Polygraphische Systeme - Digraphische Hill-Systemehebisch/cafe/kryptographie/... · 2011-07-08 · Teil I. Einführung 2011-04-15 Seminar MMI M. Nentwich Digrahische Hill-Systeme

Melanie Nentwich

Polygraphische SystemeDigraphische Hill-Systeme

15. April 2011

Seminarvortrag zur mathematischen VertiefungsrichtungMathematische Methoden der Informatik

Teil I.

Einführung

2011-04-15Seminar MMI

M. NentwichDigrahische Hill-Systeme

Digraphische Hill-SystemeTU Bergakademie Freiberg 1

Definitionen

Chiffrierung: Verschlüsselung eines Textes (encryption)Dechiffrierung: Entschlüsselung eines Textes (decryption)Kryptanalyse: Analyse von Chiffrierverfahren, um diese zu brechen [2]

Digraphen: BuchstabenpaareTrigraphen: Buchstabentripel




Historie der Verschlüsselung 1 [3]

Altertum: SkytaleCaesar-Chiffre

Mittelalter: sieben Verschlüsselungsmethoden des Roger BaconNeuzeit: Chiffrierscheibe

Vignère-ChiffreVoynich-Manuskript (ungelöst)

19. Jhd.: Beale-Chiffre (ungelöst)Dorabella Chiffre (ungelöst)

1. Weltkrieg: ADFGX-Verfahren der Deutschen




Historie der Verschlüsselung 2 [3]

Verschlüsselung mit Maschine:

One-Time-PadKryha-MaschineHagelin-MaschinenEnigma

Verschlüsselung mit Computer:

Data Encryption Standard (DES)publik-key Kryptographie (z. B. RSA)Pretty Good Privacy (PGP)




Allgemeine Hilfsmittel

Häufigkeitstafel der Buchstaben des GeheimtextesTrigraphentafel zur Bestimmung von WiederholungenHäufigkeiten von Buchstaben, Digraphen und Trigraphen einerSprache bekanntmeasure of roughness M. R. (ca. 0,028 in englischen Texten [1])

M. R. =i=Z∑i=A

(fi

N−

126

)2

=

i=Z∑i=A

(fi

N

)2

−1

26

index of coincidence I. C. (ca. 0,066 in englischen Texten [1])

I. C. =1

N(N− 1)

i=Z∑i=A

fi (fi − 1)

Länge des Textes N, absolute Häufigkeit fi des Buchstabens i




Teil II.

Digraphische Hill-Systeme




Lektion 1

Chiffrierung




Grundlagen

Klartextalphabet: A bis Z, Geheimtextalphabet: a bis zErsetzen der Buchstaben A bis Z durch Zahlen 1 bis 26→ „Rechnen“ mit Text modulo 26Ersetzen von Klartextdigraphen K1K2 durch GeheimtextdigraphenG1G2 mittels Matrix A(

G1G2

)≡ A

(K1K2

)≡

(a11 a12a21 a22

)(K1K2

)mod 26

G1 ≡ a11K1 + a12K2 mod 26G2 ≡ a21K1 + a22K2 mod 26

Auslöschung der monoalphabetischen Häufigkeiten




Beispiel

Klartext: PREPARE TO EVACUATE AT ONCELänge: 23 (ungerade), daher Auffüllen nötig, z. B. mit X

Matrix A =

(7 93 12

)PR→ 16 18: (

7 93 12

)(1618

)≡

(274264

)≡

(1404

)14 04→ nd

PR EP AR ET OE VA CU AT EA TO NC EXnd wy mk gu ta gz ba ei ra of uz qq




Probleme und Behebung

Probleme: hoher Rechenaufwand, hohe Fehlerwahrscheinlichkeit

Behebung:Skalierung von K1 bzgl. G1: a11K1 als 7er-Reihe mod 26analog: Skalierung von K1,K2 bzgl. G1,G2

für PR:

G1 ≡ a11K1 + a12K2 ≡ 8 + 6 ≡ 14G2 ≡ a21K1 + a22K2 ≡ 22 + 8 ≡ 30 ≡ 4

K1,K2 A B C D E F G H I J K L Ma11K1 7 14 21 2 9 16 23 4 11 18 25 6 13a21K1 3 6 9 12 15 18 21 24 1 4 7 10 13a12K2 9 18 1 10 19 2 11 20 3 12 21 4 13a22K2 12 24 10 22 8 20 6 18 4 16 2 14 26

