Modul 1 Der Würfel...Hans Walser: Modul 1, Der Würfel 13 1.3.4.6 EULERsche Winkel und Maple Das folgende Maple-Programm ergibt einen Würfel mit r:s:t = 4:5:6 und eine einge-zeichnete

Hans Walser

Raumgeometrie

Modul 1 Der Würfel

Hans Walser: Modul 1, Der Würfel ii

Inhalt 1 Zeichnen von Würfeln ................................................................................................ 1

1.1 Würfel im Karonetz ............................................................................................. 1 1.1.1 Der 2-1-1-Würfel ....................................................................................... 1 1.1.2 Der 5-3-2-Würfel ....................................................................................... 1 1.1.3 Autostereogramm ...................................................................................... 2

1.2 Kavalierperspektive und Militärperspektive ....................................................... 3 1.2.1 Kavalierperspektive ................................................................................... 3 1.2.2 Militärperspektive ...................................................................................... 3 1.2.3 Was sehen wir eigentlich? ......................................................................... 4 1.2.4 Sichtbarkeit ................................................................................................ 5

1.3 Axonometrische Darstellung ............................................................................... 5 1.3.1 Isometrische Axonometrie ......................................................................... 5 1.3.2 Dimetrische Axonometrie .......................................................................... 7 1.3.3 Allgemeiner Fall: Verkürzungsverhältnis gegeben ................................... 9 1.3.4 Theoretischer Hintergrund ....................................................................... 10

2 Symmetrieebenen im Würfel .................................................................................... 14 2.1 Symmetrieebenen parallel zu den Seitenflächen ............................................... 14 2.2 Symmetrieebenen senkrecht zu den Seitenflächen, aber nicht parallel dazu .... 15 2.3 Alle Symmetrieebenen des Würfels .................................................................. 16

3 Konstruktionen im Würfel ........................................................................................ 17 3.1 Schnitt zweier Ebenen ....................................................................................... 17 3.2 Schnitt einer Ebene mit einer Geraden .............................................................. 18

Modul 1 für die Lehrveranstaltung: Raumgeometrie Sommer 2000 Erstausgabe Sommer 2002 Neue Moduleinteilung, Ergänzungen und Fehlerkorrekturen Sommer 2003 Geringfügige Überarbeitung Sommer 2004 Grafische Überarbeitung, Ergänzungen Sommer 2005 Ergänzungen und Kürzungen Sommer 2006 Geändertes Layout. Fehlerkorrekturen, MathType Sommer 2007 Geändertes Layout. Erweiterungen und Kürzungen Frühjahr 2008 Grafische Überarbeitung Frühjahr 2010 Formale Änderung. Grafische Überarbeitung last modified: 9. Mai 2014 Hans Walser Mathematisches Institut, Uni Basel www.walser-h-m.ch/hans/

Hans Walser: Modul 1, Der Würfel 1

1 Zeichnen von Würfeln

1.1 Würfel im Karonetz Wir wollen mit möglichst wenig Aufwand unter Verwendung eines Karopapiers einen Würfel zeichnen.

1.1.1 Der 2-1-1-Würfel

Bild eines Würfels

1.1.2 Der 5-3-2-Würfel

Bild eines Würfels


1.1.3 Autostereogramm Wir zeichnen nebeneinander einen 10-2-2-Würfel (links) und einen 10-3-2-Würfel (rechts).

Bild von zwei Würfeln

Betrachten wir den linken Würfel mit dem linken Auge und den rechten Würfel mit dem rechten Auge und schauen "durch das Bild hindurch", so taucht in der Mitte das dreidimensionale Bild eines Würfels auf. Die äußeren Würfelbilder verschwimmen. Wenn es nicht klappt: Üben, üben, üben ;-).

Autostereogramm

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Autostereogramm/Autostereogramm.htm www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Autostereogramm/Autostereogramm.pdf


1.2 Kavalierperspektive und Militärperspektive

1.2.1 Kavalierperspektive Die Parameter α und q sind frei wählbar. Häufig werden die Werte α = 45° und q = 1

2 verwendet.

1_

qFrontquadrat

Kavalierperspektive

1.2.2 Militärperspektive

1_

q

Bodenquadrat

Militärperspektive


Andere Disposition:

Grundriss unverzerrt Richtung der z-Achse senkrecht

Militärperspektive

Andere Disposition Die Militärperspektive diente zur Darstellung von flächenmäßig ausgedehnten Anlagen, zum Beispiel Festungen. Sie wird heute gelegentlich bei 3D-Stadtplänen verwendet.

1.2.3 Was sehen wir eigentlich? Das folgende Beispiel verdanke ich Frantisek Kurina. Das folgende Bild kann als Wür-fel in Militärperspektive interpretiert werden.

Würfel?

