Optische Messungen am Isolatorkristall

Optische Messungen an einem Isolatorkristall

Protokoll zum Versuch Nummer Ba 11 vom 30.05.2012

El-Mokdad, Podlesny, Schnitt

Gruppe B 4

betreuender Tutor:Jan Behrends

Optische Messungen an einem Isolatorkristall El-Mokdad, Podlesny, Schnitt

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Theoretische Grundlagen 32.1 Rubin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Grundzustand Cr 3+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2 Kristallfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Beschreibung des Versuchsaufbaus 9

4 Durchführung der Messungen 10

5 Auswertung der Messungen 115.1 Bestimmung der Eichfunktion des Monochromators . . . . . . . . . . . . 115.2 Fehlerabschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.3 Differenzspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.4 Analyse der Laserlinie des Rubins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.5 Bestimmung der Bandenschwerpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.6 Feldstärkeparameter Dq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6 Diskussion der Messergebnisse 20

7 Anhang 21

8 Literaturverzeichnis 22

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1 Einleitung

In diesem Praktikumsversuch soll ein Isolatorkristall, bei dem es sich um einen Rubinhandelt, vermessen werden. Rubine bestehen hauptsächlich aus Korund (Al2O3), welchesein farbloses Material, das zum Schleifen benutzt wird, ist. Durch Verunreinigung mitCr-Ionen, die Al-Plätze besetzen, ändert sich die Farbe zu purpurrot.

Ein Ziel des Versuches und der Vorbereitung ist es, die Farbe des Rubins zu verstehenund erklären zu können, warum andere Verunreinigungen (z.B. Ni, Ti) andere Farbenhervorrufen können. Einige dieser Systeme sind wichtige Festkörperlasermaterialien (außerRubin zum Beispiel noch Ti:Saphir, Nd:YAG). Desweiteren besteht eine enge Verbindungzu den chemischen Komplexverbindungen. Die zugehörige physikalische Theorie ist dieKristallfeld- oder Ligandenfeldtheorie.

Im Versuch wird ein optisches Spektrometer mit Vergleichsstrahlengang aufgebaut unddas Absorptionsspektrum des Rubinkristalls gemessen.

2 Theoretische Grundlagen

2.1 Rubin

Unter einem Rubin versteht man eine rote Varietät des Materials Korund, Al2O3, wobeiKorund an sich farblos ist und die rote Färbung aufgrund der Einlagerung von Cr 3+-Ionenanstelle einiger Al 3+-Ionen des eigentlichen Korund-Gitters erfolgt. Die Struktur vonKorund ist in Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1: perspektivische Darstellung der idealisierten Kristallstruktur von Korund-Typ(α-Al2O3) [RJ11]

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Die Farbe eines Kristalls resultiert aus der Wechselwirkung von elektromagnetischerStrahlung mit den Elektronen in der Hülle der Atome, wobei die energetische Lage derEnergieniveaus ausschlaggebend für die eigentliche Farbe ist. Die rote Farbe des Rubinswird durch die Cr 3+-Ionen bedingt, welche Plätze der Al 3+-Ionen besetzen. Dadurch wirddie Ligandenfeldaufspaltung des Chroms vergrößert, wodurch die farbgebenden Über-gänge nicht mehr dem chromtypischen Grün entsprechen, sondern durch die Absorptionvon energiereicherer Strahlung ins rote Farbspektrum wechseln.

2.1.1 Grundzustand Cr 3+

Die Elektronenkonfiguration von Chrom ist [Ar]3d5s1, wodurch die Cr 3+-Ionen in derKonfiguration [Ar]3d3 (siehe Abbildung 2) vorliegen. Nach den Hund’schen Regeln koppelnBahndrehimpuls und Spin zu einem Gesamtdrehimpuls. Der Spin wird maximiert zuS = 3/2, der Bahndrehimpuls maximiert zu L = 3. Anschließend berechnet sich derGesamtdrehimpuls über J = |L − S| = 3/2 aufgrund der weniger als halb-gefülltenSchale. Die mit drei Elektronen besetzte fünffach entartete d-Unterschale ist nach denHundschen Regeln im Grundzustand dann so besetzt, dass sich ein siebenfach entarteterQuartett-Zustand 4F3/2 ergibt.

