Praxis der Wärmeübertragungdownload.e-bookshelf.de/download/0003/8794/96/L-G-0003879496... · Rudi Marek · Klaus Nitsche Praxis der Wärmeübertragung Marek · Nitsche Praxis der

Rudi Marek · Klaus Nitsche

Praxis der Wärmeübertragung

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Rudi MarekKlaus Nitsche

Praxis der WärmeübertragungGrundlagen – Anwendungen – Übungsaufgaben

4., neu bearbeitete Auflage

CD mit Lösungen der Übungs-

aufgaben und Programmbeispielen

Dieses vorlesungsbegleitende Buch führt zielgerichtet durch die Grundlagender Wärmeübertragung und erklärt diese sehr ausführlich anhand zahl -reicher Anwendungen und Beispiele aus der Praxis. Die Randspalte präsen -tiert fortlaufend Erklärungen, Grafiken und Bilder, um die Themen anschau-lich zu erläutern und mathematische Hürden zu überwinden. ZahlreicheAufgaben zum Selbststudium mit ausführlichen Lösungen auf der bei-gefügten CD dienen als Lernzielkontrolle und zur Prüfungsvorbereitung.

Inhalt:• Grundlagen der Wärmeübertragung• Massen- und Energiebilanzen• Stationäre Wärmeleitung• Rippen und Nadeln• Instationäre Wärmeleitung• Konvektion• Wärmeübertrager• Wärmestrahlung• Aufgaben aus verschiedenen Themengebieten

Zusätzliche EDV-Programme in MS-Excel® für Parameterstudien und zurVertiefung der Themen sind auf der CD sowie einer separaten Homepageder Hochschule Deggendorf verfügbar.

Autoren:Prof. Dr.-Ing. Rudi MarekFakultät Bauingenieurwesen und Umwelttechnik

Prof. Dr.-Ing. Klaus Nitsche, M. Sc.Fakultät für Maschinenbauund Mechatronik

Zielgruppe:Maschinenbauer, Verfahrens-, Umwelt-,Energie- und Versorgungstechiker, Physikerund Ingenieure an Fachhochschulen, Technischen Hochschulen und Universitäten,Höheren Technischen Lehranstalten, Berufs akademien und Technikerschulensowie alle in der Praxis auf dem Gebiet derWärmeübertragung Tätigen

www.hanser-fachbuch.de

€ 34,99 [D] | € 36,00 [A]

ISBN 978-3-446-44499-7

Konzept

%I. Grundlagen

- Wiederholung und Vertiefung verständnis-relevanter Zusammenhänge

-übersichtliche Zusammenstellung-ausführliche verbale Erläuterungen-anwendungsrelevante Hinweise-Referenzierung von Gleichungen, Bildern und

Tabellen-mehr als eine Formelsammlung

%II. Anwendungen

- umfassend und praxisrelevant-Anwendung und Vertiefung der Grundlagen-vollständig ausgearbeitet-nachvollziehbarer Lösungsweg mit detaillier-

ten Einzelschritten-verbale Erläuterung formelmäßiger Zusam-

menhänge-Beschreibung von Umformschritten-alternative Lösungswege-physikalische Interpretationen-Diskussion der Ergebnisse-Plausibilitätsprüfungen-Zusammenfassen wesentlicher Erkenntnisse

%III. Übungsaufgaben

- Anwendung der erworbenen Lösungskompe-tenz wärmetechnischer Fragestellungen

- zur eigenständigen Bearbeitung-als Lernzielkontrolle-bei Schwierigkeiten in der Lösung Rückgriff

auf vorausgegangene Beispiele-Ergebnisse mit ausführlichen Lösungshinwei-

sen im Anhang zur Erfolgskontrolle

Dieses Buch stellt den Wissensgewinn durch praxisrelevante Beispiele in denVordergrund und unterscheidet sich dadurch im Ansatz von klassischen Lehr-büchern. Das dreistufige Konzept „Grundlagen – Anwendungen – Übungs-aufgaben“ spannt dabei in 9 Kapiteln einen Bogen von den Grundlagen derWärmeübertragung und der praktischen Aufstellung und Lösung von Ener-giebilanzen, über die Wärmeleitung und Konvektion bis zur Wärmestrah-lung. Das abschließende Kapitel 9 vereint komplexere Aufgaben verschiede-ner Themengebiete und zielt auf die integrative Problemlösefähigkeit ab.Auf eine ausführliche und sorgfältige Darstellung der Lösungswege und dieErläuterung der relevanten Zusammenhänge wird besonderer Wert gelegt.Die in der 2. Auflage erfolgte Auslagerung der Lösungen der Übungsaufga-ben auf eine CD und die damit verbundene Ausführlichkeit hat sich bewährt.

BenutzungshinweiseZunächst empfiehlt sich die sorgfältige Durcharbeitung bzw. Wiederholungder Grundlagen des jeweiligen Kapitels. In einem zweiten Schritt sollte daserworbene Wissen anhand der dargestellten ausführlichen Beispiele ange-wendet und vertieft werden. Die Aufgabensammlung in jedem Kapitel er-möglicht in einem dritten Schritt die selbstständige Überprüfung der erwor-benen Kompetenzen. Sollten bei der Lösung Verständnisschwierigkeiten auf-treten, empfiehlt sich als Zwischenschritt die eigenständige Nachrechnungder vorangegangenen passenden Beispiele ohne Zuhilfenahme des darge-stellten Lösungsweges. Die zum Aufgabenteil auf der beiliegenden CD ange-gebenen Ergebnisse und Lösungshinweise ermöglichen eine weitere Erfolgs-kontrolle. Für Leser aus der Praxis lohnt auch ein Blick in das Stichwortver-zeichnis. Eventuell wurde ihr Problem sogar hier diskutiert.

SymbolikIn Bezug auf eine durchgängige und einprägsame Darstellung findet diefolgende Symbolik Verwendung:

WärmestromMassenstromStrahlung

xxxxxxxxx adiabate SystemgrenzeInformationen und allgemeine Hinweise

Hinweise auf Fallstricke und fehlerträchtige Stellen` Verweise auf Excel-Programme auf der beiliegenden CD

BerechnungssoftwareUnter http://www.th-deg.de/permalink/1 sowie auf der CD stehen um-fassende ausgewählte Programmbeispiele der weit verbreiteten SoftwareMicrosoft Excel R© zur Verfügung, die eine anschauliche und interaktive Ver-tiefung ermöglichen. Insbesondere kann damit der Einfluss der Eingangspa-rameter auf das Ergebnis des jeweiligen Problems untersucht werden, wasdas Verständnis der komplexen Zusammenhänge weiter fördert. Eine Anpas-sung der Spreadsheets für eigene Anwendungen ist leicht möglich, worausinsbesondere in der Praxis Tätige Gewinn ziehen können. Da die Programmeauch nach Drucklegung dieses Buches gepflegt und weiterentwickelt wer-den, sind die aktuellen Varianten unter der genannten URL hinterlegt. Dortfindet sich auch die leider unvermeidliche Errata-Liste.

Ähnlichkeiten mit noch lebendenoder bereits verstorbenen Personen, ma-teriellen oder immateriellen Wesen, ge-schützten Bezeichnungen, Markenna-men, eingetragenen Warenzeichen o. ä.sind nicht beabsichtigt und wären reinzufällig.

k nnen ¹ k nnene ö

Ähnlich, aber nicht gleich: Ein kleinerBuchstabe macht einen großen Unter-schied!

Sichere Faustregel zur Vorzeichenbe-stimmung von Wärmeflüssen und Tem-peraturdifferenzen:

R

A

QJEnde

ES

JSpitze

J

In Analogie zum Fourier’schen Wärme-leitungsansatz

Qλ=−λ ·A ·ϑSpitze − ϑEnde

|∆a|

wird Anfängern als formale Regel fürWärmeströme infolge von Konvektion

Qα=−α ·A ·(ϑSpitze − ϑEnde

)bzw. infolge von Strahlung

Qε=−σ1 2 ·A1 ·(T 4

Spitze − T4Ende

)bzw. bei Oberflächenwiderständen fürStrahlung

Q=− 1

R· (J − ES)

empfohlen. Ist dann eine entsprechendeSicherheit in der Anwendung der grund-legenden Wärmetransportgleichungenvorhanden, können die Wärmeflüsseund Temperaturdifferenzen auch vor-zeichenrichtig angesetzt werden, wasphysikalisch anschaulicher ist.

Ein negativer Wärmestrom im Ergeb-nis bedeutet eine Wärmestromrichtungentgegen des Ansatzes bzw. einen Wär-mefluss entgegen der eingetragenenRichtung.

Lösungsmethodik von WärmeübertragungsvorgängenDie folgende systematische Vorgehensweise hat sich bei der Lösung vonFragestellungen der Wärmeübertragung bewährt:

1. Lesen Sie die Fragestellung sorgfältig durch und formulieren Sie dasProblem in eigenen Worten unter Benutzung der zentralen Begrif-fe, Fachausdrücke und Größen. Dies setzt voraus, dass Sie die grund-legenden Begrifflichkeiten kennen und diese auch sprachlich ziel-gerichtet verwenden können. Die Problemformulierung mit eige-nem Wortlaut (Verbalisierung) bietet den immensen Vorteil, dass Ver-ständnisdefizite frühzeitig entdeckt werden.

2. Erkennen Sie dabei bekannte Größen und Umstände und identifizie-ren Sie die gesuchten Größen. Erfassen Sie dabei auch Größen, diejeweils konstant bleiben.

3. Fertigen Sie eine möglichst realitätsnahe Skizze der vorliegenden Pro-blemstellung mit allen relevanten Informationen an. Bezeichnen Sieden an der Systemgrenze auftretenden Energie- und Massenfluss un-ter Wahl einer geeigneten Vorzeichenkonvention (vgl. Randspalte)mit beschrifteten Pfeilen und tragen Sie auch Speicher- und Quell-terme in die Skizze ein. Kennzeichnen Sie bekannte und unbekannteGrößen mit verschiedenen Farben. Wählen Sie für unterschiedlicheZeiten bei instationären Vorgängen sowie für unterschiedliche Ortebei stationären Problemen eine geeignete Nomenklatur.

4. Stellen Sie die zur Problemvereinfachung getroffenen Annahmen zu-sammen und plausibilisieren Sie diese entsprechend. Nutzen Sie ggf.ingenieurmäßige Annahmen oder Erfahrungswerte für unbekannteGrößen.

5. Stellen Sie die benötigten Stoffwerte unter Angabe der verwendetenQuellen zusammen. Beachten Sie dabei eventuelle Druck- und Tem-peraturabhängigkeiten. Vielfach ist eine lineare Interpolation von Ta-bellenwerten in der Praxis ausreichend. Eine erste grobe Lösung lässtsich meist mit konstanten Stoffwerten gewinnen.

6. Formulieren Sie alle relevanten physikalischen Gesetze und Prinzipi-en. Vereinfachen Sie diese unter Beachtung der getroffenen Annah-men und der bekannten Größen. Konkrete Hinweise dazu enthaltendie Arbeitshilfen im Anhang. Prüfen Sie, ob die Anzahl der verfügba-ren Berechnungsgleichungen der Anzahl der Unbekannten entsprichtund das Problem prinzipiell lösbar ist.

7. Berechnen Sie die Unbekannten durch Einsetzen der bekannten Grö-ßen bzw. Lösung der auftretenden Gleichungen und Differenzialglei-chungen. Formen Sie die jeweiligen Beziehungen so weit wie möglichsymbolisch um und setzen Sie Zahlenwerte erst ganz am Schluss ein.

8. Stellen Sie das Ergebnis mit einer angemessenen Genauigkeit dar undüberprüfen Sie die Dimensionen der berechneten Größen.

9. Überprüfen Sie die Ergebnisse auf Plausibilität und Sinnhaftigkeit.Sondern Sie unmögliche Ergebnisse aus und nutzen Sie dies alsAusgangspunkt zur Fehlersuche.

10. Diskutieren Sie die Ergebnisse bezüglich der daraus ableitbaren Fol-gerungen. Überprüfen Sie kritisch die getroffenen Annahmen. Über-tragen Sie die Ergebnisse auf Ihnen bekannte ähnliche Situationen.Prüfen Sie die Sensitivität der Ergebnisse auf bestimmte Eingangspa-rameter mittels EDV-Unterstützung.

Marek/NitschePraxis der

Wärmeübertragung

Viel (Oberfläche) hilft viel!

Rudi Marek / Klaus Nitsche

Praxis derWärmeübertragungGrundlagen – Anwendungen – Übungsaufgaben

4., neu bearbeitete AuflageMit 630 Abbildungen, 54 Tabellen, 50 vollständig durchgerechnetenBeispielen sowie 136 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen auf CD

Fachbuchverlag Leipzigim Carl Hanser Verlag

Prof. Dr.-Ing. Rudi MarekProf. Dr.-Ing. Klaus Nitsche, M. Sc.Technische Hochschule DeggendorfFakultät Bauingenieurwesen und UmwelttechnikFakultät Maschinenbau und Mechatronik

Bibliografische Information der Deutschen NationalbibliothekDie Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deut-schen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internetüber http://dnb.d-nb.de abrufbar.ISBN 978-3-446-44499-7E-Book ISBN 978-3-446-44552-9

Einbandbild: Rudi Marek (Technische Hochschule Deggendorf)

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Über-setzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches oder Teilendaraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmi-gung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein an-deres Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reprodu-ziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfäl-tigt oder verbreitet werden.

Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlagc© 2015 Carl Hanser Verlag Münchenwww.hanser-fachbuch.deProjektleitung: Ute EckardtHerstellung: Katrin WulstSatz: Prof. Dr.-Ing. Rudi MarekDruck und Bindung: FIRMENGRUPPE APPL, aprinta druck, WemdingPrinted in Germany

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Vorwort

»Longum iter est per praecepta,breve et efficax per exempla.«

»Lang ist der Weg durch Lehren,kurz und erfolgreich durch Beispiele.«

(L.A. Seneca, Epistulae morales ad Lucilium, 6)

Die Wärmeübertragung gehört traditionell zu den eher als schwierig emp-fundenen Fächern im Studium des Maschinenbaus und der Verfahrenstech-nik. Zum einen verlangt sie wie die Thermodynamik eine analytische undabstrakte Denkweise in Systemen, Systemgrenzen, Systemvariablen und Bi-lanzen, die den Studierenden zunächst schwer fällt. Die einzelnen Mechanis-men der Wärmeübertragung sind zudem meist miteinander gekoppelt undteilweise nichtlinear. Zum anderen setzt die Lösung wärmetechnischer Frage-stellungen die sichere und zielgerichtete Anwendung mathematischer Me-thoden voraus. Auch der heute weit verbreitete Einsatz von Computern undProgrammen zur numerischen Berechnung und Simulation von Wärmetrans-portvorgängen verlangt fundierte Grundkenntnisse und den Einsatz analyti-scher Methoden zur Verifikation und Plausibilitätsprüfung der Ergebnisse.

Für ein vertieftes Verständnis der Wärmeübertragung ist ein intensivesStudium der Grundlagen und der Wärmeübertragungsmechanismen uner-lässlich. Wie gut diese theoretischen Grundkenntnisse wirklich verstandenwurden, zeigt die erfolgreiche und zielorientierte Lösung praktischer An-wendungen und Aufgabenstellungen. Auf diesem teilweise beschwerlichenWeg will das vorliegende Werk, das auf den umfangreichen Lehrerfahrungender Autoren an der Technischen Hochschule Deggendorf (THD) basiert, dieStudierenden unterstützen und leiten. Die enthaltenen Beispiele und Auf-gaben können gezielt zur Prüfungsvorbereitung und zur Nachbereitung vonVorlesungsinhalten genutzt werden. Gleichzeitig liefern sie auch Anregun-gen, Informationen und wertvolle Hinweise für in der Praxis tätige Ingenieu-re, Physiker und Techniker.

Während sich die 3. Auflage primär auf Korrekturen beschränkte, bein-haltet die vorliegende 4. Auflage zahlreiche weitergehende Präzisierungenund Ergänzungen (z. B. Wärmeeindringkoeffizient, Kontakttemperatur, flä-chenbezogene Wärme beim halbunendlichen Körper, Anwendung des ide-al gerührten Behälters, Heisler-Diagramme, dimensionsloser Rippenparame-ter, Paketanalogie, eindimensionale stationäre thermische Modelle etc.), um-fassende Arbeitshilfen im Anhang sowie im Umfang erweiterte MS Excel R©-Codes und 10 zusätzliche Aufgaben zum Selbststudium mit Lösungen.

Dem Carl Hanser Verlag, insbesondere Frau Ute Eckardt, danken wirfür die gute und vertrauensvolle Zusammenarbeit. Unseren Lesern ausder Praxis sowie von anderen Hochschulen und Ausbildungseinrichtungendanken wir für das positive Feedback und die zahlreichen Hinweise undAnregungen zu den früheren Auflagen. Die Studierenden der TechnischenHochschule Deggendorf lieferten mit ihren Ideen, Fragen und fruchtbarenDiskussionen in unseren Lehrveranstaltungen und den Kursforen erneutwertvolle Beiträge. Besonderer Dank gilt dabei Herrn cand. bac. VincentKramer für seine zahlreichen zielführenden Hinweise und scharfsinnigenErgänzungen. Für die Umsetzung der Internetrepräsentanz bedanken wiruns bei Herrn B. Eng. Philipp Achatz. Last but not least gebührt unserenFamilien und Frauen, ohne deren Verzicht auch die 4. Auflage nicht möglichgewesen wäre, großer Dank.

Den Leserinnen und Lesern wünschen wir auch mit der 4. Auflage vieleErkenntnisgewinne und positive Aha-Erlebnisse. Für Fehlermeldungen, kon-struktive Anregungen sowie Verbesserungsvorschläge sind wir stets dankbar.

Deggendorf, August 2015 Rudi Marek

Klaus Nitsche

6

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen der Wärmeübertragung 15

1.1 Praktische Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Wärme, Wärmestrom, Wärmestromdichte . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Temperatur und Temperaturfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Wärmetransportmechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.1 Arten des Wärmetransports . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.2 Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.3 Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.4 Wärmestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Fourier’sche Wärmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.1 Mehrdimensionale instationäre Wärmeleitung mit inne-ren Wärmequellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.2 Koordinatenunabhängige Schreibweise . . . . . . . . . . 23

1.5.3 Eindimensionale instationäre Wärmeleitung . . . . . . . 23

1.5.4 Stationäre Wärmeleitung mit Wärmequellen . . . . . . . 23

1.5.5 Stationäre Wärmeleitung ohne Wärmequellen . . . . . . 23

1.6 Anfangs- und Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6.1 Anfangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6.2 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6.3 Koppelbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7 Elektrische Analogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7.1 Thermische Widerstände und Leitwerte . . . . . . . . . . 26

1.7.2 Spezifische thermische Widerstände und Leitwerte . . . 26

1.7.3 Wärmedurchgangskoeffizient und Wärmedurchgangs-widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.7.4 Reihenschaltung thermischer Widerstände . . . . . . . . 27

1.7.5 Parallelschaltung thermischer Widerstände . . . . . . . . 28

1.7.6 Thermischer Kontaktwiderstand . . . . . . . . . . . . . . 28

1.7.7 3/4-Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.9 Aufgaben zum Selbststudium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2 Massen- und Energiebilanzen 49

2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1.1 System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1.2 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1.3 Erster Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . 50

2.1.4 Hinweise zur Aufstellung von Energiebilanzen . . . . . . 57

2.1.5 Innere Energie und Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.1.6 Enthalpieströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61


Inhaltsverzeichnis 7

3 Stationäre Wärmeleitung 99

3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.1.1 Péclet-Gleichungen für mehrschichtige Bauteile . . . . . 99

3.1.2 Mehrschichtige ebene Platte . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.1.3 Zylinderschalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.1.4 Kugelschalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.1.5 Oberflächen- und Schichttemperaturen . . . . . . . . . . 101

3.1.6 Stationäre eindimensionale Wärmeleitung mit innerenWärmequellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.1.7 Ebene Platte mit Wärmequellen . . . . . . . . . . . . . . 101

3.1.8 Vollzylinder und Zylinderschale mit Wärmequellen . . . 101

3.1.9 Vollkugel und Kugelschale mit Wärmequellen . . . . . . 102

3.1.10 Stationäre zweidimensionale Wärmeleitung ohne inne-re Wärmequellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106


4 Rippen und Nadeln 120

4.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.1.1 Kenngrößen von Rippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.1.2 Universelle Rippendifferenzialgleichung . . . . . . . . . . 121

4.1.3 Rechteckrippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.1.4 Zylindrische Nadeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.1.5 Kreisringrippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.1.6 Weitere Formen von Rippen und Nadeln . . . . . . . . . 122

4.1.7 Optimale Rippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.1.8 Thermischer Widerstand von Rippen und Nadeln . . . . 124

4.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125


5 Instationäre Wärmeleitung 138

5.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.1.1 Dimensionslose Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.1.2 Dimensionslose Grundgleichung . . . . . . . . . . . . . . 139

5.1.3 Dimensionslose Anfangs- und Randbedingungen . . . . 140

5.1.4 Modelle der instationären Wärmeleitung . . . . . . . . . 141

5.1.5 Ideal gerührter Behälter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.1.6 Halbunendlicher Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.1.7 Exakte Lösung für Platte, Zylinder und Kugel . . . . . . . 147

5.1.8 Näherungslösung für große Zeiten . . . . . . . . . . . . . 149

5.1.9 Kurzzeitnäherung des erweiterten ideal gerührten Be-hälters für RB 3. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.1.10 Produktansatz bei mehrdimensionaler Wärmeleitung . . 155

5.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158


8 Inhaltsverzeichnis

6 Konvektion 1856.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.1.1 Arten von Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856.1.2 Ähnlichkeitstheorie und dimensionslose Kennzahlen . . 1866.1.3 Erzwungene Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876.1.4 Längs angeströmte ebene Platte und Kreisscheibe . . . . 1876.1.5 Quer und schräg angeströmte Zylinder und Profile . . . 1876.1.6 Quer angeströmte Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1886.1.7 Umströmte Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1886.1.8 Einlaufproblematik bei der Rohr- und Kanalströmung . 1886.1.9 Vollständig ausgebildete laminare Rohrströmung . . . . 1896.1.10 Thermischer Einlauf bei laminarer Rohrströmung . . . . 1896.1.11 Hydrodynamischer und thermischer Einlauf bei lamina-

rer Rohrströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1906.1.12 Vollständig ausgebildete turbulente Rohrströmung . . . 1906.1.13 Ausgebildete Rohrströmung im Übergangsbereich . . . 1916.1.14 Nichtkreisförmige Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . 1916.1.15 Fluidtemperaturänderung in Strömungsrichtung . . . . . 1916.1.16 Freie Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1926.1.17 Vertikale ebene Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.1.18 Vertikaler Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.1.19 Geneigte ebene Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.1.20 Horizontale ebene Platte und Kreisscheibe . . . . . . . . 1946.1.21 Horizontaler Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946.1.22 Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946.1.23 Freie Konvektion in geschlossenen Fluidschichten . . . . 1956.1.24 Horizontale ebene Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . 1956.1.25 Geneigte ebene Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966.1.26 Vertikale ebene Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966.1.27 Freie Konvektion in offenen Fluidschichten . . . . . . . . 1976.1.28 Senkrechte Kanäle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.1.29 Geneigte Kanäle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.1.30 Parallele vertikale Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.1.31 Mischkonvektion an umströmten Körpern . . . . . . . . 199

6.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.3 Aufgaben zum Selbststudium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

7 Wärmeübertrager 2167.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

7.1.1 Begriffe und Nomenklatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2167.1.2 Bauformen von Wärmeübertragern . . . . . . . . . . . . 2177.1.3 Einseitig konstante Fluidtemperatur . . . . . . . . . . . . 2177.1.4 Beidseitige Temperaturänderung . . . . . . . . . . . . . . 2187.1.5 Wärmeübertrager-Hauptgleichung . . . . . . . . . . . . . 2197.1.6 Gleichstrom-Wärmeübertrager . . . . . . . . . . . . . . . 2197.1.7 Gegenstrom-Wärmeübertrager . . . . . . . . . . . . . . . 2207.1.8 Kreuzstrom-Wärmeübertrager . . . . . . . . . . . . . . . 2217.1.9 Wärmewirkungsgrade von Wärmeübertragern . . . . . . 2227.1.10 Korrekturfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2237.1.11 Wärmeübertrager mit Phasenübergang . . . . . . . . . . 2237.1.12 Ablagerungen (Fouling) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223


Inhaltsverzeichnis 9

8 Wärmestrahlung 2388.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

8.1.1 Wellenlängenbereiche der Strahlung . . . . . . . . . . . 2388.1.2 Modell des schwarzen Körpers . . . . . . . . . . . . . . . 2398.1.3 Strahlungsfunktion des schwarzen Körpers . . . . . . . . 2408.1.4 Strahlungsintensität und emittierte Strahlung . . . . . . 2418.1.5 Auftreffende Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2428.1.6 Helligkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2428.1.7 Spektrale Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2438.1.8 Emissionsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2448.1.9 Absorption, Reflexion und Transmission . . . . . . . . . . 2458.1.10 Graue und selektive Strahler . . . . . . . . . . . . . . . . . 2468.1.11 Kirchhoff’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2488.1.12 Helligkeit grauer opaker Oberflächen . . . . . . . . . . . 2498.1.13 Oberflächenwiderstand für Strahlung . . . . . . . . . . . 2498.1.14 Raumwiderstand zweier strahlender Oberflächen . . . . 2508.1.15 Helligkeitsverfahren für Wärmestrahlungsprobleme . . . 2518.1.16 Wärmestrahlung zwischen zwei Oberflächen . . . . . . . 2528.1.17 Wärmestrahlung zwischen drei Oberflächen . . . . . . . 2538.1.18 Wärmeübergangskoeffizient für Strahlung . . . . . . . . 2548.1.19 Strahlungsaustauschkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . 2558.1.20 Einstrahlzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2558.1.21 Einstrahlzahlen zwischen zwei Flächen . . . . . . . . . . 2558.1.22 Eigeneinstrahlzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2578.1.23 Einstrahlzahlen-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2578.1.24 Methode der gekreuzten Fäden . . . . . . . . . . . . . . 2598.1.25 Einstrahlzahlen einfacher Konfigurationen . . . . . . . . 2598.1.26 Strahlungsschutzschirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263


