presented by Ulyana Hryndapresented by Ulyana Hrynda

Ch. 5: Tools in Ch. 5: Tools in Probability TheoryProbability Theory

WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten MomenteMomente Bedingte ErwartungswerteBedingte Erwartungswerte Einige wichtigen ModelleEinige wichtigen Modelle Markov Processe and Ihre BedeutungMarkov Processe and Ihre Bedeutung Konvergenz von ZufällsvariablenKonvergenz von Zufällsvariablen

- Umweltzustand- Umweltzustand

- alle möglichen Umweltzustände- alle möglichen Umweltzustände

- die Reihe aller möglichen Ereignissen- die Reihe aller möglichen Ereignissen

Jedem Ereignis , wird eine Jedem Ereignis , wird eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet Wahrscheinlichkeit zugeordnet

, wobei, wobei

Diskrete ZufallsvariableDiskrete Zufallsvariable sind Zufallsvariable, sind Zufallsvariable, die nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele die nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Ausprägungen besitzenAusprägungen besitzen**..

Stetigen (kontinuierlichen) ZufallvariableStetigen (kontinuierlichen) Zufallvariable sind Zufallsvariable, die zumindest in einem sind Zufallsvariable, die zumindest in einem bestimmten Bereich der reellen Zahlen jeden bestimmten Bereich der reellen Zahlen jeden beliebigen Zahlenwert annehmenbeliebigen Zahlenwert annehmen**. . (z.B. Länge eines aus (z.B. Länge eines aus einem Produktionslos zufällig ausgewählten Werkstücks, einem Produktionslos zufällig ausgewählten Werkstücks, Zeitaufwand für die Lösung einer Aufgabe)Zeitaufwand für die Lösung einer Aufgabe)

* * Bleymüller, Gehlert: Statistik für Wirtschaftswissenschaftler. 12. Aufl, S.39Bleymüller, Gehlert: Statistik für Wirtschaftswissenschaftler. 12. Aufl, S.39

A random variableA random variable is a function, a mapping, defined is a function, a mapping, defined on the set . Given an event , a random variable will on the set . Given an event , a random variable will assume a particular numerical value. Thus we have:assume a particular numerical value. Thus we have:

,,

where B is the set made of all possible subsets of the real where B is the set made of all possible subsets of the real numbers R.numbers R.

Distribution functionDistribution function is a mathematical is a mathematical model for the probabilities associated with a random variable :model for the probabilities associated with a random variable :

Veteilungfunktionen: Veteilungfunktionen: DiskreteDiskrete StetigeStetige

BernoulliBernoulli

BinomialBinomial

DiscretUniformDiscretUniform

GeometrischeGeometrische

HypergeometrischeHypergeometrische

LogSeriesLogSeries

NegativBinomialNegativBinomial

PoissonPoisson

Chi-QuadratChi-Quadrat

ExponentialExponential

NormalNormal

StudentStudent

F-VerteilungF-Verteilung

LognormalLognormal

CauchyCauchy

GammaGamma

ExtremeValueExtremeValue

BetaBeta

Black-Scholes formula provides the Black-Scholes formula provides the theoretical price of so called European options theoretical price of so called European options

on a security If the price changes of that on a security If the price changes of that security are log-normally distributed.security are log-normally distributed.

BUT:BUT: there is an evidence that price changes there is an evidence that price changes are not log-normally distributed.are not log-normally distributed.

Fat tailsFat tails can be modeled with so called can be modeled with so called Stable Stable

DistributionsDistributions, also called Levy distributions and Levy-Pareto , also called Levy distributions and Levy-Pareto

distributions. distributions.

A Normal or Gaussian distribution is a special case of a A Normal or Gaussian distribution is a special case of a

stable distribution. stable distribution.

The Cauchy distribution is another well known example of The Cauchy distribution is another well known example of

a stable distribution. a stable distribution.

In fact, the Gaussian and the Cauchy distributions are the In fact, the Gaussian and the Cauchy distributions are the

only two stable distributions for which closed form mathematical only two stable distributions for which closed form mathematical

formulas exist formulas exist **..

