen Daten der Realität bei der Bewertung von Optionen berücksichtigt werden können.

Der Nutzen von charakteristischen Funktionen bei der Bewertung von Derivaten lässt sich Grunde auf viele Bereiche in einem kapitalmarktheoretischen Kontext anwenden. Eine natürliche Erweiterung der Sprungmodelle ist die Modellierung von pfadabhängigen Wertpapieren wie z. B. Barrier Optionen. Auch können die Konzepte bei der Modellierung von Ausfallwahrscheinlichkeiten verwendet werden. Eine Inver-sion der charakteristischen Funktion über die Fourier Transformation ist in diesem Falle nicht mehr möglich. Es existieren jedoch Alternativen hierzu, mit denen eine numerische Inversion der charakteristischen Funktion zur Berechnung von Randver-teilungen möglich ist. So gibt es weiterhin einen analytischen Bewertungsrahmen.

Eine abschließende Beurteilung zu der Eignung der Modelle zur Bewertung von Optionen kann im Prinzip nicht gegeben werden. Sie wurden lediglich kalibriert und nicht getestet. Dass die Gesetze der Wahrscheinlichkeit im Kontext der behandelten Thematik aber von wesentlicher Bedeutung sind, ist unbestritten. Diese Arbeit wird in diesem Sinne mit einem Zitat von Bachelier [1900, S. 87] abgeschlossen:

„[…], I have compared the results of observation with those of theory, it was not to

verify formulas established by mathematical methods, but only to show that the market,

unwittingly, obeys a law which governs it, the law of probability.”

Anhang

A Grundlegende Begri0e und Konzepte der Wahrscheinlich-keitstheorie

Dieses Kapitel gibt einen kompakten Überblick über die wesentlichen Konzepte der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie, die zum Verständnis der Arbeit von Bedeu-tung sind. Sehr gute Darstellungen der folgenden Prinzipien Lnden sich bei Schoutens [2003], Bauer [2002], Sandmann [1999], Cont/Tankov [2004] sowie Irle [2003]. Für weitere Resultate und Darstellungen sei auf diese Quellen verwiesen.

A.1 Stochastische Prozesse, Filtrationen und Martingale

Um die Preisverläufe von Wertpapieren in stetiger Zeit formal abbilden zu können, wird eine Darstellung benötigt, die es erlaubt Aktienkursverläufe als stochastische Prozesse zu modellieren. Die Wahrscheinlichkeitstheorie bietet einen solchen Modellierungsrahmen, der eine abstrakte und allgemeine Behandlung von stochasti-schen Abhängigkeiten ermöglicht. Wahrscheinlichkeitsraum und Filtration

Angenommen wird ein endlicher Planungshorizont . Zur DeLnition von stochasti-schen Prozessen wird ein Wahrscheinlichkeitsraum benötigt (Ω, µ, ,. Die möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes werden in einer nichtleeren Menge Ω zusammengefasst, die Zustandsraum genannt wird. Alle möglichen Ergebnisse ω Ω eines Zufallsexperimentes heißen Elementarereignisse. Hinzu kommt ein System µ von Ereignissen oder Teilmengen, eine -Algebra, , ordnet jedem Ereignis eine Ein-trittswahrscheinlichkeit zu. Weiter gebe es eine Filtration · auf diesen Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Filtration ist eine nichtabnehmende Familie · µ, 0 ¸ ¸ von Unter--Algebren von µ µI ¹ µ ¹ µ ¹ µ für 0 ¸ e ¸ ¸ , (A.1) wobei µ die Information zum Zeitpunkt t repräsentiert, und die Filtration · µ, 0 ¸ ¸ ist der InformationsJuss über die Zeit.

Dies zusammen ergibt einen ge4lterten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, µ, ,, ·. Eine Filtration gibt also den Informationsverlauf auf einem Finanzmarkt an. Hierbei geht keine Information verloren. Die Menge an Information bleibt gleich oder wächst.

Grundlegende Begrie und Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie | 67

Stochastische Prozesse

Ein stochastischer Prozess, º »º , 0 ¸ ¸ ¼, ist eine Familie von Zufallsvariablen, die auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, µ, , deLniert sind. Man sagt º ist auf die Filtration · adaptiert, wenn º für jedes µ-messbar ist, º ist also zum Zeit-punkt bekannt. Durch die µ-Messbarkeit kann bestimmt werden, welchen Wert die Zufallsvariable annimmt, wenn der Informationsstand bis beobachtet werden kann. Die Evolution eines Aktienkurses entspricht so einem Pfad von Zufallsvariablen.

Bei der Modellierung von Aktienkursen wird oft unterstellt, dass die vergangenen Kurse keinen Rückschluss auf künftige Kursentwicklungen zulassen. Der bis zum Zeitpunkt bekannte Informationsverlauf ist dann irrelevant. Der beste Schätzer für den Kurs morgen ist einfach der Kurs von heute. Oder wie Sandmann [1999, S. 241] ausdrückt: „Ist die Gegenwart bekannt, so ist die Zukunft unabhängig von der Vergan-

genheit.“ Einen solchen Prozess nennt man Marko Prozess. Voraussagen sind unsi-cher und werden in Wahrscheinlichkeiten ausgedrückt. Ein MarkoD Prozess impli-ziert demnach, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Aktie in der Zukunft nicht davon abhängt, wo der Kurs gestern war. Wenn eine Aktie » , 0 ¸ ¸ ¼ einem solchen MarkoD Prozess folgt und · µ , 0 ¸ ¸ den Informationsver-lauf von angibt, ergibt sich für folgende funktionale Beziehung

*½|µ *½|. (A.2)

Die Brownsche Bewegung ist ein Beispiel für solch einen MarkoD Prozess. Martingale

Ein stochastischer Prozess º »º, ¾ 0 ¼ ist ein Martingale in Relation zu ,, ·, wenn i) º an · adaptiert ist, ii) *|º| ∞ für alle ¾ 0 und iii) *º|µI ºI fast sicher (,-f.s.) ist für 0 ¸ e ¸ .

Ein Martingale ist im Durchschnitt konstant, es handelt sich somit um ein faires Spiel. Dies wird aus iii) ersichtlich, die beste Vorhersage für einen zukünftigen Wert º bei Bekanntsein von µI, ist einfach der Wert von ºI. Oder speziell, der Erwartungswert eines Martingale º zum Zeitpunkt gleicht seinem Anfangswert º *º|µ º. (A.3)

Es handelt sich also um Prozesse, bei denen die zukünftigen Änderungen so schwan-ken, dass sich im Mittel stets Null ergibt. Es gibt keine positiven oder negativen Trends.


Äquivalentes Martingalemaß

Man sagt ein Wahrscheinlichkeitsmaß :, deLniert auf (Ω, µ, ist ein äquivalentes Martingalemaß, wenn

: äquivalent zu , ist, d. h. ein Ereignis, welches nicht unter , passiert, kann auch nicht unter : passieren und vice versa (sie haben dieselben Nullmengen)

der abgezinste Aktienkursprozess ; »; , t ¾ 0¼ ein Martingale unter : ist.

Die Existenz eines äquivalentes Martingalemaßes ist mit Abwesenheit von Arbitrage verbunden, während ein eindeutiges äquivalentes Martingalemaß nur durch einen vollständigen Märkt bestimmt werden kann.

In stetiger Zeit impliziert die Existenz eines äquivalentes Martingalemaßes Arbitragefreiheit, wobei der umgekehrte Fall nicht unbedingt zutreDen muss. Die Annahme von Arbitragefreiheit allein ist zu schwach, um ein äquivalentes Martingalemaß abzuleiten. Diese Bedingung lässt sich verschärfen, wenn es nicht möglich ist, eine Annäherung an eine Arbitragemöglichkeit zu erreichen. In diesem Falle kann man daraus folgern, dass es ein äquivalentes Martingalemaß gibt.