9 Aufgaben aus verschiedenen Themengebieten 286

10 Anhang 31710.1 Gauß’sche Fehlerfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31710.2 Bessel-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

10.2.1 Bessel-Funktionen 1. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31810.2.2 Modifizierte Bessel-Funktionen 1. und 2. Art . . . . . . . 31810.2.3 Zahlentafeln der Bessel-Funktionen . . . . . . . . . . . . 320

10.3 Näherungslösung der eindimensionalen instationären Wärme-leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

10.4 Stoffwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32910.5 Lösungen der Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . auf CD

Literatur 331

Arbeitshilfen 332

Index 337

10

Formelzeichen und Abkürzungen Lateinische BuchstabenSymbol Dimension Bedeutung!= – muss gleich sein (Forderung)(. . .) problembezogen Mittelwert einer Größe(. . .)T problembezogen transponierter Vektor (Zeilenvektor)a – Absorptionskoeffizient (Absorptionsgrad)a m2/s TemperaturleitfähigkeitA – Koeffizienten-Matrix (Helligkeitsverfahren)A m2 (wärmeübertragende) Flächea2, a4 – Koeffizienten des Temperaturprofils (EIGB)asol – solarer AbsorptionskoeffizientA⊥ m2 Querschnittsfläche bei der freien Konvektion in KanälenAO m2 OberflächeAU m2 Umfangsfläche eines Rohres oder Kanalsb m Breite~b W/m2 Vektor der rechten Seite (Helligkeitsverfahren)B m BreiteBi – Biot-ZahlBi – mit L gebildete Biot-Zahlc J/(kg K) spezifische Wärmekapazitätc m/s Schallgeschwindigkeitc m/s WellenausbreitungsgeschwindigkeitC problembezogen Konstantecp J/(kg K) spezifische isobare Wärmekapazitätcv J/(kg K) spezifische isochore WärmekapazitätC1 2 W/(m2 K4) Strahlungsaustauschkoeffizient zwischen den Oberflächen 1 und 2Cm – Konstante für die Zentrumstemperatur bei der Näherungslösung

für große Zeiten (NGZ)Cq – Konstante für die kalorische Mitteltemperatur bei der Näherungs-

lösung für große Zeiten (NGZ)Cw – Konstante für die Wandtemperatur bei der Näherungslösung für

große Zeiten (NGZ)d m Dicke, Tiefed – gewöhnlicher Differenzialoperatordω sr differenzieller RaumwinkelD m DurchmesserDH m hydraulischer Durchmesserdiv 1/m Divergenze m ExzentrizitätE W/m2 EmissionE J GesamtenergieE – Quadrat des ersten Eigenwerts bei der Näherungslösung für

große Zeiten (NGZ)eq W/m3 volumenbezogene Dichte innerer Wärmequellenerf(x) – (Gauß’sche) Fehlerfunktion (error function)erfc(x) – komplementäre Fehlerfunktionexp(x) – ExponentialfunktionEq W Leistung innerer WärmequellenES W/m2 Emission des schwarzen KörpersES,λ W/(m2 µm) spektrale Emission des schwarzen Körpersf Hz FrequenzF – Korrekturfaktor bei Wärmeübertragernfλ – Strahlungsfunktion des schwarzen Körpersfj – Flächenanteil der Fläche j

f(x) – (beliebige) FunktionFo – Fourier-ZahlFo – mit L gebildete Fourier-ZahlFo∗ – Grenzwert der Fourier-Zahl für große Zeiten (NGZ)Fo – Grenzwert der Fourier-Zahl für sehr kurze Zeiten (HUK)Fo – Grenzwert der Fourier-Zahl für kurze Zeiten (EIGB)

Formelzeichen und Abkürzungen 11

Symbol Dimension Bedeutungg m/s2 Schwerebeschleunigung (g=9,81 m/s2)G W/m2 auftreffende StrahlungGel S elektrischer LeitwertGth W/K thermischer LeitwertGr – Grashof-ZahlGrs – mit der Spaltweite s gebildete Grashof-Zahlgrad 1/m GradientGz – Graetz-Zahlh J/kg spezifische EnthalpieH J EnthalpieH m HöheH W Enthalpiestromhfg J/kg spezifische VerdampfungswärmeI A elektrischer StromI W/m2 Intensität (Strahlung)~I (kg m)/s ImpulsI0 (x) – modifizierte Bessel-Funktion 1. Art 0. OrdnungI1 (x) – modifizierte Bessel-Funktion 1. Art 1. OrdnungI− 1

3(x) – modifizierte Bessel-Funktion 1. Art gebrochener Ordnung

I 23

(x) – modifizierte Bessel-Funktion 1. Art gebrochener Ordnung

Ie W/m2 Intensität der emittierten StrahlungIi W/m2 Intensität der auftreffenden StrahlungJ W/m2 HelligkeitJ J StreuenergieJ W Streuleistung~J W/m2 HelligkeitsvektorJ (~x) problembezogen Jacobi-Matrix (Funktionalmatrix)J0

(x) – Bessel-Funktion 1. Art 0. OrdnungJ1

(x) – Bessel-Funktion 1. Art 1. Ordnungk W/(m2 K) Wärmedurchgangskoeffizientk∗ W/(m K) längenbezogener WärmedurchgangskoeffizientK W/K Übertragungsfähigkeit (Wärmeübertrager)K0

(x) – modifizierte Bessel-Funktion 2. Art 0. OrdnungK1

(x) – modifizierte Bessel-Funktion 2. Art 1. OrdnungKL – Korrekturwert für die EinlauflängeKT – Korrekturwert für temperaturabhängige StoffwerteL m Anströmlänge bei der freien KonvektionL m (charakteristische) LängeL m Überströmlänge bei der erzwungenen KonvektionL m Verhältnis Körpervolumen zu wärmeübertragender

OberflächeL m DiffusionslängeLhyd m hydrodynamische EinlauflängeLth m thermische EinlauflängeLth W/K thermischer Leitwertm kg Massem kg/s MassenstromM – dimensionsloser RippenparameterMa – Mach-Zahlmax [a,b] problembezogen Maximum zweier Größen a und bn – Geometriekennzahl der Wärmeleitung

(Platte, Zylinder, Kugel)n m NormalenrichtungN – Anzahl der Oberflächen in einem MehrkörpersystemN problembezogen Nenner eines BruchsNTU – Anzahl der ÜbertragungseinheitenNu – Nußelt-ZahlNu0 – Grundwert der Nußelt-ZahlNu∞ – Nußelt-Zahl der vollausgebildeten Strömung´Nui – „innere“ Nußelt-Zahl (EIGB)Nuges – „resultierende“ Nußelt-Zahl (EIGB)Nus – mit der Spaltweite s gebildete Nußelt-Zahlp N/m2 Druck

12 Formelzeichen und Abkürzungen

Symbol Dimension BedeutungP1, P2 – Betriebscharakteristiken der Fluide 1 und 2 (Wärmeübertrager)Pt W technische LeistungPe – Péclet-ZahlPr – Prandtl-Zahlq∗ J/m2 flächenbezogene Wärmeq W/m2 WärmestromdichteQ J=W s Wärme(menge)Q W WärmestromQL W/m längenbezogener Wärmestromr m RadialkoordinateR m RadiusR (m2 K)/W Wärmedurchlasswiderstand (spezifischer Wärmeleitwiderstand)R J/(kg K) (spezielle) GaskonstanterS J/kg spezifische SchmelzwärmerV J/kg spezifische VerdampfungswärmeR1, R2 – Wärmekapazitätsstromverhältnisse der Fluide 1 und 2

(Wärmeübertrager)Rα (m2 K)/W (spezifischer) WärmeübergangswiderstandRλ (m2 K)/W Wärmedurchlasswiderstand (spezifischer Wärmeleitwiderstand)Rel Ω elektrischer WiderstandRf (m2 K)/W spezifischer Verschmutzungswiderstand (Wärmeübertrager)Ri 1/m2 Oberflächenwiderstand für Strahlung der Fläche iRi,j 1/m2 Raumwiderstand für Strahlung zwischen den Flächen i und jRT (m2 K)/W (spezifischer) WärmedurchgangswiderstandRth K/W thermischer WiderstandR∗th (m2 K)/W spezifischer thermischer WiderstandR∗th,C (m2 K)/W spezifischer KontaktwiderstandRa – Rayleigh-ZahlRas – mit der Spaltweite s gebildete Rayleigh-ZahlRa∗s – modifizierte Rayleigh-Zahl bei parallelen PlattenRe – Reynolds-ZahlReD – mit dem Durchmesser D gebildete Reynolds-ZahlReL – mit der Länge L gebildete Reynolds-Zahls m charakteristische Spaltweite bei Fluidschichtens m Dicke, Tiefes m Wandstärke bei Rohren und KanälenS m Formfaktor der WärmeleitungS` – längenbezogener Formfaktor der Wärmeleitungt s ZeittA a Amortisationsdauert1/2

s Halbwertszeit

T K absolute TemperaturT0 K Temperatur des Gefrierpunkts von Wasser (T0 =273,15 K)TB K absolute Bezugstemperatur für die Stoffwerteu J/kg spezifische innere EnergieU V elektrische SpannungU J innere EnergieU m UmfangU W/(m2 K) Wärmedurchgangskoeffizient (Bauphysik)U W innerer Energiestromv m3/kg spezifisches VolumenV m3 VolumenV m3/s Volumenstromw m/s GeschwindigkeitW J ArbeitWR J (innere) ReibungsarbeitW W/K Wärmekapazitätsstromw∞ m/s Freistrom- bzw. Anströmgeschwindigkeitx m Ortskoordinate~x=(x,y,z)T m Ortsvektory m Ortskoordinatez m OrtskoordinateZ problembezogen Zähler eines Bruchs

Formelzeichen und Abkürzungen 13

Griechische BuchstabenSymbol Dimension Bedeutungα W/(m2 K) Wärmeübergangskoeffizientαi W/(m2 K) „innerer“ Wärmeübergangskoeffizient (EIGB)αK W/(m2 K) konvektiver WärmeübergangskoeffizientαS W/(m2 K) Wärmeübergangskoeffizient für Strahlung (radiativer WÜK)αx W/(m2 K) lokaler Wärmeübergangskoeffizientβp 1/K isobarer Ausdehnungskoeffizientβv 1/K isochorer Spannungskoeffizientγ Neigungswinkel bei der freien Konvektion an geneigten Fluidschichten

(gegen die Horizontale)γ Neigungswinkel bei der freien Konvektion an geneigten Platten und

Kanälen sowie bei der Mischkonvektion (gegen die Vertikale)∆ 1/m2 Delta-Operator∆ z. B. K Differenzδ1 – erster Eigenwert bei der Näherungslösung für große Zeiten (NGZ)∆ϑlog K logarithmisch gemittelte Temperaturdifferenzε – Emissionsgrad (Emissionsverhältnis)ε – Genauigkeitsschrankeε – Wärmekapazitätsverhältnisε – Wärmewirkungsgrad (Austauschgrad) eines WärmeübertragersεR

, ε∗R

– Leistungsziffer einer Einzelrippe bzw. der Gesamtanordnungζ – dimensionslose Ortskoordinateζ – Widerstandsbeiwert (z. B. bei der turbulenten Rohrströmung)η – dimensionslose Ortskoordinateη N s/m2 =Pa s dynamische Viskositätη – WirkungsgradηR

– Rippenwirkungsgradθ K Übertemperatur (z. B. einer Rippe)θ0 K Übertemperatur am Rippenfußϑ C Celsius-Temperaturϑ0 C Anfangstemperaturϑ′1

C Eintrittstemperatur von Fluid 1 (Wärmeübertrager)ϑ′′1

C Austrittstemperatur von Fluid 1 (Wärmeübertrager)ϑ′2

C Eintrittstemperatur von Fluid 2 (Wärmeübertrager)ϑ′′2

C Austrittstemperatur von Fluid 2 (Wärmeübertrager)ϑ∞ C Umgebungstemperatur bzw. Temperatur nach unendlich langer ZeitϑB

