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Polstelle oder hebbare Lücke ?
• Ich heisse Krief…
• Unseres Thema : Berechnung und graphische Interpretation von Grenzwerten der Form : Limes für x gegen x Null von f von x, wobei f eine gebrochene rationale Funktion ist und x Null eine reelle Zahl, die nicht im Definitionsbereich von f liegt.
• Die wesentliche Frage : Polstelle oder hebbare Lücke.
Polstelle oder hebbare Lücke ?
Gegeben ist :
0)(;0)(;0;0:
)(
)()(
)()(
)()(
)()(
)(
)(
)()(
0101
1
10
10
10
10
xNxZpqwobei
xN
xZxx
xNxx
xZxx
xNxx
xZ
xN
xZxf
qp
q
p
q
Berechnung und graphische Interpretation von Grenzwerten der Form : Limes für x gegen x Null von f von x, wobei f eine gebrochene rationale Funktion ist und x Null eine reelle Zahl, die nicht im Definitionsbereich von f liegt.
Polstelle oder hebbare Lücke ?
Den Grenzwert muss man berechnen :
0)(;0)(;0;0:
)(lim)(
)(
)(
)()(lim)(lim
0101
001
01
1
10
000
xNxZpqwobei
xxxN
xZ
xN
xZxxxf qp
xx
qp
xxxx
Berechnung und graphische Interpretation von Grenzwerten der Form : Limes für x gegen x Null von f von x, wobei f eine gebrochene rationale Funktion ist und x Null eine reelle Zahl, die nicht im Definitionsbereich von f liegt.
Diese Fälle müssen unterschieden werden :
0)(
)(__0
)(
)(
___
0__0
01
01
01
01
xN
xZoder
xN
xZ
ungeradeodergeradeqp
qpoderqp
0)(;0)(;0;0:
)(lim)(
)()(lim
0101
001
01
00
xNxZpqwobei
xxxN
xZxf qp
xxxx
Polstelle ++0
)(
)(;__0_
01
01 xN
xZgeradeundqpWenn
0
1
)(
)(
)(
1lim
)(
)()(lim
01
01
001
01
00 xN
xZ
xxxN
xZxf
pqxxxx
?)(lim133
64)(
1
23
23
xfxxx
xxxxf
Beispiel
x
Polstelle ++0
)(
)(;__0_
01
01 xN
xZgeradeundqpWenn
0
1
)(
)(
)(
1lim
)(
)()(lim
01
01
001
01
00 xN
xZ
xxxN
xZxf
pqxxxx
0
112
)1(
)2)(3(lim
)1)(1)(1(
)2)(3)(1(lim)(lim
133
64)(
2111
23
23
x
xx
xxx
xxxxf
xxx
xxxxf
Beispiel
xxx
Polstelle --0
)(
)(;__0_
01
01 xN
xZgeradeundqpWenn
0
1
)(
)(
)(
1lim
)(
)()(lim
01
01
001
01
00 xN
xZ
xxxN
xZxf
pqxxxx
?)(lim133
12112)(
1
23
23
xfxxx
xxxxf
Beispiel
x
Polstelle --0
)(
)(;__0_
01
01 xN
xZgeradeundqpWenn
0
1
)(
)(
)(
1lim
)(
)()(lim
01
01
001
01
00 xN
xZ
xxxN
xZxf
pqxxxx
0
112
)1(
)4)(3(lim
)1)(1)(1(
)4)(3)(1(lim)(lim
133
12112)(
2111
23
23
x
xx
xxx
xxxxf
xxx
xxxxf
Beispiel
xxx
Polstelle -+0
)(
)(;__0_
01
01 xN
xZungeradeundqpWenn
0
1
)(
)(
)(
1lim
)(
)()(lim
01
01
001
01
00 xN
xZ
xxxN
xZxf
pqxxxx
?)(lim23
87)(
1
3
2
xfxx
xxxf
Beispiel
x
Polstelle -+0
)(
)(;__0_
01
01 xN
xZungeradeundqpWenn
0
1
)(
)(
)(
1lim
)(
)()(lim
01
01
001
01
00 xN
xZ
xxxN
xZxf
pqxxxx
0
13
)2)(1(
)8(lim
)2)(1)(1(
)8)(1(lim)(lim
23
87)(
111
3
2
xx
x
xxx
xxxf
xx
xxxf
Beispiel
xxx
Polstelle +-0
)(
)(;__0_
01
01 xN
xZungeradeundqpWenn
0
1
)(
)(
)(
1lim
)(
)()(lim
01
01
001
01
00 xN
xZ
xxxN
xZxf
pqxxxx
?)(lim23
1011)(
1
3
2
xfxx
xxxf
Beispiel
x
Polstelle +-0
)(
)(;__0_
01
01 xN
xZungeradeundqpWenn
0
1
)(
)(
)(
1lim
)(
)()(lim
01
01
001
01
00 xN
xZ
xxxN
xZxf
pqxxxx
0
13
)2)(1(
)10(lim
)2)(1)(1(
)10)(1(lim)(lim
23
1011)(
111
3
2
xx
x
xxx
xxxf
xx
xxxf
Beispiel
xxx
Nulle stetige behebbare Lücke0
)(
)(;__0_
01
01 xN
xZgeradeundqpWenn
00
)(
)()(lim
)(
)()(lim
01
010
01
01
00 xN
xZxx
xN
xZxf qp
xxxx
0)(
)(;__0_
01
01 xN
xZgeradeundqpWenn
00
)(
)()(lim
)(
)()(lim
01
010
01
01
00 xN
xZxx
xN
xZxf qp
xxxx
Nulle stetige behebbare Lücke0
)(
)(;__0_
01
01 xN
xZungeradeundqpWenn
00
)(
)()(lim
)(
)()(lim
01
010
01
01
00 xN
xZxx
xN
xZxf qp
xxxx
0)(
)(;__0_
01
01 xN
xZungeradeundqpWenn
00)(
)()(lim
)(
)()(lim
01
010
01
01
00
xN
xZxx
xN
xZxf qp
xxxx
Nulle stetige behebbare Lücke
?)(lim2
102112)(
1
2
23
xfxx
xxxxf
Beispiel
x
Nulle stetige behebbare Lücke
003)2(
)1)(10(lim
)2)(1(
)10)(1)(1(lim)(lim
2
102112)(
111
2
23
x
xx
xx
xxxxf
xx
xxxxf
Beispiel
xxx
Stetige behebbare Lücke;0_ qpWenn
)(
)()(lim
)(
)()(lim
01
0100
01
01
00 xN
xZxx
xN
xZxf
xxxx
?)(lim2
1011)(
1
2
2
xfxx
xxxf
Beispiel
x
Stetige behebbare Lücke;0_ qpWenn
)(
)()(lim
)(
)()(lim
01
0100
01
01
00 xN
xZxx
xN
xZxf
xxxx
3)2(
)10(lim
)2)(1(
)10)(1(lim)(lim
2
121
2
1011)(
111
2
2
x
x
xx
xxxf
xxx
xxxf
Beispiel
xxx
Graphische Interpretation
Stetige behebbare Lücke
Übungen
M3.6.1.7 zu 14 stellen stetige behebbare Lücke dar…Sie sind dran !