Abbildung 2: Energieniveauschema von Cr 3+ mit der Konfiguration [Ar]3d 3

2.1.2 Kristallfeld

Das Kristallfeld des Rubins ist kubisch mit trigonaler Ausprägung, wodurch bestimmte, inden Raumebenen liegenden, d-Orbitale bevorzugt besetzt werden. Es handelt sich hierbeium Orbitale, welche als Mischzustände vorliegen und wie folgt beschrieben werden:

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dxy =1

i√

2(|2, 2〉 − |2,−2〉) (2.1)

dyz =1

i√

2(|2, 1〉+ |2,−1〉) (2.2)

dxz =1

i√

2(|2, 1〉 − |2,−1〉) (2.3)

Die z-Komponente des Drehimpulsoperators wirkt nach

L̂z |l,m〉 = ~m |l,m〉 (2.4)

Wodurch〈L̂z〉 = 〈dxy|L̂z|dxy〉 = 〈dyz|L̂z|dyz〉 = 〈dxz|L̂z|dxz〉 = 0 (2.5)

folgt.

Der Erwartungswert der z-Komponente des Bahndrehimpulses 〈L̂z〉 verschwindet. Da-durch ist L nicht mehr geeignet das System zu beschreiben.

Dieses Phänomen des verschwindenden Bahndrehimpulses nennt man „Quenching desBahndrehimpulses“ [Ans02]. Die bindenden Elektronen befinden sich näher am Sauerstoff,wodurch die Ladungsverteilung nicht mehr kugelsymmetrisch ist. Dadurch spüren dieElektronen ein zusätzlich wirkendes Potential wodurch kein Zentralpotential mehr vorliegt.Die resultierende Aufspaltung der Energieniveaus des Cr 3+ ist in Abbildung 3 auf dernächsten Seite dargestellt.

Der Grundzustand 4F des freien Ions spaltet in den Grundzustand 4A2 und die Zu-stände 4T2 und 4T3 dreifach auf. Das 2G-Niveau spaltet unter anderem in das für denLaserübergang relevante 2E-Niveau auf.

Wird Rubin von weißem Licht (kompletten sichtbares Spektrum abgedeckt) bestrahlt, sowird der violette und ein großer Teil des blauen Spektrums vom 4T1-Niveau und nahezuder gesamte grün-gelbe Bereich vom 4T2 absorbiert. Passieren kann im Gegensatz einsehr großer Bereich des roten Spektrums und ein kleiner blauer Bereich, der dem Rubinseine tiefrote Färbung mit blau-lila Übertönen gibt. Die Auswahlregeln erlauben keinedirekte Relaxion in den Grundzustand, sodass die Abregung über den 2E unter leichtemEnergieverlust erfolgen muss. Beim Abregen von diesem Zustand in den Grundzustandwird anschließend ein kleiner Teil rotes Licht vom Rubin emittiert - man spricht vonder Fluoreszenz des Rubins. Die direkte Anregung des 2E-Zustandes hingegen verstößtgegen die Auswahlregel ∆S = 0. In Abbildung 4 auf Seite 7 sind die Übergänge mit denentsprechenden Absorptionen und Emissionen wiedergegeben.

Durch die Anregung des 2E-Niveaus kann leicht eine Besetzungsinversion erzeugt werden.Dies erklärt die vielfältige Verwendung des Rubins als Medium im Laser. Wenn man von

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Abbildung 3: Aufspaltung der Energieniveaus der Cr 3+-Ionen im Korund [Zho98]

einem „verbotenen“ Zustand spricht ist darüberhinaus zu beachten, dass dieses Verboteine statistische Schwelle beschreibt. Der betreffende Übergang ist also nur mit sehrgeringer Wahrscheinlichkeit anzuregen. Es kann dahingehend aber durchaus sein, dassdas 2E-Niveau direkt angeregt wird und der Laserübergang im Absorptionspektrum desRubins zu finden ist.

Die energetische Lage der Energieniveaus wird durch das Kristallfeld verursacht undist von diesen abhängig. Ein Vergleich der Edelsteine Rubin und Smaragd macht diesdeutlich. In beiden Kristallen sind Chrom-Ionen für die typischen Farben verantwortlich,sie unterscheiden sich nur im umgebenen Kristallfeld. Während im Smaragd das MineralBeryll für das Kristallfeld verantwortlich ist, und der Edelstein eine grüne Färbungaufweist, handelt es sich beim roten Rubin um Korund. Durch die unterschiedliche Lageder Energieniveaus werden bei beiden Kristallen unterschiedliche Wellenlängen absorbiert

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Abbildung 4: schematische Darstellung der Absorption und Emission im Rubin [Dou08]

(siehe Abbildung 5 auf der nächsten Seite). Eine allgemeine Abhängigkeit der Energiender Zusände wurde von Y. Tanabe und S. Sugano entwickelt und wird in einem nachihnen benannten Diagramm dargestellt (siehe Abbildung 6 auf Seite 9). Dabei wird zurCharakterisierung des Feldes der Kristallstärke-Parameter Dq eingeführt. Dieser wirdhier noch durch den Racah-Parameter B normiert.