C Bezugstemperatur für die StoffwerteϑW

C WandtemperaturΘ C DifferenztemperaturΘ – dimensionslose mittlere Temperaturdifferenz (Wärmeübertrager)Θ – normierte Temperatur (dimensionslose Temperaturdifferenz)Θ∗ – normierte Temperatur (dimensionslose Temperaturdifferenz)Θ – normierte kalorische MitteltemperaturΘm — normierte Zentrumstemperatur (EIGB, ELF, NGZ)Θw — normierte Wandtemperaturκ 1/m spezifische Anzahl der Übertragungseinheitenκ – Isentropenexponentλ W/(m K) Wärmeleitfähigkeitλ m Wellenlängeλ – RohrreibungszahlΛ W/(m2 K) Wärmedurchlasskoeffizientλs W/(m K) scheinbare Wärmeleitfähigkeitµ – Ähnlichkeitsvariable beim halbunendlichen Körper (HUK)µ 1/m Rippenparameterν m2/s kinematische Viskositätξ – dimensionslose Ortskoordinate% kg/m3 Dichte (Massendichte)% – Reflexionsgrad (Reflexionskoeffizient)σ m/Ω spezifische elektrische Leitfähigkeitσ W/(m2 K4) Stefan-Boltzmann-Konstante (σ=5,67 · 10−8W/(m2 K4))σ1 2 W/(m2 K4) Strahlungskonstante der Anordnungτ – dimensionslose Kenngröße beim halbunendlichen Körper (HUK)τ – dimensionslose Zeit

14 Formelzeichen und Abkürzungen

Symbol Dimension Bedeutungτ N/m2 Schubspannungτ – Transmissionsgrad (Transmissionskoeffizient)τ , τ0 s Zeitkonstanteϕ – AzimutwinkelΦ – Einstrahlzahlen-MatrixΦ – Rückwärmzahlϕi j – Einstrahlzahl zwischen den Oberflächen i und jϕi→j – Einstrahlzahl zwischen den Oberflächen i und jϕi i – Eigeneinstrahlzahl der Oberfläche iψ – ZenitwinkelΨ C SummentemperaturχT 1/Pa isotherme Kompressibilität

IndizesIndex Bedeutung Index Bedeutung+ Serienschaltung lam laminar‖ Parallelschaltung li links∞ Umgebung m mittel, Mitteα Konvektion, konvektiv max maximalε Strahlung min minimal, Mindest-λ spektral (wellenlängenabhängig) Misch Mischkonvektionλ Wärmeleitung opt optimalϑ Temperatur p partikulära außen P Platteabs absorbiert pot potenziellBezug Bezugswert re rechtsdif diffus ref reflektiertdir direkt S schwarzer Körpere außen (external) se Oberfläche außen (surface external)e emittiert (emitted) si Oberfläche innen (surface internal)el elektrisch sol solarerf erforderlich Str Strahlungerzw erzwungene Konvektion TP Taupunktfrei freie Konvektion trans transmittiertges gesamt, resultierend turb turbulenthom homogen w Geschwindigkeiti auftreffend (incident) w Wandi innen W Wasserinh inhomogen WD WärmedämmungK Konvektion x in x-RichtungK Kugel y in y-Richtungkin kinetisch z in z-Richtungkrit kritisch Z ZylinderL Luft zul zulässig

AbkürzungenAbkürzung Bedeutung Abkürzung BedeutungAB(n) Anfangsbedingung(en) IWL instationäre WärmeleitungDgl(n). Differenzialgleichung(en) oH oberer HalbraumEIGB erweitertes Modell des ideal RB(n) Randbedingung(en)

gerührten Behälters Tab(n). Tabelle(n)ELF exakte Lösung mit Fourier-Reihe WD WärmedurchgangGl(n). Gleichung(en) WDK WärmedurchgangskoeffizientGS Gleichstrom WDW WärmedurchgangswiderstandGG Gegenstrom WL WärmeleitungHUK halbunendlicher Körper WRG WärmerückgewinnungIGB Modell des ideal gerührten WÜ Wärmeübergang

Behälters WÜK WärmeübergangskoeffizientNGZ Näherungslösung für große Zeiten WÜW Wärmeübergangswiderstand

15

1 Grundlagen der Wärmeübertragung

1.1 Praktische Bedeutung»Die Temperaturunterschiede streben dem Ausgleich zu.« [11]

Dies ist nicht nur eine wissenschaftliche Erkenntnis, sondern be-schreibt auch bekannte „thermische“ Alltagserfahrungen, z. B.:– Die Abkühlung einer heißen Kartoffel lässt sich durch kräftiges

Anpusten beschleunigen.– Beim Öffnen eines Fensters strömt im Winter kalte Außenluft ein

und warme Raumluft aus.– Jeder Automotor benötigt eine Warmlaufphase, bis er seine Be-

triebstemperatur erreicht.– In klaren Nächten kann auch bei Temperaturen über 0 C Bodenfrost

auftreten.– Eine Kirche mit dicken Steinmauern bietet im Sommer bei hohen

Außentemperaturen ein angenehmes Raumklima.Auch wenn uns diese Vorgänge selbstverständlich und vertraut er-scheinen, handelt es sich dabei doch um teilweise komplexe Vorgängeder Wärmeübertragung. Zur erfolgreichen Analyse, Berechnung undOptimierung von Wärmetransportvorgängen sowie zur Entwicklungneuer Verfahren und Technologien sind solide und umfassende Kennt-nisse der Wärmeübertragung unerlässlich.

Bild 1.1: Rückkühlwerk einer Klimaanlage.

Bild 1.2: Thermogramm einer Fassade.

Bild 1.3: Glaskuppel des Reichstags Berlin.

Bild 1.4: Elektrischer Schaltschrank.

Die Wärmeübertragung ist keineswegs auf die klassischen Bereicheder Technik, wie– Energietechnik (z. B. Kraftwerke, Turbinen, Fernwärmesysteme)– Fahrzeugtechnik (z. B. Motorkühlung, Fahrzeugklimatisierung)– Luft- und Raumfahrttechnik (z. B. Hitzeschilde für Wiedereintritt)– Gebäudetechnik (z. B. Solarkollektoren, Heizkörper),beschränkt, sondern gewinnt zunehmend auch in angrenzenden Fach-gebieten an Bedeutung:– Elektrotechnik (z. B. energiesparende Kühl- und Gefriergeräte)– Informationstechnologie (z. B. Hochleistungs-CPUs)– Produktionstechnik (z. B. Wärmebehandlung von Werkstoffen)– Messtechnik (z. B. Temperatursensoren, Wärmebildkameras)– Mechatronik und Nanotechnologie (z. B. Nanoröhren, Nanobots)– Umwelttechnik (z. B. regenerative Energien, Brennstoffzellen)– Recycling und Entsorgungstechnik (z. B. thermische Trennverfahren)– Bio- und Medizintechnik (z. B. Biosensoren, Thermografie zur Loka-

lisation von Entzündungen, Hyperthermie)– Lebensmitteltechnologie (z. B. Kühlung von Lebensmitteln, Pasteu-

risierung, Transportbehälter)– Meteorologie und Klimatologie (z. B. Treibhauseffekt, globale Erd-

erwärmung)Eine enge Beziehung der Wärmeübertragung besteht auch zur Stoff-übertragung, die hier aber nicht behandelt wird.

16 1 Grundlagen der Wärmeübertragung

Es wird davon ausgegangen, dass der (die) Leser(in) im Wesentlichenmit den Grundlagen der Wärmeübertragung vertraut ist. Die umfang-reiche Literatur [1]–[23] bedient sich teilweise unterschiedlicher Be-zeichnungen und Symbole, wobei sich das vorliegende Buch auf diegängige Nomenklatur stützt und diese bei Bedarf sinnvoll ergänzt.

Im Folgenden bezeichnet ϑ dieCelsius-Temperatur, T die absolute Tem-peratur, t die Zeit, Q den Wärmestromund q die Wärmestromdichte.

1.2 Wärme, Wärmestrom, WärmestromdichteWärme ist Energie, die an der diathermen (wärmedurchlässigen)Grenze zwischen Systemen verschiedener Temperatur auftritt und al-lein aufgrund des Temperaturunterschiedes ohne Arbeitsleistung zwi-schen den Systemen übertragen wird (Bild 1.5). Die Thermodynamikbeschäftigt sich mit der Wärme Q in J (Joule) = W · s, die bei verschie-denen Gleichgewichtszuständen eines Systems auftritt. Der gelegent-lich verwendete Begriff Wärmemenge entstammt der unzutreffendenVorstellung, Wärme bestünde aus einem Stoff, dem man eine gewisseStoffmenge zuweisen könne. Die Wärme Q wird dadurch übertragen,dass in der Zeit t= t1− t0 ein Wärmestrom Q in W (Watt) = 1 J/s fließt:

Q=

∫ t1

t0

Q(t) dt; bzw. Q=Q·(t1−t0) , falls Q=const. (1.1)

Häufig wird mit der Wärmestromdichte q der auf die Fläche A bezo-gene Wärmestrom zur Beschreibung von Systemen verwendet:

q=Q

Aund Q= q ·A [q]=

W

m2(1.2)

J¥

Umgebung

System

JSystem

diabateSystemgrenze

Qzu

Qab

Eq

Wärmeflüsse

innereWärme-quellen

Bild 1.5: Wärmeübertragung durch Wärme-flüsse über eine diatherme Systemgrenze.

Ströme (z. B. Massen-, Volumen-,Wärme-, Enthalpieströme) werden miteinem über das betreffende Symbolgesetzten Punkt gekennzeichnet, alsom, V , Q, H, während die vom jeweiligenStrom geänderten Quantitäten m,V,Q,H ohne Punkt notiert werden.

Wärme fließt nach dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik selbst-tätig entlang eines Temperaturgefälles stets von höherer zu niedrige-rer Temperatur. Besitzen zwei Systeme in Abwesenheit thermoelek-trischer Effekte (z. B. Peltier-Effekt) dieselbe Temperatur (thermischesGleichgewicht nach dem 0. Hauptsatz), kommt der Wärmefluss zumErliegen. Die Energieform Wärme tritt damit nur bei der Überschrei-tung der Systemgrenze in Erscheinung. Im System selbst ist die Wärmenicht feststellbar, sondern sie trägt zur Änderung der inneren EnergieU des Systems bei. Die Erfassung der Änderung der inneren Energie∆U (bei Festkörpern und Flüssigkeiten näherungsweise auch der Ent-halpie ∆H) erfolgt indirekt über die Temperaturmessung.

Die Aussage „Das System enthält10 MJ Wärme.“ ist eigentlich unzutref-fend. Besser ist die Sprechweise: „DemSystem wurden 10 MJ Wärme zugeführt,wodurch sich die innere Energie um10 MJ erhöhte.“

Thermodynamisch ist die Wärmewie die Arbeit keine Zustands-, son-dern eine Prozessgröße. Zustandsgrö-ßen (z. B. Temperatur T , innere EnergieU ) kennzeichnen als wegunabhängigeSystemeigenschaften einen bestimmtenZustand eines thermodynamischen Sys-tems. Demgegenüber beschreiben Pro-zessgrößen (z. B. Wärme Q, Arbeit W )die Form der Energieübertragung undhängen vom gewählten thermodynami-schen Weg ab.

Intensive Zustandsgrößen hän-gen im Unterschied zu extensiven Zu-standsgrößen nicht von der Masse bzw.der Stoffmenge des Systems ab. Bei Tei-lung eines Systems in zwei gleich großeTeile besitzen beide Teile dieselben Wer-te der intensiven Zustandsgrößen wiedas Ausgangssystem, während sie nurdie halben Werte der extensiven Zu-standsgrößen aufweisen.

Der Systembegriff der Thermodynamik ist auch in der Wärmeüber-tragung von zentraler Bedeutung. Das thermodynamische System istein durch eine Systemgrenze festgelegtes Gebiet, das zum Zweck derAnalyse von seiner Umgebung gedanklich abgegrenzt wird (Bild 1.5).In Bezug auf das gesteckte Untersuchungsziel sollte die Systemgren-ze so gewählt werden, dass eine möglichst einfache Lösung erreichtwird. Die Grenzen eines Systems können fest oder variabel, materi-ell oder imaginär, durchlässig oder undurchlässig sein. Thermodyna-mische Systeme lassen sich nach ihren Wechselwirkungen hinsichtlichdes Energie- und Stofftransports mit der Umgebung einteilen.Geschlossene Systeme sind massedicht und ermöglichen keinen Stoff-transport über die Systemgrenze. Bei offenen Systemen treten Mas-senströme (ggf. an verschiedenen Stellen) über die Systemgrenze. Beihalboffenen Systemen erfolgt der Massentransport nur in eine Rich-tung über die Systemgrenze (z. B. Ausströmen aus einem Behälter).

1.3 Temperatur und Temperaturfelder 17

Hinsichtlich des Wärmetransports ist zwischen adiabaten (wärme-dichten) und diathermen (wärmedurchlässigen) Systemen zu unter-scheiden. Da eine thermisch ideale Wärmedämmung nicht möglich ist,stellt der Begriff „adiabat“ eine Idealisierung dar und wird in der Pra-xis für Systeme verwendet, bei denen der Wärmefluss über die System-grenze vernachlässigbar klein ist, wie z. B. bei sehr gut gedämmtenRohrleitungen (Bild 1.7).