Unter : entspricht die erwartete Rendite der Aktie genau dem Ertrag einer risikolosen Verzinsung

*9|µ . (A.4)

A.2 Charakteristische Funktionen

Die Verteilung einer Zufallsvariablen X kann in drei äquivalenten Darstellungen repräsentiert werden. Eine Möglichkeit ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF), wie sie z. B. in Abbildung 5 dargestellt ist. Um Wahrscheinlichkeiten ausrech-nen zu können, muss die Dichtefunktion ½Á über ein bestimmtes Intervall integriert werden. Die kumulative Verteilung (2. Möglichkeit) einer Zufallsvariablen (CDF) XÁ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein bestimmter Wert 8 nicht überschritten wird XÁ8 !»º ¸ 8¼ Â ½ÁÃ

Ä hdh. (A.5)

Die Dichtefunktion entspricht somit der Ableitung der kumulativen Verteilung. Eine dritte Möglichkeit ist, mit Hilfe einer charakteristischen Funktion eine Verteilung zu beschreiben. Die charakteristische Funktion f einer Verteilung bzw. einer Zufallsva-riablen º lässt sich als Erwartungswert ausdrücken


fÁh *HmÁ Â lmÃdXÁyÄÄ , (A.6)

mit i √1 als imaginärer Einheit. Die charakteristische Funktion kann also Werte aus dem komplexen Wertebereich annehmen. Es lässt sich zeigen, dass die charakteristische Funktion die Fourier Transformierte einer Dichtefunktion ist fÁ µ½Á. (A.7)

Im Umkehrschluss erhält man die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen durch eine inverse Fouriertransformation ½Á µ1fÁ. (A.8)

Einige Eigenschaften von charakteristischen Funktionen sind f0 1 und |f0| ¸ 1, für alle h Å. Die charakteristische Funktion für eine Verteilungsfunk-tion existiert immer und ist stetig. Am Wichtigsten dürfte folgende Eigenschaft sein: Durch f wird eine Verteilungsfunktion X eindeutig bestimmt.

Die charakteristische Funktion einer Summe von unabhängigen Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer charakteristischen Funktionen. Wenn z. B. º und Æ unabhängige Zufallsvariablen sind und fÁ und fÇ ihre charakteristischen Funktio-nen, dann ist die charakteristische Funktion von º $ Æ gegeben durch

fÁyÇh fÁhfÇh. (A.9)

Mit anderen Worten: Die Verteilungsfunktion der Summe von º und Æ entspricht der Konvolution bzw. Faltung der jeweiligen Verteilungsfunktionen. Beispiele von charakteristischen Funktionen

Die charakteristische Funktion einer Normalverteilung Φ#, ' X8 1√2' exp º #'2' , (A.10)

ist gegeben durch fh exp Ê#h 'h'2 . (A.11)


Für eine Poissonverteilung ËbÃ8! , (A.12)

ist folgende Darstellung äquivalent fh expbSlÃ 1T. (A.13)

Man beachte, dass Gleichung (4.3) des Merton Jump DiDusion Modells genau der Multiplikation der beiden obigen Gleichungen entspricht, nur dass die Drift adjustiert wird, um die Eigenschaft eines Martingale sicherzustellen.

A.3 α-stabile Verteilungen ?-stabile Verteilungen bilden eine weite Klasse von Verteilungsfunktionen. Sie geht auf Paul Lévy zurück, der sich zu Beginn des 20. Jahrhunderts mit unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen beschäftigte. Für einen Tail Index ? von 2 ergibt sich die Normalverteilung, für eine stabile Verteilung mit ? 2 wird die Varianz der Verteilung unendlich und für ? 1 hat diese keinen Erwartungswert. Bis auf wenige Ausnahmen existiert für die stabilen Verteilungen keine geschlossene Lösung. Dies dürfte mit ein Grund dafür sein, dass sie im Bereich der Finanzwissenschaften bisher nicht sehr verbreitet ist. Dennoch zeichnet sie sich durch Eigenschaften aus, mit de-nen sich beobachtbare Phänomene an Finanzmärkten gut beschreiben lassen. Auch wenn das Phänomen der unendlichen Varianz und die damit verbundenen Implikationen kontrovers diskutiert werden, nimmt die Literatur im Lnanzwirtschaftlichen Kontext stetig zu. Durch leistungsfähige Rechner ist auch die numerische Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion kein wirkliches Problem mehr. Ein sehr umfassendes Werk zu vielfältigen Anwendungsbereichen dieser Verteilungsklasse stellt die Arbeit von Rachev/Mittnik [1999] dar. Zu den folgenden Ausführungen vgl. auch Schmid/Trede [2006, S. 56].

Gekennzeichnet wird die stabile Verteilung durch vier Parameter, wodurch eine große Flexibilität gewährleistet wird. Der Tail Index ?, auch charakteristischer Expo-

nent genannt, beeinJusst die Kurtosis einer Verteilung, d. h. wie viel Wahrscheinlich-keitsmasse im Zentrum bzw. an den Rändern einer Verteilung liegt. Für ? 2 ergibt sich die Normalverteilung, für ? 1 die Cauchy Verteilung. Für diese beiden Spezialfälle sind die Dichten und Verteilungsfunktionen bekannt. Im Kontext der Finanzmarktstatistik wird in der Regel 1 ? ¸ 2 festgelegt, da es allgemein aner-kannt ist, dass für Renditen ein Erwartungswert existiert.

Ein weiterer Parameter #, gibt die Lage der Verteilung an und ist ein Skalenparameter, der die Weite der Verteilung repräsentiert. Ferner kann eine stabile


Verteilung asymmetrisch gestaltet werden, dies geschieht mit einem Schiefeparameter . Für ? 2 ergeben sich dickere Enden einer Verteilung als bei der Normalvertei-

lung. Des weiteren ist diese Verteilungsklasse in Bezug auf die Addition von unabhän-gig stabil verteilten Summanden abgeschlossen. Diese sind wiederum stabil verteilt mit gleichem ?, nur evtl. mit anderem Lage- oder Skalenparameter.

Diese Eigenschaft lässt sich insbesondere bei der Skalierung von Finanzmarktzeitreihen ausnutzen. Tagesrenditen sind dann z. B. mit gleichem ? ver-teilt, wie Wochenrenditen oder Monatsrenditen. Aufgrund dieser Eigenschaften und Flexibilität der stabilen Verteilung schlägt Mandelbrot [1963] vor, diese als Preisprozess für Finanztitel zu verwenden.

Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion für die stabile Verteilung ergibt sich durch eine inverse Fourier Transformation folgender charakteristischer Funktion

fh Îexp 2|h| 1 isignh tan 2?2 3 $ i#h3 , α Ò 1

exp -|h| i1 $ i 2 signh ln|h|r $ i#h. , ? 1 (A.14)

wobei signh eine Vorzeichenfunktion darstellt.

A.4 Lévy Prozesse

Die im Verlauf der Arbeit immer wieder erwähnten Prozesse: Wiener Prozess, (zusammengesetzter) Poissonprozess und auch die stabile Verteilung stellen allesamt Beispiele von Lévy Prozessen dar.

Zuerst wird angenommen, dass fh die charakteristische Funktion einer Vertei-lung sei. Wenn, für jedes positive und ganzzahlige §, fh auch die §-te Potenz einer charakteristischen Funktion ist, handelt es sich um eine unendlich teilbare Verteilung.

Durch folgende Eigenschaften wird ein Lévy Prozess º deLniert: Der Startwert von º ist 0, fast sicher. Die Zuwächse sich unabhängig und statio-

när, d. h. ein Zuwachs über e, e $ mit e, ¾ 0, also ºyI ºI , hat SfhT als ihre

charakteristische Funktion. Die Pfade von Lévy Prozessen sind rechtsseitig stetig. Für die linke Seite existie-

ren Grenzwerte. Das bedeutet, dass die Zufallspfade eines Lévy Prozess Sprünge enthalten können.

Die Eigenschaft der unendlichen Teilbarkeit macht Lévy Prozesse insbesondere im Kontext der Modellierung von Preisprozessen interessant. Die Summe von stationären und unabhängigen Zufallsvariablen entspricht wiederum der Verteilung, aus der sie stammen. Die Verteilung eines Lévy Prozess ist also komplett durch eine eindimensionale Verteilung determiniert. Dies lässt sich folgendermaßen darstellen


*lmÁ_ S*HmÁ_T . (A.15)

Die Verteilung eines Lévy Prozess ist demnach unabhängig vom Zeitpunkt . Auf-grund der Darstellung durch charakteristische Funktionen, ist über die Fourier Trans-formation immer auch die Dichtefunktion bekannt. Mit dieser sehr kurzen Darstel-lung wird der potenzielle Nutzen für die Modellierung von Preisdynamiken skizziert. Bei Schoutens [2003] werden weitere Resultate und insbesondere die Anwendung von Lévy Prozessen für die Bewertung von Optionen ausführlich diskutiert.

