P a r a m e t e r s p e z i a l i s i e r u n g in P o l y n o m r i n g e n I I

D a s G r u n d p o l y n o m

Von WOI:~GANG KRULL in Bonn

In einer frfiheren, weiterhin mit KI zitierten, Arbeit ~) wurde das Verhalten der Polynomideale gegenfiber der wertm~igen Spezialisierung eines im GrundkSrper auftretenden Parameters untersucht. Offen blieben nur gewisse, auf die Primideale beziigliehe Fragen. (Wann bleiben diese bei der Spezialisierung Primideale, warm zerfallen sie in mehrere Primideale, warm in eehte Primiirideale ?) Die Antworten kSnnen nun sehr einfaeh gegeben werden, wenn man den yon E. NOETHER 2) einge- ftihrten und bereits zur Behandiung i~hnlicher Probleme beautzten Begriff des Grundpolynoms eines Polynomideals heranzieht. (w 3.) Da allerdings die NOETHEn- sche Theorie des Grundpolynoms in ihren Einzelheiten nur wenig bekannt.und in der Originalfassung auch verhi~ltnismiilSig schwer zugi~nglich ist, erschien es ange- bracht , zuni~chst kurz zu -zeigen, da~ bei beliebigen ungemischten Idealen das Grund- polynom ganz elementar definiert werden kann, und da~ sich alle seine wesentlichen Eigenschaften (einschlie~lich der etwas tiefer Hegenden Separabilitiitssiitze) sehr einfach ableiten lassen, wenn man nut gelegentlieh eine v.N DER WAERDENSChe

Nullstellenfiberlegung sowie einen KRULLSChen Kilfssatz tiber Primideale und Funktionaldeterminanten heranzieht. (w 1.) Ergi~nzend wird schlie~lich noeh in w 2 nachgewiesen, dal3 es zweckmiiBig ist, das Grundpolynom bei Idealen mit einge- betteten Primiirkomponenten nur als sekundiire Bildung anzusehen und grund- siitzlieh die Theorie der Grundpolynome ungemischter Ideale inder in w 1 skizzierten Form in den Vordergrund zu stellen.

w t. Das Grundpolyn0m ungemischter Ideale

Wie in KI bedeutet ~ ---- ~ Ix 1 . . . . x.] den Polynomring in den Unbestimmten xl . . . . x. fiber einem diesmal zuniichst beliebigen KSrper ~. 1Kit I-Iilfe yon n 2 weiteren Unbestimmten wird der KSrper ~o = ~(Un . . . . u . . ) gebildet, und

1) Diese Zeitschrift, Bd. 1, S. 56. In Zukuaft mit KI zitiert. ~) Eliminationstheorie und allgemeiae I dealtheorie, Math. Annalen, Bd. 90 (1923), S. 229 bis

261..-- D~s Polynom, das im Text ,,Grundpolynom ~ hei~t, tr~gt bei E. NOETHER den Namen Elementarteilerform, eine Bezeiehr~ung, die bei dem yon uns gewiihlten Aufbau unzweckm~iBig, weil vSllig unverst~indlieh ware.

]30 W. K~ULL

~ = 2_.1 ~;~ ~ ; ~ --- ~o [ ~ , . . . ~,] ( i = o . . . . ~ ; ~o = ~o) ( I )

gesetzt. Ein Polynom p (z) aus einem der Ringe ~,. mSge normiert genannt werden, wenn es 1. such in den ulk ein Polynom darstellt, und wenn es 2. keinen nur yon u l l , . . . u , , abh~ngigen Polynomfaktor positiven Grades besitzt. Zwei Polynome, die sich nut um einen Faktor aus ~ unterscheiden, gelten ffir uns als im wesent- lichen gleich. - - a bedeutet im Folgenden, genau wie in KI, ebensowohl ein Ideal aus ~ Ms such sein Erweiterungsideal a . ~n auf ~n ; aueh wird im allgemeinen nicht zwisehen ~ und ~ untersehieden. Dagegen verstehen wit diesmal, anders als in KI, unter ~ ausschlie]lich den unerweiterten (ursprfingliehen) GrundkSrper. - - Ffir das Arbeiten mit den Unbestimmten z,. ist yon grS]ter Wietltigkeit alas Iso- mor~hieprinzip : Enth~It a ein Polynom 29 (z), das hinsichtlich der VariabeIn zl, zo. . . . . z~ gewissen Grad- und Teilbarkeitsbedingungen geni~gt, und bedeutet i 1 . . . . i~ eine be- liebige Vertauschung. der ZiHern 1 . . . . n, so enthiilt a'stets such ein q(z), das hinsieht- lich zil , zi~ . . . . zi~ genau dieseIben Bedingungen er]i~Zlt.