Die Begriffe „Isolation“ bzw. „iso-lieren“ kennzeichnen Schutzmaßnah-men gegen den elektrischen Strom. ImZusammenhang mit wärmetechnischenMaßnahmen spricht man besser von„Wärmedämmung“ bzw. „dämmen“,auch wenn der Begriff „Isoliertechnik“in der Praxis eingeführt ist.

Bild 1.6: Beispiel für eine Wärmedäm-mung: Perimeterdämmung 1© aus extru-diertem Polystyrol (XPS) an einer betonier-ten Kellerwand mit darüber liegender unge-dämmter Ziegelwand 2© sowie Aussparun-gen im Bereich der Lichtschächte 3©. Ober-halb der Wärmedämmung ist eine Feuchte-sperre in Form einer Bitumendickbeschich-tung (schwarz) erkennbar, die ebenfalls kei-ne „Isolierung“ darstellt.

Bild 1.7: Gedämmte Rohrleitungen.

1.3 Temperatur und TemperaturfelderIm thermodynamischen Sinne ist die Temperatur eine intensive Zu-standsgröße, die als Grundgröße nicht auf andere Größen zurück-geführt werden kann, sondern eindeutig definiert werden muss.Dies gelingt mithilfe des thermischen Gleichgewichts thermodynami-scher Systeme (0. Hauptsatz). Danach haben zwei Systeme im thermi-schen Gleichgewicht immer dieselbe Temperatur, während Systeme,die nicht im thermischen Gleichgewicht miteinander stehen, stets un-terschiedliche Temperaturen aufweisen.

Die Temperatur charakterisiert damit den thermischen Zustand ei-nes Systems. Durch den Wärmesinn besitzt der Mensch mit „heiß“,„warm“ und „kalt“ qualitative und relative Vorstellungen über denthermischen Zustand von Systemen. Eine Quantifizierung dieser Emp-findungen war jedoch erst mit der Einführung des Temperaturbegriffsund der Erfindung funktionierender Thermometer mit geeignetenSkalen möglich.Temperaturen können entweder als Celsius-Temperaturen ϑ oder alsabsolute (thermodynamische) Temperaturen T notiert werden:

T =ϑC· K + T0; [T ] = K mit T0 = 273,15 K (1.3)

ϑ =T − T0

K· C; [ϑ] = C (1.4)

Im Folgenden werden Temperaturen bis auf die Wärmestrahlung alsCelsius-Temperaturen angegeben und mit dem Symbol ϑ bezeichnet.Da sich beide Temperaturen nur um die additive Konstante T0 unter-scheiden, ist es unerheblich, ob Temperaturdifferenzen zwischen Cel-sius- oder Kelvin-Temperaturen berechnet werden.

∆T = T1 − T2 (1.5)

∆ϑ = ϑ1 − ϑ2 (1.6)

∆T = T1 − T2 = (ϑ1 + T0)− (ϑ2 + T0) = ϑ1 − ϑ2 = ∆ϑ (1.7)

Es ist allerdings zu beachten, dass Temperaturdifferenzen generell in Kangegeben werden, unabhängig davon, auf welcher Temperaturskalasie berechnet wurden. Der scheinbare Widerspruch, dass die Gln. (1.3)und (1.4) mit K und C zwei unterschiedliche Einheiten verknüpfen,lässt sich dadurch auflösen, dass jede Celsius-Temperatur als Tempera-turunterschied zum Nullpunkt der Celsius-Skala interpretiert und da-mit in K angegeben werden kann.

Im Unterschied zum Winkelmaß

(Grad) wird die Dimension C mit einemLeerzeichen an die Maßzahl gesetzt, al-so 45, aber 45 C. Die Einheit ist fürCelsius-Temperaturen ebenso unzutref-fend wie C. Beispiel: Zwischen der Temperatur im Wohnzim-mer von Frieda Frostig von 25 C und derAußenlufttemperatur von −5 C bestehteine Differenz von ∆ϑ=ϑinnen − ϑaußen =25 C− (−5 C)=30 K (30 Kelvin).

Die Angabe K für eine Tempera-turdifferenz ist falsch, richtig ist K.

Das große griechische ∆ wird so-wohl als Vorsatz für Differenzen als auchfür den Laplace-Operator verwendet.

Die Temperatur ist eine skalare Größe, d. h. sie besitzt keineRichtung. Hängt die Temperatur vom Ort ab, spricht man von einemTemperaturfeld (skalares Feld):


eindimensionales Temperaturfeld ϑ=ϑ(x)

zweidimensionales Temperaturfeld ϑ=ϑ(x,y)

dreidimensionales Temperaturfeld ϑ=ϑ(x,y,z)

Hängt die Temperatur nur vom Ort und nicht von der Zeit ab, sprichtman von einem stationären Temperaturfeld, anderenfalls von eineminstationären (zeitabhängigen) Temperaturfeld:

stationäres Temperaturfeld ϑ=ϑ(~x)

instationäres Temperaturfeld ϑ=ϑ(~x,t)

Im Allgemeinen sind Temperaturfelder zeit- und ortsabhängig. Aller-dings werden in der Praxis vielfach stationäre Zustände betrachtet,insbesondere wenn Gleichgewichtszustände interessieren (z. B. statio-näre Betriebstemperatur in einem Verbrennungsmotor).

Beispiel: Bei einer im siedenden Wasser gekoch-ten Kartoffel weist zunächst jeder Volu-menpunkt eine einheitliche Temperaturvon 100 C auf. Auf einem Teller kühltsie vom Rand her ab. An der Außenseiteherrschen niedrigere Temperaturen alsim Zentrum. Jeder Punkt hat eine eigeneTemperatur, die sich mit der Zeit ändert.Es liegt ein instationäres dreidimensio-nales Temperaturfeld ϑ(x,y,z,t) vor.

Bild 1.8: Tauwasser und mehrdimensionalesTemperaturfeld an einer Verglasung.

Der Temperaturgradient ist ein Vektor, der die Richtung des größ-ten Temperaturanstiegs in einem Temperaturfeld angibt. Er berechnetsich aus den partiellen Ableitungen des Temperaturfeldes nach denOrtskoordinaten, z. B. gilt in kartesischen Koordinaten:

gradϑ =

(∂ϑ

∂x,∂ϑ

∂y,∂ϑ

∂z

)T

=∂ϑ

∂x· ~ex +

∂ϑ

∂y· ~ey +

∂ϑ

∂z· ~ez (1.8)

Üblich ist auch die koordinatenunabhängige Schreibweise mit demNabla-Operator:

gradϑ = ∇ϑ (1.9)

Da ein Wärmestrom gemäß dem2. Hauptsatz der Thermodynamik selbst-tätig stets in einem Temperaturgefälle(von warm nach kalt) fließt, gibt derTemperaturgradient die negative Rich-tung des Wärmestroms an.

Bei eindimensionaler Geometrielautet der Temperaturgradient dϑ/dx.Die hier gewählte allgemeinere Schreib-weise ∂ϑ/∂x gewährleistet die leichtereÜbertragbarkeit der Ergebnisse auf denmehrdimensionalen Fall.

1.4 Wärmetransportmechanismen

Tabelle 1.1: Analogie zwischen dem Trans-port von Wärme und Wasser.

Wärme . . . Wasser . . .

. . . benötigt zum Fließen . . .ein Temperaturgefälle. ein natürliches Gefälle.

. . . fließt . . .von warm nach kalt. vom Berg ins Tal.

. . . kann nur durch Arbeit . . .von kalt nach warm vom Tal bergauf

. . . transportiert werden.

Um eine bessere Vorstellung des in der Regel nicht sichtbaren Wärme-flusses zu erhalten, verwendet man in der Praxis Analogien (vgl. Tabel-len 1.1 und 1.2), die auf bekannte bzw. einfachere Vorgänge zurück-greifen. Eine bekannte Modellvorstellung ist der Vergleich zwischenWärme- und Wasserstrom (Tabelle 1.1). Wärmeübertragungsvorgän-ge spielen in vielen alltäglichen, aber auch in zahlreichen technischenProzessen eine überaus wichtige Rolle. Das qualitative Verständnis derzugrunde liegenden Mechanismen und die Fähigkeit, auch quantita-tive Aussagen in Form ingenieurmäßiger Berechnungen vornehmenzu können, sind wichtige Voraussetzungen zur Dimensionierung undOptimierung technischer Systeme.

Zur Analyse von Wärmetransportvorgängen werden in der PraxisModelle eingesetzt, die je nach Genauigkeitsanforderungen und ver-tretbarem Aufwand ein mehr oder weniger genaues Abbild des kom-plexen realen Systems darstellen. Teilweise sind entsprechende Mo-delle bereits verfügbar (z. B. in der Literatur), teilweise müssen sie imRahmen von Forschungs- und Entwicklungsarbeiten erst an den jewei-ligen technischen Systemen erstellt werden. Um die Komplexität derModelle sinnvoll zu begrenzen, werden geeignete Vereinfachungenund Vernachlässigungen durchgeführt (z. B. wie in Bild 1.9), wozu ver-tiefte Kenntnisse der Grundlagen der Wärmeübertragung notwendigsind.

Heißluftherd

reale Konfiguration

idealisierte Konfiguration

ß

J=180 °C¥

Kartoffel

Wasser

Bild 1.9: Modellierung einer Kartoffel alsKugel mit den Eigenschaften von Wasser.

1.4 Wärmetransportmechanismen 19

Die mathematische Behandlung physikalischer Probleme führt aufAusdrücke, die Unterschiede der maßgeblichen Variablen zueinander

beinhalten (z. B. ∂2ϑ

∂x2≈ ∆ϑ

∆x2, ∂ϑ∂t≈ ∆ϑ

∆t). Je kleiner die Inkremente

(z. B. ∆x, ∆t) gewählt werden, desto genauer ist die jeweilige Be-schreibung.Im Grenzfall infinitesimaler und differenzieller Änderungen erhältman Differenzialgleichungen, die eine exakte Formulierung der zu-grunde liegenden physikalischen Gesetzmäßigkeiten darstellen, wo-bei die jeweiligen Änderungsraten als Differenziale erscheinen. Daherwerden zahlreiche Probleme im Ingenieurbereich durch Differenzial-gleichungen beschrieben, zu deren Lösung die Mathematik die Grund-lagen und Hilfsmittel (z. B. Trennung der Variablen, e-Funktionsansatz,Substitution, Potenzreihenansatz, Finite Differenzen, Finite Elementeetc.) bereitstellt. Jedoch sind zahlreiche praktische Probleme der Wär-meübertragung auch ohne Differenzialgleichungen lösbar.

Wärmetransportvorgänge wer-den prinzipiell in 3 Schritten analysiert:

1. Identifikation aller maßgeblichen Va-riablen (z. B. instationäres 3dimensio-nales Temperaturfeld ϑ = ϑ(x,y,z,t)),Festlegung zutreffender Annahmenund Näherungen (z. B. Symmetrie iny und z), Anwendung relevanter phy-sikalischer Gesetze und Prinzipien(z. B. Energiebilanz) zur mathemati-schen Problemformulierung.

2. Problemlösung mit geeigneten ma-thematischen Methoden (z. B. analy-tische oder numerische Lösung einerDgl.). Als Lösung bezeichnet man(a) eine Funktion ϑ(x,y,z,t), mit der

die Berechnung der Temperaturin jedem Punkt (x,y,z) eines Kör-pers und zu jeder Zeit möglich ist(analytische Lösung).

(b) eine endliche Anzahl von Tem-peraturwerten, die bestimmtenPunkten des Körpervolumens zu-geordnet sind und entweder ge-messen oder mit Computerpro-grammen errechnet wurden (nu-merische Lösung).

3. physikalische Interpretation und Prü-fung der Ergebnisse auf Plausibilität(z. B. Entfall nicht plausibler Lösun-gen bei quadratischen Gleichungen)

Der in der Praxis für Wärmetrans-port gängige, physikalisch unzutreffen-de Begriff „Wärmeaustausch“ impliziertim Widerspruch zum 2. Hauptsatz einengleichzeitigen Fluss in zwei Richtungen.