B Bewertungsperformance der Modelle

An dieser Stelle werden weitere Illustrationen in Bezug auf die Prognosequalität der untersuchten Modelle dargestellt. Beispielhaft wird zudem die VolatilitätsoberJäche vom 7. Dezember 2007 präsentiert. Diese wird mit den VolatilitätsoberJächen vergli-chen, die aus den kalibrierten Modellen an diesem Tag resultieren. Ferner werden die DiDerenzen zwischen den realen mit den theoretischen impliziten Volatilitäten für alle Strike/Laufzeitkombinationen mit Hilfe von 3 D–Balkendiagrammen veranschau-licht.

Zudem wird unten die Übereinstimmung von Marktpreisen mit den korrespondierenden theoretischen MJD Preisen demonstriert. Die Darstellungen für die anderen Modelle unterscheiden sich nur geringfügig und werden nicht extra aufgeführt. Im Vergleich zu Abbildung 9 stimmen die theoretischen Preise sehr gut mit den Marktquotierungen überein.

Abbildung 23: Reale und MJD Preise für den 7. Dezember 2007. Die Kreise repräsentieren die Marktpreise und die Pluszeichen die Modellpreise.

0

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Op

tio

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reis

Basispreis K

Bewertungsperformance der Modelle | 74

B.1 Weitere Ergebnisse der Simulationsstudie

In diesem Abschnitt werden die In-Sample Schätzergebnisse mit Regularisierung (PWLS) sowie sämtliche Darstellungen für die Out-of-the-Sample Analyse über den Untersuchungszeitraum vom 7. Dezember 2007 bis zum 24. Januar 2008 illustriert. Dies entspricht 30 Handelstagen.

Abbildung 24: In-Sample Bewertungsfehler im Zeitablauf, mit Regularisierung (PWLS). Oben: Mittlere absolute Preisabweichung in € (MAE). An der rechten Skala abgetragen sind die Modelle: MJD und FMLS. Unten: Mittlere prozentuale Abweichung (MARE).

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Abbildung 25: Out-of-the-Sample Bewertungsfehler im Zeitablauf, ohne Regularisierung (WLS). Oben: Mittlere absolute Preisabweichung in € (MAE). An der rechten Skala abgetragen sind die Mo-delle: MJD und FMLS. Unten: Mittlere prozentuale Abweichung (MARE).

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MJD-SV

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Abbildung 26: Out-of-the-Sample Bewertungsfehler im Zeitablauf, mit Regularisierung (PWLS). Oben: Mittlere absolute Preisabweichung in € (MAE). An der rechten Skala abgetragen sind die Mo-delle: MJD und FMLS. Unten: Mittlere prozentuale Abweichung (MARE).

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B.2 Implizite Volatilitätsober<äche vom 7. Dezember 2007

In Tabelle 8 wird die implizite Volatilitätsmatrix vom 7. Dezember 2007 für die ODAX Optionen dargestellt. Mit aufgelistet sind benötigten Inputfaktoren für die Bestimmung von den impliziten Volatilitäten. Aus Gründen der Übersichtlichkeit wird auf die kürzeste Laufzeit von 14 Tagen und längste Laufzeit von 742 Tagen ver-zichtet. ∆ Div gibt die in Abschnitt 3.3 beschriebene DiDerenzdividende an. Adj. Spot steht für die implizit ermittelten Kassa-Indexstände je Laufzeit.

Abbildung 27 zeigt die impliziten Volatilitäten als Kombination in der Strike mit der Laufzeitdimension an. An diesem Tag herrscht ein relativ niedriges Volatilitätsni-veau. Aus der steigenden Volatilität in der Zeitdimension lässt sich folgern, dass die Marktteilnehmer in Zukunft ein höheres Niveau antizipieren.

Tabelle 8: Implizite Volatilitätsmatrix für DAX Optionen vom 7. Dezember 2007.

Zins 0,0488 0,0488 0,0488 0,0483 0,0479 0,0472 0,0419

Restlaufzeit 0,1151 0,1918 0,2877 0,5397 0,7863 1,0356 1,5342

Tage 42 70 105 197 287 378 560 ∆ Div -4,18 -7,06 -8,02 -16,70 -28,36 -36,95 -4,27

Adj. Spot 7988,36 7985,48 7984,52 7975,84 7964,18 7955,59 7988,27

Fälligkeit Jan 08 Feb 08 Mrz 08 Jun 08 Sep 08 Dez 08 Jun 09

Strike

7200 0,2189 0,2286 0,2324 0,2330 0,2370 0,2396 0,2397

7300 0,2112 0,2217 0,2262 0,2284 0,2329 0,2363 0,2369

7400 0,2037 0,2148 0,2201 0,2237 0,2288 0,2330 0,2342

7500 0,1957 0,2075 0,2138 0,2190 0,2247 0,2294 0,2315

7600 0,1876 0,2002 0,2074 0,2142 0,2206 0,2261 0,2288

7700 0,1790 0,1928 0,2012 0,2093 0,2166 0,2226 0,2261

7800 0,1702 0,1853 0,1949 0,2046 0,2125 0,2191 0,2235

7900 0,1615 0,1777 0,1884 0,1997 0,2085 0,2156 0,2207

8000 0,1532 0,1705 0,1820 0,1948 0,2045 0,2121 0,2181

8100 0,1457 0,1633 0,1755 0,1899 0,2007 0,2086 0,2155

8200 0,1389 0,1564 0,1692 0,1851 0,1968 0,2051 0,2130

8300 0,1335 0,1502 0,1633 0,1803 0,1929 0,2016 0,2104

8400 0,1292 0,1448 0,1578 0,1757 0,1892 0,1983 0,2079

8500 0,1263 0,1403 0,1531 0,1715 0,1856 0,1951 0,2053

8600 0,1243 0,1367 0,1488 0,1676 0,1822 0,1919 0,2029

8700 0,1234 0,1336 0,1452 0,1641 0,1790 0,1889 0,2003

8800 0,1232 0,1312 0,1422 0,1608 0,1757 0,1858 0,1979


Abbildung 27: Implizite Volatilitätsober<äche von DAX Optionen für den 7. Dezember 2007.

Jan 08

Mrz 08

Sep 08

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Fälligkeit

Imp

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20%-22%

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16%-18%

14%-16%

12%-14%

10%-12%


B.3 Merton Jump Di0usion

Abbildung 28: Implizite Volatilitätsober<äche Merton Jump Di0usion. DAX Optionen vom

7. Dezember 2007.

Abbildung 29: Di0erenz in der Volatilität von Markt und Modell, MJD.

Jan 08

Mrz 08

Sep 08

Jun 09

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Fälligkeit

Imp

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Strike

26%-28%

24%-26%

22%-24%

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18%-20%

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14%-16%

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10%-12%

Jan 08

Mrz 08

Sep 08

Jun 09

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-5,0%

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-3,0%

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1,0%

Fälligkeit

Dif

fre

ren

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tili

tät

Strike

Jan 08

Feb 08

Mrz 08

Jun 08

Sep 08

Dez 08

Jun 09


B.4 Heston Stochastic Volatility

Abbildung 30: Implizite Volatilitätsober<äche Heston. DAX Optionen vom 7. Dezember 2007.

Abbildung 31: Di0erenz in der Volatilität von Markt und Modell, Heston.

Jan 08

Mrz 08

Sep 08

Jun 09

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Fälligkeit

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22%-24%

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B.5 Finite Moment Log Stable

Abbildung 32: Implizite Volatilitätsober<äche FMLS. DAX Optionen vom 7. Dezember 2007.

Abbildung 33: Di0erenz in der Volatilität von Markt und Modell, FMLS.

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B.6 Merton Jump Di0usion – Stochastic Volatility

Abbildung 34: Implizite Volatilitätsober<äche MJD–SV. DAX Optionen vom 7. Dezember 2007.

Abbildung 35: Di0erenz in der Volatilität von Markt und Modell, MJD–SV.

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B.7 Finite Moment Log Stable – Stochastic Volatility

Abbildung 36: Implizite Volatilitätsober<äche FMLS–SV. DAX Optionen vom 7. Dezember 2007.

Abbildung 37: Di0erenz in der Volatilität von Markt und Modell, FMLS–SV.

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Fälligkeit

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C Anmerkungen zur Implementierung der Modelle

C.1 Bewertung von Optionen mittels komplexer Fourier Transformation

Die Modelle sind in ihrer Struktur derart gestaltet, dass die charakteristischen Funktionen der Preisprozesse explizit bestimmt werden können und sich anschlie-ßend mittels Fourierinversion Optionspreise ermitteln lassen.