K1,K2 N O P Q R S T U V W X Y Za11K1 20 1 8 15 22 3 10 17 24 5 12 19 26a21K1 16 19 22 25 2 5 8 11 14 17 20 23 26a12K2 22 5 14 23 6 15 24 7 16 25 8 17 26a22K2 12 24 10 22 8 20 6 18 4 16 2 14 26




Lektion 2

Dechiffrierung




Vorgehen

Umwandlung der Geheimtextdigraphen G1G2 in KlartextdiagraphenK1K2 mit Hilfe der Inversen A−1 zu A mod 26(

K1K2

)≡ A−1

(G1G2

)mod 26

Bestimmung von A−1 mit d = |A| = a11a22 − a12a21 [1]:

A−1 =1d

(a22 −a12−a21 a11

)Existenz von aij

d, falls d nicht teilbar durch 2 und 13 (hinreichend und

notwendig) [1]




Beispiel, Fortsetzung

A =

(7 93 12

), damit detA = 7 · 12 − 3 · 9 = 57 ≡ 5 und

A−1 =15

(12 −9−3 7

)≡ 21

(12 1723 7

)≡

(252 357483 147

)≡

(18 1915 17

)Geheimtext: ndwym kguta gzbae iraof uzqq

nd→ 14 04: (18 1915 17

)(1404

)≡

(328278

)≡

(1618

)16 18→ PR




Lektion 3

Kryptanalyse




Beispieltext

BPCNT QZVNS CWVWZ GBPRI IBYLA CULBP DEZSB PECLE UKGXQAGPCW FKIZX GOZCZ KWUUN TRWBP MBGHD IKGPH BEPDQ AGPPMSUZPX WDSIU GQYTG MKJDS JOKOG MKGGX UHPMK MXAPH LSBIGRQFOQ IZYLB QSUAG TMNYT GTUJO YSLSA YBUYL VVUUT GBPATIZYXC ZKWUU NTXJF QBPHY TQNVR IOPKK EIAGP MSUZP ALZSKAPIQK NNULB PBWGM GCONM BAOAG WBNMZ MONBP DEXGB PNSWBACYLJ ZQAKM ESNIZ PBPXG MSZPY LBQUL BPTQB QYLGM RVDEKMRJQM KTBQB PRIAS TEULM WKWRG CDPMS UZPUH IBQDX GYQOQULNMZ MGZGR MWKWW BBPAT CHYXQ QNNNG DEYLF JSNXG LBBANPPOEH XOONB QTXKV BIIUL OWFFM ONDBO ECRUU SUKMO NYNOV

450 Zeichenursprüngliche Sprache: Englischaus [1], Übung 73




Häufigkeitsverteilung

Buchstabe A B C D E F G H I J K L Mfi 17 34 12 11 12 6 30 8 15 7 20 18 24

fi/N in % 3,8 7,6 2,7 2,4 2,7 1,3 6,7 1,8 3,3 1,6 4,4 4,0 5,3

Buchstabe N O P Q R S T U V W X Y Zfi 23 18 32 22 10 18 15 25 8 16 14 16 19

fi/N in % 5,1 4,0 7,1 4,9 2,2 4,0 3,3 5,6 1,8 3,6 3,1 3,6 4,2

M. R. = 0, 0073� 0, 028häufigster englischer Buchstabe: E, mit Wahrscheinlichkeit 13%häufigster Buchstabe des Textes: B, mit Wahrscheinlichkeit 7, 6%Ausschluss einer monoalphabetischen Verschlüsselung

→ polyalphabetische Verschlüsselung? Analyse der Wiederholungen mitHilfe einer Trigraphentabelle




Trigraphentabelle, A – M

A B C D E F G H I J K L MLC ·P PN PE DZ WK ZB GD RI KD UG YA PBQG GP SW HI PC QO KX PB IB SO FI UB PSQG IY AU PQ LU JQ AP UP KZ UO ZW CE GKXP LP EL WS BP LJ XO PL DK XF IG HS GKUG SP PW JS KI WF BH PY SU LZ MJ YB PKSY WP ZZ PE DX FM KP UI BG RQ OO SS KXPT MG XZ VE MS AP CY QZ FS MG YV TNIG HE GO CP DK UQ EX TZ MM AZ PSPL SI AY QX TU TM RO ZW UB GGKP LQ GD GE DY OM EA PK YJ NBBO YU TH NB OH KG PQ KE YB NZOG GP ER OC GX NZ SA UB ZOBC QP IR RA QN YG KEQK LP AT HB AM UM GSIS PW TT BI EM UN GRPT MA TB IU MT YF KRBN WN AP WW GB QK

NP WM WW UO LWGP MC XV PSWA AW UM NZPP XB ZG. . . . . . . . .




