Physik und Sensorik – Kapitel 2 Analog-Digital-Wandler ... und Digitale Filter.pdf · Daten 𝑦𝑦1…𝑦𝑦𝐷𝐷𝐷𝐷𝑅𝑅𝐼𝐼. Kernel 𝐾𝐾. 1 …𝐾𝐾

Physik und Sensorik

www.tu-chemnitz.de/physik/EXSEChemnitz ∙ 7. November 2018 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz

Physik und Sensorik – Kapitel 2

Analog-Digital-Wandler (ADC)

Digitale Filter

Physik und Sensorik

www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE2Chemnitz ∙ 7. November 2018 ∙ Prof. Dr. Uli Schwarz

Sensor-System für SCR/EDA

Analoger Teil der Schaltung

ADCIN OUTDigitaler

FilterSerielle

Schnittstelle

Digitaler Teil der Schaltung

ESP32

ADC

𝑅𝑅𝑉𝑉 = 33 kΩ

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RC-Tiefpass 1. und 2. Ordnung

1. Ordnung

2. Ordnung𝑓𝑓0

Rechenbeispiel:Kapazität 𝐶𝐶 = 1 µFWiderstand 𝑅𝑅 = 47 kΩGrenzfrequenz: 𝑓𝑓0 = 3.4 Hz

𝑓𝑓0 =𝜔𝜔02𝜋𝜋

=1

2𝜋𝜋 𝑅𝑅 𝐶𝐶

𝑈𝑈𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂

𝑅𝑅𝑇𝑇𝑇𝑇 = 47 kΩ

𝐶𝐶𝑇𝑇𝑇𝑇 = 1 µF

𝑈𝑈𝐼𝐼𝐼𝐼

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Physik und Sensorik


Analoge Spannung

https://en.wikipedia.org/wiki/Potentiometer

Beispiel:Potentiometer

Variabler Spannungsteiler

Schleifring

Abgriff

Drehknopf

Zumindest prinzipiell beliebig fein einstellbare Spannung am Potentiometer.

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Analoges Messinstrument

https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Drehspulinstrument.svg

Beispiel:Amperemeter als Drehspulinstrument

Zumindest prinzipiell beliebig fein ablesbare Spannung am Messinstrument (real begrenzt durch die Ablesegenauigkeit).

Vom Menschen intuitiv erfassbar.

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Digitales Messinstrument


Beispiel:Digital-Voltmeter

Kann sehr genau sein (Beispiel unten: 7½ Dezimalstellen), aber der Bereich zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen ist nicht unterscheidbar (Quantisierungsfehler).

Digital Zahlen sind das natürliche Futter für Computer.

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Analoge Welt - Digitale Welt


Lautstärke (dB)Helligkeit (Lumen)Strom (A)Spannung (V)Länge (m)Zeit (s)Gewicht (kg)…

Zahlenwert mit endlicher Präzision 1.34 V

Integer-Zahl: 1340

Binäre Zahlen 01101001

… als Spannung 0V, 5V, 5V, 0V, 5V, 0V, 0V, 5V

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Analog

https://en.wikipedia.org/wiki/Analog-to-digital_converter

Beispiel: 3-Bit ADC

Analoger Bereich von 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 bis 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 + ∆𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝐼𝐼𝑅𝑅𝑅𝑅

Digitaler Zahlenbereich von 0 bis 7 (binär 000 bis 111)

Präzision, Quantisierungsfehler: Eingangsbereich/Schritt

Analoge Werte in Bereichen der Breite 𝐸𝐸𝐹𝐹𝐹𝐹𝑅𝑅/8 werden einerdigitalen Zahl zugewiesen.

𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅∆𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝐼𝐼𝑅𝑅𝑅𝑅

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Flash-ADC, Parallel Comparator ADC

https://en.wikipedia.org/wiki/Flash_ADC

Aus Referenzspannung 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 wird mit einerWiderstandskette eine Spannungsreihe erzeugt.

