Physik A – VL34 (15.01.2013)Physik A VL34 (15.01.2013)

Magnetodynamik – elektromagnetische Induktiong y g

• Das Faraday’sche Induktionsgesetz

◦ Induktion in einem bewegten Leiter

◦ Induktion einem Leiterkreis/einer Spule – Lenz‘sche Regel

◦ Exkurs: Das Ohm‘sche Gesetz

◦ Wirbelströme

• Selbst- und Wechselseitige Induktion

◦ Induktivität einer Spule

◦ Der Transformator

◦ Wechselstrom

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MagnetodynamikInduktion Das Faraday‘sche InduktionsgesetzInduktion – Das Faraday‘sche Induktionsgesetz

• Bisherige Erkenntnisse:◦ Stromdurchflossene Leiter = bewegte Ladungen erzeugen Magnetfelderf g g g g f

◦ “ “ “ “ erfahren Kräfte in Magnetfeldern

• Fragen:g◦ Was passiert bei Bewegung eines Leiters (ohne Stromfluß) ?◦ Was passiert bei Änderung des Magnetfeldes oder Bewegung des Magneten?

• Experiment: Bewegter Leiter in Ladungsschaukel◦ Leiter hängt ohne Stromdurchfluss im Magnetfeld

◦ Beobachtung: Bewegung erzeugt Spannungsstoß

◦ Umkehrung des Prinzips des Elektromotors:Drehbewegung im Magnetfeld erzeugt SpannungDrehbewegung im Magnetfeld erzeugt Spannung

Induktionsspannung⇒

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MagnetodynamikInduktion Das Faraday‘sche Induktionsgesetz• Bewegte Leiterschleife im Magnetfeld

Induktion – Das Faraday‘sche Induktionsgesetz

◦ Bewegung einer Drahtschleife im Magnetfeld:Bewegung einer Drahtschleife im Magnetfeld:

- Rotation: Spannungsstoß

- senkrecht zu den Feldlinien: kein Spannungsstoß

- waagrecht / in Richtung der Feldlinien: kein Spannungsstoß

- Verformung der Schleife: Spannungsstoß

⇒ Eine Spannung tritt immer dann auf, wenn sich der magnetische Fluss durch die Schleife ändert !

◦ Kein Unterschied, ob Leiter oder Magnet bewegt werden:

Relativbewegung entscheidend !

⇒ Magnetfeld oder Fläche können sich ändern: ∫ ⋅=Φ AdBB

rr

3

MagnetodynamikInduktion Das Faraday‘sche Induktionsgesetz

◦ Eine Spannung tritt auf, wenn der magnetische Fluss sich ändert

• Bewegte Leiterschleife im Magnetfeld

Induktion – Das Faraday‘sche Induktionsgesetz

Eine Spannung tritt auf, wenn der magnetische Fluss sich ändert

⇒ Magnetfeld oder Fläche können sich ändern ∫ ⋅=Φ AdBB

rr

◦ Spannungsstoß ⇒ abhängig von Änderungsgeschwindigkeit des Flusses

dU B

i d

Φ−= Faraday‘sches

dtUind Induktionsgesetz:

Die induzierte Spannung in einem geschlossenen Leiterkreis ist gleich

Ä

◦ Erweiterung: Leiterschleife → Spule im Magnetfeld

der Änderungsgeschwindigkeit des magnetischen FlussesN = Zahl der

Windungen einer Spule dt

dNU B

ind

Φ⋅−=

⇒ je schneller sich das Magnetfeld ändert, desto größer wird die Spannung

p

4

MagnetodynamikInduktion Das Faraday‘sche Induktionsgesetz

• In einem geschlossenen Leiterkreis:◦ Induzierte Spannung durch Änderung des magnetischen Fluss

Induktion – Das Faraday‘sche Induktionsgesetz

p g g g⇒ Eine Spannung ruft einen Strom hervor

⇒ Ein Strom erzeugt wiederum ein Magnetfeld!