Trigraphentabelle, N – Z

N O P Q R S T U V W X Y ZCT GZ BC TZ PI NC NQ CL ZN CV GQ BL QVVS JK BR XA TW ZB NR EK WW VZ ZG QT WGUT KG BD DA GQ MU YG WU LV CF PW ZL ESMY FQ BE GY VI DI GM UN VU KU GU NT IXUT JY GC RF MV DJ YG SZ NR RB MA OS OCQV IP BM OI MJ LB GU IG RD XD YC AB CKKN CN GH BS PI QU UG XH KB KU TJ UL UPNU AA ED FB WG YL AI SA O· BG EG ZX IYOM MN GP TN GM LA NX TJ GB PG HT IYBM QQ PM IK CU MU YQ BY SB PL CL CKOB PE ZX ZA ZK PQ VU MK DG QL UPPS XO HM BU NW KB UT KR YQ GQ LSSI ON AH TB EN SE WU MK NG HX MMLM LW BA BY MZ AC UN KW HO EL JQQN MN BH JM AT QX SZ WB TK NN IPNN BE OK BB MU NL OF SPNG MN GM BD JN QL UPSX NV ZA YO UU EL MMAP AI OU SZ GGOB BB XQ PHOD BD QN QL. . . . . . . . . . . .




Analyse der Wiederholungen

Wiederholungen Position ersterBuchstabe

Intervall Faktoren

CZKWUUNT 59 185 126 2, 3, 3, 7PMSUZP 89 215 126 2, 3, 3, 7MWKW 335 371 36 2, 2, 3, 3QAGP 45 85 40 2, 2, 2, 5ULBP 27 233 206 2, 103YLBQ 143 295 152 2, 2, 2, 19BPDE 29 259 230 2, 5, 23BPRI 17 325 308 2, 2, 7, 11BPAT 177 377 200 2, 2, 2, 5, 5NMZM 254 363 110 2, 5, 11

einziger gemeinsamer Teiler: 2→ dialphabetische Verschlüsselung möglichI. C. = 0, 0431, Hinweis auf etwa 5 Alphabete

→ digraphische Verschlüsselung? Analyse der Digraphentafel




Digraphentabelle, A – M

A B C D E F G H I J K L MA 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0B 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0C 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0D 0 1 0 0 4 0 0 0 1 0 0 0 0E 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1G 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 4H 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0I 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0J 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0K 1 0 0 0 0 0 2 0 0 1 1 0 4L 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0M 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0N 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 2O 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0P 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0 4Q 3 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1R 0 0 0 0 0 0 1 0 3 1 0 0 0S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0T 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 1U 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 5 0V 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0W 0 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0X 1 0 0 0 0 0 5 0 0 1 0 0 0Y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0Z 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2




Digraphentabelle, N – Z

N O P Q R S T U V W X Y ZA 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0B 0 0 14 5 0 0 0 1 0 1 0 0 0C 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 2D 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0E 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0F 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0G 0 0 2 1 2 0 0 0 0 0 2 0 1H 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0I 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3J 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1K 0 1 0 0 0 0 1 0 1 4 0 0 0L 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0M 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0N 2 0 1 0 0 2 2 0 1 0 0 1 0O 5 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1P 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0R 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0S 1 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0T 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 1 0 0U 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0V 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0W 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0X 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0Y 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 2 0 0Z 0 0 5 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0




I. C. und M. R. der Digraphen

M. R. =i=ZZ∑i=AA

(fi

N

)2

−1

262 , I. C. =1

N(N− 1)

i=ZZ∑i=AA

fi(fi − 1)

Anzahl der Digraphen N, absolute Häufigkeit fi des Digraphen i

vorgelegter Text:M. R. = 0, 012960I. C. = 0, 010040

durchschnittlicher, englischer Text (berechnet nach [1], Appendix A):M. R. = 0, 009152I. C. = 0, 009137

gute Übereinstimmung der I. C.-Werte, hohe Wahrscheinlichkeit einerdigraphischen Verschlüsselung