Durch die hohe Steigung im Diagramm ist deutlich, dass die beiden T-Niveaus sehrstark vom Parameter Dq abhängig sind. Daher sind die Niveaus auch keine scharfenAbsorptionsniveaus, sondern zu Banden verbreitert. In Kristallen gibt es immer Defekte,die die Form des Potentials und daher auch den Parameter Dq beeinflussen. Eine kleineVeränderung im Kristallfeld führt somit auch zu einer bemerkbaren Änderung derEnergieniveaus 4T.

Die Banden des Rubins sorgen für eine Absorption fast des kompletten nicht-rotensichtbaren Lichtes, wodurch es zu der typischen Rotfärbung des Edelsteins kommt.

2.2 Absorption

Unter Absorption wird eine physikalische Wechselwirkung bezeichnet, bei der Licht seineEnergie an Materie abgibt. Wieviel Licht absorbiert wird hängt von der Wellenlänge

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Abbildung 5: Vergleich Absorption und Emission im Rubin und Smaragd [Dou08]

λ des Lichts, der Dicke d der Probe und einem material- und wellenlängenabhängigenAbsorptionskoeffizienten α ab. Bezeichnet I0 die Anfangsintensität, so wird die Absorptioneiner Wellenlänge durch das Bouguer-Lambertsche Gesetz beschrieben:

I = I0e−α(λ)d ⇔ α(λ) = −

ln II0

d(2.6)

Mithilfe von Gleichung (2.6) lässt sich für jede Wellenlänge λ der von ihr abhängigeAbsorptionskoeffizient α bestimmen.

Darüberhinaus ist die Berechnung von α(λ) über eine Taylorentwicklung der Exponenti-alfunktion möglich. Gleichung (2.7) gibt den sich ergebenden Ausdruck bei Entwicklungbis zur ersten Ordnung wieder.

I ≈ I0 (1− α(λ) · d)⇔ α(λ) ≈ I0 − IdI0

(2.7)

Die Absorption eines Materials ist im Normalfall nicht scharf abgegrenzt, sondern esbilden sich vielmehr Absorptionsbanden. Zur Bestimmung der Energie des entsprechendenNiveaus ist eine Schwerpunktberechnung der Bande n notwendig. Diese gestaltet sichnach [SG67] wie in Gleichung (2.8) auf der nächsten Seite beschrieben.

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λn =

∑i (λi · αi)∑i (αi)

(2.8)

3 Beschreibung des Versuchsaufbaus

Um die Absorption des Rubins zu bestimmen, haben wir das Differenzspektrum zu einerXenon-Lampe aufgenommen. Der Aufbau ist schematisch in Abbildung 7 auf der nächstenSeite dargestellt.

Messtechnisch wird dies realisiert, indem der Strahl der Xenon-Lampe geteilt wird, sodassein Teil des von der Lampe ausgehenden Lichts unbeeinflusst in den Monochromatorgelangt, während der andere Teil über den Rubinkristall gelenkt wird und anschließendden Monochromator erreicht.

Der Monochromator kann Signale über ein komplettes Spektrum aufnehmen. Dabei fälltdas Licht durch ein Gitter, dessen horizontaler Winkel mit konstanter Geschwindigkeitvariiert wird. Somit wird zu bestimmten Zeitpunkten eine bestimmte Wellenlänge isoliertund deren Intensität mittels eines Photomultipliers gemessen. Die beiden Signale derStrahlen kommen dann 180◦ phasenverschoben an einen Lock-In-Verstärker, welcher dasgewünschte Differenzsignal generiert, indem er das Einganssignal mit der Frequenz desChoppers abwechselnd mit 1 und -1 multipliziert und das zeitliche Mittel bildet.

Abbildung 6: Tanabe-Sugano-Diagramm eines 3d 3-Systems im oktaedrischen Kristallfeld mitfür Rubin angepassten Parametern [SK01]

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Abbildung 7: schematischer Versuchsaufbau nach Praktikumsskript [Fre12]

Beide Signale werden periodisch durch einen sogenannten Chopper getrennt. Dabeihandelt es sich um eine, mit geeigneten Aussparungen versehene, Scheibe, die sich mittelseines geregelten Motors bei einer fest definierten Frequenz dreht. Die Aussparungenbefinden sich im selben Abstand zueinander und erlauben jeweils nur einem der Teil-strahlen zu passieren, während der andere komplett geblockt wird. Dadurch ergeben sichnäherungsweise Rechteck-Signale. Der besondere Nutzen des Choppers besteht darin, dasam Detektor ankommende Signal von Störungen zu trennen.