Der Beweis ergibt sich sofort aus der Tatsache, dal] die Reihen z~ . . . . z, und z,. . . . . z;~. dureh eine bloke Umnumerierung der u,.k, also du/rch einen Automorphis-

mus yon ~o fiber ~, ineinander fibergeffihrt werden kSnnen. - - Bei den weiteren Betrachtungen yon w 1 besehr~nken wir uns auf ungemischte Ideale 3). Die Dimension des jewefls untersuchten Ideals wird, sofern nichts anderes ausdrfieklieh bemerkt ist, gleieh r angenommen.

Ein ungemischt r-dimensionales Ideal a enth~lt keille Polynome aus ~, , wohl aber solehe aus ~+1 . Au]erdem folgt wegen der Ungemischtheit yon a aus p(z) . a(z) ~ ~, p(z) ~ ?~, stets a(z) ~ a. Aus diesen Bemerkungen ergibt sieh ohne Schwierigkeit:

Sa tz 1: a enth~lt ein einziges normiertes PoIynon~G(z) aus ~+1 , dessen Grad

in z,+ 1 minimal ist, und das keinen Fa]ctor 29ositiven Grades aus ~ besitzt.

G(z) soll als das Grundpolynom yon a bezeichnet werden. Es gilt dann zunAehst:

S a tz 2: a) Jedes Polynom aus ~,+1 ~ a ist dutch das Grundpolynom teilbar. - - b) Das Grundpolynom eines Primideals ist stets irreduzibel, das GrundpoIynom eines

Prim~rideals ist gleich einer Potenz des Grund29olynoms des zugeh6rigen Primideals. - - c) Haben a und 3 ~ a dieselbe Dimension, so ist das Grundpolynom yon 3 dutch das Grundpolynom yon a teilbar.

Sa tz 3: Die Grundpolynome zweier verschiedener Primideale sind stets ver- sehieden.

~) Zur Definition der Begriffe Dimension eines Ideals, Ungemischtheit usw. vgl. KI w 2, sowie v. D. W.<EaDE~, ~Ioderne Algebra Bd. II (2. Aufl.), 13. Kap., insbes. w 94 u. w 98.

Parameterspezialisierung in Polynomringen IL Das Orundpolynom 131

S a tz 4: Das Grundpolynom eines r-dimensionaIen Ideals ist gleich dem Produkt der Grundloolynome seiner r-dimensionaIen Primgirlcomponenten.

Satz 2 ergibt sich mtihelos aus der Definition des Grundpolynoms. Satz 4 ist eine einfache Folgerung aus den S~tzen 2 und 3. Der einfachste Beweis ftir Satz 3 stammt yon van DER WAERDEN4). man zeigt, da~ das Grundpolynom eines Prim- ideals p die lVfenge aller Nullstellen yon p eindeutig bestimmt.

S a t z 5: Ist das Grundloolynom G(z ) ~ G yon a zur AbIeitung G~r+l /ak, torJremd ,

(ist also G(z) hinsichtlich z,+ 1 separabel und /rei von mehr/achen Prim/a]ctoren), so sind alIe Primfir]componenten yon ~ Primideale.

Es sei G (i) (i ---- 1 . . . . n - - r; G(1)-- - G) das hinsichtlich der Variabeln z I . . . . z,, z,+i (an Stelle yon z 1 . . . . z,, z,+l) gebildete Grundpolynom von a. Naeh dem Isomorphie- prinzip mtissen dann G (~ und G (~ stets faktorfremd sein, und daraus folgt weiter

z r + i

unter Benutzung yon Satz 2 und Satz 4, da~ die Funktionaldeterminante I G(;) I = Z r + k

n - - r

= / T G (o (i, k ---- 1, n - - r ) in keinem der r-dimensionalen Primoberideale �9 z r + i " " "

yon ~ enthalten sein kann. Aus dieserTatsaehe wiederum ergibt sieh naeh einem bekannten Satz 5) sofort die zu beweisende Behauptung. Eine einfaehe Folgerung aus Satz 5 lautet: Ist das Grundpolynom yon a irreduzibel und separabel hinsieht- lich z,+~, so ist a----p Primideal.