Analyse der Digraphen

häufigster englischer Digraph: thhäufigster Geheimtextdigraph: BPAnnahme 1: BP entspricht thAnnahme 2: th stets gefolgt von e

Folgedigraphen von BP mit Positionen im Alphabet:

AT→ 01 20

BW→ 02 23

CN→ 03 14

DE→ 04 05

EC→ 05 03

HY→ 08 25

MB→ 13 02

NS→ 14 19

RI→ 18 09

TQ→ 20 17

XG→ 24 07




Analyse der Digraphen

Kongruenz einiger Digraphen (K1 = b11G1 + b12G2):

02b11 + 23b12 ≡ 504b11 + 05b12 ≡ 514b11 + 19b12 ≡ 5

18b11 + 09b12 ≡ 520b11 + 17b12 ≡ 524b11 + 07b12 ≡ 5

Subtraktion einer Äquivalenz von der vorherigen: 2b11 + 8b12 ≡ 0zwei Lösungen:(

4 52 8

∣∣∣∣50)

(0 −112 8

∣∣∣∣50)

(0 32 8

∣∣∣∣10)

(0 12 0

∣∣∣∣90)

(0 12 0

∣∣∣∣96)

⇒ b12 ≡ 9,b11 ≡ 3 oder b11 ≡ 16




1. Fall: b12 ≡ 9,b11 ≡ 16

Test: G1b11 +G2b12 ≡ K1 mit G1G2 ≡ BP, K1 ≡ t:16 · 2 + 9 · 16 ≡ 176 ≡ 20→ t

weitere Folgebuchstaben von th:CN: 3 · 16 + 14 · 9 ≡ 174 ≡ 18→ rEC: 5 · 16 + 3 · 9 ≡ 107 ≡ 3→ cMB: 13 · 16 + 2 · 9 ≡ 226 ≡ 18→ rAT: 1 · 16 + 20 · 9 ≡ 196 ≡ 14→ nHY: 8 · 16 + 25 · 9 ≡ 353 ≡ 15→ o

Informationen über b21,b22 durch BP→ th:2 · b21 + 16 · b22 ≡ 8zwei Lösungen




1. Fall: b12 ≡ 9,b11 ≡ 16

BP CN TQ ZV NS CW VW ZG BP RI IB YL AC UL BP DE ZS BPth r_ e_ p_ e_ u_ m_ k_ th e_ f_ n_ q_ b_ th e_ o_ th

EC LE UK GX QA GP CW FK IZ XG OZ CZ KW UU NT RW BP MBc_ c_ s_ p_ u_ v_ u_ m_ n_ e_ f_ v_ s_ e_ b_ a_ th r_

AC UL→ q_ b_

q häufig gefolgt von u im Englischenqu stets gefolgt von einem Vokal; hier aber bauch sonst keine sinnvollen Kombinationen

→ Verwerfen




2. Fall: b12 ≡ 9,b11 ≡ 3

Test: G1b11 +G2b12 ≡ K1 mit G1G2 ≡ BP, K1 ≡ t:3 · 2 + 9 · 16 ≡ 150 ≡ 20→ t

weitere Folgebuchstaben von th:CN: 3 · 3 + 14 · 9 ≡ 135 ≡ 5→ eEC: 5 · 3 + 3 · 9 ≡ 42 ≡ 16→ pMB: 13 · 3 + 2 · 9 ≡ 57 ≡ 5→ eAT: 1 · 3 + 20 · 9 ≡ 183 ≡ 1→ aHY: 8 · 3 + 25 · 9 ≡ 249 ≡ 15→ o

Informationen über b21,b22 durch BP→ th:

2 · b21 + 16 · b22 ≡ 8 (1)

zwei Lösungen




2. Fall: b12 ≡ 9,b11 ≡ 3

BP CN TQ ZV NS CW VW ZG BP RI IB YL AC UL BP DE ZS BPth e_ e_ p_ e_ h_ m_ k_ th e_ s_ a_ d_ o_ th e_ o_ th

EC LE UK GX QA GP CW FK IZ XG OZ CZ KW UU NT RW BP MBp_ c_ f_ c_ h_ i_ h_ m_ a_ e_ s_ i_ f_ r_ n_ a_ th e_

BP EC→ th p_, unwahrscheinliche Kombination, daher Wortendezwischen DigraphenEC LE UK GX→ p_ c_ f_ c_; Annahme: pacific_:

EC : 05b21 + 03b22 ≡ 1 (2)LE : 12b21 + 05b22 ≡ 9 (3)UK : 21b21 + 11b22 ≡ 9 (4)




2. Fall: b12 ≡ 9,b11 ≡ 3

Lösen des LGS, impliziert von (2), (3)(5 3

12 5

∣∣∣∣19)

(−1 1512 5

∣∣∣∣59)

(1 11

12 5

∣∣∣∣219

)

(1 110 3

∣∣∣∣2117

)(

1 110 1

∣∣∣∣2123

)

(1 00 1

∣∣∣∣ 223

)⇒ b21 ≡ 2,b22 ≡ 23

Test mit (4): 21 · 2 + 11 · 23 ≡ 295 ≡ 9Test mit (1): 2 · 2 + 16 · 23 ≡ 372 ≡ 8

Lösungsmatrix:(

3 92 23

)




kompletter Klartext

BP CN TQ ZV NS CW VW ZG BP RI IB YL AC UL BP DE ZS BP EC LE UK GX QA GP CW FKth ep eo pl ew ho ma ke th ei sl an ds of th es ou th pa ci fi ct he ir ho me

IZ XG OZ CZ KW UU NT RW BP MB GH DI KG PH BE PD QA GP PM SU ZP XW DS IU GQ YTar ea sd if fe re nt as th et op og ra ph yo ft he ir is la nd se ac hg ro up

GM KJ DS JO KO GM KG GX UH PM KM XA PH LS BI GR QF OQ IZ YL BQ SU AG TM NY TGha sr ac ia lc ha ra ct er is ti cs ph ys ic al ap pe ar an ce la ng ua ge ss

TU JO YS LS AY BU YL VV UU TG BP AT IZ YX CZ KW UU NT XJ FQ BP HY TQ NV RI OPoc ia ls ys te ms an dd re ss th at ar ed if fe re nt fr om th os eo fn ei gh

KK EI AG PM SU ZP AL ZS KA PI QK NN UL BP BW GM GC ON MB AO AG WB NM ZM ON BPbo ri ng is la nd gr ou ps ye ta ll of th em ha ve on et hi ng in co mm on th

DE XG BP NS WB AC YL JZ QA KM ES NI ZP BP XG MS ZP YL BQ UL BP TQ BQ YL GM RVes ea th ew in ds an dt he ti de sa nd th ea bu nd an ce of th eo ce an ha rv

DE KM RJ QM KT BQ BP RI AS TE UL MW KW RG CD PM SU ZP UH IB QD XG YQ OQ UL NMes ti nf lu en ce th ei rw ay of li fe mo st is la nd er sl iv ea ty pe of co

ZM GZ GR MW KW WB BP AT CH YX QQ NN NG DE YL FJ SN XG LB BA NP PO EH XO ON BQmm un al li fe in th at ch ed vi ll ag es an dh av ea br oa df am il yc on ce

TX KV BI IU LO WF FM ON DB OE CR UU SU KM ON YN OVpt wh ic hg oe sb ey on db lo od re la ti on sh ip




The people who make the islands of the south pacific their home are asdifferent as the topography of their islands. Each group has racialcharacteristics. Physical appearance, languages, social systems and dressthat are different from those of neighboring islandgroups, yet all of themhave one thing in common: the sea, the winds and the tides and theabundance of the ocean harvest influence their way of life. Most islanderslive a type of communal life in that ch ed villages and have a broad familyconcept which goes beyond blood relationship.




Teil III.

Ausblick




Ausblick

Hill-Systeme mit n > 3 [1]Permutation der Alphabete (A ≡ 5, B ≡ 18, C ≡ 2, . . .), Anzahl derUnbekannten steigt von 4 auf 30 [1]Playfair-Verschlüsselung, [1] [4]




Teil IV.

Quellen




Quellen

[1] Abraham Sinkov, Elementary Cryptanalysis – A Mathematical Approach, TheMathematical Association of America, 1966

[2] http://de.wikipedia.org/wiki/Kryptanalyse,letzte Änderung: 17. Januar 2011 um 23:15 Uhr

[3] http://de.wikipedia.org/wiki/Geschichte_der_Kryptographie,letzte Änderung: 25. Januar 2011 um 21:05 Uhr

[4] http://de.wikipedia.org/wiki/Playfair,letzte Änderung: 3. Januar 2011 um 16:59 Uhr




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