Genau genommen handelt sich bei den hier behandelten Konzeptionen um Mo-delle, die in ihrer Struktur aMn gestaltet sind. AMne Prozesse

In der modernen Finanzanalyse erweisen sich a]ne Prozesse als ein sehr nützliches Werkzeug. In Erscheinung treten sie bei der Bewertung von Optionen, der Modellie-rung von Zinssätzen sowie Kreditderivaten und zunehmend auch im Bereich der Portfolio Allocation. Die geometrisch Brownsche Bewegung ist das einfachste Bei-spiel einer a]nen Struktur.

Ein Prozess ln ist a]n, wenn die charakteristische Funktion von ln , *9lm ÔÕ CÖ sich in einer exponentiellen a]nen Form exp ¨, , h $×, , hln darstellen lässt. ¨ und × sind hierbei komplexe Funktionen von h. Für das Beispiel von Black–Scholes ergibt sich

*9lm ÔÕ CÖ expi ' 2⁄ h ' 2⁄ h' $ ih ln . (C.1)

Auf diese Weise bieten a]ne Strukturen Flexibilität und gleichzeitig eine gute Hand-habbarkeit. Sie erlauben, dass Renditen seriell korreliert sein können, verschiedene Wertpapiere können miteinander korrelieren und auch Sprünge können berücksich-tigt werden, was insbesondere zur Modellierung von Aktienkursen (Fat Tails) von Bedeutung ist. Durch die a]ne Struktur einer charakteristischen Funktion können oftmals die Koe]zienten ¨ und × in geschlossener Lösung evaluiert werden. Mit ei-ner inversen Fouriertransformation können auf diese Weise direkt die risikoneutralen Verteilungen und damit Optionpreise ermittelt werden.

Bei dem Modell von Heston sind bspw. zwei Brownsche Bewegungen miteinan-der korreliert. Die charakteristische Funktion von ln hat hierbei die folgende expo-nentielle a]ne Form

*9lm ÔÕ CÖ exp¨ , h $ × , h' $ ih ln , (C.2)

Anmerkungen zur Implementierung der Modelle | 85

wobei ¨ und × in geschlossener Form bekannt sind. Im Fall von Heston entspricht die obige Darstellung genau der von Gleichung (4.8), wobei ¨ , h und × U, h entspricht (siehe zu diesen Ausführungen Černý [2004, S. 170]). Im Folgenden wird skizziert, wie sich mit Hilfe der komplexen Fourier Inversion di-rekt Optionspreise ermitteln lassen. Ökonomische Bedeutung charakteristischer Funktionen

Im Prinzip lassen sich Modelle, wie sie hier betrachtet werden, mit einer Formel á la Black–Scholes berechnen , , Π1 Π', (C.3)

Π1 bezeichnet das Delta einer Option und Π' gibt die Wahrscheinlichkeit an im Geld zu enden. Vorausgesetzt die charakteristische Funktion f ist bekannt, ergeben sich die beiden Π als inverse Fourier Transformationen Π1 12 $ 1 Â Re lm¥fh iih Ä

dh, (C.4)

Π' 12 $ 1 Â Re lm¥fhih Ä dh, (C.5)

mit i √1 und ° ln 2CÙ3 $ .

Diese Darstellung wird von Bakshi/Madan [2000] ausführlich dargelegt und die Autoren liefern zusätzlich eine ökonomische Interpretation von charakteristischen Funktionen. Sie argumentieren, dass durch die charakteristischen Funktionen impli-zit Zustandsräume vervollständigt werden (Spanning). Dies ist im Zusammenhang der Vollständigkeit von Märkten und Arrow-Debreu Wertpapieren von Bedeutung. Arrow-Debreu Wertpapiere versprechen in einem bestimmten Zustand in der Zu-kunft eine Zahlung von eins, in allen anderen von null. Die Gesamtheit dieser zustandsabhängigen Zahlungen ergibt eine Zustandspreisdichte, auf einem vollständigen Markt ist diese mit einer risikoneutralen Dichtefunktion äquivalent (siehe Wallmeier [2003, S. 66]). Bei gegebenen Preisen aller möglichen Arrow-Debreu Wertpapiere lässt sich jedes andere Wertpapier, welches eine vom Kurs des Underlyings abhängige Zahlung liefert, eindeutig und arbitragefrei bewerten. Diese Erkenntnis geht auf die Arbeit von Breeden/Litzenberger [1978] zurück. Eine


Diskussion zu Zustandspreisen und Martingalemaßen im Rahmen des Black–Scholes Modells Lndet bei Sandmann [1999] statt.

Bakshi/Madan [2000] können zeigen, dass die Vervollständigung von Wertpa-piermärkten durch Optionen mit einer Vervollständigung über charakteristische Funktionen austauschbar ist.

fÔÕ CÖh *9lmÔÕ CÖ *9coshln $ i sinhln (C.6)

Man kann sich nun zwei bedingte Ansprüche von ln mit den Auszahlungen coshln und sinhln vorstellen. Bei dieser Sichtweise ist fÔÕ CÖh ein Wertpapier, welches aus zwei trigonometrischen Funktionen besteht, während der Aktienkurs der Exponent von ln ist. Für die Äquivalenz des Spanning durch Optionen und charakteristische Funktionen gelten die beiden folgenden Bedingun-gen coshln 1 Â h'cos hln Ä

max0, ln ln dln

sinhln ln Â h'cos hln Ä max0, ln ln dln

(C.7)

(C.8)

Diese beiden Ausdrücke zeigen, dass die trigonometrischen Funktionen als Auszahlungen von Optionen dargestellt werden können. Diese Ausführung wird bei Zhu [2000, S. 10] ausführlich dargelegt. Verwendete Formel zur Bestimmung von Optionspreisen

So intuitiv die obige Darstellung erscheint, verlangt sie, dass zwei komplexwertige Integrale gelöst werden. Lewis [2001] hat eine alternative Darstellung gefunden, bei der lediglich ein Integral zu lösen ist. Lewis transformiert hierbei den Pay OD einer Option, um zu folgendem Preisfunktional zu gelangen , , 1 √/' Â Re ilm¥f -h i2.r dhh' $ 14

Ä . (C.9)

Dies ist die zu Grunde liegende Bewertungsformel für die Simulationsstudie. Put Op-tionen lassen sich durch Anwendung der Put-Call Parität berechnen. Im Vergleich zu (C.4) gibt es einen quadratischen Term im Nenner, mit der Folge, dass das Integral wesentlich schneller konvergiert. Abbildung 38 zeigt den beispielhaft den Verlauf des Integranden bei dem FMLS–SV Modell.


Abbildung 38: Integrand des FMLS–SV Modells bei der numerischen Integration. Zu Grunde liegen dieselben Daten wie bei Abbildung 19.

Numerische Evaluierung der Integrale

Die gesuchten Werte für die Integrale lassen sich nur numerisch annähern, eine Mög-lichkeit hierfür besteht in der Verwendung einer Gaußschen Quadratur. In diesem Falle liegt der Integrationsbereich bei 0, ∞, für diesen Bereich bietet sich die Gauß-Laguerre Quadratur an. Dieses Vorgehen ermöglicht eine recht genaue Annäherung unter Vermeidung unnötig vieler Berechnungen Â ½808 Ý P cH½8H,E

HR1Ä

(C.10)

wobei cH und 8H die Gauß-Laguerre Gewichte und Stützstellen über 0, ∞ darstellen.

Von Vorteil ist, dass die Stützstellen und Gewichte unabhängig von der zu integrierenden Funktion gewählt werden können. So können im Vorfeld berechnete cH und 8H im Bewertungsalgorithmus verwendet werden, was eine e]ziente Berech-nung ermöglicht. Bei der Simulationsstudie in Kapitel 5 wird eine 32 Punkte Gauss-Laguerre Quadratur verwendet. Hiermit resultieren Ergebnisse, die auf zwei Nach-kommastellen gerundet das gleiche Ergebnis zeigen, wie die folgende genauere Va-riante das Integral zu berechnen.