Bei anderer Interpretation der Punkte und Kanten kann ein anderer Körper gesehen werden:


xy

z

Andere Interpretation

1.2.4 Sichtbarkeit

Sichtbarkeit

1.3 Axonometrische Darstellung Das Verkürzungsverhältnis r : s : t gibt an, wie in der Darstellung des räumlichen Ko-ordinatensystems die Einheiten auf der x-Achse, der y-Achse und der z-Achse verkürzt werden.

1.3.1 Isometrische Axonometrie Bei der isometrischen Axonometrie ist das Verkürzungsverhältnis r : s : t = 1 :1 :1.


Raster für isometrische Axonometrie

Im Unterricht kann mit Rhomben mit einem spitzen Winkel von 60° ein Legespiel ver-wendet werden, das - neben anderen Figuren - die spielerische isometrische Darstellung von Würfeln erlaubt.


Legespiel

Unmögliche Figuren

1.3.2 Dimetrische Axonometrie Bei der dimetrischen Axonometrie ist das Verkürzungsverhältnis r:s:t = 1:2:2 . Wir zeichnen zunächst ein passendes Koordinatensystem. Rezept 1 (exakt): Wir zeichnen zunächst ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Sei-tenverhältnis 2:2:3. Die y-Achse und die z-Achse liegen auf den Schenkeln, die x-Achse auf der Symmetrieachse dieses Dreieckes. Das Verkürzungsverhältnis r:s:t = 1:2:2 dient zum Einzeichnen der Einheiten auf den Achsen.


1 1

1

3

2

2

1

x

y

z

Dimetrische Axonometrie, exaktes Rezept

Rezept 2 (approximativ): Wir arbeiten mit den angegebenen Winkeln.

7,18°41,41°

11

1

x

y

z

Dimetrische Axonometrie, handwerkliches Rezept


In das Koordinatensystem der dimetrischen Axonometrie kann nun der Einheitswürfel eingezeichnet werden.

11

1

x

y

z

Einheitswürfel

1.3.3 Allgemeiner Fall: Verkürzungsverhältnis gegeben Wir zeichnen ein Dreieck mit dem Seitenverhältnis r2:s2 :t 2 so, dass die zu t2 gehörige Seite waagrecht liegt. Die Spitze dieses Dreieckes wird zum Koordinatenursprung. Die z-Achse steht senkrecht, die x-Achse und die y-Achse ergeben sich als Winkelhalbie-rende zwischen der Horizontalen und der beiden Schrägseiten des Dreieckes. Die Ein-heitslängen müssen im Verhältnis r:s:t abgetragen werden. Wir illustrieren das Vorgehen am Beispiel r:s:t = 4:5:6 .

3,62,51,6

6

4 5

Allgemeines Vorgehen


Nun kann der Einheitswürfel eingezeichnet werden.

Einheitswürfel

1.3.4 Theoretischer Hintergrund

1.3.4.1 Disposition Wir denken uns drei paarweise orthogonale Einheitsvektoren

!a , !b und

!c gemäß Figur. Die eingezeichneten Winkel ϑ und ψ werden als EULERsche Winkel bezeichnet.

ζ

!c

!c

!a

!b

ϑ

ϑψ

EULERsche Winkel

Für die drei Einheitsvektoren !a , !b und

!c erhalten wir im kartesischen ξ ,η,ζ -System die Darstellungen:

!a =sin ψ( )cos ϑ( )

− cos ψ( )− sin ψ( )sin ϑ( )

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

,

!b =

cos ψ( )cos ϑ( )sin ψ( )

− cos ψ( )sin ϑ( )

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

,

!c =sin ϑ( )0

cos ϑ( )

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥


1.3.4.2 Projektion auf die Aufrissebene Diese drei Vektoren denken wir uns als Basisvektoren eines räumlichen kartesischen x,y,z-Systems. Uns interessiert nur die ”Ansicht” im kartesischen ξ ,η,ζ -System, also die Orthogonalprojektion auf die η,ζ -Ebene, die so genannte Aufrissebene. Dafür er-halten wir:

!′′a =0

− cos ψ( )− sin ψ( )sin ϑ( )

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

,

!′′b =

0sin ψ( )

− cos ψ( )sin ϑ( )

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

,

!′′c =00

cos ϑ( )

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Bei vorgegebenen EULERschen Winkeln ϑ und ψ können wir damit die Ansicht des durch die drei Einheitsvektoren

!a , !b und

!c aufgespannten kartesischen x,y,z-Systems in der η,ζ -Ebene zeichnen.

