Plenum - Die AbleitungsfunktionMathematik Einführungsphase

Der Weg und das ZielDer Weg und das Ziel

Algorithmische Zusammenhänge finden Algorithmische Zusammenhänge finden zwischen einer Funktion und zwischen einer Funktion und

ihrer Steigungs- (Änderungs-) funktionihrer Steigungs- (Änderungs-) funktion

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Der Weg :Der Weg :

Regel entdecken, Vermutung aufstellen,Regel entdecken, Vermutung aufstellen,

beweisen und einfacher rechnen!beweisen und einfacher rechnen!

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Zu einer Funktion f(x) Zu einer Funktion f(x) die Funktion f‘(x) zu die Funktion f‘(x) zu finden, welche die finden, welche die Änderungsrate Änderungsrate beschreibt.beschreibt.Wenn wir also zum Wenn wir also zum Beispiel die Funktion Beispiel die Funktion eines Weges s(t) in der eines Weges s(t) in der Zeit t kennen, Zeit t kennen,

Das ZielDas Ziel

wie lautet dann die wie lautet dann die Funktion der zeitlichen Funktion der zeitlichen Änderung des Weges, Änderung des Weges, also die Geschwindigkeit also die Geschwindigkeit v(t) ?v(t) ?

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Worum geht es? Einordnung in den ZusammenhangBeispielBeispiel

e:e:Die Funktion Die Funktion

beschreibtbeschreibtAbleitungsfunktionAbleitungsfunktion

beschreibtbeschreibt

die Flughöhe in der die Flughöhe in der ZeitZeit

die Steigung des Flugzeuges in die Steigung des Flugzeuges in der Zeitder Zeit (Variometergraph)(Variometergraph)

das Höhenprofil eines das Höhenprofil eines RadwegesRadweges

den Anstieg bzw. das Gefälle den Anstieg bzw. das Gefälle oder die Steigung dieses Wegesoder die Steigung dieses Weges

s(t) , der Weg eines s(t) , der Weg eines Autos in der ZeitAutos in der Zeit

v(t) , die Geschwindigkeit des v(t) , die Geschwindigkeit des Autos in dieser ZeitAutos in dieser Zeit

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Bestimmen der Ableitungsfunktion

Steigung Steigung an jeder beliebigen Stelle xan jeder beliebigen Stelle x berechnen berechnen

• graphisches Differenzieren, graphisches Differenzieren,

• Graph der AbleitungsfunktionGraph der Ableitungsfunktion

• Steigung Steigung an einer bestimmten Stelle xan einer bestimmten Stelle x00 berechnen ( h-Methode )berechnen ( h-Methode )

bekannt:bekannt:

neuneu: :

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Wie sieht die Steigungsfunktion aus?

h

xfhxfxf

h

)()(lim)(' 00

00

h

xhxh

20

20

0lim

h

xhhxxh

20

20

20

0

2lim

Beispiel: Beispiel: f(x) = xf(x) = x22

h

hhxh

20

0

2lim

000

22lim xhxh

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Deshalb schreiben wir die Regel jetzt Deshalb schreiben wir die Regel jetzt allgemein:allgemein:

Für f(x) = xFür f(x) = x22 gilt: f‘(x) = gilt: f‘(x) = 22 x x oder

Regel

Für jedes beliebige xFür jedes beliebige x00 aus dem Definitionsbereich haben wir gezeigt: f‘(xf‘(x00) = 2 x) = 2 x00

zur Ableitungsfunktion von f(x) = xf(x) = x22

f‘(x) f‘(x) = = 22xx ist die Ableitungsfunktion von f(x)f(x) = x².

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Wie sieht die Steigungsfunktion aus?

h

xfhxfxf

)()()(' 00

0

h

xhxm

30

30

h

xhhxhxx 30

320

20

30 33

Beispiel: Beispiel: f(x) = xf(x) = x33

h

hhxhx 320

20 33

20

20 33 hhxx 2

02

020

0333lim xhhxx

h

und

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Deshalb schreiben wir die Regel jetzt Deshalb schreiben wir die Regel jetzt allgemein:allgemein:

Für f(x) = xFür f(x) = x33 gilt: f‘(x) = gilt: f‘(x) = 33 x x²² oder

Regel

Für jedes beliebige xFür jedes beliebige x00 aus dem Definitionsbereich habenwir gezeigt: f‘(xf‘(x00) = ) = 33 x x00²²

zur Ableitungsfunktion von f(x) = xf(x) = x33

f‘(x) f‘(x) = = 33xx²² ist die Ableitungsfunktion von f(x)f(x) = x³.

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Sammeln von Ableitungsfunktionen

Ein kleine Quiz-Ein kleine Quiz-Frage:Frage:

Zu . . Zu . . ..

f(x) gehört die Ableitungsfunktion f‘(x)

x2 gehört die Ableitungsfunktion 2x1

x3 gehört die Ableitungsfunktion 3x2

x4 gehört die Ableitungsfunktion 4x3

x7 gehört die Ableitungsfunktion 7x6

xn gehört die Ableitungsfunktion nxn-1

Zu . . Zu . . ..Zu . . Zu . . ..Zu . . Zu . . ..Zu . . Zu . . ..

Zu . . Zu . . ..

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Stimmt das denn ?

h

xfhxfxf

h

)()(lim)(' 00

00

h

xhxm

nn00

h

xhShxnx nnn0

2100

Zu Zu f(x) = x n ist f‘(x) = n x n-1 die Ableitungsfunktion ?

h

hShxn n 210

hSxn n 10 1

01

00

lim

nn

hxnhSxn

S ist die Summe aller übrigen Potenzprodukte, die ja alle mindestens h2

enthalten.

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Potenzregel

Die Potenzfunktion f(x) = xn mit n lN hat die

Ableitungsfunktion f‘(x) = n x n-1 .

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Viel Erfolg auf eurem Weg!Viel Erfolg auf eurem Weg!

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Aufgaben :Aufgaben :

Info: S 180 Basiswissen

Basics: S 181: A 19 - 23

S 183 A32 ; A 35

TOPs: Beweise S 182 A 26 – 28

Raben: Gegenbeweise S 183 A 37 & 38