* * http://www.economymodels.com/optcalc.asphttp://www.economymodels.com/optcalc.asp

A stable distribution is controlled by four parameters:A stable distribution is controlled by four parameters:

alphaalpha - The alpha value ranges from 0 to 2 and measures the - The alpha value ranges from 0 to 2 and measures the frequency of large moves. The lower the alpha value, the more large frequency of large moves. The lower the alpha value, the more large changes tend to occur.changes tend to occur.

betabeta - The beta value ranges from -1 to 1 and measures the - The beta value ranges from -1 to 1 and measures the amount of skewness of the distribution. A distribution is skewed if large amount of skewness of the distribution. A distribution is skewed if large changes in one direction are more common than large changes in the changes in one direction are more common than large changes in the other direction. A negative beta means that large negative changes are other direction. A negative beta means that large negative changes are more common than large positive changes (and that small positive more common than large positive changes (and that small positive changes are more common than small negative changes). changes are more common than small negative changes).

meanmean - The mean value measures the average change. - The mean value measures the average change.

spreadspread - The spread measures the size of changes. It is closely - The spread measures the size of changes. It is closely related to the volatility, but volatility can only be calculated for Gaussian related to the volatility, but volatility can only be calculated for Gaussian distributions. distributions.

Verteilung ?Verteilung ?

Leptokurtische VerteilungLeptokurtische Verteilung

StandardextremwertverteilungStandardextremwertverteilung

Moments:Moments:

First moment (First moment (µ):): mean or expected value mean or expected value µ= E [X] E [X]

Second moment (Second moment (σ):): variance variance σ2 = E[(X-µ)2]

Third moment (Third moment (R): ): skewness (Schiefe)skewness (Schiefe) σ-3 E[(X-µ)3]

Fourth moment Fourth moment ((w+(4/3)R2):): kurtosiskurtosis (Wölbung)(Wölbung) σ-4 E[(X-µ)4]-3

DiskretDiskret StetigStetig

Mittelwert ErwartungswertMittelwert Erwartungswert

Streuungsmaß VarianzStreuungsmaß Varianz

Bedingte ErwartungswerteBedingte Erwartungswerte – Erwartungswerte – Erwartungswerte die werden unter Verwendung der Information die werden unter Verwendung der Information bewertet .bewertet .

Allgemein gilt, dass die Informationen Allgemein gilt, dass die Informationen gesammelt werden und Individuum die gesammelt werden und Individuum die Vergangenheitsinformationen nie vergisst:Vergangenheitsinformationen nie vergisst:

Wenn eine Zufallsvariable mit der Dichtenfunktion Wenn eine Zufallsvariable mit der Dichtenfunktion

ist, und wenn ein möglicher Wert dieser ist, und wenn ein möglicher Wert dieser Zufallsvariable ist, dann für klein Zufallsvariable ist, dann für klein

gilt:gilt:

Das ist Wahrscheinlichkeit, dass in der Nähe von Das ist Wahrscheinlichkeit, dass in der Nähe von

landet. Die Nähe ist durch „Distanz“ charakterisiert.landet. Die Nähe ist durch „Distanz“ charakterisiert.

Bedingte DichteBedingte Dichte ist wenn all die ist wenn all die Wahrscheinlichkeiten auf dem Informationset Wahrscheinlichkeiten auf dem Informationset basiert sind.basiert sind.

, wenn von der abhängt, wenn von der abhängt

, wenn unbedingt, wenn unbedingt

Bedingter Erwartungs-OperatorBedingter Erwartungs-OperatorBedingte Erwartung der Zufallsvariable Bedingte Erwartung der Zufallsvariable vorausgesetzt die Information ist zum Zeitpunkt vorausgesetzt die Information ist zum Zeitpunkt bekannt ist gegeben durch:bekannt ist gegeben durch:

, ,

Notation: Notation:

Eigenschaften der bedingten ErwartungenEigenschaften der bedingten Erwartungen

1.1. Die bedingte Erwartung der Summe der zwei Die bedingte Erwartung der Summe der zwei Zufallsvariablen ist die Summe der bedingten Zufallsvariablen ist die Summe der bedingten ErwartungenErwartungen

