Physik A – VL10 (30.10.2012)

Impulse und Stösse

• Impulse und Impulserhaltung

• Stossgesetze

• Bewegung bei kontinuierlicher Massenänderung: Raketenantrieb

• Kraftwirkungen auf einen Körper sind häufig zeitlich begrenzt

• der Geschwindigkeitszuwachs, den ein Körper durch eine Kraft erfährt,

hängt von der Kraft F selbst und der Zeitdauer Δt der Einwirkung ab

Kraft mal Zeit = Kraftstoß = Impuls

• Ein Kraftstoß kann mit zeitlich konstanter oder zeitlich veränderlicher Kraft erfolgen

Impulse und Stösse

Der Impuls oder Kraftstoß

Ns

s

mkg tFp

2

1

t

tFdtp

F(t)

tt1 t2Δt

tFp

F = const.

F(t)

tt1 t2

Impulse und Stösse

• Der Impuls oder Kraftstoß ist allgemein definiert als:

Der Impuls oder Kraftstoß

2

1

t

tdtFp

2

1

2

1

t

t

t

tdtamdtFp

vmdtamdtamdtFpt

t

t

t

t

t

2

1

2

1

2

1

• Umgekehrt gilt für die Kraft:

dt

vdmamF

dt

pd

dt

vmd

dt

vdmamF

)(

vmp

pdt

pdF

• Aus 3. Newton‘schen Axiom (Kraft = Gegenkraft, )

folgt:

)(0 2121

2112 ppdt

d

dt

pd

dt

pdFF

021122112 FFFF

)(0 2121

2112 ppdt

d

dt

pd

dt

pdFF

Ableitung einer Funktion ist Null Funktion ist konstant

.21 constpp

Gesetz der Impulserhaltung: Ohne Einwirkung äußerer Kräfte gilt:

.constvmppi

ii

i

igesamt

Impulse und Stösse

• Mit dem Gesetz der Impulserhaltung ergibt sich für ein Zwei-Teilchen-System:

Der Impuls oder Kraftstoß

dt

vmd

dt

vmdFF

)()( 221121

In einem abgeschlossenen System, in dem nur innere Kräfte wirken,

bleibt der Gesamtimpuls (= Vektorsumme aller Einzelimpulse) erhalten

…und damit gilt für die Impulserhaltung:

.0)( 22112211 constvmvmvmvmdt

d

bei sehr unterschiedlichen Massen (m2 >> m1), Masse m2 vor dem Stoß in Ruhe:

Rückstoß

• Bilanz der Impulse vor und nach einem Stoß:

)()( 22112211nachhernachhervorhervorher vmvmvmvm

Impulse und Stösse

Der Impuls oder Kraftstoß

Bei sehr unterschiedlichen Massen (m2 >> m1), Masse m2 vor dem Stoß in Ruhe:

Rückstoß

Beispiel: Hammer auf Amboss

Schlag mit einem Hammer der Masse 5 kg und der Geschwindigkeit v auf einen

Amboss der Masse 100 kg :

• Da m2 >> m1: Impuls des Hammers vor dem Schlag ist entgegengesetzt

dem Impuls des Hammers nach dem Schlag.

Impuls des Amboss bleibt annähernd Null.

• Impuls des Amboss vor dem Stoss: 00 AmbossAmboss vmpv

nachhervorher pp 11

Damit gilt für den Kraftstoß:

Rückstoß1110

2 ppppdtF vorhernachhert

Impulse und Stösse

Die Stoßgesetze

• Stoß = schnelle Wechselwirkung mit

Impuls- und Energieänderungen

• Arten der Wechselwirkung:

1. Mechanisch

2. Elektrisch

3. Magnetisch

• Behandlung der Vorher-Nachher-Bilanz durch Erhaltungssätze:

Energiesatz und Impulssatz

v: Geschwindigkeiten vor dem Stoß

u: „ nach dem Stoß

2

22

2

11

2

22

2

112

1

2

1

2

1

2

1umumvmvm 22112211 umumvmvm

Impulse und Stösse

Die Stoßgesetze - Stoßarten

• elastischer Stoß: Impuls und Bewegungsenergie bleiben erhalten

• inelastischer Stoß: Nur Impuls, nicht Bewegungsenergie bleibt erhalten,

- kinetische Energie wird in Wärme- oder

Verformungsenergie umgewandelt

• (vollkommen) unelastischer Stoß: Stoßpartner bleiben zusammen und bewegen

sich gemeinsam weiter

Wumumvmvm 2222

11

2

22

2

112

1

2

1

2

1

2

1

Erweiterung des Energiesatzes:

elastischer Stoß: ΔW = 0

inelastischer Stoß: Δ W ≠ 0

Impulse und Stösse

Die Stoßgesetze - Stoßarten

• zentraler Stoß: Bewegungen entlang einer Wirklinie,

keine Winkel, keine Drehbewegung nach dem Stoß

• nicht-zentraler / Stoßpartner treffen sich „seitlich“,

schiefer Stoß: bewegen sich in verschiedene Richtungen,

Drehbewegung ist möglich

m1 m21v

02 v

vor dem Stoß:

m11u

2u

nach dem Stoß:

m2

m1

m2

1

2

Impulse und Stösse

Die Stoßgesetze - Stoßarten

Beispiel 1: zentraler elastischer Stoß

• Impulserhaltung

• Energieerhaltung

22112211 umumvmvm

)()( 222111 vumuvm

2

22

2

11

2

22

2

112

1

2

1

2

1

2

1umumvmvm

)()( 222

22

2

1

2

11 vumuvm

))(())(( 2222211111 vuvumuvuvm

v: Geschwindigkeiten vor dem Stoß

u: „ nach dem Stoß

Impulse und Stösse

• Energieerhaltung

))(())(( 2222211111 vuvumuvuvm

v: Geschwindigkeiten vor dem Stoß

u: „ nach dem Stoß

)()( 222111 vumuvm

(Impuls-erhaltung)

))(())(( 2222211222 vuvumuvvum

…kürzen:)()( 2211 vuuv

21121221 und vuvuvvuu

• Einsetzen in den Impulserhaltungssatz (s.o.):

Die Stoßgesetze - Stoßarten

Beispiel 1: zentraler elastischer Stoß

)())(( 22212211 vumvvuvm

)()2( 2222211 vumvuvm

)()( 22112111 vvuvmuvm

)2()( 2112111 vuvmuvm

Impulse und Stösse

Die Stoßgesetze - Stoßarten

Beispiel 1: zentraler elastischer Stoß

)()2( 2222211 vumvuvm

)2 2222212111 vmumvmumvm

2111222122 2 vmvmvmumum

211122122 2)( vmvmvmmmu

)2()( 2112111 vuvmuvm

)2212122111 vmumvmumvm

1222111112 2 vmvmvmumum

122211121 2)( vmvmvmmmu

Auflösen/Umstellen nach den Geschwindigkeiten nach dem Stoß für:

Masse m2:

2

21

21

21

21

21

1222111

)(

2

)(

)(

2

vmm

mv

mm

mm

mm

vmvmvmu

Masse m1:

1

21

12

21

12

21

2111222

)(

2

)(

)(

2

vmm

mv

mm

mm

mm

vmvmvmu

Impulse und Stösse

Die beiden Massen tauschen ihre Geschwindigkeiten jeweils aus !

Geschwindigkeiten nach dem Stoß:

Masse m2:

2

21

21

21

211

)(

2

)(v

mm

mv

mm

mmu

Masse m1:

1

21

12

21

122

)(

2

)(v

mm

mv

mm

mmu

Die Stoßgesetze - Stoßarten

Beispiel 1: zentraler elastischer Stoß

• Beispiel 1a: Stoß gleicher Massen (m1 = m2 = m)

22112

2

2vv

m

mv

m

mmu

1122

2

2

2vv

m

mv

m

mmu

122 und 0 vuu

02 v

Spezialfall: Masse 2 vor dem Stoß in Ruhe

Impulse und Stösse

Geschwindigkeiten nach dem Stoß:

Masse m2:

2

21

21

21

211

)(

2

)(v

mm

mv

mm

mmu

Masse m1:

1

21

12

21

122

)(

2

)(v

mm

mv

mm

mmu

Die Stoßgesetze - Stoßarten

Beispiel 1: zentraler elastischer Stoß

• Beispiel 1b: Stoß mit der doppelten Masse (m = m1; m2 = 2m1 = 2m)

21

212

3

1

3

2

)2(

2

)2(

2

vv

vmm

mmv

mm

mu

12

211

3

1

3

4

)2(

22

)2(

2

vv

vmm

mv

mm

mmu

Spezialfall: Masse 2 vor dem Stoß in Ruhe

02 v

12113

2 und

3

1vuvu

Impulse und Stösse

Geschwindigkeiten nach dem Stoß:

Masse m2:

2

21

21

21

211

)(

2

)(v

mm

mv

mm

mmu

Masse m1:

1

21

12

21

122

)(

2

)(v

mm

mv

mm

mmu

Die Stoßgesetze - Stoßarten

Beispiel 1: zentraler elastischer Stoß

• Beispiel 1b: Stoß gegen eine Wand (v2 = 0; m1 = m; m2 = ∞)