Das Detektorsignal wird dazu am Lock-In-Verstärker mit der Frequenz des Choppers um-gepolt. Werden nun zusätzlich Signale vom Detektor aufgenommen, so ergeben sich durchdie ungleiche Frequenz Schwebungen, welche durch einen Tiefpassfilter herausgefiltertwerden. Das dahingehend gefilterte Signal wird als der der Signalamplitude proportionaleGleichspannung an den PC weitergeleitet.

Das Signal des Lock-In Verstärkers wird weiter an den Computer gegeben, der diegemessenen Spannungen in Abhängigkeit von der Zeit darstellt. Die Zeit kann später derentsprechenden Wellenlänge zugeordnet werden.

4 Durchführung der Messungen

Der in Abschnitt 3 auf der vorherigen Seite dargestellte Messaufbau war bereits zu Beginnaufgebaut und musste von uns nur noch nachjustiert werden. Dazu wurden zu Beginnbeide Strahlen auf die Blenden fokussiert. Zusätzlich haben wir darauf geachtet, dassbeide Strahlen die Chromatoröffnung ideal treffen.

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Die Strahlengänge haben wir danach bei einer Wellenlänge von ≈ 700 nm mit Hilfeder Blenden IB1 und IB2 auf gleiche Intensität eingestellt, wobei Blende IB3 zunächstkomplett offen gelassen wurde. Die Einstellungen wurden durch das zum Messaufbaugehörende Oszilloskop kontrolliert. Die Wellenlänge von 700 nm haben wir gewählt, dahier die Absorption des Rubins vernachlässigbar ist.

Um ein Übersteuern zu vermeiden wurden von uns abschließend vor der eigentlichenMessung mehrere Testläufe mit unterschiedlichen Verstärkerstufen durchgeführt. DieseTestläufe wurden mit der schnelleren der zwei nutzbaren Geschwindigkeitsstufen desMonochromators (≈ 1 nm· s−1) über den später kompletten relevanten Bereich von350 - 750 nm durchgeführt. Wir haben uns aufgrund dieser Testmessungen für die zweit-kleinste Verstärkerstufe entschieden, da diese sowohl ein Übersteuern verhinderte, alsauch den kompletten verfügbaren Bereich bestmöglich ausnutzte.

Die eigentliche Messung bestand aus sechs Messreihen. Als erstes wurde das Differenz-spektrum beider Strahlen aufgenommen, danach wurde jeweils ein Intensitätsspektrumder Xenon-Lampe mit und ohne Rubin im Strahlengang vermessen. Dazu wurde derjeweils andere Strahlengang abgedeckt. Das Intensitätsspektrum der Xe-Lampe mit Rubinwurde anschließend noch einmal mit höherer Auflösung nachgemessen. Danach wurde dieBasislinie des Monochromators aufgenommen. Dazu wurde der Rubin durch eine Loch-blende ersetzt und die Intensität beider Strahlen wieder angeglichen. Die letzte Messreiheschließlich bestand in der Aufnahme der Kennline einer Hg(Ar)-Lampe zur späterenEichung der Apparatur. Die Messung erfolgte bis auf die Feinmessung der Rubinlinie unddes Eichspektrums im Bereich von 350 - 720 nm. Die Feinmessung erfolgte im Bereichvon 670 - 720 nm und das Eichspektrum wurde von 320 - 720 nm aufgenommen.

5 Auswertung der Messungen

5.1 Bestimmung der Eichfunktion des Monochromators

Als erstes wurde das Spektrum der Quecksilberlampe zur Eichung der Kurven ausgewertet.In Abbildung 8 und Abbildung 9 auf Seite 13 ist das aufgenommene Spektrum wiederge-geben. Um auch kleinere Ausschläge interpretieren zu können wurde in Abbildung 9 dergeplottete Achsenbereich der Amplitude eingeschränkt.

Wir setzen eine konstante Änderung der gemessenen Wellenlänge in Abhängigkeit derZeit voraus. Im aufgenommenen Spektrum sind zehn Peaks erkennbar, deren Werte inTabelle 1 auf der nächsten Seite tabellarisch festgehalten wurden.