⇒ Energieerhaltung:Kräfte, die durch veränderlich Felder erzeugt werden, müssen sich kompensieren

Lenz‘sche RegelDer induzierte Strom ist stets so gerichtet, dass das vom ihm

erzeugte Magnetfeld der Ursache seiner Entstehung entgegenwirkt

⇒

5

MagnetodynamikInduktion Das Faraday‘sche Induktionsgesetz

◦ Die induzierte Spannung erzeugt einen Strom der

• Beispiel: Richtung der Kraft nach Lenz‘scher Regel bei einer Spule

Induktion – Das Faraday‘sche Induktionsgesetz

Die induzierte Spannung erzeugt einen Strom, der die Änderung des Magnetfeldes verringert- Magnet wird in eine Spule hineingeschoben:

#

→ d i d i t St h ä ht d F ld→ der induzierte Strom schwächt das Feld

- Magnet wird aus der Spule herausgezogen: → der induzierte Strom stärkt das Feld→ der induzierte Strom stärkt das Feld

⇒ Der induzierte Strom „versucht“ eine Änderung des magnetischen Flusses zu verhindern.

◦ Zusammenhang mit dem Energieerhaltungssatz: Die Energie für den Aufbau der elektrischen Felder stammt aus dem MagnetfeldDie Energie für den Aufbau der elektrischen Felder stammt aus dem Magnetfeld. Physikalische Aussage entsprechend dem Minuszeichen im Induktionsgesetz:

∫∫ΦB Bdd r

r „Sonderfall“ Spule:F /Q h i d

6

∫∫ ⋅−=−=AA

Bind Ad

dtBd

dtd

U Form/Querschnitt derSpule zeitlich konstant

MagnetodynamikInduktion Das Faraday‘sche Induktionsgesetz

• Anwendung: Induktionsherd

◦ wechselndes Magnetfeld durch Wechselstrom in einer Induktionsspule

Induktion – Das Faraday‘sche Induktionsgesetz

◦ wechselndes Magnetfeld durch Wechselstrom in einer Induktionsspule

⇒ Induktion von (Wirbel-)Strömen in metallischen bzw. ferromagnetischen Materialien

⇒ elektrischer Widerstand des Materials wandelt den Stromfluss in Wärme um⇒ elekt ische Wide stand des ate ials wandelt den St omfluss in Wä me um

◦ Vorteil: Herdplatte wird nicht heiß ! Funktioniert nur bei Kontakt !

◦ Nachteil: Induktionsherd benötigt Töpfe / Pfannen aus ferromagnetischem Material

7

Nachteil: Induktionsherd benötigt Töpfe / Pfannen aus ferromagnetischem Material

MagnetodynamikInduktion in einem bewegten Leiter• Bewegung eines Leiters (Länge L) in konstantem Magnetfeld erzeugt Induktionsspannung

→ Berechnung der Spannung aus Induktionsgesetz:

Induktion in einem bewegten Leiter

g p g g

dtd

U Bind

Φ−= )( AB

dtd

⋅−=

dtdAB−=

„Sonderfall“ bewegter Leiter: zeitlich konstantes Magnetfeld

dtdsBl ⋅−= slA ⋅=

mitdtdsv = vlBUind −=⇒

d h di S i d kti i d i St i d i tvlBUI ind◦ durch die Spannungsinduktion wird ein Strom induziertRR

I indind −==

◦ Strom erzeugt eine Lorentzkraft, die versucht, die Ursache (Bewegung) zu verhindern:

)( BIlF ind

rrr×= v

RBvlBIlF ind ∝−==⇒

22rr

⇒ je schneller sich ein Leiter bewegt, desto stärker wirkt die Kraft dagegen

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⇒ je schneller sich ein Leiter bewegt, desto stärker wirkt die Kraft dagegen⇒ Abbremsen der Bewegung ! → Wirbelstrombremse

MagnetodynamikExkurs: Das Ohm‘sche GesetzExkurs: Das Ohm‘sche Gesetz• durch Spannungsinduktion wird ein Strom induziert

RvlB

RUI ind

ind −==

• Wird an einen Leiter eine elektrische Spannung U angelegt, verändert sich der hindurch fließende elektrische Strom I proportional zu U.