S a t z 6: Ist ~ volIkommen, so i'st das Grundloolynom eines Primideals p stets hinsichtlich z ~+ 1 seloarabel.

Bei vollkommenem ~ gibt es ni~mlieh in p stets n - - r (zu ~ [xl . . . . . x,] gehSrige) Elemente H (') derart, da~ bei geeigneter Variabelnumerierung I H(~ I u n d damit

X r + k

aueh] H (0 ] (i, k = 1, n - - r ) nieht zu p gehSrt. Daraus folgt weiter, dal~ Z r + k " . . ,

tiber jedem algebraisehen OberkSrper ~o des erweiterten GrundkSrpers ~o das Ideal p �9 ~o in ~ - ~o Durehschnitt yon endlieh vielen r-dimensionalen Primidealen wird. Es mu~ daher das Grundpolynom G(z) yon p tiber ~o in lauter verschiedene Primfaktoren zerfallen, well sieh andernfalls ein Widersprueh zu Satz 2b) und Satz 4 erg~be, da p �9 ~o keinen eehten Teller yon G(z) enthalten kann6). - - Wiire

4) Vgl. B. L. v ~ DE~ WAERDE~, Zur ~Igebraischen Geometrie III, ~h~h. Annalen Bd. 108 (1933) S. 694--698. Kurze Darstellung des Kerngedankens des mit einer Resultantenbildung arbeitenden v. D. WAEaDENsehen Beweises bei W. KaULL, Idealtheorie (Ergebnisse d. M~th. u. ihrer Grenzgeb. Bd. 4, Heft 3 (1935)) w 18 S. 47f.

5) Vgh W. KRULL, Funktionaldeterminanten und Diskriminanten bei Polynomen in mehrerea Unbestimmten II, Monatshefte ~. Math. u. Phys. Bd. 50. (1942) S. 234--256, w 1 insbes. Satz 2.

~) Vgh die ausfiihrliehe Darstellung einer ~hnlichea l~berlegflng beim Beweis yon Satz 10 in w

132 w. KRULL

andererseits G(z) in z,+~ inseparabel, so mfii3te nach dem Isomorphieprinzip G(z) auch in z~ . . . . z, inseparabel sein, und daraus folgte (bei Charakteristik p) die Gift-

tigkeit einer GMchung G(z) -~ H ( z ) J ( / ~ 1) fiber einem geeigneten algebraisehen OherkSrper 2o yon ~o-

Sa~z 7: Ist g~ unvoII]wmmen yon der Chara]cteristik p und ist das Grundpolynom

G(5) = G(z; u) des Primideals p inseparabel, so ist G(z; u) ~--- G*(z/; u j ) (] ~ 1), wobei G*(z) ein hinsichtlich z,+ 1 separables Polynom bedeutet.

Ist niimlich ~ der kleinste vollkommene OberkSrper yon ~, so kann nach Satz 6 kein Primideal ~ aus ~ - 2 ein (in Z,+l) inseparables Grundpolynom besitzen. Es mu~ daher das einzige r-dimensionale Primoberideal ~ yon p �9 ~ in ~ - ~ ein se-

parables GrundpolynomG*(z; u) haben, und es muf~ G(z;u) -~ G*(z; u) ~f sein, weft das in p �9 2 enthaltene, also nach Satz 2 dureh G* (z; u) teilbare, fiber ~ irredu-

zible PolynomG(z;u) fiber ~ nut die pf-te Potenz eines irreduziblen Polynoms werden kann.

Satz 8: Das PrimideaI p besitzt dann und nur dann die Eigenseha/t, daft /is ]eden algebraischen OberkSrper ~ yon ~ stets p �9 ~ in ~ �9 ~ Durehsehnitt v(Jn endIieh vielen Primidealen wird, wenn das Grundpolynom yon O separabel ist.

a) Ist G(z) separabel, so enthi~lt, wie beim Beweise yon Satz 5 bemerkt, p stets -n.--r Elemente G (i) derart, da~ [G (:) I (i, k = 1, n--r) , nicht in p liegt, und

a t + k �9 . �9

daraus folgt, wie beim Beweise yon Satz 6 festgestellt, da~ p �9 ~ stets in der ge- wfinschten Weise zerfiillt. - - b) DaB die Bedingung yon Satz 8 notwendig ist, ergibt sieh aus Satz 7. (Man beachte, da~ p �9 ~ keinen echten Teller yon G(z) ent- hiilt) 6). __ Eine einfache Folgerung aus Satz 8, Satz 2 ~ b) und Satz 5 ist:

Satz 9. Das PrimideaI p hat dann und nut dann die Eigenscha/t, daft/4r ]eden algebraischen Oberk6rper ~ yon ~ stets p �9 ~ in ~ Primideal bleibt, wenn das Grund- polynom G(z) yon p ,,absolut ~ ,̀ d. h. nicht n'ur i~ber ~ sondern auch i~ber dem zu g%

gehgrigen algebraisch abgeschlossenen Ober]c6rper ~ irreduzibel ist.

w 2. Minimalpolynom und Grundpolynome bei beliebigen Idealen

Wie in w 1 bedeutet r die Dimension des gerade untersuchten, im fibrigen v(fllig beliebigen Ideals a.

Satz 9: Es gibt in a ~ ~r+ l ein eindeutig bestimmtes normiertes Pol ynom M(z), das ,,Minimalpolynom von a", das der /olgenden Minimalbedingung geni~gt: [st H (z) ein yon M (z) wesentlich verschiedenes Polynom aus ~r+ l ~ ~, und bedeutet Yi bzw. (5 i

Parameterspezialisierung in Polynomringen II. Das Gruudpolynom 133

de~ a ~ ~o~ ~ (~ ) b ~ . ~ ( ~ ) i~ ~ (i = 1 , . . . ~ + 1), so ist ~ e ~ Z s ~ - - ~; = 0 (i ~--- 1, . . . r -+- l ) und es ist die erste nicht verschwindende unter den Di//erenze~

)'i - - (5i positiv.

Es seien n~mlich Pi~ (i = 0 , . . . r ; k = 1 , . . . @,) die i-dimensionalen, zu a ge- hSrigen Primideale, Gik(z) sei das Grundpolynom yon Plk, q,k sei ein zu P,k geh(iriges Primiirideal, derart, da~ a - - - -qo l~ . . . ~q 'er wird. Ferner seien schrittweise fiir

i - - r, r - - 1, . . . 0 die k]einsten nichtnegativen Exponenten r;~ so bestimmt, dal~

r . o l

a,/~) TM" 1-/ /-/a,~(~)"m ~ q,.~ ~ ~,+~, (2) 1 = i + 1 m = l

falls g,+l das (i + 1)-re Grundideal yon a im Sinne yon KI w 2, also den Durchschnitt aller mindestens (i + 1)-dimensionalen Primi~rkomponenten yon a bedeutet (g,+l = ~). Dana wird:

r O l

M (~) = H H Gi~ (~)"~. (3) l ~ 0 m = l

Zum Beweise hat man nur za beachten, da~ ]edes irreduzible, yon G,.k(z ) verschiedene Polynome aus ~,+1 zu q;k prim ist. Man fiberzeugt sieh dann mtihelos schrittweise, dal3 das gesuchte Polynom M(z) dann und nut dann die gewiinschte Minimal- eigensehaft hinsiehtlich der Exponenten b~+~, : . . fi,-+l besitzt, weml

r O l

M(~) = h(~). H H G,~(z) "~ (~(~) C ~3,). (4) l = i m = l

Fiir das Minimalpolynom M(z), das bei einem ungemisehten Ideal a offenb'ar mit dem Grundpolynom G(z) identisch ist, beweist man leicht:

Sa tz 10: Ist ~ irgendein algebraischer Oberk6rper yon ~, so ist das Mini~haI- ~oIynom yon a stets gleich dem MinimaIpotynom von a" ~ in ~ �9 ~.

rn

In tier Tat, es sei a ---- (al(z), . . .a~(z)), ~(z) -= ~7, (z )ak(z ) sei irgendein Ele-

ment aus a . ~, und es seien die fiber ~ linear unabhi~ngigen Elemente 21, . . . ~

aus ~, so gewiihlt, dal3 ~(z) -- ~, Ckl(Z)"" 2Z (%/Z) C ~ ) wird; dann hat keines der l = l

zu a gehSrigen Elemente az(z ) -= ~ c~z(z) ak(z ) (sowei t yon 0.verschieden) in irgend- k = l

einem z,. einen grS]eren Grad als "5(z),. und daraus folgt sofort die B e h a u p t u n g . - KSnnte man nun zeigen, da] in der Faktorzerlegung (3) des Minimalpolynoms die ExponenteI/r,- k alle positiv sein mtissen, so tie~e sich aus Satz i0 ohne jede Ein- schr~.nkung sofort d e r Satz herleiten:

134 W. KRULL

Die zu ~- ~ gehSrigen Primideale sind identisch mit denjenigen Primidealen aus ~ - ~, bei denen ~ ~ ~ ein zu a gehSriges Primideal darstellt.