1Da sich die Fehler in der Auflösung der Zeitmessung nur schwer erfassen ließen, wurde die schein-bare Wellenlänge bewusst auf die Genauigkeit der Vergleichsquelle angeglichen. Der Vergleich derWellenlängen erfolgte mit [LOT96]

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Nr Zeit t in s λChromator in nm λHg(Ar) in nm

1 80.40 368.2 365.02 146.60 407.9 404.73 198.50 439.0 435.84 318.00 510.6 -5 382.90 549.5 546.16 434.35 580.4 577.07 437.90 582.5 579.08 461.90 596.9 -9 515.15 628.8 -10 517.15 630.0 -

Tabelle 1: Peaks der Ausmessung der Hg-Kennlinie, wiedergegeben wurden die Zeit t beim Durch-lauf, die scheinbare Wellenlänge λChromator laut Beschriftung des Monochromatorsund die zugeordnete Wellenlänge λHg durch Vergleich mit dem Hg(Ar)-Spektrum1

Durch grafisches Abtragen der scheinbaren Wellenlänge gegen die zugeordneten Werte(siehe Abbildung 10 auf Seite 14) wird der lineare Zusammenhang bestätigt. Wir fittenunter Nutzung von gnuplot die entsprechende lineare Funktion2 und erhalten

λreell[nm] = (λChromator[nm]− 2.67nm)± 0.11 nm (5.1)

Damit lassen sich nun die Wellenlängen des Versuchs berechnen.

2gnuplot bedient sich zur Berechnung des Levenberg-Marquardt-Algorithmus

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012345678910

0 100 200 300 400 500 600

320 370 420 470 520 570 620 670 720Intensität/S

kt

t/s

scheinbare Wellenlänge λChromator in nm

Abbildung 8: Spektrum der Quecksilberlampe als verbundene Datenpunkte, abgetragen wurdendie Durchlaufzeit t und die scheinbare Wellenlänge λChromator gegen die Intensität

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 100 200 300 400 500 600

320 370 420 470 520 570 620 670 720

Intensität/S

kt

t/s


Abbildung 9: Spektrum der Quecksilberlampe als verbundene Datenpunkte. Dabei wurde dery-Achsenbereich im Plot auf den Bereich [0,1] eingeschränkt, um auch kleinerePeaks sichtbar zu machen, wobei λChromator(t = 0) = 320 nm

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300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

350 400 450 500 550 600 650 700

tatsächliche

Wellenlän

geλ

Hg(

Ar)in

nm


Abbildung 10: Eichkurve des Monochromators mittels der aus dem Hg(Ar)-Spektrum gewon-nenen Daten, der Auflösungsfehler wurde durch unsere Reaktionszeit und dieGeräteauflösung auf ±1 nm geschätzt

5.2 Fehlerabschätzung

Für die Fehlerabschätzung haben wir als Erstes die Basislinie zweier Xenon-Strahlenausgewertet, deren Intensität vorher im Bereich der maximalen Intensität der Strahlenaneinander angeglichen wurden. Theoretisch sollte die gemessene Basislinie eine Nullliniedarstellen, da beide Signale sich auslöschen müssten. In Abbildung 11 auf der nächstenSeite ist jedoch zu erkennen, dass eine endliche Intensitätsamplitude gemessen wurde.

Im Vergleich mit dem durch die Xenonlampe maximal ermittelten Signal stellt man fest,dass die mittlere Abweichung der Maximaldifferenz unserer Basislinie zur Nulllinie imVergleich zur Xenonlinie � 1 % beträgt. Daher werden wir diesen Fehler vorerst nichtbeachten. Erkennbar ist aber auch, dass einzelne Bereiche (≈ 590−600 nm) Abweichungenum 5% aufweisen.

Eine weitere Fehlerquelle war die Synchronisation zwischen Start des Monochromatorsund der Messung am PC, da dies nicht automatisiert erfolgt, sondern durch zwei Personenausgelöst werden muss. Bei einer Schrittgeschwindigkeit von ≈ 0.6 nm · s−1 und einemgedachten maximalen Synchronisationsfehler von 1 s korrigieren wir Gleichung (5.1) aufSeite 12 zu

λreell[nm] = (λChromator[nm]− 2.67nm)± 0.61 nm (5.2)

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-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

350 400 450 500 550 600 650 700

Intensität/S

kt

λReell/nm

Abbildung 11: Basislinie des Monochromators, erzeugt über Differenzspektrum zweier Xe-Strahlen; deutlich erkennbar ist die endliche Amplitude

5.3 Differenzspektrum

Das Differenzspektrum zwischen den beiden Strahel ist in Abbildung 12 auf der nächstenSeite wiedergegeben. Zum Vergleich ist im selben Graphen das Spektrum der Xenonlampeabgetragen. Dabei fällt als erstes auf, dass unsere Daten des Differenzspektrums teilweiseeine höhere Amplitude als die Daten der Xenonlampe ohne Rubin aufweisen. Physikalischergibt dies keinen Sinn, da die Absorption des Rubins nicht in einen Gewinn der Amplituderesultieren kann. Deshalb vermuten wir, dass wir versehentlich die Blendeneinstellungbeim Abdecken der Strahlen verändert haben.

