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WR + WSWR + WS

ZEIGENZEIGEN

Mathematik - 8. Jahrgang: DREIECKSKONSTRUKTIONEN

Vorher:Bei jeder Konstruktion, bei fast jeder Sachaufgabe müssen wir uns vor der

Lösung ein Bild von der Sache machen, damit wir sie verstehen können.

Dazu zeichnet man eine PLANFIGUR.

Die Planfigur hat keine genauen Maße. Sie stellt nur die Situation dar.


Wenn wir Dreiecke konstruieren wollen, dann ist diese Planfigur natürlich ein Dreieck.

Es zeigt uns, wo in einem Dreieck

–die Seiten–die Punkte–die Winkel

sind.


Hier findest du die Planfigur. Sie gilt für alle Dreiecke:


….. und sie zeigt dir immer sofort, wo in deinem Dreieck welche StreckeStrecke, welcher PunktPunkt und welcher WinkelWinkel ist.

nämlich:Seite und Punkt liegen sich gegenüber.Winkel und Punkt gehören zusammen.

Alle Benennungen werden gegen den UhrzeigersinnUhrzeigersinn gemacht.


Diese Planfigur gehört bei jeder Aufgabe dazu!Diese Planfigur gehört bei jeder Aufgabe dazu!

1. Aufgabe: Planfigur:




Der Aufgabentyp SSS = Seite – Seite - SeiteKonstruiere das Dreieck aus den Größen a = 12 cm, b = 8 cm und c = 7 cm.

Ich zeichne die Planfigur:

und die gegebenen Größen:

12

87


Lösungsgang:

Markiere auf einer Geraden einen Punkt und trage von da aus mit dem Zirkel die längste der Seiten ab:

Dies ist die Seite a. Die Planfigur zeigt dir, wie die Punkte auf der linken und auf der rechten Seite heißen, nämlich:

a


Lösungsgang:

Markiere auf einer Geraden einen Punkt und trage von da aus mit dem Zirkel die längste der Seiten ab:

Dies ist die Seite a. Die Planfigur zeigt dir, wie die Punkte auf der linken und auf der rechten Seite heißen, nämlich:

a

aB C


Und wieder hilft die Planfigur!

Welche Seite beginnt bei B?Welche Seite beginnt bei C?

Bei B beginnt Seite c!Bei B beginnt Seite c!Bei C beginnt Seite b! Bei C beginnt Seite b!


aB C

Längen werden grundsätzlich mit dem Zirkel übertragen. Also ein Kreis Längen werden grundsätzlich mit dem Zirkel übertragen. Also ein Kreis

um B mit dem Radius 7 cm (=Seite c) und ein Kreis um C mit dem um B mit dem Radius 7 cm (=Seite c) und ein Kreis um C mit dem

Radius 8 cm (=Seite b).Radius 8 cm (=Seite b).


Der Schnittpunkt liefert den fehlenden Punkt AA.

aB C

A


Das Dreieck ist fertig.Die Hilfslinien werden vorsichtig und sauber wegradiert.

aB C

A

bc


Die zweite Aufgabe: Gegeben sind zwei Seiten und der zwischen Die zweite Aufgabe: Gegeben sind zwei Seiten und der zwischen diesen Seiten befindliche Winkel (SWS).diesen Seiten befindliche Winkel (SWS).

Dazu die Planfigur:Dazu die Planfigur:

Möglich wäre also: Möglich wäre also: a - a - ββ - c - c


Konstruiere ein Dreieck aus den Größen

a = 9,5 cm, β = 67° und c = 6,2 cm.Die Planfigur zeigt sofort: Du kannst mit der Seite a oder c anfangen. Beide Seiten haben den Punkt B, in dem dann der Winkel β gezeichnet werden muss.

Wir fangen einfach mit a an!

Also: Gerade – freier Punkt – Abstand 9,5 mit dem Zirkel auftragen!


Hier kommt Schritt für Schritt die Konstruktion:Hier kommt Schritt für Schritt die Konstruktion:1.1.Gerade mit frei gewähltem Punkt B.Gerade mit frei gewähltem Punkt B.


Hier kommt Schritt für Schritt die Konstruktion:Hier kommt Schritt für Schritt die Konstruktion:1.1.Gerade mit frei gewähltem Punkt B.Gerade mit frei gewähltem Punkt B.2.2.Antragen der Länge von a = 9,5 cm mit dem Zirkel.Antragen der Länge von a = 9,5 cm mit dem Zirkel.


Hier kommt Schritt für Schritt die Konstruktion:Hier kommt Schritt für Schritt die Konstruktion:1.1.Gerade mit frei gewähltem Punkt B.Gerade mit frei gewähltem Punkt B.2.2.Antragen der Länge von a = 9,5 cm mit dem Zirkel.Antragen der Länge von a = 9,5 cm mit dem Zirkel.3.3.Konstruktion von Konstruktion von ββ = 67° im Punkt B (math. einfach: in B) mit = 67° im Punkt B (math. einfach: in B) mit dem Geo-Dreieck.dem Geo-Dreieck.