1.4.1 Arten des WärmetransportsGenerell ist zwischen stoffgebundenem (Leitung und Konvektion)und nichtstoffgebundenem Wärmetransport (Strahlung) zu unter-scheiden, so dass drei Transportmechanismen auftreten können:

Wärmeleitung (in Festkörpern, untergeordnet in Flüssigkeiten undGasen; z. B. Wärmetransport durch die Wandung eines Heizkörpersoder eine Zylinderbuchse in einem Verbrennungsmotor, winterlicheWärmeverluste durch eine Gebäudeaußenwand, s. a. Bild 1.10)

Konvektion (Wärmemitführung durch Strömung, in Flüssigkeitenund Gasen; z. B. Wärmetransport durch Warmwasser vom Heizkes-sel zu den Heizkörpern, Umwälzung der Raumluft durch thermi-schen Auftrieb, Kühlwasser im Kühler eines Autos, s. a. Bild 1.12)

Wärmestrahlung (zwischen zwei Körpern; z. B. Infrarotstrahler ineinem Festzelt, Sonne, Glühlampe, Kachelofen, s. a. Bild 1.13)

Tabelle 1.2: Analogie zwischen Wärme-transport und dem Transport von Wasserbeim Löschen eines Feuers.Wärmetransport Wassertransport

Wärmeleitung Eimerkette

Konvektion mit Eimer laufende Person

Wärmestrahlung Feuerwehrschlauch

Da sich die drei Wärmetransportmechanismen überlagern, ist die ex-akte Behandlung schwierig, und es sind in der Praxis meist Vereinfa-chungen notwendig (Modellbildung).

Die Transportgesetze der einzelnen Wärmeübertragungsartenlassen sich universell als Verknüpfung zwischen Wirkung (Strom bzw.Fluss) und Ursache (treibendes Gefälle) formulieren:

Strom der Transportgröße = Transportkoeffizient× Gefälle (1.10)

1.4.2 WärmeleitungWärmeleitung stellt einen Energietransport infolge atomarer undmolekularer Wechselwirkung unter dem Einfluss ungleichförmigerTemperaturverteilung dar. Sie ist vor allem in Festkörpern vonBedeutung (Bild 1.10), tritt aber auch in Flüssigkeiten und Gasen auf.

Herdplatte ® Topf ® Hand

Bild 1.10: Wärmetransport durch Leitung.

Der empirische Fourier’sche Wärmeleitungsansatz (1.11) ( J.B. Biot,

1804, 1816; J.B.J. Fourier, 1822) verknüpft den Wärmestrom ~Q (~x) inW bzw. die Wärmestromdichte ~q (~x) (flächenbezogener Wärmestrom)


in W/m2 infolge Wärmeleitung mit dem zum Temperaturunter-schied proportionalen Temperaturgradienten gradϑ in K/m und derdurchströmten Fläche A (~x) in m2, wobei die jeweiligen Größen imallgemeinen Fall ortsabhängig sein können:

~Qλ (~x) = −λ (~x) ·A (~x) · gradϑ bzw. ~qλ (~x) = −λ (~x) · gradϑ (1.11)

Im eindimensionalen Fall (Ortskoordinate x) vereinfacht sich Gl. (1.11):

Qλ (x) = −λ (x) ·A (x) · ∂ϑ∂x

bzw. qλ (x) = −λ (x) · ∂ϑ∂x

(1.12)

Weitere Vereinfachungen von Gl. (1.12) sind bei konstanter Wärme-leitfähigkeit λ bzw. konstanter Fläche A möglich.

außen innen

-10 °C

20 °C

x

¶J¶x

> 0

Winter

Q < 0l

außen innen

32 °C

20 °Cx

¶J¶x

< 0

Sommer

Q > 0l

Bild 1.11: Wärmeleitung in einer Außen-wand mit beidseitigem Wärmeübergang(oben: im Sommer; unten: im Winter).

Das negative Vorzeichen in denGln. (1.11) und (1.12) bedeutet, dassein positiver Wärmestrom (in Richtungder positiven x-Achse, vgl. Bild 1.11)stets in Richtung abnehmender Tem-peratur (d. h. in Richtung eines nega-tiven Temperaturgradienten von warmnach kalt) fließt. Im eindimensionalenFall entspricht der Temperaturgradient∂ϑ/∂x = dϑ/dx der Steigung der Tem-peraturkurve (Tangente) in einem be-stimmten Punkt.

Die Wärmeleitfähigkeit λ in W/(mK) ist eine Proportionalitätskon-stante, die den maßgeblichen Transportkoeffizienten der stationärenWärmeleitung darstellt. λ ist als Stoffeigenschaft im Allgemeinen tem-peraturabhängig, allerdings ist dies in der Praxis aufgrund begrenzterTemperaturunterschiede häufig vernachlässigbar. In isotropen Stoffenist λ zudem richtungsunabhängig. Holz besitzt als anisotroper Stoffquer zur Faser eine andere Wärmeleitfähigkeit als längs zur Faser.

1.4.3 KonvektionKonvektion (Wärmemitführung) bezeichnet einen massegebundenenEnergietransport in einem strömenden Fluid (Flüssigkeit, Gas) durchmakroskopische Teilchenbewegung, der stets auch von Wärmeleitung(meist untergeordnet) begleitet wird. Je nach Antriebskraft ist zwi-schen freier Konvektion (natürlicher Konvektion) und erzwungenerKonvektion (Zwangskonvektion) zu unterscheiden. Bei Mischkonvek-tion überlagern sich beide Konvektionsformen.

Der Wärmefluss zwischen einem Festkörper und einem beweg-ten Fluid wird als konvektiver Wärmeübergang bezeichnet. Bei einemWärmetransport zwischen zwei durch einen Festkörper getrenntenFluiden (z. B. Wasser und Luft in einem Kühler) liegt ein Wärmedurch-gang (Wärmetransmission, vgl. Bild 1.11) vor.

Bei der freien Konvektion (Bild 1.12) sind Strömungs- und Tem-peraturfeld über den thermischen Auftrieb gekoppelt, was die nume-rische Berechnung erschwert. Bei der erzwungenen Konvektion sindbeide Felder voneinander entkoppelt, da der Antrieb durch einen äu-ßeren Druckgradienten erfolgt.

Gemäß dem Newton’schen Abkühlungsgesetz (1.13) (I. Newton,1701) ist der konvektiv übertragene Wärmestrom proportional zurwärmeübertragenden Fläche A und zum Temperaturunterschied zwi-schen Wand und Fluid (ϑw − ϑ∞):

Qα = αK ·A · (ϑw − ϑ∞) bzw. qα = αK · (ϑw − ϑ∞) (1.13)

24 °C

22 °C

18 °C

20 °C

kalte Luftsinkt ab

warme Luftsteigt auf

Bild 1.12: Wärmetransport in einem Raumdurch freie Konvektion.

Analog zum Wärmeübergang ge-mäß Gl. (1.13) gilt beim Stoffübergangmit dem Stoffübergangskoeffizienten β(in m/s) für den Massenstrom m bzw. dieMassenstromdichte m∗ als Funktion derPartialdichtedifferenz (%w−%∞):

m=β ·A · (%w − %∞) bzw. (1.14)

m∗=β · (%w − %∞) (1.15)

Die Wärmestromrichtung ergibt sich aus dem Vorzeichen der wirksa-men Temperaturdifferenz, wobei auch hier der 2. Hauptsatz der Ther-modynamik (Wärmefluss von warm nach kalt) zu beachten ist.

1.4 Wärmetransportmechanismen 21

Die Proportionalitätskonstante αK in W/(m2 K

)heißt konvek-

tiver Wärmeübergangskoeffizient (Wärmeübergangszahl). Er hängtvon einer Vielzahl von Parametern ab und ist somit nur mit großemAufwand bzw. entsprechender Unsicherheit berechenbar. In der Pra-xis werden daher überwiegend experimentelle Daten in Korrelatio-nen mit dimensionslosen Kennzahlen (Nußelt-, Rayleigh-, Grashof-,Reynolds-, Péclet-, Graetz-, Prandtl-Zahl) im Rahmen einer Ähnlich-keitstheorie für die Berechnung des Wärmeübergangs herangezogen(vgl. Abschnitt 6.1.2).

Tabelle 1.3: Typische Größenordnungenvon Wärmeübergangskoeffizienten.

Medium αK in W/(m2 K)

freie Konvektion

Gase 3÷ 20

Wasser 100÷ 600

erzwungene Konvektion

Gase 10÷ 100

Wasser 500÷ 10 000

Phasenübergang

siedendes Wasser 2 000÷ 25 000

kondensierenderWasserdampf 5 000÷ 100 000

Nu =α · LλFluid

bzw. α =Nu · λFluid

L(1.16)

Die Bezugslänge L in der Nußelt-Zahl Nu (dimensionsloser Wärme-übergangskoeffizient) ist problembezogen sinnvoll zu wählen. Meiststellt sie eine, den jeweiligen Konvektionsvorgang charakterisieren-de, geometrische Länge (charakteristische Länge, s. Abschnitt 6.1) dar(z. B. Heizkörperhöhe).

Analog zur Nußelt-Zahl verwen-det man beim Stoffübergang die Sher-wood-Zahl Sh (Diffusionskoeffizient D):

Sh=β · LD

(1.17)

Die bei der Nußelt-Zahl auftreten-de Wärmeleitfähigkeit des Fluids λFluid

darf nicht mit der Wärmeleitfähigkeitder festen Wand λWand verwechselt wer-

den. In der Biot-Zahl Bi =α · LλWand

wird

hingegen die Wärmeleitfähigkeit desFestkörpers verwendet.

Tabelle 1.3 gibt Größenordnungen von Wärmeübergangskoeffizien-ten an. Der VDI-Wärmeatlas [24] enthält eine umfassende und aktu-elle Zusammenstellung abgesicherter Korrelationen für den Wärme-übergang, wobei die jeweiligen Gültigkeitsbereiche zu beachten sind.

1.4.4 Wärmestrahlung

Tabelle 1.4: Relevante Wellenlängenberei-che der elektromagnetischen Strahlung.

Strahlungsart λ in nm

Ultraviolett (UV) 280÷ 380

sichtbares Licht (VIS) 380÷ 780

Infrarot (IR) > 780

Für die Wellenlänge wird dasselbeSymbol λ verwendet wie für die Wärme-leitfähigkeit.

Wärmestrahlung (Thermische Strahlung) kennzeichnet einen nicht-stoffgebundenen Energietransport durch elektromagnetische Schwin-gungen (Wellen, vgl. Bild 1.13), der auch im Vakuum (z. B. im Weltall)möglich ist. Kennzeichnend ist die Wellenlänge λ der elektromagneti-schen Strahlung (Tabelle 1.4). Wärmestrahlung ist langwellig und da-mit für das menschliche Auge unsichtbar. Sie kann aber mit speziellenDetektoren (Thermografie, vgl. Bild 1.2) sichtbar gemacht werden.

Thermische Strahlung findet zwischen zwei (oder ggf. mehr) Kör-peroberflächen statt, wobei die einzelnen Körper nach dem Sender-Empfänger-Prinzip Strahlung sowohl aussenden (emittieren) als aucheinen Teil der auftreffenden Strahlung aufnehmen (absorbieren).

Der zwischen zwei Körpern 1 und 2 fließende (Netto-)Strah-lungswärmestrom beträgt nach dem Stefan-Boltzmann’schen Strah-lungsgesetz (1.18) ( J. Stefan, 1879; L. Boltzmann, 1884):

Qε12 = σ1 2·A1 ·

(T 4

1 − T 42

)bzw. qε12 = σ

12·(T 4

1 − T 42

)(1.18)

Die Strahlungskonstante der Anordnung σ1 2

in W/(m2 K4

)ist ein Pro-

portionalitätsfaktor für die Geometrie und Oberflächeneigenschaf-ten der betreffenden Körper. Sie hängt von der Stefan-Boltzmann-Konstante σ=5,67 · 10−8 W/(m2 K4) ab.

Sonne ® Haut ® Sonnenbrand

Bild 1.13: Wärmetransport durch Strahlung.

Im Unterschied zum Fourier’schen Wärmeleitungsansatz (1.11)und zum Newton’schen Abkühlungsgesetz (1.13) gehen die Tempera-turen beim Stefan-Boltzmann’schen Gesetz (1.18) in der 4. Potenz ein,wodurch eine nichtlineare Abhängigkeit des Wärmestroms Qε12 vonden Temperaturen bzw. Temperaturdifferenzen resultiert. Weiterhinsind absolute Temperaturen einzusetzen (K statt C!). Daher ist Strah-lung bei höheren Temperaturen wirksamer als bei niedrigeren.


Aus der Temperaturdifferenz T 41 −T 4

2 kann mit binomischer Formel einlinearer Faktor abgespalten werden:

qε12 = σ1 2· (T1 + T2) ·

(T 2

1 + T 22

)· (T1 − T2) (1.19)

Durch die formale Definition des Wärmeübergangskoeffizienten fürStrahlung (radiativer Wärmeübergangskoeffizient)

αStr := σ1 2· (T1 + T2) ·

(T 2

1 + T 22

)(1.20)

folgt eine zur Konvektion analoge lineare Beziehung für die Strah-lungswärmestromdichte qε12:

qε12 = αStr · (T1 − T2) (1.21)

Der in Gl. (1.20) definierte Wär-meübergangskoeffizient für Strahlunghängt von den Temperaturen der betei-ligten Körper ab:αStr =αStr(T1,T2)

Bild 1.14: Begehbare doppelschalige Fassa-de als Beispiel für das simultane Auftretender Wärmeübertragungsmechanismen.