Die Eingangsspannung 𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼 wird gleichzeitig mitall diesen Spannungen verglichen.

Schnellste Wandlung.

Geringe Auflösung (8 Bit, 10 Bit).

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Dual Slope ADC, Integrating ADC

https://en.wikipedia.org/wiki/Integrating_ADC

Schaltschwelle

Operationsverstärker: gleiche Spannung and „+“ und „-“ Eingängen.Am Widerstand R liegt die Eingangs-Spannung 𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼 oder die Referenz-Spannung 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅.Strom durch den Widerstand ist konstant 𝐼𝐼 = 𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼

𝑅𝑅bzw. 𝐼𝐼 = 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅

𝑅𝑅.

Mit diesem Strom wird der Kondensator geladen: 𝑄𝑄 = 𝐼𝐼 𝑡𝑡.Die Spannung am Kondensator ist proportional zur Ladung und damit zur Zeit:

𝑉𝑉𝐶𝐶 = 𝑉𝑉𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑄𝑄𝐶𝐶

= 𝐼𝐼 𝑂𝑂𝐶𝐶

= 𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑂𝑂𝑅𝑅 𝐶𝐶

Der Kondensator wird zunächst mit der Eingangsspannung bis zu einer Spannung 𝑉𝑉𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂= Schaltschwelle aufgeladen. Die dafür benötigte Zeit 𝑡𝑡𝑂𝑂 wird gemessen.Dann wird der Schalter umgelegt und der Kondensator über die Spannung 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 entladen. Die dafür benötigte Zeit 𝑡𝑡𝑑𝑑 wirdgemessen. Die Referenz-Spannung muss inverse Polarität zurzu messenden Spannung haben.Aus dem Verhältnis der Zeiten ergibt sich die Spannung:

𝑉𝑉𝑖𝑖𝐼𝐼 =𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡𝑂𝑂𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅

Eine Zeitmessung ist für einfach und sehr genau.Es gibt noch eine Reihe weiterer wichtiger ADC Konzepte.

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Abtasten eines zeitlichen Signals

Meist mit konstanter Abtastrate Zeitserie

https://de.wikipedia.org/wiki/Analog-Digital-Umsetzer

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Auflösung (Dynamik): 8 Bit, 10 Bit, 12 Bit, 14 Bit, 16 Bit, … 24 Bit

28 = 256; 210 = 1024; … 216 = 65536; … 224 = 16777216;

Bei einem Eingangsspannungsbereich von 0 V … 3.3 V entspricht das einer Präzision (Quantisierungsfehler, entsprechend 1 Bit) von:

3.3 𝑉𝑉256

= 13 𝑚𝑚𝑉𝑉; 3.3 𝑉𝑉1024

= 3.2 𝑚𝑚𝑉𝑉; … 3.3 𝑉𝑉6553

= 50 µ𝑉𝑉; … 3.3 𝑉𝑉16777216

= 0.2 µ𝑉𝑉

Frequenz der ADC Wandlung: 1 kHz, … 100 kHz, … 1 GHz

Meist geringere Auflösung bei schnellen ADC Wandlern

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Abweichung von Nullpunkt, Empfindlichkeit und Linearität

https://de.wikipedia.org/wiki/Analog-Digital-Umsetzer

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Symbol„Single ended“, Spannung relativ zu Ground

ADC mit differentiellem Eingang

+IN-IN

OUTADC∆𝑈𝑈

ADC mit Multiplexer (MUX); mehrere Eingänge, die sequentiell gewandelt werden

A0

A1

A2

A3Elektronischer Schalter zwischen den Eingängen

MUX

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Digitale Filter

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Gleitender Mittelwert

Aufgabe: Glätten eines verrauschten Signals

Original-Signal: Rechteck-Signal (Frequenz 1, Amplitude 1)

Mit Rauschen: normalverteilt, Amplitude 0.1

Abtastfrequenz: 1/50 (also 50 Punkte pro Periode)

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Gleitender MittelwertBilde für jeden Punkt den Mittelwert aus N Punkten (arithmetisches Mittel)

Hier: N = 17 (jeweils 8 Punkte links und rechts werden einbezogen)

Gleitender Mittelwert: Mittelwertbildung für alle Punkte der Originalkurve

Überlappende Intervalle zur Mittelwertbildung

N-1 Punkte fehlen am Anfang und/oder Ende

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… wirkt als Tiefpass.