1.3.4.3 Komplexe Zahlenebene In unseren Beispielen waren aber nicht die beiden Eulerschen Winkel ϑ und ψ gege-ben, sondern das Verkürzungsverhältnis

r : s : t = !′′a :

!′′b : !′′c . Zur Bearbeitung dieses

Problems interpretieren wir die η,ζ -Ebene als komplexe Zahlenebene mit der η -Achse als reeller und der ζ -Achse als imaginärer Achse. Ferner definieren wir die den Vekto-ren !′′a , !′′b und

!′′c entsprechenden komplexen Zahlen:

a = − cos ψ( ) − i sin ψ( )sin ϑ( )b = sin ψ( ) − i cos ψ( )sin ϑ( )c = i cos ϑ( )

r = as = bt = c

Komplexe Zahlen

Damit gilt zunächst:

a2 = cos ψ( )( )2 − sin ψ( )( )2 sin ϑ( )( )2 + 2i cos ψ( )sin ψ( )sin ϑ( )b2 = sin ψ( )( )2 − cos ψ( )( )2 sin ϑ( )( )2 − 2i sin ψ( )cos ψ( )sin ϑ( )c2 = − cos ϑ( )( )2

a2 + b2 + c2 = 1 − 1 + 0 = 0


Wegen a2 + b2 + c2 = 0 bilden die drei komplexen Zahlen a2 , b2 und c2 ein geschlos-senes Dreieck. Aus

r : s : t = !′′a :

!′′b : !′′c = a : b : c ergibt sich die Stimmigkeit der

oben beschriebenen Konstruktion. Die Achsenrichtungen ergeben sich als Argumente von a , b und c ; diese Argumente sind je die Hälfte der Argumente von a2 , b2 und c2 . Deshalb muss mit Winkelhalbierenden gearbeitet werden.

1.3.4.4 Berechnung der Verkürzungen Die Verkürzungen r = a , s = b und t = c können bei gegebenem Verkürzungsver-hältnis r:s:t wie folgt berechnet werden: Zunächst ist:

r2 = a 2 = cos ψ( )( )2 + sin ψ( )( )2 sin ϑ( )( )2

s2 = b 2 = sin ψ( )( )2 + cos ψ( )( )2 sin ϑ( )( )2

t2 = c 2 = cos ϑ( )( )2

Damit wird r2 + s2 + t 2 = 2 . Das weitere Vorgehen erläutern wir am konkreten Beispiel r:s:t = 4:5:6 .

Aus r:s:t = 4:5:6 folgt r = 4λ , s = 5λ und t = 6λ mit λ > 0 . Aus r2 + s2 + t 2 = 2 er-halten wir 16λ2 + 25λ2 + 36λ2 = 2 .

Damit ist λ = 277 ≈ 0.16116 und r = 4λ ≈ 0.6446 , s = 5λ ≈ 0.8058 , t = 6λ ≈ 0.9670 .

1.3.4.5 Berechnung der EULERschen Winkel Zunächst ist t = cos ϑ( ), also:

ϑ = arccos t( )

Setzen wir t = cos ϑ( ) in die Beziehung r2 = cos ψ( )( )2 + sin ψ( )( )2 sin ϑ( )( )2 ein, ergibt sich

r2 = cos ψ( )( )2 + sin ψ( )( )2 1− t2( ) ,

und weiter:

sin ψ( )( )2 = 1−r2t2

Somit ist:

ψ = arcsin 1−r2

t2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Im Beispiel r:s:t = 4:5:6 ergibt sich ϑ ≈ 14.763° und ψ ≈ 52.239° .


1.3.4.6 EULERsche Winkel und Maple Das folgende Maple-Programm ergibt einen Würfel mit r:s:t = 4:5:6 und eine einge-zeichnete Achtelskugel mit einer 10°-Teilung:

#Achtelskugel: plot3d([cos(u)*cos(v), cos(u)*sin(v), sin(u)], u = 0..Pi/2, v = 0..Pi/2, grid = [10, 10], color = blue, thickness = 2): #Würfel: plot3d({[1,u,v],[0,u,v],[v,1,u],[v,0,u],[u,v,1],[u,v,0]}, u = 0..1, v = 0..1, grid = [2,2], color = red, thickness =2): plots[display3d]({",""}, style = wireframe, axes = none, scaling = constrained, orientation = [37.76, 75.24]);

Würfel mit Orientierungskugel

Wir entnehmen der Figur: Maple: Theta = 37.76° = Geogr. Länge Phi = 75.24° = Poldistanz EULERsche Winkel für r:s:t = 4:5:6 sind:


ϑ = 14.76°

ψ = 52.24°

2 Symmetrieebenen im Würfel

2.1 Symmetrieebenen parallel zu den Seitenflächen

Symmetrieebenen parallel zu den Seitenflächen


2.2 Symmetrieebenen senkrecht zu den Seitenflächen, aber nicht parallel dazu

Symmetrieebenen senkrecht zu den Seitenflächen, aber nicht parallel dazu


2.3 Alle Symmetrieebenen des Würfels

Alle Symmetrieebenen, Sichtbarkeit


3 Konstruktionen im Würfel

3.1 Schnitt zweier Ebenen Ebene ABC mit Ebene PQR schneiden

A

B

C

P

Q

R

Schnittgerade und Sichtbarkeit


3.2 Schnitt einer Ebene mit einer Geraden Ebene ABC mit Gerade PQ schneiden

A

B

C

P

Q

Durchstoßpunkt

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