Die Absorptionsbereiche des Kristalls sind dennoch sehr gut erkennbar. Würde derRubin kein Licht absorbieren, dann wäre das Ergebnis des Differenzspektrums gleichder Basislinie in Abbildung 11. Das heißt, dass die Bereiche mit hoher Amplitude imDifferenzspektrum die Bereiche darstellen, in denen der Rubin absorbiert. Die Bereichegrößter Absorption sind (375 - 450) nm und (520 - 600) nm. Darüberhinaus ist einweiterer kleiner Absorptionspeak im Bereich (≈ 690− 700 nm) erkennbar, der nicht demXenonspektrum zugeordnet werden kann.

Aus den so ermittelten Absorptionsbereichen des Rubinkristalls erklärt sich auch dessenFärbung. Während die Bereiche violett bis (dunkel-)blau (350 - 450 nm) sowie große teilevon grün und das gesamte gelbe Licht (520 - 600 nm) sehr stark bis komplett absorbiert

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werden, können die Bereiche ab dunklem Orange bis zum Rot des Lichts den Rubinnahezu ungehindert passieren.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

350 400 450 500 550 600 650 700

Intensität/S

kt

λReell/nm

DifferenzspektrumXe(Ar)

Abbildung 12: Differenzspektrum der beiden Teilstrahlen im Vergleich zum Xenon-Spektrum,die starken einzelnen Ausschläge zwischen 450 - 500 nm sind durch das Xenon-spektrum bedingt

5.4 Analyse der Laserlinie des Rubins

Wie bereits in den theoretischen Grundlagen (Abschnitt 2 auf Seite 3) angesprochenist eine direkte Anregung in den 2E-Zustand sehr unwahrscheinlich. Dieser Übergangliegt bei 693.4 nm [PTW05]. Wir betrachten zur Auswertung des relevanten Bereichs dieDaten der Feinmessung in Abbildung 13 auf der nächsten Seite.

Wir haben auf eine gleichzeitige Abtragung der Xenonlinie verzichtet, da deren Grundli-nie wahrscheinlich aufgrund eines Justierfehlers nicht zur Grundlinie des Rubinstrahlspasste. Abbildung 13 zeigt aber in Vergleich mit Abbildung 12 deutlich, dass im Bereichλreell = [694− 698] nm zwei scharfe Absorptionspeaks um λ1 = (694.8 ± 0.4) nm undλ2 = (696.6± 0.4) nm zu finden sind.

Diese beiden Peaks sind nur durch den vorher als „verboten“ deklarierten Übergangerklärbar.

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-0.001

0

0.001

0.002

0.003

0.004

690 692 694 696 698 700

Intensität/S

kt

λReell/nm

Abbildung 13: Detailspektrum des Rubins im Bereich 690 - 700 nm zur Verdeutlichung desLaserübergangs

5.5 Bestimmung der Bandenschwerpunkte

Um die, für die spätere Bestimmung des Kristallfeldparameters Dq nötigen, Banden-schwerpunkte zu bestimmen, müssen wir uns erst ein Bild vom Verlauf des Absorptions-koeffizienten α in Abhängigkeit der Wellenlänge3 λ machen.

Wir bestimmen den Absorptionskoeffizienten α(λ) dazu wie in der Vorbetrachtungangesprochen auf zwei Arten. Als Erstes nutzen wir das Bouguer-Lambertsche Gesetz(2.6) direkt zur Berechnung. Darüberhinaus nähern wir die Exponentialfuntion mit einerTaylornäherung (Gleichung (2.7) auf Seite 8) und berechnen die Werte dahingehend. UmI0(λ) und I(λ) zu bestimmen, haben wir die Datensätze der Messung des Rubinspektrumsund des Xenonspektrums jeweils mit Hilfe des Nichtlinearen Levenberg-Marquardt-Algorithmus von gnuplot interpoliert und anschließend aus den Funktionen Datenreihenmit I0(λ) und I(λ) für das Intervall λ ∈ [365− 625] nm in Schritten zu ∆λ = 0.1 nmgebildet. Da es uns später nur auf den Schwerpunkt der Absorptionsbanden ankommt,setzen wir des Weiteren für unsere Berechnungen die Dicke d = 1 fest.

Wir haben die Daten in Abbildung 14 auf der nächsten Seite geplottet und werden imFolgenden die Bandenschwerpunkte daraus bestimmen. Es ist gut erkennbar, dass die

3wir werden ab sofort immer gleich von der korrigierten Wellenlänge ausgehen und im Text nicht mehrexplizit λreell schreiben

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beiden generellen Verläufe sich gegenseitig gut entsprechen. Vom Betrag der Amplitudeher unterscheiden sich beide Funktionen allerdings stark, da die Taylorentwicklunginsbesondere für große Absorptionskoeffizienten α zunehmend ungenau wird.