Indessen kann man leieht dutch Beispiele belegen, dal~ ffir i < k die M~glich- keit r+~ -= 0 nicht ausgeschlossen ist. Es sei n~mlich etwa ffir n = 3: Pl = (xl, x2),

ql = (xl , x2); = z2, qo = ( 12, x L 4 = ql qo = (z 2, Xl x22, % x3); dann ist qo eine eingebettete nulldimensionale Prim~rkomponente des eindimensionalen Ideals ~ und es wird gl ---- ql- Welter ist G~ (z) ---- u23 z 1 - - u13 z 2 bzw. Gol(Z ) = z 1 bzw. Gn(z)~ das Grundpolynom yon Pl bzw. Po bzw. ql, und es wird M ( z ) = Gn(z)2. Gol(Z)~ Gn(z)2 das Minimalpolynom yon a.

Die MSglichkeit des Auftretens yon Exponenten r~ = 0 in (3) l ~ t die praktisehe Bedeutung des Minimalpolynoms ffir die Untersuchung tier Polynomideale, - - trotz dessen einfaehen formalen Eigensehaften, ~ als nur gering erseheinen. Bezeiehnet man andererseits im Anschlul3 an E. I~OETHER 1) das Grundpolynom G~(z) des (falls yon ~ versehiedenen) ungemiseht i-dimeasionalen /-ten Idealquotienten ~, = g,: gi+~ als das i-te Grund~olynom yon 4, und versteht man unter dem G r u n d - p o l y n o m sehleehtweg das (offenbar zu a gehSrige) Produkt G(z) = Go(z ) �9 Gl(z ) �9

. . . . G,(z), so erh~t man in Anbetracht der Tatsache, dal] die i-dimensionalen Primoberideale yon a mit den i-dimensionalen zu 4 gehSrigen Primidealen identisch sind, sowie yon Satz 4 sofort:

Sa tz 11: Die Grundpolynome der zu a geh~igen Primideale sind identisch mit den irreduzibeln Faktoren des Grundpolynoms G(z) yon a.

Das Grundpolynom G(z), das ersiehtlich stets durch das Minimalpolynom teri- bar ist, und im Falle eines ungemischten Ideals a, (also ffir ~o . . . . . ~-~ = ~, I, = 4; G(z) = G,(z)), mit dem in w 1 eingeffihrten Grundpolynom identisch wird, besitzt also fill Gegensatz zum Minimalpolynom hnmer die enge Beziehung zu den zu 4 gehSrigen Primidealen, wie sie wfinschenswert erscheint. Auf tier anderen Seite fehlen dem nur mittelbar (auf dem Umweg fiber die Grundideale) definierten G(z) die einfaehen formalen Eigensehaften, die das Minimalpolynom auszeichneten. Ein direkter Beweis yon Satz 10 mit G(z) an StJle yon M(z) dfirfte ausgesehlossen seinT), es ist sogar zur Zeit noeh durchaus nieh't sieher, ob Satz 10 ffir G(z) ganz a l lg~e in grit. Dementsprechend diirfte die Heranziehung des Grundpolynoms bei der Untersuchung des Verhaltens beliebiger Ideale gegenfiber algebraischer GrundkSrpererweiterung keine nennenswerten Vorteile bietenT). - - Sehlie~lich ist zu berficksichtigen, da6 G(z) im gewissen Sinne nur die Zusammenfassung tier

7) KSmate man zeigen, da~ a und a.~ stets dasselbe Grundpolynom G(z) besitzen, so w~re damit zugleich bewiesen, dal~ gleichzeitig mit a immer auch a.~ ungemiseht sein mull, -- ein Satz, dessen Allgemeingiiltigkeit anseheinend bis jetzt nur im Falle eines vollkommenen Ausgangs- kSrpers ~ siehergestellt werden konnte.