2.2. Eigenschaft der bedingten Erwartung ist es, Eigenschaft der bedingten Erwartung ist es, dass die Erwartung der zukünftigen Erwartung dass die Erwartung der zukünftigen Erwartung gleich der heutigen Prognose gleich der heutigen Prognose ist : ist :

Einige wichtigen ModelleEinige wichtigen Modelle

BinomialverteilungBinomialverteilung Normalverteilung Normalverteilung PoissonverteilungPoissonverteilung

BinomialverteilungBinomialverteilung

1. Für jeden Versuch es gibt nur zwei mögliche Ausgänge:1. Für jeden Versuch es gibt nur zwei mögliche Ausgänge:

uptickuptick , ,

downtickdowntick

2. Die Erfolgswahrscheinlichkeiten bzw. der 2. Die Erfolgswahrscheinlichkeiten bzw. der beiden Ereignisse (up- o. downtick) sind konstant (d.h. beiden Ereignisse (up- o. downtick) sind konstant (d.h. ändern sich also von Versuch zu Versuch nicht):ändern sich also von Versuch zu Versuch nicht):

3. Die einzelnen Versuche sind voneinander unabhängig3. Die einzelnen Versuche sind voneinander unabhängig

Preis einer DerivatePreis einer Derivate ist gleich der Summe ist gleich der Summe aller up- und downticks ab dem Zeitpunktaller up- und downticks ab dem Zeitpunkt

wennwenn , dann , dann

Momente der BinomialverteilungMomente der Binomialverteilung

1.1. Erwartungswert Erwartungswert

2.2. VarianzVarianz

3.3. SchiefeSchiefe

4.4. WölbungWölbung

NormalverteilungNormalverteilung

Beginnend von einem Zeitpunkt Beginnend von einem Zeitpunkt (unmittelbarer Zukunft),(unmittelbarer Zukunft), kann nur 2 möglichen kann nur 2 möglichen Werte annehmen:Werte annehmen:

mit der Wahrscheinlichkeitmit der Wahrscheinlichkeit

mit der Wahrscheinlichkeitmit der Wahrscheinlichkeit

DaherDaher ist selbst binomial im ist selbst binomial im

Wir möchten untersuchen was mit der Verteilung der Wir möchten untersuchen was mit der Verteilung der Zufallsvariable passiert, wenn Zufallsvariable passiert, wenn und und bleibt fix. bleibt fix.

Central Limit Theorem:Central Limit Theorem:in diesem Fall die Verteilung kann in diesem Fall die Verteilung kann

durch Normalverteilung mit dem Mittelwert und durch Normalverteilung mit dem Mittelwert und Varianz approximiert werden.Varianz approximiert werden.

Poisson VerteilungPoisson Verteilung

ist ein Grenzfall der Binomialverteilung für ist ein Grenzfall der Binomialverteilung für eine große Zahl n von Versuchen (streng eine große Zahl n von Versuchen (streng genommen ) und für eine sehr kleine genommen ) und für eine sehr kleine Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines Ereignisses Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines Ereignisses (streng genommen (streng genommen )*.)*.

* * Bleymüller, Gehlert: Statistik für Wirtschaftswissenschaftler. 12. Aufl, S.55Bleymüller, Gehlert: Statistik für Wirtschaftswissenschaftler. 12. Aufl, S.55

Block 1:Block 1: Mit die Werte werden immer kleiner Mit die Werte werden immer kleiner und kleiner und deshalb die Varianz der neuen Informationund kleiner und deshalb die Varianz der neuen Information

konvergiert zum 0.konvergiert zum 0.

Block 2: Block 2: Poissonverteilter Prozess besteht aus unabhängigen Poissonverteilter Prozess besteht aus unabhängigen Sprüngen zum beliebigen Zeitpunkt. Für Poissonprozess dir Sprüngen zum beliebigen Zeitpunkt. Für Poissonprozess dir Wahrscheinlichkeit eines Sprunges während des Zeitintervalls Wahrscheinlichkeit eines Sprunges während des Zeitintervalls wird durch wird durch

, , wo die Intensität bezeichnetwo die Intensität bezeichnetapproximiert.approximiert.