0

1

2

3

4

400 450 500 550 600

Absorptionsko

effizientα(D

imen

sion

slos)

λReell/nm

Exakte RechnungTaylorentwicklung

Abbildung 14: Absorptionskoeffizient α in Abhängigkeit der Wellenlänge, einmal nach Rechnung(2.6) einmal nach Taylorentwicklung (2.7), der Absorptionskoeffizient wurde mitder fiktiven Dicke 1 einheitenlos berechnet

Zur Bestimmung der Bandenschwerpunkte λs folgen wir den Ausführungen von [SG67].Danach berechnet sich der entsprechende Schwerpunkt über

λs =

∑i (λi · αi(λi))∑

i αi(λi)(5.3)

Wir erhalten damit die in Tabelle 2 auf der nächsten Seite aufgeführten Schwerpunkte fürdie Absorptionsbanden. Da sich Schwerpunkte von Banden mit einer Breite echt kleinerals ihre Höhe präziser berechnen lassen, stützen wir uns im Folgenden auf die Werte derBerechnung mit dem Bouguer-Lambertschen Gesetz.

5.6 Feldstärkeparameter Dq

Der Feldstärkeparameter lässt sich nun über die im vorherigen Abschnitt berechnetenBandenschwerpunkte bestimmen. Die so gewonnenen Energien der Banden verrechnen

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λs, links in nm λs, rechts in nm

Bouguer-Lambertsch 407.51± 0.80 526.3± 1.1Taylorentwicklung 399.21± 0.79 526.3± 1.0

Tabelle 2: Bandenschwerpunkte λs, links der linken und λs, rechts der rechten Absorptionsbande,einmal berechnet nach Bouguer-Lambertschen Gesetz und einmal nach Taylornähe-rung der Exponentialfuntion - der Fehler der Werte wurde über die Varianz berechnet

wir mit dem dem Tanabe-Sugano-Diagramm (Abbildung 15) zugrunde liegenden Racah-Parameter B = 765 cm−1.

λlinks = (407.51± 0.80) nm =̂ ν̃1 = (24539± 48) cm−1

λrechts = (526.3 ± 1.1 ) nm =̂ ν̃2 = (19001± 40) cm−1

E1/B = 24539 cm−1

765 cm−1 = 32.077± 0.063

E2/B = 19001 cm−1

765 cm−1 = 24.838± 0.052

(5.4)

Die in Gleichung (5.4) erhaltenen Werte werden nun im Tanabe-Sugano-Diagramm(Abbildung 15) abgetragen. Wir nehmen an, dass die erste Bande dem 4T1-Niveau unddie zweite Bande dem 4T2-Niveau entspricht.

Abbildung 15: Tanabe-Sugano-Diagramm mit eingezeichneten Schwerpunktenergien

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Dadurch erhalten wir die folgenden Werte4 für Dq:

Dq1B

= (2.27± 0.05)

Dq2B

= (2.45± 0.05)

6 Diskussion der Messergebnisse

Im Versuch wurde die Absorption eines Rubinkristalls analysiert, indem das Differenzspek-trum des Rubins mit dem Spektrum einer Hg(Ar)-Lampe aufgenommen und analysiertwurde. Wir konnten anhand des Differenzspektrums klar erkennen, dass der Rubin großeTeile des sichtbaren Lichts mit Ausnahme des roten Bereiches absorbiert, wodurch sichdessen Färbung erklärt.

Anhand der Absorptionsbanden des Rubins, deren Schwerpunkte in der Auswertung be-stimmt wurden, konnten die Kristallfeldparameter Dq der Banden bestimmt werden. DieErgebnisse sind in Tabelle 3 wiedergegeben und mit Literaturwerten verglichen. Hierbeizeigt sich eine sehr gute Übereinstimmung. Im Vergleich zum Wert in „Einführung in dieLigandenfeldtheorie“ [SG67] liegt unser Wert innerhalb des einfachen Fehlerintervalls,im Vergleich zum Wert in „Die Verschiebung der Absorptionsbanden des Cr2O3 durchEinbau in In2O3“ [Sch62] immerhin noch innerhalb des dreifachen Fehlerintervalls. Damitkann diese Messung als erfolgreich angesehen werden.