Niedrige Frequenzen werden kaum abgeschwächt.

Hohen Frequenzen werden abgeschwächt (wenn Periode kleiner als Mittelungsintervall).

Frequenz𝜔𝜔 = 4, 8, 16, 24

Beobachtung:180° Phasen-verschiebungbei 𝜔𝜔 = 24

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Savitzky-Golay Methode

Gleitender Fit eines Teilstücks mit einem Polynom

Hier: Fit des Teilstücks mit quadratischer Funktion 𝑎𝑎 𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐

Aus jedem Fit wird ein Punkt für die geglätteten Daten verwendet

Fit

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Savitzky-Golay Filter entspricht einem Tiefpass höherer Ordnung.

Signal wird erst bei höhere Frequenzen gedämpft (unterdrückt).

Steilerer Übergang von ungedämpften zu gedämpften Frequenzen.

Messdaten


Savitsky-Golay

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Fit mit Polynomen höherer Ordnung ist möglich (hier: 5. Ordnung 𝑎𝑎 𝑥𝑥4 + 𝑏𝑏 𝑥𝑥3 + 𝑐𝑐 𝑥𝑥2 + 𝑑𝑑 𝑥𝑥 + 𝑒𝑒)

Statt Werte des gefitteten Polynoms kann auch dessen Ableitung am jeweiligen Punkt

eingesetzt werden geglättete Ableitung (auch höhere Ableitungen möglich)

Messdaten

Ableitung

Savitsky-Golay

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Filter mit Faltung (Convolution) und KernelDaten und Filter sind Arrays von Daten (synonym: Array, Liste, Vektor).Hier 1d Arrays, höhere Dimensionen sind möglich.

Daten

0.651970.0283975-0.0650494-0.000498440.09882090.06718020.00821315-0.125141-0.1270580.0912322-0.0339297-0.097737-0.1162430.02160530.213854-0.118382-0.0815414-0.00781925-0.00339240.129313

…

𝑦𝑦1𝑦𝑦2…

…𝑦𝑦𝐷𝐷𝐷𝐷𝑅𝑅𝐼𝐼

Kernel

-0.08571430.3428570.4857140.342857-0.0857143

x 𝐾𝐾1𝐾𝐾2……𝑦𝑦𝐾𝐾𝐷𝐷𝑅𝑅𝐼𝐼

Faltung:

�𝑦𝑦𝑠𝑠 = �𝑟𝑟=1

𝐾𝐾𝐷𝐷𝑅𝑅𝐼𝐼

𝐾𝐾𝑟𝑟 � 𝑦𝑦𝑠𝑠−𝑟𝑟

+

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Filter mit Faltung (Convolution) und Kernel

Daten 𝑦𝑦1 …𝑦𝑦𝐷𝐷𝐷𝐷𝑅𝑅𝐼𝐼

Kernel 𝐾𝐾1 …𝐾𝐾𝐾𝐾𝐷𝐷𝑅𝑅𝐼𝐼

Daten und Filter sind Arrays von Daten (synonym: Array, Liste, Vektor).Hier 1d Arrays, höhere Dimensionen sind möglich.