Parameterspezialisierung in Polynomringen IL Das Grundpolynom 135

Einzelpolynome Gi(z) darstellt, die ihrerseits als Grundpolynome ungemischter Ideale definiert sind. Der Standpunkt des Textes, die Theorie der Grundpolynome un- gemischter Ideale in Vordergrund zu stellen und die Grundpolynome allgemeiner Ideale als sekundiire Bildungen zu behandeln, erscheint damit als roll gerechtfertigt.

w 3. Primideale und Parameterspezialisierung

Wie in KI nehmen wit yon ]etzt ab an, dal~ der KSrper ~ die Gestalt ~ ----K (u) besitzt, wobei u eine Unbestimmte fiber dem KSrper K bedeutet, und untersuchen das Verhalten der Ideale aus ~ ---- ~ [xl, . . . x,] bei den Abbildungen u --> a; wie friiher verstehen wir unter a-das Ideal aus I I = K [x l , . . . x , ] , in das a bei der Abbildung u --> a fibergeht.

Hilfssatz. Sind ao(~l,...~o), ...am (~1,--.~.o) in ihrer Gesamtheit faktor- fremde Polynome in irgendwelehen Variabeln ~ , . . . }o fiber ~, so sind fast immer auch die dureh die Abbildungu-+ a entstehenden Polynome ao($ ~ . . . . ~.o) . . . . am(~l,.--~.~) fiber K faktorfremd.

Der Beweis folgt sofort aus der Bemerkung, da] die ai(~ 1 . . . . ~e) dann und nur dann in ihrer Gesamtheit faktorfremd sind, wenn fiir i = 1 . . . . ~ eine Polynom- gleiehung der folgenden Form gilt:

ak( l . . . . = $;§ # o . (5) k = 0

Satz 12. Ist M(z) das Minimalpolynom von a, so ist ]ast immer M (z) das Mini- malpolynom yon a.

In der Tat, sind (~,. (i ---- 1, . . . r + 1) die Gradzahlen yon M(z) in z,., so folgt flit jedes k __< r + i aus der ,,Zusatzbemerkung" zu w 1 yon KI sofort: Es gibt fast immer in ~-kein Polynom/7(z) yon den Gradzahlen Y, (i = 1 , . . .n) in z~, bei dem 7 ~ = 0 ( m = r + 2 , . . . n ) , 7 z = $ z ( l ~ k + l , . . . r + l ) , 7k-------6k~l wird, und das heist, da~l M(z) fast immer die yon dem Minimalpolynom geforderte Minimaleigenschaft besitzt. Aus dem Hilfssatz ergibt sich welter, da~ fast immer die Koeffizienten yon M(z) als Polynome in den u,.~ faktorfremd sind, da~ also M(z) fast immer normiert ist.

Sa tz 13. Ist G(z) das Grundpolynom des ungemischten Ideals a, so ist /ast immer -G(z) das Grundpolynom des ungemischten Ideals a.

Der Beweis folgt sofort aus Satz 12 und Satz 4 yon KI w 2, nach dem fast immer a-gleichzeitig m i t a ungemischt ist. (]3eachte, da~ bei einem ungemischten Ideal M(z) -~ G(z).) - - Ein Primideal p mSge separabeI bzw. absolutes Primideal hei~en, wenn sein Grundpolynom G(z) separabel bzw. absolut irreduzibel ist.

136 W.K.v~L

S a t z 14. Bei einem separabeln Primideale p wird fast immer ~ Durchschnitt yon endlich vielen Primidealen.

Ist n~mlich G(z) -~ G das Grundpolynom yon p, so ist nach Satz 13 fast immer G(z)--~ G- dasjenige yon p. 2~u~erdem folgt aus der Faktoffremdheit yon G und G~r+l nach dem Hilfssatz fast immer die Faktorfremdheit yon G und G,r+l' so da~

sich Satz 5 yon w 1 anwenden li~]t.

S a t z 15. Bei einem inseTarabeln PrimideaI p wird im Falle eines vollkommenen JK6rpers K fast immer p Durchschnitt yon endlich vielen echten PrimSridealen.

Nach Satz 7 yon w 1 mul~ niimlieh G(z) im Falle der Inseparabiliti~t bei voll- kommenem K die p/-te Potenz ( / ~ 1) eines Polynoms G*(z) werden, und daraus folgt angesichts yon Satz 13, Satz 2b) und Satz 4 sofort die Behauptung.