Hier kommt Schritt für Schritt die Konstruktion:Hier kommt Schritt für Schritt die Konstruktion:1.1.Gerade mit frei gewähltem Punkt B.Gerade mit frei gewähltem Punkt B.2.2.Antragen der Länge von a = 9,5 cm mit dem Zirkel.Antragen der Länge von a = 9,5 cm mit dem Zirkel.3.3.Konstruktion von Konstruktion von ββ = 67° im Punkt B (math. einfach: in B) mit = 67° im Punkt B (math. einfach: in B) mit dem Geo-Dreieck.dem Geo-Dreieck.4.4.Auf dem freien Schenkel c = 6,2 cm abtragen (Zirkel). Punkt A.Auf dem freien Schenkel c = 6,2 cm abtragen (Zirkel). Punkt A.


Hier kommt Schritt für Schritt die Konstruktion:Hier kommt Schritt für Schritt die Konstruktion:1.1.Gerade mit frei gewähltem Punkt B.Gerade mit frei gewähltem Punkt B.2.2.Antragen der Länge von a = 9,5 cm mit dem Zirkel.Antragen der Länge von a = 9,5 cm mit dem Zirkel.3.3.Konstruktion von Konstruktion von ββ = 67° im Punkt B (math. einfach: in B) mit = 67° im Punkt B (math. einfach: in B) mit dem Geo-Dreieck.dem Geo-Dreieck.4.4.Auf dem freien Schenkel c = 6,2 cm abtragen (Zirkel). Punkt A.Auf dem freien Schenkel c = 6,2 cm abtragen (Zirkel). Punkt A.5.5.Kosmetik, Radieren, Farbe –Kosmetik, Radieren, Farbe – FERTIG ! FERTIG !


Es gibt noch eine dritte Variante. Dabei ist nur eine Seite und die beiden umgebenden Winkel gegeben. Unsere Planfigur zeigt, welche Möglichkeiten vorkommen können.

1.Seite a mit β und γ2.Seite b mit α und γ3.Seite c mit α und β

Die Planfigur zeigt genau, an welche Seite einer Strecke welcher Winkel gehört. Wir zeichnen hier: Seite b mit Seite b mit αα und und γγ

Und nun: WINKEL – SEITE – WINKEL (WSW)Und nun: WINKEL – SEITE – WINKEL (WSW)


… und zwar soll gelten: b = 7,8 cm – α = 20° - γ = 71°

Wichtiger Hinweis: b muss nicht unbedingt schräg-rechts liegen – du darfst dein Dreieck drehen. Es ist nur entscheidend, welcher Punkt an welcher Seite der Strecke liegt. Dabei musst du genau aufpassen. PLANFIGUR HILFT ZUVERLÄSSIG!PLANFIGUR HILFT ZUVERLÄSSIG!





Eine besonders schöne Konstruktion gibt es, wenn zwei Seitenzwei Seiten und ein Winkelein Winkel gegeben sind, wobei der Winkel nicht zwischen den beiden Seiten liegen soll.

SSWSSW oder WSSWSS.Die Planfigur zeigt sofort, welche Größen in Frage kommen könnten:

Möglich wäre:

Winkel Winkel ββ mit c und b mit c und b

Winkel Winkel αα mit b und a mit b und a

Winkel Winkel γγ mit a und c mit a und c

Oder anders herum!


Wir bearbeiten ein Beispiel, nämlich Winkel Winkel αα mit b und a. mit b und a.

Die Daten: Winkel Winkel αα = 52° - b = 7,8 cm - a = 6,9 cm. = 52° - b = 7,8 cm - a = 6,9 cm.

Noch ein Blick auf die Planfigur: Noch ein Blick auf die Planfigur:

Der Winkel Der Winkel αα wird von der Seite b wird von der Seite b

gebildet; er hat mit a gar nichts gebildet; er hat mit a gar nichts

zu tun. Also muss mit b zu tun. Also muss mit b

begonnen werden.begonnen werden.


Konstruktion wie immer: Gerade mit einem Punkt – abtragen der Länge b mit dem Zirkel.


Konstruktion wie immer: Gerade mit einem Punkt – abtragen der Länge b mit dem Zirkel.

Die Planfigur zeigt. Wie die beiden Punkte heißen:

C A


Winkel α gehört zu Punkt A – also:

C A

52°

Auf dem freien Schenkel liegt die Seite c, von der wir nicht wissen, wie lang sie ist. Aber wir haben die Seite a.


C A

52°

Und jetzt passiert etwas sehr Interessantes: Der Kreis mit dem Radius a schneidet den freien Schenkel des Winkels an zwei Stellen. Also hat unsere Aufgabe zwei Lösungen. Eine in ROTROT und eine in GRÜNGRÜN.


ROTROT

C A

B


GRÜNGRÜN

C A

B


Beide Lösungen sind richtig!Achtung - Du kannst dir leicht zwei andere Situationen vorstellen:

Seite a ist so klein, dass der Kreis mit dem Radius a den freien Schenkel überhaupt nicht schneidet. Dann gibt es natürlich auch keine Lösung.

Oder:

Seite a ist so groß, dass der untere Schnittpunkt den freien Schenkel erst unterhalb des Punktes A schneidet. Dann gibt es nur eine Lösung.


Alles klar? – Dann bitte Alles klar? – Dann bitte fleißig arbeiten. Das fleißig arbeiten. Das

Arbeitsblatt benennt die Arbeitsblatt benennt die Daten. Und immer dran Daten. Und immer dran

denken:denken:

OHNE PLANFIGUR OHNE PLANFIGUR GEHT HIER GAR GEHT HIER GAR

NICHTS!NICHTS!

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