Im Gegensatz zur Normallverteilung, wo die Im Gegensatz zur Normallverteilung, wo die Wahrscheinlichkeit einen Wert, der gleich 0 ist, zu Wahrscheinlichkeit einen Wert, der gleich 0 ist, zu bekommen ist Null; bei der Poissonverteilung, wenn bekommen ist Null; bei der Poissonverteilung, wenn klein ist, die Wahrscheinlichkeit wird wie folgt klein ist, die Wahrscheinlichkeit wird wie folgt approximiertapproximiert

Die Wahrscheinlichkeit, dass während einen Die Wahrscheinlichkeit, dass während einen begrenzten Zeitintervall die Sprünge begrenzten Zeitintervall die Sprünge stattfinden werden ist gegeben durch:stattfinden werden ist gegeben durch:

Markov ProzessMarkov Prozess

Ein Markov-Prozeß ist ein Prozeß, bei dem der Ein Markov-Prozeß ist ein Prozeß, bei dem der Zustand zum Zeitpunkt nur vom Zustand zum Zeitpunkt t Zustand zum Zeitpunkt nur vom Zustand zum Zeitpunkt t abhängt und nicht von früheren Zuständen.abhängt und nicht von früheren Zuständen.

Ein diskreter Prozess, mit einer Ein diskreter Prozess, mit einer gemeinsamen Verteilungsfunktion, ist ein Markov gemeinsamen Verteilungsfunktion, ist ein Markov Prozess wenn implizite bedingte Wahrscheinlichkeiten erfüllen:Prozess wenn implizite bedingte Wahrscheinlichkeiten erfüllen:

wo und ist durch Informationsset wo und ist durch Informationsset bedingte Wahrscheinlichkeit.bedingte Wahrscheinlichkeit.

Multivariate Markov ProzesseMultivariate Markov Prozesse

Angenommen wird ein bivariater ProzessAngenommen wird ein bivariater Prozesswo - „short rate“, - „long rate“wo - „short rate“, - „long rate“

- unabhängige Fehler- unabhängige Fehler- konstante Koeffiziente- konstante Koeffiziente

Convergence of Random VariablesConvergence of Random Variables

Mean Square ConvergenceMean Square Convergence

(used to find approximations to (used to find approximations to valuesvalues assumed by random variables)assumed by random variables)

Weak ConvergenceWeak Convergence(used to find approximation to the probabilities (used to find approximation to the probabilities

associated with the sequence associated with the sequence , the , the distribution functiondistribution function of families of random variables) of families of random variables)

Mean Square ConvergenceMean Square Convergence

Es sei eine Reiehnfolge von Es sei eine Reiehnfolge von Zufallsvariablen. konvergiert zum in Zufallsvariablen. konvergiert zum in Mittelquadrat wennMittelquadrat wenn

Laut dieser Definition, der zufällige Laut dieser Definition, der zufällige approximierte Fehler ist folgend definiertapproximierte Fehler ist folgend definiert

die Varianz wird je kleiner desto mehr die Varianz wird je kleiner desto mehr

Weak ConvergenceWeak Convergence

Es sei eine Zufallsvariable indexiert mit mit Es sei eine Zufallsvariable indexiert mit mit einer Verteilungsfunktion . Wir sagen, dasseiner Verteilungsfunktion . Wir sagen, dassgegen schwach konvergiert undgegen schwach konvergiert und

wo eine Verteilungsfunktion von ist wennwo eine Verteilungsfunktion von ist wenn

wo eine gebundene, kontinuierliche, wahr-geschätzte wo eine gebundene, kontinuierliche, wahr-geschätzte Funktion ist; Funktion ist;

ist Erwartung der Funktion unter ist Erwartung der Funktion unter WahrscheinlichkeitsverteilungWahrscheinlichkeitsverteilung

ist Erwartung der Funktion unter ist Erwartung der Funktion unter Wahrscheinlichkeitsverteilung Wahrscheinlichkeitsverteilung

Danke für Euere Aufmerksamkeit!Danke für Euere Aufmerksamkeit!