S a t z 16. Ist p ein absolutes PrimideaI, so ist es fast immer auch ~-s). __ Ist p separabel, abet nicht absolut, so wird bei algebraisch abgeschlossenem K fast immer

Durchschnitt yon mindestens zwei Primidealen.

Zum Beweis bratteht man angesichts yon Satz 2b), Satz 9, Satz 13, Satz 14 nur zu zeigen: Ist das Grundpolynom G(z) yon p absolut irreduzibel bzw. absolut reduzibel, so gilt das Gleiche fast immer auch fiir ~(z): Die Riehtigkeit dieser Behauptungaber ergibt sich sofort aus dem NO~.THERschea ,,Kriterium ftir absolute Irreduzibiliti~t": Zu iedem Polynomp(~;a) in den Variabeln ~1 , - - .~ mit dea Koeffizienten a k gibt es ein in seinem Bfldungsgesetz nut yon ~ und dem Gesamt- grad a yon p(~; a) in ~ 1 , . . . ~ abhi~ngiges System ~(a) (v = 1 , . . . co) yon ganz- zahligen Polynomen ~ in den ak derart, dal3 p(~; a) dana und nur dann absolut reduzibel ist, wenn alle z:(a) verschwindeng).

Sa t z 17. Ist q ein echtes, zu dem separabeln Primideal getdiriges PrimSrideal, so wird q fast immer der Durchschnitt yon endlich vielen, echten Prim~iridealen.

Nach Satz 2 und Satz 4 mu~ niimhch das Csrundpolynom G(z) yon q die Ge- stalt G(z) -~ H(z) ~ (s >= 2) besitzen. Dann wird abet auch G(z) = ~/(z) ~ und Satz 13 sowie Satz 2 und Satz 5 zeigen sofort die Richtigkeit der Behauptung.

Bei einem inseparabeln Primideal p kSnnen unter Umsti~nden p und ein eehtes zugehSriges Primarideal q dasselbe (irreduzible) GrundpolynomG(z) besitzen. Es

s) Dieser Satz finde~ sich, sogar in etwas allgemeinerer Fassuug, bereits in w 7 der in 2) zitierten NOETHERschen Axbeit. (Dort wird ~ als QuotientenkSrper eines bet. Ringes ~ angenommen, ia dem sich jedes Ideal eindeutig als Produkt yon endlich vielea Primidealen darstellen l~il~t, and es trit~ der Ubergang yon ~ zu deu den einzelnen ~-Primidealen entsprechenden Restklassen- kSrpern an Stelle unserer Parameterspezialisierungen.)

~) Vgl. E. NOETH~a, Ein algebraisches Kriterium fiir absolute Irreduzibiliti~t, Math. Annalen Bd. ~ (1922) S. 26--33. Vgl. ~erner: W. KawL, J. f. Ma~h. Bd. 177 (1937) S. 94--104, w 1; B. L. VAN D~-R WAEaDEN, Math. Am~alen Bd. 1'13 (1937) S. 705--711, w 1.

Parameterspezialisierung in Potyno~ingen II. Das Grundpolynom ] 37

sei z. B. ~ = ~(~1, ~2) ein rein transzendenter OberkOrper des PrimkOrpers der Charakteristik p vom Transzendenzgrad 2, u.nd es sei das Primideal p = (x~--~1,

2 ' x 2 - - ~ ) aus }Ix1, %] vorgelegt. Dann wird

e(Z) = Z~ - - U 11 ~ - - 2/, 12 ~2 (6)

das Grundpolynom sowohl yon )pals auch yon dem echten Prim&ridea] q = (x I - - ~ , _ _

Bei einem echten Prim~irideal q mit inseparabelm Grundpotynom ffihren daher die S&tze yon w 1 zu keinen seh&rferen Aussagen fiber-q. ~{an kann n u r - - und zwar bereits schoa auf Grund yon KI - - feststellen, da6 dann fast immer q Durchschnitt yon endlich vielen gleiehdimensionalen Prim&ridealen werden mul3, die sicher nicht

aZle Primideale sin& (Beaehte, dal~ fast immer p =#: q, falls p das zu q gehSrige Primideal.) Die verh~iltnism~il3ig nebens&cbiiehe Frage, ob dieses Ergebnis welter verseh&rft werden kann, mag bier dahingestellt bleiben.

(Eingegangea am 2. 4. 1948)

lo) Ahnliches Beispiel bereits bei E. NOETHER[ _&rchiv dcr Mathematik. 2 10