Vielfach sind der zwischen zwei Flächen 1 und 2 ausgetauschteNetto-Strahlungswärmestrom Qε12 und der konvektive WärmestromQα an die Umgebungsluft (Temperatur ϑ∞) parallel gerichtet undaddieren sich daher (A=A1):

Qges = Qε12 + Qα = αStr ·A1 · (ϑ1 − ϑ2) + αK ·A1 · (ϑ1 − ϑ∞) (1.22)

Für geringe Unterschiede zwischen der Oberflächentemperatur derzweiten Fläche A2 und der Umgebungstemperatur ϑ2 ≈ ϑ∞ lässt sichdiese Gleichung vereinfachen:

Qges ≈ αStr ·A1 · (ϑ1 − ϑ∞) + αK ·A1 · (ϑ1 − ϑ∞)

= (αStr + αK) ·A1 · (ϑ1 − ϑ∞) (1.23)

Dann ist die Einführung des Gesamtwärmeübergangskoeffizientenαges zweckmäßig:

αges = αStr + αK (1.24)

1.5 Fourier’sche Wärmeleitungsgleichung1.5.1 Mehrdimensionale instationäre Wärmeleitung mit in-

neren WärmequellenIm allgemeinen Fall liegt ein mehrdimensionales und zeitabhängigesTemperaturfeld ϑ(~x,t) vor. Aus einer Energiebilanz am differenziellenKontrollvolumen (Bild 1.15) lässt sich die allgemeine Fourier’scheWärmeleitungsdifferenzialgleichung herleiten, die den instationärenWärmetransport in einem homogenen Festkörper mit inneren Wär-mequellen beschreibt. Sie lautet für konstante Stoffwerte λ, %, cp inkartesischen Koordinaten (x,y,z):

∂ϑ

∂t= a ·

(∂2ϑ

∂x2+∂2ϑ

∂y2+∂2ϑ

∂z2

)+

eq

% · cp(1.25)

Q (y+Dy)y

Q (z+Dz)z

Q (x)xQ (y)y

Q (z)zDxDy

x y

z

abfließendzufließend

Dz

Q (x+Dx)x

Bild 1.15: Zu- und abfließende Wärmeströ-me am infinitesimalen Kontrollvolumen.

Bild 1.16: Stromkabel als Beispiel für Wär-meleitung mit inneren Wärmequellen.

a :=λ

% · cp(1.26)

Die Temperaturleitfähigkeit a in m2/s stellt den Transportkoeffizientender instationären Wärmeleitung dar. % ist die Massendichte (Dichte)in kg/m3, cp die spezifische isobare Wärmekapazität in J/(kg K)und eq die volumenbezogene Dichte der inneren Wärmequellen(Wärmequellendichte) in W/m3 (z. B. Ohm’sche Verluste in einemelektrischen Leiter, vgl. Bild 1.16).

1.5 Fourier’sche Wärmeleitungsgleichung 23

1.5.2 Koordinatenunabhängige SchreibweiseDer Nabla-Operator ∇ und der Delta-Operator ∆ =∇2 gestatten einekoordinatenunabhängige Darstellung von Gl. (1.25):

∂ϑ

∂t= a ·∆ϑ+

eq

% · cp= a · ∇2ϑ+

eq

% · cp(1.27)

Der Laplace-Operator (Delta-Operator) lautet für kartesische Koordinaten (x,y,z) gemäß Bild 1.17: ϑ = ϑ(x,y,z)

∆ϑ =∂2ϑ

∂x2+∂2ϑ

∂y2+∂2ϑ

∂z2(1.28)

Zylinderkoordinaten (r,ϕ, z) gemäß Bild 1.18: ϑ = ϑ(r,ϕ,z)

∆ϑ=∂2ϑ

∂r2+

1

r· ∂ϑ∂r

+1

r2· ∂

2ϑ

∂ϕ2+∂2ϑ

∂z2=

1

r· ∂∂r

(r· ∂ϑ∂r

)+

1

r2· ∂

2ϑ

∂ϕ2+∂2ϑ

∂z2(1.29)

Kugelkoordinaten (r,ϕ,ψ) gemäß Bild 1.19: ϑ = ϑ(r,ϕ,ψ)

∆ϑ =∂2ϑ

∂r2+

2

r· ∂ϑ∂r

+1

r2· ∂

2ϑ

∂ψ2+

cotψ

r2· ∂ϑ∂ψ

+1

r2 · sin2 ψ· ∂

2ϑ

∂ϕ2

=1

r2·

∂

∂r

(r2 · ∂ϑ

∂r

)+

1

sinψ· ∂∂ψ

(sinψ · ∂ϑ

∂ψ

)+

1

sin2 ψ· ∂

2ϑ

∂ϕ2

(1.30)

y

x

z

P(x ,y ,z )0 0 0

x0

y0

z0

Bild 1.17: Kartesische Koordinaten x,y,z.

r

z

P(r ,j,z )0 0 0

r0

z0

j

j0

Bild 1.18: Zylinderkoordinaten r,ϕ,z (Radiusr, Azimutwinkel ϕ, Axialkoordinate z).

r

P(r ,j,y)0 0 0

j0

y0

j

y

r0

Bild 1.19: Kugelkoordinaten r,ϕ,ψ (Radiusr, Azimutwinkel ϕ, Zenitwinkel ψ).

J2

x =const.

q=const.

J1

x=0 x=L

Dx=L–0=L

DJ=J-J2 1

dJDJdx Dx

=

J-2 J1L

=

Bild 1.20: Lineares Temperaturprofil einerhomogenen Wand ohne Wärmequellen.

1.5.3 Eindimensionale instationäre WärmeleitungEindimensionale zeitabhängige Temperaturfelder ϑ = ϑ(r,t), die nurvon einer Ortskoordinate r abhängen, lassen sich mit der verallgemei-nerten Gleichung (1.31) mittels Geometrieparameter n beschreiben:

∂ϑ

∂t= a ·

(∂2ϑ

∂r2+n

r· ∂ϑ∂r

)n = 0 (ebene Platte)

(1.31)n = 1 (Zylinder)n = 2 (Kugel)

1.5.4 Stationäre Wärmeleitung mit WärmequellenDie Poisson’sche Differenzialgleichung (1.32) gilt für stationäre Tem-

peraturfelder(∂ϑ∂t

= 0

)mit Wärmequellen:

a · ∇2ϑ+eq

% · cp= a ·∆ϑ+

eq

% · cp= 0 (1.32)

1.5.5 Stationäre Wärmeleitung ohne Wärmequellen

Bei stationärer Wärmeleitung(∂ϑ∂t

= 0

)ohne Wärmequellen (eq =0)

gilt die Laplace’sche Differenzialgleichung (Potenzialgleichung):

∇2ϑ = ∆ϑ = 0 (1.33)

In einer homogenen ebenen Platte ohne Wärmequellen liegt imstationären eindimensionalen Fall ein lineares Temperaturprofil undein konstanter Temperaturgradient vor:

d2ϑ

dx2= 0 ⇒ dϑ

dx= C1 ⇒ ϑ(x) = C1 · x+ C2 (1.34)

Die Konstanten C1 und C2 (Integrationskonstanten) sind aus 2 Rand-bedingungen zu bestimmen.


1.6 Anfangs- und Randbedingungen1.6.1 AnfangsbedingungenDie Anfangsbedingung (AB) ist stets eine zeitliche Bedingung, die nurbei instationären Wärmetransportvorgängen auftritt. Sie beschreibtdie Temperaturverteilung an allen Körperpunkten (x,y,z) zur Zeit t0(meist ist t0 =0):

ϑ(x,y,z,t= t0) = ϑ0(x,y,z) oder

ϑ(x,y,z,t= t0) = ϑ0 = const. (1.35)

1.6.2 RandbedingungenDemgegenüber sind Randbedingungen (RBn) örtliche Bedingungen,die sowohl bei instationären als auch bei stationären Wärmetrans-portvorgängen auftreten. Bei der Lösung instationärer mehrdimen-sionaler Wärmetransportprobleme können bis zu 7 Bedingungen ge-stellt werden (je 2 RBn pro Koordinatenrichtung und 1 AB in der Zeit).Bei stationären Wärmetransportvorgängen sind maximal 6 Randbe-dingungen (je 2 pro Koordinate) möglich. Bei entsprechender Unab-hängigkeit des Temperaturfelds bezüglich einer Koordinatenrichtungentfallen jeweils 2 RBn. So sind für die instationäre eindimensionaleWärmeleitung 2 RBn und 1 AB notwendig.

Die Randbedingung 1. Art (Dirichlet’sche Randbedingung) bein-haltet gemäß Bild 1.21 die Temperaturvorgabe am jeweiligen Rand(Vorgabe des Funktionswertes):

ϑ(x=x0,y,z,t) = ϑ0(y,z,t) (1.36)

x

J

x=x0

J(x,t)

J0

q(x=x )0

Bild 1.21: Eindimensionaler oberflächenna-her Temperaturverlauf bei RB 1. Art.

Die Randbedingung 2. Art (Neumann’sche Randbedingung) bein-haltet gemäß Bild 1.22 die Vorgabe der Wärmestromdichte und damitdes Temperaturgradienten am jeweiligen Rand (eindimensional: Vor-gabe der Kurvensteigung bzw. Tangente der Temperaturfunktion):

q(x=x0,y,z,t) = −λ · ∂ϑ(x,y,z,t)

∂x

∣∣∣∣∣x=x0

(1.37)

Ein besonderer Fall der RB 2. Art ist die adiabate Oberfläche:

q(x=x0) = 0 ⇐⇒ ∂ϑ

∂x

∣∣∣∣∣x=x0

= 0 (1.38)

x

J

x=x0 x=x1

J(x,t)

q(x=x )=q =const.0 0

q(x=x )=01

·

·

·

¶J¶x x=x0

=const.


Gl. (1.38) gilt auch in der Mitte(x0 = 0) eines symmetrischen Körpers(s. a. Bild 5.9), da ein Wärmefluss überdie Körpermitte nur bei einem entspre-chenden Gradienten möglich wäre, wasallerdings die Symmetriebedingung ver-letzen würde.

Die Randbedingung 3. Art (Newton’sche oder Robin’sche Randbe-dingung) kennzeichnet den Wärmeübergang von einer festen Ober-fläche an ein Fluid der Temperatur ϑ∞ mit dem Wärmeübergangskoef-fizienten α (Bild 1.23). Sie koppelt damit Funktionswert (Oberflächen-temperatur) und Steigung (Temperaturgradient an der Oberfläche):

qα(x=x0,t) = qλ(x=x0,t) ⇐⇒

α ·[ϑ∞ − ϑ(x=x0,t)

]= −λ · ∂ϑ(x,t)

∂x

∣∣∣∣∣x=x0

(1.39)

x

J

x=x0

J(x,t)

J(x=x ,t)0

Fluid Festkörper

a

J=const.¥

l

q (x=x ,t)a0 q (x=x ,t)l0


Die Koppelung zweier Fluideüber einen Wärmedurchgangskoeffizi-enten k stellt eine verallgemeinerte RB3. Art dar (vgl. Abschnitt 1.7.3).

Die Randbedingung 1. Art lässt sich für den Grenzübergang α→ ∞aus der Randbedingung 3. Art ableiten:

limα→∞

(RB 3. Art)=RB 1. Art α→ ∞ ⇐⇒ ϑ(x=x0, t)→ ϑ∞ (1.40)

1.7 Elektrische Analogie 25

Die Randbedingung 4. Art (Stefan’sche Randbedingung) kenn-zeichnet die Gleichheit der Wärmeströme infolge Wärmeleitung undWärmestrahlung an einer Oberfläche (Bild 1.24):

qε(x=x0,t)= qλ(x=x0,t) ⇐⇒

σ1 2·[(ϑ1(x=x0,t)+T0

)4−T 4

2

]=−λ· ∂ϑ1(x,t)

∂x

∣∣∣∣∣x=x0

(1.41)

Im Unterschied zu den übrigen Randbedingungen handelt es sich beider Randbedingung 4. Art um eine nichtlineare Randbedingung.

l

x

J

x=x0

Umgebung Festkörpere

q (x=x ,t)e 0 q (x=x ,t)l0

J(x,t)1

J(x=x ,t)1 0

J, T2 2

Bild 1.24: Strahlung als RB 4. Art.1.6.3 KoppelbedingungenBei der Wärmeleitung in mehrschichtigen Körpern treten Koppelbe-dingungen auf (Bild 1.25). Bei idealem Wärmeübergang (Kontaktwi-derstand Rth,C = 0) liegt an der Grenzfläche xG dieselbe Temperaturund dieselbe Wärmestromdichte in beiden Schichten A und B vor, d. h.die Koppelung beinhaltet 2 Randbedingungen:

ϑA(x=xG, t) = ϑB(x=xG, t) (1.42)

qλ,A(x=xG, t) = qλ,B(x=xG, t) ⇐⇒

−λA ·∂ϑA(x,t)

∂x

∣∣∣∣∣x=xG

=−λB ·∂ϑB(x,t)

∂x

∣∣∣∣∣x=xG

(1.43) x

J

x=xG

J(x,t)B

J(x=x ,t)A G J(x=x ,t)B G

Schicht A Schicht B

lBlA

Grenzfläche (idealer thermischer Kontakt)

J(x,t)A

q (x=x ,t)lA G q (x=x ,t)lB G

Bild 1.25: Koppelbedingungen an der Kon-taktfläche zweier Festkörperschichten.