Im nächsten Abschnitt, bei der Darstellung des VBA Codes wird eine Gauss-Legendre Quadratur verwendet, hiermit lassen sich sehr genaue Optionswerte ermit-teln. Dabei wird der Integrationsbereich von 0, ∞ auf ein endliches Intervall transformiert und in einzelne Subintervalle aufgeteilt. Diese werden daraufhin mit einer 10 Punkt Gauss-Legendre Quadratur evaluiert. Für einen Vergleich und die

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

Inte

gra

l (u

)

u

FMLS-SV Integrand


bevorzugten Anwendungsgebiete der verschiedenen Gauss Quadraturen siehe Judd [1998, Kapitel 7]. EMziente Berechnung von vielen Optionspreisen

Wie Bates [1996] ausführt, werden bei der Bewertung von Optionen einer Restlauf-zeit dieselben Werte der charakteristischen Funktion benötigt. Diese Werte sind unabhängig von Basispreis und Spotpreis. So lässt sich die Rechenzeit deutlich verrin-gern, wenn die charakteristische Funktion für eine bestimmte Parameterkonstellation vorberechnet wird und zur Berechnung von Optionen für verschiedene Basispreise und einer Restlaufzeit dann auf die zwischengespeicherten Werte zugegriDen wird.

Bei der Gaußschen Quadratur wird zunächst nur der Term fh i 2⁄ aus (C.9) für alle Stützstellen berechnet. Danach erfolgt die Multiplikation dieses Vektors mit den dazugehörigen Gewichtungsfaktoren. Erst danach erfolgt die Multiplikation mit lm¥ für die gewünschten Strike/Spot Kombinationen.

Auf diese Weise lassen sich auf einen Schlag alle Preise für eine Laufzeit ermit-teln. Diese Methode wird bei Kilin [2007] detailliert dargelegt. Er führt aus, dass diese Vorgehensweise unter Verwendung fortschrittlicher Integrationsverfahren wie der Gaußschen Quadratur bei gleicher Genauigkeit sogar schneller als die Fast Fourier Transformationen (FFT) Verfahren sind. Für eine Verwendung der FFT in Bezug auf das Modell von Heston, Merton und MJD–SV siehe z. B. Borak et Al [2005]. Transformation von Parametern

Um die Kalibrierung von Modellparametern ohne Nebenbedingungen durchführen zu können, ist eine Variablentransformation notwendig. Dies ermöglicht dem Opti-mierungsalgorithmus im gesamten Wertebereich der reellen Zahlen zu suchen. Nebenbedingung Parameter Transformation Rücktransformation

8 fÞ, ∞ Þ ∞

8 0 8 Þ' oder 8 ß Þ ln 8

1 8 1 8 ß 1ß $ 1 Þ ln 2Ãy11Ã3

8 ¨, × 8 ×ß $ ¨ß $ 1 Þ ln 2Ã¤àÃ3

Gegeben die Transformationsfunktion 8 fÞ, wird die objektive Funktion ½8 zu XÞ ½fÞ. Somit ist das Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen von ½ in Bezug auf 8 äquivalent zu einem Optimierungsproblem ohne Nebenbedingun-gen von X in Bezug auf Þ (siehe auch Li/Pearson [2007]).


Alternative Darstellung der charakteristischen Funktion bei dem Heston Modell

Wie Albrecher et Al [2006] oder auch Lord/Kahl [2006] ausführen, kann es bei der ursprünglichen Darstellung der charakteristischen Funktion bei Heston [1993] zu numerischen Schwierigkeiten kommen. Dies hängt damit zusammen, dass bei der numerischen Annäherung für die Wahrscheinlichkeitsverteilung ein komplexwertiger Logarithmus evaluiert werden muss. Ein solcher Logarithmus hat je nach verwende-tem Ast unterschiedliche Werte. Falls nicht auf den richtigen Wert geachtet wird, kann das dazu führen, dass der Integrand nicht stetig verläuft. Wenn die bei Albrecher et Al [2006] dargestellte äquivalente Form der charakteristischen Funk-tion verwendet wird, ergeben sich hierbei keine Probleme.


C.2 Excel VBA Programm Code

In diesem Abschnitt wird der entwickelte VBA Programmcode zur Bestimmung von arbitragefreien Optionspreisen mittels komplexer Fourier Inversion oDengelegt. Der Code für das FMLS Modell wird komplett abgedruckt. Die anderen Modelle unter-scheiden sich lediglich bei der SpeziLkation der charakteristischen Funktion Function Integ(phi#, l#, tau#, … ). Die Evaluierung des Integrals erfolgt mit einer Gauss-Legendre Quadratur, wobei 200 Subintervalle mit vorberechneten 10 Punkte Gauss-Legendre Stützstellen und Gewichten berechnet werden. Bei dieser Funktion (hier FMLS) ist für die anderen Modelle der Name der Funktion zu ändern (z. B. Function Heston(S#, K#, r#, tau#, kappa#, theta#, rho#, sigmaV#, V#, PutCall As String) und bei dem Integral entsprechend die Parameter anzupassen (bei Heston integral =

integral + w(i) * Integ(phi, l, tau, kappa, theta, rho, sigmaV, V). Analog gilt dies für die anderen Modelle. Finite Moment Log Stable Option Explicit ' declare every used variable separately

Option Base 1 ' index starts at 1 in array

Private Const thePI# = 3.14159265358979

' Carr/Wu [2003] "The Finite Moment Log Stable Process and Option Pricing"

' for alpha=2 you get the celebrated Black-Scholes model as special case

' # means As Double and & means As Long

Function Integ(phi#, l#, tau#, alpha#, sigma#) As Double

Dim i As Complex, im As Complex, imi As Complex, AA As Complex, KaFu As Complex

Dim mu#, secc#, BB#

' for ease of calculations

i = Cplx(0, 1)

im = CRSub(phi, Cplx(0, 0.5))

imi = CMult(i, im)

secc = Sec((thePI * alpha) / 2)

' Convexity Correction for riskless drift

' needed for the discounted stock price process to be a martingale

mu = sigma ^ alpha * Sec((thePI * alpha) / 2)

' Characteristic Function

KaFu = CExp(CSub(CMultR(imi, mu * tau), CMultR(CPower(CMultR(imi, sigma), alpha), tau

* secc)))

' part of complex integral in Lewis formula

AA = CExp(CMultR(i, phi * l))

BB = 1 / (phi * phi + 0.25)

' real part for integration

Integ = CReal(CMultR(CMult(AA, KaFu), BB))

End Function

Function FMLS(S#, K#, tau#, r#, alpha#, sigma#, PutCall As String) As Double

' 10 point Gauss - Legendre c.f.

http://www.efunda.com/math/num_integration/findgausslegendre.cfm

Dim u(10) As Double

Dim w(10) As Double

Dim i&, j&, cutoff&, intvl&


Dim integral#, CallPrice#, l#, phi#

l = Log(S / K) + r * tau

u(1) = -0.973906528517

u(2) = -0.865063366689

u(3) = -0.679409568299

u(4) = -0.433395394129

u(5) = -0.148874338982

u(6) = 0.148874338982

u(7) = 0.433395394129

u(8) = 0.679409568299

u(9) = 0.865063366689

u(10) = 0.973906528517

w(1) = 0.0666713443087

w(2) = 0.149451349151

w(3) = 0.219086362516

w(4) = 0.26926671931

w(5) = 0.295524224715

w(6) = 0.295524224715

w(7) = 0.26926671931

w(8) = 0.219086362516

w(9) = 0.149451349151

w(10) = 0.0666713443087

If alpha <= 1 Or alpha > 2 Or sigma <= 0 Then

MsgBox "Entered value is outside of admissible domain!"

Exit Function

End If

' a cutoff value about 200 gives very accurate results, less should be all right ...

cutoff = 200

intvl = 2 ' length of each interval, a value of 2 is just fine ...