Kristallfeldparameter Dq/B

linke Bande 2.27± 0.05rechte Bande 2.45± 0.05Mittelwert5 2.36± 0.13

Literaturwert 16 2.4Literaturwert 27 2.62± 0.02

Tabelle 3: Ergebnisse der Berechnung der Kristallfeldparameter im Vergleich mit den Literatur-werten

Wir konnten feststellen, dass die genutzte Taylornäherung gut geeignet ist den qualitati-ven Verlauf der Absorptionsbanden wiederzugeben. Beide angewandten Darstellungen

4den Fehler haben wir aufgrund des entstehenden Ablesefehlers auf ±0.05 geschätzt5Fehler berechnet über Standardabweichung6Quelle: [SG67], keine Fehlerangabe7Quelle: [Sch62]

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waren in der Lage, den wellenlängenabhängigen Verlauf gleich gut darzustellen. Zurgenauen Bestimmung der Absorptionsamplituden erweist sich die Näherung bei hohenAbsorptionskoeffizienten α jedoch als zu ungenau.

Darüberhinaus konnte im Experiment durch Aufnahme einer detaillierten Feinmessungim Bereich von 690−700 nm der Laserübergang („verbotener“ Übergang in das 2E-Niveau)beobachtet werden. Dieser Übergang eignet sich wie in der theoretischen Vorbesprechungschon angesprochen gut um den Rubin als Laser zu nutzen.

Es können zwei primäre Fehlerquellen im Experiment und der Auswertung ausgemachtwerden. Eine Hauptfehlerquelle ist die Ungenauigkeit bei der Synchronisation zwischenStart des Schrittmotors des Monochromators und der Erfassung der Daten am Computer.Dies musste von zwei Personen durchgeführt werden, sodass sich hier sicherlich ein Fehlerin den erfasstes Wellenlängen ergeben hat. Die zweite Hauptfehlerquelle ist das Ablesender Daten im Tanabe-Sugano-Diagramm. Wir haben versucht die Genauigkeit zu erhöhen,indem wir das ’Ablesen’ über eine Ausmessung am Computer unterstützt haben. Dennochwird sich hier eine, im Vergleich zu den übrigen Fehlern, recht große Abweichung ergebenhaben, die wir auch in der Auswertung entsprechend beachtet haben.

Weitere Fehlerquellen sind in der internen Synchronisation zwischen Lock-In-Verstärkerund Monochromator zu suchen. Allerdings werden die hierbei entstandenen Fehler imVergleich zu den bereits besprochenen Hauptquellen so gering sein, dass wir auf einedetailliertere Betrachtung verzichtet haben.

Insgesamt betrachten wir den Versuch als gelungen. Zum Einen konnten die qualitativenErwartungen reproduziert werden, zum Anderen decken sich unsere Messergebnisse imRahmen der Fehler auch mit den aus der Literatur entnommenen Werten.

7 Anhang

Abbildungsverzeichnis

1 Perspektivische Darstellung der idealisierten Kristallstruktur von Korund 32 Energieniveauschema von Cr 3+ mit der Konfiguration [Ar]3d 3 . . . . . . 43 Aufspaltung der Energieniveaus der Cr 3+-Ionen im Korund . . . . . . . . 64 Absorption und Emission im Rubin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Vergleich Absorption und Emission im Rubin und Smaragd . . . . . . . . 86 Tanabe-Sugano-Diagramm eines 3d 3-Systems im oktaedrischen Kristallfeld 97 Schematischer Versuchsaufbau des Experiments . . . . . . . . . . . . . . 108 Spektrum der Hg(Ar)-Lampe als verbundene Datenpunkte . . . . . . . . 139 Spektrum der Hg(Ar)-Lampe, Amplitudenbereich [0,1] . . . . . . . . . . 1310 Eichkurve des Monochromators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1411 Basislinie des Monochromators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

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12 Differenzspektrum der beiden Teilstrahlen im Vergleich zum Xenon-Spektrum 1613 Detailspektrum des Rubins im Bereich des Laserübergangs . . . . . . . . 1714 Absorptionskoeffizient α in Abhängigkeit der Wellenlänge . . . . . . . . . 1815 Tanabe-Sugano-Diagramm mit eingezeichneten Schwerpunktenergien . . 19

Tabellenverzeichnis

1 Peaks der Ausmessung der Hg(Ar)-Kennlinie der Dampflampe . . . . . . 122 Bandenschwerpunkte λs, links der linken und λs, rechts der rechten Absorp-

tionsbande, einmal berechnet nach Bouguer-Lambertschen Gesetz undeinmal nach Taylornäherung der Exponentialfuntion - der Fehler der Wertewurde über die Varianz berechnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Ergebnisse der Berechnung der Kristallfeldparameter im Vergleich mit denLiteraturwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

8 Literaturverzeichnis

Literatur

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Documents

Optische Messungen am Isolatorkristall