P i li ä d S U S ä k I i d fü

G Si Oh

• Proportionalität der Spannung U zur Stromstärke I wird für die Definition des elektrischen Widerstandes R benutzt:

constUR Ohm‘sches Gesetz

• Schreibweisen des Ohm‘schen Gesetzes: RIURUI

IUR ⋅=⇔=⇔=

Georg Simon Ohm(1789-1854)

.constI

R == Ohm sches Gesetz

RI• Mit Hilfe des Ohm‘schen Gesetzes lassen

sich die drei Grundgrößen eines Strom-( h l k ) b hKreises (Schaltkreises) berechnen, wenn

mindestens zwei davon bekannt sind.

Die drei Grundgrößen sind Spannung U

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Die drei Grundgrößen sind Spannung U, Strom I und der Widerstand R.

MagnetodynamikWirbelströmeWirbelströme• durch Spannungsinduktion wird ein Strom induziert

RvlB

RUI ind

ind −==

• Statt bewegtem Leiter: ausgedehnte Materialplatte wird im Magnetfeld bewegt⇒ die Elektronen im Material bewegen sich so, dass auf sie eine Lorentzkraft wirkt,

die der Bewegung der Platte entgegenwirktdie der Bewegung der Platte entgegenwirkt⇒ Die Elektronenbewegung erzeugt bremsenden Ringströme: Wirbelströme

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MagnetodynamikWirbelströme

◦ Bremsen von rotierenden Metallrädern:

• Anwendung 1: WirbelstrombremseWirbelströme

Straßenbahn, Eisenbahn, Hometrainer, etc.

◦ Vorteile: - Kraft ist proportional zur Geschwindigkeit: je schneller die Bewegung, desto größer ist die Bremswirkung

- Kraft ist proportional zum Strom ⇒ direkte elektrische/elektronische Regelung

d B i k ö li h

◦ Beispiel ICE 3

der Bremswirkung möglich- berührungsfrei und verschleißfrei

◦ Beispiel ICE 3- pneumatische Bremse kann den Zug ab 160 km/h nicht innerhalb 1000 Meter auf null abzubremsen:

Wirbelstrombremse: 300 km / h mit Haltestrecke < 1000 Meter

11

- Wirbelstrombremse: 300 km / h mit Haltestrecke < 1000 Meter

MagnetodynamikWirbelströme

◦ jedes leitende Objekt erzeugt im bewegten Magnetfeld • Anwendung 2: Metalldetektoren

Wirbelströme

einen Induktionsstrom→ verborgene Objekte können gefunden werden→ Suchdetektoren, Sicherheitsdetektoren (an Flughäfen etc.)

◦ Schwingungen einer Saite einer E-Gitarre erzeugt Induktionsstrom in einer Spule

• Anwendung 3: E-Gitarre

aus: Cutnell / Johnson: Physics

◦ Das Mikrofon nimmt über Membran Schwingungen auf, die eine Spule im Magnetfeld bewegen

• Anwendung 4: Mikrofon

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⇒ Induktionsstrom: „Tauchspulenmikrofon“! Umkehrung des Lautsprecher-Prinzips !

MagnetodynamikSelbstinduktion• jeder stromführende Leiter ist von einem Magnetfeld umgeben,