0

)(

2lim 1

2

22

v

mm

mu

m

Rückstoß

1

1

2

21

2

21

1

1

lim)(

lim22

v

v

m

m

m

m

vmm

mmu

mm

Erweitern

mit 1/m2

Impulse und Stösse

Die Stoßgesetze - Stoßarten

Beispiel 2: (vollkommen) unelastischer Stoß

Stoßpartner bleiben zusammen und bewegen sich gemeinsam weiter

Geschwindigkeit der kombinierten Masse (m1 + m2) nach dem Stoß

ist nur durch den Impulssatz bestimmt:

21

221121

mm

vmvmuu

Wumumvmvm 2222

11

2

22

2

112

1

2

1

2

1

2

1

Bei Umwandlung kinetischer Energie in Wärme- oder Verformungsenergie:

Verwendung des erweiterten Energiesatzes:

Impulse und Stösse

Die Stoßgesetze - Stoßarten

Beispiel 3: Radioaktiver Zerfall

Ein 212Polonium-Kern emittiert beim radioaktiven Zerfall ein -Teilchen (He-Atom)

mit v = 2 107 m/s.

• Wie groß ist der Rückstoß auf den Kern ?

Impulserhaltung: pvmvmp KKK

v

m

mv

K

K

Impulse und Stösse

Die Stoßgesetze - Stoßarten

Beispiel 3: Radioaktiver Zerfall

• Welchen Anteil hat die kinetische Energie des -Teilchens E und des Kerns EK an

der Gesamtenergie E?

Energie- und Impulserhaltung:

KEEE

K

Kmvp

KKKm

pvmE

22

2

1

2

1

m

pvmE

22

2

1

2

1

K

K

m

p

m

pE

22

22

pvmvmp KKK

v

m

mv

K

K

K

KK

K

K

m

vm

m

vm

m

p

m

pE

2

)(

2

)(

22

2222

K

KKK

K

KK

K

K

mm

vmmvmm

m

vm

m

vm

m

p

m

pE

2

)()(

2

)(

2

)(

22

222222

2

2K

K

K pmm

mm

K

KKK

K

K

m

p

m

mmp

mm

mm

22

22

K

KK

K

K

KKK

K

K Em

mE

m

mm

m

p

m

mmp

mm

mm

1

22

22

Impulse und Stösse

Beispiel 3: Radioaktiver Zerfall

• Welchen Anteil hat die kinetische Energie des -Teilchens E und des Kerns EK an

der Gesamtenergie E?

Die Stoßgesetze - Stoßarten

KK E

m

mE

1

…analog: E

m

mE

K

1

KK

K

mm

m

m

mE

E

1

1

K

K

mm

m

E

E

%85,10185,0

2124

4

%15,989815,0

2124

4

Impulse und Stösse

Die Stoßgesetze - Stoßarten

Beispiel 3: Stöße mit mehreren Kugeln (Kugelspiel, Newton-Pendel)

Die beiden Massen tauschen ihre Geschwindigkeiten jeweils aus !

Fall 1: „Start“ mit einer Kugel: Zentraler, elastischer Stoß gleicher Massen (m1 = m2 = m):

122 und 0 vuu

02 v

Spezialfall: Masse 2 vor dem Stoß in Ruhe

Gleicher Prozess für Kugel 2 Kugel 3, Kugel 3 Kugel 4, Kugel 4 Kugel 5

Kugel 5 bewegt sich als einzige!

Impulse und Stösse

Die Stoßgesetze - Stoßarten

Beispiel 3: Stöße mit mehreren Kugeln

Fall 2: „Start“ mit n1 Kugeln gleicher Masse m:

• Impulserhaltung:

2211 umnvmn

• Energieerhaltung:

2

22

2

112

1

2

1umnvmn

v: vor dem Stoß

u: nach dem Stoß

1

2

2

1

v

u

n

n

2

1

2

2

2

1

v

u

n

n

2121 und uvnn

Impulse und Stösse

Eine Anwendung des Impulssatzes - Die Raketengleichungen

• Problem: kontinuierliche Massenänderung der Rakete

durch Treibstoffverbrauch

• Ansatz zur Lösung:

Impulserhaltung für kontinuierliche

Massenänderung erweitern

pdt

dF

)( vm

dt

dp

dt

dF

dt

dmv

dt

vdmvm

dt

dp

dt

dF

)(

• bei einer Rakete ist zu einem festen Zeitpunkt t die

Gesamtmasse M und die Geschwindigkeit v.

• durch das antreibende Gas (Masse mGas, Ausströmung mit vGas,

Absolutgeschwindigkeit: va = v-vGas) ist zum Zeitpunkt dt das Gewicht um dm verringert, und

die Geschwindigkeit um dv erhöht.