' evaluates every subinterval with a 10 point Gauss-Legendre Quadrature

integral = 0

For j = 1 To cutoff / intvl

For i = 1 To 10

phi = intvl * u(i) / 2 + intvl * (2 * j - 1) / 2

integral = integral + w(i) * Integ(phi, l, tau, alpha, sigma)

Next i

integral = intvl / 2 * integral

Next j

CallPrice = S - Sqr(S * K) / thePI * Exp(-r * tau / 2) * integral

Select Case PutCall ' Put Value via Put-Call-Parity

Case "Call"

FMLS = CallPrice

Case "Put"

FMLS = CallPrice + K * Exp(-r * tau) – S

End Select

End Function

Private Function Sec(z#) As Double

' secant function needed for log stable model, it´s not implemented in excel

' cf Abramowitz/Stegun [1972] Handbook of Mathematical Functions, p 72

Sec = 1 / Cos(z)

End Function

Heston ' Heston [1993] "A Closed-form Solution for Options with Stochastic Volatility with

Application to Bond and Currency Options"

' modified characteristic function from Albrecher et al [2006] "The Little Heston

Trap"

Function Integ(phi#, l#, tau#, kappa#, theta#, rho#, sigmaV#, V#) As Double


Dim i As Complex, im As Complex, imi As Complex, im2 As Complex, d As Complex, g As

Complex, dd_1 As Complex, dd_2 As Complex, AA As Complex, DD As Complex, cc_1 As

Complex, cc_2 As Complex, cc_3 As Complex, CC As Complex, KaFu As Complex

Dim BB#, sigma2#


sigma2 = sigmaV * sigmaV ' Excel does not like things like sigmaV^2

i = Cplx(0, 1)


imi = CMult(i, im)

im2 = CMult(im, im)

d = CSqrt(CAdd(CPower(CSubR(CMultR(imi, rho * sigmaV), kappa), 2), CAdd(CMultR(imi,

sigma2), CMultR(im2, sigma2))))

g = CDiv(CSub(CRSub(kappa, CMultR(imi, rho * sigmaV)), d), CAdd(CRSub(kappa,

CMultR(imi, rho * sigmaV)), d))

cc_1 = CMultR(CSub(CRSub(kappa, CMultR(imi, rho * sigmaV)), d), tau)

cc_2 = CMultR(CLn(CDiv(CRSub(1, CMult(g, CExp(CMultR(d, -tau)))), CRSub(1, g))), 2)

cc_3 = CMultR(CSub(cc_1, cc_2), theta * kappa)

CC = CDivR(cc_3, sigma2)

dd_1 = CMult(CRSub(1, CExp(CMultR(d, -tau))), CSub(CRSub(kappa, CMultR(imi, rho *

sigmaV)), d))

dd_2 = CMultR(CRSub(1, CMult(g, CExp(CMultR(d, -tau)))), sigma2)

DD = CDiv(dd_1, dd_2)

' Characteristic Function

KaFu = CExp(CAdd(CC, CMultR(DD, V)))



BB = 1 / (phi * phi + 0.25)



End Function

Merton Jump Di0usion ' Merton [1976] "Option pricing when the underlying stock returns are discontinuous"

' Merton´s Jump Diffusion Model

Function Integ(phi#, l#, tau#, lambda#, sigma#, omega#, eta#) As Double

Dim i As Complex, im As Complex, imi As Complex, im2 As Complex, AA As Complex, EE As

Complex, KaFu As Complex

Dim BB#, eta2#, sigma2#, mu#


eta2 = eta * eta

sigma2 = sigma * sigma

i = Cplx(0, 1)


imi = CMult(i, im)

im2 = CMult(im, im)


mu = -lambda * (Exp(omega + eta2 / 2) - 1) - 0.5 * sigma2

EE = CSubR(CExp(CSub(CMultR(imi, omega), CMultR(im2, 0.5 * eta2))), 1)

KaFu = CExp(CAdd(CSub(CMultR(imi, mu * tau), CMultR(im2, 0.5 * sigma2 * tau)),

CMultR(EE, lambda * tau)))



BB = 1 / (phi * phi + 0.25)




End Function

Merton Jump Di0usion – Stochastic Volatility ' Merton Jump Diffusion with Stochastic Volatility

' First implemented by Bates [1996] "Jumps and Stochastic Volatility: Exchange Rate

Processes Implicit in Deutsche Mark Options"

Function Integ(phi#, l#, tau#, kappa#, theta#, rho#, sigma#, V#, lambda#, omega#,

eta#) As Double


Complex, dd_1 As Complex, dd_2 As Complex, AA As Complex, DD As Complex, EE As

Complex, cc_1 As Complex, cc_2 As Complex, cc_3 As Complex, CC As Complex, CarFunc As

Complex, CarFuHeston As Complex, CarFuMerton As Complex

Dim BB#, mu#, sigma2#, eta2#



eta2 = eta * eta

i = Cplx(0, 1)


imi = CMult(i, im)

im2 = CMult(im, im)

'Heston Characteristic Function

d = CSqrt(CAdd(CPower(CSubR(CMultR(imi, rho * sigma), kappa), 2), CAdd(CMultR(imi,


g = CDiv(CSub(CRSub(kappa, CMultR(imi, rho * sigma)), d), CAdd(CRSub(kappa,

CMultR(imi, rho * sigma)), d))

cc_1 = CMultR(CSub(CRSub(kappa, CMultR(imi, rho * sigma)), d), tau)





sigma)), d))



' Merton Characteristic Function


mu = -lambda * (Exp(omega + eta2 / 2) - 1)

EE = CSubR(CExp(CSub(CMultR(imi, omega), CMultR(im2, 0.5 * eta2))), 1)

CarFuHeston = CExp(CAdd(CC, CMultR(DD, V)))

CarFuMerton = CExp(CAdd(CMultR(imi, mu * tau), CMultR(EE, lambda * tau)))

CarFunc = CMult(CarFuHeston, CarFuMerton)



BB = 1 / (phi * phi + 0.25)


Integ = CReal(CMultR(CMult(AA, CarFunc), BB))

End Function

Finite Moment Log Stable – Stochastic Volatility ' Combines Log Stable Option Pricing with Stochastic Volatility

Function Integ(phi#, l#, tau#, kappa#, theta#, rho#, sigma#, V#, alpha#) As Double



Complex, dd_1 As Complex, dd_2 As Complex, AA As Complex, DD As Complex, EE As

Complex, cc_1 As Complex, cc_2 As Complex, cc_3 As Complex, CC As Complex, CarFunc As

Complex, CarFuHeston As Complex, CarFuFMLS As Complex

Dim BB#, secc#, mu#, sigma2#



secc = Sec((thePI * alpha) / 2)

i = Cplx(0, 1)


imi = CMult(i, im)

im2 = CMult(im, im)

' Characteristic Function Heston

d = CSqrt(CAdd(CPower(CSubR(CMultR(imi, rho * sigma), kappa), 2), CAdd(CMultR(imi,


g = CDiv(CSub(CRSub(kappa, CMultR(imi, rho * sigma)), d), CAdd(CRSub(kappa,

CMultR(imi, rho * sigma)), d))

cc_1 = CMultR(CSub(CRSub(kappa, CMultR(imi, rho * sigma)), d), tau)





sigma)), d))



' Characteristic Function FMLS

mu = sigma ^ alpha * Sec((thePI * alpha) / 2)

CarFuHeston = CExp(CAdd(CC, CMultR(DD, V)))

CarFuFMLS = CExp(CSub(CMultR(imi, mu * tau), CMultR(CPower(CMultR(imi, sigma),

alpha), tau * secc)))

CarFunc = CMult(CarFuHeston, CarFuFMLS)



BB = 1 / (phi * phi + 0.25)


Integ = CReal(CMultR(CMult(AA, CarFunc), BB))

End Function

Komplexe Zahlen in VBA

Im Folgenden werden Funktionen für komplexe Operationen in Excel aufgelistet. Diese können alternativ zu den Standard Excel Funktionen für komplexe Zahlen ver-wendet werden. Diese Implementierung rechnet hierbei ausschließlich mit numeri-schen Werten, während Excel jede komplexe Zahl immer erst in einen String (Textda-tei in der Form: x$ªi) umwandelt. Bei http://www.alglib.net Lnden sich komplexe Funktionen als VBA Funktionen. Diese werden mit weiteren benötigten komplexen Funktionen erweitert. Der Performancegewinn bei Verwendung dieser Funktionen liegt im Vergleich zu den Excel Funktionen im Schnitt bei etwa Faktor 10 (gemessen mit GetTickCount Lib "kernel32").


