Pierre Fermat

Übersicht

• Biographie• Fermatzahlen• Kleiner Satz von Fermat• Grosser Satz von Fermat

Biographie

• Geboren in Beaumont-de-Lomagne in Frankreich • Studierte in der Universität in Toulouse• Mathematik als Hobby• Grosse Karriere nach Jusstudium• Fälschlicherweise als Tod erklärt• Kontakt zu div. Mathematikern

Fermatzahlen

• Frage: gibt es unter den Zahlen 2k+1 (3, 5, 9, 17, ..) unendlich viele Primzahlen?

• Fermat bewies nun: 2k+1 prim k=2n. • Wenn k keine Zweierpotenz ist, so hat k einen

ungeraden Teiler m.• Es sei k=s×m. Dann gilt 2k+1=2s×m+1=(2s)m+1m.• Dieser Term ist aber durch 2s+1 teilbar und damit

nicht prim.

Fermatzahlen

• Vermutun, dass die Zahlen Fn: 22^n+1 für

alle n>0 prim seien.

n 0 1 2 3 4

2n 1 2 4 8 16

Fn 3 5 17 257 65537

Kleiner Satz von Fermat

• ap-1-1 immer durch die Primzahl p ganzzahlig teilbar, wenn a eine natürliche Zahl ist und 0<a<p

Kleiner Satz von Fermat

• 4× 1=4=4 mod 7; 4×2=8=1 mod 7; 4×3 =12=5 mod 7; 4×4=16=2 mod 7; 4×5 =20=6 mod 7; 4× 6=24=3 mod 7

• (4×1)× (4×2)× (4×3)× (4×4)× (4×5)× (4×6)=4×1×5×2×6×3 mod 7

• 6!×46=6! mod 7• 46=1 mod 7• denn 6! und 7 sind teilerfremd.

Kleiner Satz von Fermat

• Es sei p prim und a<p mit a>1• m1=1×a, m2=2×a, m3=3×a,...,mp-1=(p-1)×a

• Die p-1 mi repräsentieren (beim teilen durch p) die Restklassen von 1 bis p-1.

• 1×2×3×...×(p-1)×ap-1=m1×m2×m3×...×mp-1

=1×2×3×...×(p-1) mod p• (p-1)!×ap-1=(p-1)! mod p ((p-1)! und p sind

teilerfremd)• ap-1=1 mod pKleiner Satz von Fermat: ap-1-1 = 0 mod p

Anwendung (von Fermatzahlen)

• Welchen Rest läßt 2955 mod 53?

• 2955=2952+3=2952× 293=1×24389 mod 53 =9 mod 53

Grosser Satz von Fermat

• Satz von Pythagoras: a2+b2=c2

• a: = m2 - n2 , b: = 2mn , c: = m2+n2

• a2+b2 = (m2 - n2)2+(2mn)2 =m4+2m2n2+n4 = (m2+n2)2 = c2

• an + bn = cn a, b, c, n sind natürliche Zahlen n > 2 keine Lösung

Grosser Satz von Fermat

• Fermat bewies für n = 4• Euler bewies für n = 3• Arbeitsgruppen aus Mathematikern konnten

Fermats Vermutung erst für Werte von n bis 500, dann bis 1 000, schließlich bis 25 000 beweisen

• 1993 veröffentlichte Andrew Wiles einen fehlerhaften Beweis

• 1995 Andrew Wiles erbrachte beim zweiten Versuch den endgültigen Beweis