• nach dem 3. Newton‘schen Axiom ist:

weit entfernt von der Erde: kräftefreie Rakete (keine Gravitation, keine Reibung)

0 RaketeGas FF

Impulse und Stösse

Eine Anwendung des Impulssatzes - Die Raketengleichungen

nach dem 2. Newton‘schen Axiom gilt dann für die zugehörigen Impulse:

Massenabnahme der Rakete = ausgestoßene Gasmenge

, da nach Verlassen der Rakete die Ausströmgeschwindigkeit des Gases konstant ist

0 RaketeGas FF

dt

pd

dt

pdFF RaketeGasRaketeGas

0)()( aGas

RaketeGasRaketeGas vm

dt

dvM

dt

d

dt

pd

dt

pdFF

Impulsänderung der Rakete:

dt

vdMv

dt

dMvM

dt

d

dt

pd Rakete

)(dt

vdMv

dt

dm

dt

vdMv

dt

dMvM

dt

d

dt

pd GasRakete

)(

Impulsänderung des Gases:

aGasaGas

aGasGas v

dt

dmv

dt

dmvm

dt

d

dt

pd

)( 0)( aGasaGas

aGasGas v

dt

dmv

dt

dmvm

dt

d

dt

pd

Impulse und Stösse

Eine Anwendung des Impulssatzes - Die Raketengleichungen

damit ergibt sich für die Änderung des Gesamtimpulses:

0)(

av

GasGasGasGasRakete vv

dt

dm

dt

vdMv

dt

dm

dt

pd

dt

pd

bzw.

dMdmvdt

dm

dt

vdM GasGas

Gas mit

1. Raketengleichung:dt

dMv

dt

vdM Gas

bei einer zusätzlichen äußeren Kraft F, z.B: im Gravitationsfeld der Erde, gilt:

dt

dMvF

dt

vdM Gas

Impulse und Stösse

Eine Anwendung des Impulssatzes - Die Raketengleichungen

• Auflösen der Raketengleichung nach dv für die kräftefreie Rakete:

• Integration von v = v0 bis vE (Endgeschwindigkeit)

Endgeschwindigkeit der Rakete:

Grundgleichung des idealen Raketenantriebs

M

dMv

M

dt

dt

dMvvd GasGas

EE M

MGas

v

v M

dMvvd

00

EGas

EGasEGasE

M

Mv

M

MvMMvvv 0

000 lnln)ln(ln

EGasE

M

Mvvv 00 ln

bzw. im Schwere-

Feld der Erde:gt

M

Mvvv

EGasE

00 ln

Impulse und Stösse

Eine Anwendung des Impulssatzes - Die Raketengleichungen

Beispiel: Saturn V Mondrakete

• dreistufige Rakete, 1. Raketenstufe:

s 153 :Stufe 1.der Brenndauer

ms 2500 :Gases desgkeit Geschwindi

ms 0 :itchwindigkeAnfangsges

kg 1057,0 :Endmasse

kg 1091,2 :Startmasse

1-

1-0

6

60

B

Gas

E

t

v

v

M

M

1-1-0 ms 400057,0

91,2lnms 2500ln

EGasE

M

Mvv

ohne Berücksichtigung der Erdbeschleunigung:

mit Berücksichtigung der Erdbeschleunigung:

1-1-1-0 ms 2500s 153ms 81,957,0

91,2lnms 2500ln B

EGasE gt

M

Mvv

Zusammenfassung

• Impulse und Impulserhaltung

• Der Impuls oder Kraftstoß ist allgemein definiert als:

• Gesetz der Impulserhaltung: Ohne Einwirkung äußerer Kräfte gilt:

In einem abgeschlossenen System, in dem nur innere Kräfte wirken,

bleibt der Gesamtimpuls (= Vektorsumme aller Einzelimpulse) erhalten

• Stossgesetze

• Stossarten: elastischer Stoß: Impuls und Bewegungsenergie bleiben erhalten

inelastischer Stoß: Nur Impuls, nicht Bewegungsenergie bleibt erhalten,

(vollkommen) unelastischer Stoß: Stoßpartner bleiben zusammen und bewegen

sich gemeinsam weiter

einfachster Stoß: zentraler elastischer Stoß

- Geschwindigkeiten der Masse m1 und m2 nach dem Stoß:

• Bewegung bei kontinuierlicher Massenänderung: Raketenantrieb

• Grundgleichung des

idealen Raketenantriebs

vmdtamdtamdtFpt

t

t

t

t

t

2

1

2

1

2

1

.constvmppi

ii

i

igesamt

2

21

21

21

211

)(

2

)(v

mm

mv

mm

mmu

1

21

12

21

122

)(

2

)(v

mm

mv

mm

mmu

EGasE

M

Mvvv 00 ln

bzw. im Schwere-

Feld der Erde:gt

M

Mvvv

EGasE

00 ln