dessen Fluss der Stromstärke im Leiter proportional ist

Selbstinduktion

ILB ⋅=Φ

L = Induktivität eines Leiters ⎥⎤

⎢⎡ =

Φ= (Henry)H1Vs1L BL Induktivität eines Leiters ⎥⎦⎢⎣

(Henry)H1A

1I

L

• Beispiel: Induktivität einer Zylinderspule mit N Windungen

INL BΦ⋅

=I

ABN )( ⋅⋅=

lAN 2

0μ=

→ Spule mit N Windungen → N-facher Fluss: ILN B ⋅=Φ⋅

Induktivität einer leeren Zylinderspule

⇒l

ANL2

0μ=I I ll

NIB 0μ=

leeren Zylinderspulel

• ändert sich in einer Spule die Stromstärke, ändert sich der magnetische Fluss

dtdIL

dtd B ⋅=Φ

⇒dt

dNU B

ind

Φ⋅−=,mit

S lb i d k idtdILUind ⋅−=⇒

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Selbstinduktionsspannung

MagnetodynamikSelbstinduktionSelbstinduktion

◦ Schaltkreis mit Widerstand und Spule parallel geschaltet• Experiment: Stromänderung beim Ein- und Ausschalten einer Spule

- einschalten: Strom an Spule erreicht erst nach einiger Zeit einen Maximalwert

Schaltkreis mit Widerstand und Spule parallel geschaltet

- ausschalten: Strom nimmt langsam wieder ab

◦ Bestimmung des Stroms beim Einschalten einer Spule bei Selbstinduktiong p

RIUU indges += RIIdtdL +=

RIU III 0

, =

dIdU

constIU

gesges

gesges

gesges RIU = III indges += 0==⇒dtdt

gesges

)()( IndgesIndgesges IIRIIddLRI −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=⇒

indges III +=

)()( IndgesIndgesges dt ⎠⎝{0

=

I dind RIdIL −=⋅⇔ dtRdIi d −=⇔

1

14

IndRIdt

L⇔ dtL

dII ind

ind

⇔

MagnetodynamikSelbstinduktion• Bestimmung des Stroms beim Ein- und Ausschalten einer Spule bei Selbstinduktion

Selbstinduktion

◦ Einschaltvorgang: ◦ Ausschaltvorgang:I(t)

0UR

g g

I0I(t)

L

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅= t

LRIIind exp0

g g

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⋅= t

LRIIind exp10

0Ie

LR

τ =

t t⇒ Die Spule „speichert“ Energie, da sie Anstieg und Abfall verlangsamt:

i h i di h d k i i

2

220

21

lINwmag

μ=⇒

◦ magnetische Energiedichte

0

2

21μBwmag =

◦ Induktivität

AlL

lN

lANL

02

220

μμ

=⇔=

lNIB 0μ=

0μ 0μ

lALIwmag

2

21

=⇒

⇒ Energie einer Spule: AlVW 21 LIW⇒

15

⇒ Energie einer Spule: AlwVwW magmagSpule ⋅=⋅=2

LIWSpule =⇒

MagnetodynamikWechselseitige Induktion• Wechselstrom in einer Spule erzeugt ein sich änderndes Magnetfeld, dass in

einer anderen Spule in der Nähe wieder einen Wechselstrom induzieren kann:

Wechselseitige Induktion

gegenseitige Induktion

◦ Spule 2 - Fluss durch Magnetfeld der Spule 1: 122 BN ∝Φ⋅

◦ Spule 1 - Strom erzeugt Magnetfeld: 11 BI ∝

1122 IBN ∝∝Φ⋅⇒ mit BHM m ⋅=⋅=χ

χ1122 IBN ∝∝Φ⇒

122 MIN =Φ⋅⇒ 22

INM Φ⋅

=⇔

,mit BHM m0μ

χ

1221I

⇒ Neuformulierung des Faraday-Gesetzes:

dtNd

dtdNU B

ind)( 22

2,Φ

−=Φ

⋅−=dtdIMUind

12, ⋅−=⇒

16

MagnetodynamikWechselseitige Induktion

• Anwendung: Transformatoren◦ ein Transformator besteht aus zwei Spulen mit den Windungszahlen N1 und N2,

di f i Ei j h i k lt i d (V tä k S d St ö )

Wechselseitige Induktion

die auf ein Eisenjoch gewickelt sind (Verstärkung von Spannungen und Strömen):gegenseitige Induktion ändert das Strom-Spannungsverhältnis

dIdtdIMUind

12, ⋅−=

dΦ

i S l kö t t d di S höh d

dtdNU B

indΦ

⋅−=

◦ zwei Spulen können genutzt werden, um die Spannung zu erhöhen oder zu erniedrigen: gegenseitige Induktion ändert Strom-Spannungsverhältnis