Faltung: �𝑦𝑦𝑠𝑠 = �𝑟𝑟=1


𝐾𝐾𝑟𝑟 � 𝑦𝑦𝑠𝑠−𝑟𝑟 𝑠𝑠 = 1 …𝐷𝐷𝐷𝐷𝑒𝑒𝐷𝐷 entspricht Verschiebung des Kernels relativ zu den Daten

Daten nach Faltung �𝑦𝑦1 … �𝑦𝑦𝐶𝐶𝐷𝐷𝑅𝑅𝐼𝐼

Das Array nach der Faltung kann kürzer, gleichlang oder länger als das Datan-Array sein, abhängig davon, wie mit den „Enden“ des Arrays umgegangen wird.

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Beispiel: Mittelwertbildung mit konstantem Kernel

117

,1

17,

117

,1

17,

117

,1

17,

117

,1

17,

117

,1

17,

117

,1

17,

117

,1

17,

117

,1

17,

117

Mittelwert über 17 Punkte: Aufsummieren und durch 17 teilen.

Kernel dazu:

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Beispiel: Mittelwertbildung mit Gauß-KernelKernel: {0.0143612, 0.0228781, 0.0343795, 0.0486627, 0.0647937,

0.0810595, 0.095191, 0.104857, 0.108298, 0.104857, 0.095191, 0.0810595, 0.0647937, 0.0486627, 0.0343795, 0.0228781, 0.0143612}

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Savitzky-Golay Methode mit FaltungKernel für Savitzky-Golay 3. Ordnung:{-0.0650155, -0.0185759, 0.0216718, 0.0557276, 0.0835913, 0.105263, 0.120743,0.130031, 0.133127,

0.130031, 0.120743, 0.105263, 0.0835913, 0.0557276, 0.0216718, -0.0185759, -0.0650155}

Kernel für Savitzky-Golay 5. Ordnung, 1. Ableitung:

{-0.0285862, 0.0489422, 0.0331011, -0.0172085, -0.0641145, -0.0872688, -0.0803425, -0.0475212,

0.,0.0475212, 0.0803425, 0.0872688, 0.0641145, 0.0172085, -0.0331011, -0.0489422, 0.0285862}

Messdaten

Ableitung

Savitsky-Golay

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Finite Impulse Response (FIR) Filter

Input-Daten

Kernel

Faltung�𝑦𝑦𝑠𝑠 = �𝑟𝑟=1


𝐾𝐾𝑟𝑟 � 𝑦𝑦𝑠𝑠−𝑟𝑟

jetztVergangenheit Zukunft

Output-Daten

Mit diesen Filtern können zeitlich fortlaufenden Signale effizient gefiltert werden (Datenstrom).

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∆𝑡𝑡 ∆𝑡𝑡

Neuer Wert aus einer Reihe zeitverzögerter Messwerte:

Zeitverzögerung (delay) ∆𝑡𝑡

𝑦𝑦𝐼𝐼 = �𝑘𝑘=0

𝑀𝑀−1

𝑏𝑏𝑘𝑘 𝑥𝑥 𝐷𝐷 − 𝑘𝑘

FIR-Filter der Länge M mit Filterkoeffizienzen 𝑏𝑏𝑘𝑘:

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Kernel für FIR Tiefpass:

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Kernel für FIR Tiefpass:

EDA Signal

EDA Signal, nach Tiefpass

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Kernel eines FIR Tiefpass-FiltersMit 51 Punkten, Grenzfrequenz

Fourier-Transformation des Kernels Amplitudenverhältnis (Dämpfung) als Funktion der Frequenz

Idealer Tiefpass

Realer Tiefpass mit Kernel

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Endlicher Kernel, diskrete Abtastintervalle Überschwinger und Nebenmaxima

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Bode-Plot Bode-Plot:Logarithmische Darstellung der Dämpfung

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 20 log10 𝑋𝑋

110 1

100

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Hochpass FIR Filter

Kernel

Fourier-Transformation

Bode-Plot

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Bandpass FIR FilterKernel


Bode-Plot

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Bandstopp FIR FilterKernel


Bode-Plot

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Ableitungs FIR Filter mit Cut-Off FrequenzKernel


Bode-Plot

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