Option Explicit

Type Complex ' definition of new variable type: complex number

X As Double

y As Double

End Type

Public Function Cplx(ByVal real#, ByVal imag#) As Complex ' define complex number

Cplx.X = real

Cplx.y = imag

End Function

Public Function CReal(ByRef z As Complex) ' returns real part of complex number

CReal = z.X

End Function

Public Function CAdd(ByRef Z1 As Complex, ByRef Z2 As Complex) As Complex

Dim Result As Complex ' addition

Result.X = Z1.X + Z2.X

Result.y = Z1.y + Z2.y

CAdd = Result

End Function

Public Function CAddR(ByRef Z1 As Complex, ByVal r#) As Complex

Dim Result As Complex ' addition of complex number with real number

Result.X = Z1.X + r

Result.y = Z1.y

CAddR = Result

End Function

Public Function CSub(ByRef Z1 As Complex, ByRef Z2 As Complex) As Complex

Dim Result As Complex ' substraction

Result.X = Z1.X - Z2.X

Result.y = Z1.y - Z2.y

CSub = Result

End Function

Public Function CSubR(ByRef Z1 As Complex, ByVal r#) As Complex

Dim Result As Complex ' substraction of complex number with real number

Result.X = Z1.X - r

Result.y = Z1.y

CSubR = Result

End Function

Public Function CRSub(ByVal r#, ByRef Z1 As Complex) As Complex

Dim Result As Complex ' substraction of real number with complex number

Result.X = r - Z1.X

Result.y = -Z1.y

CRSub = Result

End Function

Public Function CMult(ByRef Z1 As Complex, ByRef Z2 As Complex) As Complex

Dim Result As Complex ' multiplication

Result.X = Z1.X * Z2.X - Z1.y * Z2.y

Result.y = Z1.X * Z2.y + Z1.y * Z2.X

CMult = Result

End Function


Public Function CMultR(ByRef Z1 As Complex, ByVal r#) As Complex

Dim Result As Complex ' multiplication of complex number with real number

Result.X = Z1.X * r

Result.y = Z1.y * r

CMultR = Result

End Function

Public Function CExp(ByRef z As Complex) As Complex ' exponentiation

Dim Result As Complex

Result.X = Exp(z.X) * Cos(z.y)

Result.y = Exp(z.X) * Sin(z.y)

CExp = Result

End Function

Public Function CPower(ByRef z As Complex, ByVal X#) As Complex

Dim Result As Complex, r#, y# ' takes the n-th power of complex number

r = Sqr(z.X * z.X + z.y * z.y)

y = Atn(z.y / z.X)

Result.X = r ^ X * Cos(X * y)

Result.y = r ^ X * Sin(X * y)

CPower = Result

End Function

Public Function CSqrt(ByRef z As Complex) As Complex ' square root

Dim Result As Complex, r#, y#


y = Atn(z.y / z.X)

Result.X = Sqr(r) * Cos(y / 2)

Result.y = Sqr(r) * Sin(y / 2)

CSqrt = Result

End Function

Public Function CLn(ByRef z As Complex) As Complex ' logarithm

Dim Result As Complex, r#, y#


y = Atn(z.y / z.X)

Result.X = Log(r)

Result.y = y

CLn = Result

End Function

Public Function CDiv(ByRef Z1 As Complex, ByRef Z2 As Complex) As Complex

Dim Result As Complex ' division

Dim a#, b#, C#, d#, E#, F#

a = Z1.X

b = Z1.y

C = Z2.X

d = Z2.y

If Abs(d) < Abs(C) Then

E = d / C

F = C + d * E

Result.X = (a + b * E) / F

Result.y = (b - a * E) / F

Else

E = C / d

F = d + C * E

Result.X = (b + a * E) / F

Result.y = (-a + b * E) / F

End If

CDiv = Result

End Function


Public Function CDivR(ByRef Z1 As Complex, ByVal r#) As Complex

Dim Result As Complex ' division by real number

Result.X = Z1.X / r

Result.y = Z1.y / r

CDivR = Result

End Function

Public Function CRDiv(ByVal r#, ByRef Z2 As Complex) As Complex

Dim Result As Complex ' division of real number by complex number

Dim a#, b#, C#, d#, E#, F#

a = r

C = Z2.X

d = Z2.y

If Abs(d) < Abs(C) Then

E = d / C

F = C + d * E

Result.X = a / F

Result.y = -(a * E / F)

Else

E = C / d

F = d + C * E

Result.X = a * E / F

Result.y = -(a / F)

End If

CRDiv = Result

End Function


C.3 Verwendete Software und Daten

Die Anpassung der log Renditen des DAX an eine stabile Verteilung (Abbildung 5) erfolgte mit dem Tool stable.exe von John Nolan. Auch die Daten für die Quantil Plots wurden hiermit generiert (Abbildung 7). Das Programm und viele weiterfüh-rende Informationen zu stabilen Verteilungen sind erhältlich unter http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/stable.html. Der bei der Kalibrierung verwendete BFGS Optimierungsalgorithmus ist in dem Freeware Tool PopTools implementiert. Dieser kann als Alternative zum mitgeliefer-ten Solver benutzt werden und erweist sich als sehr robust und leicht zu bedienen. Neben einer Vielzahl von anderen Funktionen lassen sich hiermit auch qualitativ hochwertige Zufallszahlen generieren (Abbildung 2), verwendet wird hierbei der Mersenne Twister Algorithmus. Erhältlich unter http://www.cse.csiro.au/poptools/. Eine Alternative hierzu bietet das Tool Optimiz, ebenfalls Freeware. Hierbei erfolgt die Optimierung On-Site, d. h. man kann auf dem Bildschirm verfolgen, was während der Optimierung passiert. Wurde für die Studie nicht benutzt, erwies sich aber im Vorfeld als sehr nützlich. Erhältlich unter http://digilander.libero.it/foxes/Optimiz_tool.zip. Alle anderen Berechnungen und Statistiken wurden mit MS Excel 2007 durchgeführt bzw. erstellt und die Ergebnisse graLsch dargestellt. Die Zeitreihe des DAX vom 30.12.1966 bis 23.02.2007 wurde am 12.02.2008 von http://www.wiwi.uni-muenster.de/05/download//Vorlesungen/Statistik_I/ Wittmann/Z2-Aufg_7.xls runtergeladen. Die fehlenden Daten bis zum Ende des Untersuchungszeitraumes (24.01.2008) wurden mit Daten von Yahoo.com ergänzt. Tagesaktuelle Daten für DAX Optionen sind mit je 15 Min. Verzögerung kostenlos erhältlich unter http://boerse.de/ oder direkt bei http://www.eurexchange.com/. Settlementpreise für den jeweiligen Tag stehen erst deutlich nach Handelsschluss um 17:30 Uhr zur Verfügung. Alle weiteren benötigten tagesaktuellen Werte für die Berechnung von Optionsprei-sen wurden von comdirect.de/informer/tools/chartanalyzer aufgenommen. Für die implizite Bestimmung der Indexstände des DAX kann hierfür auch auf die Intraday Daten des FDAX zurückgegriDen werden.

http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/stable.html

http://www.cse.csiro.au/poptools/

http://digilander.libero.it/foxes/Optimiz_tool.zip

http://www.wiwi.uni-muenster.de/05/download/Vorlesungen/Statistik_I/Wittmann/Z2-Aufg_7.xls

http://www.wiwi.uni-muenster.de/05/download/Vorlesungen/Statistik_I/Wittmann/Z2-Aufg_7.xls

http://boerse.de/

http://www.eurexchange.com/


Die weiteren Daten umfassen die EURIBOR 1 Woche, 1, 3, 6, 9, 12 Monate Zinssätze sowie die REX 2 und 3 Jahre Rentenindizes. Auch VDAX Stände sind hier erhältlich. Dieser Service steht nach kostenfreier Anmeldung zur Verfügung. Bis zu 32 vorberechnete Stützstellen und Gewichte für verschiedene Gauss Quadraturen sind erhältlich unter http://www.efunda.com/math/num_integration /num_integration.cfm. Werden mehr benötigt, so gibt es unter http://www.alglib.net/ VisualBasic Prozeduren, um beliebig viele Stützpunkte zu ermitteln. Ganz allgemein erwies sich das Wilmott Forum als unbegrenzte Quelle der Inspiration und war stets erste Anlaufstelle bei Problemen aller Art, die Lnanzmathematische Fragestellungen und praktische Umsetzungsmöglichkeiten betreDen. http://wilmott.com/.

http://www.efunda.com/math/num_integration/num_integration.cfm

http://www.efunda.com/math/num_integration/num_integration.cfm

http://www.alglib.net/

http://wilmott.com/

Symbolverzeichnis 0 Moneyness ln ⁄ ⁄ k √ Euler’sche Zahl 2,71828 …

i imaginäre Einheit √1 Moneyness ln/ > (logarithmierte) Preisveränderung stetiger risikoloser Zinssatz Kalenderzeit h Integrationsvariable Callpreis BC Black–Scholes Callpreis , Callpreis in Abhängigkeit von und zum Zeitpunkt X Future a poissonverteilte Sprünge Ausübungspreis, Basispreis, Strike ` Lévy Prozess ! Putpreis Aktienkurs zum Zeitpunkt ; diskontierter Aktienkurs zum Zeitpunkt Fälligkeit; Laufzeit einer Option % Brownsche Bewegung, Wiener Prozess *9. Erwartungswertoperator unter : , physikalisches (statistisches) Wahrscheinlichkeitsmaß : risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß, Martingalemaß · Filtration ? Tail Index der stabilen Verteilung Schiefeparameter der stabilen Verteilung d Varianz der Sprungintensität langfristiger Mittelwert des Volatilitätsprozesses ~ ~ instantane Varianz, auch Momentanvarianz oder lokale Varianz b Sprungintensität # mittlere erwartete Aktienkursrendite, Drift #k Konvexitätskorrekturfaktor Kreiszahl 3,14159 …