- der magnetische Fluss ist in beiden Spulen gleich: 22,

NN

UUind −=

11, NUind

- die Leistung bleibt in beiden Spulen ebenfalls gleich: 22,11, IUIUP indind ==

NUI

17

⇒ Transformatorgleichung: 1

2

1,

2,

2

1

NN

UU

II

ind

ind −==

MagnetodynamikRotierende Leiterschleife im Magnetfeld• Umkehrung des Elektromotor-Prinzips: ◦ Eine Spule wird mechanisch in Magnetfeld gedreht

Rotierende Leiterschleife im Magnetfeld

⇒ es wird ein Induktionsstrom erzeugt (generiert): Stromgenerator

• Fläche des Leiters im Magnetfeld ändert sich relativ zum Magnetfeld bei der Rotation

⇒ der induzierte Strom ändert sich ebenfalls: Wechselstrom

AB ⋅=Φrr

)cos(cos

0 tABABB

ωα

⋅Φ=⋅⋅=

⋅=Φ

)cos(0 tωΦ

)sin()sin( 00 tUtdU Bind ωωω ⋅=⋅Φ⋅=

Φ−=⇒

Dynamoprinzip: Werner von Siemens

)sin()sin( 00 tUtdt

Uind ωωω Φ⇒

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MagnetodynamikWechselstrom• Beispiel: Wechselstrom im Haushalt

Wechselstrom

◦ Die im Haushalt übliche Spannung ist eine Wechselspannung mit der Frequenz:

)(ind tUωπ

=2T

p g p g q

Hz 50s 5012

1- ====Tπ

ων

0

ω

◦ Leistung:

IUP ⋅=t0

ffff IU

tItUtPIUP

⋅=

⋅==

⋅=

≈≈)()()(

effeff IU

◦ Das Stromnetz liefert eine effektive Spannung von Ueff = 230 V

→ Über Gleichrichter kann ein Kondensator auf über 300 V aufgeladen werden !

⇒ Spitzenspannung: V 325V 230220 =⋅=⋅= effUU

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f fg

Zusammenfassung• Bewegungen von Ladungen und Leitern erzeugen Magnetfelder Bewegungen von Ladungen und Leitern erzeugen Magnetfelder

• Änderungen von Magnetfeld oder Fluss erzeugen bewegte Ladungen

⇒ Spannungstöße ⇒ Ströme dΦ

⇒ Faraday‘sches Induktionsgesetz

• Lenz‘sche Regel: Ein induzierter Strom ist stets so gerichet, dass das von ihm erzeugte

N = Zahl der Windungen einer Spuledt

dNU B

ind

Φ⋅−=

g g gMagnetfeld der Ursache seiner Entstehung entgegenwirkt.

• vom veränderlichem Fluss erzeugte Ströme erzeugen Kräfte )( BIlF ind

rrr×=

l d k d f d U◦ Proportionalität der Spannung U zur Stromstärke I wird für die Definition des elektrischen Widerstandes R benutzt: .const

IUR ==

Ohm‘sches Gesetz• ausgedehnte Materialplatte wird im Magnetfeld bewegt⇒ die Elektronen im Material bewegen sich, erzeugen bremsende Ringströme: Wirbelströme

• Selbstinduktion: ILB ⋅=Φ L = Induktivität eines Leiters ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ =

Φ= (Henry) H 1

AVs1

IL B

⎦⎣

SelbstinduktionsspannungdtdILUind ⋅−= Energie

einer Spule2

21 LIWSpule =

NUI W h l t / dΦ

20

◦ Transformatorgleichung: 1

2

1,

2,

2

1

NN

UU

II

ind

ind −== Wechselstrom/Dynamoprinzip: )sin(0 tU

dtdU B

ind ω⋅=Φ

−=