Für die Temperaturdifferenz giltbei positivem Wärmestrom +Q die Vor-zeichenregel „ϑPfeilfuß − ϑPfeilspitze“ bzw.die Notation mit −Q nach Gl. (1.12) (vgl.Tab. 1.5).

1.7 Elektrische AnalogieWärmetransportvorgänge können durch die auf dem Ohm’schen Ge-setz basierende elektrische Analogie wesentlich vereinfacht werden.Dabei kann unabhängig vom Wärmetransportmechanismus eineminfolge einer Temperaturdifferenz ϑ1 − ϑ2 fließenden Wärmestrom Qein thermischer Widerstand Rth zugeordnet werden.

Tabelle 1.5: Analogie zwischen elektrischer Stromleitung und Wärmeleitung mithilfe des Ohm’schen Gesetzes.

Art elektrisch thermisch

Strom (Wirkung) elektrischer Strom I Wärmestrom Q

treibendes Gefälle (Ursache) Potenzialdifferenz U1 − U2 Temperaturdifferenz ϑ1 − ϑ2

(Spannungsdifferenz)

Widerstand (Koppelung) Ohm’scher Widerstand Rel thermischer Widerstand Rth

Rel

IU1 U2

Rth

QJ1 J2

Rel =U2 − U1

−I=U1 − U2

I;

[Rel

]=

VA

=Ω Rth =ϑ2 − ϑ1

−Q=ϑ1 − ϑ2

Q;

[Rth

]=

KW

Leitwert elektrischer Leitwert thermischer Leitwert

Gel =I

U1 − U2=

1Rel

;[Gel

]=

AV

=S=0 Gth =Lth =Q

ϑ1 − ϑ2=

1Rth

;[Gth

]=

WK

ZusammenhängeRel =

Lσ ·A

Rth =ϑ1−ϑ2

ϑ1−ϑ2· Lλ·A

=Lλ·A

(für ebene Schicht)

σ: spezifische elektrische Leitfähigkeit λ: WärmeleitfähigkeitA: Leiterquerschnitt (senkrecht zu I) A: Schichtquerschnitt (senkrecht zu Q)L: Leiterlänge L: Schichtdicke


Insbesondere ist es möglich, in Serie oder parallel liegende thermischeWiderstände zusammenzufassen. Tabelle 1.5 zeigt die grundlegendenZusammenhänge der elektrischen Analogie.

Zunächst werden ebene Schich-ten betrachtet, zylindrische und kugel-förmige Geometrien folgen in den Ab-schnitten 3.1.3 und 3.1.4.

1.7.1 Thermische Widerstände und LeitwerteDer thermische Widerstand für Wärmeleitung (Wärmeleitwiderstand,Index λ) beträgt für eine ebene Schicht der Dicke L:

Rth,λ =∆ϑ

Qλ=

L

λ ·A; [Rth,λ] =

K

W(1.44)

Generell werden die Kehrwerte von „Widerständen“ als „Koeffizien-ten“ bezeichnet. Der inverse thermische WiderstandRth,λ stellt in Ana-logie zur Elektrotechnik einen thermischen Leitwert Lth,λ dar:

Lth,λ =1

Rth,λ

=λ ·AL

; [Lth,λ] =W

K(1.45)

Der thermische Widerstand für den konvektiven Wärmeübergang(Index α) beträgt:

Rth,α =∆ϑ

Qα=

1

α ·A; [Rth,α] =

K

W(1.46)

Um Verwechslungen von thermi-schen Widerständen und Leitwerten mitanderen Symbolen zu vermeiden, wer-den thermische Widerstände und Leit-werte mit dem Zusatz „th“ indiziert.

Bild 1.26: Erhöhung des thermischen Wi-derstandes einer Wand durch Dämmplatten.

In der Bauphysik bezeichnet Rsi

den spezifischen inneren Wärmeüber-gangswiderstand Rα i (surface internal)und Rse den spezifischen äußeren Wär-meübergangswiderstand Rα e (surfaceexternal).

1.7.2 Spezifische thermische Widerstände und LeitwerteDurch Bezug thermischer Widerstände Rth und thermischer LeitwerteLth auf die für den Wärmefluss maßgebliche Fläche A entstehen spezi-fische thermische Widerstände und spezifische thermische Leitwerte,die Wärmestromdichte und Temperaturdifferenz koppeln (Bild 1.27):

Lth =1

Rth

=Q

∆ϑbzw. L∗th =

1

R∗th=

q

∆ϑ=

Q

A ·∆ϑ(1.47)

Zwischen thermischen und spezifischen thermischen Widerständenbzw. thermischen und spezifischen thermischen Leitwerten bestehendie Zusammenhänge:

Rth =R∗thA

bzw. R∗th = Rth ·A [R∗th] =m2 K

W(1.48)

Lth = L∗th ·A bzw. L∗th =Lth

A[L∗th] =

W

m2 K(1.49)

In der Literatur und auch in ver-schiedenen Normen werden thermischeWiderstände und spezifische thermischeWiderstände nicht exakt unterschieden,was zu Missverständnissen führen kann.Zur Unterscheidung werden im Folgen-den allgemeine flächenbezogene Wi-derstände und Leitwerte mit einemStern indiziert („Sternwerte“). Bei denin der Praxis für spezifische Widerständeeingeführten Symbolen R, Rsi, Rse undRT wird auf einen zusätzlichen Sternverzichtet. Thermische Widerstände undLeitwerte werden demgegenüber mit„th“ ohne Stern indiziert.

Allgemein wird der Begriff „Wär-medurchlass“ nicht nur bei der Wärme-leitung auch bei konvektivem und radia-tivem Wärmefluss durch Zwischenräume(z. B. Verglasungen) verwendet.

Von besonderer Relevanz sind der (spezifische) Wärmedurchlasswider-stand (Wärmeleitwiderstand) R=Rλ, der WärmedurchlasskoeffizientΛ=Lλ und der (spezifische) Wärmeübergangswiderstand Rα:

R=Rλ=R∗th,λ=Rth,λ ·A=L

λ; [R] =

m2 K

W(1.50)

Λ=Lλ=L∗th,λ=1

R=

1

R∗th,λ=λ

L; [Λ] =

W

m2 K(1.51)

Rα=R∗th,α=Rth,α ·A=1

α; [Rα] =

m2 K

W(1.52)

Als spezifische thermische Widerstände geben der Wärmedurchlass-widerstand R in Gl. (1.50), der Wärmeübergangswiderstand Rα inGl. (1.52) und der Wärmedurchgangswiderstand RT in Gl. (1.55) dasVerhältnis von Temperaturdifferenz und Wärmestromdichte wieder.

Spezifische thermische Wider-stände („kleines Paket“, s. S. 336) sindbei ebener Geometrie vorteilhaft, dahier die Fläche A konstant ist.

*Rth

qJ1 J2

Bild 1.27: Koppelung spezifischer thermi-scher Widerstand und Wärmestromdichte.

1.7 Elektrische Analogie 27

1.7.3 Wärmedurchgangskoeffizient und Wärmedurchgangs-widerstand

Insbesondere in der Bauphysik istseit einigen Jahren das internationalverwendete Symbol U für den Wärme-durchgangskoeffizienten (U -Wert) üb-lich, das sich aber in der Wärmeübertra-gung bisher nicht durchgesetzt hat.

Durch Einführen des Wärmedurch-gangskoeffizienten k kann das New-ton’sche Abkühlungsgesetz (1.13) vor-teilhaft auch für den Wärmedurch-gang herangezogen werden, womitden kombinierten Wärmeübertragungs-mechanismen Konvektion und Wärme-leitung Rechnung getragen wird. In-nerhalb eines Bauteils können weitereWärmeübertragungsmechanismen auf-treten (z. B. Konvektion und Strahlungim Zwischenraum einer Verglasung).

Die Kombination von Wärmeübergang und Wärmeleitung wird alsWärmedurchgang (Wärmetransmission) bezeichnet. Der Wärmestrominfolge Wärmedurchgangs von Fluid 1 (Temperatur ϑ∞1) an Fluid 2(Temperatur ϑ∞2) durch eine einschichtige ebene Wand lässt sich mitdem Wärmedurchgangskoeffizienten k (k-Wert) schreiben als:

Q=−k ·A · (ϑ∞ 2−ϑ∞ 1)=k ·A · (ϑ∞ 1−ϑ∞ 2)=A · (ϑ∞ 1−ϑ∞ 2)

RT(1.53)

k=1

RT=

1

1

α1+L

λ+

1

α2

(1.54)

RT =1

k=

1

α1+L

λ+

1

α2=Rα 1+Rλ+Rα 2

(=R∗th,α 1+R∗th,λ+R∗th,α 2

)(1.55)

Der Wärmedurchgangswiderstand RT in(m2 K

)/W (spezifischer Wi-

derstand) ist der Kehrwert des Wärmedurchgangskoeffizienten. Beimehrschichtigen Wänden ist Rλ=R in Gl. (1.55) sinngemäß durch dieSumme der einzelnen Wärmeleitwiderstände zu ersetzen.

Jse

Jsi

d

Ji

Jela, Ae

qai ql qae

Rauchgas Ofenwand Raumluft

a, Ai

RaeRlRai

RT

JseJsiJi Je

Rai

Rl

Rae

Bild 1.28: Wärmedurchgang durch dieWand eines Ofens.

Bild 1.28 zeigt den Wärmedurchgang durch eine Ofenwand vomRauchgas zur Raumluft. Bei nichtspeichernder Ofenwand (z. B. dün-nes Blech) bzw. im stationären Fall besteht über den Wärmedurch-gangswiderstand RT bzw. den Wärmedurchgangskoeffizienten k ei-ne direkte Koppelung zwischen Rauchgas und Raumluft, d. h. eine Er-höhung der Gastemperatur bewirkt einen unmittelbaren Anstieg derLufttemperatur. Bei speichernder Wand (z. B. Schamottekacheln) er-folgt die Temperaturerhöhung zeitversetzt, da neben der Luft auchdie Wand aufzuheizen ist. Die thermische Koppelung zwischen denbeiden Fluiden ist über den Wärmedurchgangswiderstand RT be-schreibbar. Gemäß Gl. (1.55) addieren sich dabei der innere Wärme-übergangswiderstand zwischen Rauchgas und Wand Rα i, der Wärme-leitwiderstand der Wand Rλ und der äußere Wärmeübergangswider-stand zwischen Wand und RaumluftRα e, wobei der größte thermischeWiderstand den Wärmedurchgang dominiert. Die thermische Koppe-lung über einen Wärmedurchgangskoeffizienten k kann als verallge-meinerte Randbedingung 3. Art interpretiert werden.

Bei hohem Wärmeübergang zumRauchgas und dünner metallener Ofen-wand tritt nur ein geringer Tempera-turabfall zwischen Rauchgastemperaturϑi und ofenseitiger Wandtemperatur ϑsi

auf. Da dann der raumseitige Wärme-übergangswiderstand Rα e den Wärme-durchgang bestimmt, gilt k ≈ αe. Beiähnlicher Größenordnung der einzelnenthermischen Widerstände ist der Wär-medurchgangskoeffizient kleiner als je-der einzelne Leitwert.

1.7.4 Reihenschaltung thermischer WiderständeBei der Serienschaltung fließt durch alle thermischen WiderständeRth, j (j=1 . . . n) gemäß Bild 1.29 derselbe Wärmestrom Q:

Q=ϑ1−ϑ2

Rth, 1

=ϑ2−ϑ3

Rth, 2

=ϑk−ϑk+1

Rth, k

=ϑn−ϑn+1

Rth,n

=ϑ1−ϑn+1

Rth, ges

(1.56)

Rth, 1 Rth, 2 Rth, n

Rth, ges

J1

J1

J2 J3 Jn Jn+1

resultierender Gesamtwiderstand:

. . .

Jn+1

Q

Q Q Q

Bild 1.29: Resultierender thermischer Ge-samtwiderstand bei einer Serienschaltung.

Der thermische Gesamtwiderstand (Ersatzwiderstand) folgt durch Ad-dition der einzelnen thermischen Widerstände:

Rth, ges =n∑

j=1

Rth, j = Rth, 1 +Rth, 2 + . . .+Rth, k + . . .+Rth, n (1.57)

Für die Reihenschaltung spezifischer Widerstände ebener Geometriengilt Gl. (1.57) analog, bei gekrümmten Geometrien müssen dabei alleWiderstände dieselbe Bezugsfläche haben (vgl. Arbeitshilfen S. 333).

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