Symbolverzeichnis iv

Korrelationskoe]zient Variabilität der Preisprozesse; Volatilität bzw. Skalenparameter Volatilität der stochastischen Varianz , zeitveränderliche Volatilität in Abhängigkeit von und verbleibende Restlaufzeit einer Option fh charakteristische Funktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung c Mittelwert der Sprungintensität cH Gewichtungsfaktor für Option Ê Γ Gamma einer Option Δ Delta einer Option Θ Parametervektor der Modellvariablen Anpassungsgeschwindigkeit der stochastischen Varianz Π. numerisch ermittelte Verteilungsfunktion Φ. kumulative Standardnormalverteilung Ω Zustandsraum möglicher Ereignisse µ Fouriertransformierte µ Information zum Zeitpunkt Re Realteil einer komplexen Zahl sec() Sekantenfunktion, trigonometrische Funktion für KreisberechnungenΔUVW DiDerenzdividende

Abkürzungsverzeichnis (G)ARCH (Generalized) AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity ATM at the money BFGS Broydon-Fletcher-Goldfarb-Shanno DAI Börsenkürzel für die Daimler AG DAX® Deutscher Aktienindex DJ Dow Jones DTB Deutsche Terminbörse Eurex® European Exchange EURIBOR® Euro Interbank ODered Rate FDAX® Futures auf den DAX FMLS Finite Moment Log Stable FMLS–SV Finite Moment Log Stable – Stochastic Volatility FWB® Frankfurter Wertpapierbörse ISIN International Securities IdentiLcation Number ITM in the money MAE mean average error MARE mean average relative error MJD Merton Jump DiDusion MJD–SV Merton Jump DiDusion – Stochastic Volatility MLE maximum likelihood estimation MSE mean squared error ODAX® Optionen auf den DAX OTC Over the Counter OTM out of the money PWLS penalised weighted least squares R/S Range over Standard Deviation REX® Deutscher Rentenindex RMSE root mean squared error S & P 500 STANDARD & POOR’S 500 Aktienindex SOFFEX Swiss Options and Financial Futures Exchange sse sum of squared errors SV Stochastic Volatility TLD Truncated Lévy Distributions WLS weighted least squares Xetra® vollelektronisches Handelssystem (Electronic Trading)

Abkürzungsverzeichnis vi

DAX®, ODAX®, FDAX®, VDAX®, REX®, FWB®, Eurex® und Xetra® sind eingetragene Handelsmarken der Deutsche Börse AG. EURIBOR® ist eine eingetragene Handels-marke der Fédération Bancaire Européenne. Dow Jones EuroSTOXX 50® ist eine Dienstleistungsmarke der STOXX Ltd. und/oder der Dow Jones & Company, Inc. Auf die Verwendung des ® Logos im Laufe der Arbeit wird verzichtet.

Abbildungsverzeichnis Abbildung 1: Auszahlungsdiagramme für europäische Optionen. 5

Abbildung 2: Simulierte Aktienkursverläufe mit identischer Drift und

unterschiedlicher Volatilität. 15

Abbildung 3: Evolution der täglichen Schlusskurse des DAX. 18

Abbildung 4: Tägliche Renditen vom 30. Dezember 1966 bis 24. Januar 2008. 20

Abbildung 5: Empirische Dichtefunktion des DAX angepasst an eine

Normalverteilung und eine ?-stabile Verteilung. 22

Abbildung 6: Empirische Dichtefunktion des DAX, Teil 2. 24

Abbildung 7: Quantil Plot der Tagesrenditen des DAX. 25

Abbildung 8: Historische Volatilität und Volatilitätscluster. 28

Abbildung 9: Reale und Black–Scholes Preise für den 7. Dezember 2007. 29

Abbildung 10: Smile und Smirk EDekt. 30

Abbildung 11: Fristenstruktur der impliziten Volatilität. 32

Abbildung 12: Implizite Volatilitäten vom 21.12.2007 für die

ODAX Januar 08 Optionen. 33

Abbildung 13: Implizite Volatilitäten für quotierte Jan 08 Optionen

vom 21.12.2007. 34

Abbildung 14: Implizite Volatilitäten und zugehörige Zustandspreisdichte MJD. 38

Abbildung 15: Implizite Volatilitäten und zugehörige Zustandspreisdichte Heston. 40

Abbildung 16: Laufzeitmuster von impliziten Volatilitäten. 41

Abbildung 17: Implizite Volatilitäten und zugehörige Zustandspreisdichte FMLS. 43

Abbildung 18: Implizite Volatilitäten und zugehörige Zustandspreisdichte MJD–SV.44

Abbildung 19: Implizite Volatilitäten und zugehörige Zustandspreisdichte FMLS–SV.46

Abbildung 20: Geschätzte Parameter im Zeitablauf, ohne Regularisierung (WLS). 56

Abbildung 21: Geschätzte Parameter im Zeitablauf, mit Regularisierung (PWLS). 59

Abbildungsverzeichnis x

Abbildung 22: Bewertungsfehler im Zeitablauf, ohne Regularisierung (WLS). 61

Abbildung 23: Reale und MJD Preise für den 7. Dezember 2007. 73

Abbildung 24: In-Sample Bewertungsfehler im Zeitablauf, mit

Regularisierung (PWLS). 74

Abbildung 25: Out-of-the-Sample Bewertungsfehler im Zeitablauf, ohne

Regularisierung (WLS). 75

Abbildung 26: Out-of-the-Sample Bewertungsfehler im Zeitablauf, mit

Regularisierung (PWLS). 76

Abbildung 27: Implizite VolatilitätsoberJäche von DAX Optionen für den

7. Dezember 2007. 78

Abbildung 28: Implizite VolatilitätsoberJäche Merton Jump DiDusion. 79

Abbildung 29: DiDerenz in der Volatilität von Markt und Modell, MJD. 79

Abbildung 30: Implizite VolatilitätsoberJäche Heston. 80

Abbildung 31: DiDerenz in der Volatilität von Markt und Modell, Heston. 80

Abbildung 32: Implizite VolatilitätsoberJäche FMLS. 81

Abbildung 33: DiDerenz in der Volatilität von Markt und Modell, FMLS. 81

Abbildung 34: Implizite VolatilitätsoberJäche MJD–SV. 82

Abbildung 35: DiDerenz in der Volatilität von Markt und Modell, MJD–SV. 82

Abbildung 36: Implizite VolatilitätsoberJäche FMLS–SV. 83

Abbildung 37: DiDerenz in der Volatilität von Markt und Modell, FMLS–SV. 83

Abbildung 38: Integrand des FMLS–SV Modells bei der numerischen Integration. 87

Tabellenverzeichnis Tabelle 1: Anpassungsgüte der Black–Scholes Kalibrierung. 28

Tabelle 2: In-Sample geschätzte Parameter, ohne Regularisierung (WLS). 55

Tabelle 3: In-Sample geschätzte Parameter, mit Regularisierung (PWLS). 58

Tabelle 4: In-Sample Anpassungsgüte, ohne Regularisierung (WLS). 60

Tabelle 5: In-Sample Anpassungsgüte, mit Regularisierung (PWLS). 60

Tabelle 6: Out-of-the-Sample Anpassungsgüte, ohne Regularisierung (WLS). 62

Tabelle 7: Out-of-the-Sample Anpassungsgüte, mit Regularisierung (PWLS). 63

Tabelle 8: Implizite Volatilitätsmatrix für DAX Optionen. 77

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Erklärung

Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe, dass alle Stellen der Arbeit, die wörtlich oder sinngemäß aus anderen Quellen übernommen wurden, als solche kenntlich gemacht worden sind, und dass die Arbeit in gleicher oder ähnlicher Form noch keiner anderen Prüfungsbehörde vorgelegt wurde. Hannover, den 13. März 2008

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Optionspreisbewertung mit stochastischer Volatilität und ... Thesis.pdf · Optionspreisbewertung mit stochastischer Volatilität und Sprungprozessen – Eine Untersuchung am Deutschen